REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO

MARACAIBO ESTADO ZULIA

CATEDRA: ESTADISTICA I

Realizado por:

Reinaldo Jonas Pérez Suarez

C.I 23.875.789

Contenido

Introducción

1.-Definir los conceptos de espacio muestral, eventos, relaciones entre eventos y familia de eventos.

2.- Definir probabilidad y los axiomas en que esto se basa.

2.1- Definición Clásica de la Probabilidad.

2.2.- Axiomas de Probabilidad.

2.3.- Axiomas de Kolmogórov.

2.4.-Propiedades que se deducen de los axiomas.

3.-Definir probabilidad condicional, eventos Independientes, eventos dependientes, ley de probabilidad total y teorema de bayes. Dar ejemplos.

3.1- Probabilidad Condicional.

3.2- Eventos Independientes.

3.3- Eventos Dependientes.

3.4- Ley de Probabilidad Total.

3.5- Teorema de Bayes.

4.- Muestras de población, definir permutaciones y combinaciones y sus aplicaciones a los diferentes eventos.

4.1- Población.

4.2-Muestra.

4.3- Permutaciones.

4.4- Combinaciones.

4.5- Aplicaciones.

Conclusión.

Bibliografía.

Introducción

El Análisis de la información para la teoría de la probabilidad es fundamental para determinar los valores de los análisis de una cantidad dada pueden ser de el

número estimado de una población la tasa de natalidad de un país o el recuento de los empleados de una compañía para determinar la cantidad de disminución o aumento de los gráficos de dicho problema también es un factor importante para

llegar a un determinado resultado como tal para poder tener unos resultados claros del mismo

1.- Definir los conceptos de espacio muestral, eventos, relaciones entre Eventos y familia de eventos. Espacio Muestral: Es denotado por un ejerció con una moneda que no da el espacio que existe entre una cierta probabilidad de resultados como tal Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 ca rtas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Eventos: Son subconjuntos del espacio muestral es decir un conjunto de resultados aleatorios que nos puede dar cualquier experimento.

Ejemplo: Lanzar un dado represente el evento detonado en A. Suponiendo que el resultado sea un numero divisible entre 3.

Relaciones entre eventos y familia de eventos: La posibilidad de que se presente un evento resultante de un evento estadístico se evalúa por el conjunto de números reales llamados pesos o probabilidades que caen en el rango de 0 a 1. A cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad, tal que la suma de todas las probabilidades de 1. Si se tiene la razón para creer que un punto muestral tiene una probabilidad de ocurrir cuando se lleve a cabo el evento la probabilidad que se le asigne debe ser cerca de 1. Por otra parte si se le asigna 0 es muy probable que no ocurra en muchos experimentos como lanzar un dado o una moneda.

2. Definir probabilidad y los axiomas en que esto se basa: La autodefinición

axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente auto probable) se define la probabilidad estimada u honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando \Omega es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como

y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema

de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos

y en la teoría de la medida ,desarrollada pocos años antes por Lebesgue ,Borel

y Frechet entre otros.

Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la

Probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo decasos favorables

Sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya

Utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos.

Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más

Variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).

2.1. Definición Clásica de la Probabilidad: La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

2.2.- Axiomas de Probabilidad: son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Fueron formulados por Kolmogórov en 1933

2.3.- Axiomas de Kolmogórov:

Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 p(A) 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5 Segundo Axioma: La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.

P () = 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1". Tercer Axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,

p(AB) = p(A) + p(B)

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

Ejemplo: Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.

Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1})= p({2})= ...= p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})= p({1})+ p({3})=2/6. Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar".

2.4.-Propiedades que se deducen de los axiomas:

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

- donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso imposible.

-Para cualquier suceso .

-

- Si entonces,

-

3.- Definir probabilidad condicional, eventos Independientes, eventos dependientes, ley de probabilidad total y teorema de bayes. Dar ejemplos.

3.1- Probabilidad Condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejemplo.

La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad , una señal útil

con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de

cualquier señal con probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la

probabilidad . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución.

3.2- Eventos Independientes: Los eventos independientes ocurren ya sea cuando:

·El proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado.

·El proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un reemplazo.)

Ejemplo.

Situación Eventos Por qué los eventos son independientes

Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?

El primer lanzamiento no es un 6.

El primer lanzamiento es un 6.

El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")

Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?

Sacar una canica roja en el primer intento.

Sacar una canica roja en el segundo intento.

Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.

3.3- Eventos Dependientes: Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 2:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

3.4- Ley de Probabilidad Total: Si A 1, A 2,..., A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Ejemplo:

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

3.5- Teorema de Bayes: es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Ejemplo.

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

4.- Muestras de población, definir permutaciones y combinaciones y sus aplicaciones a los diferentes eventos.

4.1- Población: va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una

población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.

Destacamos algunas definiciones:

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común". Cadenas (1974).

El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el proceso de investigación estadística y en nuestro caso social, y este tamaño vienen dado por el número de elementos que constituyen la población, según el número de elementos la población puede ser fini ta o infinita. Cuando el número de elementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos.

Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de elementos, por ejemplo; el número de habitantes de una comarca.

Cuando la población es muy grande, es obvio que la observación y/o medición de todos los elementos se multiplica la complejidad, en cuanto al trabajo, tiempo y costos necesarios para hacerlo. Para solucionar este inconveniente se utiliza una muestra estadística.

4.2-Muestra: La muestra es una representación significativa de las características de una población, que bajo, la asunción de un error (generalmente no superior al 5%) estudiamos las características de un conjunto poblacional mucho menor que la población global.

“Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla”. Murria R. Spiegel (1991).

“Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos”. Levin & Rubin (1996).

“Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la población en referencia”, Cadenas (1974).

Por ejemplo estudiamos los valores sociales de una población de 5000 habitantes aprox., entendemos que sería de gran dificultad poder analizar los valores sociales de todos ellos, por ello, la estadística nos dota de una herramienta que es la muestra para extraer un conjunto de población que represente a la globalidad y sobre la muestra realizar el estudio. Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.

Técnicas de Muestreo:

Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque hay muchos diseños de la muestra.

Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra.

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se usa como guía o muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria más adelante. Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico necesario para hacer muestras de probabilidad.

4.3- Permutaciones: cuando el orden importa. Supongamos que tenemos n

objetos de donde escoger (n canicas en la bolsa, o n invitados en una fiesta, por ejemplo).

· La primera sacada tiene una opción de n objetos

· Para cada uno de esos n objetos, existen n – 1 opciones para la segunda sacada. Usando el Principio Fundamental de Conteo, es significa que hay n • (n – 1) resultados para escoger dos cosas.

· Ahora, para esos n • (n – 1) resultados, se puede tener una tercera opción de los n – 2 objetos que restan. Usando de nuevo el Principio Fundamental de Conteo, hay n • (n – 1) • (n – 2) resultados posibles para 3 sacadas.

¿Ves a dónde va esto? Nota que el último factor resta uno menos que el número total de objetos elegidos. Para encontrar el número de opciones para sacar el k-ésimo objeto, multiplica los resultados anteriores por n – (k – 1). Otra forma de escribir n – (k – 1) es n – k + 1.

Cuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el número de permutaciones es

El símbolo “…” significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.

Para las combinaciones, el orden no importa. ¿Cómo cambia esto el número de resultados? El número de permutaciones que se vuelven la misma cuando el orden ya no importa es el número de maneras distintas de arreglar objetos en un grupo.

Piensa en un grupo de 3 letras. ABC. En una permutación, ABC y CAB son resultados distintos, pero en una combinación, estos resultados son el mismo. ¿Cuántas maneras diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? Es decir, ¿cuántas permutaciones hay para este grupo en particular?

ABC ACB

BAC BCA

CAB CBA

Existen 6 maneras de ordenar estas letras. Lo que estamos haciendo es encontrando el número de permutaciones de 3 objetos cuando elegimos los 3 (n = 3 y k = 3). Entonces, usando la fórmula proporcionada arriba, existen 3 • 2 • 1 = 6 resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.

En el ejemplo de las canicas, teníamos 2 objetos en cada grupo, entonces para cada par de canicas, había 2 • 1, o 2, maneras de ordenarlas. Sólo necesitábamos una para cada par, por lo que el número de combinaciones ere el número de permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como existen 6 maneras de ordenar 3 objetos, cuando encontramos las combinaciones de tres sólo necesitábamos una representativa para esas 6 formas. Podemos dividir el número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones.

Esto es válido en general: Para encontrar el número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, dividir el número de permutaciones de escoger k de n objetos entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos.

4.4- Combinaciones: Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos:

Tamaño de Muestra y Factoriales: Existe una forma más fácil de escribir fórmulas de permutaciones y combinaciones, usando una idea llamada factoriales. Un factorial es el producto de todos los números completos desde 1 hasta un número dado. El símbolo ¡ después de un número es usado para representar este producto, Por ejemplo, 3! = 3 • 2 • 1, y 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1. Entonces, en

general, n! = n • (n – 1) • … • 2 • 1. Nota especial: 0! Se define como 1.

La fórmula del número de permutaciones empieza como n!, pero termina con (n – k + 1) en lugar de 1. Necesitamos eliminar los factores de (n – k) a 1 del producto. ¡Podemos hacer eso dividiendo entre (n – k)!

Entonces, para las combinaciones, dividimos el resultado entre k • (k – 1) • … • 2 •

1, o k.

Usando Factoriales Cuando escogemos k de n objetos, podemos usar las siguientes fórmulas:

Número de permutaciones =

Número de combinaciones =

Muchas calculadoras tienen la tecla o el comando factorial ( ¡). Para encontrar el número de permutaciones de escoger 20 de 24 objetos, teclear 24! ÷ 4! Es más rápido y fácil que 24 • 23 • 23 • 21 • 20 • 19 • 18 • 17 • 16 • 15 • 14 • 13 • 12 • 11 •

10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5. (Aunque, si sólo se hacen 4 elecciones, sería más fácil teclear

24 • 23 • 22 • 21.)

Probemos estas fórmulas en un problema. Primero, usaremos el Principio Fundamental de Conteo.

Ahora aplicaremos estas formulas en cirtos ejemplos para detonar cual es el cambio que produce al usar de una manera adecuada las formulas para llegar a un resultado más factible y directo.

4.5- Aplicaciones: se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles de un sistema). También tiene importantes aplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias físicas y sociales. De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un número finito de elementos.

Ejemplo

Problema Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles?

Combinación

Primero decidir si esta situación es una permutación o una combinación

No existe ninguna razón para que una persona sea considerada distinta de otra, por lo que esto es una combinación.

Existen 30 posibilidades para la primera sacada. Luego 29 posibilidades para la segunda persona, 28 para la tercera, y 27 para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo dice que debemos multiplicar estos resultados para obtener el número de posibilidades

Sin embargo, ese producto nos da el número de permutaciones, cuando el orden importa. Necesitamos tomar todos los posibles arreglos de 4 personas en particular y usar sólo una representación de cada uno.

Para cuatro personas, existen 4 opciones para enlistar a la primera, 3 para la segunda, 2 para la tercera, y sólo 1 opción para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo nos dice cuántas veces un grupo de 4 personas aparecerá en la lista de permutaciones

Dividir entre el producto que resulta del Principio Fundamental de Conteo

Solución ¡Existen 27,405 posibles grupos diferentes de 4 personas a partir de 30 miembros!

Ahora resolveremos el mismo problema con la fórmula factorial:

Ejemplo

Problema Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles?

Combinación

Primero decidir si esta situación es una permutación o una combinación

No existe ninguna razón para que una persona sea considerada distinta de otra, por lo que esto es una combinación.

La fórmula factorial para las combinaciones es

.

En este caso, estamos escogiendo 4 de 30 miembros, entonces n = 30 y k = 4.

Solución ¡Existen 27,405 posibles grupos diferentes de 4 personas a partir de 30 miembros!

Ambos métodos producen la misma respuesta.

Un grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el cual los jugadores compiten para llegar primero a la última casilla de un tablero. Los amigos van a reconocer al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas maneras diferentes hay de que los 8 amigos tomen esos lugares?

A) 6

B) 56

C) 336

D) 40,320

Conclusión

Al momento de realizar este trabajo nos disponemos a analizar los puntos de información más importantes del tema para poder dar una respuesta o solución a

la teoría de probabilidades ya que los factores y posibles soluciones que nos encontramos al momento de buscar la información detallada nos dan los

resultados esperados también debemos tomar los puntos clave para poder dar una respuesta a los ejemplos a resolver es por eso que la mayoría de los

problemas nos dan un Espacio muestral o un resultado ya esperado en una determinada posición y poder dar un valor a ese ejemplo por lo cual cave analizar

cada paso a realizar para obtener un resultado más especifico por lo cual se plantean teorías y ecuación que nos ayudan a dar las respuestas a ellos de una

manera más rápida y clara.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/

http://www.montereyinstitute.org

http://eadsaia.uft.edu.ve/psm/fi le.php/1868/Teoria_de_la_Probabilidad.pdf