Energía magnetica

Energía Magnética

EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética I

Miguel Delgado León

MSc Ing Miguel Delgado León

Introducción


(1)V iR

Establecer un campo magnético requiere un gasto de energía. Si una fuente de tensión se aplica a un circuito, entonces la corriente puede expresarse como:

es la tensión inducida y la resistencia del circuito de corriente. El trabajo realizado por para mover el incremento de carga a través del circuito es:

se obtuvo con la ley de Faraday. representa la conversión irreversible de la energía eléctrica en calor.

V

RV

dq i dt2 2 (2)V dq V idt idt i Rdt i d i Rdt

2i Rdt

es el trabajo efectuado contra la tensión inducida en el circuito. Es la parte del trabajo realizado por la fuente para alterar el campo magnético. Despreciando el término (implica considerar el circuito conductor perfecto). Escribimos:

i d

2i Rdt

(3)bdW i d

i d

Donde el subíndice indica que es el trabajo realizado por la fuente de energía externa (baterías)

b

Cambio de la energía magnética y energía magnética de circuitos acoplados


Para un circuito rígido estacionario que no tenga otras pérdidas por efecto Joule (es decir, no hay histéresis) , el término es igual al cambio de la energía magnética del circuito.

Si hay n circuitos, entonces, según (3), el trabajo eléctrico hecho en contra de la tensión inducida está dado por:

1

(4)n

b k kk

dW i d

bdW

El flujo en el circuito k es debido a él y los otros circuitos:

1 21

(5)n

k k k k k n k j kj

Diferenciando (5) llegamos a:1 1

(6)n n

j kk j j k j

j jj

dd d i M d i

d i

Reemplazando (6) en (4):

1 1

(7)n n

b j k k jk j

dW M i d i

Las corrientes e son instantáneas. La relación con las corrientes máximas e alcanzadas es: (donde ) que reemplazado en (7) e integrando obtenemos:

ki ji

k k j j j ji f I i f I d i I df kI jI 0 1f

Energía magnética de circuitos acoplados


11M L

La energía magnética para dos circuitos (n=2) es:

1

1 1 1 1 1 10

1

2

n n n n n n

b j k k j b j k k j j k k jk j k j k j

dW M I I f df W M I I f df M I I

Por lo tanto la energía magnética de n circuitos acoplados es:

1 1

1(8)

2

n n

m j k k jk j

W M I I

Para n=1 ( k=j=1, ). La energía magnética será:

21(9)

2mW L I

Es decir, puede obtenerse la inductancia de un circuito a partir de la energía magnética.

2

2(10)mWL

I

2 21 1 1 2 2 2

1 1(11)

2 2mW L I M I I L I

De aquí:

El flujo sobre el circuito k es: 1 1

n nj k

j k j j kj j j

M I II

Reemplazando en (8) resulta:

1

1(12)

2

n

m k kk

W I


Energía magnética en función de los campos magnéticos

El flujo magnético sobre el circuito k es conocido como que reemplazando en (12) obtenemos (ten en cuenta que: ):

( )k

k k

C

A r d r

1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (13)

2 2 2k

n

m k k k kk C todoel todoel

espacio espacio

W A r d r I A r d r I A r J r dV

k kI dr J dV

Teniendo en cuenta que entonces (13) cambia a:

H J

1 1( ) ( ) ( ) ( ) (14)

2 2m

todoel todoelespacio espacio

W A r J r dV A r H r dV

Aplicando la identidad conocida (considerando ) B A

A H H A A H H B A H

A partir de está identidad (14) se transforma en:

0

1 1 1 1ˆ( )

2 2 2 2m

todoel todoel todoel Superficietodoespacio espacio espacio el espacioS

W H B dV A H dV H B dV A H n dS

La integral de superficie es cero, entonces: 1(14)

2m

todoelespacio

W H B dV

Ejemplos


Ejemplo 1Dos circuitos superconductores aislados conducen ciertas corrientes cuando se colocan de tal manera que sus inductancias mutuas sean cero. Posteriormente se mueven hasta que su inductancia mutua es M. Si los circuitos son idénticos con auto inductancia L y tienen las corrientes iniciales Io encuentre las corrientes finales I

Ejemplo 02Encontrar la energía, la inductancia interna y externa de una línea de transmisión coaxial formada por dos conductores. El conductor interno tiene un radio a y el conductor externo es una cascara de radio b (b>a).


Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos magnéticos

La fuerza magnética puede calcularse mediante la ley de fuerzas de Ampere. Está fuerza puede también calcular mediante energía magnética.

Supongamos que “permitimos” (desplazamiento virtual) que la fuerza magnética desarrolle un trabajo mecánico:

. (15)mec mdW F d r

Este trabajo tiene dos contribuciones: . (16)mec b mdW dW dW

Es decir la diferencia de la variación de la energía de la fuente externa (batería) y la variación de la energía magnética.

A corriente constante: El circuito está conectado a la fuente. La variación de la energía magnética según (12) es: 1 1

(17)2 2m mW I dW d I

La variación de la energía de la fuente externa es según (3): (18)bdW i d Es decir es el doble que reemplazando en (16) y luego en (15): 2b mdW dW

(19)m m m m IdW F d r F W

El subíndice indica a corriente constante

Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (20)mm

I

WF x

x


Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos magnéticos

Si el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotación

ˆ (21)m

I

Wn

A flujo constante: El circuito está aislado de la la fuente. La variación de la energía magnética según (12) es:

1 1(22)

2 2m mW I dW d I

0 (23)bdW i d De la ecuación (3) se obtiene:

Reemplazando (23) en (16) y luego en (15) obtenemos:

(24)m m m mdW F d r F W

El subíndice indica a flujo constante

Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (25)mm

WF x

x

Si el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotación ˆ (26)mWn


Energía propia y de interacción

2 21 1 1 2 2 2

1 1(27)

2 2mW L I M I I L I

Como ya sabemos, la energía magnética de dos circuitos es

El primer término es la energía propia del circuito 1, el tercer término es la energía propia del circuito 2 y el segundo término es la energía de interacción.

Suponiendo que las corrientes son constantes y en el caso de un desplazamiento virtual la única cantidad que varia es M. Entonces la fuerza magnética sobre el circuito 2 será: 1 2 (28)m m I I

F W I I M

Está fórmula puede modificarse. Recurriendo a la definición de la inductancia mutua: que reemplazado en (28) tenemos: 1 2

1 2 11

M M II

1 2 2 1 2 1 2 2 (29)m externoI IF I I M I I M I I

Ejemplos


Ejemplo 1Una corriente recta de longitud infinita lleva una corriente I1. Otra espira circular de radio a conduce una corriente I2 como se muestra en la figura. Si los dos circuitos están en el mismo plano. Determine al fuerza magnética sobre la espira.

Ejemplo 2Un conductor circular en forma de alambre de diámetro d, resistividad y densidad de masa m cae desde una gran altura en medio de un campo magnético Bz=Bo(1+kz) donde. El diámetro D siempre es paralelo al plano XY. Determine la velocidad final.


Interacción de un cuerpo magnético con un campo externo (cambio de energía)

Cuando se introduce un material magnético en un campo inicial, el campo cambia como se observa en la figura. El cambio de energía es:

0 0 0

1 1

2 2m m m

todoel todoelespacio espacio

W W W B H dv B H dv

No es difícil demostrar que este cambio de energía es igual a:

0 0

1

2c

m m m

v

W W W M B dv

es la variación del volumen del cuerpo. La fuerza magnética sobre el cuerpo en una situación a flujo constante será: cv

0

1

2c

m mm

v

W WF M B dv

y y y

Ejemplos


Ejemplo 1El campo de inducción magnética entre los polos de un electroimán es relativamente uniforme y se mantiene en un valor constante Bo. Una placa paramagnética delgada que solo puede moverse verticalmente se coloca en el campo como se muestra en la figura . La susceptibilidad de la placa es m y su area de sección transversal es A a)Calcule la fuerza sobre la placa b)Obtenga el valor numérico si Bo=0.25 T y A=1 cm2


Pérdidas por corrientes de Foucault y pérdidas por histéresis

Los núcleos de material ferro magnético son construidos con laminas para disminuir las perdidas por corrientes parasitas

Cuya solución es

ˆ ˆ ˆ

0

00 0

x

y

Bx y z

z

x y z

E

y xE B

z t

( ) xy

BE z z k

t

( ) xy

BE z z

t

2F y

V

P E dvPotencia disipada en la placa por efecto de Joule

V, es el volumen de la placa V= lx ly e


2 / 22

0 0 / 2

lylx ex

F

e

BP z dz dx dy

t

2 22

12 12x x

F

B BP lx ly e e v

t t

Suponiendo que Bx varíe senoidalmente cosx mB B t

2 2 2 2

12F mP B sen te v

Calculando el valor medio de potencia, teniendo en cuenta que para el cálculo de perdidas interesa en particular el valor instantáneo.

El valor medio de 2sen t Es 1/2F

F

Pp

VLa potencia por unidad e volumen es

2 2 21

24F mp e B


•De la expresión anterior se puede concluir que pf depende del cuadrado de la espesura de la lamina.• pf depende de ω2 (frecuencia)• Los materiales que presentan baja conductividad presentan pequeñas pérdidas

Por lo general una frecuencia es impuesta por condiciones de funcionamiento del Dispositivo.Se debe de adaptar una espesura de la lamina a la pulsación del campo.Cuanto mayor sea la frecuencia mas delgada debe ser la lamina.

Pérdidas por Histéresis


Otra pérdida en forma de calor son las asociadas con el mantenimiento de la curva de histéresisLlamando Ph a la potencia asociada al ciclo de histéresis.Wh la energía consumida en un ciclo.

h hW P T1

h hW Pf

h hP W f

0

B

hw HdB Densidad volumétrica de energía magnética

h hW w v Donde v es el volumen


hP A v f

hW A v

Se demuestra que la energía por unidad de volumen es el área encerrada por la curva de histéresis, es decir

0

B

hw HdB A

Entonces la energía consumida en un ciclo es:

La pérdida en todo el núcleo debido a la histéresis será

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