Eligheorcohil
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: = ! ! + ! ! + ! ! ( ! , ! , ! ) ! = ! . ( ) : ! = ! . ! ! + ! ! + ! ! ! = ! . ! ! + ! . ! ! + ! . ! ! ( ) : ! = ! . ! ! + ! . ! ! + ! . ! ! ( ) ! . ! = cos ! ! . ! = sin ! ! . ! = 0 ∴ ! = ! cos ! + ! sin ! 2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , ) a) En función de y en coordenadas cartesianas b) En función de y en coordenadas esféricas
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𝐸𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴 = 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! (𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐴! ,𝐴! ,𝐴!)
𝐴! = 𝑎! . 𝐴
(𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨)
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴! = 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴!
𝐴! = 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎! . 𝑎!𝐴!
(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑟𝑒𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴! = 𝑎! . 𝑎! 𝐴! + 𝑎! . 𝑎! 𝐴! + 𝑎! . 𝑎! 𝐴!
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠)𝑎! . 𝑎! = cos𝜙!𝑎! . 𝑎! = sin𝜙!𝑎! . 𝑎! = 0
∴ 𝐴! = 𝐴! cos𝜙! + 𝐴! sin𝜙!
Asignación I
Después de leer la teoría de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas y la teoría de análisis Vectorial, y revisado y analizado junto con los ejemplo de estos dos temas. Fecha tope para la entrega 18/05/2011, 5 puntos
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlo en formato PDF
Los enunciados de estos ejercicios se encuentran en el libro Fundamentos de Electromagnetismo para Ingenieros, Autor: David Cheng de la pág. 69 a la 70
1(P2-11).- La posición de un punto en coordenadas cilíndricas está indicada por (3, 4 /3, -4); Especifique la situación del punto
a) En coordenadas Cartesianas b) En coordenadas Esférica
2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )
a) En función de y en coordenadas cartesianas b) En función de y en coordenadas esféricas
3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )
a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4) b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P
4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d
𝐸𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴 = 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! (𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐴! ,𝐴! ,𝐴!)
𝐴! = 𝑎! . 𝐴
(𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨)
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴! = 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴! + 𝑎!𝐴!
𝐴! = 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎! . 𝑎!𝐴! + 𝑎! . 𝑎!𝐴!
(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑟𝑒𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴! = 𝑎! . 𝑎! 𝐴! + 𝑎! . 𝑎! 𝐴! + 𝑎! . 𝑎! 𝐴!
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠)𝑎! . 𝑎! = sin𝜃!𝑎! . 𝑎! = cos𝜃!𝑎! . 𝑎! = 0
∴ 𝐴! = 𝐴! sin𝜃! + 𝐴! cos𝜃!
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴! = 𝐴! 𝑟!
𝑟! ! + 𝑧! !+
𝐴!𝑧!𝑟! ! + 𝑧! !
a) 𝐹 = 𝑎!𝑥𝑦 + 𝑎!𝑦𝑧 + 𝑎!𝑧𝑥 𝑦 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐹 .𝑑𝑠 De la cara izquierda de la superficie del cubo tenemos:
𝑦 = 0 , 𝑑𝑠 = −𝑎!𝑑𝑥𝑑𝑧
−𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 −𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 (𝐼)
De la cara derecha de la superficie del cubo tenemos:
𝑦 = 1 , 𝑑𝑠 = 𝑎!𝑑𝑥𝑑𝑧
𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 𝑥 !! 𝑧𝑑𝑧 = 𝑧𝑑𝑧
!
!
= 12 𝑧!
!
!
= 12
!
!
(𝐼𝐼)
De la cara superior de la superficie del cubo tenemos:
𝑧 = 1 , 𝑑𝑠 = 𝑎!𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑧𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦!
!
!
!
= 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦!
!
!
!
=12 𝑥!
!
!
𝑑𝑦 =12 𝑑𝑦
!
!
=12 𝑦
!
!
= 12
!
!
(𝐼𝐼𝐼)
De la cara inferior de la superficie del cubo tenemos:
𝑧 = 0 , 𝑑𝑠 = −𝑎!𝑑𝑥𝑑𝑧
−𝑧𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 −𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 (𝐼𝑉)
De la anterior del frente de la superficie del cubo tenemos:
Asignación I
Después de leer la teoría de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas y la teoría de análisis Vectorial, y revisado y analizado junto con los ejemplo de estos dos temas. Fecha tope para la entrega 18/05/2011, 5 puntos
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlo en formato PDF
Los enunciados de estos ejercicios se encuentran en el libro Fundamentos de Electromagnetismo para Ingenieros, Autor: David Cheng de la pág. 69 a la 70
1(P2-11).- La posición de un punto en coordenadas cilíndricas está indicada por (3, 4 /3, -4); Especifique la situación del punto
a) En coordenadas Cartesianas b) En coordenadas Esférica
2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )
a) En función de y en coordenadas cartesianas b) En función de y en coordenadas esféricas
3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )
a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4) b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P
4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d
𝑥 = 1 , 𝑑𝑠 = 𝑎!𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧!
!
!
!
= 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧!
!
!
!
=12 𝑦!
!
!
𝑑𝑧 =12 𝑑𝑧
!
!
=12 𝑧
!
!
= 12
!
!
(𝑉)
De la posterior cara de la superficie del cubo tenemos:
𝑥 = 0 , 𝑑𝑠 = −𝑎!𝑑𝑦𝑑𝑧
−𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 −𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
= 0 (𝑉𝐼)
𝐹 .𝑑𝑠 = −𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
+ 𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
+ 𝑧𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦!
!
!
!
+ −𝑧𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
+ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧!
!
!
!
+ −𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧!
!
!
!
𝐹 .𝑑𝑠 = 0+ 12+
12+ 0+
12+ 0 =
32
b) ∆ .𝐹
𝐹 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
∆ .𝐹 = 𝜕𝜕𝑥 𝑥𝑦 +
𝜕𝜕𝑦 𝑦𝑧 +
𝜕𝜕𝑧 𝑧𝑥
∆ .𝐹 = 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 , 𝑑𝓇 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
∆ .𝐹 𝑑𝓇 = 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧!
!
!
!
!
!
=12 𝑥!
!
!
+ 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧!
!
!
!
∆ .𝐹 𝑑𝓇 = 12 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧
!
!
!
!
=12 +
12 𝑦!
!
!
+ 𝑧 𝑑𝑧 =12 +
12 + 𝑧 𝑑𝑧
!
!
!
!
=12 +
12 +
12 𝑧
!
!
=12 +
12 +
12 =
32
