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ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS A

PARTIR DEL MODELO DE VAN HIELE

Teresita de Jesus Daniel Ancheta teresita.tdj96@gmail.com

Jesus Eduardo Rubio Valenzuela eduardo.rvlza.21@gmail.com

Escuela Normal Superior de Hermosillo, Sede Hermosillo

RESUMEN

La siguiente investigación es de tipo

estudio de caso con un enfoque mixto, donde

se analiza la práctica docente de normalistas

que se llevó a cabo en una Escuela

Secundaria con segundo grado, en

Hermosillo, Sonora, donde la enseñanza fue

planeada y realizada a partir de los

conocimientos previos que poseían los

alumnos respecto al tema de proporcionalidad

y funciones. Este trabajo fue realizado

tomando como referencia el modelo de Van

Hiele, en el cual se realizó una adaptación

para enseñar dicho tema con base en los

niveles de razonamiento que presentaban los

alumnos y además tomando en cuenta las

fases que implica superar cada nivel según

dicho autor. Con todo lo antes mencionado, la

finalidad es poder diseñar una propuesta que

ayude a los alumnos a obtener un aprendizaje

significativo.

PALABRAS CLAVE: Conocimientos previos, enseñanza, niveles de razonamiento, aprendizaje significativo.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Durante la primera jornada de observación y práctica docente (OPD), realizada del

13 al 17 de marzo del 2017, se llevó a cabo la práctica docente con grupos de segundo

grado, con alrededor de 30 alumnos por grupo. Para esta semana se tenían asignados los

temas “ángulos inscritos y centrales de una circunferencia” y “puntos en el plano

cartesiano”.

Durante la elaboración de la planeación para dicha jornada, se diseñó un examen

diagnóstico para reconocer qué sabían los alumnos con respecto el tema y trabajar acorde

a ello durante toda la semana. Al revisar el examen se obtuvo como resultado que la

mayoría de los alumnos tenían calificaciones no aprobatorias.

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Por lo anterior, se busca en este proyecto investigar y aplicar una secuencia didáctica

que tome como referencia los conocimientos previos de los alumnos.

A continuación, se presentan las preguntas y objetivos que dirigen la investigación.

Interrogante central

¿Cómo es el conocimiento previo de los alumnos en el tema proporcionalidad y

funciones, y de qué manera se puede enseñar con base en él?

Preguntas de investigación

¿Cómo es el conocimiento previo de los alumnos en el tema proporcionalidad y funciones?

¿Cómo reaccionan los alumnos ante la enseñanza a partir de conocimientos previos? Objetivo general

Categorizar el nivel de conocimientos previos en el que se encuentran los alumnos

para enseñar con base en ellos.

Objetivo específico

Categorizar los conocimientos previos de los estudiantes con respecto al tema proporcionalidad y funciones.

Llevar a cabo la práctica de enseñanza a partir del nivel en el que se encuentran los alumnos para el logro de un aprendizaje significativo.

Marco teórico

Una de las investigaciones que se vincula con el proyecto de investigación fue

realizada por Carlos Mario Jaramillo López y Pedro Vicente Esteban Duarte, que lleva por

nombre "Enseñanza y aprendizaje de las estructuras matemáticas a partir del modelo de

Van Hiele", el propósito de dicho trabajo fue mostrar la importancia de las relaciones que un

alumno puede llegar a construir cuando se enfrenta a un concepto matemático y su

estrecha relación con la idea de estructura en el modelo de Van Hiele.

La relación que existe entre la investigación anterior y la presente en este trabajo es

que ambas están diseñadas con fundamentos de un mismo modelo de enseñanza de las

matemáticas, en donde buscan, a través de una medición de niveles basados en el modelo

educativo de Van Hiele, diseñar estrategias que permitan un aprendizaje significativo. Para

llevar a cabo estas estrategias, se le da gran importancia a la manera de estructurar y llevar

a cabo la clase frente al grupo. Además, en esta investigación, la forma de evaluar el

proceso de aprendizaje es mediante un cuestionario con preguntas que pertenezcan a las

características que los alumnos poseen en cada uno de los niveles con respecto al tema

proporcionalidad y funciones.

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Ahora bien, se presentan los conceptos que dan sustento al proyecto de

investigación, tomando como tema central la enseñanza a partir de conocimientos previos

para el logro de un aprendizaje significativo.

Figura 1. Esquema teórico

Daniel y Rubio (2017).

La investigación tiene fundamentos en la visión constructivista del aprendizaje

significativo de Ausubel (1983), el cual sucede: cuando los contenidos son relacionados de

modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno ya sabe. Por

relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se relacionan con algún

aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del alumno, como

una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición (Ausubel, 1983).

El aprendizaje significativo se logra cuando una nueva información se conecta o

relaciona con los conceptos más relevantes existente en la estructura cognitiva, de tal

manera que esta adquiere un significado. Con estructura cognitiva Ausubel se refiere “al

conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del

conocimiento, así como su organización” (Ausubel, 1983).

Para que los alumnos logren un aprendizaje significativo “es de vital importancia

conocer la estructura cognitiva, [o conocimientos previos] del alumno; no sólo se trata de

saber la cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones

que maneja, así como de su grado de estabilidad” (Ausubel, 1983).

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La concepción constructivista propone considerar un tercer aspecto indispensable en

la radiografía inicial de los alumnos: los conocimientos que ya poseen respecto al contenido

concreto que se propone aprender, conocimientos previos que abarcan tanto conocimientos

e informaciones.

Los niveles de razonamiento, como los denomina Van Hiele, son aquellos a través de

los cuales progresa la capacidad de razonamiento matemático de los seres humanos desde

que inician su aprendizaje, hasta que llegan a su máximo grado de desarrollo intelectual en

cierto campo. Van Hiele propone los siguientes niveles: Reconocimiento, Análisis,

Clasificación y Deducción Formal.

En el nivel de Reconocimiento, los estudiantes perciben las figuras geométricas en

su totalidad, sin reconocer sus partes ni sus propiedades matemáticas; los reconocimientos,

las diferenciaciones o clasificaciones de las figuras que pudieran realizar, se basan en las

semejanzas o diferencias físicas globales.

En el nivel de Análisis, los estudiantes pueden analizar las partes que integran una

figura geométrica y enunciar sus propiedades matemáticas.

En el nivel de Clasificación, los estudiantes son capaces de clasificar lógicamente las

diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. No

obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación.

El nivel de Deducción Formal es de alto grado de abstracción, donde se realizan

razonamientos lógicos formales y demostraciones mediante las cuales se verifica la verdad

de una afirmación, comprendiendo la estructura axiomática de los fundamentos de la

Geometría. Igualmente, se admite la existencia de demostraciones alternativas del mismo

teorema, así como definiciones equivalentes del mismo concepto.

En este proyecto de investigación se toma en cuenta que el enfoque de Van Hiele es

en el área de la Geometría, por lo que es una investigación orientada a la extensión de

dicho modelo, al ámbito del tema Proporcionalidad y funciones, el cual forma parte del Plan

de Estudios de Matemáticas 2011.

A partir del aprendizaje esperado del tema Proporcionalidad y funciones y las

características de los niveles de Van Hiele, se diseñó la siguiente tabla, la cual muestra los

conocimientos que los alumnos deben poseer en cierto nivel.

Aprendizaje esperado: Lectura y construcción gráficas de funciones lineales

asociadas a diversos fenómenos.

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Tabla 1. Niveles de razonamiento del tema Proporcionalidad y Funciones

Daniel y Rubio (2017).

Mediante la enseñanza se transmiten conocimientos, ideas, experiencias, habilidades

o hábitos mediante explicaciones o indicaciones. La enseñanza también implica a qué edad

se le va a enseñar y qué se le va a enseñar a alguien y de qué forma es preferible enseñar

ciertos contenidos para que sean aprendidos.

Hoy en día, ésta no sólo implica la acción de transmitir los métodos y técnicas que se

utilicen son muy importantes, ya que son los determinantes del aprendizaje. Para poder

enseñarle algo a alguien, se necesita su participación activa, donde comprenda la razón de

lo que está aprendiendo.

Con el fin de ayudar al alumno a pasar de un nivel de razonamiento dado, al nivel

inmediatamente superior, Van Hiele propone cinco fases de aprendizaje; son etapas en la

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graduación y organización de las actividades que debe realizar un estudiante, para adquirir

las experiencias que le lleven al nivel superior de razonamiento. Las fases de aprendizajes

son: Indagación, Orientación Dirigida, Explicación, Orientación Libre e Integración.

Fase 1. Indagación: Los alumnos interactúan acerca del tema a tratar, mientras que

el docente identifica las distintas interpretaciones

Fase 2. Orientación Dirigida: Los alumnos realizan actividades secuenciales que

implican su exploración, por medio de las cuales éstos pueden tomar conciencia de los

objetivos que se persiguen y se familiarizan con las estructuras características.

Fase 3. Explicación: Los estudiantes refinan el empleo de su vocabulario,

construyendo ahora sobre experiencias previas. La intervención del maestro en esta fase

debe restringirse a lo mínimo indispensable y orientarse a facilitar la expresión explícita de

las opiniones de los alumnos con respecto a las estructuras intrínsecas del estudio.

Fase 4. Orientación libre: Los alumnos encuentran en esta fase tareas de múltiples

pasos, así como otras que pueden llevarse a cabo por procedimientos diferentes. Esto les

permite adquirir experiencia en el hallazgo de su manera propia de resolver tareas. Los

alumnos llegan a hacer explícitas muchas de las relaciones entre los objetos de estudio

cuando se les estimula orientarse por sí mismos en el campo de investigación.

Fase 5. Integración: El concepto estudiado se reorganiza y adquiere un nuevo

significado. Se hace explícita la nueva red conceptual y el conjunto de habilidades de

razonamiento adquiridas.

El Modelo de Van Hiele está formado por dos partes; la primera de ellas es

descriptiva, ya que identifica una secuencia de tipos de razonamiento llamados los Niveles

de Razonamiento. La otra parte del modelo proporciona a los docentes, directrices llamadas

Fases de aprendizaje, las cuales facilitan a los estudiantes alcanzar un nivel superior de

razonamiento.

La necesidad del aprendizaje para poder progresar en los niveles de razonamiento

fue establecida por Van Hiele en la forma siguiente:

La transición de un nivel de razonamiento al siguiente no es un proceso natural, sino

que tiene lugar bajo la influencia de un programa de enseñanza y aprendizaje. La transición

no es posible sin el aprendizaje de un nuevo lenguaje (De la Torre, G. A. El modelo

socrático y el modelo de Van Hiele, p. 50).

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Metodología

A continuación, se presenta en modelo metodológico por el que se rige esta

investigación.

Figura 2. Modelo metodológico.

Daniel y Rubio (2017).

La investigación es de tipo estudio de caso con un enfoque mixto. El objetivo de este

tipo de investigación es estudiar en profundidad o en detalle una unidad de análisis

específica, tomado de un universo poblacional.

En la primera fase de la investigación se llevó a cabo mediante la observación, es

decir, primero se observó el comportamiento, las actitudes y las competencias de los

alumnos de segundo grado, para después registrarlo en el diario de campo.

Durante la segunda fase de la investigación, como técnica cuantitativa para el

registro de información se llevó a cabo el censo.

Tal y como se menciona en el siguiente apartado, la unidad de observación se

compone de los grupos de segundo grado sección “A”, “B”, “C” y “D”. Por otra parte, el

instrumento utilizado fue el cuestionario, el cual permitió recabar información sobre los

sujetos de la investigación.

Desarrollo y discusión

Durante las jornadas de OPD realizadas, como ya se comentó, en una escuela

secundaria de Hermosillo, se aplicaron cuestionarios a manera de diagnóstico, de forma

que con base en los resultados obtenidos se categorizará a los alumnos dependiendo del

nivel alcanzado y de esta forma determinar su nivel de conocimientos previos.

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A continuación, se presentan los resultados producto del cuestionario que dan

respuesta a una de las preguntas específicas de la investigación.

¿Cómo es el conocimiento previo de los alumnos en el tema proporcionalidad y

funciones?

El grupo de 2º “A” cuenta con un total de 29 alumnos. Como se puede observar en la

Figura 3, al aplicar el instrumento de diagnóstico en este grupo, predominó en su totalidad el

nivel 0; esto quiere decir que los alumnos eran capaces de identificar los ejes del plano

cartesiano, además de ubicar puntos en el mismo y reconocer rectas.

En el grupo de 2º “B” un total de 25 estudiantes presentaron el examen diagnóstico,

de los cuales un 16 % del grupo (4 alumnos) se ubicaron en el nivel 0; un 60 % (15

alumnos) se encontraron en el nivel 1, lo cual significa que son capaces de leer graficas de

funciones lineales asociadas a diversos fenómenos y de percibir relaciones existentes en la

gráficas de funciones lineales; a su vez, un 24 % (6 alumnos) se mostraron con

conocimiento del nivel 2, por lo que se puede decir que estos 6 alumnos eran capaces de

construir gráficas de funciones lineales, así como desarrollar una regla correspondiente a

dicha gráfica.

En el grupo de 2º “C” hay un total de 29 alumnos, de los cuales 27 presentaron el

examen diagnóstico. Como el gráfico lo indica, hay un empate exacto entre los niveles 0 y 1,

esto significa que en el grupo 10 alumnos (37 %) son capaces de reconocer el plano

cartesiano y sus componentes (pertenecientes al nivel 0). La misma cantidad de alumnos

presentaron conocimientos de nivel 1, lo que quiere decir que estos estudiantes son

capaces de leer gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos y de percibir

relaciones existentes en la gráficas de funciones lineales. Por otra parte, el 26 % de los

alumnos (7 estudiantes) presentaron el nivel 2, por lo que se puede decir que tienen la

capacidad construir gráficas de funciones lineales, así como desarrollar una regla

correspondiente a dicha gráfica.

En el grupo de 2º “D” un total de 24 alumnos presentaron el examen diagnóstico. De

estos, el 37 % presentaron el nivel 0, esto quiere decir que estos 9 estudiantes son

capaces de reconocer el plano cartesiano y sus componentes; un 33 % mostraron

conocimientos de nivel 1 por lo que se puede decir que 8 alumnos son capaces de leer

gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos y de percibir relaciones

existentes en estas gráficas; por último, un 30 % de alumnos (7 estudiantes) se ubicaron en

el nivel 2, por lo que se puede decir que tienen la capacidad construir gráficas de funciones

lineales, y a su vez diseñar una regla que le corresponda.

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Figura 3. Niveles de razonamiento por grupo.

Daniel y Rubio (2017).

Resultados

La pregunta central de la investigación es: ¿cómo es el conocimiento previo de los

alumnos en el tema proporcionalidad y funciones, y de qué manera se puede enseñar con

base en él?

Anteriormente se dio respuesta a una de las preguntas específicas, la cual da

respuesta también a la primera parte de la pregunta central de la investigación. En la

segunda parte, como se puede observar, la atención se concentra en la manera en que se

puede enseñar con base en los resultados ya presentados producto del cuestionario,

información que forma parte de la propuesta de la investigación, la cual se presenta a

continuación.

La propuesta consiste en llevar a cabo la práctica de enseñanza a partir del nivel de

razonamiento en el que se encuentran los alumnos para el logro de un aprendizaje

significativo, lo que permitirá constatar los resultados del proyecto, y describir a partir de

experiencias previas lo importante que es trabajar con base en las concepciones previas de

los alumnos.

El principal autor que da sustento a la investigación es Van Hiele, ya que su modelo

permitió diseñar niveles adaptados al tema de la proporcionalidad y funciones lineales en el

plano cartesiano y, a su vez, la implementación de un examen diagnóstico que categorizó a

los alumnos según sus conocimientos.

Hay que entender que la propuesta que se plantea está diseñada para intervenciones

de una semana, es decir, cinco sesiones, donde la primera se utiliza para aplicar el

cuestionario de diagnóstico y con cuatro sesiones restantes para realizar la intervención.

Durante estas cuatro sesiones se aplicarán (diariamente) hojas de trabajo que tienen como

objeto evaluar sí los alumnos avanzan de nivel, lo que nos permitirá concluir si la propuesta

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ha sido factible o no. Estas hojas de trabajo permiten analizar los procedimientos,

resultados y las conclusiones a las que los alumnos llegan, de manera que podemos tener

certeza del nivel de razonamiento que presentan.

Primeramente, se deberá realizar una planeación que contenga siete planes de

clase, como ya se mencionó, de estos siete se utilizarán sólo cuatro y se intervendrá a partir

de la sesión que el nivel de razonamiento de los alumnos indique, tal y como se muestra en

la siguiente tabla:

Tabla 2. Sesiones por tratar según el nivel de inicio

Tabla 2. Sesiones por tratar según el nivel de inicio

Nivel 0 Se trabajará con las sesiones 1, 2, 3 y

4

Nivel 1 Se trabajará con las 2, 3, 4 y 5

Nivel 2 Se trabajará 4, 5, 6 y 7

Daniel y Rubio (2017)

Tabla 3. Distribución de sesiones según los niveles de razonamiento del tema a tratar

Tabla 3. Distribución de sesiones según los niveles de razonamiento del tema a

tratar

Nivel 0 Sesión 1

Nivel 1 Sesión 2 y 3

Nivel 2 Sesión 4, 5, 6 y 7

Daniel y Rubio (2017)

Conclusión

El desarrollo de la investigación presentó varios retos, uno de ellos fue adaptar el

modelo educativo que propone Van Hiele a los fines de la investigación, el cual en un

principio su autor lo concibió para trabajar con geometría, y se adaptó al tema de

proporcionalidad y funciones.

El conocimiento previo, en la perspectiva de la investigación, se basó completamente

en las descripciones de los nuevos niveles planteados para la actual temática. En cuanto a

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esto, la mayoría de los alumnos se encontraron en nivel 0 y 1, lo que indica que tienen las

bases de los temas, pero existen áreas de oportunidad que se pueden trabajar para lograr

avanzar al nivel 2 en cada grupo y por alumno.

Como es bien sabido, en secundaria se dispone de alrededor de 50 minutos para

trabajar, en los cuales hay que organizar al grupo, desarrollar un tema, trabajar en una

actividad y retroalimentar la clase a manera de cierre. Aunado a esto, hay que mencionar la

dificultad de diseñar un plan de clase que contenga las 5 fases de cada nivel que se

propone en la teoría de Van Hiele.

Por lo anterior nos vemos obligados, como investigadores y como docentes a pulir

nuestra práctica y tener en cuenta posibles disrupciones y modificaciones adicionales que

se deban implementar de manera espontánea e improvisada.

Es necesario seguir mejorando el modelo de Van Hiele visto ahora desde la nueva

perspectiva, con el fin de que sea viable para posibles nuevas investigaciones, por ejemplo,

clarificar las 5 fases de cada nivel, para así desarrollar cada una de ellas de manera clara y

objetiva.

Finalmente es gratificante finalizar esta investigación pensando que el trabajo con

base en los conocimientos previos puede ser una manera de enseñar de manera más eficaz

y eficiente.

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Referencias

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S. A.

Ausubel, D. P.; Novak, J.D. y Hanesian, H. (1983). Psicología educativa: un punto de vista

cognoscitivo. México: Editorial Trillas.

Ausubel, D.P.; Novak,J; Hanesian, H. (1978). Educational Psychology: A Cognitive View.

EE.UU.: Holt, Rinehart and Winston.

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Mcgraw-Hill.

López, J.; Duarte, C.; Vicente, P. (2006). Enseñanza y aprendizaje de las estructuras

matemáticas a partir del modelo de Van Hiele. Revista Educación y Pedagogía,

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Paulo: Editora Moraes.

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