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Tinoco, G. (2013). Elementos y ecuación de la elipse. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM.

Elipse: Elementos y ecuación de la elipse

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Elipse En general, la elipse es una curva plana, cerrada y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí. Se puede definir de diversas maneras, en un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron en un contexto geométrico como secciones de un cono, esos antecedentes llevaron eventualmente a su definición analítica como lugar geométrico.

Definición geométrica Reciben el nombre de cónicas las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica por un plano. Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.

Lugar geométrico !

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos ( ),x y que cumplen una cierta propiedad

que únicamente poseen dichos puntos. Por ejemplo, el círculo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un cierto punto denominado centro; la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento; la bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas.

La elipse puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Nota: Ver aplicación interactiva "Cónicas, (lugar geométrico 2)" del capítulo "Ecuación general de 2° grado" disponible en la dirección:

http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

Elementos de la elipse El punto C es el centro y los puntos F y 'F son los focos de la elipse (Ver figura).

Los puntos A y 'A son los vértices y los puntos B y 'B son los extremos del eje menor o covértices.

Las rectas que pasan por los vértices y los covértices son los ejes de simetría de la curva y se

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llaman eje focal (contiene a los focos) y eje secundario respectivamente.

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Ecuación de la elipse !H,*&.-'5'),&!1*/!'%.;&'!?,5.F,*+/%!4,*!4'*+5,!'*!'%!,5.('*!0!&1&!:,4,&!&,@5'!'%!'<'! x 2!A.!%/&!4,,5-'*/-/&!-'!%,&!:,4,&!

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( ) ( )2 22 2x c y x c y k! + + + + =

Esta expresión se puede simplificar, para ello es necesario considerar la siguiente figura:

El triángulo rectángulo FBC tiene uno de sus catetos igual a c , que es la coordenada del foco F . Llamemos b al otro cateto y a la hipotenusa a . Como el punto B pertenece a la

elipse, la suma de las distancias de BF y 'BF es igual a k , pero, también es igual a 2a, así que si se sustituye 2k a= en la ecuación anterior y se simplifica se llega a la siguiente ecuación:

2 2

2 2 2 1x ya a c

+ =!

Al aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo BCF de la figura anterior se obtiene: 2 2 2a b c= + . Si se despeja 2b sustituye esta expresión en la ecuación se obtiene la forma

estándar de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 2 2

2 2 1x ya b

+ = !