Entre el pla i l’espai, la visualització

Reflexions sobre el bloc Espai i Forma

Cecilia CalvoDavid Barba

Barcelona, Girona, Lleida, TarragonaAbril-Maig 2012

Ordenació dels ensenyaments de l’educacióprimària i secundària

Estructuració de continguts del bloc espai i forma

cal desenvolupar (el coneixement i) l’anàlisi de les característiques i propietats de les figures de tres i dues dimensions;

localitzar i descriure relacions espacials;

identificar i aplicar transformacions geomètriques, i

utilitzar la visualització i els models geomètrics per resoldre problemes.

Diari Oficial de la Generalitat de CatalunyaDOGC núm. 4915 - 29/06/2007

Marc conceptual de PISA

La geometria és la base de l’espai i la forma, però aquesta categoria va més enllà de la geometria tradicional ja que inclou elements d’altres àrees matemàtiques com ara la visualització espaial, la mesura i l’àlgebra.

La competència matemàtica en espai i forma inclou un seguit d’activitats com ara crear i llegir mapes, transformar formes mitjançant la tecnologia, interpretar imatges d’escenes tridimensionals des de diferents perspectives, construir representacions de formes.

Marc conceptual de matemàtiques PISA 2012Consell Superior d’AvaluacióColecció “Documents” Nº 18 Febrer 2011

Tres activitats

Construïm o dibuixem polígons?

Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?

Quines fotografies tiraries per descriure aquest objecte?

Construïm o dibuixem polígons?

Geometria plana: fins ara

Prototips

Etiquetes

Definicions de diccionari

Geometria plana

Univers de figures

Eines per comunicar

Propietats comunes

Prototips

Etiquetes

Definicions de diccionari

Univers de figures: tangram

Univers de figures: tangram

?

Univers de triangles: tangram

e

o o o

Univers de quadrilàters

Construeix tots els quadrilàters que puguis

Univers de quadrilàters

Quadrats, rombes, paral·lelograms, trapezis, rectangles, quadrilàters no convexos

Perímetre, àrea, angles, simetries,

Univers de quadrilàters en un ambient de resolució de problemes

ab

c

Com els anomenem?

ab

c

Univers de quadrilàters en un ambient de resolució de problemes

Les eines determinen la tasca: dibuixar sobre paper blanc, en un geoplà o ...

Les eines determinen la tasca: paper

Plegat de paper

Les eines determinen la tasca: regle i ...

Regle i escaire Regle i semicercle Regle i compàs ...

ROMBE SABENT LES DIAGONALS

Les eines determinen la tasca: les tires

Univers de triangles amb tires de colors

De les tires a la construcció amb regle i compàs

Entre dibuixar i construir: explicar

Vinyetes

Vocabulari

Justificació

arc, vèrtex, circumferència, centre, radi, intersecció, ...

“La circumferència representa el conjunt de punts que estan a una distància d del vèrtex A”

Dibuixar o construir: dibuix tècnic

Dibuixar o construir: Geogebra

Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?

Comentari 1

No es fàcil comptar el nombre de cares, arestes o vèrtexs d’un poliedre a partir d’una imatge

Comentari 1

De tota manera, imatges com les de la galeria d’imatges de poliedres de la Vikipedia poden ser un bon recurs

Comentari 1

Però no substitueixen l’experiència de comptar cares, arestes i vèrtexs tocant l’objecte.

Capsa de cossos

Envasos

Comentari 2

Existeixen materials manipulatius que faciliten la tasca de comptar cares i d’altres que faciliten la tasca de comptar arestes i vèrtexs.

Comentari 2

Aquests materials poden ser comercials o casolans.

A la pàgina web de l’Espai Jordi Esteve trobareu informació sobre els dos tipus de materials

http://edumat.uab.cat/materials/Index.php?opcio=mostra_familia&id=10

http://edumat.uab.cat/materials/Index.php?opcio=mostra_familia&id=9

Comentari 3

A més de comptar tocant, hem de promoure que els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs imaginant el poliedre.

Comentari 3

Per exemple, si a la caixa de poliedres que portem a l’aula només hi ha piràmides de base quadrada, podem demanar-los que imaginin una piràmide que tenga com a base un triangle o un pentàgon.

cares

arestes

vèrtexs

Comentari 3

O amb alumnes més grans, podem demanar-los que imaginin una piràmide que tenga com a base un polígon de n costats.

cares

arestes

vèrtexs

Comentari 3

I podem fer el mateix per altres poliedres quan la “base” és un polígon de n costats

cares arestes vèrtexs

prismes

piràmides

bipiràmides

antiprismes

Comentari 3

I podem fer el mateix per altres poliedres quan la “base” és un polígon de n costats

cares arestes vèrtexs

prismes n+2 3n 2n

piràmides n+1 2n n+1

bipiràmides 2n 3n n+2

antiprismes 2n+2 4n 2n

Comentari 3

Vols ser milionari? una activitat perquè els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs imaginant el poliedre.http://puntmat.blogspot.com.es/2012/03/vols-ser-milionaricomptant-cares.html

Comentari 3

Problemes a l'esprint Cicle superior de Primària Edició 2012

Comentari 3

També hem de promoure que els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs invocant les propietats del poliedre.

Cub truncat

• Un cub té 8 vèrtexs, cadascun d’ells en el cub truncat es converteix en tres nous vèrtexs, per tant, el nou cos té ... vèrtexs.

• Un cub té 6 cares en truncar-lo s’afegeix una cara per cada vèrtex del cub original, per tant, queden ... cares.

• Un cub té 12 arestes en truncar-lo s’afegeixen tres arestes per cada vèrtex del cub original, per tant, queden ... arestes

Cub modificat

• El nou cos té una cara més que el cub i tres noves arestes, per tant, el nou cos té 7 cares i 15 arestes

• És cert que el nou cos té tres vèrtexs que abans no tenia però ha perdut un del vèrtexs antics per tant només s’han afegit 2 vèrtexs i el total ara és de 10.

Icosaedre

• Té 20 cares triangulars, cada cara té 3 arestes, multiplicant 20x3 podem pensar que té un total de 60 arestes però així comptem cada aresta dos cops, per tant el nombre d’arestes és 30.

• Cada cara té 3 vèrtexs però com que cada vèrtex pertany a 5 cares el nombre de vèrtexs és 20x3:5, o sigui, 12.

Comentari 4

També és important que els alumnes comptin cares, arestes i vèrtexs d’un poliedre a partir del seu desenvolupament pla.

Diagrames de Schlegel

Comentari 5

Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?

C A V

Cub 6 12 8

Prisma de base triangular 5 9 6

Piràmide pentagonal 6 10 6

Tetraedro 4 6 4

Bipiràmide quadrangular 8 12 6

Comentari 5

Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?

C A V

Cub 6 12 8

Prisma de base triangular 5 9 6

Piràmide pentagonal 6 10 6

Tetraedro 4 6 4

Bipiràmide quadrangular 8 12 6

Comentari 5

Què hi ha més en un poliedre convex: cares, arestes o vèrtexs?

C A V

Cub 6 12 8

Tetraedre 4 6 4

Bipiràmide triangular 6 9 5

Antiprisma hexagonal 14 24 12Piràmide

pentagonal truncada

7 15 10Bipiràmide heptagonal elongada

21 35 16

Icosaedre 20 30 12

Comentari 5

Què hi ha més en un poliedre convex: cares, arestes o vèrtexs?

C A V

Cub 6 12 8

Tetraedre 4 6 4

Bipiràmide triangular 6 9 5

Antiprisma hexagonal 14 24 12Piràmide

pentagonal truncada

7 15 10Bipiràmide heptagonal elongada

21 35 16

Icosaedre 20 30 12

Comentari 5

Hi ha més arestes que cares i vèrtexs junts?

C A V C+V

Cub 6 12 8 14

Tetraedre 4 6 4 8

Bipiràmide triangular 6 9 5 11

Antiprisma hexagonal 14 24 12 26Piràmide

pentagonal truncada

7 15 10 17Bipiràmide heptagonal elongada

21 35 16 37

Icosaedre 20 30 12 32

Comentari 5

Hi ha més arestes que cares i vèrtexs junts?

C A V C+V

Cub 6 12 8 14

Tetraedre 4 6 4 8

Bipiràmide triangular 6 9 5 11

Antiprisma hexagonal 14 24 12 26Piràmide

pentagonal truncada

7 15 10 17Bipiràmide heptagonal elongada

21 35 16 37

Icosaedre 20 30 12 32

Comentari 5

El teorema de Euler

Comentari 5

El teorema d’Euler es compleix per a poliedres convexos

C=16, V=16 y A=32

Quines fotografies tiraries per descriure aquest objecte?

http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723

Materials manipulatius

tridio

structurotorres

amagades

Applets

http://goo.gl/lDtQd l (ela) D t Q d

http://goo.gl/9dBQy9 d B Q y

http://goo.gl/EUgCg E U g C g

Exercicis

Exercicis

Problemes a l'esprint Cicle superior de Primària Edició 2012

http://puntmat.blogspot.com.es/2012/02/visualitzacio-amb-cubets-iii.html

Davant Dreta

Un altre exemple:

Davant Dreta

Un altre exemple:

Com volem la solució: en dues dimensions o en tres?

Davant Dreta

Un altre exemple:

En perspectiva isomètrica o cavallera?

Davant Dreta

Un altre exemple:

Amb quines eines volem que facin la representació?

Davant Dreta

Un altre exemple:

Quantes solucions volem?

Davant Dreta

Un altre exemple:

Amb quin grau d’exhaustivitat?

Davant Dreta

Un altre exemple:

Permetent cubs voladors?

per acabar...

Espai i formaa través d’activitats

geometriamesuraàlgebra

materials manipulablesregle i compàs

fotografiesplastilina origamiapplets

...

al plaa l’espai identificar

descriure/definirrepresentarcomunicar

estàticsen moviment