ESPECIALIZACIÓN SUPERIOR EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y TIC AGOSTO 2016

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Enseñar matemática con TIC

Clase 3: Copiado dinámico en geometría

1. Introducción

En la clase anterior nos iniciamos en el uso de GeoGebra a partir de la resolución de problemas que

involucraban la construcción de figuras. El análisis apuntó a identificar algunas características del programa y

su relación con el tipo de trabajo que pretendemos desplegar en las clases de Matemática.

En esta clase nos centraremos en otra de las actividades usuales utilizadas para el trabajo geométrico en el

aula: el copiado de figuras. La resolución de este tipo de tareas requiere la construcción de una figura igual a

la que debe ser copiada, en el sentido de que conserve las propiedades reconocidas en la original. Cuando esta

resolución es realizada en lápiz y papel, la figura se construye utilizando los instrumentos de geometría. Si

bien esta misma tarea puede ser propuesta para realizarse en un programa como GeoGebra, de manera que la

pantalla del programa sea utilizada como una hoja y sus herramientas como los instrumentos de geometría,

este es solo uno de los usos que se le puede dar al programa. Este modo de utilización no aprovecha todo su

potencial y el uso de la computadora no cambia sustancialmente la tarea de manera de que se vea enriquecida.

El potencial de la geometría con computadora radica justamente en su dinamismo. Para diferenciar estas dos

posibles puestas en práctica del copiado de figuras, proponemos distinguir entre actividades de copiado

estático y actividades de copiado dinámico.

No definiremos en este momento qué se entiende por copiado dinámico. Propondremos el abordaje y análisis

de situaciones que nos permitirán precisar cuáles son las características de este tipo de copiado. A su vez,

podremos profundizar la reflexión acerca de la distinción entre dibujo y figura, así como la función del

desplazamiento y su potencialidad para la enseñanza de los conocimientos geométricos.

1.1 El copiado de figuras

Las situaciones de copiado son importantes porque configuran un tipo de actividad que permite enfrentar a los

niños al análisis de las características de las figuras. Copiar una figura exige tomar en cuenta sus elementos,

sus medidas, identificar ciertas propiedades, para luego seleccionar los instrumentos más convenientes a

utilizar1.

1 Para ver ejemplos de actividades de copiado y su análisis didáctico recomendamos la consulta de los siguientes documentos

curriculares:

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Una cuestión muy importante a considerar es de qué manera se valida el copiado una vez que ha sido

realizado. Cuáles son los argumentos, las descripciones y las acciones que permiten determinar si un copiado

es correcto o no. La idea es realizar, en una fase posterior, un trabajo colectivo de comunicación y

comparación de los procedimientos de copiado, para analizar los aspectos que al no ser considerados pudieron

haber generado errores. Será este análisis el que dará lugar a identificar nuevas relaciones y explicitar

propiedades de las figuras en cuestión, favoreciendo la entrada en la racionalidad geométrica2.

A propósito de las actividades de copiado nos podemos preguntar: ¿Qué diferencias y qué similitudes hay entre el

entorno lápiz y papel y el trabajo con GeoGebra? ¿Qué aporta el uso de GeoGebra a los alumnos?

Dedicaremos esta clase a esbozar algunas respuestas a estos interrogantes, a partir del análisis de problemas en

torno a dos aspectos: los contenidos geométricos involucrados y las herramientas de GeoGebra necesarias para

resolverlos.

2. Copiar figuras en GeoGebra

Para comenzar a abordar los interrogantes planteados, proponemos dos actividades de copiado que nos

servirán como ejemplo. Por un lado, nos servirán para comparar y establecer diferencias y similitudes entre

actividades de copiado con lápiz y papel y en programas de geometría dinámica. Por otro lado, analizando

distintas cuestiones de su resolución, las utilizaremos como soporte para reconocer y reflexionar acerca del

modo de validar las construcciones de copiado realizadas en programas de geometría dinámica como

GeoGebra.

Problema 1

Cuadernos para el Aula, matemática 4. Buenos Aires. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007 (páginas 143

a 145). Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf Fecha de consulta: 7/1/2014

Diseño Curricular para la Educación Primaria. Primer Ciclo. La Plata. Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de

Buenos Aires, 2008 (pág 207:). Disponible en:

http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentosdescarga/primaria1ciclo.pdf

Fecha de consulta: 7/1/2014

Diseño Curricular para la Educación Primaria. Segundo Ciclo. La Plata. Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de

Buenos Aires, 2008 (pág 199 a 204). Disponible en:

http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentosdescarga/diseniocurricularparaed

ucacionprimaria2ciclo.pdf Fecha de consulta: 7/1/2014

2 Para ampliar la información sobre la gestión de clase en situaciones de copiado de figuras recomendamos la lectura de

ITZCOVICH, H.; BROITMAN, C. (2001). Documento Nº3. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB.

Buenos Aires. DGCyE. Subsecretaría de Educación (páginas 13 a 16). Disponible en:

http://servicios2.abc.gov.ar/docentes/capacitaciondocente/plan98/pdf/geometria.pdf Fecha de consulta: 7/1/2014

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Reproduzcan en GeoGebra la siguiente figura formada por dos circunferencias tangentes.

Como dijimos anteriormente, una actividad de copiado nos enfrenta con la necesidad de analizar las

características de las figuras. Una primera cuestión que podemos preguntarnos es por qué en la descripción de

la figura no se dan medidas. El objetivo en el copiado de figuras con programas de geometría dinámica es que

se pueda reproducir una figura con las mismas características que la dada, que no se deforme al ampliarla, lo

que hace imprescindible el reconocimiento de esas características como propiedades de la figura. Este tipo de

trabajo claramente abona a la diferenciación entre dibujo y figura a la que se hizo referencia en la clase

anterior mediante el texto de Restrepo3. Por estas razones, las medidas fijas de los elementos de la figura no

son relevantes, aunque sí son fundamentales las medidas relativas, la relación que existe entre las distintas

medidas de la figura.

En este caso, el texto que acompaña nos informa que se trata de dos circunferencias tangentes. Además,

podemos observar que una de ella pasa por el centro de la otra. Sin embargo, esa información no es suficiente

para poder realizar la construcción. Para construir o copiar una circunferencia es preciso determinar la

ubicación del centro y la medida del radio. En este caso, no resulta fundamental conocer la ubicación precisa

de cada centro y radio, sino qué relación hay entre las ubicaciones de los centros y las medidas de los radios

de las dos circunferencias.

Al ser tangentes, los diámetros de las dos circunferencias por el punto de tangencia pertenecen a la misma

recta. Como se ilustra en la imagen, el diámetro AB de la circunferencia más pequeña y el diámetro DB de la

más grande pertenecen, ambos, a la recta m. En este caso, además, uno de los extremos del diámetro de la más

pequeña coincide con el centro de la otra (en la imagen corresponde al punto A). De estos dos hechos, y de

3 Ver RESTREPO, Angela (s/f). Génesis Instrumental del Desplazamiento en CABRI-GEOMETRE por Alumnos de 11-12 años.

Francia. Universidad Joseph Fourier.

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que ambas circunferencias comparten el punto de tangencia B, podemos deducir que el diámetro de la más

chica debe coincidir con el radio de la más grande (representados en la imagen por el segmento AB).

El centro de cualquier circunferencia se ubica en el punto medio de todos sus diámetros. Como ya

determinamos, en la figura un diámetro de la circunferencia interior coincide con un radio de la exterior, por

lo que podemos concluir que el centro de la circunferencia interior debe encontrarse en el punto medio de uno

de los radios de la circunferencia exterior. Ya podemos realizar la construcción.

● Con la herramienta Circunferencia (centro, punto) construimos una circunferencia cualquiera, que

será la circunferencia exterior.

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● Con la herramienta Medio o Centro construimos el punto medio del radio que determinan los dos

puntos marcados. Para eso hacemos un clic en cada uno de los puntos.

● Para finalizar, nuevamente con la herramienta Circunferencia (centro, punto), construimos la

circunferencia interior, con centro en el punto medio que acabamos de marcar.

Toda la construcción depende de los dos primeros puntos que construimos para determinar la primera

circunferencia. Si hacemos un análisis de dependencia como en el módulo anterior, podremos determinar que

si movemos los puntos azules, los independientes, toda la figura se va a achicar o ampliar, pero sin

deformarse. Va a seguir siendo una circunferencia exterior con una interior tangente, de manera que la interior

pasa por el centro de la exterior.

Problema 2

Reproduzcan en GeoGebra la siguiente figura formada por un cuadrado y cuatro circunferencias tangentes.

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Al igual que en el ejemplo anterior, en el enunciado de esta actividad no se establecen medidas para la figura.

Lo que debemos determinar son las medidas relativas, la relación que existe entre las distintas medidas de la

figura, y reconocer sus propiedades.

En este caso, podríamos determinar la relación que existe entre la medida del lado del cuadrado y el radio de

cada circunferencia. Cada lado del cuadrado mide lo mismo que dos diámetros de las circunferencias, lo que

nos permite deducir que el radio de cada circunferencia (por ejemplo, en la imagen IN) mide la cuarta parte

que el lado del cuadrado (AB). Así, podemos determinar las posiciones de los centros de las circunferencias,

ya que se encuentran a un radio de distancia de los puntos de tangencia (N y M), y también las posiciones de

los puntos de tangencia, a un radio de distancia de los vértices del cuadrado (A, en la imagen). En conclusión,

los segmentos IN, IM, AN y AM miden la cuarta parte de la medida del lado del cuadrado.

Recapitulando, podemos ver que si tenemos un cuadrado ya construido, es posible deducir la medida de los

radios de las circunferencias, las posiciones de sus centros y de los puntos de tangencia, lo que nos permite

realizar la construcción de todos los elementos de la figura. Comencemos.

● Construimos un cuadrado cualquiera, con la medida de sus lados variable. Para eso utilizamos la

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herramienta Polígono regular, marcando dos puntos en cualquier parte de la pantalla y especificando

luego la cantidad de lados: 4.

● Para poder dividir a cada lado en cuatro partes iguales utilizamos la herramienta Medio o Centro. Esta

herramienta se puede utilizar haciendo clic en un segmento ya construido, o bien haciendo clic en dos

puntos, de manera que quede construido su punto medio. Primero construimos el punto medio de cada

lado del cuadrado, y luego el de cada mitad de cada lado que quedó determinada.

● Luego construimos los segmentos y sus intersecciones que determinan los centros de las

circunferencias.

● Con la herramienta Circunferencia (centro, punto) se pueden construir las circunferencias haciendo el

primer clic en el centro y el segundo en un punto de paso, en este caso el de tangencia.

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● Para finalizar, podemos ocultar los objetos auxiliares, los que tuvimos que crear y utilizar para

construir la figura, pero que no son parte de ella. Haciendo clic en el botón derecho del mouse en cada

uno de ellos, se puede elegir la opción Objeto visible del menú contextual.

Toda la construcción depende de los dos primeros puntos que construimos para determinar el cuadrado. Si

hacemos un análisis de dependencia podremos determinar que si movemos los puntos azules, los

independientes, toda la figura se va a achicar o ampliar, pero sin deformarse. Es decir, seguirá siendo un

cuadrado con cuatro circunferencias tangentes iguales entre sí.

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Hemos mostrado una posible construcción, pero no la única. Se pueden elegir otros recorridos, que pondrán la

lupa sobre otras relaciones. Resulta muy interesante en un espacio de discusión colectiva analizar por qué esas

construcciones llevan a la misma figura.

3. Reflexiones finales

Podemos utilizar los ejemplos de copiado dinámico para reflexionar acerca de las similitudes y diferencias que

poseen con las actividades de copiado con lápiz y papel.

En los copiados con lápiz y papel se intenta que la reproducción de una figura sea igual a la original. Y, si no

igual, que sea copiada a una escala determinada, por ejemplo, que todos los segmentos de la figura copiada

midan el doble que los de la original. Los programas de geometría dinámica nos brindan la posibilidad de

generar muchas figuras rápidamente por medio del arrastre, de manera que las figuras resultantes comparten la

forma y las relaciones entre los elementos que las componen, según cómo se haya realizado la construcción.

Esto hace que la figura construida no sea una sola figura para comparar con la original, sino una familia de

figuras con las mismas propiedades, generada por el arrastre de los puntos libres. Si tomamos en cuenta el

primer ejemplo, el enunciado nos dice que se trata de una “figura formada por dos circunferencias tangentes”.

Sin embargo, nuestra construcción en GeoGebra permite generar muchas figuras formadas por dos

circunferencias tangentes, hecho que resulta imposible con lápiz y papel. Esto ayuda a que los alumnos se

vayan desprendiendo de una mirada apegada a las medidas de los elementos de las figuras para comenzar a

reconocer las relaciones existentes entre esas medidas. Podríamos decir que el uso de GeoGebra obliga a

desprenderse de las medidas a partir del uso de la herramienta de arrastre.

En cuanto a la validación del copiado, existen tanto diferencias como similitudes que es necesario poner en

claro. Como procedimiento de validación se proponen dos actividades diferentes: en lápiz y papel

generalmente se especifica que “hay que copiar la figura de manera tal que la copia y el original se puedan

superponer”; en cambio, en los copiados dinámicos se pide que “al arrastrar los puntos libres la figura no se

deforme”. Estas dos actividades, la de superposición y la de arrastre, si bien pueden contribuir a identificar un

copiado como erróneo, no permiten validar completamente una construcción. No necesariamente permiten

saber por qué la construcción es incorrecta. Para validar un copiado es necesario que los alumnos expliciten

las relaciones y propiedades identificadas y deducidas de la figura original, para luego argumentar de qué

manera se obtuvieron mediante la construcción esas relaciones y propiedades en la figura copiada. Esto es lo

que hicimos en los dos ejemplos expuestos.

Actividades

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Actividad en GeoGebra

Los siguientes cuatro triángulos rectángulos isósceles son piezas de un Tangram. Los dos triángulos más

chicos son iguales, del mismo modo que los dos más grandes. Los catetos (lados perpendiculares) de los

triángulos grandes miden el doble que los catetos de los triángulos chicos.

Realizá una copia dinámica de la figura que fue construida con los triángulos anteriores.

Realicen la construcción anterior en lápiz y papel.

Comparen los conocimientos, relaciones y propiedades que se ponen juego al realizar esta construcción en

lápiz y papel y con GeoGebra.

Los invitamos a compartir el análisis en el foro Actividades de copiado con GeoGebra.

Bibliografía de referencia

Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires (2008) Diseño Curricular

para la Educación Primaria. Primer Ciclo. La Plata. DGCyE. Disponible en:

http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentos

descarga/primaria1ciclo.pdf Fecha de consulta: 7/1/2014

Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires (2008) Diseño Curricular

para la Educación Primaria. Segundo Ciclo. La Plata. DGCyE. Disponible en:

http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentos

descarga/diseniocurricularparaeducacionprimaria2ciclo.pdf Fecha de consulta: 6/1/2015.

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Itzcovich, Horacio; Broitman, Claudia (2001) Documento Nº3. Orientaciones didácticas para la

enseñanza de la geometría en EGB. Buenos Aires. DGCyE. Subsecretaría de Educación. Disponible

en:

http://servicios2.abc.gov.ar/docentes/capacitaciondocente/plan98/pdf/geometria.pdf Fecha de

consulta 14/1/2014.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007) Cuadernos para el Aula,

matemática 4. Buenos Aires. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación.

Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf Fecha de consulta

14/1/2014.

Restrepo, Angela (s/f). Génesis Instrumental del Desplazamiento en CABRI-GEOMETRE por

Alumnos de 11-12 años Francia. Universidad Joseph Fourier.

Autores: Mauro Nicodemo - Gladys Tedesco Cómo citar este texto: NOVEMBRE, Andrea (coord.) (2014). Clase Nº3: Copiado dinámico en geometría. Título Módulo: Enseñar Matemática

con TIC. Especialización docente de nivel superior en Educación Primaria y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación y

Deportes de la Nación.

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