Energía Específica

- Ondas de Superficie o de Gravedad.- Energía Específica

El Flujo en Canales Abiertos

• El flujo en un canal, tiene una superficie libre la cual se encuentra a una presión constante, indicando que el movimiento del fluido se origina por el peso del fluido que es la expresión de la fuerza gravitatoria. A diferencia con el flujo de un conducto cerrado es por que en esta se da por la diferencia de presiones.

• La distribución de presiones en un canal abierto es por lo general la hidrostática, es función solo de la profundidad del fluido.

• Otras fuerzas que intervienen en el estudio de canales abiertos, son la fuerza de inercia y los esfuerzos cortantes originados por la fuerza de fricción.

Energía Específica

- Ondas de Superficie o de Gravedad.- Energía Específica

Movimiento en la superficie

• La superficie libre del fluido en el canal se deforma

formando ondas de superficie o de gravedad que a su vez

se mueven sobre esta superficie a una velocidad diferente

que la del flujo.

• La velocidad de la onda depende de las características del

flujo , la profundidad, velocidad, etc., y propiamente de las

propiedades de la onda, amplitud y longitud.

Número de Froude

• El número de Froude adimensional describe este comportamiento, y por lo tanto caracteriza los distintos tipos de flujo

es una dimensión característica del flujo

Un flujo donde Fr < 1 se denomina subcrítico o lento.

Si Fr = 1 el flujo se llama crítico

y si Fr > 1 el flujo se dice supercrítico o rápido.

gl

VF

l

Ondas de superficie

• Analizaremos la velocidad de propagación C de una onda de

superficie generada artificialmente que se desplaza sobre la

superficie del fluido, originalmente en reposo, Aplicando las

ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento al

volumen de control perturbado artificialmente que se desplaza

con la onda se va a calcular la velocidad de propagación de la

misma, suponiendo despreciables los efectos del rozamiento.

• Aplicamos la ecuación de continuidad al volumen de control:

• Despreciando términos de segundo orden

• Aplicando la ecuación de Bernoulli

• de (1) y (2) resulta

10 bycbdyydVc

dVydyc

20

02

222

22

dVcdyg

g

dV

g

dVcdy

g

cy

g

P

g

dVcdyy

g

P atmatm

gyc

Esta velocidad es adicional a la velocidad del líquido en el canal.

Cuando la velocidad de propagación iguala a la del líquido, y las dos tienen la misma dirección la velocidad total vale (v + c);

Si el sentido es opuesto entonces el frente de onda es estacionario y aparece un fenómeno denominado resalto hidráulico.

Cuando v < c el régimen es subcrítico, y si v > c el régimen es supercrítico.

gyc

La velocidad con que viaja la onda es:

Energía Específica

- Ondas de Superficie o de Gravedad.

- Energía Específica

La Energía

• La energía es la capacidad que tiene una masa de agua para

realizar trabajo para desplazar esta masa a lo largo de un

conducto.

• Consideraremos un tramo de un canal, en el que el perfil de

velocidades es uniforme en cualquier sección del canal, la

pendiente del fondo del canal o solera S0 = (y1 − y2)l ; se

supondrá constante y pequeña.

• Un balance de energía en unidades de longitud entre dos secciones del canal resulta:

donde hf representa las pérdidas de energía.

• La diferencia de cota entre 1 y 2 se puede expresar como (z1−z2 = S0 l). Además, como la presión es esencialmente hidrostática en cualquier sección del canal, se cumple que

• Reemplazando se obtiene

fhzg

Vpz

g

Vp 2

222

1

211

22

yp

1

fhg

VylS

g

Vy

22

22

20

21

1

• Expresando la pérdida de energía hf en función de la pendiente de la línea de energía total Sf tal que hf = Sf l la ecuación de energía queda

• Para el caso donde no hay perdidas de energía (Sf = 0) y el canal es horizontal (S0= 0) se cumple

lSSg

VVyy f 0

21

22

21 2

g

VVyy

2

21

22

21

• Bakhmeteff en 1992 propuso el termino de “Energia Especifica”, para esto pasaria el plano de referencia por el fondo del canal.

• Ahora la Energía Especifica será

g

VyE

2

2

La energía total o altura total (energía en unidades de longitud) en un punto del canal sería, por lo tanto, la energía específica mas la energía potencial del punto dado, es:

zEH

021 SSEE f

El balance de energía analizado anteriormente se puede expresar en términos de la energía específica de la siguiente manera

2

2

2gA

QyE

La energía específica expresado en términos del caudalA

QV

Energía Específica para un canal rectangular

b

Qq

2

2

2gy

qyE

Conclusiones•La energía específica es función de la profundidad del flujo.•Esta ecuación tiene tres soluciones para la profundidad de

los cuales solo dos son validos.

• Para una sección rectangular el caudal unitario ó por unidad de ancho es

• Energía Específica será:

Grafico de la Energía Específica

• Para un canal de ancho b constante, q se mantendría constante a lo

largo del canal, independiente de las posibles variaciones de la

profundidad y.

• Graficando la función E = E(y) para valores constantes de q se

obtiene el diagrama de energía específica que tiene la forma del

diagrama

Energía Específica Mínima

El gráfico presenta un valor mínimo de la energía específica

muestra, el tirante en este punto es único a este tirante se

denomina TIRANTE CRITICO yc.

Para determinar la energía específica mínima determinamos los puntos críticos derivando la energía respecto al tirante e igualando a cero

Esta velocidad corresponde a la velocidad de una onda de

gravedad o superficie vista anteriormente.

013

gy

q

dy

dE

3

12

g

qyc

cyE2

3min

cc

c

c

c ygy

qV

yg

VF 1

donde el tirante critico será:

reemplazando en E(y) se obtiene

La velocidad en el punto crítico es

Condición critica para una sección cualquiera

T

A

g

Q

gA

TQluego

gA

TQ

dy

dEdoreemplazan

dyTdAgrafdel

dy

dAA

g

Q

dy

dE

Ady

d

g

Q

dy

dEyderespectoderivando

gA

QyE

32

3

2

3

2

32

2

2

2

2

1

01

*.

022

11

21""

2

El tirante critico se presenta cuando la energía especifica es minima, “punto critico”, la derivada de esta ecuación sera = 0

Considerando un canal de baja pendiente α =1

Tdy

y dA

2221

,

*

*

2

2

322

32

D

g

Vporndomultiplicaydoreemplazan

hidráulicotiranteelesDT

Apero

T

AgVreduciendo

T

A

g

AVdoreemplazan

AVQcaudalesEl

T

A

g

Q

Si ponemos el caudal como velocidad

Establecemos que en el estado critico en una sección cualquiera

la altura de velocidad es la mitad de la profundidad critica.

El valor del número de Froude para la condición critica

• De la ecuación anterior

• Observación: esto fue para un canal de pendiente baja y =1(diap 22)

FROUDEdeELESgD

V

cuadradaraizSacando

gD

V

ecuaciónestade

D

g

V

#1

1

22

2

2

• El # de Froude es función de la velocidad onda de perturbación veamos

– El # de Froude es:

– pero la velocidad de la onda perturbada es

– Reemplazando

gy

VF

gyC

c

V

gy

VF

• Cuando el # de Froude =1

• Entonces Cuando el # de Froude =1 la velocidad de la onda

perturbadora coincidirá con la velocidad media siendo esta la

velocidad critica con el correspondiente tirante critico,

concluyendo que hay presencia de flujo critico.

• En un Flujo Subcritico, Las perturbaciones se propagaran

aguas arriba, porque la velocidad de las ondas es mayor que

la propia corriente.

• En un Flujo Supercritico, arrastrarán las ondas perturbadoras

aguas abajo.

c

V

gy

VF 1 gyV

• Si una pequeña obstrucción en el canal genera perturbaciones

que son arrastradas por la corriente, estas ondas forman un

ángulo en forma de cuña denominado ángulo de diamante

este ángulo es función del # de Froude

• Entonces la medida de este ángulo permite determinar el # de

Froude

rFsenarc

1

El Froude cuando ≠ 1 y la pendiente del canal sea grande

• En el caso en que la pendiente es grande θ y coeficiente de energía ≠ 1, el criterio será:

• Entonces el # de Froude será:

cos

2

cos

2

2

Dg

VF

D

g

V

Pequeña grada positiva en un canal rectangular

g

Vyz

gV

yE22

22

2

21

11

1. Si FR < 1 el tirante disminuye sobre la grada

2. Si FR > 1 el tirante se incrementa sobre la grada

zy1

y2

zy3

y4

Pequeña grada positiva en un canal rectangular

FR < 1

FR > 1

Z > Zmax

SECCIONES DE CONTROL

a. FLUJO SUPERCRITICO

b. FLUJO SUBCRITICO

c

c

TAg

Q3

yc

FR >1

ycyn

c

c

T

AgQ

3

yc

AL

yA

L = 3 yc a L = 4 yc

yA = 0.71 yc a yA = 0.74 yc (Aprox)

yyc

FR < 1

• Sección de control. En una sección de control existe una

relación directa entre una carga H, un tirante de flujo, y el

caudal Q. (Vertederos, energía mínima)

Grafico Resumen Energía Específica

Flujo Supercrítico

Flujo Crítico

Flujo Subcrítico

ProblemaLa ecuación de Energía Específica es usada para resolver problemas de sobrelevaciones.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la sección 1 y 2 tendremos;

zEE 21

Problema

• En el canal se produce un resalto hidráulico entre las secciones 1 y 2. Suponiendo flujo sin rozamiento y calcúlese:– 1. Profundidad del agua en las secciones 2 y 3.– 2. ¿Qué profundidades se tendrían en dichas secciones si no

hubiese resalto?

y0 = 6 m ; v0 ≈ 0 m/s ; y1 = 1 m ; ancho b = 1 m; h = 0.5 m

• Para solucionar problemas donde se requiera el tirante critico construimos la tabla:

y A T(1) (2) (3) (4) (5)

crititcotirantedelvaloreltieneseQcolumnalacuandoó

criticotirantedelvaloreltieneseg

QcolumnalaCuando

2

2

5

4

TA3 TAg 3