En 1854 el Ingeniero franceacutes BRESSE publicoacute su libro ldquoRecherches Analytiques sur la Flexion et la Reacutesistance de Pieces Courbeacutesrdquo en quepresentaba meacutetodos praacutecticos para el anaacutelisis de vigas curvas y arcos

En 1857 Clapeyron presentoacute a la Academia Francesa su ldquoTeorema de los tres Momentosrdquo para el anaacutelisis de las vigas continuas en la misma forma que BERTOT la habiacutea publicado dos antildeos antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia pero sin darle creacutedito alguno Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera ldquoTeoriacutea de las Estructurasrdquo

En 1867 fue introducida por el alemaacuten WINKLER (1835-1888) la ldquoLiacutenea de Influenciardquo Tambieacuten hizo importantes contribuciones a la Resistencia deMateriales especialmente en la teoriacutea de flexioacuten de vigas curvas flexioacuten de vigas apoyadas en medios elaacutesticos

James Clerk MAXWELL (1830-1879) de la Universidad de Cambridge publicoacute el que podriacuteamos llamar el primer meacutetodo sistemaacutetico de anaacutelisis paraestructuras estaacuteticamente indeterminadas basado en la igualdad de la energiacutea interna de deformacioacuten de una estructura cargada y el trabajo externo realizado por las cargas

aplicadas igualdad que habiacutea sido establecida por Clapeyron En su anaacutelisis presentoacute el Teorema de las Deformaciones Reciacuteprocas que por su brevedad y falta de ilustracioacuten no fue apreciado en su momentoEl italiano BETTI en 1872 publicoacute una forma generalizada del Teorema de Maxwell conocida como el Teorema Reciacuteproco de Maxwell-BettiEl alemaacuten Otto MOHR (1835-1918) hizo grandes aportes a la Teoriacutea de Estructuras Desarrolloacute el meacutetodo para determinar las deflexiones en vigasconocido como el meacutetodo de las cargas elaacutesticas o la Viga ConjugadaPresentoacute tambieacuten una derivacioacuten maacutes simple y maacutes extensa del meacutetodo general de Maxwell para el anaacutelisis de estructuras indeterminadas usando losprincipios del trabajo virtual

Alberto CASTIGLIANO (1847-1884) presentoacute en 1873 el principio del trabajo miacutenimo que habiacutea sido sugerido anteriormente por MENABREA y que se conoce como el Primer Teorema de CastiglianoPosteriormente en 1879 presentoacute el denominado Segundo Teorema de Castigliano para encontrar deflexiones como un corolario del primeroHARDY CROSS (1885-1959) profesor de la Universidad de Illinois publicoacute en 1930 su famoso meacutetodo de Distribucioacuten de Momentos

que puede decirse revolucionoacute el anaacutelisis de las estructuras de marcos continuos de concreto reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al anaacutelisis de estructuras indeterminadas Este meacutetodo de aproximaciones sucesivas evade la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones como las presentadas en los meacutetodos de Mohr y Maxwell Los conceptos generales del meacutetodo fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberiacuteas Posteriormente se hicieron populares los meacutetodos de KANI y TAKABEYA tambieacuten de tipo iterativo y hoy en desuso Turner Clough Martin y Topp presentan lo que puede llamarse como el iniciode la aplicacioacuten a estructuras de los meacutetodos matriciales de la rigidez que han obtenido tanta popularidad en la actualidadPosteriormente se desarrollaron los meacutetodos de elementos finitos que han permitido el anaacutelisis sistemaacutetico de gran nuacutemero de estructuras y laobtencioacuten de esfuerzos y deformaciones en sistemas complejos como las presas de concreto usadas en las hidroeleacutectricas Entre sus impulsores estaacutenClough Wilson ZIENKIEWICS y GallagherldquoEntidad fiacutesica de caraacutecter unitario concebida como una organizacioacuten de cuerpos dispuestos en el espacio de modo que el concepto del todo domina larelacioacuten entre las partesrdquo

Seguacuten esta definicioacuten vemos que una estructura en un ensamblaje de elementos que mantiene su forma y su unidadSus objetivos son resistir cargas resultantes de su uso y de su peso propio y darle forma a un cuerpo obra civil o maquinaEl sistema estructural constituye el soporte baacutesico el armazoacuten o esqueleto de la estructura total y eacutel transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos detal manera que se garantice seguridad funcionalidad y economiacutea

En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos1048729 FORMA1048729 MATERIALES Y DIMENSIONES DE ELEMENTOS1048729 CARGASlos cuales determinan la funcionalidad economiacutea y esteacutetica de la solucioacutenpropuestaFUNCIONALIDAD ECONOMIAESTETICA SEGURIDAD

LinealidadUna estructura tiene un comportamiento lineal bajo unestado de cargas dado si se cumplen simultaacuteneamente lastres condiciones siguientes

(a) Las deformaciones son funciones lineales de las cargasexternas aplicadas(b) Los materiales de los elementos estructurales trabajan ensu zona de comportamiento elaacutestico y lineal de modo que lasecuaciones de comportamiento que relacionan las tensiones ylas deformaciones siguen la Ley de HookeLinealidadDiagramas bilinealesidealizados tensioacuten ndashdeformacioacuten delacero

Linealidad(c) Debe cumplirse tambieacuten la teoriacutea de las pequentildeasdeformaciones que se enuncia a continuacioacutenSi alguna de las condiciones anteriores no es satisfecha por laestructura entonces esta es no lineal apareciendo tresformas de no linealidad1048729 Estructura geomeacutetricamente no lineal1048729 Estructura de material no lineal1048729 Estructura con grandes deformacionesTeoriacutea de las pequentildeas deformacionesEn virtud de esta teoriacutea las deformaciones (y por endelos desplazamientos) en una estructura son pequentildeas por

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

aplicadas igualdad que habiacutea sido establecida por Clapeyron En su anaacutelisis presentoacute el Teorema de las Deformaciones Reciacuteprocas que por su brevedad y falta de ilustracioacuten no fue apreciado en su momentoEl italiano BETTI en 1872 publicoacute una forma generalizada del Teorema de Maxwell conocida como el Teorema Reciacuteproco de Maxwell-BettiEl alemaacuten Otto MOHR (1835-1918) hizo grandes aportes a la Teoriacutea de Estructuras Desarrolloacute el meacutetodo para determinar las deflexiones en vigasconocido como el meacutetodo de las cargas elaacutesticas o la Viga ConjugadaPresentoacute tambieacuten una derivacioacuten maacutes simple y maacutes extensa del meacutetodo general de Maxwell para el anaacutelisis de estructuras indeterminadas usando losprincipios del trabajo virtual

Alberto CASTIGLIANO (1847-1884) presentoacute en 1873 el principio del trabajo miacutenimo que habiacutea sido sugerido anteriormente por MENABREA y que se conoce como el Primer Teorema de CastiglianoPosteriormente en 1879 presentoacute el denominado Segundo Teorema de Castigliano para encontrar deflexiones como un corolario del primeroHARDY CROSS (1885-1959) profesor de la Universidad de Illinois publicoacute en 1930 su famoso meacutetodo de Distribucioacuten de Momentos

que puede decirse revolucionoacute el anaacutelisis de las estructuras de marcos continuos de concreto reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al anaacutelisis de estructuras indeterminadas Este meacutetodo de aproximaciones sucesivas evade la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones como las presentadas en los meacutetodos de Mohr y Maxwell Los conceptos generales del meacutetodo fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberiacuteas Posteriormente se hicieron populares los meacutetodos de KANI y TAKABEYA tambieacuten de tipo iterativo y hoy en desuso Turner Clough Martin y Topp presentan lo que puede llamarse como el iniciode la aplicacioacuten a estructuras de los meacutetodos matriciales de la rigidez que han obtenido tanta popularidad en la actualidadPosteriormente se desarrollaron los meacutetodos de elementos finitos que han permitido el anaacutelisis sistemaacutetico de gran nuacutemero de estructuras y laobtencioacuten de esfuerzos y deformaciones en sistemas complejos como las presas de concreto usadas en las hidroeleacutectricas Entre sus impulsores estaacutenClough Wilson ZIENKIEWICS y GallagherldquoEntidad fiacutesica de caraacutecter unitario concebida como una organizacioacuten de cuerpos dispuestos en el espacio de modo que el concepto del todo domina larelacioacuten entre las partesrdquo

Seguacuten esta definicioacuten vemos que una estructura en un ensamblaje de elementos que mantiene su forma y su unidadSus objetivos son resistir cargas resultantes de su uso y de su peso propio y darle forma a un cuerpo obra civil o maquinaEl sistema estructural constituye el soporte baacutesico el armazoacuten o esqueleto de la estructura total y eacutel transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos detal manera que se garantice seguridad funcionalidad y economiacutea

En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos1048729 FORMA1048729 MATERIALES Y DIMENSIONES DE ELEMENTOS1048729 CARGASlos cuales determinan la funcionalidad economiacutea y esteacutetica de la solucioacutenpropuestaFUNCIONALIDAD ECONOMIAESTETICA SEGURIDAD

LinealidadUna estructura tiene un comportamiento lineal bajo unestado de cargas dado si se cumplen simultaacuteneamente lastres condiciones siguientes

(a) Las deformaciones son funciones lineales de las cargasexternas aplicadas(b) Los materiales de los elementos estructurales trabajan ensu zona de comportamiento elaacutestico y lineal de modo que lasecuaciones de comportamiento que relacionan las tensiones ylas deformaciones siguen la Ley de HookeLinealidadDiagramas bilinealesidealizados tensioacuten ndashdeformacioacuten delacero

Linealidad(c) Debe cumplirse tambieacuten la teoriacutea de las pequentildeasdeformaciones que se enuncia a continuacioacutenSi alguna de las condiciones anteriores no es satisfecha por laestructura entonces esta es no lineal apareciendo tresformas de no linealidad1048729 Estructura geomeacutetricamente no lineal1048729 Estructura de material no lineal1048729 Estructura con grandes deformacionesTeoriacutea de las pequentildeas deformacionesEn virtud de esta teoriacutea las deformaciones (y por endelos desplazamientos) en una estructura son pequentildeas por

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

que puede decirse revolucionoacute el anaacutelisis de las estructuras de marcos continuos de concreto reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al anaacutelisis de estructuras indeterminadas Este meacutetodo de aproximaciones sucesivas evade la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones como las presentadas en los meacutetodos de Mohr y Maxwell Los conceptos generales del meacutetodo fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberiacuteas Posteriormente se hicieron populares los meacutetodos de KANI y TAKABEYA tambieacuten de tipo iterativo y hoy en desuso Turner Clough Martin y Topp presentan lo que puede llamarse como el iniciode la aplicacioacuten a estructuras de los meacutetodos matriciales de la rigidez que han obtenido tanta popularidad en la actualidadPosteriormente se desarrollaron los meacutetodos de elementos finitos que han permitido el anaacutelisis sistemaacutetico de gran nuacutemero de estructuras y laobtencioacuten de esfuerzos y deformaciones en sistemas complejos como las presas de concreto usadas en las hidroeleacutectricas Entre sus impulsores estaacutenClough Wilson ZIENKIEWICS y GallagherldquoEntidad fiacutesica de caraacutecter unitario concebida como una organizacioacuten de cuerpos dispuestos en el espacio de modo que el concepto del todo domina larelacioacuten entre las partesrdquo

Seguacuten esta definicioacuten vemos que una estructura en un ensamblaje de elementos que mantiene su forma y su unidadSus objetivos son resistir cargas resultantes de su uso y de su peso propio y darle forma a un cuerpo obra civil o maquinaEl sistema estructural constituye el soporte baacutesico el armazoacuten o esqueleto de la estructura total y eacutel transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos detal manera que se garantice seguridad funcionalidad y economiacutea

En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos1048729 FORMA1048729 MATERIALES Y DIMENSIONES DE ELEMENTOS1048729 CARGASlos cuales determinan la funcionalidad economiacutea y esteacutetica de la solucioacutenpropuestaFUNCIONALIDAD ECONOMIAESTETICA SEGURIDAD

LinealidadUna estructura tiene un comportamiento lineal bajo unestado de cargas dado si se cumplen simultaacuteneamente lastres condiciones siguientes

(a) Las deformaciones son funciones lineales de las cargasexternas aplicadas(b) Los materiales de los elementos estructurales trabajan ensu zona de comportamiento elaacutestico y lineal de modo que lasecuaciones de comportamiento que relacionan las tensiones ylas deformaciones siguen la Ley de HookeLinealidadDiagramas bilinealesidealizados tensioacuten ndashdeformacioacuten delacero

Linealidad(c) Debe cumplirse tambieacuten la teoriacutea de las pequentildeasdeformaciones que se enuncia a continuacioacutenSi alguna de las condiciones anteriores no es satisfecha por laestructura entonces esta es no lineal apareciendo tresformas de no linealidad1048729 Estructura geomeacutetricamente no lineal1048729 Estructura de material no lineal1048729 Estructura con grandes deformacionesTeoriacutea de las pequentildeas deformacionesEn virtud de esta teoriacutea las deformaciones (y por endelos desplazamientos) en una estructura son pequentildeas por

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

Seguacuten esta definicioacuten vemos que una estructura en un ensamblaje de elementos que mantiene su forma y su unidadSus objetivos son resistir cargas resultantes de su uso y de su peso propio y darle forma a un cuerpo obra civil o maquinaEl sistema estructural constituye el soporte baacutesico el armazoacuten o esqueleto de la estructura total y eacutel transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos detal manera que se garantice seguridad funcionalidad y economiacutea

En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos1048729 FORMA1048729 MATERIALES Y DIMENSIONES DE ELEMENTOS1048729 CARGASlos cuales determinan la funcionalidad economiacutea y esteacutetica de la solucioacutenpropuestaFUNCIONALIDAD ECONOMIAESTETICA SEGURIDAD

LinealidadUna estructura tiene un comportamiento lineal bajo unestado de cargas dado si se cumplen simultaacuteneamente lastres condiciones siguientes

(a) Las deformaciones son funciones lineales de las cargasexternas aplicadas(b) Los materiales de los elementos estructurales trabajan ensu zona de comportamiento elaacutestico y lineal de modo que lasecuaciones de comportamiento que relacionan las tensiones ylas deformaciones siguen la Ley de HookeLinealidadDiagramas bilinealesidealizados tensioacuten ndashdeformacioacuten delacero

Linealidad(c) Debe cumplirse tambieacuten la teoriacutea de las pequentildeasdeformaciones que se enuncia a continuacioacutenSi alguna de las condiciones anteriores no es satisfecha por laestructura entonces esta es no lineal apareciendo tresformas de no linealidad1048729 Estructura geomeacutetricamente no lineal1048729 Estructura de material no lineal1048729 Estructura con grandes deformacionesTeoriacutea de las pequentildeas deformacionesEn virtud de esta teoriacutea las deformaciones (y por endelos desplazamientos) en una estructura son pequentildeas por

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

(a) Las deformaciones son funciones lineales de las cargasexternas aplicadas(b) Los materiales de los elementos estructurales trabajan ensu zona de comportamiento elaacutestico y lineal de modo que lasecuaciones de comportamiento que relacionan las tensiones ylas deformaciones siguen la Ley de HookeLinealidadDiagramas bilinealesidealizados tensioacuten ndashdeformacioacuten delacero

Linealidad(c) Debe cumplirse tambieacuten la teoriacutea de las pequentildeasdeformaciones que se enuncia a continuacioacutenSi alguna de las condiciones anteriores no es satisfecha por laestructura entonces esta es no lineal apareciendo tresformas de no linealidad1048729 Estructura geomeacutetricamente no lineal1048729 Estructura de material no lineal1048729 Estructura con grandes deformacionesTeoriacutea de las pequentildeas deformacionesEn virtud de esta teoriacutea las deformaciones (y por endelos desplazamientos) en una estructura son pequentildeas por

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

lo que se admite que las cargas no modifican su liacutenea deaccioacuten al deformarse el elemento sobre el que actuacuteanEsta condicioacuten implica tambieacuten que los cuadrados de losdesplazamientos y deformaciones son despreciables encomparacioacuten a la unidadCon esto es vaacutelido considerar las ecuaciones de equilibrioestaacutetico de la estructura empleando las caracteriacutesticasgeomeacutetricas de la estructura no deformada tales comolongitudes aacutengulos etcSiempre que el desplazamiento Δ de la cabeza del pilar sea pequentildeo yla carga P2 no origine pandeo con efectos de segundo ordenimportantes en el pilar el momento en la base seraacute de P1middotL en lugarde P1middotL+P2middotΔ que corresponderiacutea a plantear las ecuacionessobre la geometriacutea deformadaSiempre que la estructura se comporte linealmente y se cumpla la teoriacuteade las pequentildeas deformaciones podraacute aplicarse en el anaacutelisis estructural elprincipio de superposicioacuten de cargas en virtud del cual la secuencia deaplicacioacuten de cargas no altera el resultado final de los caacutelculos

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

Cuando las cargas actuantes se aplican a la estructura de forma cuasilinealo gradual esta se deforma bajo dichas cargas y queda en reposoalcanzando una posicioacuten de equilibrio estaacuteticoDesde el punto de vista del equilibrio estaacutetico puede distinguirse entredos clases de estructuras1048729 Las estructuras estaacuteticamente determinadas o isostaacuteticas enlas cuales las fuerzas internas que aparecen en los elementosestructurales no dependen del material que los constituye Para el caacutelculode estas estructuras soacutelo se precisan las ecuaciones de equilibrio estaacuteticodefinidas a continuacioacutenecuaciones1048729 Las estructuras estaacuteticamente indeterminadas o hiperestaacuteticas siacute quees necesario tener en consideracioacuten el tipo de material empleadoPara su caacutelculo es necesario emplear ademaacutes de las ecuaciones deequilibrio las ecuaciones de compatibilidad de movimientos y lasecuaciones de comportamiento del materialEn un nudo riacutegido de una estructura los movimientos (tanto losdesplazamientos lineales como los giros) se comportan como un medio

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

continuo y tienen un solo valor para este nudo

Las condiciones de contorno se introducen para poder resolver estructurasque no se encuentran completamente definidas Estas pueden depender delas cargas aplicadas en la estructura o de los movimientos de los nudosarticulada y empotrada

CONEXIOacuteN ARTICULADA ARTICULACIOacuteN PLANA PERMITEROTACIOacuteN EN UN SOLO SENTIDOARTICULACIOacuteN ENEL ESPACIOPERMITE ROTACIOacuteNCOMPLETABIEMPOTRADA EMPOTRADA-APOYADACONTINUA CON EXTREMOAPOYADOCONTINUA CON APOYOINTERMEDIOBIARTICULADA EN VOLADIZOCERCHAS Este sistema combina elementos tipo cercha donde ladisposicioacuten de los elementos determina la estabilidadPueden ser planas y espacialesEn este sistema se combinan elementos tipo cercha conelementos tipo viga o columna unidos por Articulaciones

ARMADURASEste sistem c nju element s tip vi c lumn Su est bilid dMARCOS O POacuteRTICOSsistema conjuga elementos tipo viga y columna estabilidadestaacute determinada por la capacidad de soportar momentos en susuniones Pueden ser planos y espacialesMARCOS O POacuteRTICOSl f d l oacuteSISTEMAS DE PISOSConsiste en una estructura plana conformada por la unioacuten varioselementos (caacutescara viga cercha) de tal manera que soporte cargasperpendiculares a su plano Se clasifican por la forma en quetransmiten la carga a los apoyos en bidireccionales y unidireccionalesE d l oacute dSISTEMAS DE MUROSEs un sistema construido por la unioacuten de muros endirecciones perpendiculares y presenta gran rigidez lateralEste sistema es uno de los mas usados en edificaciones enzonas siacutesmicasCargas Muertas (D)Cargas vivas (L)Cargas de sismo (E)Cargas de viento (W)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

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Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

Cargas producidas por presioacuten lateral de tierras o presioacuten hidrostaacutetica (H)Cargas producidas por presiones de fluidos (F)Efectos producidos por cambios de temperatura (T)Cargas Muertas (D)Cargas Vivas (L)Carga Viva Miacutenima RepartidaCargas Vivas (L)Cargas de Sismo (E)Cargas de Sismo (W)El viento produce una presioacuten sobre las superficies expuestasLa fuerza depende de- Densidad y velocidad del viento- Angulo de incidencia- Forma y rigidez de la estructura- Rugosidad de la superficie- Altura de la edificacioacuten A mayor altura mayor velocidad del vientoCargas por presioacuten hidrostaacutetica y empuje de tierrasEn vigasR lt 3 + C Ecuac InestableR = 3 + C Ecuac IsostaacuteticaR gt 3 + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2 Ecuac Hiperestaticopartes y formas etcGrado de hiperestaticidad G = R ndash (3 + C)Roacutetula (C) Roacutetula (C)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

Reaccioacuten (R)En ArmadurasR + B lt 2N Ecuac InestableR + B = 2N Ecuac IsostaacuteticaR + B gt 2N Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoArticulacioacuten (existen 2reacciones y no momento)Reaccioacuten (R)En PoacuterticosR + 3B lt 3N + C Ecuac InestableR + 3B = 3N + C Ecuac IsostaacuteticaR + 3B gt 3N + C Ecuac HiperestaticoR = ReaccionesB = de barrasN = de Nudos Ecuac HiperestaticoC = 1 Cuando se puede separar 1C = 2 Cuando se puede separar 2partes y formas etc Nudo riacutegido (Admiten momento)Reaccioacuten (R)En Estructuras CompuestasR + 3Bp+Ba lt 3Np + 2Na Ecuac InestableR + 3Bp+Ba = 3Np + 2Na Ecuac IsostaacuteticaR + 3Bp+Ba gt 3Np + 2Na Ecuac HiperestaacuteticoR = ReaccionesBp = de barras poacuterticoBa = de barras armadura Ecuac HiperestaacuteticoN p= de Nudos poacuterticoN a= de Nudos armadura

Reaccioacuten (R)

Reaccioacuten (R)