Ensayo 2 PSU Matemáticas

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___________________________________________________________________ www.fmat.cl 1 PSU FMAT Selección de alumnos 1. = - - + 3 2 4 6 5 2 3 2 A) 3 1 B) 4 3 C) 20 11 D) 6 1 1 E) 24 7 2. Si los 4 3 de n es igual a 12 1 , entonces ¿cuál(es) de los siguientes valores puede tomar n? I) 432 48 II) 45 5 III) 3 1 IV) 63 7 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo I, II y IV 3. El valor de 0,11 : 2,2 : 0,5 es A) 0,1 B) 0,01 C) 0,2 D) 10 E) 20

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PSU FMAT Selección de alumnos

1. =−

−+

324652

32

A) 3

1

B) 43

C) 2011

D) 611

E) 247

2. Si los

43 de n es igual a

121 , entonces ¿cuál(es) de los siguientes valores puede tomar n?

I) 432

48

II) 455

III) 31

IV) 637

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo I, II y IV

3. El valor de 0,11 : 2,2 : 0,5 es

A) 0,1 B) 0,01 C) 0,2 D) 10 E) 20

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4. =−−−− 111 )34(

A) -12 B) -1 C) 12

1 D) 1 E) 12

5. Si el numerador y el denominador de una fracción, distinta de 1, se disminuyen en 5

unidades, el valor de la fracción resultante es el inverso multiplicativo de la fracción original, entonces la suma del numerador y el denominador de la fracción original es

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) faltan datos para obtener la suma.

6. En un grupo de personas, toda persona come carnes y/o verduras. El 70% come carnes y

el 40% verduras. Si 40 personas comen carnes y verduras, entonces el total de personas es

A) 500 B) 400 C) 200 D) 150 E) 110

7. ¿Cuál es el número que viene en la siguiente sucesión? 1,1,2,4,7,13,24, ...

A) 35 B) 37 C) 39 D) 43 E) 44

8. Pedro dice a Simón: “ tengo dos veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que

tu tienes, y cuando tengas la edad que tengo, nuestras edades sumarán 63 años”, ¿Cuál es la edad del menor?

A) 21 años B) 28 años C) 42 años D) 18 años E) 15 años

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9. El siguiente gráfico muestra como varía la velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista de 3 km durante su segunda vuelta.

fig.1

¿Sobre cuál de los 5 diseños de pistas, se desplazó el auto para generar el gráfico de velocidad de la figura 1? P es la partida.

DISTANCIA RECORRIDA EN LA PISTA (km)

VELOCIDAD (Km/h)

160

100

60

120

0,3 1,3 2,5 3,0

PP

P

P

PA)

B)C)

D) E)

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10. Si 1x22

3x250

+−

+= , entonces x es igual a

A)

67

B) 611

C) 61

D) 61

E) 65

11. Al dividir x2m+3 – x2m+1 por x –1, resulta

A) x2m+2 B) x2m+1 C) x2m+2 + x2m+1 D) x2m+1 – x2m-1 E) x2m+2 + 1

12. Sean a, b, c y d naturales, a < 2b, b< 3c y c < 4d. Si d < 100, entonces el mayor valor

posible para a es

A) 2.367 B) 2.375 C) 2.391 D) 2.399 E) 2.480

13. Si x ≥ 0, entonces =xxx A) xx B) 4 xx C) 8 x D) 8 3x E) 8 7x 14. El número de términos en el desarrollo de la expresión [(a + 3b)2(a - 3b)2]2 cuando se ha

reducido, es

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

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15. Si x > y > 0, entonces =xy

xy

xyyx

A) xy

)yx( −

B) yx

yx −

C) 1 D)

xy

yx −

E) yx

)yx( − 16. Al racionalizar la expresión

5322

−+, se obtiene

A)

61563 ++

B) 61026 +−

C) 101062 ++

D) 6

1062 −+ E) ninguna de las anteriores

17. Si 3

r1r2=

+ , entonces =+ 3

3

r1r

A) 1 B) 2 C) 0 D) 3 E) 6

18. El menor número natural por el cual hay que multiplicar 756 para obtener como resultado

un cuadrado perfecto es

A) 3 B) 7 C) 16 D) 21 E) 84

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19. Un capital C, invertido a interés simple i%, genera un capital final Cf, de acuerdo a la fórmula Cf = C(1 +

100i t), donde t son los periodos de tiempo. Si una persona mantiene

durante tres años un capital de $ 100.000 a un interés del 2,5%, que se reajusta trimestralmente a interés simple, entonces ¿cuánto tendrá al final de los tres años?

A) $ 30.000 B) $ 40.000 C) $ 122.500 D) $ 130.000 E) $ 140.000

20. El recíproco de un número entero positivo p esta entre

112 y

54 . El conjunto de todos los

valores posibles de p es

A) N B) {3} C) {2,3,4} D) {2,3,4,5} E) {6,7,8,9,10}

21. El orden de los números: M = 6 , N = 23 + , P =

232−

de menor a mayor es

A) M, P, N B) M, N, P C) N, M, P D) P, N, M E) P, M, N

22. Si M = (q – 1)2 y P = (q – 1)3 , q ≠ 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) M1q

P=

II) P – M = q – 1 III) P · M =

5

MP

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

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23. Al respecto de la recta y = ax + b, se hacen las siguientes aseveraciones:

I) Si b = 0, entonces pasa por el origen. II) Si a > 0 y b < 0, entonces no cruza el II cuadrante. III) Una recta perpendicular a ella es de la forma y = -ax + c ¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) falsa(s)?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Todas son verdaderas

24. Dos llaves arrojan agua a un estanque a razón de 3 l/min y x l/min respectivamente. Si la

primera lo llena en 320 min mientras que ambas juntas lo llenan en 200 min, entonces el valor de x es

A)

925

B) 59

C) 4 D) 3 E) 9

25. Si a : b = 1 : 2 y c : b = 3 : 2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) a : c = 1 : 3 II) 4a2 = b2 III) 4a : 3b : 6c = 2 : 3 : 9

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

26. Si

yx

zyx

zxy

=+

=−

, donde x, y, z son positivos, entonces =yx

A) 2

1

B) 53

C) 32

D) 35

E) 2

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27. Pablo y Sofía están corriendo alrededor de una pista. Pablo tarda 12 minutos en dar seis vueltas y Sofía tarda 11 minutos en cinco vueltas. Si empezaron juntos, la suma del número total de vueltas que habrán recorrido al momento de encontrarse nuevamente en el punto de salida es

A) 21 B) 22 C) 23 D) 18 E) 15

28. Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P =2Q, el valor de P es

A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36

29. Si d = 22 cR4

21

− , con R positivo, entonces R = A) 22 cd4

21

B) 22 dc421

C) 22 cd421

+

D) 2cd +

E) d + c 30. Si f(2x) = x2

2+

para todo x > 0, entonces 2f(x) = A)

x12+

B) x2

2+

C) x1

4+

D) x2

4+

E) x4

8+

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31. La función f(x) = x2 +px + q con p y q mayores que cero, el menor valor de esta función es cuando

A) x = -p B) x = 2

p C) x = -2p D) x = q4

p2

E) x = 2p−

32. Al reducir dx

aylogdclogc

blogbalog −++ se obtiene

A) y

xlog

B) xylog

C) 1 D) 0 E) xd

yalog 2

2

33. De la gráfica de la función f(x) = ax2 + bx + c, que muestra la figura 2, se deduce:

I) a y b tienen igual signo. II) b2 > 4ac III) c > 0

¿Cuál(es) de las deducciónes es(son) correctas? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III fig. 2

x

y

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34. Al graficar la función f(x) = [x – 2] + 3, se puede concluir:

I) No pasa por el origen (0,0). II) Corta al eje y en 5. III) Pasa por el punto (-

23 ,4).

¿Cuál(es) de las conclusiones es(son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas

35. Las raíces o soluciones de la ecuación x2 + 2x 3 + 3 = 0, son

A) racionales distintas B) racionales iguales C) irracionales distintas D) enteras iguales E) irracionales iguales

36. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa al respecto de dos triángulos semejantes?

A) Sus ángulos correspondientes son iguales. B) Sus lados homólogos son proporcionales. C) Sus perímetros están en la misma razón en que están los lados. D) Sus áreas están en la misma razón en que están sus lados. E) Tienen la misma forma.

37 En la figura 3, AB = AC y AE = AD, luego Ëx =

A) 7,5º B) 12,5º C) 15º D) 20º E) 10º fig. 3

38. ¿En qué triángulo el ortocentro esta en la circunferencia circunscrita a él?

A) equilátero B) isósceles acutángulo C) obtusángulo D) rectángulo E) en ningún triángulo

30º

xB

A

CD

E

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39. La figura 4, muestra el desarrollo en el plano de un cubo, la cara que se opone a x es

A) A B) B C) C D) D E) E fig. 4

40. El triángulo equilátero DEF esta inscrito en el triángulo equilátero ABC, si DE BC,

entonces la razón entre sus áreas es (figura 5)

A) 1 : 3 B) 1 : 2 C) 1 : 4 D) 2 : 5 E) 1 : 6 fig. 5

41. En la figura 6, aparecen tres rectángulos congruentes; DABC, EFGC y HIJC, luego ¿cuál(es)

de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ID = AE II) ∆ EBC ≅ ∆DJC III) los puntos I, A y F equidistan de C

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

fig. 6

D E

B C

Ax

A

B CD

E

F

A B

CD

E

F

G

H

I

J

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42. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular, entonces, ¿cuál de las afirmaciones es la más completa respecto del cuadrilátero ABCF?

A) Es un cuadrilátero B) Sus lados opuestos son iguales C) Sus ángulos opuestos son iguales D) Es un paralelogramo E) Es un rombo fig. 7

43. En la figura 8, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A)

B) 4π

C) 21

D) 4

1 π−

E) 2

1 π− fig. 8

44. En el siguiente cubo (figura 9), ¿de cuántas formas se puede ir de A a B sobre las aristas

sin pasar dos veces por el mismo vértice y sin subir?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 fig. 9

A B

C

D

E F

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45. ¿Cuánto vale la suma de u + v + w, en la figura 10?

A) 90º B) 3u C) 180º D) 360º E) no se puede determinar fig. 10

46. Dos triángulos equiláteros iguales se pegan por un lado. Después todas las esquinas de la

figura obtenida se juntan en el centro. ¿Qué figura se obtiene?

A) un triángulo B) un cuadrado C) un rectángulo D) un hexágono E) un rombo

47. De un triángulo inscrito en una circunferencia, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes

es(son) verdadera(s)?

I) Si uno de sus lados pasa por el centro, este será siempre el lado mayor. II) Su perímetro será siempre menor que tres veces el diámetro. III) Su perímetro será siempre menor que el perímetro de la circunferencia.

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

48. En la figura 11, ABCD es rombo, E es un punto de BC tal que

tr

ECBE= , entonces las área del

triángulo ABE y el rombo ABCD están en una razón de A) )tr(2

r+

B) )tr(2t+

C) 2

trt

+

D) 2

trr

+ fig. 11

E) 2

tr

A B

CD

E

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49. El volumen engendrado al rotar un rombo de diagonales 6 y 8, por uno de sus lados, es

A) π5

242 B) π224 C) π

548

D) π5

288 E) otro valor

50. Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC, se han dibujado triángulos equiláteros, como lo

muestra la figura 12. Si F y G son los puntos medios de AC y AE respectivamente, entonces

BDFG =

A) 2

1 B) 1 C)

23

D) 41

E) no se puede determinar fig. 12

51. Un octaedro regular se forma uniendo los centros de las caras adyacentes de un cubo. La razón del volumen del octaedro y el cubo es

A)

21

B) 61

C) 123

D) 41

E) 82 fig. 13

B C

D

A

E

F

G

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52. En la circunferencia de centro O y radio r (fig. 14), se ha inscrito el ∆ PQR. Entonces la

longitud del segmento PQ esta representada por

A) r·sen" B) r·cos" C) 2r· sen" D) 2r· cos" E)

2sen·r α fig. 14

53. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Una traslación se puede obtener mediante dos reflexiones sucesivas respecto de dos rectas paralelas.

II) Una reflexión se puede obtener mediante una secuencia de traslaciones y rotaciones.

III) Una rotación se puede obtener mediante reflexiones sucesivas, respecto de dos rectas que se cortan.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

54. La probabilidad de obtener números distintos en el lanzamiento de dos dados normales es

A) 61

B) 65

C) 365

D) 367

E) 41

P Q

R

.O

"

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55. La media aritmética de 5 números es P. Si la media aritmética de dos de ellos es

2P , ¿cuál

es la media aritmética de los otros tres? A) 3

P4

B) 3P

C) 4P3

D) 43P −

E) 34P −

56. Asisten a una fiesta 20 personas. Carmen bailó con 7 muchachos, María con 8, Isabel con

9, y así, hasta llegar a Julia que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos asistieron a la fiesta?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

57. En una asignatura se toman 3 pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%,

respectivamente. Un alumno obtiene un cinco y un cuatro en las dos primeras. Si su nota final es 5,1 entonces en la tercera prueba obtuvo un

A) 5,2 B) 5,1 C) 6,3 D) 6 E) 5

58. Si 6 personas se ordenan en una fila al azar, ¿cuál es la probabilidad que dos de ellas

queden una junto a la otra? A) 6

1

B) 32

C) 65

D) 21

E) 31

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59. El disco de la figura 15 esta dividido en tres colores diferentes, rojo, azul y blanco. Al

lanzar dos veces un dardo ¿cuál es la probabilidad de acertar dos veces al blanco, con dos tiros consecutivos, si ambos caen en el disco?, sabiendo que el disco esta formado por tres círculos concéntricos de radios 20, 40 y 60 cm respectivamente.

A) 81

16

B) 811

C) 94

D) 91

E) 4001 fig. 15

60. La nota media de un examen fue 4,8. Si el 10% de los alumnos que rindió el examen tuvo

una nota media 3, ¿cuál fue el promedio de las notas de los restantes alumnos?

A) 4,0 B) 4,5 C) 4,9 D) 5,0 E) 5,7

61. Si en una muestra de 10 datos numéricos, si 5 datos aumentan en 1 cada uno y los otros

disminuyen en 1 cada uno, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) Se conserva la media. II) La mediana se mantiene. III) La moda se conserva.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna es falsa

62. Si la probabilidad que nazca un varón es 0,51, ¿Cuál es la probabilidad que una familia

tenga sus dos hijos varones?

A) 51 % B) 26,01 % C) 25 % D) 24,99 % E) 20 %

Blanco

Azul

Rojo

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63. Hay tres sucesos A, B y C mutuamente excluyentes entre si y complementarios. Si la probabilidad de que ocurra el suceso A es el doble de la que ocurra el suceso B, y la probabilidad de que ocurra este es, a su vez, el doble de que ocurra C, entonces la probabilidad de que ocurra C es

A)

76

B) 75

C) 72

D) 74

E) 71

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Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a

la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para

responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2

(2) P tiene $2.000.000 más que Q

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:P : Q = 3 : 2, luego

(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave Cada una por sí sola, (1) ó (2).

D

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64. ¿Es el natural n par?

(1) 2n es par. (2) n + 1 es par

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

65. Un número entero se encuentra entre 900 y 1.000. Se puede determinar el número si

(1) Al ser dividido por 2, 5 y 9 da resto 1. (2) Al ser dividido por 4 da resto 3.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

66. En la figura 16, las líneas segmentadas son bisectrices de los ángulos interiores del

rectángulo ABCD, Si los lados del rectángulos son a y b, entonces para determinar el área de la figura sombreada se debe conocer

(1) a - b (2) ab

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 16 E) Se requiere información adicional.

67. En la figura 17, hay dos circunferencias concéntricas que están inscrita y circunscrita al

cuadrado, para encontrar el área del cuadrado es necesario conocer

(1) El diámetro de la circunferencia menor. (2) La diferencia de las áreas de las dos circunferencias.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 17 E) Se requiere información adicional

A B

CD

.O

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68. En la circunferencia de la figura 18, las cuerdas AB y CD son perpendiculares, para

encontrar el diámetro de la circunferencia es necesario conocer

(1) m (2) n

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 18 E) Se requiere información adicional.

69. Sea D = a2 + b2 + c2, donde a y b son enteros positivos consecutivos, entonces es posible

saber si D es entero si:

(1) c = a·b (2) c = a + b

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

70. El número ABCD, donde A, B, C y D son cifras, es múltiplo de 33, si

(1) A – B + C – D es múltiplo de 11 (2) A + B + C + D es múltiplo de 3

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

A B

D

C

E2 6

m

n