Els nombres enters

1. Els nombres enters2. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers3. Màxim comú divisor4. Mínim comú múltiple5. Aplicacions: Un exemple

ÍNDEX

1. Els nombres enters

El primer grup de nombres que se suposa que va inventar l’home, en la seva necessitat del dia a dia, varen ser els nombres enters, és a dir, els que necessitem per comptar.

1, 2, 3, 4, ...Més concretament, aquests nombres són el conjunt de nombres

naturals, representats com

Amb el temps, van aprendre a sumar, y després, com és normal, la operació contrària, la resta.

Per a que tot quadrés, es va haver de fer més gran aquest conjunt.Per una banda, es va haver d’introduir el 0, doncs 4-4=0.I per saber si deixem quelcom a deure, es varen incloure finalment, els

nombres negatius, doncs així podem dir que si tenim 5, i el banc ens cobra 10, deixarem pendent de pagar 5, i escriurem que tenim un saldo de -5, fins que tornem a ingressar diners al banc, 20 per exemple ....

5-10=-5 -5+20=+15=15

1,2,3,4,5,....


Diferenciem en aquest exemple els nombres positius i els nombres negatius, a banda del 0, que ni és positiu ni és negatiu.

5-10=-5-5+20=+15=15

Observem també, que si un nombre és positiu, no posem el signe de positiu, ja el donem per entès.

Usualment, en matemàtiques, aquest conjunt s’anomena el conjunt dels nombres enters, i es representa per una zeta grega:

..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...

Els enters es poden representar com punts equidistants sobre una recta, que s’estenen cap a l’infinit a partir d’un punt, el 0; els nombres positius cap a la dreta i els negatius cap a l’esquerra.


En aquest grup de nombres diferenciem dos conjunts:a) Un conjunt que no es pot expressar com a producte d’altresb) Els altres, que sí es poden escriure com a producte de com a mínim dos

nombresEl primer conjunt els anomenarem nombres primers i el segon nombres

compostos. Observem que diem conjunt, no grup. Ja explicarem perquè.Fem un parell d’exemples de cadascun d’aquests conjunts:

Nombres primers:- 7

No trobem cap parell de nombres que multiplicats donin 7

-71No trobem cap parell de nombres que multiplicats donin

71

Nombres compostos- 8

8 = 4·2- 24

24 = 6·4

Per esbrinar si un nombre és primer o compost fem la descomposició en nombres primers.

Per a aquest procés, que pot ser molt llarg si el nombre a estudiar es molt gran, tenim certes regles de divisibilitat.

Diem que un nombre és divisible per un altre si al fer la divisió ens dóna com a residu 0.

Exemple:24 és divisible per 2?

Sí, doncs:24 204 12 0

24 és divisible per 7?No, doncs: 24 7

3 3


Per no haver de fer la divisió en cada cas, sabem de certes condicions de divisibilitat:

Divisibilitat per 2:Un nombre és divisible per 2 si aquest és parell, és a dir, si l’última xifra del nombre és parell.

28 És divisible per 2, doncs acaba en 8, que és parell.37 No és divisible per 2, doncs acaba en 7, que és senar.

Divisibilitat per 3:Un nombre és divisible per 3 si la suma de totes les seves xifres és 3 o un múltiple de 3. Això ens dóna un procés repetitiu:

879 8+7+9=24 2+4=6 Múltiple de 3Així, 879 és divisible per 3.

2156 2+1+5+6=14 1+4=5 No múltiple de 3Així, 2156 no és divisible per 3.


Divisibilitat per 4:Un nombre és divisible per 4 si ho són les seves dues últimes xifres.

83540 És divisible per 4, doncs 40 entre 4 és 10.72135 No és divisible per 4, doncs 35 no és pot dividir per 4.

Divisibilitat per 5:Aquesta es tan fàcil com la regla del 2. Un nombre es pot dividir per 5 si la seva última xifra o és un 0 o és un 5.

83540 És divisible per 5, doncs acaba en 0.68942 No és divisible per 5, doncs acaba en 2.

Divisibilitat per 6:Aquí desviem la pregunta:

Un nombre és divisible per 6 quan ho és per a 2 i per a 3.És a dir, quan és parell i la suma de les seves xifres és un múltiple

de 3.


Divisibilitat per 7:Aquesta hem de treballar una mica més per recordar-la.Del nombre original fem dos de nous, el mateix nombre sense l’última xifra i l’última xifra per separat. Per exemple, de 105, traiem el 10 i el 5. Ara hem de restar del primer, el doble del segon. Si ens dóna un múltiple de 7 o un 0, el nombre serà divisible per 7. En l’exemple,

105 10 i 5 10-2·5=10-10=0 Per tant, és divisible per 72261 226 i 1 226-2·1=224 Repetim el procés:

224 22 i 4 22-2·4=14 224 divisible per 7

2261 divisible per 7 en ser-ho 224

Divisibilitat per 9:Aquesta és semblant a la regla del 3.Un nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és un múltiple de 9.

81 8+1=9 Divisible per 9, així, 81 és divisible per 93663 3+6+6+3=18 Divisible per 9


Divisibilitat per 10:Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0.

23850 És divisible per 1073091 No és divisible per 10

Divisibilitat per 11:Del nombre inicial hem de treure dos diferents: una que és la suma de les xifres parells i un altre que és la suma de les xifres imparelles. Si la seva resta dóna 0 o un múltiple d’11, aquest nombre serà divisible per 11.

132 3=31+2=3 3-3=0 132 és divisible per 11

908160 6+8+9=230+1+0=1 23-1=22 22 és divisible per 11, per

tant,908160 és divisible per 11


Amb les propietats anteriors, podem treballar números més grans, per decidir si són nombres primers o compostos. Per això, expliquem un mètode de descomposició de qualsevol nombre enter positiu en producte d’altres més petits.

Ho farem mitjançant dos exemples. Descomposem els nombres 420 i 17325.Amb el 420, el primer que hem de fer és escriure el nombre i a la dreta dibuixar

una ratlla que baixi cap a baix:

2. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers

420

Una vegada ho tenim esquematitzat, mirem per quin nombre més petit el podem dividir, amb les condicions que hem vist en el primer punt.

En aquest cas, veiem que el nombre 420 acaba en 0, i per tant compleix la condició de divisibilitat del 2. Ho dividim per dos, que l’escrivim a la dreta de la ratlla, i el resultat el posem a sota del 420:


420




420 2




420 2

210

Continuem, ara però, amb el resultat de la divisió. 210 també acaba en 0, per tant, el podem tornar a dividir per 2:


420 2

210



420 2

210 2



420 2

210 2

105

En aquest cas, el quocient ens queda 105, que és imparell, per tant no podem continuar dividint per 2. Passem al següent número, del 2 passem al 3.

Condició de divisibilitat del 3: les xifres han de sumar un múltiple de 3:1+0+5=6

Així, 105 és divisible per 3. Ho calculem:


420 2

210 2

105

En aquest cas, el quocient ens queda 105, que és imparell, per tant no podem continuar dividint per 2. Passem al següent número, del 2 passem al 3.

Condició de divisibilitat del 3: les xifres han de sumar un múltiple de 3:1+0+5=6

Així, 105 és divisible per 3. Ho calculem:


420 2

210 2

105 3

35

Ara tenim un 35. No és parell, la suma de 3+5=8 no és múltiple de 3, si no és divisible per 2 tampoc ho és per 4, el 5. Condició de divisibilitat del 5, que acabi en 0 o en 5. 35 acaba en 5, divisible:


420 2

210 2

105 3

35

Ara tenim un 35. No és parell, la suma de 3+5=8 no és múltiple de 3, si no és divisible per 2 tampoc ho és per 4, el 5. Condició de divisibilitat del 5, que acabi en 0 o en 5. 35 acaba en 5, divisible:


420 2

210 2

105 3

35 5

7

Finalment, 7 és un nombre primer, per tant, només el podem dividir per 7. Acabem el procés. Doncs:


420 2

210 2

105 3

35 5

7

Finalment, 7 és un nombre primer, per tant, només el podem dividir per 7. Acabem el procés. Doncs:


420 2

210 2

105 3

35 5

7 7

1

Hem acabat, doncs tenim un 1 a l’esquerra.Amb això, hem deduït que:

420=2·2·3·5·7Si volem assegurar-nos, fem servir la calculadora. Però si no hem comès cap

error, ha de ser així.Per arreglar una miqueta el resultat podem ajuntar tots els nombres que

estiguin repetits en les seves respectives potències:420=22·3·5·7


420 2

210 2

105 3

35 5

7 7

1

La segona descomposició, del nombre 17325 la deixem com a exercici.


La segona descomposició, del nombre 17325 la deixem com a exercici.


17325 3

5775 3

1925 5

385 5

77 7

11 11

1

2 217325 3 ·5 ·7·11

3. Màxim comú divisor

Imaginem que tenim dos nombres enters qualsevol. Una pregunta que ens podem fer és quin és el nombre més gran que divideix tots dos.

El primer pas que hem de fer és buscar la descomposició en factors primers de cadascun dels dos nombres.

Una vegada les tenim, hem de buscar els nombres que estan a les dues descomposicions, i en cas que estiguin elevats a potències diferents, hem de triar la més petita.

Com a exemple, trobem el m.c.d.(12, 30)

36 2

18 2

9 3

3 3

1

30 2

15 3

5 5

1

36=22·32

30=2·3·5

m.c.d.(12, 30)=2·3=6

Una aplicació del m.c.d. potser el simplificar fraccions, en aquest cas,

30 30 : 6 5

36 36 : 6 6

4. Mínim comú múltiple

Imaginem que tenim dos nombres enters qualsevol. Una pregunta que ens podem fer és quin és el nombre més petit que és múltiple de tots dos.

Tornem a la descomposició en nombres primers, com en l’exemple anterior. Ara, però, en comptes d’agafar els nombres que coincideixen en tots dos, en prenem tots, i en cas que tinguin potències, agafem la més gran.

36 2

18 2

9 3

3 3

1

30 2

15 3

5 5

1

36=22·32

30=2·3·5

m.c.m.(12, 30)=22·32·5=180

Un exemple d’aplicació d’aquest m.c.m. és quan sumem dues fraccions:

1 2?

2 3

En aquests casos és millor pensar en casos reals, per exemple, en pastissos. Estem sumant parts de pastissos tallats de forma diferent:


Així, el que hem de fer, com a primer pas, es saber en quantes parts hem de tallar els pastissos, per a que quedin iguals, però que hem d’aprofitar els talls ja fets.

Per això, la manera més fàcil és buscar els múltiples de tots dos denominadors:

2 2,4,6,8,10,12,...

3 3,6,9,12,15,...

En aquest cas, el nombre més petit que coincideix en els dos conjunts és el 6.m.c.d.(2,3)=6


Ara toca tallar els pastissos en 6 parts iguals, i mirem quants sisens tenim de cada pastís:

Estem buscant fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador i que ens permeten realitzar la suma de les dues fraccions.

1 2 ? ?

2 3 6 6


Ara toca tallar els pastissos en 6 parts iguals, i mirem quants sisens tenim de cada pastís:

Estem buscant fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador i que ens permeten realitzar la suma de les dues fraccions.

1 2 3 4 3 4 7 11

2 3 6 6 6 6 6


5. Aplicacions: Un exemple

Tenim dues bosses, una amb 120 bombons i una altre amb 150 caramels. Volem fer tantes bosses com sigui possible, sempre i quan no ens sobri cap.

a) Quantes bosses podem fer com a màxim amb aquesta condició?b) Quants bombons i quants caramels tindrà cada bossa?


Fem un petit dibuix amb les dues bosses:

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Bombons Caramels

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Mirem ara en quantes bosses podem repartir els bombons.

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

BombonsDescomposició en nombres primers de 120:

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1



1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Bombons Així, 120=23·3·5Busquem tots els divisors de 120:Comencen per les potencies de 2:

20=1, 21=2, 22=4, 23=8Ara aquestes, les multipliquem per 3:

3, 6, 12, 24Per 5:

5, 10, 20, 40I, finalment, per 15=3·5:

15, 30, 60, 120Així hem trobat tots els divisors de 120, que són els bombons per bossa que podem posar. Ordenem-los:1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120



BombonsPodem fer, doncs, la següents distribució:

Bosses Bombons per bossa1 1202 603 404 305 246 208 15

10 1212 1015 820 624 530 440 360 2

120 1


Fem el mateix amb els caramels:

CaramelsDescomposició en nombres primers de 150:

150 2

75 3

25 5

5 5

1

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Fem el mateix amb els caramels:

Caramels

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Així, 150=2·3·52

Busquem tots els divisors de 150:Comencen per les potencies de 5:

50=1, 51=5, 52=25Ara aquestes, les multipliquem per 2:

2, 10, 50Per 3:

3, 15, 75I, finalment, per 6=2·3:

6, 30, 150Així hem trobat tots els divisors de 150, que són els caramels per bossa que podem posar. Ordenem-los:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150



CaramelsPodem fer, doncs, la següents distribució:

Bosses Caramels per bossa

1 150

2 75

3 50

5 30

6 25

10 15

15 10

25 6

30 5

50 3

75 2

150 1


Posem les dues taules juntes i mirem les possibilitats de tenir les mateixes bosses:


1 150

2 75

3 50

5 30

6 25

10 15

15 10

25 6

30 5

50 3

75 2

150 1


10 1212 1015 820 624 530 440 360 2

120 1


Posem les dues taules juntes i mirem les possibilitats de tenir les mateixes bosses:


1 150

2 75

3 50

5 30

6 25

10 15

15 10

25 6

30 5

50 3

75 2

150 1


10 1212 1015 820 624 530 440 360 2

120 1

Bosses Bombons per bossa Caramels per bossa

1 120 150

2 60 75

3 40 50

5 24 30

6 20 25

10 12 15

15 8 10

25 ---- 6

30 4 5

50 ---- 3

75 ---- 2

150 ---- 1


Si observem la taula, com l’enunciat ens diu que volem fer les màximes bosses possibles, el nombre més alt de bosses, divisible per 120 i per 150 és 30, el m.c.d.(120, 150).I, a més, podem dir que cada bossa tindrà exactament 4 bombons i 5 caramels.

BossesBombons per bossa

Caramels per bossa

1 120 150

2 60 75

3 40 50

5 24 30

6 20 25

10 12 15

15 8 10

25 ---- 6

30 4 5

50 ---- 3

75 ---- 2

150 ---- 1

Els nombres enters

Documents

Transcript of Els nombres enters