BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

LIC. MATEMÁTICAS

ERICK SALGADO MATIAS

FRACTALES

22-NOVIEMBRE-2012

INTRODUCCIÓN

Este ensayo está dirigido, principalmente, a estudiantes que hayan finalizado sus estudios a nivel bachillerato u equivalente, y que tengan el deseo de estudiar en alguna facultad de ciencias, o a todas aquellas personas que estén realizando estudios a nivel licenciatura y quieran tener noción alguna sobre el tema de fractales. Sin embargo, también está dirigida a cualquiera que encuentre en las matemáticas el lenguaje universal con el cual se pueden explicar los fenómenos en nuestro entorno y, por supuesto, a todos los que ven en ella una puerta que los llevará hacia la búsqueda del conocimiento orientado al desarrollo científico y tecnológico.

Se pretende introducir, con un nivel básico, el tema de fractales. Me interesa dar a conocer el tema desde una perspectiva informal, para que no se haga abundante el tema, logrando así que el lector se motive a realizar una investigación más exhaustiva por su propia cuenta. Sin olvidar la esencia matemática del tema.

Los fractales constituyen un tema matemático de actualidad y se han convertido en algo muy popular en los últimos años. Las figuras fractales se obtienen de repetir una y otra vez el mismo procedimiento, típicamente un fractal es algo irregular, pero lo más importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, él aún sigue irregular. Para nosotros, los fractales serán en general figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza sin embargo existen otros, como la frontera del conjunto Mandelbrot, que son fractales no auto-semejantes.

Son estructuras infinitas y resultan de utilidad en el análisis de una gran diversidad de fenómenos como turbulencias, bolsa de valores, dispersión del humo, etc., además de sintetizar imágenes como montañas, nubes, costas rocosas, ríos y plantas entre otras.

TEMARIO

1. DEFINICIÓN, TIPOS Y CARACTERISTICAS2. DIMENSIÓN FRACTAL Y AUTOSEMEJANZA

2.1AUTOSEMEJANZA2.2DIMENSIÓN TOPOLÓGICA2.3DIMENSIÓN FRACTAL

3. CONSTRUCCIÓN FRACTALES3.1CONJUNTO DE CANTOR3.2LA CURVA DE KOCH

4. APLICACIONES Y EJEMPLOS4.1EJEMPLOS EN LA NATURALEZA4.2APLICACIONES CIENCIA

1. DEFINICIÓN, TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

El primer problema que se nos presenta es explicar qué se entiende por conjunto fractal, para lo que en principio nos podemos limitar a nombrar algunos ejemplos como son: el conjunto de Cantor, el conjunto de Mandelbrot, el triángulo de Sierpinski, curva de Koch.

La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro [0], para referirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:

Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel global.

Son auto-semejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total.

Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo sencillo en algunos casos.

Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:

Fractales regulares. Objetos construidos a partir de copias exactas (escaladas) de sí mismos.

Fractales no regulares. Objetos auto-semejantes, pero que no están construidos sólo a partir de copias exactas de sí mismos.

Fractales regulares

Se definen generalmente de la siguiente manera:

Se parte de una figura inicial. Se aplican unas reglas de transformación, que generan nuevas figuras a

partir de la inicial. A cada una de las nuevas figuras se le aplica de nuevo las reglas de

transformación, y así hasta el infinito. Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas (unas cuantas iteraciones).

Fractales no regulares

Algunos se pueden definir, igual que los regulares como el límite de una sucesión de conjuntos:

Se parte de una figura inicial (conjunto de puntos). A partir del conjunto inicial se genera uno nuevo aplicando un conjunto de

funciones, generalmente transformaciones afines:

f ( x , y )=[a bc d ] [ xy ]+[ef ]

Ejemplos: hojas, árboles, etc.

2. DIMENSIÓN FRACTAL Y AUTOSEMEJANZA

Cualquiera que sea el método de aproximación al concepto de fractal que utilicemos hay un concepto central que es el de dimensión, quizás por ello, el concepto de dimensión fractal esta esparcido por la literatura científica y se utiliza muchas veces indiscriminadamente creando confusión.

Aquí analizaremos la dimensión fractal abordando previamente el concepto de dimensión topológica para ser consecuentes con la propia definición de Benoit B. Mandelbrot, de la que se deduce que la dimensión fractal es mayor que su dimensión topológica.

Dimensión topológica, es un término que introdujo Henri Poincaré (1854-1912), físico francés y uno de los principales matemáticos del siglo XIX.

2.1. AUTOSEMEJANZA

Se dice que un objeto es auto-semejante si se puede construir a partir de copias semejantes, en el sentido de las transformaciones geométricas de sí mismo. La propiedad de un fractal de poseer los mismos detalles a todas las escalas de observación, se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo todas las escalas son "buenas" para representar un fractal.

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o auto-semejanza a cualquier escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal

2.2. DIMENSIÓN TOPOLÓGICA

La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la conectividad de los puntos del objeto de medida. “Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies”B.Mandelbrot(1997).

Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar,

por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.

Señalaremos finalmente que el propio concepto dimensión tiene un significado matemático muy amplio, y por lo tanto se ofrecen un amplio repertorio de definiciones. Entre ellas existe siempre la noción de recubrimiento del objeto estudiado, por otra forma matemática cuyo diámetro tiende a cero. Si tenemos en cuenta la definición inductiva de dimensión topológica dada por Poincaré" un objeto tiene dimensión topológica "m" cuando cualquier recubrimiento de ese objeto, tiene dimensión topológica "m"Kenneth F. (1990), debemos añadir que el conjunto vacío tiene dimensión – 1.

Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de auto-semejanza, que sugirió FelixHausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich) y que se recoge en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot [1].

2.2. DIMENSIÓN FRACTAL

El concepto de dimensión en los fractales como consecuencia de la recursividad o auto-similitud a cualquier escala que poseen, es algo muy complejo. Los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismos que se replican indefinidamente a menor escala, generándose una figura que tiene una superficie finita con un perímetro de longitud infinita y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático diríamos que esta curva no se puede diferenciar.

Por ello, el concepto de dimensión juega un papel fundamental en la geometría fractal. Pero la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a los conceptos tradicionales de la dimensión euclidiana o dimensión topológica. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. La dimensión fractal, se puede definir de diferentes maneras, siendo la más rigurosa la de Hausdorff y la más intuitiva y más fácil de aplicar es la de semejanza. Antes de definirla se debe señalar dos aspectos importantes relativos a la escala de medición y su relación con la expresión del tamaño y con la dimensión topológica para destacar que:

- El valor del tamaño depende del valor de la escala.

- Los valores de la dimensión topológica son independientes de la escala.

La dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, y perfeccionada más tarde por Besicovich está recogida en la definición de fractal que propone Mandelbrot: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovich es estrictamente mayor que su dimensión topológica”B.Mandelbrot (1975).

De una forma intuitiva la dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. Esta dimensión se representa por la siguiente fórmula:

S=LD

Donde S es el tamaño del fractal, L la escala de medición y D es la dimensión fractal que buscamos. Operamos para despejar D:

log S=D logL→D=log S/ logL

Como vemos la dimensión de homoteciaHausdorff- Besicovich, es una generalización de la dimensión euclidiana, que con carácter general, tiene valores enteros e iguales a la dimensión topológica para las líneas, polígonos y sólidos y valores fraccionarios y superiores a su dimensión topológica en los fractales.

3. CONSTRUCCIÓN FRACTALES

Los fractales geométricos clásicos tienen su origen a finales del siglo XIX o a comienzos del siglo XX. Tachados de monstruos matemáticos por algunos famosos matemáticos de la época como Poincaré, sirvieron para alentar la búsqueda rigurosa de conceptos como infinito, curva continua o dimensión. Fueron recopilados por BenoitMandelbrot a mediados del siglo XX, dando origen a una nueva teoría geométrica: los fractales.

El origen de la geometría fractal y de los fractales, habría que establecerlo hacia 1875-1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión, y se discrepa con la idea que se había aceptado hasta entonces, según la cual se concebía la dimensión como número de coordenadas.

El mejor modo de entender lo que es un fractal consiste en examinar cómo surge geométricamente a partir de su definición algorítmica. Describiremos a continuación cómo se puede proceder para construir algunos de los conjuntos fractales más conocidos o llamados clásicos.

3.1. Conjunto de cantor

El conjunto de Cantor probablemente sea el fractal documentado más antiguo. El polvo de Cantor es históricamente el primer objeto fractal puro. Fue descrito por el matemático alemán Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor alrededor de 1872 (recordemos que Cantor fue el inventor de la teoría de los conjuntos). Su dimensión Hausdorff - Besicovich es ≈ 0,6309297. Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de Sierpinski y la curva de Peano) a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff - Besicovich es menor que la dimensión topológica, que en una recta es 1.

Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan. Y se repite el proceso infinitas veces.

3.2. La curva de Koch

La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904, como ejemplo de curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. La longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente sucesión: 1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81.... Dado que la sucesión anteriormente indicada no converge hacia ningún valor, estamos ante una curva de longitud infinita. Su construcción se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor. Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángulo. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces.

Veamos la dimensión de Hausdorff- Besicovich para la curva de Koch. Recordemos que esta dimensión se representa por la siguiente fórmula:

D = log S / log L

En el caso de la curva de Koch S = 4 y L= 1/3. Así tenemos:

D = log4/log(1/3) = log4/log3 =1,262

Por tanto, es mayor que su dimensión topológica, que en el caso de una línea es 1 y además, tiene valor fraccionario. Cumple por tanto todos los requisitos para clasificarla como fractal, de acuerdo con la definición de Benoit B. Mandelbrot.

3.3. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

El triángulo de Sierpinski fue ideado por el matemático polaco WaclawSierpinski en 1915. Definamos como Triángulo de Sierpinski en la iteración n=0 un triángulo equilátero de lado 1. En iteraciones sucesivas n=1, 2, 3..., se ira recortando un triángulo equilátero con la base invertida de lado mitad al de la iteración anterior del centro del triángulo de la iteración anterior. Para lograr esto en la primera iteración, se trazará un triángulo equilátero, cuyos vértices, deben coincidir con los

puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Donde se retirará o se eliminará de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conservarán los tres triángulos equiláteros menores y similares. En las sucesivas iteraciones se aplica el mismo procedimiento de iteraciónpara cada triángulo pequeño, obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.

El Triángulo de Sierpinski es un objeto fractal de dimensión Hausdorff - Besicovitch≈ 1.58496. Este fractal es una de las excepciones a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff - Besicovitch es menor que la dimensión topológica, ya que en un triángulo es 2.

4. APLICACIONES Y EJEMPLOS

BenoítMandelbrot en 1982 publicó un libro, con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática que, por aquel tiempo, estaba a su disposición: “TheFractal Geometry of Nature” [2]. En la introducción de la edición en español de este libro y que se titula como en la versión inglesa: "La geometría fractal de la naturaleza" [3], BenoítMandelbrot escribe: "¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo "frío" y "árido"?. Sí, es incapaz de descubrir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo".

"Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de complejidad, sino que ésta se nos revela completamente diferente"Mandelbrot B. (1990).

En el curso Geometría Fractal que el Profesor Michael FieldingBarnsley imparte en la 'School of Mathematics' del Instituto de Tecnología de Atlanta, dice en la presentación del curso:

"La Geometría Fractal les hará ver las cosas de modo diferente. Existe un riesgo si continúan leyendo. Se juegan la pérdida de su visión de la infancia de las nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, rocas, montañas, torrentes de agua, ladrillos y muchas otras cosas. Nunca más su interpretación de estos objetos será la misma"....

"La esencia de este texto reside en cómo utilizar la geometría fractal para modelar objetos reales del mundo físico. Más que dedicarse a los aspectos aleatorios en la generación de un fractal, la intención es comenzar con un objeto natural y buscar el fractal específico que mejor lo simule"Fielding M. (S. F.).

4.1. NATURALEZA

En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer en relación con dos circunstancias o situaciones:

(1). Frontera, y aquí incluimos todos los casos en que entran en contacto dos medios humanos, naturales, físicos, químicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre países, riberas de los ríos, litoral, nubes.

(2). Árbol. Es decir aquellos casos en que se produce una ramificación con auto similitud: árboles, arbustos, y plantas, cuencas fluviales con sistemas de río, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc.

4.2. APLICACIONES CIENCIA

Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se circunscriben mayoritariamente en los campos del diseño y compresión de imágenes y en el campo de las telecomunicaciones.

La aplicación de técnicas fractales para la compresión de imágenes digitales fue introducida por Michael Barnsley y ArnaudJacquin en 1988.

Ahora haremos mención a las aplicaciones en el campo de la meteorología. Recordemos el atractor de Lorenz y sus investigaciones en este campo. Basándonos en la teoría del caos podemos pensar en la atmósfera como un sistema dinámico de comportamiento caótico

En el campo de las aplicaciones puramente meteorológicas, ShaunLovejoy, del Departamento de Ciencias de la Tierra y los Planetas de la Universidad McGill de Montreal (Canadá), ha modelado nubes mediante fractales, relacionando el Área-Perímetro de nubes con las zonas de precipitación [5]. Los datos se obtienen mediante satélites geoestacionarios y las áreas de lectura oscilan entre uno y un millón de Kilómetros cuadrados.

En la página Fractal Geometry de los profesores Michael Frame, BenoitMandelbrot y Nial Neger de la Universidad de Yale, y dentro del apartado de Ciencias Sociales recogen algunos ejemplos de aplicación de modelos de análisis fractal tales como: el estudio de las guerras, la historia de los sumerios y el moderno Irak, la psicología, y es muy interesante una aplicación de automatización celular que denomina el dilema del prisionero que ha sido utilizada como modelo para las relaciones internacionales. Se señala que modelos similares se han utilizado para modelar la evolución de las ciudades y para explicar la organización auto-similar de la distribución de servicios en las grandes ciudades. La imagen se ha tomado de Prisoner'sdilemma: Fractalsbetweenfactions. [7].

El profesor Nikos A. Salingaros, [8] del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Texas en San Antonio, señala en una interesante comunicación Connectingthe Fractal City [9] que la vida en las ciudades tiene unas características intrínsecamente fractales, pero que la presión de los automóviles y crecimiento creciente de la población en siglo XX han borrado la ciudad tradicional conduciéndola hacia tipologías geométricas anti-fractales, con unas consecuencias desastrosas para la tela urbana. Propone utilizar el criterio fractal para la geometría de ciudades como una condición para su éxito.

Algunos ejemplos son los siguientes:

-Agrupación de partículas con movimiento browniano (ej. Partículas de hollín):

-Se ha comprobado que la molécula del glucógeno tiene naturaleza fractal:

-Una vista aérea de la ciudad Logone-Birni en Camerún. Modelo fractal de la ciudad y las tres primeras iteraciones del modelo fractal.

CONCLUSIONES

Al concluir éste trabajo, nos queda claro que el concepto de fractalno es algo para tomarse a la ligera, es decir, para tener una noción clara de lo que es un conjunto fractal se necesitan conocimientos avanzados para poder desarrollar toda la teoría de lo que es un fractal, por lo que cabe destacar que si el lector se interesó en el tema realizará una investigación más profunda y con esto dicho se cumplió el objetivo de este trabajo. Cabe destacar que algunos de los procesos de la naturaleza pueden ser simulados mediante modelos computacionales que se basan en fractales. Y no solo procesos de la naturaleza, sino también, como se mostró, las aplicaciones que encontramos parecen muy interesantes para que el lector las consulte y las investigue de una manera más exhaustiva.

Además se espera que el lector aprecie el gran esfuerzo que se ha realizado en este trabajo para que los conceptos de dimensión y medida fractal se expusieran de la forma más sencilla posible que desde mi punto de vista son muy vagos aun.

REFERENCIAS

[0] Mandelbrot B. B.(1997).The Fractal Geometry of Nature.(segunda edición).San Francisco.

[1] Mandelbrot, B. B. (1975). Les objetsfractales: Forme, hassardet dimension. Paris.Editorial Flammarion.

[2] Mandelbrot B. B. (1982) The Fractal Geometry of Nature. New York. Editorial W. H. Freeman & Co.

[3] Kenneth F. (1990) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.Editorial John Wiley and Sons.

[5] Lovejoy S., Mandelbrot B. (1985). Fractal properties of rain, and a fractal model.Tellus 37-A.Págs, 209-232.

[7] Nowak, Bonhoeffer, May. (s.f). Prisoner's dilemma: Fractals between factions. Recuperado de: http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/SocialSciences/PrisDil/PrisDil.html

[8] Nikos, A. (s.f)Recuperado de: http://applied.math.utsa.edu/~salingar/

[9] Nikos, A. (2003). Principles of urbanstructure.Connecting the Fractal City.Recuperado de: http://www.math.utsa.edu/sphere/salingar/connecting.html