Enrique Cantera del Río Apuntes de Mecánica Cuántica 1...

Enrique Cantera del Río Apuntes de Mecánica Cuántica 1

Título del Trabajo Apuntes de Mecánica Cuántica

Nombre Enrique Cantera del Río

Filiación C/Padre Benito Menni-6-2-E 47008

Valladolid (España)

Correo electrónico [email protected]

Resumen Introducción a la mecánica cuántica.

Versión 4ª Revisión general del texto en el proceso

de traducción al inglés.

mailto:[email protected]


APUNTES DE MECÁNICA CUÁNTICA

Introducción.

Sistemas de Coordenadas en Mecánica Cuántica.

El operador momento angular de una partícula en coordenadas esféricas.

La ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno. Armónicos Esféricos.

Teoría general del momento angular de una partícula en mecánica cuántica.

El oscilador armónico unidimensional en mecánica cuántica.

Sobre el efecto Zeeman y el Hamiltoniano en mecánica cuántica.

Hacia la segunda cuantización.

El propagador.

Apéndice Matemático.

-Cálculo de conmutadores

-Fórmula recursiva de los polinomios de Legendre

-Solución de la parte radial de la función de onda del átomo de Hidrógeno

-Operadores clase T. Aplicación al átomo de Hidrógeno y la partícula libre.

Referencias.


1-Introducción.

Para que la ciencia sea posible debe haber luz y debe haber un observador, es decir,

alguien que sea capaz de extraer información de la luz. La limpieza intelectual mas

elemental exige reconocer a la luz como el mensajero del conocimiento; y como suele

decirse “no debemos matar al mensajero”.

Durante decenas de miles de años la humanidad observó las estrellas y planetas.

Esas luces del firmamento se ordenaron en constelaciones de modo que a lo largo del

tiempo llevaron a los observadores a la idea de un movimiento cíclico y repetitivo de

los cielos; llegando a pensar incluso que el tiempo mismo era cíclico. Como dijo

Einstein, “Nuestras ideas dependen de nuestras experiencias como la ropa de la forma

de nuestros cuerpos.” Se distinguieron las estrellas del firmamento por su brillo y su

color, dos propiedades de la luz que ahora sabemos son una medida de la potencia de

emisión de energía y la temperatura de la estrella respectivamente, o de cualquier otro

emisor térmico de luz. La luz y la geometría están unidas desde el origen. Es fácil

observar una parte de la luz procedente directamente del sol que atraviesa un

pequeño orificio en una habitación oscura. Ese cilindro de luz pasa a ser un cono si la

fuente de luz está relativamente cerca del pequeño agujero; este fenómeno produce

una imagen invertida en las cámaras oscuras. Pero cuanto mas se aleja la fuente mas

se parece el cono de luz a un cilindro. Evidentemente el sol está muy alejado y los

rayos componentes de su luz nos llegan por tanto prácticamente paralelos unos

respecto a otros. Estos rayos no son mas que pequeños cilindros por los que circula

una determinada cantidad de luz. Los rayos de fuentes de luz cercanas no son en

general paralelos entre sí y proyectan sombras menos nítidas (penumbra). Los rayos

pueden ser reflejados en espejos, también pueden ser absorbidos por la materia o

cambiados de dirección (refractados) sin ser absorbidos en medios transparentes

como el cristal de una lente. La refracción y la reflexión de la luz son la base de los

microscopios y telescopios ópticos; auténticos símbolos del observador y de la ciencia.

La refracción de un rayo de luz solar al pasar por un prisma triangular transparente

revela que nuestro rayo es la unión de rayos de distintos colores. Si entra un cilindro

de luz al prisma sale una dispersión angular de rayos coloreados limitada por los

colores violeta y rojo; esto es debido a la ley de refracción y a que la velocidad de la

luz en el prisma depende del color de cada rayo. No es el prisma el que produce los

colores, los colores ya estaban en el rayo incidente. Si se coloca un termómetro sobre

los rayos de salida no se observa ningún efecto térmico asociado a ningún color, salvo

cuando se coloca mas allá del extremo rojo (infra-rojo) en una zona donde no se

aprecia luz a simple vista. Este efecto térmico también se da en el rayo de sol original

y por tanto hay mas “luz” de la que vemos a simple vista. La dispersión de rayos que

sale de un prisma hace que los rayos de distintos colores no sean paralelos entre sí al

salir del prisma, pero los rayos de un mismo color en el haz de salida si lo son. Con un

pequeño telescopio (catalejo) montado adecuadamente en la dirección de salida de

uno de los colores y a cierta distancia del prisma se puede ver exclusivamente el color

asociado a esa dirección de salida. En la interpretación ondulatoria de la luz el color

está asociado a la longitud de onda, y al ser este un número real …¿existen infinitos

colores?. Utilizando un pequeño catalejo enfocado sobre la luz que sale del prisma y

montado todo en una mesa giratoria (espectroscopio) es posible ver si la luz del sol

emite rayos en una longitud de onda muy precisa o no lo hace. Se descubren así las


líneas oscuras de Fraunhofer : colores (longitudes de onda) no incluidos en la luz

solar. Con el tiempo se descubre la forma de atomizar la materia aplicando calor o

corriente eléctrica que descompone las moléculas. El propio sistema de atomización

hace que los átomos “estén calientes” y emitan luz que puede ser analizada en el

espectroscopio. Se observa que la luz que emiten los átomos solo incluye una serie de

colores (longitudes de onda) discretos y no gamas mas continuas similares la luz del

sol. Este conjunto discreto de líneas representa una huella dactilar distintiva del átomo

correspondiente en diferentes compuestos químicos. Posteriormente se desarrollan los

espectros de absorción en los que una muestra atomizada absorbe luz de una fuente.

Se constatan las mismas longitudes de onda para la luz absorbida y para la luz emitida

en el espectro de emisión del mismo elemento químico. Se interpretan las líneas

negras de Fraunhofer como luz absorbida por átomos de gases relativamente fríos

situados en las capas exteriores del sol o en la atmósfera terrestre y se identifican los

gases correspondientes menos uno, el Helio, que era desconocido y fue descubierto y

analizado posteriormente en la tierra.

El experimento de Rutherford revela la estructura interna del átomo :un núcleo que

acumula toda la carga positiva y un conjunto de electrones moviéndose alrededor del

núcleo y que compensan su carga. La física conocida dice que si el electrón se mueve

alrededor del núcleo es una carga acelerada y por tanto debe emitir energía en forma

de radiación. Existe soporte experimental de esto en los aceleradores de partículas y

en el fenómeno Bremsstrahlung, hechos conocidos en la época. La emisión teórica de

energía es tal que el electrón debería precipitarse hacia el núcleo en una fracción

tremendamente pequeña de 1 segundo. Pero el experimento no deja lugar a dudas y

este resultado desata en la física una ola de cambios solo comparables a la

introducción del modelo Copernicano en la mecánica clásica. En 1913 Bohr introduce

un modelo del átomo de hidrógeno similar a un planeta (electrón) orbitando alrededor

del sol (núcleo); pero incluyendo el concepto de cuanto de acción desarrollado por

Planck y Einstein en su explicación de aspectos anómalos (cuánticos) de la interacción

entre luz y materia. El concepto clave del modelo propuesto por Bohr es el de estado

cuántico del electrón : el electrón es capaz de mantener un estado estable y duradero

en el átomo de hidrógeno. El modelo consigue explicar con éxito los resultados

espectroscópicos del átomo de hidrógeno y por tanto la hipótesis del estado cuántico

del electrón se extiende al resto de los átomos como explicación natural de sus

espectros. También fenómenos como el efecto Zeeman [5] o la ley de Moseley [6] se

reinterpretan según la hipótesis del estado cuántico del electrón. Del efecto Zeeman se

derivan conceptos importantes como el de razón giromagnética, spin, interacción spín-

órbita etc. La ley de Moseley supone una ampliación de las predicciones del modelo

de Bohr que introduce el concepto de apantallamiento de carga para átomos

polielectrónicos; concepto que evolucionará hasta el concepto de capas electrónicas

del átomo. Sin el estado cuántico del electrón este se precipitaría al núcleo, los átomos

desaparecerían y nada de lo que consideramos físicamente real existiría. Por tanto

debemos considerar el estado cuántico del electrón algo “duro” y “duradero”, ya que

está en la base de la realidad física. La mecánica cuántica se desarrolla para

obtener una descripción matemática satisfactoria del estado cuántico y sus

propiedades[7]; descripción que resulta matemáticamente compleja y conceptualmente

es una difícil combinación de conceptos clásicos y conceptos cuánticos. Según el

premio Nobel Richard Feynman, “Nadie entiende realmente la mecánica cuántica”.


2-Sistemas de Coordenadas en Mecánica Cuántica.

En física clásica el proceso de medida se introduce teóricamente por medio de los

sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas son una refinada abstracción

de la “vulgar” regla de medida; y en relatividad también del ”vulgar” reloj. Elegimos el

sistema de coordenadas que simplifique mas las medidas que requiere nuestro

problema. Aunque la lógica nos dice que una cosa es definir un sistema de

coordenadas y otra cosa es obtener información (medida) procedente de dicho

sistema, la física clásica asume sin mas que una vez definido el sistema de

coordenadas la obtención de información es inmediata y no requiere ninguna

consideración adicional. Imagine el lector un sistema de coordenadas formado por un

gran conjunto de relojes muy pequeños (puntuales) distribuidos en una zona del

espacio. Los relojes están en reposo respecto al observador y sincronizados entre si;

de modo que cada reloj “conoce” su posición (x,y,z) y la hora actual (t). Una partícula

se mueve en el sistema y queremos saber las posiciones que ocupa a medida que

pasa el tiempo. Es evidente que esta información no es intrínseca a la partícula ni al

sistema de coordenadas, sino que depende de un proceso en que la partícula y el

sistema de coordenadas interaccionan. La forma mas sencilla es que la partícula emita

una señal que capta un reloj próximo, tan próximo como queramos, de modo que en

dicho reloj quedan memorizados los valores (x,y,z,t) asociados a la partícula. Si la

señal emitida es un fotón provocará una reacción en la partícula según el principio de

conservación del impulso mecánico y según el principio de Heisenberg esto llevará

asociado una imprecisión en la posición de la partícula. En caso de partículas

atómicas la imprecisión en la posición puede ser mayor que el tamaño de la propia

partícula. ¿De qué sirve entonces nuestro sistema de coordenadas en el caso de

partículas en el dominio atómico?

La Mecánica Cuántica, partiendo de datos experimentales, fundamentalmente

espectroscópicos, sobre el comportamiento de la materia a escala atómica, propone

un replanteamiento radical de la física introduciendo una serie de nuevos conceptos

fundamentales:

1-Una partícula ya no se representa como una función trayectoria parametrizada por el

tiempo : [x(t),y(t),z(t)] sino como una función ψ(x,y,z,t) compleja ;es decir, con parte

real e imaginaria; en el dominio de todo el sistema de coordenadas y el tiempo. Los

atributos y responsabilidades mas importantes de esta función son

1.1-Su módulo al cuadrado es la densidad de probabilidad asociada a la

localización de la partícula en un volumen diferencial dxdydz entorno un punto

(x,y,z). De esta forma, la integral de esta densidad en todo el espacio debe

existir y valer 1. Siempre supondremos que esta función ψ(x,y,z,t) y sus

derivadas no tienen discontinuidades de ningún tipo.

1.2-Dar cuenta de la dualidad onda/partícula; de modo que puede provocar

fenómenos lineales de interferencia y difracción debido a su carácter complejo;

como el caso de la experiencia de la difracción por doble rendija de Young. De

esto debemos esperar que ψ(x,y,z,t) esté relacionada con una ecuación

diferencial lineal similar a la de Helmholtz [2] y veremos que se trata de la

ecuación de Schrödinger.


Esta función ψ(x,y,z,t) corresponde al estado cuántico de la partícula y representa la

extraña mezcla de probabilidades e interferencias característica de la mecánica

cuántica. Aunque las dimensiones del cuadrado de esta función están relacionadas

con una densidad espacial de probabilidad, es esencialmente adimensional y las

dimensiones de las magnitudes físicas están asociadas a los correspondientes

operadores de ψ. Note el lector que ψ(x,y,z,t) no supone un mayor conocimiento de la

estructura interna de la partícula que sigue considerándose puntual.

Imagine el lector un rayo de luz que incide en un cristal de cuarzo; sabemos que parte

de la luz es reflejada y parte refractada. Si reducimos esto al caso de una partícula

fotón, este fotón estará o bien en la onda reflejada o en la refractada. Pero como el

estado cuántico está asociado a la probabilidad de detección del fotón resulta que

dicho estado cuántico debe incluir la suma de la onda reflejada y la refractada; ya que

en ambas ondas puede ser detectado el fotón. El postulado de probabilidad también

permite definir valores medios o esperados de las magnitudes físicas y de este modo

hacer un contraste con los resultados de la física clásica.

2-La medida de una magnitud física relevante : posición, impulso mecánico y angular,

energía, etc; está asociada a la acción de un operador matemático lineal sobre la

función de onda o estado postulado en el punto anterior. Este operador incluye

derivadas parciales y tiene también parte real y parte imaginaria. Si A es uno de estos

operadores, entonces el conjunto de valores posibles ai resultantes de una medida de

la magnitud correspondiente verifica la ecuación de valores propios del operador:

A ψi(x,y,z,t)=ai ψi(x,y,z,t)

las funciones ψi describen los posibles estados de la partícula. Si conocemos el

operador A, la expresión anterior corresponde a una ecuación diferencial que puede

resolverse obteniendo el conjunto de valores y funciones propias {ai , ψi(x,y,z,t)}

3-Existe un álgebra de operadores cuyo conocimiento es indispensable. Dados dos

operadores A,B se define el operador de conmutación [A,B] = AB-BA. Si el

conmutador no es nulo entonces el resultado de las medidas de A y B no es

independiente del orden en que se tomen y podemos decir que el resultado conjunto

de las dos medidas incluye algún tipo de interferencia o indeterminación. Si el

conmutador es nulo, entonces esta interferencia no existe y los operadores A,B

comparten el mismo conjunto de funciones propias {ψi(x,y,z,t)}, pero con distintos

valores propios. Si el conmutador no es nulo, entonces no existe ningún estado

cuántico ψ(x,y,z,t) que tenga valores bien definidos simultáneamente para las

magnitudes asociadas a los operadores A y B.

Es importante resaltar que sigue siendo básica la existencia de un sistema de

coordenadas al estilo de la física clásica; sin embargo la mecánica cuántica introduce

un nuevo objeto entre el sistema de coordenadas y la medida : el operador. Además

el operador puede escribirse en el contexto del sistema de coordenadas utilizado, es

decir, utilizando derivadas parciales de las coordenadas. Un operador básico es el

impulso mecánico de una partícula cuya forma y ecuación de valores propios es


),,,(),,,(),,(),,,(

,,

tzyxptzyxppptzyxi

izyx

i

zyx

P

La interpretación física del principio de incertidumbre de Heisenberg muestra que no

podemos medir simultáneamente la posición y el impulso mecánico de una partícula.

En términos de operadores, si asignamos un operador posición X de la forma

Xiψ(x,y,z,t)=xiψ(x,y,z,t) (i=1,2,3), el principio de Heisenberg nos dice que no existe

ningún estado cuántico en el que una partícula tenga una posición y un impulso

mecánico definidos con exactitud. Por tanto el concepto clásico de trayectoria de una

partícula no encaja en mecánica cuántica; en cambio adquieren mayor importancia

conceptos clásicos que puede considerarse independientes de la trayectoria, como los

principios de conservación de la energía y el momento angular. El principio de

Heisenberg también indica que el estado cuántico del electrón no es aplicable

exclusivamente en el contexto del átomo, sino que es una propiedad intrínseca de

cualquier partícula. Otros operadores básicos son el momento angular y su módulo al

cuadrado, que puede definirse a partir de los anteriores como

2222;,,),,( zyxzyx

zyxi LLLLPXL

El gradiente es una operación diferencial asociada a un punto, y (x,y,z) es el radio-

vector a ese punto desde el origen de coordenadas. Note el lector que los operadores

presentados son mas bien definiciones y que la mecánica cuántica solo ofrece reglas

heurísticas para la formulación de los operadores. En la sección sobre efecto Zeeman

y Hamiltoniano y en la sección Planteamiento de Hamilton de [8] se explica esto algo

mas. En todo caso existe un álgebra básica de conmutadores; que puede demostrarse

fácilmente. Para cualesquiera operadores A,B,C:

][][][;][][][;][][ CA,BCBA,BCA,CB,CA,CB,AAC,CA,

3-El operador Momento Angular de una partícula en coordenadas esféricas.

Partiendo de la definición anterior, del álgebra de operadores y tal como se desarrolla

en el apéndice, los distintos operadores de momento angular tienen los siguientes

conmutadores

0,,,

],[;],[;],[

222

LLLLLL

LLLLLLLLL

xyz

yxzxzyzyx iii

Según estos resultados y los postulados de la mecánica cuántica si tomamos por

ejemplo el operador Lz vemos que conmuta con L2 y por tanto comparten un conjunto

de funciones propias, sin embargo no es posible añadir mas componentes del

momento angular al grupo, ya que no conmutan con Lz. El cálculo de las funciones

propias del conjunto (L2, Lz) se simplifica expresando estos operadores mediante

vectores cartesianos, pero expresados en coordenadas esféricas. El sistema de

coordenadas cartesiano es preferible de cara a estudiar las condiciones de constancia

de cualquier vector. Para esto podemos aprovechar el álgebra del operador gradiente

desarrollado en el trabajo sobre mecánica de fluidos [1](apéndice matemático). En


este caso podemos transformar el operador gradiente en coordenadas cartesianas por

medio de la inversa de la matriz de giro de la base covariante local en esféricas: GL-1 ,

aplicada al operador gradiente en esféricas. Utilizando la forma matricial (tensorial) del

producto vectorial tenemos

i

i

i

r

rr

rr

rr

i

r

rrr

rr

rr

i

r

rGL

rr

rr

rr

i

rxrrrzyxr

z

y

x

r

z

y

x

r

z

y

x

r

z

y

x

z

y

x

z

y

x

rx

L

L

L

L

L

L

L

L

L

P

P

P

xy

xz

yz

PXL

)cos()tan(

)sin(

)tan()cos()sin(

)sin(

)sin(00

)sin()cos()cos(0

)cos()cos()sin(01

)sin(

0)sin()cos(

)cos()sin()cos()sin()sin(

)sin()cos()cos()cos()sin(

0)cos()sin()sin()sin(

)cos()sin(0)cos(

)sin()sin()cos(01

)sin(

;

0)cos()sin()sin()sin(

)cos()sin(0)cos(

)sin()sin()cos(0

0

0

0

,......,;))cos(),sin()sin(),cos()sin((),,(

1

note el lector que las componentes cartesianas encontradas del operador momento

angular L no dependen de la coordenada r. A partir de esto podemos definir también el

operador cuadrado del momento angular L2=(Lx)2+(Ly)

2 +(Lz)2 en esféricas

)(sin)tan(

)cos()tan(

)sin(

)tan()sin()cos()sin(

)(tan

)sin()(cos

)tan()sin()cos(

)tan()sin()cos(

)sin()tan(

)cos(

)tan()cos()sin()cos(

)(tan

)cos()(sin

)tan()cos()sin(

)tan()cos()sin(

2

2

222222

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

zyx

z

y

x

LLLL

L

L

L

Hasta ahora hemos seguido de alguna forma la mecánica clásica en la definición de

operadores; pero el álgebra nos permite introducir otros operadores que resultarán ser

importantes : los operadores de escalera L±=Lx±iLy. Podemos introducir y calcular

estos operadores en coordenadas esféricas de esta forma

ieiii

iiii

iii

iii

i

yx

zzyxyxyxyxz

)tan()cos()sin(

)tan()sin()cos(

)cos()sin()tan(

)sin()cos()cos()tan(

)sin()tan(

)cos()sin(

, 222222

LLL

LLLLLLLLLLLLLLL

zzi

yx iei LLLLLLLLLLL 2,;0,;,)tan(

2


4-La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el átomo de

Hidrógeno y el operador momento angular. Armónicos esféricos del Laplaciano.

Si el estado cuántico de una partícula ψ(x,y,z,t) se puede tratar como una onda

monocromática que verifica la ecuación de Helmholtz[2] podemos plantear el

movimiento de la partícula en un potencial V(x,y,z). Tomando k como el vector de onda

,la relación de De Broglie entre impulso mecánico y vector de onda y la energía

mecánica E tenemos

),,(),,(),,(2

)(2

0),,(;0),,(

222

2

2222

zyxEzyxzyxVm

rVm

pE

zyxp

kpzyxk

Donde E representa, para bajas velocidades respecto a la luz, la energía mecánica de

la partícula afectada por el potencial V. El apéndice incluye algún matiz adicional a

esta deducción. Se puede presentar la ecuación de Schrödinger como la respuesta al

problema de hallar los estado cuánticos en los que una partícula cargada cancela la

emisión de radiación por carga acelerada y por tanto la energía E debe considerarse

una constante si en el estado cuántico no existe pérdida ni ganancia de energía del

sistema. El experimento de Rutherford muestra que en el interior del átomo actúa un

potencial de tipo Coulombiano V(r) asociado al núcleo atómico central; de modo que

para el átomo de hidrógeno la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo del

electrón en coordenadas esféricas será

),,(),,()(),,(

2

22

rErrVrm

donde E es la energía correspondiente al estado cuántico ψ(r,θ,ϕ). Una condición para

llegar a la ecuación anterior es que el potencial no sea función del tiempo; ya que la

misma ecuación de Helmholtz solo es válida para estados estacionarios,

independientes del tiempo1. Podemos encontrar los estados estacionarios de esta

ecuación mediante la técnica de la separación de variables; de forma similar a como

hicimos en el trabajo sobre la ecuación de onda [2] para el cálculo de las ondas

estacionarias. De esto modo dividimos el estado en dos factores que separan las

variables r y (θ,ϕ) : ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ, ϕ). Por otra parte veremos que la expresión del

Laplaciano de la ecuación de Schrödinger en esféricas incorpora de forma natural al

operador L2 que hemos visto antes.

)()(2

)(

1),(

),(

1

),()(),()()(2

11

2

11

)(sin

1)sin(

)sin(

11

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

rRrVErm

rr

rrR

Y

Y

YrREYrRrVrmr

rrrm

rrr

rrrrrr

rr

L

L

L

1 La ecuación de Schrödinger completa incluye variaciones con el tiempo de la función de onda

y por tanto admite potenciales dependientes del tiempo (ver apéndice).


Siguiendo el método de separación de variables tenemos dos expresiones : a la

derecha una que depende exclusivamente de r y a la izquierda otra que depende

exclusivamente de (θ,ϕ). Siendo todas las variables independientes, esto solo puede

significar que λ es una constante en el proceso de integración de la ecuación de

Schrödinger. Podemos seguir con el procedimiento de separación de variables para

Y(θ, ϕ), pero también aplicar el álgebra de operadores derivado de la Mecánica

Cuántica. Dado que L2 y Lz son operadores que conmutan, estos dos operadores

comparten sus funciones propias. La función Y(θ,ϕ) encontrada en la separación de

variables es una función propia del operador L2 y por tanto también de Lz .

Aplicar los operadores L± a Y(θ,ϕ) generará nuevas funciones propias de L2 y Lz; pero

con la notable diferencia de que para estas nuevas funciones generadas a partir de

Y(θ,ϕ) el valor propio λ de L2 se mantiene (degeneración) y el valor propio m de LZ

aumenta o disminuye en una unidad (no degeneración). Las siguientes fórmulas,

fácilmente demostrables con el álgebra de conmutadores, dan cuenta de estas ideas

imz

zz

eYmYYiY

YmYmYY

YYYY

)(),(),(),(),(

),(1),(),(),(

),(),(),(),(2

2

2

2

L

LLLL

L

LLLL

L

La última ecuación nos dice la forma de Y(θ,ϕ) como producto de funciones de cada

ángulo, lo cual está de acuerdo con la separación de variables. Además, si exigimos

que Y(θ,ϕ) sea una función univaluada de modo que, para (r,θ) fijos Y(θ,ϕ) se repita

cíclicamente cada 2π radianes en la variable ϕ; ya que (r,θ,ϕ) y (r,θ,ϕ+2π) representan

el mismo punto físico, entonces los valores propios (m) solo pueden ser números

enteros : 0,±1,±2,…Aplicando conclusiones anteriores sobre la forma de Y(θ,ϕ), la

ecuación en valores propios para L2 nos lleva a

)()(sin

)()sin()sin(

1

)()(sin

)()tan(

)()()(sin)tan(

),(

2

2

2

22

2

2

2

2

2

m

meeY imim

L

Esta es una ecuación diferencial compleja, pero afortunadamente podemos aplicar

resultados vistos en el trabajo sobre la ecuación de ondas[2]. En este trabajo se

introdujeron los Polinomios de Legendre Pl(θ) en el contexto del desarrollo en serie del

potencial Coulombiano de una carga en reposo localizada fuera del centro de

coordenadas. El lector puede comprobar que tomando m=0 la ecuación anterior se

reduce a la ecuación diferencial de los polinomios de Legendre con la elección

λ=l(l+1), y l=0,1,2,3…Tenemos por tanto que los polinomios de Legendre son un

conjunto de soluciones válido de Y(θ,ϕ) parametrizados por el par de números (l,m=0).

Para l=1 el polinomio de Legendre es cos(θ) y es una función propia de los operadores

(L2,Lz). Si aplicamos los operadores de escalera a esta función tenemos


ii eie

)sin()cos(

)tan()cos(

L

que son las funciones propias correspondientes a (l,m)=(1,±1). Si volvemos a aplicar el

operador escalera para generar las funciones de m=±2 tenemos

0)sin()tan(

)sin(

0)sin()tan(

)sin(

iii

iii

eiee

eiee

L

L

y, por supuesto, se anularán las correspondientes sucesivas aplicaciones de los

operadores de escalera. Esta es una propiedad general y puede demostrarse que,

para un valor dado de l los valores posibles de m son –l ≤ m ≤ l que hace un total de

2l+1 valores posibles para m, incluido m=0. El lector puede comprobar esto para el

siguiente polinomio de Legendre correspondiente a l=2, m=0 : P2(θ)= (3cos2(θ)-1)/2.

En el apéndice se presenta una fórmula recursiva para el cálculo de los polinomios de

Legendre. De esta forma podemos construir un conjunto completo de soluciones

dependientes de dos números cuánticos y de variables angulares Ylm(θ,ϕ). Se puede

demostrar que el conjunto de funciones Ylm(θ,ϕ) es, respecto a funciones arbitrarias de

dos variables angulares f(θ,ϕ), análogo al conjunto de funciones {sin(nx),cos(nx)} para

funciones f(x) de una sola variable. Si según el teorema de Fourier podemos aproximar

una función f(x) como una suma infinita de funciones {sin(nx),cos(nx)}; resulta que se

puede demostrar que podemos hacer lo mismo con los Ylm(θ,ϕ) para cualquier función

de las dos coordenadas angulares esféricas f(θ,ϕ)

),(),(0

l

lm

lm

ml

ml Yff

En este sentido las Ylm(θ,ϕ) son un conjunto completo de soluciones, ya que cualquier

otra posible solución es una combinación lineal de ellas; sin importar si se trata de una

serie infinita. Aunque las funciones Ylm(θ,ϕ) encontradas son complejas se pueden

obtener valores reales tomando las partes real e imaginaria de las combinaciones de

soluciones Ylm(θ,ϕ)±Yl

-m(θ,ϕ). Desde un punto de vista clásico este conjunto de

funciones reales son los armónicos esféricos asociados al operador de Laplace y su

dominio de aplicación excede con mucho la mecánica cuántica : Geodesia,

Sismología, Astronomía, Telecomunicaciones…En mecánica cuántica los Ylm(θ,ϕ)

complejos están asociados a los orbitales atómicos y sus capas electrónicas: l=0 es un

orbital tipo S, l=1 es un orbital tipo P, l=2 es un orbital tipo D…

Para encontrar la forma completa de los estados ψ(r,θ,ϕ) en el átomo de Hidrógeno

necesitamos resolver la parte radial de la ecuación de Schrödinger.

0)()1()(2

)(2)1()()(2

)(

1 2

22

222

2

2

rRllrVEr

mrR

rr

rrllrRrVEr

m

rr

rrR

dividiendo el resultado por r tenemos


0)1(

)(2

)()(

0)(

)1()(2

)(2

222

2

2

22

2

ur

llrVE

m

dr

udrrRruhaciendo

r

rRllrVEr

mrR

rr

r

Para la solución de esta ecuación diferencial se suele hacer notar al lector que se

pueden conseguir soluciones asintóticas para r→∞ que verifiquen la ecuación

Em

kr

erRerrRuEu

m

dr

ud krkr

2

2

22

2 2;)()(0

2

La interpretación probabilista exige que ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ, ϕ) se anule para r→∞ y

debemos elegir el exponente negativo. Note el lector también que para que la solución

asintótica funcione la energía debe ser negativa E<0; lo cual corresponde a un objeto

orbitando alrededor de otro bajo el efecto de una fuerza de tipo newtoniano. En el caso

general suponemos una solución que factoriza el caso asintótico con un polinomio de

índice n

krni

i

ii eraru

0

)(

Sustituyendo esta forma en la ecuación diferencial las soluciones en forma de

polinomio con un número finito de términos solo son posibles si se verifica

r

ZerVln

n

ZemEn

Ze

E

m

4)(;;

1

4242

2

2

222

donde n es un entero correspondiente al índice máximo del polinomio , Z es el número

de cargas elementales del núcleo y l es el número cuántico asociado al momento

angular que hemos visto. Una solución en forma de polinomio con infinitos términos

debe descartarse para asegurar la convergencia asintótica. El número n corresponde

al número cuántico principal, concepto que aparece en el modelo de Borh del átomo

de hidrógeno y que sirve de guía en la ecuación de Schrödinger. El apéndice incluye

un análisis matemático mas detallado.

Podemos hacer cierto contraste de estos resultados con los de la físicas clásica. En el

trabajo [3] Análisis elemental del movimiento bajo fuerza central de tipo Newtoniano se

vio que, independientemente de la trayectoria, se verificaba siempre la siguiente

desigualdad en el movimiento

24

22 m

L

ZeE

Aplicando los resultado anteriores sobre los valores de E y L2 a esta relación tenemos

lnllnll

mZe

n

mZe

)1(

)1(

1

24

1

24

2

22

2

22

debido a que (n,l) son números enteros no cabe la igualdad entre ellos.


5-Teoría general del momento angular de una partícula en mecánica cuántica.

Los resultados que hemos obtenido para el momento angular de una partícula están

en el contexto de un campo central Coulombiano. Sin embargo es posible llegar a

conclusiones sobre los valores y funciones propios de momento angular de una

partícula en cualquier contexto utilizando solamente los principios de la mecánica

cuántica que hemos introducido.

La siguiente lista de formulas se derivan directamente de la definición del momento

angular que hemos utilizado

zz

zyx

yxzxzyzyx

xyzzyx

i

iii

LLLLL

LLLLLLLL

LLLLLLLLL

LLLLLLLLLL

22

2

2222222

0,;,

],[;],[;],[

0,,,

dado que los operadores L2 y Lz conmutan es posible encontrar estados cuánticos ψ

que sean funciones propias de ambos operadores, de modo que

22 ;; baba z LL

donde la desigualdad de valores propios es la relación que se espera entre el

cuadrado de una componente y el cuadrado del modulo de un vector en cartesianas.

En este punto nos vamos afijar en un valor arbitrario a para L2 y el máximo valor

posible bmax para Lz. Dado que suponemos bmax positivo, si aplicamos el operador

escalera L+ a la ecuación en valores propios de Lz para el caso bmax tenemos,

utilizando la lista de fórmulas al principio de esta sección

LLLLLLLLL maxmax , bb zzz

lo cual significaría que hemos encontrado en L+ψ una función propia de Lz con un

valor propio que supera a bmax . Dado que no puede existir una función propia con

estas características debe ser L+ψ=0, es decir, la nueva función propia que hemos

encontrado debe anularse en todas partes. Si aplicamos a este resultado el operador

L- , los resultados de la lista de fórmulas y las ecuaciones de valores propios de L2 y Lz

tenemos

maxmaxmaxmax2

2222 00

bbabba

zzzz

L

LLLLLLLL

Por otro lado, si aplicamos reiteradamente n veces el operador L- a la ecuación en

valores propios de Lz para bmax tenemos, utilizando la asociatividad de operadores

nnz

zzz

zzzz

nb

bb

bbb

LLL

LLLLLLLLLL

LLLLLLLLLL

max

2max

22max

maxmaxmax

..........................

2,

,


el resultado es nuevamente una ecuación en valores propios para Lz con las

correspondientes funciones propias Ln-ψ. En todo caso los valores propios

correspondientes deben verificar

anb 2

max

y por tanto tiene que haber un valor máximo de nmax que no debe ser superado y que

verifica

maxmaxmax ';''

nz nb LL

Si aplicamos el operador escalera L- a la relación anterior obtendríamos una función

propia L-ψ’ con un valor propio menor que el menor posible, lo cual no es posible y por

tanto debe ser L-ψ’=0 en todo punto. Aplicando a este resultado el operador escalera

L+ tenemos

)1(')1(''

0''0''

maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax2

2222

nbnbanbnba

zzzz

L

LLLLLLLL

y recuperando el resultado que encontramos para el valor propio a de L2 tenemos,

debido a la degeneración en el operador L2

2

)1( maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax

nbnbnbbb

dado que nmax es un número positivo que puede ser arbitrario en principio, tenemos

que los valores propios b de Lz pueden adoptar valores 0,±1/2, ±1,…mientras que el

valor propio a de L2 verifican

....1,2/1,0;1 22 lll L

los valores fraccionarios están relacionados con el Spin de partículas como el electrón

(fermiones) y los valores enteros con el momento angular orbital y con el Spin de

partículas como el fotón (bosones). Vemos por tanto que la forma de los valores

propios de L2 que hemos encontrado en el problema del electrón en el átomo de

hidrógeno no es una forma exclusiva de este problema, sino que es un resultado

general para el momento angular de una partícula. En concreto, un electrón de un

átomo con varios electrones debe tener valores propios de L2 y Lz según la forma

lmmlll llz ...1,0;....3,2,1,0;)1( 22 LL

Un ejemplo del nivel de generalidad del resultado anterior es el análisis de los

espectros moleculares de rotación. Una molécula diatómica (N2,ClNa..) puede estar

girando respecto de su centro de masas y tendrá una energía cinética de rotación Er-CM

respecto al centro de masas de valor E r-CM =L2/2I según la mecánica clásica; donde L

es el momento angular respecto al centro de masas e I es el momento de inercia.

Según nuestro resultado tenemos

....3,2,1,0;)1()(2

)1()(22

lI

llElEEI

lllE CMrCMrCMrCMr


en la práctica se puede constatar en moléculas la existencia de líneas espectrales

separadas según la ley anterior, sobre todo en el dominio del infrarrojo lejano y para

valores de l relativamente bajos. Para valores mayores el propio giro provoca efectos

centrífugos que modifican el momento de inercia de la molécula. Algunos núcleos

atómicos, los que no presentan simetría esférica, también tienen asociados niveles de

energía de rotación según la fórmula anterior[4’].

Note el lector que los valores de m semi-enteros suponen una excepción al carácter

univaluado para las correspondientes componentes de la función de onda de forma

Y(θ,ϕ)= Y(θ,ϕ+2mπ); en concreto para el caso del Spin del electrón m=±1/2.

Spin y momento angular total

Siguiendo la mecánica clásica, el momento angular total (J) de un sistema de

partículas se puede descomponer en el momento angular del centro de masas (L) y el

momento angular de las partículas respecto al centro de masas (S)

;;; zzzyyyxxx SLJSLJSLJSLJ

Si identificamos L como el momento angular orbital y S el momento angular de Spín, y

mantenemos que J sigue siendo un momento angular en el contexto de la mecánica

cuántica, entonces debemos analizar la expresión anterior en términos de operadores.

El operador L actúa sobre las coordenadas de una partícula, que podemos asociar con

las coordenadas del centro de masas de la mecánica clásica. Siguiendo la analogía

clásica, el operador S actúa sobre coordenadas internas de la partícula e

independientes de las coordenadas sobre las que actúa L. Debido a esta

independencia de coordenadas los operadores L2, Lx, Ly, Lz y S2, Sx, Sy, Sz conmutan

dos a dos. Por otro lado, elevando al cuadrado la relación vectorial de momentos

angulares tenemos

SLSLJ 2222

Interpretemos la expresión anterior en términos de operadores para calcular los

conmutadores [J2,L2], [J2,S2]. Según las consideraciones precedentes sobre la

dependencia funcional de los operadores L y S podemos poner

0,,,,

0,,,,

2222

2222

zzyyxx

zzyyxx

SLSSLSSLSSLS

SLLSLLSLLSLL

ya que L2 y S2 conmutan con cualquier componente de S y con cualquier componente

de L; y por tanto tenemos

0,2,,,

0,2,,,

2222222

2222222

SSJSSSLSJ

LSJLSLLLJ

y por tanto J2, L2 y S2 conmutan por parejas; es decir, admiten un conjunto común de

estados cuánticos que pueden ser determinados sin incertidumbre y simultáneamente.

De la misma forma podemos calcular el conmutador [J2,Jz]

zzzzzzz SLSLSLSSLLJJ ,2,,, 222


dado que L2 y S2 conmutan con cualquier componente de S y con cualquier

componente de L, los dos primeros conmutadores del lado derecho de la expresión

anterior se anulan. Veamos el comportamiento del conmutador restante, para lo que

utilizaremos las propiedades de conmutación de las componentes propias del

momento angular orbital L y el de Spin S

0,,

,,,,,

],[;],[;],[;],[

,,,

,,,,

yxxyxyyxxyyx

zyyzxxzyyzxxzz

yxzxzyyxzxzy

zzzzyyzxx

zzzzyyzxxzz

iiiii

iiii

LSLSSLSLLSLS

SSLSSLLLSLLSSLSL

SSSSSSLLLLLL

SSLSSLSSL

LLSLLSLLSSLSL

donde el valor nulo final es consecuencia de que Las componentes de L y S son

operadores sobre variables independientes diferentes. En resumen hemos visto que

[J2,Jz]=0, tal como se espera para un momento angular en mecánica cuántica. En

consecuencia el conjunto de operadores J2,L2,S2,Jz,Lz,Sz conmutan dos a dos y por

tanto los estados cuánticos de cualquiera de estos operadores son también estados

cuánticos del resto de operadores. Podemos poner las conclusiones de esta forma

j

j

mmjjj

s

s

mmsss

lmmlll

jjz

ssz

llz

...2

3,

2

1

...2,1,0

;.......

2

3,

2

1

...2,1,0

;)1(

...2

3,

2

1

...2,1,0

;......

2

3,

2

1

...2,1,0

;)1(

...1,0;....3,2,1,0;)1(

22

22

22

JJ

SS

LL

Donde los valores semi-enteros de s y j hacen referencia a partículas como el electrón

(fermiones) y los valores enteros a partículas como el fotón (bosones). Los autovalores

ml y ms, al ser componentes de momentos angulares, tienen la propiedad de no-

degeneración. Esto significa que la relación entre ψ (estado cuántico) y valor propio ml

es biunívoca: dos estados cuánticos diferentes tienen valores propios ml diferentes y

dos valores propios ml diferentes tienen estados cuánticos diferentes. Lo mismo vale

para ms ; y para mj esto también debería ser cierto. Para ver esto suponemos

inicialmente unos valores l y s fijos para los momentos angulares L,S. El valor máximo

de mj correspondiente será mj-max = l+s; pero mj-max = j0 y por tanto j0=l+s. La acción del

operador escalera J- sobre Jz nos lleva a un nuevo estado cuántico que disminuye mj

en una unidad y por tanto será mj=l+s-1. Pero según la relación Jz=Lz+Sz hay dos

formas en que se puede conseguir este resultado:

A-Que ml disminuya en 1 y ms se mantenga

B-Que ms disminuya en 1 y ml se mantenga

evidentemente el estado cuántico resultante de A y el de B son distintos; pero no

puede haber dos estados cuánticos distintos para un mismo valor de mj si exigimos

no-degeneración para el operador Jz . Para solucionar este problema en el dominio

cuántico debemos pensar que una sola de las opciones A,B supone disminuir mj en


una unidad pero manteniendo j0 (ya que 2j0+1 valores son posibles para mj) y que la

otra opción supone disminuir mj pero modificando también j0 ; y es evidente que el

nuevo valor j’0 será j’0=l+s-1= j0-1 el nuevo valor máximo. De este modo podemos

repetir el razonamiento y obtener una serie j0, j’0 , j’’0…. de valores posibles para j (y

por tanto para mj) entre los límites l - s ≤ j ≤ l + s (supuesto s>0).

Dado que L y S son operadores independientes, para unos valores fijos l,s , el número

total de posibilidades para el par (ml,ms) es el producto cartesiano, es decir

(2l+1)(2s+1) pares posibles. Según el resultado anterior l - s ≤ j ≤ l + s , tenemos que

para un l dado hay 2l+1 valores de ml posibles y para un s dado hay según la

desigualdad anterior 2s+1 valores de mj posibles, es decir (2l+1)(2s+1) estados

cuánticos distintos en total; de modo que hemos contado el mismo número de estados

para los pares (ml,ms) y para los pares (ml,mj); como era esperable.

La generalidad de resultados obtenidos sobre los operadores de momento angular

indican que estos operadores serán un componente relevante en muchos de los

análisis de sistemas cuánticos. Por tanto resulta importante conocer las relaciones de

conmutación de estos operadores con otros, lo cual se analiza en la sección

Operadores clase T del apéndice matemático.

6-El oscilador armónico unidimensional en mecánica cuántica.

Análogamente al caso del electrón en el átomo de hidrógeno podemos preguntarnos

por la existencia de estados cuánticos con cancelación de radiación por carga

acelerada cuando dicha carga está afectada por un movimiento oscilatorio armónico.

La imagen clásica de un oscilador es una masa puntual conectada a un muelle y

oscilando en una línea que podemos considerar el eje x de nuestro sistema de

coordenadas. Podemos plantear el operador H asociado a la energía en la ecuación

de Schrödinger independiente del tiempo de esta forma

xik

mE x

x

Px

PHH ;

2

1

2; 2

2

donde podemos reconocer el operador de energía cinética y el operador de energía

potencial elástica. El valor x es la distancia al punto en el que el extremo del muelle no

está ni estirado ni comprimido. Veremos que es posible encontrar operadores de

escalera para los valores propios del operador H de forma análoga al caso del

operador momento angular L. Aprovechando la forma de suma de componentes

cuadráticas podemos escribir el operador H así

m

kki

m

ki

m

ki

m

ik

im

ki

m

k

m

x

xx

xxxx

;],[22

1

22

1

22

1

2

1

,222

1

22

1

22

22

RRHxPR

xPxPH

PxxPxPxP

H

donde ω es la frecuencia propia de oscilación del muelle según la mecánica clásica.

Hemos encontrado la expresión explicita de los operadores escalera, de modo que si


ψ(x) es un estado cuántico del oscilador con energía E, la acción de los operadores de

escalera sobre ψ(x) generan otro estado cuántico posible R±ψ(x) del oscilador con

energía E±hω. Según la mecánica clásica la energía total del oscilador es un número

siempre mayor o igual que cero; por tanto si utilizamos sobre ψ(x) reiteradamente el

operador R-, llegaremos necesariamente a un estado ψ0(x) de mínima energía

posible. Si aplicamos nuevamente el operador de descenso al estado de mínima

energía será R-ψ0(x)=0 , ya que no pueden existir estados cuánticos de energía

menor. Si a este resultado le aplicamos el operador de ascenso R+ tenemos

002

2

02

2

0

2

1

2

1

2,

0,22

1

20

xP

Px

PxxRR

km

i

ikm

P

x

x

x

x

El resultado es la ecuación de Schrödinger para el estado cuántico de mínima energía

del oscilador; y resulta que esta energía mínima no es nula sino un valor positivo

2

1min linealosciladorE

La aplicación reiterada del operador R+ genera los correspondientes estados cuánticos

que aumentan en energía según el número natural n=0,1,2,3…..

002

1 nn n

RRH

Se puede encontrar la función correspondiente al estado cuántico de mínima energía

fácilmente resolviendo la relación R- ψ0(x) =0 en forma de ecuación diferencial

20

000

2exp

000

xmk

A

xmk

dx

dxmki

xi

R

donde A es una constante que puede determinarse en base a la condición de

normalización.

Note el lector que, desde el punto de vista clásico, estamos despreciando la masa del

muelle o elemento flexible del oscilador. Lo cierto es que la mecánica cuántica hace

total abstracción de este punto. En concreto, la teoría de la radiación del cuerpo negro

considera a dicho cuerpo formado por osciladores cuánticos con los niveles de energía

que hemos encontrado; y esto en cualquier rango de frecuencias, sin que se aprecie

experimentalmente alguna desviación atribuible a la masa del muelle.

Por otra parte note el lector que hemos atribuido estados cuánticos estables a

sistemas caracterizados por una fuerza interna atractiva que hace converger a la

partícula hacia un centro de fuerzas, como es el caso del átomo de hidrógeno y el del

muelle. Si el signo de estas fuerzas es opuesto y divergente respecto del centro de

fuerzas los estados cuánticos tal como los hemos presentado dejan de tener sentido.


7-Sobre el efecto Zeeman y el Hamiltoniano en mecánica cuántica.

El espectro óptico de un sistema atómico inmerso en un campo magnético es diferente

al espectro normal del mismo sistema sin campo magnético : cada línea del espectro

normal se desdobla en una multiplicidad de líneas (multiplete) cuando actúa el campo

magnético. Necesitamos por tanto una descripción de la interacción de un electrón

atómico con un campo magnético externo según la mecánica cuántica, pero dado que

esto puede ser muy complejo una forma de proceder es simplificar el problema para el

caso de la interacción de un electrón libre con un campo magnético y contrastar luego

experimentalmente los resultados obtenidos. La descripción clásica de la interacción

de una carga y un campo electromagnético externo por medio del Hamiltoniano en

este sistema simplificado es, utilizando el gauge de Lorenz[8]

qAqP

mH

2

2

1

donde P es el momento canónico de la partícula, q su carga, A el potencial vector

magnético y φ el potencial escalar eléctrico. Aplicando las ecuaciones de Hamilton a H

obtenemos la fuerza de Lorentz actuando sobre la carga q, considerando las

siguientes relaciones que se pueden deducir de las ecuaciones de Maxwell, donde E

es el campo eléctrico y B el magnético

0,,

tA

t

AEAB

Sin embargo ahora vamos a proceder de otra forma : interpretando la ecuación en

términos de operadores cuánticos P,X,A,Φ que definimos de la siguiente forma

),,,(),,,(),,,(;),,,(),,,(),,,(

),,,(),,,(;),,,(),,,(

tzyxtzyxtzyxtzyxtzyxAtzyx

tzyxrtzyxtzyxitzyx

ΦA

XP

X es el operador posición. El operador de Hamilton correspondiente será

Φ

APAAP

PΦAPH q

m

q

m

q

mqq

m

2222

1 2222

mantenemos los productos escalares por que la acción de los operadores no es, en

principio, conmutativa. Si calculamos la acción de esta componente sobre una función

de onda arbitraria ψ tenemos, aplicando el álgebra de campos vista en [1]

AAAiAiAi PAAP

considerando el gauge de Lorenz para un campo electromagnético estático tenemos

00;0

A

ttA

y por tanto el operador de Hamilton queda

Φ

APAPH q

m

q

m

q

m

22

222


Si además tenemos que el campo electico es nulo y el campo magnético es constante

podemos hacer Φ=0 y

BrActeBAB

2

1;

Esta última relación la ponemos en términos de operadores y lo sustituimos en el

operador A•P

BLBPXPBXPABXA 2

1

2

1

2

1

2

1

donde aparece el operador momento angular L. Dado que B es constante elegimos el

eje z de nuestro sistema de coordenadas cartesianas según la dirección de B y

calculamos ahora el operador A2

222

2222

44

1

4

1

4

1yx

BXBXBBXBXBXBXA

y finalmente obtenemos, dado que los operadores L y B conmutan, tenemos el

siguiente Hamiltoniano efectivo

22

222

2

822yxLH

m

BqB

m

q

mz

que puede ampliarse fácilmente para incluir el Spin de la partícula

SLyxSLH )(

822

2222

22

rfm

BqB

m

q

mzz

donde el último término corresponde a la interacción spin-orbita y no corresponde al

efecto Zeeman normal ya que no está afectado por el campo magnético externo;

aunque si depende del campo magnético interno asocia al movimiento del electrón

alrededor del núcleo. La multiplicidad de líneas asociada a la interacción spin-orbita se

pudo detectar cuando mejoró la sensibilidad de los aparatos de medida de espectros y

en su momento histórico, antes de la mecánica cuántica, esta circunstancia

experimental se denominó efecto Zeeman anómalo, ya que es una separación

(multiplicidad) de líneas sin un campo magnético externo.

El análisis de los estados cuánticos asociados al operador H encontrado permite

explicar la multiplicidad experimental de líneas en un campo magnético, tanto en

número como en separación energética entre ellas. Este contraste experimental nos

lleva a postular que

la ecuación de Schrödinger debe construirse a partir del

Hamiltoniano clásico del sistema. Si mantenemos este postulado para un sistema de

muchas partículas iguales sin ligaduras el Hamiltoniano clásico será de la forma

H(r1,r2…rn,p1,p2…pn,t)[8] donde ri indica las coordenadas de cada partícula y pi es el

momento canónico correspondiente2. En el proceso de encontrar la ec. de Schrödinger

los momentos canónicos pi se reemplazan por los correspondientes operadores

diferenciales, lo cual hace que el estado cuántico del sistema de varias partículas

iguales sea de la forma ψ(r1,r2…rn,t).

2 Ver sección Planteamiento de Hamilton de [8].


8-Hacia la segunda cuantización.

Los átomos con varios electrones también presentan espectros discretos de emisión y

absorción similares al hidrógeno y esta evidencia experimental significa que el estado

cuántico también existe en los sistemas de muchas partículas iguales. Otro caso de

sistema de muchas partículas, fotones en este caso, es el campo de radiación de

ondas electromagnéticas. Clásicamente todos los puntos de un medio afectado por

una onda sufren una oscilación armónica. En el caso de los fotones el medio que

oscila es el campo electromagnético, el cual se puede ver como una distribución de

osciladores donde el campo resulta de algún modo dilatado y comprimido como si

fuese un muelle. La cuantización del campo electromagnético es un postulado

introducido por Einstein en el contexto del efecto foto-eléctrico. Se conoce por

segunda cuantización el desarrollo de la mecánica cuántica encaminado al estudio de

sistemas de varias partículas. Es de esperar que la mecánica cuántica ofrezca alguna

herramienta teórica para estudiar los sistemas de varias partículas iguales, y a partir

de la sección anterior sobre el oscilador armónico podemos desarrollar algunos

conceptos en este sentido.

A partir del los operadores de escalera R± podemos definir los operadores N± de esta

manera

NNR

NR

N ,;

donde α± son valores constantes. Elegimos estos valores de modo que satisfagan las

siguientes condiciones

ii ee

,

11,

**

NN

NN

es decir, N± son operadores conjugados y su conmutador es la unidad. El valor del

argumento θ es arbitrario. Vamos a abstraer estos resultados para un operador N y su

conjugado N* y recordando el álgebra de conmutadores tenemos

1],[;][][][ * NNCA,BCBA,BCA,

a partir de estas relaciones vamos a analizar las propiedades de conmutación del

operador N* N del siguiente modo

)(1],[],[

],[

)(1],[],[

],[

*******

*****

****

**

***

**

**

*

c

d

NNNNNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNN

NNNNNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNN

Imaginemos que ψ es un estado cuántico propio del operador N*N con autovalor n.

Entonces las relaciones anteriores nos llevan a lo siguiente

*****

**

*

)1(1

)1(1

NNNNNNN

NNNNNNNNN

n

nn


es decir, Nψ es también un estado propio de N*N pero con un autovalor n-1 y N*ψ es

también un estado propio de N*N pero con un autovalor n+1. Veamos que pasa ahora

con N2ψ y (N*)2ψ de esta forma utilizando asociatividad de operadores y resultados

anteriores

2*2**

2*2**

2*****

2******

***

22*

22*

2*2*

2*

*

)2(

)1(1

11

)1()1(1

)2(

)1(11

)1()1(1

NNNN

NNNN

NNNNNNN

NNNNNNNNNNN

NNNN

NNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNN

n

nnn

n

nnn

es decir, N2ψ es también un estado propio de N*N pero con un autovalor n-2 y (N*)2ψ

es también un estado propio de N*N pero con un autovalor n+2. El lector puede

comprobar por inducción que se verifica para cualquier valor natural k

kkkk knkn **** )(;)( NNNNNNNN

Por tanto podemos interpretar físicamente el operador N*N como el número de

partículas del sistema, el operador N como eliminación de una partícula en su estado

(partícula-estado) y el operador N* como creación de una partícula-estado.

En el caso de los sistemas de varias partículas de la 2ª cuantización también existen

operadores similares a estos, pero hay diferencias. En el caso del oscilador armónico

existe un solo operador de creación y uno solo de eliminación válido para todos los

estados, pero en segunda cuantización existe un operador de creación y uno de

destrucción distinto y específico de cada estado de la partícula. El producto de ambos

operadores representa el número de partículas de dicho estado. Si en un átomo

polielectrónico un electrón cambia de estado, en términos de operadores se destruye

la partícula-estado inicial, se crea la partícula-estado final, disminuye en 1 la ocupación

del estado inicial y aumenta en 1 la ocupación del estado final. El contexto matemático

de la segunda cuantización es el espacio de Hilbert y necesita un nivel matemático

superior. Todo lo expuesto en este trabajo y otros aspectos como la teoría de la

medida o la suma de momentos angulares en mecánica cuántica admite una

interpretación determinada en el álgebra del espacio de Hilbert.

9-El propagador.

El propagador es una función G(r,t,r’,t’) que establece la probabilidad de que una

partícula efectúe el desplazamiento r→r’ en el intervalo de tiempo t→t’. Esta función

corresponde a la función de Green [2] para la ecuación de Schrödinger completa,

incluyendo el tiempo

)'()'()',',,(2

22

ttrrtrtrGt

iVm


10-Apéndice Matemático

Cálculo del conmutador [Lx,Ly] en cartesianas

zyx

zyxyzxzyzxz

yzzxyxzyzyxzxzyzzxzxyzyx

xyzxyz

z

y

x

i

ixyzxzyzxzy

zxxyzzyzxzyxzyzyxzxzzy

yxxzzy

xy

xz

yz

i

LLL

L

LL

L

,

,1

;,,

0

0

0

2222

2

Cálculo del conmutador [Lx,Ly] en esféricas

Cálculo conmutadores de L2

0,,,

0

0],[],[],[],[,,,,,

222

2222222

LLLLLL

LLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

xyz

xyyxyxxy

yzyyyzxzxxxzzzyzxzzyxzz

i

La ecuación de Helmholtz y la de Schrödinger

Históricamente la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno fue un modelo

mas, creado a partir de las leyes y experiencias conocidas, incluyendo el

comportamiento ondulatorio del electrón y la formula de DeBroglie p=h/λ además del

principio de conservación de la energía mecánica y el modelo de Rutherford del átomo

como hacía el modelo de Borh. Sin embargo el desarrollo del modelo de Schrödinger

toca fondo revelando el papel crucial de los operadores matemáticos en mecánica

cuántica. La solución del modelo de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno mediante

separación de variables pasa por considerar los valores propios del operador L2, con

unidades de momento angular al cuadrado. A partir de aquí se plantea el problema de

encontrar el operador vectorial L cuyo cuadrado corresponde con el L2 de la ecuación

de Schrödinger; lo que lleva al desarrollo del álgebra que hemos visto sobre el

operador de momento angular y sus componentes.

zyx

xyyxyx

LiLL

LLLLi

LLi

],[)(tan)(sin

)cos()(tan

)sin()sin()(tan

)cos()sin()tan(

)sin()cos()tan(

)cos()tan(

)tan()(cos)sin()cos()cos(

)(tan)sin()sin(

)tan()sin(

)cos()tan(

)cos()sin()(tan

)cos()cos()sin()tan(

)(sin

)tan()cos()sin()cos(

)tan()sin()cos(

)tan()sin(

)tan()cos()sin(

1],[

1

22

22

22

2

2

22


La ecuación de Helmholtz[2] describe la propagación de ondas en medios lineales y

suele considerarse que el parámetro k es constante, en correspondencia con una

longitud de onda constante. Sin embargo es posible aplicar la ecuación de Helmholtz a

la propagación de luz en un medio refractivo cuyo índice de refracción varia

suavemente con la posición : n(r); ejemplo práctico de esto es la fibra óptica. Dado que

la frecuencia ω de una onda monocromática se mantiene constante, esto supone una

variación con la posición en la longitud de onda, y por tanto k(r). Lo cual acerca

formalmente la ecuación de Helmholtz a la de Schrödinger

)),,((2

)(;0),,()(

0),,()),,((2

),,(),,(),,(2

2

222

2

222

zyxVEm

rkzyxrk

zyxzyxVEm

zyxEzyxzyxVm

que corresponde a una ecuación de Helmholtz no homogénea con parámetro κ

constante; pero cuya solución particular se complica pues la función del 2º miembro

depende también de dicha solución ψ.

Podemos seguir la analogía con la ecuación de Helmholtz y suponer soluciones de la

ecuación de Schrödinger completa ,incluyendo la variable tiempo, de la forma

ψ(x,y,z)e-iωt [2]. La relación de Planck E=ħω permite interpretar la frecuencia como

energía de modo que tenemos la forma ψ(x,y,z)e-i(E/ħ)t. Según los postulados de la

mecánica cuántica el operador correspondiente a la ecuación de Schrödinger debe ser

lineal y por tanto no puede depender de productos de derivadas, de modo que

podemos tomar la siguiente forma del operador

1

2

nn

n

nt

donde introducimos el Laplaciano como única componente espacial y suponemos que

no existen derivadas segundas cruzadas del tipo ∂2/∂x∂t de forma que sea posible

aplicar el procedimiento de separación de variables en el operador. Si aplicamos este

operador a la solución propuesta tenemos

n

n

n

n

n

n

nn

n

i

Eizyxzyxt

Ei

tE

iE

izyxzyxtE

itE

izyxt

),,(),,(exp

exp),,(),,(expexp),,(

2

22

En el caso en que α, β y γn no dependen del tiempo, entonces la expresión entre llaves

es una ecuación independiente del tiempo que debe corresponder con la ecuación de

Schrödinger independiente del tiempo haciendo las siguientes identificaciones

0;;),,(;2

111

2

niE

EizyxV

m

la correspondencia exige que el operador solo dependa de la derivada parcial primera

en el tiempo, ya que no existen términos dependientes de potencias de la energía

superiores a la primera en la ecuación independiente del tiempo. Para el proceso de

identificación hemos necesitado considerar que el potencial V no es función del


tiempo, pero en el caso general se considera que el potencial también puede depender

del tiempo. Obtenemos de este modo la ecuación de Schrödinger completa

),,,(),,,(),,,(2

0),,,(),,,(2

22

22

tzyxt

itzyxtzyxVm

tzyxt

itzyxVm

ecuación que describe la evolución en el tiempo de la función de onda. El complejo

conjugado de la ecuación de Schrödinger completa es una ecuación diferencial

diferente debido a la presencia de la unidad imaginaria y por tanto si ψ es una solución

de la ecuación de Schrödinger completa entonces su conjugado ψ* no lo es. Esto no

ocurre en el caso de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y por tanto

este comportamiento distintivo está asociado a la variable tiempo. Note el lector que

hemos utilizado para las funciones de onda exponenciales de la forma e-i(E/ħ)t con signo

negativo explícito en el exponente, pero no con signo positivo. En este punto nuestro

desarrollo no justifica la forma de la ecuación de Schrödinger completa, y de hecho

esta ecuación se considera un postulado de la mecánica cuántica en la forma

),,,(),,,( tzyxt

itzyxH

donde H es el operador derivado del Hamiltoniano clásico del sistema físico

correspondiente.

Fórmula recursiva para los polinomios de Legendre

Según se presenta en [2] tenemos para los polinomios de Legendre

)cos(;)(1

20

2/122

x

r

RxP

rRrxRr

l

l

l

derivando respecto de la variable R tenemos

1

0

22

0

0

222/122

0

2/322

)(2)(

)(1

22)(1

22

22

l

l

lll

l

ll

l

l

l

l

l

l

RxPlrRrxRrRxPrRrx

r

RxP

R

l

rRrxRrRrxRrRrx

r

RxP

R

l

rRrxRr

rxR

debemos ahora igualar los términos correspondientes a la misma potencia de R, lo

que nos dará la fórmula recursiva para los polinomios de Legendre

xxPxPxlPxxPlxPl

RxPxlrRxPrlRxPrlRxPrRxPxr

llRpotenciayllRpotencia

RxPxlrRxPlrRxPlrRxPrRxPxr

lll

ll

lll

lll

lll

lll

l

ll

lll

lll

lll

lll

l

)(,1)(;)()(12)(1

)(2)(1)(1)()(

11

)(2)()()()(

1011

11

11

11

11

111211


Solución de la parte radial de la ecuación de Schrödinger

La parte radial encontrada es esta

0)1(

4

2,

2;0

)1()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

ur

ll

rk

dr

ud

mZemEku

r

llrVE

m

dr

ud

Introducimos primero una función u(r) en forma de producto de una serie infinita por la

parte asintótica calculada

0)1(2)1(

0)1(

2)1(

2)1(

)(

0

2

0

1

1

1

2

2

02

2

0

2

1

1

2

2

0

2

1

1

2

2

2

2

01

1

0

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

kr

n

nn

rallrarnakrann

erar

ll

rkerakernakerann

erakernakeranndr

ud

erakernadr

du

eraru

separamos la expresión anterior en dos partes, una con potencias de r positivas o

nulas y otra con potencias negativas. Reajustamos los correspondientes índices de los

sumatorios para utilizar un solo índice

0)1()1()1(2)1(

0)1()1(2)1(

110

20

1

111

11

20

1

11

10

1

1

1

1

1

11

rallarallrallankaann

rarallrallrararnakrann

n

nnnnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

La anulación de los coeficientes de las potencias negativas indica que para r-2 : si l≠0

→ a0=0 y para r-1 : si l=0 →a0=0 y por tanto a0=0 siempre. De modo que el resultado

es

1;2)1()1(

1;0)1(

1

1

nknallnna

nall

nn

Vemos que los coeficientes con n ≤ l resultan nulos : an=0; pero para n=l es posible

que an+1 no se anule, rompiendo la cadena de coeficientes nulos para n>l. A partir de

la fórmula de recurrencia y para valores n>>l,β la fórmula se convierte en

,;)1(

21 lnn

k

a

a

n

n

y podemos ver que esta relación entre coeficientes corresponde a la serie de Taylor

en el punto r=0 de la exponencial exp(2kr)


0

2 2!

1

n

nkr krn

e

lo cual conduce a un comportamiento asintótico divergente para u(r) y también para

R(r), situación incompatible con la interpretación probabilista de la función de onda

r

e

r

rurRLimeeeruLim

kr

rkrkrkr

r

)()(;)( 2

para evitar esto la fórmula de recurrencia de los coeficientes debe llegar a un valor

nulo para alguno de los coeficientes n0>l lo cual introducirá una nueva cadena de

coeficientes nulos a partir de n0+1 y transforma la serie infinita en un polinomio. Esto

conduce a la fórmula para los niveles de energía del átomo hidrogenoide

2

22

22210

1

424020

)1()1(

2)(

n

ZemEnkkn

llnn

knaann nn

Del desarrollo hecho, podemos decir que el número de términos del polinomio

asociado a u(r) es igual a n-l y las potencias de r van de l+1 a n.

krni

li

ii

krnl eraerLru

1

)()(

De este modo para cada combinación (n,l) podemos introducir en la ecuación

diferencial que abre esta sección la función u(r) con los términos polinómicos

adecuados y resolver el valor de los coeficientes de estos polinomios; determinando

completamente la solución u(r) para los valores (n,l) prestablecidos. La ecuación

diferencial de los polinomios Lnl debe ser

0)()1(

)(2)(0)()1(

)(22

2

2

2

2

2

rL

r

ll

rrL

dr

dkrL

dr

derL

r

ll

rkerL

dr

d nl

nl

nl

krnl

krnl

Tomemos el caso n0=2 y l=0, correspondiente a un orbital 2S

04

022

0222222

2;2;)(

2

12

212122

21212

22

20

2

21

202

21

2

1

20

ak

aka

raaraakararar

raaka

adr

Ldraa

dr

dLrarararL

i

i

ii

La segunda ecuación de la llave permite que a2≠0, ya que β-4k=0, y sustituyendo estos resultados en la primera ecuación tenemos

4exp

41exp

)()(

41

202

012

rrakr

r

rLrRaa


el valor a1 debe ser el adecuado a la normalización de la función de onda completa, incluyendo la parte angular : Rn

l(r)Ym

l (θ,φ). Operadores clase T La generalidad de resultados obtenidos sobre los operadores de momento angular,

sobre todo J, indican que estos operadores serán un componente relevante en

muchos de los análisis de sistemas cuánticos. Por tanto resulta importante conocer

las relaciones de conmutación de estos operadores con otros como son el operador

posición X y el operador momento lineal P. En los cálculos que siguen utilizaremos

coordenadas cartesianas y el símbolo σmnl introducido en la sección sobre el efecto

Zeeman.

Conmutadores del tipo [L,X] en coordenadas cartesianas

nllnnnnllnmnlnm xxxxxxi ],[ XL aplicando la derivación por partes del primer término de la llave

nnllnnnllnnnnlln xxxxxxxxxx

resultando

lmnlnm i XXL ],[

Conmutadores del tipo [L,P] en coordenadas cartesianas

nllnnnnllnmnlnm xxxxi 2

],[ PL

aplicándo la derivación por partes en el segundo término de la llave

lnnllnnlnlnnnnllnnllnn xxxxxxxx

resulta

lmnllmnlnm ii PPL 2

],[

Por otro lado, los resultados previos del texto indican que también se cumple

lmnlnm i LLL ],[

Tenemos por tanto una serie de operadores vectoriales, que identificaremos como

clase por la letra T, que se comportan de manera similar respecto al conmutador con

los operadores de momento angular Lm. Podemos comprobar rápidamente que la

clase T se comporta igual con los operadores Jm de momento angular total

lmnlnmmmm i TTJSLJ ],[

dado que las componentes del operador S conmutan con los componentes analizados

de la clase T( L,P,X ) : [Sm,Tn]=0

Consideremos ahora el siguiente conmultador

lnnlmnlnmnnnmnnm i TTTTTJTTTJTTJ2121212121 ],[],[],[


donde hemos aplicado la propiedad operacional [A,BC]=[A,B]C+C[A,B] vista en la

sección sobre sistemas de coordenadas en mecánica cuántica. Sumando el resultado

anterior para todos los valores del índice n tenemos

00],[],[ 2121212121212121 nllnlnnl

n

lnnlmnlm

n

nnm ii TTTTTTTTTTTTTTJTTJ

en resumen, tenemos estos resultados para los operadores vectoriales clase T

,....;0],[;],[ 21JS,L,P,r,TTTJTTJ mlmnlnm i

Podemos introducir un operador escalera genérico en la clase T; T+=Tx+iTy. Veamos

sus propiedades de conmutación con las componentes de J

TTTTJ

TTJ

TTJ

TTTTJTJ

xyz

zy

zx

llmllmyxmm

iim

im

m

iii

],[);3(

],[);2(

],[);1(

],[],[ ''21

El operador tipo escalera de J será J+=Jx+iJy y sus propiedades de conmutación con

Jz son

TTJ

TTTTTJTJTJ

],[

],[],[],[ 2312

132

z

xyxyzyzxz iiii

Veamos el conmutador de J2 con T+

TJJTTJJJJTTJJTTJJTTJJTTJJ

TJJJTJTJ

TJTJTJTJJ

zzzyxyxzzzzyyzzxxz

mmmmm

zyx

iiii ],[

],[],[,

,,,],[

2

222

aplicando los resultados sobre los conmutadores [J+,Tz], [Jz,T+] tenemos

TJTJTTJJTJ

TJTJTJTTJTTJJTTJJTTJJ

2222],[],[

],[

zz

zzzzzzzz

Como comprobación, si se aplica este resultado a T+=L+=Lx+iLy , Jz=Lz+Sz se obtiene

el resultado correcto [J2,L+]=0, una vez evaluando el conmutador [S•L,L+] procedente

del cuadrado de J; pero para el resto de operadores de la clase T este conmutador no

tiene por que anularse. Si aplicamos este conmutador a un estado cuántico con el

máximo valor de su número cuántico mj, es decir, mj=j; estado que nombramos ψjj,el

resultado anterior produce

jjjj

jjjjjjjjjjzzjjjj

jj

jjj

TTJ

TTTTJTJTJTTJ

2

22

)2)(1(

22)1(22 2222


donde se ha aplicado J+ψjj=0 ya que mj no puede aumentar. Por tanto T+ψjj es una

nuevo estado cuántico con un valor del número cuántico j aumentado en 1. Además,

utilizando el conmutador [Jz,T+]=ħ T+ , vemos inmediatamente que T+ψjj es un estado

con el número cuántico m aumentado en 1. En resumen, T+ψjj produce un resultado

proporcional a un estado cuántico con un aumento simultáneo en una unidad de los

números cuánticos m,j

1,1, jjjj T

siendo T un operador vectorial clase T, excepto L ,S.

Ejemplos: átomo de hidrógeno y partícula libre.

Supongamos un estado cuántico en un estado m=0,j=0 y que solo dependa de la

coordenada radial r;:ψn00(r) un ejemplo de esto son los estados S del electrón en el

átomo de hidrógeno. Si le aplicamos el operador P+ tenemos, según la regla de la

cadena de derivadas

dr

rd

ri

dr

rd

riyxiriir nn

nyxn

)(1)(1)()( 0000

0000

XP

aplicando otra vez P+ al resultado nos encontramos con el producto P+ X+ que resulta ser conmutativo

0, yxyx iiyxiyxiiXP

lo que nos permite un cálculo sencillo de las siguientes iteraciones de P+

)(1

)(

)(1)(1)(1

)(

0000

00

2

2000000

2

rdr

d

rir

rdr

d

ri

dr

rd

ri

dr

rd

rir

n

l

l

nl

nnn

n

XP

XPXXPP

el operador X+ actúa sobre una función de r que podemos llamar f(r) .Si expresamos X+ en coordenadas esféricas tenemos

)()(sin)()sin()sin()cos()sin()(

)()sin()sin()cos()sin()()sin()sin()cos()sin()()(

rfrerfrirf

rrfirfirrrfiyxrf

lilllll

X

X

sustituyendo este resultado en el anterior y continuando el razonamiento

illll

n

l

lnl

llnlnlln

l

lilll

nl

eY

rdr

d

rrrR

YrRrrdr

d

rreir

)(sin),(

)(1

)(

),()(),,()(1

)(sin)(

00

0000 P

encontramos términos proporcionales a las partes radial y angular de ψnll. El estado cuantico ψnlm genérico se obtienen a partir del ψnll aplicándole repetidamente el operador escalera L- ,que reduce en una unidad el número cuántico m


nll

mlnlm

L

Podemos aplicar estas conclusiones directamente al caso de una partícula libre

(potencial V=0). Dado que los operadores H, L2 y Lz conmutan entre si, para un estado

cuántico arbitrario ψklm y considerando la fórmula de DeBroglie p=ħk tenemos

klmklmzklmklmkklmkklm mllm

k

m

pEE

LLH ;)1(;

22; 22

22

El estado cuántico para l=0,m=0 solo tiene parte radial en la ecuación de

Schrödinger(H), cuyo valor se ha calculado en una sección previa del texto

0

2,0,0;0

)1()(

2)()(

2

2

2

2

222

2

ukdr

ud

m

kEVlu

r

llrVE

m

dr

udrrRruhaciendo

la solución general de esta ecuación es de la forma u=A0sin(kr+φ0) y obtenemos la

única solución libre de discontinuidades en todos los puntos para la parte radial R(r)

así

kr

krrRkr

kru k

)sin()()sin(

1)( 00

que resulta ser una función de cuadrado no integrable, lo cual representa de hecho

una excepción a los postulados propuestos en la sección 2 y de hecho un nuevo tipo

de estado cuántico en la teoría, atribuible al carácter libre de la partícula. Podemos

representar la parte radial del estado cuántico genérico de una partícula libre como

)(),(;)sin(1

)( rRYkr

kr

dr

d

rrrR nllmklm

l

lnl

cuya parte radial, a falta de una constante de proporcionalidad, corresponde con una

función de Bessel esférica.

Referencias, en esta misma web por este mismo autor [1]Introducción a la mecánica de fluidos

[2]Sobre la ecuación de ondas

[3]Análisis elemental del movimiento bajo fuerza central Newtoniana.

[4]R.H.Dicke/J.P.Wittke.Introducción a la mecánica cuántica. Ed.Libreria General-1975

[4’]L.L.Goldin,G.I Nóvikova imntroducción a al Física Cuántica Ed.MIR-1988

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Moseley´s_law

[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect

[7] https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_cuántico

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state

[8]Introducción a la mecánica analítica.

https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect

https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_cu�ntico

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state

Enrique Cantera del Río Apuntes de Mecánica Cuántica 1...

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