TTULO DEL ARTCULO

APLICACIONES DE SIMULACIN MONTE CARLO

Yuly Milena Torres Bernal

Yuly Milena Torres Bernal, estudiante de Ingenieria Industrial VIII semestre, Hacaritama 4ta Etapa Calle 3 # 19 23, Villavicencio, 3214484023, yuly.torres@hotmail.com. Revista Cap&Cua Comit editorial

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INTRODUCCION La simulacin de Monte Carlo es una tcnica que hace uso de la estadstica y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinmicos, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el tiempo, se recurre a la simulacin de eventos discretos o bien la simulacin de sistemas continuos. La simulacin Monte Carlo ofrece a la persona que es responsable de tomar las decisiones, una serie de posibles resultados, as como la probabilidad de que se produzcan segn las medidas tomadas, adems muestra las posibilidades extremas es decir aquellas que podran llegar a representar un riesgo, as como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.

HISTORIA [1]Si bien el nombre de "Mtodo Monte Carlo" es relativamente reciente y fue acuado por John von Neumann y Stanislaw Ulam cuando trabajaban en el proyecto Manhatan durante la segunda guerra mundial, la idea del clculo Monte Carlo es mucho ms antigua que la aparici6n de los computadores y era conocido anteriormente por el nombre de "muestreo estadstico", cuando los clculos an se realizaban con papel y lpiz.

Inicialmente Monte Carlo no fue un mtodo para resolver problemas en fsica, sino para evaluar integrales que no podan ser evaluadas de otra manera: el clculo de integrales de funciones pobremente comportadas y las integrales en espacios multidimensionales fueron dos areas en las que el rnetodo Monte Carlo prob ser muy provechoso. Posteriormente, con el advenimiento de las maquinas mecnicas para realizar clculos a finales del siglo diecinueve, la posibilidad de realizar un enorme nurnero de operaciones aritmticas permiti aplicar la tcnica de muestreo estadstico a problemas fsicos. EI primer ejemplo de un clculo Monte Carlo del movimiento y colision de molculas en un gas fue descrito por William Thomson en 1901. La primera aplicacin real del mtodo de muestreo estadstico a un problema fsico parece haber sido hecha por Enrico Fermi en sus trabajos de difusin de neutrones, a principios de 1930. Fermi nunca publico sus trabajos, pero (de acuerdo con su estudiante y colaborador Emilio Segre) sus mtodos fueron precisamente los rnetodos Monte Carlo usados posteriormente por Stanislaw Ulam, John von Neumann y Nick Metrpolis para la construccin de la bomba de hidrogeno en el computador electrnico ENIAC

USOS A LO LARGO DE LA HISTORIA [2]

Si bien tradicionalmente se considera que el mtodo Monte Carlo se uso por primera vez en EE.UU. para el desarrollo de las primeras armas nucleares, lo cierto es que el primer uso documentado del mtodo data de una fecha tan lejana como 1733, en la resolucin del problema conocido como problema de la aguja de Buffon. Posterior a este experimento y basndose en el, Laplace en 1820 sugirio el calculo del numero pi. Sin duda alguna, el primer experimento que podramos considerar de muestreo aleatorio fue el realizado por William Gossett mas conocido como Student quien, como empleado de Guiness, estaba estudiando la relacin entre la calidad de dicha cerveza y algunos factores que intervenan en su produccin. Dado el carcter confidencial del trabajo, los resultados se dieron a conocer utilizando un estudio que relacionaba la estatura de 3.000 criminales con la longitud del dedo corazn de su mano izquierda. Una vez transcritos los datos se realizaron 750 muestras de tamao 4 cada una.Finalmente, llegamos al uso del ordenador para llevar a cabo simulaciones estocsticas. Los primeros en hacerlo fueron los cientficos americanos encargados del desarrollo de la Bomba H, es concreto fueron Stanislaw Ulam y John Von Neumann quienes usaron el ordenador de la Universidad de Pennsilvania para trazar las trayectorias que un neutrn poda seguir en el transcurso de una fision nuclear. Como se ha indicado anteriormente, Monte Carlo puede usarse tanto para la resolucin de problemas determinsticos como aleatorios. Dentro de los primeros se puede citar la resolucin de integrales que no encuentran solucin por mtodos analticos.

MONTE CARLO Y NMEROS ALEATORIOS [3]

Mtodos de simulacin de Monte Carlo no siempre requieren nmeros verdaderamente aleatorios para ser til, mientras que para algunas aplicaciones, tales como las pruebas de primalidad, la imprevisibilidad es vital. Muchas de las tcnicas ms tiles de usar deterministas, secuencias pseudoaleatorios, por lo que es fcil de probar y volver a ejecutar simulaciones. La nica cualidad suele ser necesario para tomar buenas simulaciones es la secuencia pseudoaleatoria a aparecer "bastante aleatorio" en cierto sentido.

NUMEROS PSEUDOALEATORIOS [4]Los nmeros aleatorios son aquellos que solamente ocurren al azar y son generados por fichas numeradas que son sacadas al azar de bolsos permitiendo reemplazo, por dados bien equilibrados, por una ruleta y por equipos de lotera neumticos. Todos estos sistemas generan corrientes de nmeros aleatorios sin ciclos repetitivos y se distribuyen uniformemente entre los valores 0 y 1. Esto quiere decir, que la corriente de nmeros as obtenida queda representada por una distribucin uniforme, cuyo valor esperado (media) es y cuya varianza es 1/12

MANERAS DE GENERAR NUMEROS PSEUDOALEATORIOS [4] Existen dos maneras bien conocidas para generar nmeros pseudoaleatorios. La primera de ellas poco eficiente y la segunda tan eficiente como se requiera. La primera manera de generar estos nmeros es la denominada tcnica de los dgitos medios de un cuadrado y es as denominada por utilizar el juego de dgitos que se ubica en la mitad del nmero que resulta de elevar al cuadrado el nmero semilla. La segunda manera es el sistema de los nmeros aleatorios congruentes en la cual, se emplea el trmino numero aleatorio con el mismo significado de numero pseudoaleatorio, pero el nmero generado es pseudo aleatorio y no aleatorio por estar determinado con un algoritmo determnistico. CONDICIONES QUE DEBEN SER CUMPLIDAS POR LOS NUMEROS PSEUDOALEATORIOS [4]Los nmeros pseudoaleatorios deben cumplir con tres condiciones muy importantes para que puedan servir en los procesos de simulacin: 1. Todos ellos deben estar distribuidos uniformemente entre 0 y 1. 2. Los nmeros que se generen no deben presentar correlacin serial. (Se explica ms adelante) 3. Deben presentar un ciclo muy largo, que resulte muy superior al tamao de la muestra (Nmero de Repeticiones de la Simulacin) que requiera la simulacin.

PASOS PARA REALIZAR EL METODO MONTE CARLO [5]1. Establecer distribuciones de probabilidad. La idea inicial es la generacin de valores para las variables que componen el modelo a efectuar. Existen una gran variabilidad de ejemplos donde se llega anotar este punto, algunos de ellos son: el tiempo de descompostura de una maquina, la demanda de un inventario sobre una base diaria o semanal, el tiempo deservicio, etc. Y una manera fcil de establecer una distribucin de probabilidad de una variable es a travs de examen histrico. La frecuencia relativa para cada resultado de una variable se encuentra al dividir la frecuencia de la observacin entre el nmero total de observaciones. 2. Construir una distribucin de probabilidad acumulada para cada variable. Aqu se tiene que convertir una distribucin de probabilidad regular a una distribucin de probabilidad acumulada. Esto quiere decir que la probabilidad acumulada para cada nivel de demanda no es ms que la suma del nmero en la columna de la probabilidad agregada a la probabilidad acumulada anterior. 3. Establecer intervalos de nmeros aleatori os. En este paso se debe asignar un conjunto de q represente a cada valor posible. Estos estn establecidos como intervalos de nmeros aleatorios que surgieron un proceso aleatorio (tomando el nmero de dgitos requeridos). 4. Generacin de nmeros aleatorios. Estos nmeros se pueden generar dedos maneras: la primera es, si se tiene un problema grande y el proceso involucra miles de ensayos, lo conveniente es utilizar algn software especializado para generarlos; la segunda, si la simulacin se tiene que hacer a mano, los nmeros se pueden seleccionar en una tabla establecida de nmeros aleatorios. 5. Simular el experimento. No es ms que poner en prctica la simulacin de dicho experimento, mediante varios ensayos para poder concluir correctamente, ya que al hacer pocos ensayos podramos comer errores que perjudicaran el experimento o en el peor de los casos echarlo a perder.

APLICACIONES DEL METODO MONTE CARLO EN LA INGENIERIA [6] Mtodos de Monte Carlo son ampliamente utilizados en ingeniera para el anlisis de sensibilidad y anlisis probabilstico cuantitativa en el diseo del proceso. La necesidad surge de la conducta interactiva, co-lineal y no lineal de simulaciones de procesos tpicos. En la microelectrnica de ingeniera, mtodos de Monte Carlo se aplican a analizar las variaciones correlacionadas y no correlacionadas en los circuitos integrados analgicos y digitales. En geoestadstica y Geometalurgia, mtodos de Monte Carlo sustentan el diseo de diagramas de flujo de procesamiento de minerales y contribuyen al anlisis de riesgo cuantitativo. En el anlisis de rendimiento de la energa elica, la produccin de energa prevista de un parque elico durante su vida til se calcula dar diferentes niveles de incertidumbre Impactos de la contaminacin son simuladas y diesel en comparacin con la gasolina. En robtica autnoma, Monte Carlo localizacin puede determinar la posicin de un robot. Se aplica a menudo a filtros estocsticos tales como el filtro de Kalman o un filtro de partculas que forma el corazn del algoritmo de SLAM. En la ingeniera aeroespacial, se utilizan los mtodos de Monte Carlo para asegurar que mltiples partes de un ensamblaje encajan en un componente del motor. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS NORMALES [7] Si slo se dispusiera de nmeros aleatorios uniformemente distribuidos no sera posible emplear el proceso de simulacin de Monte Carlo, por cuanto obligaramos a emplear una distribucin de probabilidades que no se ajustara a la realidad en la mayora de los casos, pues es seguro que muchas variables empleadas en los modelos de simulacin probabilstica responden a distribuciones que difieren notablemente de la uniforme. La distribucin normal o gaussiana es una de las que ms se ajusta a los casos que se estudian en la geotecnia, seguida por las distribuciones lognormal, beta y gamma. La distribucin del VALOR EXTREMO es de suma utilidad cuando se trabaja en Ingeniera Sismo resistente y en Hidrologa. IMPORTANCIA DEL METODO MONTECARLO [8]La importancia actual del mtodo Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difcil solucin por mtodos exclusivamente analticos o numricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilstica artificial (resolucin de integrales de muchas variables, minimizacin de funciones, etc.). Gracias al avance en diseo de los ordenadores, clculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en da se presentan como asequibles para la resolucin de ciertos problemas.

CONCLUSIONES DEL METODO MONTE CARLO El mtodo de Montecarlo fue creado por investigadores estadounidenses para resolver problemas fsicos y qumicos en la realizacin de la bomba atmica para la cual se emple durante la Segunda Guerra Mundial. Despus de esto el modelo fue empleado para la resolucin de mltiples problemas matemticos con exitosos resultados. Este mtodo es aplicable para cualquier tipo de problema ya sea deterministico o estocstico. Se emplea en problemas complejos que solamente se pueden resolver por programas de computadora, as como problemas simples que se resolvern a mano sin tanta dificultad.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] Historia del mtodo de Monte Carlo, http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/oldweb/s 1998/oscar/node2.html

[2] Simulacin de Monte Carlo, Historia, definiciones, aplicaciones, utilizar en matemticas, Disponible en http://centrodeartigos.com/articulosutiles/article_100105.html [3] Simulacin de Monte Carlo - http://www.slideshare.net/CrypticHernndezOrt ega/resumen-simulacion-de-montecarlo

[4] Real Options andMonte Carlo Simulation, SUSANA ALONSO BONIS, VALENTN AZOFRA PALENZUELA Y GABRIEL DE LA FUENTE HERRERO, UNIVERSIA BUSINESS REVIEW - ACTUALIDAD ECONMICA | CUARTO TRIMESTRE 2007 | ISSN 1698-5117. http://ubr.universia.net/pdfs/UBR0042007052.pdf

[5] Simulacin de Monte Carlo en Ingeniera Geotcnica, y su aplicacin en el anlisis de riesgos, Disponible en: http://www.centenorodriguez.com/files/VIII_Conferencia_Gustavo _Perez_Guerra_XVIII_Seminario_SVDG_Novi embre_2002_Caracas_Venezuela.pdf

[6] SIMULACION DE MONTE CARLO Y SU APLICACION A LA INGENIERIA GEOTECNICA. Prof. Ing. Roberto Rafael Centeno Werner, Centeno Rodriguez & asociados. Ingenieros Consultores, Caracas Venezuela - XVII Seminario Venezolano de Geotecnia. Del Estado del Arte a la Prctica VIII CONFERENCIA GUSTAVO PEREZ GUERRA, Email: robertocenteno@telcel.net.vehttp://www.centenorodriguez.com/files/VIII_Conferencia_Gustavo_Perez_Guerra_XVIII_Seminario_SVDG_Noviembre_2002_Caracas_Venezuela.pdf

[7] Simulacin Monte Carlo, Disponible en: http://www.bdigital.unal.edu.co/4748/2/nelcyyazminninoalfonso.2011.parte2.pdf

[8] Aplicacin de Simulaciones Monte Carlo para el anlisis de informacin CT y su uso en PET y Dosimetra, Memoria del Trabajo para la obtencin del Diploma de Estudios Avanzados, Realizado por: Jacobo Cal Gonzlez - Dirigido por: Jose Manuel Udas Moinelo - Madrid, Junio 2010