Ecuaciones Diferenciales

Integrantes del equipo:

Juan Jose Ledesma Martnez

Ensayo:

Transformada de Laplacey aplicaciones

14 de Agosto del 2014

Ensayo Laplace Mayo-Agosto 2014

Introduccion

En el presente documento se hablara de la vida del astronomo, fsico y matematico frances Pierre-Simon Laplace ysu gran aportacion a las ecuaciones diferenciales. La idea consiste en convertir de alguna forma la Ecuacion DiferencialOrdinaria en una ecuacion algebraica en general mas sencillade resolver y luego invertir el proceso de forma que obten-gamos la solucion buscada. Es posible y si lo es, como hacerlo? La respuesta la da una conocida Transformada de Laplace.

La Transformada de Laplace es un a herramienta fundamental para el analisis de sistemas lineales invariantes, comopor ejemplo redes y circuitos electricos, no tiene aplicacion en sistemas variantes y no lineales, a pesar de que este rem-plaza el calculo por el algebra, las operaciones algebraicas resultan muy complicadas.

La transformada de Laplace es un operador matematico que toma una funcion lineal e invariante en el dominio deltiempo f(t) y la transforma en una funcion F (s) de una variable s que, en general es compleja.

El campo de aplicacion de los sistemas de control es muy amplio, en estos surgen funciones discontinuas de maneranatural. Y una herramienta que se utiliza en el diseno de control clasico es precisamente La transformada de Laplace, yaque esta puede facilitar el tratamiento de esas discontinuidades.

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Ensayo Laplace Mayo-Agosto 2014

Biografa

Conozcamos un poco la vida de este joven matematico, su origen y su carrera academica.

(Pierre-Simon, marques de Laplace; Beaumont-en-Auge, Francia, 1749-Pars, 1827) Matematico frances. Hijo de ungranjero, inicio sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a la intervencion de D Alembert, profundamenteimpresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecanica, pudo trasladarse a la capital, donde consi-guio una plaza en la Ecole Militaire.

Entre 1771 y 1789 desarrollo la mayor parte de su trabajo sobre astronoma, particularmente su estudio sobre lasdesigualdades planetarias, seguido por algunos escritos sobre calculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas par-ciales. Destaca entre su produccion del perodo 1784-1787 la determinacion de la atraccion de un esferoide sobre unapartcula situada en su exterior, para cuya determinacion introducira el analisis de armonicos o coeficientes de Laplacey el concepto de potencial.

En 1796 publico su Exposicion del sistema del mundo, en el que ofrecio una version divulgativa de la mecanica new-toniana y una exposicion del sistema solar. Sus resultados analticos sobre la mecanica estelar se publicaron en los cincovolumenes del Tratado de mecanica celeste (1799-1825). En los dos primeros volumenes describio metodos para el calculodel movimiento de los planetas y sus satelites, y determino sus trayectorias. El tercero contiene la aplicacion de estosmetodos y muchas tablas astronomicas.

En 1814, Laplace publico un ensayo sobre probabilidades orientado al lector profano, que le servira de base parala segunda introduccion de su Teora analtica de las probabilidades (tratado publicado en 1812), donde incluyo unaexposicion del metodo de los mnimos cuadrados, base de toda la teora de los errores.

Como podemos ver Laplace era chico listo, a la temprana edad de 16 anos fue profesor y examinador de NapoleonBonaparte.

Este no solamente hizo aportaciones a las matematicas, si no tambien en la astronoma, probabilidad, fsica y qumica,pero este documento se hablara acerca de la Transformada de Laplace y sus aplicaciones en el mundo real.

Transformada de Laplace

Se preguntaran Cual es la famosa Transformada de Laplace? Como se aplica esta? Comencemos por los conceptosbasicos de este fabuloso metodo.

L[f(t)] =

0

estf(t)dt = F (s) (1)

Si el lmite existe, se dice que la integral converge, en caso contrario, se dice que la integral diverge o no existe.

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace

A continuacion se veran unas aplicaciones de la Transformada de Laplace, en el mundo real.

En anos recientes, los sistemas de control han asumido una papel cada vez mas importante en el desarrollo y avancede la civilizacion moderna y la tecnologa.

Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:

1. Control de calidad de los productos manufacturados

2. Lneas de ensamble automatico

3. Control de maquinas-herramienta

4. Tecnologa espacial y sistemas de armas

5. Control por computadora

6. Sistemas de transporte

7. Sistemas de potencia

8. Robotica

entre otros.

En las siguientes imagenes podemos apreciar una antena receptora, y en la siguiente se muestra el control de un automovil.

Por que es necesario controlar dicho proceso?

Incrementa la produccion de una planta, reduccion de tiempo de manufactura, lo que el obrero produce no es ni laoctava parte de lo que un sistema automatizado puede producir en poco tiempo, mejorar la calidad de dicho producto,ya sea enlatados, automoviles, un punto muy importante es la seguridad del personal, existen trabajos muy peligrosodonde el obrero se ve expuesto a salir danado, en ese tipo de procesos puede ser de gran la robotica.

El campo de aplicacion de los sistemas de control es muy amplio. Y una herramienta que se utiliza en el diseno decontrol es precisamente La Transformada de Laplace.

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Por que la Transformada de Laplace?

En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinamicos, es decir, modelos de comportamiento variablerespecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representarmatematicamente el comportamiento de un proceso.

El comportamiento dinamico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por elsiguiente modelo general de comportamiento dinamico lineal:

an(t)dny

dtn+ an1(t)

dn1ydtn1

+ ... + a1(t)dy

dt+ a0(t)y = g(t) (2)

La transformada de Laplace es una herramienta matematica muy util para el analisis de sistemas dinamicos lineales.

E aqu la importancia de este metodo de Laplace, en la vida diaria pueden surgir problemas o incluso nosotros mismocomo Ingenieros, podemos enfrentarnos a dichas situaciones, que al momento de modelar matematicamente dicho sistemay estudiarlo, surge un pequeno detalle, que dicho modelos matematico presente discontinuidad y estas son difciles detratar analticas.

Proceso de diseno del sistema de control

Para poder disenar un sistema de control automatico, se requiere; conocer el proceso que se desea controlar, esdecir, conocer la ecuacion diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas, qumicas o electricas.A esta ecuacion diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede disenar el controlador.

Conclusion

El metodo de Laplace es muy interesante de estudiar y muy importante, a la hora de resolver ecuaciones diferenciales.En aplicaciones de la ingeniera, existen funciones que son continuas por partes, esto es complicado de estudiar con losmetodos anteriores, pero gracias al metodo de Laplace estos se pueden resolver. El transformar funciones senoidales,exponenciales a funciones algebraicas, hace que este metodo sea muy importante para resolver ecuaciones.

Referencias

1. http://carolbarra.wordpress.com/16-2/

2. http://es.slideshare.net/KJEP/aplicaciones-la-transformada-de-laplace-1712469

3. http://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/eureka/n12/en1208.pdf

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