Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la...

75
27 Juliol 2009 • El CRM celebra els vint-i-cinc anys • Entrega de premis del XIV Cangur • Nou pla d'estudis en marxa a la UAB • Jordi Quer nou degà de la FME J. Montilla, S. Giner i J. Bruna a l’acte del 25è aniversari del CRM

Transcript of Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la...

Page 1: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

27

Juli

ol 2

00

9

SCM / Notícies / 27Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• El CRM celebra els vint-i-cinc anys

• Entrega de premis del XIV Cangur

• Nou pla d'estudis en marxa a la UAB • Jordi Quer nou degà de la FME

J. Montilla, S. Giner i J. Bruna a l’acte del 25è aniversari del CRM

Cob SCM Not’ cies Nun 27.pdf 1 29/07/09 09:24

Page 2: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Josep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Manuel Udina AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: [email protected]

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuliol 2009. Numero 27

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

[email protected]

Disseny: Teresa Sabater

Composicio en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

J. Montilla, S. Giner i J. Bruna al’acte del 25e aniversari del CRM.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report de la Junta 1Introduccio a l’us del Forum de la SCM 2

Internacional 4El 5e Congres Europeu de Matematiques 4Reunio dels presidents de les societats europees 5

In memoriam 7En record de Beno Eckmann, 1917-2008 7Albert Dou: matematic, mestre i religios 10John R. Stallings, 1935-2008 13

Noticiari 14Els vint-i-cinc anys del CRM 14Jordi Quer nou dega de la FME 17Nous plans d’estudi a la UAB 19Desena edicio de la Matefest/Infofest de la UB 21Seminari del CEMAT 22Exposicio: �Les matematiques i la vida� 23Les universitats informen 25

Activitats de la SCM 29Cangur 2009 29XLV Olimpıada Matematica Espanyola 32

Agenda 34

Contribucions 35El catala a la Universitat d’Alacant 35Sobre l’avaluacio dels matematics 36El cost del fracas escolar en matematiques 38

Premis 39Mikhail Gromov, Premi Abel 2009 39Premis de la SCM 2010 41Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer 41

Parlem de llibres 45Gabriel Ferrater i Robert Musil 45Fermat parlava i parla catala 50

Raco biografic 52

Webs de matematiques 56

Problemes 57

Tesis 62

Page 3: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

La Junta informa

Report de la Junta

Gairebe a punt d’acabar el curs 2008-2009, hemde fer un balanc positiu de l’activitat global dela Societat, tant pel que fa a les activitats quees van succeint any rere any, com per als nousprojectes endegats i aquells que preveiem dur aterme en un futur proper.

Si mirem el conjunt d’activitats regulars mesrere mes, la llista es sorprenent i dona fe delgran nombre de persones que col.laboren ambla Societat des de diferents vessants. S’ha cele-brat recentment la Trobada anual, que, sota eltıtol �Geometria, evolucio i matematica�, s’havolgut afegir a la celebracio de l’any Darwin.Fa tot just unes setmanes es van donar els pre-mis Cangur, amb un nou record de participacioi la presencia del president de la Generalitat,que l’aventura d’engrescar vint mil nois i noiesamb reptes matematics be s’ho val! El Butlletıi la SCM/Notıcies han aparegut, amb la sevaregularitat habitual, gracies a la gran dedicaciodels seus editors i les contribucions generoses—alguns cops molt ben festejades— dels socis. El�Museu de les matematiques� s’ha estrenat for-malment aquest mes de maig amb una exposicioa Figueres, i la gira per l’Escola d’Hostaleria deGirona el mes de juny i el congres de les XXIVJornades per a l’Aprenentatge i l’Ensenyamentde les Matematiques (JAEM), tambe a Girona,el juliol. Seguint amb la retrospectiva, el mesd’abril es va celebrar la prova Cangur i el premiGalois que aquest any no ha tingut candidats.El marc es el temps de l’Olimpıada Espanyolade matematiques, a la qual la Societat contribu-eix i que, enguany, va organitzar la Universitatde Girona a Sant Feliu de Guıxols. I durant elsmesos de gener, febrer, marc i abril s’organit-zen els �Problemes a l’esprint� de resolucio deproblemes en lınia i per equips dels diferentscicles educatius. Una feinada d’organitzacio quesempre ve compensada per l’exit de participacio.

Quins nous projectes s’han dut a termeaquest curs? Potser ja no es una novetat, peroper fi ja tenim el �Forum� de la Societat enmarxa. Ens ha costat mes del que preveiem i ara

encara falta el mes difıcil: que el sapiguem ferfuncionar entre tots perque serveixi com a einad’intercanvi i comunicacio entre els socis. Usanimem des d’aquı a participar-hi. Tambe s’harepres amb forca el projecte de les publicacionselectroniques, amb la reedicio de la �Geometriaaxiomatica� d’Agustı Reventos i noves propos-tes en marxa. Una iniciativa important es l’e-dicio d’una revista conjunta SCM-FEEMCATsobre matematiques i ensenyament (o educa-cio, segons la connotacio que vulguem donara cada terme) de la qual sentireu a parlar enels propers mesos. La Societat col.labora des defa temps amb la FEEMCAT (Federacio d’Enti-tats per a l’Ensenyament de les Matematiquesa Catalunya) en diferents ambits i de manerasempre molt productiva, per exemple, en l’orga-nitzacio de la �Jornada d’ensenyament�, queesta previst celebrar el proper mes de setem-bre sobre un tema relacionat, precisament, ambaquesta nova publicacio. Esperem que la revistadoni mes forca a aquesta col.laboracio i ajudi aconsolidar una comunitat matematica amplia,que integri tant els investigadors-professors comaquells que consideren la docencia com la sevaprincipal dedicacio. Finalment, la nostra soci-etat participa en l’organitzacio d’un congresconjunt de la Societat de Matematica Aplica-da i Industrial (SIAM) amb les tres societatsmatematiques estatals, la Reial Societat Ma-tematica Espanyola (RSME), la Societat Espa-nyola de Matematica Aplicada (SEMA) i la So-cietat Catalana de Matematiques, sobre sistemesdinamics i equacions en derivades parcials (EDP)(http://www.siam.org/meetings/dspdes/).

Volem esmentar, ja per acabar, tres nousprojectes que encara estan en fase preparatoriai per als quals qualsevol aportacio o suggerimentseran molt benvinguts. La Junta ha aprovat con-vocar un premi anual en honor del nostre estimatAlbert Dou, i ja ha encarregat a una comissiol’elaboracio de les bases del premi. Tambe es volorganitzar a la tardor una primera trobada derecerca en la qual els diferents grups d’investiga-

1

Page 4: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

dors de Catalunya puguin exposar les seves lıniesprincipals d’investigacio. Finalment, i seguint elmodel del congres catala-txec organitzat per laJunta anterior, hem iniciat els contactes permirar de celebrar un congres conjunt amb la

Societat Sueca de Matematiques. Esperem que,a la nostra il.lusio en aquestes noves tasques, s’hiafegeixin, com ha passat sempre, l’energia i dedi-cacio dels socis que ens ajuden a tirar endavantla Societat.

Marianna BoschSecretaria de la SCM

Introduccio a l’us del Forum de la SCM

El Forum de la SCM esta basat en un programa-ri de proposit general anomenat Snitz Forums(forum.snitz.com), que ha estat traduıt i adaptata l’estructura del web de la SCM per Abrahamde la Fuente. La figura 1 correspon a la paginad’entrada.

L’estructura de nivell mes alt es la categoria.Ara mateix n’hi ha dues: una anomenada �En-senyament� i una altra anomenada �General�.Cada categoria consta d’un o mes forums. Ala figura 1 nomes hi ha un forum per catego-ria. Dins la categoria �Ensenyament� trobemel forum �Competencies: . . .�, obert en ocasiode la jornada d’ensenyament organitzada l’anypassat per Marianna Bosch. Dins la categoria�General� trobem el forum �General�, oberten ocasio de la inauguracio del forum, per talque pugueu fer les vostres aportacions.

L’obertura i tancament de categories iforums es responsabilitat de l’administrador.Dins de cada forum, tots els usuaris son lliu-res de respondre a temes existents o d’obrirnous temes (per a aixo darrer cal clicar Temanou). Pero abans us heu de registrar.

Per registrar-vos, heu de clicar a Registre, ala part superior dreta de la barra de dalt quete el logo de la SCM. Us apareixera una paginade condicions d’us amb les quals heu d’estard’acord per tal de registrar-vos. En particular,cal activar la casella �Autoritzo que la restad’usuaris d’aquest forum puguin veure les dades(opcionals) del meu perfil, llevat de l’adreca decorreu electronic.� Aquesta lınia no us compro-met a res: si no ompliu cap dada del vostre perfil,l’unica cosa que els usuaris del forum coneixerande vosaltres es el vostre nom d’usuari.

En activar la casella mencionada i clicar D’a-cord, us apareixera el formulari per registrar-vos.

L’unica informacio obligatoria es l’adreca de cor-reu electronic, el nom d’usuari i la contrasenya.L’adreca de correu electronic quedara emmagat-zemada a la base de dades del forum, pero encap cas sera visible per la resta d’usuaris. Justa sota de l’adreca de correu, trobareu un menudesplegable que us dona l’opcio d’autoritzar a laresta d’usuaris a enviar-vos correu electronic atraves del forum. Encara que activeu aquesta op-cio, la resta d’usuaris no veuran en cap momentla vostra adreca. A mes, la podreu desactivaren qualsevol moment.1 Un cop cliqueu a Enviar,estareu registrats.

Un cop registrats, si entreu al forum �Gene-ral� trobareu el tema benvinguda, obert peren Carles Perello per tal de convidar-vos a par-ticipar. Vegeu la figura 2. En aquest momentpodeu obrir un nou tema clicant a Tema nou (laicona de la carpeta lila mes o menys al centrede la figura 2). Si, en comptes d’aixo, cliqueua benvinguda, veureu els missatges d’aquesttema (a la figura 3 nomes n’hi ha un). Al costatde la data i l’hora del missatge trobareu unesicones que, en aquest ordre, serveixen per:

1. Veure el perfil d’en Carles.2. Enviar-li un missatge per correu electronic.2

3. Veure la seva pagina personal.4. Respondre amb citacio aquest missatge. Amb

citacio significa que s’incloura el text originala la resposta. Podeu respondre sense citacioclicant a Respondre al tema sota el missatge.

Al costat dels missatges penjats per vosaltrestrobareu dues icones mes, que us permetranmodificar-los i esborrar-los.

Per a qualsevol dubte, suggeriment o correc-cio, dirigiu-vos a [email protected].

1De fet, ara mateix l’opcio d’enviar correu electronic no funciona, pero l’activarem properament.2Quan aquesta opcio funcioni.

2

Page 5: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Figura 1: Pagina principal del Forum.

Figura 2: Llista de temes del forum �General�.

Figura 3: Missatges del tema benvinguda del forum �General�.

Josep Maria MondeloVocal de la Junta de la SCM

3

Page 6: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Internacional

El 5e Congres Europeu de Matematiques

La inauguracio

El 14 de juliol del 2008, a tres quarts de nou delmatı, comenca la cerimonia inaugural del 5ECM.En entrar al magnıfic auditori del centre RAIde Amsterdam, la seu del Congres, la miradadels assistents intenta esbrinar la identitat delsjoves que seuen a la primera fila. Deuen ser elsguardonats amb el premis de la Societat Ma-tematica Europea (EMS) i el Felix Klein. Qui hosap? Aquest es un dels secrets ben guardats queaviat es destapara. En veig alguns de coneguts,francesos. Els francesos son un pel xovinistes,oi? Segur que senten una emocio especial perrebre aquest premi un 14 de juliol. Un d’ells vavestit de negre i duu corbatı. Els VIP, els quehan de parlar, tambe van vestits amb elegancia.Ens saludem. Tenen una actitud una mica ab-sent, un pel encartronada pels nervis. Les sevesments estan pendents del repte que representaexposar el resultat d’anys de feina, i tambe unamica impressionats pel directe que s’acosta, perla gran pantalla que els projectara magnificats,per la megafonia que fara audibles els discursospreparats amb tanta cura.

Al cap de poca estona, el secret es desta-pa. Ja sabem qui son els guardonats, seuen al’escenari. De sobte, l’auditori sofreix una trans-formacio inesperada. Retrocedim a l’any 1642.Per les portes principals de l’auditori entra unacompanyia d’arcabussers. La llum canvia de co-lor i d’intensitat. El to academic dels discursoses transforma en toc trepidant de tambor. Queesta passant? La companyia ocupa l’escenari,amb molta disciplina i rapidesa, amb pas teatral.Es queden quiets, com estatues. Aquı els tenim.Tots els personatges de la impressionant Rondade Nit, de Rembrandt van Rijn (1606-1699). Noson fantasmes, no. Allı en veig un de conegut:un matematic holandes. Alt i prim. Quina mera-vella! La transicio d’un espectacle tan fascinanta l’austeritat de les exposicions cientıfiques potresultar una mica brusca.

Un congres mes, entre els grans

No fa gaire, a la conferencia inaugural del curs ala Facultat de Matematiques de la UB, em vaig

referir als grans congressos (per exemple, els con-gressos internacionals de matematics (ICM) o elseuropeus (ECM)) com les passarel.les de modade les matematiques. L’expressio va sorprendreuna mica i va suscitar somriures i murmuris al’audiencia. Hauria pogut dir �fira de mostres�,pero crec que la primera descripcio es molt mesexacta. En els grans congressos, no es tractad’ensenyar totes les matematiques que es produ-eixen en el mon, ni d’establir transaccions, sinomes aviat de mostrar les tendencies, es a dir, capon van les matematiques. Ara be, a diferencia dela moda, aquestes tendencies no venen marcadesestrictament per criteris estetics, socials o mer-cantilistes, sino majorment per la importanciade resultats aconseguits recentment. Aquestaimportancia es mesura per la creacio de nouconeixement, per l’impacte potencial o real queaquests resultats poden tenir en desenvolupa-ments posteriors i per la projeccio d’aquestsnous coneixements en altres arees i disciplines.

Elaborar el programa d’aquests congressosno es una tasca gens facil. Hi ha pocs casos enque un resultat demostrat recentment es una-nimament considerat pels matematics com unafita crucial. Un exemple recent d’aquests tipuses la resolucio de la conjectura de Poincare perGregory Perelman. Pero la majoria de vegadeses tracta mes aviat de progressos graduals, quehan arribat a un nivell substancialment impor-tant, es a dir, d’un flux de resultats que vanengreixant una teoria que, amb aquest impuls,es va posicionant com a capdavantera en unaarea. D’altra banda, l’objectiu no es centrar-seen unes quantes arees de les matematiques, sinoconsiderar-les totes des d’una perspectiva d’u-nitat i valorant tambe la seva projeccio fora dela mateixa disciplina. Hi ha tambe l’aspectede comunicacio a tenir en compte. Cal que lesconferencies d’aquests congressos siguin com-prensibles pels matematics no necessariamentespecialistes en la materia de la conferencia. Es,doncs, molt important que el conferenciant faciun esforc considerable en la presentacio.

Aquests parametres van guiar l’eleccio delsdeu conferenciants plenaris del 5ECM, i tambela dels trenta-tres conferenciants invitats. Un

4

Page 7: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

total de deu nuclis tematics van ser represen-tats. Cal modular aquesta xifra pel fet que lesfronteres entre diferents arees no son estrictes.El programa del Congres va tenir tres activi-tats addicionals de molta transcendencia. Laprimera van ser les Science Lectures, tres con-ferencies per mostrar aplicacions noves de lesmatematiques a altres disciplines. En aquestaocasio, es va tractar sobre el canvi climatic (TimPalmer), informacio quantica (Ignacio Cirac) idinamica de poblacions (Jonathan Sherratt). Lasegona van ser les conferencies impartides pelsdeu joves investigadors guardonats amb els pre-mis de l’EMS i pel guardonat amb el premi FelixKlein per a matematiques a la industria (vegeula SCM/Notıcies 26, desembre 2008), una mos-tra de l’excel.lencia en les primeres etapes dela carrera investigadora. La tercera consistı envint-i-dos minisimposis, resultat d’una convo-catoria competitiva que va decidir el comitecientıfic del congres. Aquesta activitat, que pelsECM va tenir lloc per primera vegada al deBarcelona l’any 2000, te com a objectiu pro-moure una amplia participacio d’investigadorsque, a banda de sentir-se atrets per aspectes deles matematiques de caracter mes global, volentambe aprofitar l’oportunitat d’un gran congresper mostrar i participar en les tematiques mesconcretes de les seves especialitats respectives.

El balanc

Molta gent va assistir al 5ECM, al voltant d’unmiler. El centre de congressos RAI va proporcio-nar una infraestructura d’alt nivell. L’assistenciaper paısos va ser molt diversa. Sorpren l’altıs-sima participacio d’holandesos (234); darrered’ells, el segon paıs de la Unio Europea ambmes participacio va ser Espanya. I sı, els hallsi passadissos del RAI es van convertir durantla setmana del Congres en una mena de firade mostres de les matematiques. Els estands deles editorials cientıfiques, de les societats ma-tematiques, els punts de distribucio de cafe, esconvertiren en espais de transaccions, d’intercan-vis, de llocs de trobada i de discussio de plansper al futur dels congressistes. Mentre portesendins, en els auditoris, era l’espai de les pas-sarel.les. El nivell cientıfic del Congres va sermolt alt. I va ser tambe notable l’esforc delsconferenciants per fer presentacions impecablesdes del punt de vista tecnic i entenedores per aun public ampli. Es va constatar la cada vegadames frequent i intensa col.laboracio entre dife-rents camps de les matematiques i la tendenciad’aquestes a tenir un paper determinant en lagestacio i el desenvolupament de les sofisticadestecnologies que avui considerem com una claudel progres.

Marta Sanz i SoleUB. Membre del Comite Cientıfic del 5ECM

Reunio dels presidents de les societats matematiques europees

Els dies 9 i 10 de maig, convocats per l’EMS, esvan reunir a l’Institut Banach de Varsovia elspresidents de les societats matematiques europe-es. Van assistir-hi els presidents de les societatso unions matematiques d’Alemanya, Belgica,Bosnia, Bulgaria, Catalunya, Dinamarca, Espa-nya, Franca, Holanda, Hongria, Israel, Italia,Latvia, Londres, Moldavia, Moscou, Noruega,Polonia, Portugal, Regne Unit, Romania, Sueciai Xipre.

Fare una breu ressenya dels temes que esvan tractar i voldria emfasitzar la importanciaque la nostra Societat participi activament enl’esforc europeu per a prestigiar i desenvoluparla matematica, en els seus aspectes educatius,culturals, de recerca i d’ajut a les ciencies i a laindustria per al seu desenvolupament.

La reunio va comencar amb la presentaciode cadascun dels assistents en que donaren aconeixer la societat que representaven. Es vaexplicar una breu historia de l’Institut Banachates que hostatjava la reunio.

A continuacio, Ari Laptev, president del’EMS, que convocava la reunio, va dirigirunes paraules d’agraıment als organitzadors del5ECM i va cridar l’atencio sobre el 6ECM quees realitzara a Cracovia el 2012, anunciant ques’instaurava un nou premi, l’EMS/Springer pera treballs sobre la historia de la matematica.Va dir que intensificaria l’us del �Missatge delpresident� al web per a comunicar-se agilment.En particular l’havia utilitzat per donar unafelicitacio publica a Mikhail Gromov pel seupremi Abel. Va explicar que l’EMS Newsletter

5

Page 8: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

es una de les millors al mon, i que, a mes, elsmembres de l’EMS tenien acces lliure al Zentral-blatt.

Els projectes importants en els quals ell ha-via estat treballant incloıen, en primer lloc, el�Forward Look� en matematica i industria, aradirigit per Mario Primicerio, amb 150.000e, i,en segon lloc, els congresos ESF-EMS-ERCOMde matematiques.

El projecte mes important, pero, es la novacrida que es fara l’estiu del 2009 pel suport del’estructura europea de recerca, sota el tema de�infraestructures en matematiques i les sevesinterfıcies amb la ciencia, la tecnologia i la so-cietat en general�, amb un pressupost de deumilions d’euros al llarg de quatre anys.

El president Laptev va esmentar altres activi-tats, i va concloure la seva intervencio convidanta tothom a suggerir noves vies en que l’EMSpot ser mes activa i involucrada amb les activi-tats de les altres societats europees, i va oferirl’ajut de l’EMS en cas que es necessiti suportextern.

A la discussio subseguent es va fer notar queels deu milions d’euros per a infraestructures derecerca son nomes un principi, i que l’EuropeanScience Foundation (ESF), amb l’aparicio del’European Research Council (ERC), esta can-viant cap a ser mes favorable al suport de lamatematica.

Tambe es va fer notar la contradiccio crei-xent entre el valor incrementat de la matematicaa l’enginyeria, la quımica i la biologia i el decrei-xement de la quantitat de matematiques ques’ensenyen als estudiants d’aquests temes.

El tresorer de l’EMS, Jouko Vaananen, va ferun informe sobre les finances de l’EMS i vafer notar el nombre molt baix de membres deles diferents societats europees que s’apunten al’EMS i va demanar a les societats que facilitinl’adjuncio dels seus membres.

El vicepresident de l’EMS, Helge Holden, vamostrar la nova pagina web de l’EMS i va dema-nar a les societats presents que la fessin visibledes dels seus webs. L’adreca es http://www.euro-math-soc.eu

El mateix Holden va fer una descripcio del’EMS publishing house.

El secretari de l’EMS, Stephen Huggett, vafer una presentacio dels �Joint MathematicalWeekends� i va convidar els presents a fer pro-postes per a les futures edicions. Tambe va fer

una invitacio per a participar a l’esquema del’EMS Lecturer.

Tsou Sheung Tsun va presentar el treballdel comite de l’EMS per als paısos en desenvo-lupament (CDC). Tambe va demanar als mem-bres que procuressin canalitzar donacions, quetambe podrien ser en forma de llibres. Un nouprojecte del CDC es els �centres regionals emer-gents�, que va descriure. Finalment va fer unabreu introduccio al treball del Centre Internaci-onal de Matematica Pura i Aplicada (CIMPA),que promou la cooperacio internacional en ma-tematiques pel benefici dels paısos en desenvolu-pament en matematiques i les seves aplicacions.

Nuno Crato va comentar que existeix uncomite per al desenvolupament de les matemati-ques als paısos de parla portuguesa i es va estard’acord que hauria de col.laborar amb el CDC.

Rolf Jeltsch, president de l’InternationalCouncil for Industrial and Applied Mathematics(ICIAM), va fer una presentacio de la properaconferencia a Vancouver el 2011.

Stephane Jaffard va descriure com haviencanviat a Franca els processos d’avaluacio i elsprocediments per a la distribucio del suporta la recerca, donant mes autonomia a les uni-versitats. Aixo ha fet que algunes universitats,especialment les petites, utilitzin metriques in-apropiades per avaluar la recerca, a mes quela nova agencia ENR s’estima mes donar ajutsgrans per a projectes a curt termini o be que es-tan de moda. Proposa que l’EMS cerqui algunaresposta col.lectiva a aquests problemes.

Brian Davies va assenyalar que el RegneUnit va davant Franca en aquests problemes;el Research Council s’estima mes donar ajutsgrans als temes que estan de moda, i la quanti-tat destinada a treball basic de matematiquesha baixat a la meitat en cinc anys.

Rolf Jeltsch va portar a l’atencio de la reu-nio l’informe de la International MathematicalUnion (IMU) sobre l’avaluacio dels matematics.L’informe, traduıt al catala, es pot trobar alweb de la nostra societat, http://scm.iec.cat, ien va apareixer un resum a la SCM/Notıcies.

Gusein-Zade va informar sobre les escolesd’estiu a Dubna, mentre que el representant deMoldavia donava algunes dades sobre la sevasocietat i anunciava la seva intencio d’incorporar-se a l’EMS.

Va haver-hi una petita discussio sobre elsrequeriments perque les societats matematiques

6

Page 9: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

puguin incorporar-se a l’EMS (han de ser prouestables). La discussio va portar a plantejar-sefins on arriba Europa.

Michael Gunter va fer una presentacio delprojecte �Forward Look� de l’European Con-sortium for Mathematics in Europe (ECMI),suportat per l’ESF, dedicat a la matematica ila industria. Te tres lınies de desenvolupamentque son: �Desenvolupament de la carrera i en-trenament�, �Interfıcie academia-industria� i�Oportunitats i reptes�.

Pavel Exner va descriure el treball de l’ERC,que ara te cinc anys d’edat, i que esta destinata ser el cos de financament dominant a Europa.Els ajuts no tenen restriccio de nacionalitat ino es poden dedicar a les xarxes informatiquessino a l’excel.lencia cientıfica de les propostes derecerca.

Finalment, es va determinar que la seguenttrobada de presidents de les societats europeesde matematiques es realitzi a Konstanta, Roma-nia, del 15 al 18 d’abril de 2010.

Els presidents de les societats matematiques europees assistents a la reunio.

Carles PerelloPresident de la SCM

In memoriam

En record de Beno Eckmann, 1917-2008

Per a mi escriure sobre Beno Eckmann no esfacil, ja que he de destriar entre allo que repre-senta la seva trajectoria professional com un delsgrans matematics del segle xx, la seva vincula-cio amb matematics catalans i els records mespersonals d’un deixeble, primer, i amic, despres.

El primer contacte d’Eckmann amb un ma-tematic catala, o, millor dit, el primer contacted’un matematic catala amb Eckmann es remun-ta a la primavera de 1955 quan Josep Teixidorassistı a un curs seu a l’Escola Politecnica Fede-ral de Zuric (ETHZ) i entra per primera vegadaen contacte amb la topologia. El curs seguentTeixidor impartiria per primer cop un curs de

doctorat sobre teoria d’homotopia i dos anysmes tard seria Eckmann qui impartiria un cursavancat a la Universitat de Barcelona en unaepoca en que la recerca matematica al nostrepaıs era gairebe inexistent i els contactes ambcientıfics de fora practicament nuls.

Nat a Berna (Suıssa) el 31 de marc de 1917,es doctora a l’ETHZ (on havia estudiat), sota ladireccio de Heinz Hopf, l’any 1941, en questionsde la incipient teoria d’homotopia i els espaisfibrats, iniciada feia poc per Witold Hurewicz,i va mereixer per aquest treball el Premi Kerni la medalla de plata. La interrelacio entre latopologia, la geometria diferencial, la teoria de

7

Page 10: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

grups i l’algebra en general en el sentit abstracteque li havia donat Emmy Noether marcaren laseva activitat de recerca durant practicamentseixanta anys.

La influencia de Hopf es veie incrementadaamb la de Georges de Rham durant el perıode1942-1948 que Eckmann exercı de professor a laUniversitat de Lausana. No era facil la mobilitaten aquells temps en plena Segona Guerra Mundi-al o tot just acabada, pero Eckmann fou invitatl’any 1947 a l’Institut for Advanced Study, aPrinceton, on romangue un curs. Posteriorment,l’any 1948 acceptaria una placa de professor al’ETHZ, on treballa la resta de la seva vida, ambimportants i llargues estades a la Universitat deMichigan (1950), la Universitat d’Illinois (1952),la Universitat de California a Berkeley (1955) ol’Escola Normal Superior de Pisa (1958), entrealtres.

Un important canvi en les obligacions d’Eck-mann es produı l’any 1964 quan, a iniciativaseva, fou creat el Forschungsinstitut fur Mathe-matik (FIM), un centre de recerca amb unaconcepcio innovadora aquella epoca, sense per-sonal investigador fix i nomes amb investigadorsvisitants per llargues temporades i joves inves-tigadors en la seva etapa postdoctoral. Durantvint anys es va dedicar al FIM, fins a la sevajubilacio l’any 1984, en que s’allibera de la tascade direccio pero seguı plenament en la recerca.

Es en aquest perıode, concretament l’any1971, quan el vaig coneixer, en desplacar-me al’ETHZ per realitzar la tesi doctoral sota la sevadireccio. I aquell primer contacte, que dura cincanys, fou el germen del futur Grup de TopologiaAlgebraica de Barcelona, amb la tesi doctorald’Irene Llerena (dirigida per Urs Stammbach,deixeble d’Eckmann) i les estades postdoctoralsa Zuric de Jaume Aguade i de Carles Casacu-berta.

Pero l’herencia d’Eckmann a Barcelona vamolt mes enlla. La creacio del Centre de Recer-ca Matematica (CRM) l’any 1984 es basa enla mateixa idea que ell havia tingut vint anysabans a Zuric, i, cal dir-ho, encara que amb unsmitjans menors, intentarem, i aconseguırem, se-guir el mateix model, amb una eina, el CRM,al servei de la comunitat matematica catalana,es a dir, al paıs, i no nomes en benefici d’ungrup de recerca. A traves del CRM s’intensificael contacte d’Eckmann amb Catalunya, com aconferenciant invitat en els actes de celebracio

del 25e aniversari de la Universitat Autonomade Barcelona, pero sobretot per l’amistat ambWarren Dicks, ja resident a Barcelona, gaudinttot parlant de matematiques.

Camps de recerca mes destacats

Grups d’homotopia i espais fibrats. Tres treballsd’Eckmann desenvolupen sistematicament lateoria dels grups d’homotopia, introduıts perW. Hurewicz l’any 1935:• �Zur Homotopietheorie gefaserte Raume�,Comment. Math. Helv., 14 (1941/1942), pag.141-192.• �Uber die Homotopiegruppen von Grup-penraumen�, Comment. Math. Helv. 14(1941/42), pag. 234-256.• �Systeme von Richtungsfelder in Spharen undstetige Losungen komplexer linearer Gleichun-gen�, Comment. Math. Helv., 15 (1942/43), pag.1-26.

Solucions contınues d’equacions lineals. El tercertreball anterior planteja ja dues questions im-portants: a) l’existencia de sistemes de campsvectorials tangents a una varietat, b) per a quinsn i r existeix una solucio contınua de r equaci-ons lineals reals en n incognites. Despres d’algu-nes aproximacions, la solucio completa arribarial’any 1968 utilitzant el teorema de F. Adamssobre el problema de l’�invariant de Hopf 1�:• �Continuous solutions of linear equations –some exceptional dimensions in topology�, Bat-telle Rencontres 1967. Lectures in, W. A. Benja-min (1968), 516-526. Mathematics and Physics.

Cohomologia de grups, algebra homologica. La in-troduccio l’any 1945 de la cohomologia de grupscoincideix parcialment amb el treball de S. Ei-lenberg i S. Mac Lane (en plena Segona GuerraMundial no hi havia contactes entre ambdoscostats de l’Atlantic):

8

Page 11: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

•�Der Cohomologie-Ring einer beliebigenGruppe�, Comment. Math. Helv., 18 (1945/1946), pag. 232-282.

Eckmann desenvolupa l’algebra homologicai introdueix el concepte de transfer, que s’apli-caria en diverses situacions de la topologia, lateoria de grups i l’algebra:• �On complexes with operators�, Proc. Nat.Acad. Sci. USA, 39 (1953), pag. 35-42.• �Cohomology of groups and transfer�, Ann.of Math., 58 (1953), pag. 481-493.

Dualitat d’Eckmann-Hilton. Una fructıfera relaciode mes de quinze anys amb Peter Hilton donalloc a la introduccio de la teoria de la dualitatper a moduls i per a grups d’homotopia d’espais,reconeguda pel Mathematics Subject Classifica-tion en incloure-la com una seccio especial. Elprimer treball, d’una serie de mes de vint es:�Topologie et dualite�, Coll. Topol. Alg. CentreBelge de Rech. Math. (1956), pag. 41-53.Grups amb dualitat de Poincare. El concepte degrups amb dualitat homologica apareix per pri-mer cop l’any 1971 en la tesi doctoral de RobertBieri, dirigida per Eckmann.• R. Bieri, �Groupes a dualite de Poinca-re� (French). C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B273 (1971), pag. A6-A8.• �Groups with homological duality generali-zing Poincare duality�, Invent. Math., 20(2),(1973), pag. 103-124 (amb R. Bieri).

En una serie de treballs publicats durantdotze anys, Eckmann aconseguı demostrar, entreballs conjunts amb Heinz Muller i Peter Lin-nell, que els grups de dimensio dos amb dualitatde Poincare son els grups de superfıcies, un delsresultats mes importants en tota la teoria decohomologia de grups.• �Poincare duality groups of dimension two�,Comment. Math. Helv., 55 (1980), pag. 510-520(amb H. Muller).• �Poincare duality groups of dimension twoII�, Comment. Math. Helv., 58 (1983), pag. 111-114 (amb P. Linnell).

Esferes paral.lelitzables. Un exemple d’unteorema d’Eckmann

A l’article �Systeme von Richtungfeldern inSpharen und stetige Losungen komplexer linea-rer Gleichungen� (Sistemes de camps vectorialstangents sobre les esferes i solucions contınuesd’equacions lineals complexes), publicat per Eck-

mann a Comment. Math. Helv., 15 (1942/1943),pag. 1-26, demostra el teorema seguent, que des-taquem per la seva llarga historia i les molteseines topologiques amb les quals s’hi va treba-llar:

Teorema. En una esfera de dimensio 4p + 1 noexisteix cap sistema de 2 camps vectorials tan-gents continus sense singularitats ortogonals encada punt. Conseguentment, les esferes de di-mensio 4p + 1 no son paral.lelitzables.

L’existencia o no de camps vectorials conti-nus sense singularitats sobre les esferes quedadefinitivament resolt l’any 1912 quan LuitzenE. J. Brouwer, utilitzant les tecniques que ell ha-via introduıt del grau d’una aplicacio, demostraque no n’existeixen sobre les esferes de dimensioparell, essent evident que sı sobre les de dimensiosenar. L’any 1925 Heinz Hopf generalitza aquestresultat a varietats tancades orientables, i vademostrar que en aquest cas la suma dels ındexsde les singularitats es un invariant topologic, lacaracterıstica d’Euler.

En aquesta lınia el pas seguent fou estudiarl’existencia de sistemes de 2 camps vectorialstangents continus sense singularitats, ortogonalsen cada punt, molt vinculat al de l’existenciad’esferes paral.lelitzables.

Com a consequencia del teorema de Brouwerja se sabia que la resposta era negativa per a esfe-res de dimensio parell, i Eduard Stiefel, deixeblede Hopf, demostra l’any 1935 que la resposta espositiva per a les esferes de dimensio 4p− 1. Enel mateix treball, demostrava que les esferes dedimensio 1, 3 i 7 son paral.lelitzables.

Mentre que en els resultats de Brouwer i deHopf esmentats s’utilitzen les tecniques de topo-logia algebraica introduıdes per Poincare o perells mateixos, Stiefel ja fa servir essencialmentla teoria d’homologia i Eckmann, deixeble deHopf i company de Stiefel, utilitza per primercop la recent teoria d’homotopia per demostrarresultats concrets importants com l’esmentat.

L’estudi dels sistemes de camps vectorialstangents, ortogonals 2 a 2 en cada punt, i el deles esferes paral.lelitzables foren temes actius derecerca amb tecniques cada cop mes sofisticades.L’estudi de l’invariant de Hopf 1, mitjancantteoria d’homotopia i teoria K, en el qual Eck-mann contribuı, portaren a mitjan anys seixantaa demostrar que les esferes de dimensio 1, 3 i 7son les uniques paral.lelitzables.

9

Page 12: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

La seva generositat

Beno Eckmann dedica moltes hores i molts es-forcos en benefici de la comunitat matematica,la suıssa i la internacional. La mostra mes pa-tent n’es la creacio i direccio del FIM, com ja heesmentat, pero tambe en el camp editorial, coma editor de diverses revistes de recerca i series dellibres, entre les quals cal destacar Lecture No-tes in Mathematics, de l’editorial Springer, de laqual fou el propulsor i primer editor juntamentamb Albrecht Dold.

Entre els carrecs i honors que va rebre, me-reixen destacar els seguents: secretari de la UnioMatematica Internacional (1956-1961), presi-dent de la Societat Matematica Suıssa (1961-1962), conferenciant plenari al Congres Interna-cional de Matematics (1962), director del Forsc-hungsinstitut fur Mathematik (1964-1984), doc-tor honoris causa per les universitats de Fri-bourg (1964), EPF Lausanne (1969), Israel Ins-titut of Technology (1983), Universitat Ben Gu-rion (2004), membre del Consell Cientıfic de laSwiss National Science Foundation (1973-1984),president d’honor del Congres Internacional deMatematics, Zuric (1994).

La seva generositat es fa tambe palesa enel nombre de tesis doctorals dirigides, seixanta.La seva descendencia matematica passava l’any2008 de mil persones de tot el mon i de les mesdiverses arees de les matematiques. D’aquestes,trenta-cinc estan vinculades d’una manera di-recta amb la UAB arran de la meva estada al’ETHZ (vegeu http://manuel.castellet.cat). Ahttp://www.math.ethz.ch/∼eckmann/Stammbaum.ps es pot trobar l’arbre amb que elvam obsequiar els topolegs catalans en ocasiodel seu 80e aniversari, l’any 1997.

Seria deshonest per part meva acabar aques-ta semblanca sense esmentar la seva muller, Do-ris. No soc capac de recordar cap acte public defelicitacio, d’homenatge o d’agraıment en que ellno fes esment de l’ajut constant d’ella, sense laqual, deia, no hauria pogut desenvolupar la sevavida cientıfica i personal. El peu de la fotografiaque il.lustra aquesta nota, extreta de la SelectaBeno Eckmann, es manuscrit d’aquest home queens va deixar el 25 de novembre de 2008.Per a mes informacio:http://www.math.ethz.ch/ eckmannhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Biographies/Eckmann.html

Manuel CastelletUAB. Director honorari del CRM

Albert Dou: matematic, mestre i religios

Albert Dou i Mas de Xexas moria placidamenten el Centre Borja despres del migdia del dis-sabte 18 d’abril de 2009, als noranta-tres anysd’edat. Ens deixa a molts certament un buitcom a matematic, com a mestre i com a religios.

Nascut el 21 de desembre de 1915 a Olot(Girona), on va estudiar el batxillerat als esco-lapis, als setze anys es desplacava a Madrid perestudiar a l’Escola d’Enginyers de Camins, Ca-nals i Ports. Tot just tres anys despres els seusestudis van sofrir la interrupcio de la GuerraCivil. La vivencia, durant l’estiu de 1936, de laprofanacio i incendi de la capella de Sta. Mar-garida a la seva casa pairal La Dou, el va ferdecidir a anar-se’n a Saragossa i a allistar-sevoluntari a l’exercit nacional.

Als vint-i-set anys, en plena postguerra, perodespres d’haver conclos la seva carrera d’engi-nyer de camins amb premi extraordinari i d’-haver comencat fins i tot la carrera de mate-

matiques, ingressa a la Companyia de Jesus, alnoviciat de Veruela. Segueixen despres les llicen-ciatures en filosofia i teologia cursades a Sarria,i a Innsbruck i Sant Cugat, respectivament. En-tre ambdues llicenciatures eclesiastiques Albertconclou a Barcelona la seva llicenciatura en ma-tematiques, tambe amb premi extraordinari, icomenca a elaborar la seva tesi doctoral, quedefensara brillantment a la Universitat Centralde Madrid, com era llavors obligatori.

Acabava d’ordenar-se sacerdot quan en l’Es-cola d’Enginyers de Camins de Madrid li oferirenuna catedra de matematiques. L’oferiment fouinesperat, i era llavors inhabitual entre els je-suıtes dedicar-se a l’ensenyament en un centreestatal. Aixı que el 1955 Albert Dou va inau-gurar aquesta nova manera d’apostolat intel-lectual, i a mes el 1957 va obtenir la Catedrad’Analisi Matematica (Equacions Diferencials)a la Universitat Complutense de Madrid.

10

Page 13: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Els vint anys que va consagrar a aquesta do-ble catedra (1955-1975) son sens dubte els mesfecunds de la seva activitat com a matematic.Destaca en la seva docencia, i sobretot a promou-re la investigacio, en contacte amb grans figuresi centres d’arreu del mon. J. Ildefonso Dıaz,el seu antic doctorand i avui en certa manerasuccessor, com a director de l’actual Departa-ment de Matematica Aplicada en la UniversitatComplutense de Madrid, ens distingeix tres eta-pes tematiques en la trajectoria d’investigaciod’Albert Dou.

Durant la primera etapa (1950-1959), es de-dica a treballs de geometria diferencial relaci-onats amb la seva tesi sobre Els cuadriteixitsplans (un cert tramat de corbes en el pla), inspi-rada per un curset que va impartir el professorWilhem Blaschke de la Universitat d’Hamburg,al Seminari Matematic de la Universitat de Bar-celona, i publicada ıntegrament com a Memoriade la Reial Academia de Ciencies i Arts de Bar-celona el 1953. Els resultats de Dou van serressaltats pel mateix Blaschke en el seu llibrefonamental sobre el tema (1955). Dou els ha-via presentat en el Primer Congres Mundial deMatematiques (Amsterdam, 1954), i adhuc elsmilloraria posteriorment (Collectanea Mathema-tica, vol. 9, num.1, (1957), pag. 41-58).

La segona etapa (1959-1974), dedicada a l’es-tudi de l’elasticitat, comenca amb un viatge alsEstats Units subvencionat per la Fundacio JuanMarch (curs 1959-1960), basicament al CourantInstitute de Nova York, on coneix grans figures,especialment Fritz John, del qual segueix un cur-set sobre elasticitat. Publica sobre la unicitatplana en el cas d’un cilindre buit (1962) i so-bre diverses versions equivalents del principi deSaint-Venant en les bigues (1961), i comunica elsseus resultats en els congressos internacionals deWisconsin 1960 i Estocolm 1962, aixı com en lesdues primeres RAME, Madrid 1960 i Saragossa1961. Aquestes investigacions reben un nou im-puls amb un segon viatge als Estats Units (1963-1964), aquesta vegada com a professor convidatal Centre de Recerca Matematica (MRC) de laUniversitat de Wisconsin-Madison. Publica denou sobre el principi de Saint-Venant, donantcontraexemples que mostren la importancia dela forma del cos elastic (1964, 1966). Es convi-dat al CIME celebrat a Ispra (1967), i imparteixun curs de doctorat en el qual desenvolupa untreball de F. John sobre lamines (1968). Publica

sobre les solucions periodiques de les equacionsde l’elasticitat (1970), i comunica els seus re-sultats sobre la desigualtat de Korn al Congresde Vancouver (1974). Finalment publica, ambEmilio de la Rosa, les notes d’un curs sobreelasticitat teorica (1974-1975).

La tercera etapa tematica, dedicada a lesequacions en derivades parcials, s’encavalla cro-nologicament amb l’anterior (1963-1974). De-mostra el seu interes en aquest camp ambl’eleccio del seu discurs d’ingres en l’Acade-mia de Ciencias de Madrid sobre �Relacionsentre les equacions en derivades parcials i lafısica� (1963). La seva investigacio sorgeix dela seva docencia i de les notes de classe de l’Es-cola de Camins (1968, 435 pagines ciclostilades).Part d’aquest material sera recollit en els seusllibres de text (1970 i 1973). El 1969-1970 im-parteix un curs a la Universitat de Notre-Dame(1969), que es editat en angles per aquesta ma-teixa Universitat (1972). Publica sengles articlessobre propietats de la solucio fonamental de l’e-quacio de Laplace (1972 i 1973). El contacteinternacional profund s’establix aquesta vegadaamb l’escola francesa de Jacques-Louis Lionsi Haım Brezis, i es realitza d’una manera dife-rent. Dou imparteix cursos de doctorat sobreels ultims llibres de Lions (1968 i 1972), i ambl’ajuda dels Serveis Culturals de l’AmbaixadaFrancesa envia allı doctorands i convida un odos professors francesos per any a investigar aMadrid. Aquest contacte tindra la seva expressioculminant en el nomenament de J.-P. Lions doc-tor honoris causa per la Universitat Compluten-se, en el qual Dou va actuar com a padrı (1976).Imbuıt en aquest ambient de l’escola francesa,Dou escriu el seu teorema de densitat en H1(Q)i H1/2(a, b), publicat per l’Academia de Cienci-as (1975). Com a eco posterior d’aquesta etapa

11

Page 14: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

tematica recordem les seves dues col.laboracionsamb J. I. Dıaz sobre fluxos subsonics al voltantd’un obstacle simetric (1982), que constituiranles ultimes publicacions matematiques de Dou.

Durant aquesta ultima etapa Dou va arribara dirigir una trentena de tesis doctorals a l’Esco-la de Camins o en la Universitat Complutense.Bona part d’aquestes van donar amistats profun-des entre mestre i nou doctor, i algunes donenorigen a nous centres d’investigacio matematicaa Espanya.

Un canvi profund en la seva tasca magiste-rial li sobrevingue al ser nomenat rector de laUniversitat de Deusto el 1975. Durant aquellbienni difıcil de la nostra transicio democratica,Dou s’esforcara per escoltar i acollir les noves ge-neracions d’alumnes, i per deixar ben clar l’idealacademic d’una universitat i la seva compati-bilitat amb un ideari d’orientacio cristiana. Acontinuacio, com a rector academic durant untrienni de l’Instituto Catolico de Artes e Indus-trias (ICAI) i de l’Instituto Catolico de Admi-nistracion y Direccion de Empresas (ICADE) aMadrid, li tocara la difıcil tasca de preparar l’a-gregacio d’aquests centres amb els de Teologia,Filosofia i Ciencies Humanes, dins de la Univer-sitat Pontifıcia de Comillas, Madrid. Complertesaquestes tasques, torna a la seva catedra de laUniversitat Complutense fins a la seva jubilacio.

Els quinze ultims anys de la seva vida univer-sitaria (1984-1998) els dedicara a la UniversitatAutonoma de Barcelona, com a professor emeritd’historia de les matematiques. En aquest noucamp demostra dos interessos principals: el temadels matematics espanyols (especialment els delsegle xvii i els jesuıtes), i el tema del paral.lelis-me i l’origen de les geometries no euclidianes(d’Euclides a Einsten, pero especialment el pa-per de Saccheri). Sobre aquests temes imparteixanualment un curs de doctorat, i dirigeix tres te-sis. Es de destacar tambe la seva traduccio i ano-tacio del Metode de maxims i mınims d’Euler,editat per la Universitat Autonoma. Albert Douocupara aixı un important paper com a membrefundador del Centre d’Estudis d’Historia de lesCiencies (CEHIC), mentre animara tambe hu-manament i religiosa la residencia universitariadel Turo de Sant Pau a Bellaterra.

Encara als seus vuitanta-dos anys, es va sen-tir amb anims per a dedicar-se a Girona a lapastoral universitaria durant cinc anys (1998–2003). Els ultims anys de la seva vida els hapassat en el Centre Borja de Sant Cugat, col-laborant en el Seminari de Teologia i Ciencies del’Institut de Teologia Fonamental (2003-2007),i ultimament cuidant la seva delicada salut i re-sant per l’Esglesia i la Companyia (2007-2009).

No voldria acabar aquesta ja llarga nota sen-se al.ludir a la faceta profundament humana ireligiosa d’Albert Dou. Son proverbials els seusdots d’animador de comunitats, per la seva bon-homia, el seu enginy i la seva vivesa de discussio.A mes, era evident que tota la seva extraor-dinaria activitat intel.lectual i social estava guia-da per profundes conviccions religioses. Amb laseva llarga i rica experiencia com a jesuıta uni-versitari, va acceptar amb gran dedicacio la mis-sio de coordinar els prop de cinquanta jesuıtesque estaven treballant a Espanya en universitatsestatals o altres institucions universitaries no je-suıticas que formaven la Mision Universitaria enInstituciones no jesuitas (MUINSI), i la de fun-dar i presidir l’Associacion Interdisciplinar Josede Acosta (ASINJA) durant vint-i-quatre anys(1975-1998). Per fi, deu anys mes tard, se’l vanomenar tambe coordinador de tots els jesuıtescientıfics del mon (Jesuits in Science), carrecque va ocupar durant nou anys (1985-1993).

Conclourem amb una idea molt propia d’Al-bert Dou, que ell mateix va formular aixı perescrit als seus 80 anys: �El professor que donaapassionadament un curs universitari, vulgui ono, sigui conscient d’aixo o no, imparteix tambeuna visio del cosmos i de la vida, i els alum-nes, ho vulguin o no, ho sapiguen o no, que-den crıticament impactats pel curs, sigui capa una acceptacio o cap a un rebuig de valorso pseudovalors humans, independentment delscontinguts matematics o de la disciplina ques’ensenyi. Personalment, per a mi, despres deviure un temps en una especie d’esquizofreniaentre els valors religiosos i els matematics, aviatvaig arribar a la conclusio que convergien en ununic humanisme. De vegades ho he resumit enuna frase: Del pulpit a la tarima no hi ha soluciode continuıtat.�

Manuel Garcıa Doncel, SJCentre Borja, Sant Cugat del Valles

12

Page 15: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

John R. Stallings, 1935-2008

El passat 24 de novembre ens va deixar en JohnR. Stallings, matematic de primera lınia dins delmon de la topologia i la teoria de grups durantla segona meitat del segle xx. John Stallingsfeiaa ja un temps llarg que lluitava contra elcancer de prostata, i en els seus ultims anyshavia desenvolupat diabetis. Va tenir una morttranquil.la a casa seva, a Berkeley, California.

Nascut a la petita localitat de Morrilton, alrural estat d’Arkansas, el 22 de juliol de 1935,despres d’acabar la carrera al seu estat natalel 1956, es dirigı cap a Princeton per fer el seudoctorat sota la guia de Ralph Fox. Stallingsja demostra les seves aptituds per la topologiafent una demostracio topologica del teorema deGrushko.

En els seus primers anys de recerca, es vadedicar a intentar trobar una demostracio de laconjectura de Poincare. Passa uns anys postdoc-torals a Oxford, on va saber de la demostracio dela conjectura donada per Smale per a dimensio5 i superiors, i els seus intents van produir unademostracio alternativa, que primer va creurecorrecta per a totes dimensions, i despres vadescobrir que nomes era valida per a dimensio7 i superiors. Despres dels seus esforcos, va es-criure un article titulat �How not to prove thePoincare conjecture�, on explica tots els seusinfructuosos esforcos per a la demostracio de laconjectura.

De 1962 a 1967 va desenvolupar la seva re-cerca a Princeton un altre cop, i a partir de1967 es trasllada a Berkeley, on va viure fins als

seus ultims dies. Es jubila de la seva posicio deprofessor a Berkeley l’any 1994, pero continuadirigint tesis doctorals fins a l’any 2005.

John Stallings va ser tota la seva vida unexpert en els grups lliures no abelians i tot elque els envolta. El primer resultat pel qual Sta-llings es conegut es l’article sobre grups amb unnombre infinit de finals. En aquest article, Sta-llings demostra que un grup (finitament generat)amb dimensio cohomologica 1 es un grup lliure.Aquest teorema es un corol.lari del resultat prin-cipal de l’article on Stallings demostra que si Ges un grup finitament presentat i lliure de torsio,i amb un nombre infinit de finals, aleshores Ges un producte lliure no trivial. Aquest articleva apareixer a l’Annals in Mathematics, i va serla causa principal que l’American MathematicalSociety li concedıs el Premi Cole l’any 1970. Aixımateix, Stallings fou un conferenciant convidatal Congres Internacional de 1970 a Nica.

Segons la meva opinio, l’article mes impor-tant de Stallings es l’article �Topology on finitegraphs�, en el qual desenvolupa el metode delsgrafs per estudiar els subgrups del grup lliure.Stallings, emprant una eina que ha estat cone-guda posteriorment com a Stallings’ foldings,demostra que els subgrups del grup lliure escorresponen amb grafs de grau constant, con-siderats com a recobridors del graf amb un solvertex, i dona demostracions senzillıssimes deteoremes classics de teoria de grups, com aquellque diu que un grup finitament generat nomeste un nombre finit de subgrups d’ındex fixat. Elmetode dels foldings ha estat explotat extensa-ment en els anys posteriors a la seva publicaciol’any 1983 a Inventiones mathematicae, i ja esun classic de la teoria de grups moderna.

La mort de Stallings em va afectar especi-alment, ates que ell era el meu avi matematic,havia dirigit la tesi al meu director, Steve Gers-ten. Ja sabıem, m’ho havia dit en Gersten (ellseren grans amics personals), que Stallings estavamalalt, pero, es clar, no per esperada la sevamort va ser menys trista. Vaig tenir el gran ho-nor que Stallings assistıs a una xerrada meva aBerkeley el dia 10 de desembre de 2007 (menysd’un any abans de la seva mort), i ja vaig ob-servar el deteriorament del seu estat fısic. El fetque demostra que ell era plenament conscientde la seva malaltia va ser el seu comentari quan

13

Page 16: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

el vaig anar a saludar despres de la xerrada.Em va dir: �I’m surprised you recognize me�.Obviament exagerava, pero el seu estat de salutja era forca precari.

L’avi John va morir acompanyat de la sevacompanya de molts anys, Molly. Tenia setanta-tres anys. Descansi en pau.

Pep BurilloUPC

Noticiari

Els vint-i-cinc anys del Centre de Recerca Matematica

Aquest any 2009 s’esdeve el 25e aniversari dela creacio del Centre de Recerca Matematica(CRM), actualment un consorci entre la Gene-ralitat de Catalunya i l’Institut d’Estudis Cata-lans, i que es el mes antic de la xarxa CERCAde centres de recerca participats pel govern ca-tala. El CRM ha organitzat actes de celebraciod’aquesta efemeride, essent-ne el mes assenya-lat el concert que el dia 27 d’abril va oferir aL’Auditori de Barcelona el pianista AlexanderMelnikov. Un acte academic de caracter mesespecialitzat, el CRM Open Day, tindra lloc elmes de novembre.

El CRM fou fundat l’any 1984 gracies a lainiciativa i l’empenta de Manuel Castellet, ca-tedratic del Departament de Matematiques dela UAB, qui n’ha estat el director fins al marcde 2007. Fundat inicialment com a centre depen-dent de l’IEC, el CRM s’instal.la a la Facultatde Ciencies de la UAB en uns locals cedits perla Universitat. L’any 2002 es reestructura en elConsorci actual. Despres d’un seguit de canvisd’emplacament i ampliacions, ocupa actualmentuns 1.200 m2 a la Facultat de Ciencies de la UAB.L’equip de direccio actual consta de JoaquimBruna (director), Carles Casacuberta, MartaSanz-Sole i Joan Sola-Morales.

L’acte del 27 d’abril a L’Auditori va ser pre-sidit pel president de la Generalitat de Catalu-nya, senyor Jose Montilla, i compta amb l’as-sistencia de diversos carrecs del Departamentd’Innovacio, Universitats i Empresa (DIUE),carrecs academics, membres de la comunitatmatematica en general, familiars, etc. fins a to-talitzar 286 persones.

La presidenta del Consell de Direccio delCRM, doctora Blanca Palmada, obrı l’acte idona la benvinguda als assistents. Seguidament,

el doctor Ramon Moreno —que acaba de deixarel seu carrec de director general de Recerca perocupar-se de la direccio de la recentment crea-da agencia CERCA— feu una exposicio sobrel’estat actual i el model de la xarxa CERCA.A continuacio, el director del CRM, JoaquimBruna, exposa la trajectoria i els plans de fu-tur del Centre. El president de la Generalitattanca la part institucional de l’acte amb un bonparlament sobre la implicacio del Govern catalaen la recerca basica en general i en la recercamatematica en particular.

Alexander Melnikov, fill del catedratic delDepartament de Matematiques de la UAB MarkMelnikov, oferı a continuacio una interpretaciomemorable dels preludis de Chopin, amb un de-vessall de tecnica, energia i perfeccionisme queimpressiona tothom. L’acte acaba amb un sopara peu dret ofert pel CRM als assistents.

A continuacio s’inclou el text del parlamentde Joaquim Bruna sobre la trajectoria i plans defutur del CRM, que creiem que pot ser d’interesper a la comunitat matematica en general.

* * *

14

Page 17: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Molt Honorable President de la Generali-tat, excel.lentıssims i magnıfics rectors i rectores,carrecs institucionals, carrecs academics, ami-gues, amics.

Som aquı per celebrar els vint-i-cinc anys delCRM, una fita molt important per al Centre iper al mon de la recerca a Catalunya. En aques-ta intervencio, fare un breu recorregut sobre elque ha fet el CRM fins ara i despres explicareels reptes de futur.

Fa uns trenta anys, al final dels setanta, larecerca i la formacio avancada en matematiquesa Catalunya, a les universitats, fan un canviqualitatiu i quantitatiu impressionant. De bonsprofessors actius en recerca, n’hi havia des demolt abans, pero es aleshores quan l’ambient iles condicions per a la recerca als departamentscanvien, quan la gent jove te una creixent in-quietud per publicar en revistes internacionals,quan comencen a venir als departaments visi-tants d’una forma continuada, quan es comencena fer tesis de gran nivell, en definitiva quan elsparametres de l’activitat matematica es van ho-mologant als de la resta de paısos de l’entorneuropeu i assolim una relativa visibilitat.

Es en aquest context que neix el CRM l’any1984, gracies a la iniciativa, l’energia i l’empentadel doctor Manuel Castellet, i neix com a centrevinculat a l’Institut d’Estudis Catalans, i s’ins-tal.la a la UAB. Crec que es escaient fer diversosreconeixements publics, i crec que puc fer-losen nom de la comunitat matematica catalana.Primer, al doctor Manuel Castellet, fundador idirector del centre durant vint-i-tres anys. Joara dirigeixo el centre, i estic en condicions decopsar des de dins, igual que tots els presentsque tenen experiencia en la gestio de la recerca,l’enorme energia, dedicacio i —per que no dir-ho— forca de caracter que cal per bastir unaestructura com la que ens ha deixat. I aixo favint-i-cinc anys, quan les condicions per a fer-hono eren les d’ara. Gracies, Manuel. En segon lloc,el reconeixement a la nostra Academia Nacio-nal, l’IEC, i particularment a la seva Seccio deCiencies i Tecnologia, per fer seva la iniciativa,donar-hi suport durant molts anys i inserir-lames tard en el sistema de recerca de Catalunya,en definitiva, fent paıs. I finalment, a la UAB,perque durant tots aquests anys ha acollit elCRM amb generositat de recursos.

El model de centre del CRM mereix uncomentari. Es un topic —potser amb algun

fonament— que els matematics som un xic es-pecials. Doncs be, els centres de recerca en ma-tematiques, al mon, tambe son un xic especi-als, una mica diferents dels d’altres disciplines.Efectivament, ja aleshores a Europa hi havia, icontinuen existint, uns centres de matematiques,avui agrupats a European Research Centres onMathematics (ERCOM), un subcomite de l’So-cietat Matematica Europea (EMS), amb unatipologia comuna: la de centre de serveis a lacomunitat matematica, amb una gran sinergiaamb els departaments i amb projeccio internaci-onal. Que significa aixo? Aixo significa acollirinvestigadors d’arreu del mon que desenvolupenprojectes de recerca conjunts amb investigadorslocals, organitzant congressos internacionals iescoles intensives de formacio, workshops, i pro-grames de recerca, sempre sobre la base de la im-plicacio i la responsabilitat cientıfica dels grupsi els investigadors locals. Els programes de re-cerca tematics constitueixen un dels formatsmes complexos i de mes rendiment; es tractade perıodes d’un trimestre, un semestre o finsi tot un curs academic sencer, al llarg del quals’apleguen al Centre investigadors forans i lo-cals especialistes d’una determinada materia perfer-hi un salt qualitatiu en la recerca. Un altreprograma ben util es l’anomenat collaborationresearch stays o research in pairs, pel qual un in-vestigador local amb permıs de recerca de la sevainstitucio d’afiliacio i un col.laborador estran-ger s’aıllen al CRM per a una tasca de recercaconjunta. En definitiva, els matematics tenenl’oportunitat d’estar vinculats al CRM tempo-ralment per a incentivar llur recerca. Aquestatasca del CRM, que jo definiria com transversalals departaments, va ser reconeguda l’any 2000amb l’atorgament al Centre de la placa NarcısMonturiol al merit cientıfic i tecnologic.

Tan sols una dada objectiva sobre l’evolu-cio de la recerca matematica a Catalunya enels darrers anys: l’any 1978, el percentatge depublicacions d’autors espanyols a revistes delJournal Citation Reports (JCR) era del 0,3 %;l’any 2004, del 4,8 %. Aixo son dades d’abastestatal, pero el factor multiplicatiu de 16 esvalid amb escreix a Catalunya. A escala interna-cional, el pes i la visibilitat internacional de lamatematica catalana es va reconeixer amb l’ator-gament a la Societat Catalana de Matematiquesde l’organitzacio del 3r Congres Europeu deMatematiques a Barcelona l’any 2000. Despres

15

Page 18: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

vindria el Congres Internacional de Matematicsa Madrid el 2006.

On som ara? El 2002, el CRM canvia la se-va estructura inicial per la del consorci actualentre l’IEC i la Generalitat de Catalunya i, comacabem de veure en l’exposicio anterior, estaintegrat en el Programa CERCA de centres par-ticipats pel nostre Govern. Com a tal, ja el 2003signa un primer contracte programa, despresprorrogat, i darrerament s’ha signat un segoncontracte programa per al perıode 2008-2013.

El CRM es ara on ha de ser, al CERCA,sense deixar la casa mare, l’IEC. I aquı, coma tercer reconeixement public, he de dir que elGovern, ja des dels orıgens a traves d’ajuts delConsell Interdepartamental de Recerca i Inno-vacio Tecnologica (CIRIT), i despres mitjancantel Consorci, ha sabut copsar la importancia dela recerca matematica i li ha donat un suportdecidit i continuat.

Cap a on va el CRM? Si he comencat aquestaintervencio dient que als anys setanta va haver-hi un punt d’inflexio, ara he de dir que pensoque s’esta produint ara mateix un segon puntd’inflexio.

M’explicare: un valor essencial de la matema-tica, del qual no s’es en general prou conscient,es com a llenguatge de modelitzacio indispensa-ble en el progres de molts, cada cop mes, campscientıfics i tecnologics. Aixo sempre ha estat aixı,pero avui s’esta produint un boom d’arees emer-gents amb necessitats de models matematics,sovint per crear i desenvolupar. Aixı, quan femuna foto amb la nostra camera digital, estemutilitzant un munt de matematiques en els in-dispensables esquemes de compressio d’imatges—per cert, basats en investigacio basica no orien-tada feta molt abans—; quan entrem a la xarxaper transferir dades de forma segura, utilitzemuns protocols d’encriptacio, tambe basats en in-vestigacio basica en teoria de nombres, no moltllunyana de la que ha dut a la solucio del darrerteorema de Fermat, un dels pocs teoremes quehan arribat als mitjans de comunicacio. Perotambe hi ha molta matematica en els models deprevisio meteorologica, en els motors de cerca aInternet, en el disseny d’aeronaus, en el calculd’orbites dels satel.lits, en els mercats financers,en l’analisi de mercats i habits de consum, enels protocols estadıstics, els processos industri-als, en fi, gairebe a tot arreu, tota basada enrecerca basica. Un cas especialment destacable

es el de l’ambit biomedic, on s’estan introduintmodels matematics per al creixement de tumors,per a la interconnexio neuronal, per a la circula-cio cardiovascular, en epidemiologia, fisiologia,etc., fins al punt que s’esta imposant el termebiomatematica.

Avui, doncs, la matematica esta ampliantels seus horitzons i es el moment en que els ma-tematics mes hem d’estar oberts a explorar nousterrenys. No sempre aquests nous fronts recla-men una recerca matematica especialment nova:sovint el que cal es tan sols una transferencia deconeixement, pero es igualment important. Jotinc un lema que ara aprofitant l’ocasio voldriavendre als investigadors de totes les especiali-tats aquı presents: �Recercaire, incorpori un/amatematic/a al seu projecte!�

En aquest escenari d’obertura de nous frontsd’activitat de recerca matematica, el CRM tam-be vol i hi ha de tenir un paper. En el noucontracte programa del CRM per al perıode2008-2013 que s’acaba de signar amb el DIUEes proposa un nou eix d’actuacio del CRM, uneix de tipus estrategic mitjancant el qual el CRMes proposa incentivar la recerca matematica enarees emergents, interdisciplinaries. Aquest eixd’actuacio compren tambe la creacio d’una plan-tilla propia d’investigadors contractats, donantprioritat a les arees que no estan gens o prourepresentades a les universitats catalanes, com,per exemple, la matematica industrial, la bioma-tematica, la matematica financera, i en generaltota la recerca matematica mes directament re-lacionada amb les aplicacions i els altres centresde recerca.

L’esquema del CRM es el de molts altrescentres CERCA, amb els quals es proposa crearsinergies de col.laboracio: la captacio de talent,d’investigadors reconeguts i donar-los mitjansper a la creacio d’un grup de recerca que creixi i

16

Page 19: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

s’insereixi en el sistema catala de recerca. Senseoblidar una altra peca importantıssima com esel programa postdoctoral del CRM.

El CRM es troba, doncs, en aquests momentsen un proces d’expansio i de redefinicio de la se-va tipologia com a centre. A la faceta tradicional,historica, del CRM com a centre de serveis s’hiafegeix ara en el marc del contracte programal’eix estrategic que acabo de descriure, ambdosaspectes recolzats en una ampliacio significativade les instal.lacions, fins a gairebe duplicar-ne lasuperfıcie, a punt de comencar, ampliacio aques-ta tambe financada pel Govern a traves de laDireccio General de Recerca (DGR), fet pel qualvull expressar novament el meu reconeixement.

No voldria acabar aquest parlament, aprofi-tant la presencia de responsables de la polıticacientıfica a Catalunya, sense referir-me al ma-teix que Joan Guinovart deia fa uns dies al’IEC: la necessitat d’apostar per la formaciode joves en ciencia i tecnologia, avui un xic de-valuada. De fet, en matematiques, essent perdefinicio transversal, es on mes patim el que jocrec que es l’estructura vertical de la docenciai la preparacio a la recerca. Doncs be, jo vol-

dria proposar un instrument, que no es nou: lacreacio d’escoles internacionals, com podria serla Barcelona Genomics International School, laBarcelona Nanotechnologies International Scho-ol, la Barcelona Photonics International School,etc., aprofitant la marca Barcelona i, aixo sı,basades en clusters dels departaments i centresde recerca existents, en la seva oferta ja existent.Pel que fa a matematiques, els he de dir que,pel que tinc entes, les institucions implicadesestan preparades per tirar endavant la Barcelo-na International School of Mathematics, seguintl’exemple del que Berlın ha fet fa poc amb ungran exit.

I have made my speech in Catalan. I willnot make the mistake of trying to summarize itnow to the non-Catalan-speakers in the audien-ce. I will do it gladly however under personalrequest... if the case arises. In any event, mostof you know the CRM, many of you are CRMresearchers or visitors, some of you are membersof the CRM Scientific Advisory Board, and insome sense all of you have made the CRM pos-sible too, and I thank you for that and for yourpresence here.

Joaquim BrunaDirector del CRM

Jordi Quer nou dega de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de laUPC

La Facultat de Matematiques i Estadıstica(FME) va ser creada l’any 1992 dins de la Uni-versitat Politecnica de Catalunya (UPC) ambel mandat d’impartir una nova llicenciatura enmatematiques orientada cap a la tecnologia i lesenginyeries, i de fer-se carrec de la diplomaturaen estadıstica, que havia comencat a oferir-sepoc abans a la Facultat d’Informatica de Barce-lona. Actualment —a punt de complir la majo-ria d’edat—, la FME es ja un centre plenamentconsolidat; la demanda d’entrada d’estudiantssostinguda durant tots aquests anys i el nivelld’excel.lencia assolit pels professors i grups de re-cerca en matematiques i estadıstica de la UPCinvolucrats en la docencia permeten garantiruna formacio solida i exigent als estudiants. Elsprop de mil titulats de la nostra Facultat son uncol.lectiu de professionals —encara joves— quea poc a poc comencen a tenir un paper destacat

en el mon academic i professional, tant en elnostre entorn geografic immediat com en l’ambitinternacional.

Al llarg d’aquests anys d’existencia elsequips que han gestionat la Facultat han es-tat encapcalats pels degans Joan Sola-Morales(1992-1997), Pere Pasqual (1997-2003) i Sebas-tia Xambo (2003-2009). El 25 de febrer passat vaser elegida la candidatura al deganat presentadaper Jordi Quer per al perıode 2009-2012, ambun equip format pels professors Pedro Delicado(cap d’estudis d’Estadıstica), Sonia Fernandez(Secretaria Academica), Jaume Franch (Plani-ficacio i Qualitat), Marc Noy (cap d’estudis deMatematiques), Bernat Plans (Relacions) i OriolSerra (Recerca i Transferencia).

Els reptes mes importants per a aquest pe-rıode que ara encetem son probablement elsmateixos que els de totes les altres facultats

17

Page 20: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

que imparteixen titulacions en matematiquesi estadıstica del nostre entorn: tot allo relaci-onat amb la implantacio del nou model d’es-tudis que defineix l’Espai Europeu d’EducacioSuperior (EEES), la difusio i promocio de lesmatematiques i les ciencies en general a la soci-etat, i la captacio d’estudiants. A continuacioes donen algunes pinzellades de la situacio delstıtols a la FME.

El grau en matematiques que la nostra Fa-cultat ha dissenyat va rebre l’informe favora-ble de l’Agencia Nacional d’Evaluacio de laQualitat i Acreditacio (ANECA) el passat 23d’abril i es posara en marxa el proper curs2009-2010. Es un tıtol de 240 credits a impar-tir en quatre cursos amb l’estructura seguent:els tres primers tenen un format comu ambquatre assignatures obligatories de 7,5 creditsECTS (european credit transfer system) cadaquadrimestre; a quart hi ha una assignaturaobligatoria de 9 credits, sis assignatures opta-tives de 6 credits i el treball de final de grau,de 15 credits. Les materies basiques son sis as-signatures de matematiques, una de fısica i unad’informatica; la resta d’obligatories s’estructuraen els blocs seguents: algebra i geometria, analisimatematica, equacions diferencials, matematicadiscreta i algorısmica, metodes numerics i opti-mitzacio, modelitzacio, probabilitat i estadıstica,topologia i geometria diferencial.

La proposta de grau en estadıstica s’ha pre-sentat conjuntament amb la Universitat de Bar-celona. Els centres participants son la Facultatd’Economia i Empresa de la UB i la Facultatde Matematiques i Estadıstica de la UPC. Tot iestar pendent d’aprovacio per part de l’ANECAles institucions implicades apostem fermamentperque la docencia d’aquest grau s’iniciı el curs2009-2010. En aquest tıtol totes les assignatu-res tenen 6 credits; les materies basiques soneconomia, empresa, estadıstica, informatica imatematiques; hi ha 30 credits d’assignaturesoptatives a quart curs i un treball de final degrau de 18 credits.

La FME imparteix actualment tres mastersoficials, tots tres de 120 credits, que es van obrirel curs 2006-2007. El Master en MatematicaAplicada es un master de recerca on es donaformacio complementaria especialitzada a es-tudiants que vulguin aprofundir els seus conei-

xements en qualsevol de les arees de les ma-tematiques en que la UPC te experts, tant sil’objectiu es iniciar-se en la carrera investigado-ra fent el doctorat com si es vol optar a perfilstecnics en departaments o centres de recerca idesenvolupament publics o privats. El Master enEnginyeria Matematica es un master d’orienta-cio professional en que es dona una capacitacioen arees interdisciplinaries on les matematiquestenen un paper important: biomatematica, ma-tematica financera, modelitzacio, processamentde la informacio, tractament d’imatges, etc. ElMaster en Estadıstica i Investigacio Operativate el seu origen en els estudis de segon cicle dellicenciatura en Estadıstica, i te una orientaciomixta de recerca i professional. Despres dels dosprimers anys d’existencia com a master UPC,des d’aquest curs 2009-2010 s’ha convertit en unmaster interuniversitari UPC-UB, impartit encol.laboracio amb els departaments d’Estadısticai Investigacio Operativa (UPC), d’Econometria,Estadıstica i Economia Espanyola i d’Estadıstica(UB).

La manera com s’han posat en marxa lestitulacions de l’EEES a tot l’Estat, comencantpels masters quan encara es discutien aspectesbasics de l’estructura dels graus (com ara siserien de tres o quatre anys), i amb indefinici-ons i incerteses —encara no del tot resoltes—sobre com encaixa la fase docent del doctoraten el model, tenen com a consequencia que elsmasters no tinguin ara mateix la funcio per a laqual estaven pensats: la descripcio habitual dela situacio es que �s’ha comencat l’edifici per lateulada�. Per aquest motiu sera de ben segurimprescindible replantejar-se completament elsmasters durant els propers anys; la nostra in-tencio en aquest sentit es de no precipitar-nos iintentar sobreviure el temps que falta fins a l’ar-ribada dels nous graduats adaptant tant comsigui possible els masters actuals a les neces-sitats dels titulats actuals, aprofitant aquestaexperiencia per anar treballant en el disseny delsnous masters que en algun moment hauran desubstituir els actuals. Tractant-se d’un proble-ma que afecta tots els masters i doctorats enmatematiques, esperem que els contactes queja s’han iniciat entre les tres facultats catalanespermetin obrir vies de col.laboracio de cara alfutur.

Jordi QuerDega de la FME

18

Page 21: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Nous plans d’estudi a la Universitat Autonoma de Barcelona

La Universitat Autonoma de Barcelona (UAB)ha implantat aquest any academic 2008-2009els estudis de grau en matematiques, adaptatsa l’EEES. Aixı, la UAB, juntament amb lesuniversitats de Santiago de Compostel.la i deSalamanca, han estat les primeres de l’Estat aimplantar aquests estudis. Aquest any ja s’hanimpartit el primer, segon i tercer curs de grau,mentre que el quart curs comencara el 2009-2010, perque aixı ho van demanar els estudiantsde la titulacio.

El decret del Ministeri que regula els estudisadaptats a l’EEES preveu un esquema 4+1, quevol dir quatre cursos de grau i un any mes pera obtenir un master. Aquesta es una diferenciaimportant respecte a la majoria de paısos eu-ropeus que han adoptat l’esquema 3 + 2 i quepot ocasionar, entre altres, alguns problemesen la mobilitat d’estudiants que facin el grau aun paıs i vulguin fer un master a un altre. Apart d’aixo, amb aquest decret augmenta con-siderablement la capacitat de les universitatsper a dissenyar els seus tıtols. Per primera ve-gada, una comissio s’asseia davant un paper enblanc per dissenyar un pla d’estudis. Aixo sı, elpaper estava emmarcat, primer pel Ministeri idespres per la normativa interna de la Univer-sitat. Pero son sempre questions estructurals imai de contingut.

Faltava, pero, la verificacio de l’ANECA.Aquell paper en blanc podia tractar-se d’unallibertat vigilada. Val a dir que, si mes no enel cas del grau de matematiques de la UAB, laverificacio es va centrar en aspectes competen-cials i mai de continguts. Potser no ens hemd’estranyar ates que la descripcio i avaluacio deles competencies son els aspectes mes nous delsestudis de grau i els que han d’acostar el nivellde preparacio de tots els graduats europeus, comsuggereixen els descriptors de Dublın.

No incloure aquı la descripcio de les com-petencies del tıtol de grau en matematiques a laUAB, que ja sabem que tenen una redaccio molttecnica, pero sı que intentare explicar breumentl’estructura dels nous estudis i els aspectes mesinnovadors.

El estudis de grau en matematiques a laUAB contenen un total de dos-cents quarantacredits ECTS distribuıts en quatre anys. Els tresprimers anys es cursen seixanta credits ECTS

de formacio basica i cent-vint credits ECTS deformacio anomenada nuclear de la titulacio, totsen materies obligatories. Amb aquests tres cur-sos, un total de cent-vuitanta credits ECTS, laUAB podra donar un tıtol propi.

Les materies de formacio basica son:

• Algebra lineal, 12 ECTS.• Funcions de variable real, 12 ECTS.• Tallers de modelitzacio, 9 ECTS.• Eines informatiques per a les matematiques,

9 ECTS.• Fısica, 12 ECTS.• Temes de ciencia actual, 6 ECTS.

Les materies de formacio nuclear son:

• Fonaments de les matematiques, 9 ECTS.• Seminari de matematica discreta, 6 ECTS.• Geometria lineal, 6 ECTS.• Estructures algebraiques, 6 ECTS.• Calcul en diverses variables i optimitzacio,

9 ECTS.• Analisi matematica, 9 ECTS.• Metodes numerics, 12 ECTS.• Equacions diferencials i modelitzacio,

15 ECTS.• Teoria de Galois, 6 ECTS.• Analisi complexa i de Fourier, 6 ECTS.• Probabilitat i modelitzacio estocastica,

8 ECTS.• Estadıstica, 7 ECTS.• Topologia, 6 ECTS.• Geometria diferencial, 12 ECTS.

El quart curs conte el treball de fi de grau,que es normatiu i al qual s’assignen dotze cre-dits ECTS, pero la resta, fins a seixanta creditsECTS son optatius, es deixen a criteri de l’estu-diant. La titulacio ofereix quatre itineraris quedonen dret a la mencio al �suplement europeual tıtol� (SET): matematica fonamental, indi-cat per a estudiants que vulguin fer despres elmaster de matematica avancada, enginyeria ma-tematica, estadıstica i economatematica. Tambes’ofereix la possibilitat de fer practiques en em-preses.

Fora de la titulacio, pero com a part del seucurrıculum de quart, els estudiants tambe podenoptar per cursar un minor ofert al campus dela Universitat. La UAB incorpora a l’estructura

19

Page 22: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

dels graus el concepte de minor. Els Minors sonopcions de formacio complementaria. Tenen unmınim de trenta credits i tambe consten en elSET. En aquests moments estem pendents de lacreacio dels primers minors. Aquesta via hauriade servir, per exemple, per vehicular materiesd’interes per a estudiants de matematiques queno s’ofereixen des de la titulacio.

Aquesta oferta es complementa amb la deles titulacions simultanies de grau en fısica mesgrau en matematiques, que ha comencat tambeaquest any academic i que ha rebut una moltbona acollida per part dels estudiants, i d’engi-nyeria informatica mes grau en matematiques,que continua l’oferta que ja existia d’enginyeriainformatica mes llicenciatura en matematiques.Aquestes titulacions simultanies s’organitzen encinc o sis anys i es fixa un itinerari que interca-la assignatures de les dues titulacions. L’ofertad’assignatures optatives disminueix en aquestscasos, entenent que la tria ja l’ha feta l’estudianten comencar aquests estudis.

Els seixanta credits ECTS de quart es podencompletar amb assignatures optatives de la titu-lacio o amb el reconeixement de fins a sis creditsper participacio en activitats universitaries cul-turals, esportives, de representacio estudiantil,solidaries i de cooperacio, o el reconeixement defins a vuit credits per estudis d’idiomes.

Entre els conceptes mes innovadors que afec-ten la metodologia dels nous estudis de graudestacarıem l’assignacio de credits ECTS a lesassignatures que mesuren l’esforc dels estudi-ants i no les hores de classe del professor, il’avaluacio continuada tant de continguts comde les competencies de la titulacio. Per abordaraquests temes, la Seccio de Matematiques de laUAB va optar per mantenir una presencialitatalta a primer curs per facilitar la incorporaciodels estudiants nouvinguts i disminuir-la gra-dualment al llarg dels cursos mes alts, en elsquals els estudiants guanyen en autonomia. Di-vidir el temps de classe entre teoria, problemes iseminaris o practiques. La divisio pot variar d’u-nes a altres assignatures, pero les classes deteoria comporten aproximadament la meitatde les hores presencials. L’altra meitat es re-parteix entre classes de problemes i seminaris.Aquestes son classes mes reduıdes, eminentmentpractiques, amb la diferencia que el professor tela iniciativa en les classes de problemes, mentreque son els estudiants els qui, guiats pel profes-

sor, treballen individualment o en grup i fan lesconsultes necessaries.

Els metodes d’avaluacio continuada inclo-uen l’entrega de problemes i treballs escrits, lesexposicions, sovint a les classes de seminari, iles entrevistes. Atenent a l’experiencia anterior,la Seccio ha optat per no fixar tutories perso-nalitzades i aquestes es vehiculen a traves deles entrevistes o de les classes de seminari. Esnomena un professor coordinador a cada cursque te cura que els examens i les entregues detreballs es distribueixin uniformement al llargdel semestre i no es produeixin acumulacions defeina.

Comentarem breument les caracterıstiquesespecials d’algunes assignatures. A primer cursde grau hi ha una unica assignatura semestral,�Fonaments de les matematiques�. Aquesta co-menca de manera intensiva el primer semestrei preten facilitar l’entrada de l’estudiant de se-cundaria a la titulacio introduint el llenguatgei la metodologia de les matematiques. �Temesde ciencia actual� es una assignatura de mar-cada tendencia interdisciplinaria i amb un enfo-cament competencial eminentment transversal.El �Taller de modelitzacio� te com a objectiugeneral familiaritzar-se amb aquest tipus de fei-na. L’assignatura te un caracter eminentmentpractic —d’aquı el nom de taller. El seu prin-cipal component es un projecte que ha de serdesenvolupat pels alumnes repartits en equipsi, per tant, compta amb poques hores de teoriai moltes de seminari o practiques. El �Semi-nari de matematica discreta� es desenvolupaen bona part en petits grups d’estudiants queaprofundeixen en un tema i fan una presentacioescrita completa i una presentacio oral breu atot el grup. A quart curs, a banda de la novetatque suposa el treball de fi de grau, obligatoriper a tots els alumnes de la titulacio, s’incor-pora una assignatura optativa de �Tendenciesactuals de les matematiques�, amb un funciona-ment semblant als �Temes de ciencia actual�,que es cursa a primer, pero centrat en els pro-blemes mes actuals de les matematiques i lesseves aplicacions.

Tot aquest pla s’ha posat en marxa amb lail.lusio i l’esforc de tots els professors del De-partament de Matematiques de la UAB. Aviatveurem el resultat d’aquest primer curs, queal final mesurem pel nombre d’estudiants quesuperen les seves assignatures i per les seves

20

Page 23: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

qualificacions. Tenim, pero, algunes dades delseguiment que hem fet que ens permeten un certoptimisme. L’acceptacio del sistema de classesde teoria, problemes i seminaris o practiquesi l’avaluacio continuada han tingut una bonaacollida per part d’alumnes i professors, sobre-tot a primer curs. No tant a segon i tercer, fetque atribuım principalment a la disminucio depresencialitat i que sera corregit el curs vinent.

Tot i els esforcos per un bon disseny docent,la darrera paraula la tenen els estudiants quehan de fer la seva feina. Sobre el paper esta moltclar: 25 hores per credit ECTS. No es pas una

sorpresa que, preguntats els estudiants, aquestsdeclarin una mitjana d’hores de dedicacio setma-nal per sota del que representaria 25 hores percredit i el que es mes important, que hi hagi unagran dispersio. El primer que em ve al cap esuna pregunta: Que vol dir 25 hores per credit?

Amb tots els problemes que se’ns han pre-sentat, incloent-hi els moviments en contra dela implantacio dels graus, crec que estem enel camı correcte i que aquest nou pla d’estudismillora l’orientacio i la qualitat dels estudis dematematiques a la Universitat Autonoma deBarcelona.

Carles BrotoCoordinador de la titulacio de matematiques

UAB

Desena edicio de la Matefest/Infofest de la Facultat de Matematiquesde la Universitat de Barcelona

El dia 29 d’abril va tenir lloc la desena edicio dela �Matefest/Infofest�, organitzada pels alum-nes de la Facultat de Matematiques. L’objectiud’aquesta jornada es apropar, de manera ludica,les matematiques i la informatica als estudiantsde secundaria i batxillerat.

Alumnes participant a la Matefest.

En la present edicio, hi van col.laborar propd’un centenar d’alumnes de la Facultat i hi vanparticipar un miler d’estudiants de diferents ins-tituts i centres de secundaria de tot Catalunya.

Al llarg del matı es van oferir quatre con-ferencies a carrec de professors de la Facultatde Matematiques, i es van dur a terme diversesactivitats als estands habilitats especialment al

claustre de la Facultat. Amb aquestes activitatsels assistents van poder coneixer els diferentstipus de tangrams que hi ha, apendre l’art de lapapiroflexia o saber com es munta un ordinador.Altres estands presents van ser els dedicats a latecnomagia, el programari lliure i els sistemesoperatius GNU/Linux, les fractals, la topologiao els jocs de probabilitat.

En la mateixa jornada es van presentar elsseguents llibres relacionats amb l’ambit de lesmatematiques i dels matematics editats en elsdarrers mesos en catala:

• Francesc de Santcliment: Suma de la art dearismetica, amb un opuscle explicatiu de Joa-na Escobedo• Pierre de Fermat: Obra matematica varia.

Traduccio i comentaris de Josep Pla i Car-rera, Jaume Paradıs i Pelegrı Viader• Apologia d’un matematic de G. H. Hardy,

amb un text de J. von Neumann: El paper dela matematica en les ciencies i la societat.

Coincidint amb aquesta jornada, es va fertambe una xerrada informativa sobre els nousgraus de matematiques i enginyeria informaticaque la Facultat de Matematiques comencara aimpartir el curs 2009-2010.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

21

Page 24: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Seminari sobre el �Practicum de master de professor de secundaria enl’especialitat de matematiques�

Durant els dies 26 i 27 de febrer de 2009 esva celebrar a Madrid, a la Facultat de CienciesMatematiques de la Universitat Complutense,un seminari organitzat per la Comissio d’Educa-cio del Comite Espanyol de Matematiques (CE-MAT) amb la cooperacio de la Catedra UCMMiguel de Guzman.

El tema tractat va ser el �Practicum demaster de professor de secundaria en l’especiali-tat de matematiques�. El programa estava cons-tituıt per una sessio inaugural, una conferencia:�El practicum i les competencies professionalsdel professor de matematiques de secundaria�,impartida per Antonio Perez Sanz, director delInstituto Superior de Formacion y Recursos enRed para el Profesorado (ISFTIC), i tres taulesrodones: �La practica en la formacio inicial delprofessorat de matematiques�, �L’organitzacioi la gestio del practicum�, �Experiencies debones practiques en la gestio del practicum�,coordinades respectivament per Luis Rico, Uni-versitat de Granada, Jordi Deulofeu, UniversitatAutonoma de Barcelona, Raquel Mallavibarrena,Universitat Complutense de Madrid.

Al seminari hi vam assistir, per invitacio,cinquanta professors i professores de les socie-tats i institucions que constitueixen la Comissiod’Educacio. Tambe van participar-hi professorsi estudiants de postgrau d’universitats aixı comde centres de diferents nivells educatius de laComunitat Autonoma de Madrid.

Us presentem les conclusions generals queelaborades pels coordinadors de les taules rodo-nes donen una idea forca clara dels objectiusde la trobada, del seu desenvolupament i de lesconsideracions i reflexions que van anar sorgintal llarg del seminari:1. El practicum es una part essencial en el masterque es posara en marxa a partir del proxim cursacademic. Suposa la necessaria connexio entre elconeixement teoric i la practica. Aquesta suscitaal seu torn interrogants que portaran de nou ala reflexio teorica.2. Els diferents moduls teorics, el treball final delmaster i el practicum s’han de planificar ambuna visio de conjunt que permeti la interrelacioentre ells i la sequencia temporal mes adequadaper al practicum.3. El professorat a carrec del practicum i els

tutors i tutores dels centres de secundaria enels quals es realitzin les practiques han de col-laborar estretament tant en el disseny de lesactivitats que es desenvoluparan com en el se-guiment i acompanyament dels estudiants delmaster.4. La regulacio i organitzacio del practicum ha deser objecte de conveni entre les administracionspubliques i les universitats, amb reconeixementde les tasques del professorat tutor i de la coor-dinacio amb els altres moduls. Aquest necessarireconeixement del treball dels tutors per partde les universitats i per part de les autoritatseducatives ha de ser efectiu a l’hora de valorarla tasca que se’ls encomanara.5. El decret que regula el master fa referencia ala formacio i seleccio de tutors i tutores i centresde practiques. Les administracions educativesi les universitats han de col.laborar tambe enaquest aspecte per facilitar que el professoratque exerceixi de tutor i els centres elegits tinguinles caracterıstiques adequades perque hi hagi co-herencia entre el que s’imparteixi en els modulsteorics i les practiques que realitzin els estudi-ants.6. Les taxes del master s’ajustaran a preuspublics, ja que es tracta d’un tıtol oficial i obli-gatori per exercir la docencia en l’ensenyamentsecundari privat, concertat i public.7. El debat sorgit durant les sessions del semi-nari va posar damunt la taula la connexio entreel master i la configuracio actual de l’oposiciod’acces a la funcio publica per a professors desecundaria en diversos aspectes. Es recolza l’e-xistencia de l’especialitat de matematiques enel master i s’enten que aquesta especialitat hade ser requisit per a l’oposicio a professor dematematiques, la qual cosa es coherent amb l’ob-jectiu del master per formar millor els futursprofessors.8. Les dates de convocatoria d’oposicions, elsterminis establerts per a la seva inscripcio i elcalendari del master s’hauran de coordinar demanera que facin possible que l’alumnat que elcursi pugui presentar-se, en finalitzar aquest, al’oposicio convocada aquell mateix any.9. El criteri de seleccio per accedir a l’especia-litat de matematiques del master dependra deles universitats que l’imparteixin amb el visti-

22

Page 25: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

plau d’ANECA i les comunitats autonomes. Enel debat sorgit durant el seminari es va infor-mar de l’escas nombre de credits de formacioespecıfica en matematiques que algunes univer-sitats estaven proposant per poder accedir al’especialitat de matematiques del master. Lesuniversitats hauran de requerir en tot cas unnivell de coneixements i de competencies ma-tematiques adequat per als estudiants admesosen el master.

La sessio inaugural, d’esquerra a dreta: O. Gil,presidenta del Comite Espanol de Matematicas(CEMAT); J. Tejada, dega de la Facultat de Ma-tematiques de la UCM; C. Andradas, vicerectord’Ordenacio Academica de la UCM; F. Petriz,director general d’Universitats del Ministeri deCiencia i Innovacio (MICINN); A. Perez, direc-tor de l’Institut Superior de Formacio i Recursosen Xarxa (ISFTIC) per al Professot del Ministe-ri d’Educacio; L. Rico, president de la Comissiod’Educacio del CEMAT.

10. Les experiencies previes de cursos com elCurs d’aptituds pedagogica (CAP) o equiva-lents tenen en compte aspectes molt valuososque caldra tenir presents a l’hora de dissenyar

el practicum del nou master, pero tambe sonindicadors dels riscs que poden correr el masteri el practicum i que portin a la devaluacio d’a-quests per un nombre excessiu d’estudiants, po-ca exigencia per obtenir el tıtol o un escas reco-neixement de la tasca dels tutors que porti queaquests puguin limitar-se a un compliment demınims que no garanteixi la necessaria formaciopractica dels estudiants.11. Les sessions i els debats del seminari vandeixar clar que el disseny proposat per a la for-macio inicial del professorat en forma de masteres una opcio valida i acceptable, dins dels mo-dels de formacio existents.12. Un dels aspectes valorats positivament se cen-tra en el fet que la iniciacio a la professio de pro-fessor de matematiques se soste en competenciesprofessionals establertes per a la titulacio. Lespractiques han de contribuir al desenvolupamentd’aquestes competencies i al coneixement delscentres.13. En aquest sentit, aquestes conclusions volenposar de manifest que la formacio inicial del pro-fessorat de secundaria requereix necessariamentl’existencia d’un bon practicum que ha d’estarben gestionat i amb recursos suficients.14. El treball conjunt d’especialistes en el campde l’ensenyament i aprenentatge de les matema-tiques amb professorat de matematiques, tantuniversitari com de secundaria, en el disseny iorganitzacio del futur master i en concret el prac-ticum sera un element clau perque es compleixinde manera efectiva els objectius que es pretenen.

Si desitgeu informacio mes detallada, podeuveure els objectius, programa i desenvolupamentdel seminari a l’informe final:http://www.ce-mat.org/educ/icmies/icmies.html.

Iolanda GuevaraIES Badalona VII

Exposicio: �Les matematiques i la vida�

De ben segur que com a persones interessades enles matematiques, sigui com a professors, inves-tigadors o simplement aficionats, sempre hemlamentat que en l’ambit social les matematiquessiguin qualificades d’aspres, inintel.ligibles i allu-nyades de la cultura i la societat. Es per aixoque vam acollir amb entusiasme la iniciativa

de Caixa Manresa d’organitzar una exposicioper a presentar el lligam entre les matematiquesi la vida quotidiana d’una manera atractiva ientenedora pel public no especialitzat. No estractava d’explicar ni demostrar teoremes; noes tractava d’omplir plafons de formules; no estractava de reclamar protagonisme o poder soci-

23

Page 26: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

al. Senzillament, o potser cal dir ambiciosament,l’objectiu era mostrar el paper de les matema-tiques en activitats del dia a dia, a partir dela seva realitat quotidiana, parlant-ne amb unllenguatge natural i proper a la gent del carrer,de totes les edats i nivells, de diferents ambitsprofessionals... Aixı, es valora l’aportacio de lesmatematiques a la qualitat de vida de la societatactual, intentant trencar l’estigma de materiadifıcil i allunyada de la realitat, oferint-les demanera ludica i variada, i donant peu a nousaprenentatges, fins i tot de resultats de recercarecents, que generessin entusiasme i ganes decompartir els descobriments.

El projecte es va fer realitat i la mostra �Lesmatematiques i la vida� ha estat exposada aManresa durant els mesos de maig i juny d’en-guany, a la sala de la Plana de l’Om, de CaixaManresa. Aixı comencava la introduccio a l’ex-posicio:

Cada dia i a tothora, des que ens llevem finsque ens n’anem a dormir, les matematiques sonal nostre voltant. Sona el despertador, sintonit-zem musica o notıcies, travessem el carrer, ensaturem al semafor que regula el transit, consul-tem el recorregut al GPS, responem al mobil...

A cada moment, les matematiques son enla nostra vida. A casa, al carrer o enmig de lanatura. En l’arquitectura i la pintura, en que elsnombres i la geometria son la base de les propor-cions. En la musica, en els intervals i l’escalamusical, en les qualitats dels sons... A l’esco-la i en els diferents entorns professionals. Enl’ambit de la salut, en que les matematiquesproporcionen eines i models per interpretar elfuncionament del nostre cos. En el sistema so-cial, en l’organitzacio democratica, influint enels criteris de presa de decisions i en les es-trategies economiques i comercials, garantint laseguretat de la transmissio d’informacio... Tot

acompanyant la sort, la magia i la diversio...Les matematiques son pertot i contribueixen

decisivament a la nostra qualitat de vida. Aques-ta exposicio, produıda per la Fundacio CaixaManresa amb la col.laboracio del Departamentde Matematica Aplicada III de l’EPSEM (Uni-versitat Politecnica de Catalunya), us convidaa descobrir-les i a gaudir-ne a traves d’un sug-geridor recorregut al llarg d’un dia qualsevol dequalsevol de nosaltres.

La mostra es va inaugurar el 7 de maig, ambun espectacle ludic a carrec de Fernando Blasco,amb un public divers i nombros que va omplir to-talment l’auditori. Es va apostar per un acte quecontribuıa a mostrar l’aspecte magic i divertit deles matematiques. La valoracio del nombre de vi-sitants ha estat tambe molt positiva. D’entradaes pot considerar com a preestrena la gimcanamatematica organitzada pels IES de la comarca(amb quatre-cents participants), que van realit-zar una prova a l’exposicio. S’estima que l’hanvisitada mes de quatre mil persones de totes lesedats i hi han passat un miler d’estudiants envisites de grup concertades. Segons les personesque s’encarreguen de l’acollida als visitants i elsgrups, les crıtiques son molt bones i ha agradattant a grans com a joves. Diuen que crida espe-cialment l’atencio el fet que sigui una exposiciode matematiques i la gent quan surt diu queha apres moltes coses. De fet la bona acollidan’ha fet plantejar la possibilitat d’itinerar-la is’estan fent contactes per a exposar-la en altresciutats, per tal de posar-la a l’abast del publicd’altres zones de Catalunya.

Cal reconeixer que l’exit de la mostra haestat possible gracies a la Fundacio Caixa Man-resa, que ha produıt el disseny dels plafons i elmuntatge gairebe en la seva totalitat. La col-laboracio de la UPC, mitjancant el Departamentde Matematica Aplicada III, i de l’Escola Po-

24

Page 27: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

litecnica Superior d’Enginyeria de Manresa haestat tambe essencial, tant pel que fa a les tas-ques de gestio i disseny de continguts, com almaterial en prestec. L’interes a fer-ho mes pro-per al visitant, va motivar que s’incloguessin enla mostra objectes reals per il.lustrar la realitatmatematica. Aixo va permetre a la vegada debuscar la participacio i la complicitat de dife-rents centres i institucions, com, per exemple,el Camp d’Aprenentatge del Bages o el Museude Geologia Valentı Masachs.

Evidentment en el disseny de l’exposicio noes va demostrar cap teorema, ni es pretenia l’au-toria de nous conceptes o continguts. Nomes estractava de guiar el visitant a traves de dotzeespais expositius —la casa, el carrer, la natura,l’art, la musica, l’escola, el treball, la salut, lasocietat, el joc, la seguretat i les compres— querepresenten alguns ambits quotidians. A travesde plafons expositius, objectes reals quotidians,ordinadors interactius, pantalles audiovisuals iobjectes manipulables el visitant podia fer-sepreguntes i trobar algunes respostes, descobrir,reflexionar i deixar-se sorprendre pel sentit comude les matematiques, tal com diu W. Thomson,

fısic que va realitzar importants contribucions entermodinamica i electricitat: �No us imagineuque les matematiques son dures i indesxifrables,i contraries al sentit comu; son senzillament lamaterialitzacio del sentit comu�.

A l’inici i al final de l’exposicio, el visitanthi trobava formules, i fins i tot disposava d’unespai interactiu per afegir-n’hi. Pero durant elrecorregut eren escasses. La citacio d’en Gali-leu en que afirma que les matematiques son elllenguatge de l’Univers es ben coneguda i pot-ser estarem d’acord que les matematiques sonun llenguatge i les formules en son les paraules,construıdes a partir d’un abecedari de nombresi variables. Pero, que serien les paraules sensesignificat, sense el que volen representar, comu-nicar i transmetre? Mes enlla de les formules,manllevant les paraules de J. Paulos: �Ha arri-bat l’hora de revelar el secret: la funcio principalde les matematiques no es organitzar xifres enformules i fer calculs complicats. Es una manerade pensar i de formular preguntes. I es a l’abastde tothom, al nostre servei, per fer-nos millor lavida de cada dia�.

Montserrat AlsinaComissaria de l’exposicio, UPC

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB durant el curs 2008-2009

En aquest curs academic, la Facultat de Matema-tiques de la UB, ha portat a terme diverses acti-vitats relacionades amb el mon de l’ensenyamentsecundari, o de la divulgacio cientıfica. S’hanaprofitat aquestes i altres activitats per fer difu-sio dels nous graus en matematiques i enginyeriainformatica, que comencaran a impartir-se a par-tir del curs vinent 2009-2010, i que presentennovetats interessants.

Els dies 12 i 19 de novembre, va tenir lloc laxerrada-taller �Els ulls del robot�, a carrec deJose I. Burgos i Joan C. Naranjo (Departamentd’Algebra i Geometria), que ens van explicarcom utilitzar la geometria per fer reconstrucci-ons estereografiques 3-dimensionals a partir dedues imatges 2-dimensionals. En acabar la con-ferencia, els alumnes van participar en un talleron van fer funcionar programari amb aquest ob-jectiu. La participacio va ser maxima, com ja es

habitual, amb set-cents vint alumnes de batxi-llerat de vint-i-nou centres diferents, distribuıtsen quatre torns.

El semestre de primavera, els dies 28 de ge-ner i 4 de febrer, va tenir lloc la segona xerrada-taller, a carrec de la que escriu, sobre �Frac-tals�, en que es parla de com aquests objectesfan de bons models per a objectes naturals, ide quines son les aplicacions del calcul aproxi-mat de la dimensio fractal. En el taller, a carrecd’Alex Haro, es va fer servir programari per aconstruir fractals de molts tipus diferents. Elnombre de participants va ser del mateix ordreque la xerrada-taller de la tardor.

El dia 1 d’abril la Facultat va organitzar lajornada de portes obertes adrecada a tots elsalumnes de secundaria interessats a rebre infor-macio sobre els ensenyaments que s’imparteixena la Facultat. Es van fer xerrades informatives

25

Page 28: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

sobre els nous graus, i, despres d’un esmorzar,es van visitar les instal.lacions i es va escoltaruna conferencia.

El matı del 29 d’abril es va celebrar l’ediciod’enguany de la �Matefest/Infofest� (vegeu es-crit apart en aquest mateix numero). Aquestafesta singular l’organitzen els mateixos alumnesde la Facultat i va adrecada als alumnes delsegon cicle d’ESO i tambe de batxillerat. Enaquesta jornada, es va poder experimentar ambles diverses vessants de les matematiques i dela informatica, en les diferents paradetes i es-tands repartits per tot l’edifici historic de la UB.Al llarg del matı tambe es va poder gaudir deconferencies i tallers.

Finalment, comencen aquesta primavera elsdiferents projectes de suport a treballs de recercaen matematiques, posant en contacte els nostresalumnes i professors amb aquells alumnes i tu-

tors de batxillerat que aixı ho han demanat. Enaquesta edicio donarem suport a mes de quinzetreballs de recerca, en temes diversos.

Pero la novetat mes important respecte al su-port a treballs de recerca es l’impuls d’una novaactivitat anomenada �Tallers d’intel.ligencia ar-tificial a la UB�, adrecada als estudiants detecnologies de primer i segon de batxillerat.Aquests tallers s’organitzen en quatre sessionsde tres hores cadascuna disposades una cadames. Cada sessio consisteix en una hora teori-copractica i dues hores totalment practiques ons’ajuda els estudiants a entendre els conceptesque previament s’han impartit. Enguany, el te-ma dels tallers ha estat l’estudi i la realitzaciodel comportament en plataformes robotiques; enparticular, s’ha utilitzat la plataforma NXT deLego. En aquesta convocatoria, com a pla pilot,s’havien obert quatre places. Cada placa es co-berta per un equip dels instituts seleccionats perconcurs obert, on participen dos o tres alumnesmes el tutor de tecnologies que coordina l’equip.Com a activitat final dels tallers es realitza unacompeticio entre els instituts (que es realitzaraa l’octubre de 2009). La resposta dels institutsen aquesta primera edicio ha estat excel.lent.

Trobareu mes informacio sobre aquestes ialtres activitats, i tambe sobre els nous graus, ahttp://www.ub.edu/futursinousestudiants/ubicati mes general sobre la Facultat ahttp://www.mat.ub.edu.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

Activitats del Departament de Matematiques de la UAB el curs 2008-2009

Una primavera mes el Departament de Mate-matiques de la UAB ha organitzat els Dissab-tes de les Matematiques. Des dels seus inicis,aquestes jornades s’organitzen amb l’objectiude difondre la presencia de les matematiques enel mon actual i compartir un matı d’un dissabteamb un ampli public d’estudiants i professors desecundaria i d’universitat amb ganes de passar-s’ho be tot aprenent. Per a celebrar la gran iactiva participacio en aquestes jornades, queaquest any ha seguit augmentant, vam trencarla tradicio de realitzar quatre sessions incloenten aquesta temporada 2009 un cinque dissabtecom a tancament de festa.

Aquesta ja ha estat la seva sisena edicio i,volent commerar l’any de l’astronomia, hem gau-dit de dues sessions especialment dedicades aaquesta tematica.

L’encarregat de la primera sessio de la tem-porada 2009 va ser el professor Josep M. Mon-delo, qui va iniciar la sessio deixant-nos a totsbocabadats amb un viatge pel sistema solar ambel simulador Celestia. Tot seguit ens va introduiral mon de l’astrodinamica des de l’epoca gregafins a les actuals missions de les agencies espa-cials mundials, i ens explica alguns dels reptesactuals com es el de la construccio d’autopistesespacials. Despres de la xerrada, va tocar posar-

26

Page 29: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

ho tot en practica i, primer de tot, vam haver dedissenyar missions d’observacio solar. Tot seguit,vam haver-nos de posar a la pell d’un pilot d’untransbordador per dur a terme un vol orbitalamb canvis d’orbites i delicades maniobres dereentrada per poder tornar a casa, aixo sı, aju-dats pel programa Orbiter, un simulador de volsorprenentment real i sense molt risc d’explosio.

De l’astrodinamica vam passar als �Jocsd’atzar�, on els professors Albert Ferreiro, Fre-deric Utzet i Noelia Viles van convertir la salad’actes en un plato de concurs televisiu fent queel public, com a consursant, jugues al joc de lestres portes, on s’amagaven o be un cotxe, o beuns caganers. Despres de treure tots els caganersque s’amagaven darrere les portes, ja van passara introduir-nos a altres jocs d’atzar basats enla generacio de nombres aleatoris, estrategiesde martingales, entre d’altres, tot explicant-noshistories de molts jugadors que, tot i tenir es-trategies de joc molt ben pensades i calculades,van caure en la ruina mes absoluta. En el ta-ller, amb l’ajut de l’Excel, vam poder simularalguns d’aquests jocs d’atzar, incloent-hi supo-sades apostes que, en la majoria del casos, ensacabaven portant a la ruina.

Dissabtes de les matematiques.

La tercera sessio �Rellotges de sol� ens varetornar al tema de l’astronomia de la ma del�rellotger de sol� i professor del DepartamentJoan Girbau. Amb una llico magistral molt il-lustrativa vam entendre des del significat dels di-ferents temps horaris, els moviments de la Terrai el Sol, a com descriure el moviment de l’ombra

d’un pal al llarg del dia i en les diferents esta-cions. Malgrat que el temps no va acompanyar,aixo no va ser impediment perque en la part deltaller el professor Girbau actues com un moltbon director d’orquestra dins la sala d’actes iajudes tots els aprenents a dissenyar el nostreprimer rellotge de sol amb paper mil.limetrat,llapis i regla. La seva futura construccio, pero,va quedar a responsabilitat de cada assistent.

Aquest any, coincidint tambe amb l’any enque es commemora els 150 anys del naixementde Darwin i el centenari de la publicacio de laseva obra cabdal, el llibre L’evolucio de les espe-cies, el professor Angel Calsina, amb la xerrada�Com les matematiques ens ajuden a entendrela natura�, ens va introduir al mon dels mo-dels matematics per a l’estudi de la dinamicade poblacions. Despres d’introduir-nos als mo-dels matematics mes importants al llarg de lahistoria, tots vam quedar fascinats per l’evoluciod’unes poblacions de cigales magiques que cadacerts nombres primers d’anys invadeixen certesregions d’EUA. A la part del taller vam posaren practica tots els models i eines numeriquesi grafiques que s’acabaven d’introduir per a si-mular i estudiar diverses poblacions d’animals(faisans, mosques, etc.).

Ja arribats a la cinquena i ultima sessio, eldega de la Facultat de Ciencies i el directordel Departament van fer l’entrega de diplomesals estudiants que havien assistit a tots els dis-sabtes d’aquesta temporada. L’estrella convida-da d’aquesta darrera sessio va ser el professorNancho Alvarez de la Universitat de Malaga.La seva conferencia sobre �Magia matematicay matematicas magicas� ens va fer passar unaestona molt divertida, amb una dissertacio plenade sorpreses i humor. Des de jocs amb calcula-dora, jocs amb cartes amb senzilles explicaci-ons matematiques fins a sorprenents teoremesmatematics com el teorema de Banach-Tarski.En el taller tots els assistents vam aprendrea fer de mags amb uns quants jocs de mansamb cartes que cada participant va comencar apracticar amb els altres, mentre que el conferen-ciant, amb una gran formacio com a mag, ensdeixava amb la boca oberta amb una magnıficaexhibicio de cartomagia.

Berta Baquero i Natalia CastellanaOrganitzadores. UAB

27

Page 30: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Activitats de la Facultat de Matematiques i Estadıstica durant el quadrimestre deprimavera del curs 2008-2009

Cada any, a la FME de la UPC, iniciem el qua-drimestre de primavera amb una jornada mono-grafica centrada en la personalitat matematicaa la qual el curs sencer esta dedicat. El curs2008-2009 es el curs Noether, per Emmy Noet-her. Durant la Jornada Noether, celebrada eldia 18 de febrer de 2009, es van pronunciar cincconferencies: �Emmy Noether. El ejercicio de ladisonancia�, per l’escriptor David Blanco, �Elteorema de Noether: com el va descobrir i comes fa servir�, pel professor Francisco Marques(UPC), �Emmy Noether i l’algebra commuta-tiva�, pel professor Santiago Zarzuela (UB),�Emmy Noether: una contribucion extraordina-ria y generosa al establecimiento de la geometrıaalgebraica� per la professora Raquel Mallavi-barrena (Universitat Complutense de Madrid) i�Emmy Noether i l’algebraitzacio de la topolo-gia�, pel professor Pere Pascual (UPC).

Amb motiu del curs Noether, el dia 18 demarc el professor David Buchsbaum (UniversitatBrandeis) ens va parlar de �Hilbert revisited�.En la cloenda del curs Noether el dia 6 de maig,la professora Pilar Bayer (UB) va pronunciar laconferencia �Emmy Noether: de l’algebra nocommutativa a la teoria de nombres�.

Habitualment la Facultat acull esdeveni-ments adrecats a estudiants de secundaria ibatxillerat. El 6 de juny es va celebrar la fa-se final del 10e Campionat d’Auale, organitzatper un grup de professors i professores de ma-tematiques. Tambe s’han dut a terme diversesactivitats del projecte ESTALMAT organitza-des per la FEEMCAT i la SCM. I pel que fa a

activitats propies volem destacar el lliuramentde premis de la sisena edicio del Premi Poinca-re al millor treball de recerca de batxillerat enmatematiques que es va fer el 15 de maig.

Al llarg del quadrimestre hi ha hagut altresactivitats no relacionades amb el curs Noether,com ara la conferencia �Matematiques i empre-sa�, pronunciada pel professor Vıctor MartınezAlbeniz (Universitat de Navarra) el 4 de febrer,o el 8e Forum de la FME celebrat el 29 d’abril.

Finalment, algunes de les activitats que elsestudiants de la FME han organitzat durantaquest quadrimestre han estat: els Jocs Floralsi el Concert de Primavera del dia 22 d’abril, i larepresentacio de l’obra de teatre Parte entera depi sombreros de copa, adaptacio de la comediade Miguel Mihura, els dies 11 i 12 de marc.

Podeu trobar mes informacio al nostre webwww.fme.upc.edu, que acabem d’estrenar!

Bernat PlansVicedega de Relacions, FME

28

Page 31: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Activitats de la SCM

Cangur 2009

Enguany el nostre Cangur, que ja ha estat elXIV Cangur de la SCM, ha seguit creixent is’ha acostat molt als vint mil participants. L’or-ganitzacio ha arribat novament a bon port. Lasingladura es va acabar el dia 25 de maig ambl’acte d’entrega de premis celebrat a l’Auditoride la Universitat Pompeu Fabra, presidit pelpresident de la Generalitat de Catalunya i elrector de la UPF. Des de la Comissio Cangurentenem que aquesta presencia es un reconei-xement institucional de la feina que ja fa unacolla d’anys que portem a terme i ens en sen-tim honorats. Tambe pensem que potser unaactivitat que aplega vint mil estudiants fentmatematiques alhora mereixeria mes lloc alsmitjans de comunicacio... pero tot arribara!

Com que cada numero de la SCM/Notıciesinclou alguna ressenya sobre el Cangur, enspodrıem estendre en l’anterior comentari, opodrıem comentar els guanyadors, o podrıemadjuntar estadıstiques, o explicar amb detall queenguany s’ha celebrat el V Concurs de Relatsde contingut matematic, escrits segons les bases�en la llengua de les terres on la gent diu ”Bondia!�, i tambe el IV Concurs de Cartells, totsdos amb una participacio nombrosa i un nivellde qualitat ben elevat, o que tambe assoleix unexit creixent l’activitat de Problemes a l’esprintque va neixer en el marc del Cangur-2000.

Pero, de tot aixo que acabem de comentar,en podeu trobar informacio detallada al webwww.cangur.org i aleshores hem pensat que po-dia ser interessant recollir l’opinio d’alguns delsalumnes que ja tenen tradicio en el Cangur. Hemorganitzat una especie de forum telematic i hemdemanat que hi participessin els tres alumnesals quals el 25 de maig es va donar el Pin dePlata del Cangur com a reconeixement dels seusexcel.lents resultats al llarg dels quatre anys quedura el Cangur; tots tres han obtingut premi entots quatre nivells. Son Ivan Geffner, de l’IESMaragall de Barcelona (IG); Roger Mont, del’IES Gregori Maians, d’Oliva (la Safor), (RM)i Carlos Ruiz, de l’IES Salvador Espriu de Bar-celona (CR).SCM: Comencem el Forum demanant-vos queens comenteu algunes de les vostres �expe-

riencies viscudes� al llarg de la participacioal Cangur.

RM: Bones! Soc Roger, d’Oliva, i personalmentel Cangur ha estat una gran experiencia. Totsels anys hi he participat encantat i ho tornariaa fer. Trobe que es una manera d’aplicar lesmatematiques mes enlla de les activitats declasse i dels examens en que sols importa lanota. Es mes com un joc, un desafiament quees fa per gust.

CR: Bona Nit! Soc Carlos Ruiz, de Barcelona,i voldria fer un petit comentari sobre la provaCangur. Vaig concursar-hi per primer cop jafa tres anys, i vaig gaudir molt fent els proble-mes a l’hora de la prova i, fins i tot, resolentels d’anys anteriors com a practica. Durantels altres anys que he anat participant-hi, elmeu interes per aquests reptes matematics haanat creixent fins al punt que aquest any, coma treball de recerca de batxillerat, he volgutfer una recopilacio que reunia molts d’aquestsprocessos de resolucio, que, per a mi, no haestat una obligacio ni un avorriment, sino unamanera entretinguda i divertida d’aprendremes en l’ambit de les matematiques.

IG: Hola! soc l’Ivan. A mi em sembla que elCangur es una de les poques activitats mate-matiques que la gent fa (ja que n’hi ha benpoca que faci l’Olimpıada) que no estiguindins dels tıpics exercicis algorıtmics de classe.Personalment, em sembla que esta molt benfet ja que mostra que les matematiques po-den ser divertides sempre que els problemesobliguin a pensar una mica. A la meva classehi ha gent que odia profundament la materia�matematiques� pero a qui a la vegada liagrada el Cangur. Jo acostumo a dir �es queaixo certament tambe son matematiques�.

SCM: L’Ivan ha vingut a dir que �es divertitpensar�. Hi estem ben be d’acord, pero notenim clar que l’acord s’estengui a una majo-ria (potser no a una majoria del professorat?).Continuem. Podeu comparar el Cangur ambaltres activitats com l’Olimpıada o els Proble-mes a l’esprint?

IG: Potser amb el que he posat abans ja es

29

Page 32: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

podia entendre pero d’entre les activitats quees fan la meva �preferida� es l’Olimpıada,ja que alla pots estar-te concentrat mes dedues hores en el mateix problema i introdu-eix el concepte de demostracio que permetgeneralitzar un problema particular. Potseraixo fa que estigui destinada a gent que vulguipassar temps preparant-se i no es �per a totel public� com el Cangur, que ja suposo quejustament esta dissenyat d’una mnera diferentper tal que sigui mes ludic.

RM: Per la meua part, tambe he participata les olimpıades, i en el centre participemals Problemes a l’esprint (una volta vam gua-nyar!) pero he de reconeixer que el que mesm’agrada son les proves Cangur. D’una ban-da, el fet d’anar a contrarellotge es un fetque motiva i, de l’altra, pel fet que no s’ha-ja d’explicar el raonament. Es poden donarrespostes intuıtives.

SCM: Dues opinions ben diferents de dos xicsque han tingut tots dos molt bons resultatsal Cangur i a l’Olimpıada!

CR: Al meu centre tambe hem participat enalguna edicio dels Problemes a l’esprint, on lamanera de resoldre els problemes es conjuntai en equip, pensant una estrategia de distri-bucio dels problemes de la manera optimaper resoldre’ls mes rapid, fet que tambe emva ajudar a estimular el pensament logic. Pa-ral.lelament, la velocitat tambe es un factorimportant dins la prova Cangur, pero d’unamanera que o et motiva o, en un momentdeterminat, et pot posar nervios. Aquesta ra-pidesa, la intuıcio, la solucio �a ull� de lesfigures, la mateixa sort i, sobretot, els conei-xements adients son els requisits per triomfara la prova Cangur. La participacio al Cangurha comportat, personalment, un grau d’apro-pament cap a les matematiques que abansno tenia tan accentuat i crec que ha aportatpositivament molt a la meva vida escolar, engeneral. Aquesta prova, a mes d’altres englo-bades dins les activitats de la SCM, es un clarfonament per l’interes cada cop mes creixentper les matematiques dins l’alumnat de se-cundaria. A la vegada requereix un sentimentde competitivitat,...

SCM: Ha aparegut un tema que de vegadesenceta discusions. Es clar que els concursosde resolucio de problemes, siguin quins siguin,

inclouen un aspecte competitiu. Creieu queaquest pot ser un aspecte que incideixi en laparticipacio i el rendiment de les noies?

CR: Sı, segons la meva opinio es inferior l’es-perit de competitivitat en el cas de les noies,i pot ser causa, doncs, de la irregular pro-porcio nois/noies que s’observa, potser tambeen la participacio, no tinc prou dades, perosegur que ho he vist en els actes d’entrega depremis. M’ha encantat participar en aquestaprova durant els utims quatre anys, i poderassistir a l’acte d’entrega de premis, pero crecque l’important es que el Cangur ens mostraun altre aspecte de les matematiques, diferentdel que vivim habitualment a classe, menysteoric i mes ame, practic i entretingut.

IG: Sobre per que hi ha mes nois que noiesnomes puc dir que es un fet. Pero, per exem-ple, a les preparacions per al Cangur o per al’Olimpıada ja es nota aquesta tendencia.

RM: Jo afegiria que, per exemple, a l’Olim-pıada Matematica Espanyola d’enguany tam-be el gran nombre eren xics. Tambe caldriamirar les dades de participacio... A mi empareix, pel que veig al meu institut, que alsdos primers nivells la participacio de xics ixiques es pareguda pero despres les xiquespotser estan per altres coses.

SCM: Pel que fa al Cangur, alguns anys quese n’ha fet l’estudi detallat, es confirma aixoque diu Roger, quelcom semblant a: al nivell 150 %/50 %, al nivell 2, 52 %/48 %, al nivell 3,57 %/43 %, al nivell 4, 62 %/38 %. Pero laproporcio de premiats i premiades mes val nopublicar-la.

RM: Trobe que aco es deu mes aviat al panico temor de presentar-se de les noies que aalguna diferencia quant a capacitats, que nocrec que hi siga.

SCM: En la reunio internacional del professoratque prepara el Cangur que es va fer a Bar-celona l’any 2006, la representat d’Alemanyava dir que �el Cangur enganxa el professo-rat perque els problemes donen idees moltinteressants� i tot seguit va continuar: �elCangur enganxa l’alumnat perque els proble-mes donen idees molt interessants... i perqueel dia de la prova es poden saltar algunes clas-ses�. Ja hem parlat del Cangur; ara parlemconcretament dels enunciats dels problemes.Enguany a la comissio no ens ha acabat de

30

Page 33: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

convencer el problema 19 del nivell 4, que enla publicacio que hem fet nomes hem sabutposar �una acurada analisi espacial de les fi-gures mostra que la resposta correcta es la D�.Tambe �tenim mania� al 17, perque ens vanquedar dues solucions correctes, com ens vafer saber l’Ivan. En canvi a mi m’agradenel 30, i tambe el 26... I vosaltres, recordeude manera especial algun enunciat d’aquesto d’altres anys? Hi ha algun problema quetingueu en el record amb una rabia especial?

CR: Aixı que parlem ara del tema dels proble-mes del Cangur, des dels mes simples (que avegades son els que ens costen mes) fins alsmes complicats, que en ocasions podem resol-dre arriscant-nos i confiant en la intuıcio. Unenunciat del primer cas, que era molt simplepero en que em vaig equivocar, va ser un del3r nivell de l’any passat, el de la noia que te-nia el nombre 2008 a la samarreta i es posavacap per baix i davant un mirall... No em podiacreure que l’hagues fallat! Hi ha un tipus deproblemes que m’agrada, que son els que vanacompanyats d’una figura; perque de vegadesno se m’acudeix la manera d’arribar a la res-posta �matematicament�, pero amb l’ajudadel dibuix i utilitzant la tecnica �a ull�, o pertempteig, he pogut sortir del pas. I un ultimtipus de problemes que em criden l’atencioson els de series de nombres enormement llar-gues (de l’1 al 2007, 20082008...2008, etc.),on hem de buscar els que son multiples de 5i 11, o la suma que donen tots els quadratsperfectes dins el grup..., en que des del primerany fins a l’ultim he anat desenvolupant unalogica i un metode per resoldre’ls, i finalmentm’han acabat agradant, tot i que als primersanys no em feien el pes.

IG: Alguns problemes especials des del meupunt de vista. El que mes rabia m’ha fet en-guany ha estat... el dels mentiders. El vaigmalinterpretar pensant que quan deien �elde davant� es referien al primer de la filapero... com deu costar encertar la redacciode tots els problemes! L’enunciat que m’haagradat mes d’aquest any ha estat el de cal-cular la probabilitat que, quan escollim tresvertexs a l’atzar en un quarantagon, que si-guin vertexs d’un triangle rectangle. A miem va semblar que era curios pel fet que seli hagi de circumscriure una circumferencia.De la fase telematica el problema que mes

em va agradar va ser el 10. Era alhora el mescomplicat em sembla (almenys jo tinc unapessima visio espacial i aixo de la piramideno se m’hauria acudit mai). Tot i aixo aquestproblema, sortosament, podia resoldre’s mit-jancant una integral, ja que es podia deixar lasuperfıcie d’una seccio horitzontal en funciode l’altura S(x) i fer una integral definidaentre 0 i h. De problemes d’olimpıades en puccitar molts que m’han agradat i en dire unde l’Olimpıada Matematica Internacional queresulta ser bastant senzill i bonic: Demuestraque no podemos pintar los puntos de las aris-tas de un triangulo equilatero de dos colores demanera que no haya un triangulo rectangulocon sus tres vertices del mismo color.

SCM: Crec que aquest intercanvi d’opinionshaura estat molt mes que util per a confegirun article per a la SCM/Notıcies i tambe pucdir que va ser del tot enginyosa la solucioque l’Ivan va enviar del problema 10 de lafase previa, telematica, de l’Olimpıada cata-lana. En la publicacio que s’ha presentat eldia de l’entrega de premis del Cangur vamestar dubtant si posar el camı de solucio queva fer la majoria d’alumnes (que es el queal final es va fer), o el teu procediment, otots dos metodes... Ara, Carlos, et demanemque acabis tu mateix aquest tema atenent alfet que, com ens has comentat, has elaboratun treball de recerca sobre els problemes delCangur... i les persones que l’hem vist podemdir que es una tasca excel.lent!

CR: En relacio amb l’experiencia de reunir elsproblemes dels ultims cinc anys del 3r nivellal treball de recerca, he de dir que ha estatun ajut enorme per enriquir els meus coneixe-ments logicomatematics i destacar alguns delsproblemes que em van agradar mes, com el 16i el 29 del 2004 (resoldre figures mitjancanttriangles rectangles es un luxe), i el 23 i el 25del 2007 (per l’original metode de resolucioque requerien).PD: Recordant antics enunciats m’he adonatque els seus creadors son molt originals enrelacio amb els noms propis que utilitzen.PD2: i sı, del 19 d’aquest any no en tenia niidea!

SCM: Aixo dels noms propis �originals� esuna altra de les particularitats del Cangurque pot ser fruit del fet que hi hagi gent de

31

Page 34: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

molts paısos proposant enunciats i debatent-los en intenses reunions de treball per triarels problemes de la prova. Moltes gracies atots tres i molta sort en la vostra vida univer-sitaria, que ben aviat comencareu.

Acabare l’article concretant el que s’ha co-mentat dues o tres vegades al llarg de la conversaanterior. Durant l’acte d’entrega de premis deldia 25 de maig es va presentar la primera ediciode la publicacio Cangur 2009 i altres activitatsde la SCM, on es presenten els enunciats, lesrelacions de participants mes destacats i les so-lucions comentades de les activitats de resoluciode problemes que la SCM ha convocat durant elcurs 2008-2009: la XLV Olimpıada Matematica(fase previa telematica i fase catalana), els Pro-

blemes a l’esprint (les quatre convocatories, pera primaria i secundaria) i el Cangur 2009. Aques-ta publicacio formara part, esperem que a partirdel mes d’octubre, del fons de publicacionselectroniques de la SCM. Mentrestant, si algu lavol trobar en versio provisional, la te al web, ala pagina d’enunciats i solucions del Cangur 2009http://www.cangur.org/cangur/cang2009/enusol/i a aquestes persones que hi puguin estar in-teressades els demanem que, si hi troben algunaerrada o volen col.laborar a millorar l’edicio,ens enviın un correu electronic a [email protected] esperem que amb la publicacio d’aquestvolum s’engegui un projecte per al qual la SCMva rebre la col.laboracio d’un ampli conjuntdel professorat: la publicacio dels enunciats isolucions de totes les nostres proves Cangur.

Antoni GomaComissio Cangur de la SCM

XLV Olimpıada Matematica Espanyola

Del 26 al 29 de marc de 2009 s’ha celebrat a SantFeliu de Guıxols, Girona, la fase final de la XLVOlimpıada Matematica Espanyola (OME), queha estat organitzada per la Catedra Lluıs San-talo d’Aplicacions de la Matematica de la Uni-versitat de Girona (UdG) en col.laboracio ambla Universitat Politecnica de Catalunya (UPC).L’OME 2009 ha estat possible gracies a l’entusi-asme i la dedicacio dels membres del Comite Lo-cal Organitzador, integrat pels professors C. Bar-celo, M. Pellicer, R. Calm, J. Saldana, A. Avinyo,J. Poch, N. Coll, D. Juher i L. Garcıa, del De-partament d’Informatica i Matematica Aplicadade la UdG. El pressupost —que ha superat els60.000 euros— s’ha cobert gracies a la impor-tant aportacio economica de la UdG, la UPC ila RSME, i del patrocini i col.laboracio d’altresentitats publiques (Generalitat de Catalunya,Diputacio de Girona, Ajuntament de Sant Fe-liu de Guıxols, Ajuntament de Girona, SocietatCatalana de Matematiques, Consell Comarcaldel Baix Emporda, Consell Comarcal del Gi-rones, Universitat Pompeu Fabra) i privades (laCaixa, RESA, Casio-Flamagas, Bancaja). L’ac-te solemne de clausura i lliurament de premis,celebrat en el teatre municipal de la ciutat deSant Feliu de Guıxols, va ser presidit pel senyor.

Ernest Maragall, Conseller d’Educacio de la Ge-neralitat de Catalunya. Pot trobar-se informaciodetallada al web: www.udg.edu/ome2009.

El mes important, sense cap dubte, han estatels participants, que procedents de tot Espanyahan competit per formar part dels equips queens representaran en l’Olimpıada Internacional(IMO) a Bremen (juliol de 2009) i posterior-ment en l’Olimpıada Iberoamericana de Mexic(setembre de 2009). La competicio ha consistiten la resolucio de sis problemes en dues sessi-ons, els dies 27 i 28, coordinats per un juratformat per exolımpics i membres de la Comissiod’Olimpıades. El jurat ha estat l’encarregat d’e-laborar els criteris de correccio i d’assignar lespuntuacions a les solucions presentades pels com-petidors. No cal dir que, com cada any, tot aixoha estat coordinat per la Comissio d’Olimpıadesde la RSME, amb Marıa Gaspar (presidenta) iJosep Grane (vicepresident). La nostra sincerafelicitacio i agraıment a tots ells per l’excel.lenttreball que desinteressadament han realitzat.Tambe volem agrair la presencia de la presiden-ta de la RSME i de les autoritats autonomiques,provincials, locals i academiques que ens hanacompanyat en les cerimonies de lliurament depremis d’aquesta Olimpıada.

32

Page 35: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

A continuacio mostrem els enunciats delsproblemes:

1. Troba totes les successions finites de n nom-bres naturals consecutius a1, a2, . . . , an ambn ≥ 3, tals que a1 + a2 + · · ·+ an = 2009.

2. Siguin ABC un triangle acutangle, I el cen-tre del cercle inscrit en el triangle ABC, rel seu radi i R el radi del cercle circumscrital triangle ABC. Es traca l’altura AD = ha,amb D pertanyent al costat BC. Demostreuque

DI2 = (2R− ha)(ha − 2r).

3. Es pinten de vermell algunes de les arestesd’un poliedre regular. Es diu que una tal colo-racio es bona si per a cada vertex del poliedre,existeix una aresta que concorre en aquestvertex i no esta pintada de vermell. Es diuque una tal coloracio es completament bonasi, a mes de ser bona, cap cara del poliedrete totes les seves arestes pintades de vermell.Per quins poliedres regulars es igual el nom-bre maxim d’arestes que es poden pintar enuna coloracio bona i en una coloracio comple-tament bona?

4. Determineu justificadament tots els parells denumeros sencers (x, y) que verifiquen l’equa-cio x2 − y4 = 2009.

5. Siguin a, b, c nombres reals positius tals queabc = 1. Proveu la desigualtat seguent(

a

1 + ab

)2

+(

b

1 + bc

)2

+(

c

1 + ca

)2

≥ 34.

6. A l’interior d’una circumferencia de centre Oi radi r, es prenen dos punts A i B, simetricsrespecte de O. Es considera P un punt vari-able sobre aquesta circumferencia i es tracala corda PP ′, perpendicular a AB. Sigui C elpunt simetric de B respecte de PP ′. Trobeu el

lloc geometric del punt Q, interseccio de PP ′

amb AC, al variar P sobre la circumferencia.

Finalment, presentem els guanyadors de l’O-limpıada Catalana de Matematiques i de la XLVOlimpıada Matematica Espanyola.

Olimpıada Catalana de Matematiques

Primers premis:Ivan Geffner Fuenmayor, IES Maragall (Barce-lona), 2n de batxilleratGuillem Alsina Oriol, IES Jaume Callıs (Vic),1r de batxilleratFelix Mirave Carreno, Aula Escola Europea(Barcelona), 2n de batxillerat.

Segons premis:Pere Planell Morell, Aula Escola Europea (Bar-celona), 1r de batxilleratJaume Pujantell Traserra, IES Pere Fontdevila(Gironella), 2n de batxilleratDavid Lorenzana Martınez, Escola Joan Pelegrı(Barcelona), 2n de batxillerat.

Tercers premis:Guillermo Izquierdo Bouldstridge, Aula EscolaEuropea (Barcelona), 1r de batxilleratArthur Francois, Lycee Francais (Barcelona), 2nde batxilleratXavier Fernandez-Real Girona, IES Jaume Vi-cens Vives (Girona), 1r de batxillerat.

XLV Olimpıada Matematica Espanyola

Medaller d’or de Sant Feliu:Moises Herradon Cueto, MadridIvan Geffner Fuenmayor, BarcelonaJaime Roquero Gimenez, MadridGlenier Lazaro Bello Burguet, LogronoAnder Lamaison Vidarte, Estella/LizarraAlberto Merchante Gonzalez, Madrid.

Josep Grane i Jose Luis Dıaz-Barrero

33

Page 36: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Agenda

Barcelona Financial Engineering Sum-mer School: The Practice of DerivativesModelingData i lloc: del 30 de juny al 3 de juliol de 2009al CRM.Comite organitzador: S. del Bano (CRM), J. L.Fernandez i P. MacManus (Analistas Financie-ros Internacionales) i M. Sanz-Sole (UB).

http://www.crm.cat/fess09

VIII Jornades de Programari LliureData i lloc: de l’1 al 4 de juliol de 2009 a la UB.Comite organitzador: A. Barba, E. Bota, J. Co-dina (UPF), E. Formentı (UPC), J. Funollet(UPF), O. Mas (UPC), L. Palomo (UPC-UB),L. Perez (UPC), C. Pina (Catux/Lexatel), A.Puig (UB), A. Soto (UPC), J. Timoneda (UB),S. Vila (UPC) i J. Vilaplana (UPC).

http://www.jornadespl.org/

XIV Jornades per l’Aprenentatge i l’En-senyament de les MatematiquesData i lloc: de l’1 al 4 de juliol de 2009 a Girona.Comite de programa: C. Barcelo (FEEMCAT),F. Martın (FESPM), C. Lazaro (Sociedad Ma-tematica de Profesores de Cantabria), M. P.(Sociedad Canaria Isaac Newton), L. Berenguer(Sociedad Andaluza de Educacion Matematica),J. A. Trevejo (Sociedad Asturiana de EducacionMatematica) i S. Margelı (FEEMCAT).

http://www.xivjaem.org/index.php?lang=ca

Advanced Course on Optimization:Theory, Models and ApplicationsData i lloc: del 20 al 24 de juliol de 2009 alCRM.Comite cientıfic: A. Daniilidis i J. E. Martınez-Legaz (UAB), E. Carrizosa i Justo Puerto (U.Sevilla) i L. Escudero (U. Rey Juan Carlos).

http://www.crm.cat/OPT2009

New Algebraic-Logical Methods in Solu-tions for Systems of Equations in Alge-braic StructuresData i lloc: del 16 al 22 d’agost 2009 a Omsk(Russia)Organitzador: V. Remeslennikov.http://omskconf2009.oscsbras.ru/eng.welcome.html

Programa de Recerca �Stability and Ins-tability in Mechanical Systems�Data i lloc: de setembre a desembre de 2009 alCRM.

Coordinadors: A. Delshams (UPC), R. de laLlave (U. Texas a Austin) i T. Martınez Seara(UPC).

http://www.crm.cat/Research/0809/SIMS08/

Probabilistic Techniques in ComputerScienceData i lloc: del 14 al 18 de setembre de 2009, alCRM.Coordinadors: J. Dıaz (UPC), L. Kirousis (U.Patras) i C. Martınez (UPC).

www.crm.cat/ccomputer

Advanced Course on Shimura Varietiesand L-functionsData i lloc: del 19 al 24 d’octubre de 2009 alCRM.Comite cientıfic: H. Darmon ( U. McGill), F.Diamond (King’s College), L. Dieulefait (UB),B. Edixhoven (Leiden U.) i V. Rotger (UPC).

http://www.crm.cat/acshimura

Advanced Course on Algebraic Cycles,Modular Forms, and Rational Points onElliptic Curves

Data i lloc: del 9 al 12 de desembre de 2009 alCRM.Coordinadors: H. Darmon (U. McGill), F. Dia-mond (King’s College), L. Dieulefait (UB), B.Edixhoven (U. Leiden) i V. Rotger (UPC).

http://www.crm.cat/accycles

Workshop on Cycles and Special Valuesof L-series

Data i lloc: del 14 al 18 de desembre de 2009, alCRM.Comite cientıfic: H. Darmon (U. McGill), F.Diamond (King’s College), L. Dieulefait (UPC),B. Edixhoven (U. Leiden) i V. Rotger (UPC).

http://www.crm.es/wklseries/

III International Conference on the An-tropological Theory of the Didactic

Data i lloc: del 25 al 29 de gener de 2010.Coordinadors: M. Bosch (U. Ramon Llull), A.Bronner i M. Larguier (IUFM Montpellier), Y.Chevallard (IUFM d’Aix-Marseille), J. Gascon(UAB), V. Font (UB) i F. J. Garcıa (U. Jaen).

http://www.crm.cat/cdidactic

34

Page 37: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Contribucions

El catala a la Universitat d’Alacant

El proposit d’aquest article es, d’una banda, do-nar algunes dades significatives sobre la situaciodel catala a la Universitat d’Alacant i, de l’altra,contar la meua experiencia com a professoraque imparteix docencia en catala en aquestauniversitat.

La Universitat d’Alacant, a traves del Se-cretariat de Promocio del Valencia (SPV), rea-litza anualment un estudi sobre els coneixe-ments de catala per part de l’alumnat ques’hi matricula per primera vegada, la demandade docencia en catala que fan i, d’altra banda,els credits que son impartits en aquesta llen-gua. La informacio recollida esta publicada enla pagina web d’aquest servei (www.ua.es/spv)i es la font fonamental de les dades d’aquestarticle. Complementariament, he consultat l’in-forme sobre l’evolucio del valencia a les uni-versitats valencianes des del curs 2001-2002al curs 2004-2005, dut a terme per l’Area dePromocio Linguıstica de la Universitat Jau-me I de Castello, que es pot trobar a l’adrecawww.uji.es/bin/serveis/slt/triam/evol0104.pdf.

La Universitat d’Alacant (com altres univer-sitats valencianes), en la seua estrategia de nor-malitzacio del valencia, segueix un model delınies linguıstiques: un itinerari docent en valen-cia i un altre en castella. Es per aixo que elsestudiants, en matricular-se, han d’indicar la se-ua opcio linguıstica per realitzar els estudis. Enla seguent taula es poden veure les dades de lademanda de docencia en valencia corresponentsals cursos 2000-2001, 2004-2005 i al present curs.

Val. Indiferent Cast. Ns/Nc

2000/01 9,5 48,1 42,4 02004/05 7,5 10,3 80,8 02008/09 7,8 7,8 82,9 1,3

Taula 1: Demanda de docencia en valencia(en percentatges).

Es tracta d’una universitat amb vora 26.400alumnes matriculats aquest curs, dels quals el80,6 % afirma que enten el valencia, el 59,2 %que el parla i el 57,8 % que l’escriu. Les com-petencies linguıstiques de l’alumnat estan min-vant clarament, com posa de manifest la taula 2.

TotalEnten Parla Escriu d’alumnes

2000/01 88,3 69,9 70,9 33.5842004/05 82,7 63,4 64,1 28.2832008/09 80,6 59,25 57,8 26.378

Taula 2: Coneixement del valencia de l’alumnat(en percentatges).

Les taules anteriors mostren una disminuciocontinuada, tant en el coneixement de la llenguacom en la demanda de docencia en valencia. Abanda d’aquest descens, en podem treure una al-tra informacio que em sembla rellevant: la grandiferencia entre el grau de competencia que de-claren i la demanda de docencia en valencia quefan.

Per tal d’impulsar l’us del valencia en launiversitat, el SPV promou diferents activitatsi campanyes d’us de la llengua. Entre d’altres,convoca beques per a l’elaboracio de materialsdocents i ajudes per a la realitzacio de tesis i pro-jectes de final de carrera redactats en valencia.A mes a mes, en aquesta universitat s’intentaincentivar la docencia en aquesta llengua mit-jancant uns ajuts economics que tenen el seuorigen en el pla de financament pluriennal de lesuniversitats valencianes que es negocia amb elgovern autonomic, en el qual es preveu una par-tida destinada a la �promocio del bilinguisme�.Aquests incentius funcionen de la seguent ma-nera: la universitat destina 100 euros per creditimpartit en valencia, dels quals el 50 % es peral professor/a (que ha de destinar a materialinventariable o viatges relacionats amb la investi-gacio), el 25 % per al departament corresponenti el 25 % per al centre (facultat, escola, etc.).Es possible que aquest complement economicestiga relacionat amb l’augment progressiu del’oferta de credits impartits en valencia, com espot veure en la taula 3.

Paradoxalment, els alumnes que acaben re-bent docencia en catala no son, en la majorpart dels casos, aquells que la van sol.licitar enmatricular-se. De tal manera es aixı, que l’ındexde satisfaccio dels estudiants que demanen clas-ses en catala es molt baix.

35

Page 38: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Val. Cast. Altres

2001/02 2 98 –2004/05 4,68 85,89 9,482007/08 5,12 90,35 3,41

Taula 3: Percentatge de credits impartits.

Es podrien comentar molts aspectes d’aques-ta problematica amb l’intent de reflexionar sobrecom ha de millorar la situacio. Tanmateix, atesque no soc especialista en el tema, em limitare acomentar la meua experiencia particular coma professora.

Els entrebancs amb que es pot trobar undocent disposat a impartir classes en catala sonconsiderables, si no hi ha una lınia en valenciaja creada en el seu ambit d’accio. En la meuaopinio, un dels motius basics d’aquestes dificul-tats es la manca d’un proces administratiu agil iclar que ho facilite. Es en eixa lınia on crec quela universitat hauria de dedicar mes esforcos.

Soc professora de l’assignatura Algebra Li-neal del primer curs d’enginyeria tecnica d’obrespubliques. Es una assignatura anual, de 15 cre-

dits i amb vora 400 alumnes. Hi ha 4 grupsteoricopractics i aquest es el tercer curs que im-partisc les classes en valencia en un d’ells. Engeneral, la meua experiencia particular es sa-tisfactoria, pero crec que es deu sobretot al fetd’haver trobat una bona disposicio per part de ladireccio de l’Escola Politecnica Superior (EPS).Va ser en el curs 2004-2005 quan vaig voler ferels tramits necessaris per poder impartir, si erapossible, un d’aquests grups d’algebra lineal envalencia a partir del curs seguent. Vaig acudir alSPV i a la direccio de l’EPS, convencuda que hihauria algun proces administratiu establert peraconseguir-ho. No fou aixı. En el meu cas, latenacitat, les arts dialectiques i, en bona mesura,la sort han estat els factors necessaris per acon-seguir eixa docencia en valencia. Crec que laUniversitat podria augmentar els seus esforcosper tal que aquest proces fos mes objectiu, ambuna reglamentacio mes clara i eficac que facili-tara el camı al professorat que en un momentdonat s’interessa per la possibilitat d’impartirdocencia en la nostra llengua.

Xaro Soler-EscrivaUniversitat d’Alacant

Sobre l’avaluacio dels matematics

La valua dels matematics, al llarg de la historia,s’ha establert segons el que jo en diria el tam-tam de la jungla. Ja des dels antics, es diguessinPitagores o Euclides, o Arquimedes, o Descar-tes, o Fermat, o Newton, o Gauss, o Galois, itants d’altres, no deuen el seu reconeixementdins de la cultura perque algu hagi recollit unındex d’on han publicat les seves obres ni dequantes citacions en treballs d’altres han tingut.Senzillament (o complicadament?) han trobatel seu lloc dins de l’entramat de la matematica,i dins de la cultura, per la repercussio dels seustreballs, dels seus resultats.

Si he de dir quins matematics han tingutmes influencia en el meu pensament, jo diriaque, a mes dels classics, els que van fer el calculinfinitesimal i la teoria de les equacions diferen-cials. Puc dir molts noms: Poincare, Birkhoff,Nemitski, Hale, Smale, Henry, Hormander, Ar-nold, Schwartz...

Avui sembla que les coses han canviat i queper a mesurar la valua d’un matematic s’ha

de mirar en quines revistes publica, quin es elnombre dels seus articles i quants d’aquests sonesmentats en articles posteriors.

A mi em sembla que aixo es producte, peruna banda, de la possibilitat de fer-ho: els bancsde dades de Mathscinet, per exemple, ens do-nen la informacio volguda, fins i tot amb unaressenya dels treballs publicats, i, per l’altra,al fet que el nombre de persones que aspirena guanyar-se la vida com a matematics o quevolen un ajut per a portar endavant la sevafeina ha crescut molt. Aixo ha donat lloc a latemptacio de trobar una formula que permeticomparar la valua dels matematics sense haverde trencar-s’hi massa el cap.

Sembla que aixo de l’avaluacio esta de moda.Per a que volem avaluar els matematics? Queno n’hi ha prou amb que cadascu tingui la ideapersonal de la seva propia valua i de la delsmatematics que entren al seu cercle?Resposta: Les coses s’han complicat tant, i lespeticions de reconeixement son tantes, que s’han

36

Page 39: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

hagut d’estructurar diversos mecanismes per afer front al problema de la seleccio.

Aixı ens trobem amb diferents escenaris ons’han de triar els beneficiaris per a— obtenir un premi o un reconeixement public,— ocupar un lloc de treball, ja sigui com a inves-tigador, ja sigui com a professor,— ja sigui una persona, ja sigui tot un equip,obtenir una subvencio per a tirar endavant elseu treball,— ocupar una posicio de responsabilitat en elgovern, en un comite, en una junta o en un tri-bunal en que s’hagin de prendre decisions,— d’altres possibilitats que no em venen ara alcap.

La meva opinio es que, depenent del quees tracti, s’haurien de tenir en compte factorsdiferents per a fer l’avaluacio.

En el primer cas es l’organisme que conce-deix el premi o la distincio qui decideix a quies dona, i aixo es pot fer de diverses maneres.Potser la mes habitual es a traves de la juntadirectiva o d’una comissio nomenada expressa-ment.

Si es tracta d’una distincio pel treball desen-volupat al llarg d’una vida no cal mes que unreconeixement, per part dels que atorguen aques-ta distincio, dels aspectes del candidat que elssemblin mes rellevants, amb l’ajut dels assessorsque escullin.

Per a premis a algun treball o conjunt de tre-balls, en general l’organitzacio que ha de donarels premis encomana a una comissio de perso-nes enteses que es miri els treballs i digui quinsd’entre els candidats seran els premiats.

Si es tracta d’una posicio de treball dinsd’un departament de matematiques o d’un insti-tut de recerca, el mateix departament o institutpot prendre una decisio tenint en compte la re-llevancia del candidat dins dels seus propositsd’ensenyament i recerca, i potser fer-ho, si con-sidera que no te prou base per a prendre ladecisio sense assessorament, mitjancant avalu-acio externa que tingues en compte diversosaspectes dels candidats, com poden ser el seucurrıculum, les recomanacions dels entesos, elstreballs publicats i la seva repercussio, etc.

En el cas d’una placa de funcionari la cosaes resol amb concursos de merits i oposicions,on es depen de tribunals i d’uns procedimentsdeterminats mes o menys burocraticament.

Quan s’ha d’adjudicar una subvencio o un

ajut d’una institucio publica a un matematico a un grup de matematics per a tirar enda-vant un projecte, gairebe que per forca cal unacomissio que avaluı els investigadors o grupsd’investigadors i, si hi ha mes candidatures queajuts, ordenar-les segons criteris acceptats perla comissio.

El que s’ha de mesurar es la capacitat delscandidats, sols o en grup, de portar endavantamb exit el projecte. I com es fa aixo? Doncssembla logic que essencialment s’ha de fer estudi-ant els currıculums dels candidats i ordenant-losd’acord amb un criteri que, naturalment, ha dedependre del projecte. Aixo sı, els ha d’avaluaralgu que hi entengui.

Hi ha casos, pero, en que aixo es complicames, i es quan no nomes s’han d’avaluar els can-didats, sino que tambe s’han d’avaluar els pro-jectes. Cal llavors que els avaluadors siguin prouentesos en la tematica del projecte.

La dificultat del problema de l’avaluacio,junt amb una suposada necessitat de ser ob-jectius, pot portar a entregar-se a un metodeque no depengui d’opinions personals, es a dira avaluar mitjancant un metode objectiu queno depengui dels avaluadors. Es tracta d’obte-nir un numero basat en el nombre dels articlespublicats i el nombre d’articles on apareixencitats els treballs del matematic sota escrutini.No cal que digui la poca garantia que aquestsistema te per a qualificar la valua dels treballsd’un matematic: no te en compte la qualitatdels treballs, ni la seva originalitat, ni la sevavertadera influencia.

Val la pena, si s’esta interessat en el pro-blema, mirar-se el document �Citation Statis-tics� de la IMU, del qual varem fer un resumcrıtic en el numero anterior de la SCM/Notıcies,i que apareix ıntegre, traduıt al catala, al web dela nostra Societat. Es tracta d’una crıtica al sis-tema d’ordenar els matematics d’acord amb lacategoria de la revista en que escriuen i d’acordamb el nombre d’articles publicats en els dar-rers anys i dels articles citats en altres treballs.No fa falta massa imaginacio per a veure queuna classificacio com aquesta no pot fer justıciaals matematics que s’esforcen a atacar proble-mes difıcils: el nombre de publicacions d’aquestsmatematics es baix comparat amb el nombrede publicacions dels que resolen problemes queson mes aviat seguiments, extensions o casosparticulars.

37

Page 40: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

El que es tingui com a factor mes importantper a jutjar la valua d’un matematic el nom-bre d’articles i citacions, sense mes criteri quela revista on es publica, i que les posicions deprofessors i investigadors depenguin d’aquestsındexs, provoca, entre d’altres coses, que la gentno ataqui problemes que no li garanteixin unaprolixitat de publicacions competitiva.

En Dan Henry, per exemple, te molt poquespublicacions i no es massa esmentat. Es difıcilllegir-lo i encara ho es mes seguir el camı de re-cerca que ell va tracar, tot i ser molt important.I era un gran matematic que va influir molt peralla on passava. I aixı n’hi ha forca.

Certament el Citation Index es util per aconeixer la produccio d’articles i la seva reper-

cussio, pero si s’utilitza exclusivament per ava-luadors sense un coneixement i criteri adaptatsal cas, es risca de fer una avaluacio injusta, isi les adjudicacions de places, les promocionsi els ajuts es donen sense mes que pel nombrede publicacions i cites dels treballs publicats,llavors es comet una injustıcia amb els que esdediquen a atacar problemes que requereixenmes dedicacio i temps per a poder-se publicar.

Que s’ha de fer doncs? Facil: decidir, els quedecideixen, qui es mes mereixedor de la posi-cio o dels ajuts, basant-se en l’opinio dels dife-rents coneixedors i responsables i, naturalment,basant-se en el treball dels candidats, pero nonomes amb numerologia, sino amb coneixementi criteri.

Carles PerelloUAB

El cost del fracas escolar en matematiques

Com es pot convencer tota una societat o els seusdirigents del fet que les habilitats matematiquesbasiques de la gent son tan fonamentals comser capac de llegir o d’escriure? Quantificant-neel cost de no tenir-les, per exemple; aixo es elque han fet a Anglaterra des d’�Every childa chance�, una organitzacio que aspira a mi-llorar el potencial educatiu de nens socialmentdesavantatjats, mitjancant el desenvolupamenti promocio de programes d’intervencio precoc.

L’informe �Els costos a llarg termini de lesdeficiencies en educacio matematica�, publicatel gener de 2009, i que podeu trobar al webhttp://www.everychildachancetrust.org/pubs/ECC−long−term−costs−numeracy−difficulties

−final.pdf, resumeix les conclusions d’aquestestudi. Calculen que en aquell paıs la quantitat,en augment, de nens i nenes que abandonen lesescoles sense les habilitats de calcul adequadespodria costar a la societat anglesa un total de2.400 milions de lliures anuals (uns 2.750 milionsd’euros).

Segons l’informe, al voltant de 33.000 nens(un 6 % dels infants d’onze anys al Regne Unit)surt cada any de les escoles de primaria ambhabilitats de calcul deficients. Aixo suposa untotal estimat de set milions d’adults amb habili-tats matematiques equivalents o per sota de lesdel nivell de nens de nou anys d’edat. El costa llarg termini que representa aquest fet per al’erari public pot arribar a ser de 44.000 lliures

per individu de fins a trenta-set anys d’edat.Mes enlla de les xifres, hi ha les dificultats

personals amb que s’hauran d’encarar tots elsafectats per una educacio pobra. Es ben conegutque la desocupacio, l’habilitat mental pobra, ladrogodependencia i la criminalitat sovint van dela ma d’una deficient alfabetitzacio; pero l’infor-me posa en evidencia que tambe les mancancesen habilitats de calcul basiques tenen un paperigual d’important en aquests fenomens socials, icondicionen les vides de les persones atrapadesen el fons de l’escala social. Per tant, la insufi-cient formacio matematica a nivell de primariano nomes influeix negativament en les despesespubliques a traves dels costos associats a l’edu-cacio, sino que tambe mes endavant pesara atraves dels costos associats a la desocupacio, lasalut o el delicte. Son aquests ultims els costosque l’informe intenta estimar. Per exemple, fi-xa el cost de la desocupacio, dels delictes i dela drogodependencia i embaras d’adolescents,respectivament, en 1.900, 165 i 98,9 milions delliures.

La campanya �Every child a chance� fo-menta la participacio d’empresaris locals perquecontribueixin amb fins a 12.000 lliures anualsdurant tres anys a una ampliacio del seu progra-ma d’intervencio �Every child counts�. Aquestprograma governamental dona suport a infantsde set anys amb dificultats numeriques, en for-ma de classes extres per un perıode limitat, o

38

Page 41: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

de material didactic especial de matematiquesper fer a casa. S’encoratja tambe la participaciode voluntaris per ajudar els nens en les sevestasques.

Segons John Griffith-Jones, presidentd’�Every child counts�, aquest programa desuport pot millorar vuit de cada deu nens queel reben, fora del fracas escolar pel que fa a lescompetencies matematiques basiques. Seguintel llenguatge del cost/eficacia, els autors del’informe calculen que cada lliura gastada en elprograma �Every child counts�, reportara a lasocietat un estalvi d’entre 12 i 19 lliures a llargtermini. Barclays ja ha acceptat ser el primerpatrocinador nacional, comprometent l’apor-tacio d’1,2 milions de lliures per proveir unaestructura de coordinacio per al programa, i perestablir relacions de patrocini entre vint oficinesde Barclays a Anglaterra i les respectives escolesde primaria al seu voltant.

Ironicament, l’informe esmentat es publicavala mateixa setmana que un estudi fet per un web

d’ocupacio dels Estats Units, on es considerala feina de matematic com la millor ocupaciod’una llista de dues-centes; altres feines rela-cionades amb les matematiques, com les d’es-tadıstic, actuari, comptable, informatic o eco-nomista, formaven part de les dotze superiors.El lloc web CareerCast.com concloia que la fei-na de matematic es capdavantera pel que fa ales valoracions dels cinc criteris seguents: ambi-ent de treball, ingressos, perspectiva de feina,demandes fısiques i estres.

Resultats com aquests posen de manifest elproblema d’imatge que tenen les matematiques:el gran salt que hi ha entre el que la gent creuque son les matematiques i el que aquestes podenrealment fer per a la gent. Es aquest problemad’imatge el que han d’afrontar les nombroses ini-ciatives matematiques que s’han posat en marxaels darrers anys, fins a aconseguir que la falta deformacio basica en matematiques es consideritan inacceptable i es combati tant com el mateixanalfabetisme.

Enric VenturaUPC

Premis

Mikhail Gromov, Premi Abel 2009

La Norwegian Academy of Science and Lettersha atorgat el Premi Abel 2009 al matematic rus-frances Mikhail Leonidovich Gromov per les se-ves contribucions revolucionaries en geometria.El Premi Abel, establert en honor del matematicnoruec Niels Henrik Abel (1802-1829), premiales contribucions d’extraordinaria i profunda in-fluencia a les ciencies matematiques; s’atorgaanualment des de 2003. El premi consisteix envora 700.000 euros. Mikhail L. Gromov ha rebutrecentment el Premi Abel de Sa Majestat el ReiHarald en una cerimonia de lliurament a Oslo,Noruega, el 19 de maig de 2009.

Destaquem les paraules seguents del profes-sor Kristian Seip, president del comite Abel,durant el seu discurs en la cerimonia de lliura-ment del premi:• Sobre el treball de Gromov en geometria rieman-niana global

�La geometria riemanniana es desenvolupa-va a partir de l’estudi de superfıcies curvilınies

i els seus analegs en dimensions mes altes i haaportat aplicacions, per exemple, a la teoria derelativitat general. Gromov ha tingut un paperdecisiu en la creacio de la geometria rieman-niana global moderna. Les seves solucions deproblemes importants en geometria global esbasen en conceptes generals nous, com ara laconvergencia de varietats riemannianes i un prin-cipi de compacitat, que avui dia porten el seunom.�

• Sobre el treball de Gromov en geometria sim-plectica global

�Gromov es un dels fundadors del camp degeometria simplectica global. Les corbes holo-morfes ja es sabia que eren una eina importanten l’estudi de la geometria de les varietats com-plexes. Tanmateix, el context de les estructurescomplexes integrables era massa rıgid. En unarticle famos de 1985, Gromov esten el concep-te de corba holomorfa al de corba J-holomorfasobre varietats simplectiques. Aixo el porta a

39

Page 42: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

la teoria d’invariants de Gromov-Witten, queara es un tema extremadament actiu connectatamb la teoria quantica moderna. Tambe el du-gue a la creacio de la topologia simplectica i ala penetracio i transformacio gradual de moltesaltres arees de matematiques.�

• Sobre el treball de Gromov en teoria geometricade grups

�Els treballs de Gromov sobre grups de crei-xement polinomic introdueixen idees que hancanviat per sempre la manera com es veuen elsgrups infinits discrets. Va descobrir la geome-tria dels grups discrets i va resoldre una seriede problemes excepcionals. El seu enfocamentgeometric convertı arguments combinatoris com-plicats en d’altres de molt mes naturals i senzills,pero alhora mes potents.�

Les seves principals fonts d’inspiracio a l’ho-ra de treballar en teoria geometrica de grups fo-ren la topologia de dimensions baixes i la geome-tria hiperbolica. En aquest context destaquemels importants treballs de Max Dehn durant elsanys vint del segle passat sobre grups fonamen-tals de superfıcies de Riemann hiperboliques, itambe els treballs de William Thurston durantla darrera dels anys setanta, connectant l’estudide les 3-varietats amb la geometria hiperbolica.

A principi dels anys vuitanta, Gromov in-troduı i desenvolupa la idea de grup hiperbolic.Per definicio, un grup hiperbolic (un Gromovhyperbolic group) es un grup finitament gene-rat i equipat amb una metrica que satisfa cer-tes caracterıstiques propies de la geometria hi-perbolica. Es sorprenent com una definicio tansenzilla pot generar una teoria tan rica i bonica,que es pot aplicar a mes a una classe extensade grups finitament presentats. En l’article [1]Gromov proposava un ambicios programa derecerca sobre els grups hiperbolics, que ha ins-pirat tota una generacio sencera d’investigadorsen teoria de grups. L’estil dels llibres [1] i [2] deGromov es poc usual: en lloc de contenir demos-tracions treballades, abunden forca les idees, laintuıcio geometrica i, sobretot, la sensacio deseguretat que un lector avancat podra crear-les.Ambdos llibres son plens d’idees i visions bri-llants que conviden a pensar sobre problemesalhora interessants i profunds. En aquest punt

em permeto de citar una frase del mateix Mik-hail Gromov:�La tasca de les matematiques i dels matematicses la d’articular les regularitats visibles delsmons fısic i mental, i la de trobar nous patronsestructurals imperceptibles a la intuıcio directai al sentit comu.�

Per a aquells que estigueu interessats sobrealeatorietat, geometria, grups, complexitat i lesseves aplicacions a la biologia, us aconsello visi-tar la web de Mikhail Gromov [3] i de mirar lapart 14, �Formalitzacio d’estructures genetiquesi biomoleculars�.

Biografia curta de Mikhail Gromov

Mikhail Leonidovich Gromov naixia el 23 de de-sembre de 1943 a Boksitogorsk, URSS. Obteniala llicenciatura en matematiques el 1965, el doc-torat el 1969 i la tesi postdoctoral el 1973, a laUniversitat de Leningrad (ara St. Petersburg),on tambe fou professor agregat des de 1967 finsa 1974. El director dels seus estudis doctoralsfou l’eminent topoleg V. A. Rokhlin.

El 1974 Gromov marxava de l’URSS i es con-vertia en professor a la Universitat de l’Estat deNova York a Stony Brook. El 1981 es traslladaa la Universitat de Parıs VI.

Des de 1982, Gromov ha tingut una posi-cio com a professor permanent a l’Institut desHautes Etudes Scientifiques (IHES), Bures-sur-Yvette, a Franca; l’IHES es un institut per a lainvestigacio avancada en matematiques, fısicateorica i altres camps cientıfics relacionats.

Mikhail L. Gromov ha estat ciutada francesdes de 1992.

Bibliografia

[1] Gromov, M. �Hyperbolic groups�. A:Gersten, S. [ed.]. Essays in Group Theory.Springer, 1987, pag. 75–265. (MSRI Publi-cations, 8)

[2] Gromov, M. Geometric group theory.Vol.: 2. Asymptotic invariants of infinitegroups. Cambridge: Cambridge Univ. Press,1993. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.;182). [Edicio a cura d’A. Niblo i M. Roller]

[3] Gromov, M. Pagina web:http://www.ihes.fr/∼gromov/

Oleg BogopolskiUniversitat de Dusseldorf

40

Page 43: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Premis de la SCM 2010

La Societat Catalana de Matematiques ha convocat enguany una ediciomes, dins el cartell de premis de l’IEC, dels premis seguents:

Premi Evariste Galois

Instituıt l’any 1962 i convocat per quaranta-setena vegada, s’ofereix altreball d’investigacio, bibliografic o d’assaig sobre matematiques. Estadotat amb mil euros (1.000e).

Premi Josep Teixidor

Instituıt l’any 1979 i convocat per tretzena vegada, s’ofereix a la millortesi doctoral o al millor treball d’investigacio sobre matematiques. Estadotat amb quatre mil dos-cents euros (4.200e).

Termini per a la presentacio de candidatures:

4 de desembre de 2009 a les 13 hMes informacio: http://scm.iec.cat

La SCM esta estudiant la possibilitat d’ins-taurar el �Premi Albert Dou� per a un treballque contribueixi a prestigiar i a visualitzar laimportancia de la matematica en el nostre mon,

i a transmetre el coneixement matematic a unpublic mes ampli que els especialistes. En elproper numero en donarem mes informacio.

Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer

Premi Matematiques i SocietatEn la reunio del Patronat de la Fundacio delpassat 19 de marc s’acorda atorgar per primeravegada aquest any 2009 el Premi al capıtol �Elsistema metric� del programa Quequicom, pro-duıt per Televisio de Catalunya sota la direcciode Jaume Vilalta, que fou emes pel Canal 33 el22 d’abril de 2008. La Fundacio Ferran Sunyer iBalaguer ha valorat molt positivament el rigordel reportatge i el seu valor pedagogic, adrecata un public d’ample espectre.

�El sistema metric� presenta de maneraelaborada i pedagogica l’us de les eines ma-tematiques, essencialment l’observacio i la trigo-nometria, en la definicio del metre a partir dela mesura del meridia terrestre que passa perDunquerque i Barcelona. Prenent com a antece-dents les mesures efectuades per Eratostenes en

observar la posicio del Sol en un mateix instanta Alexandria i a Assuan, es detallen les mesuresefectuades a Catalunya per a la determinaciodel metre mitjancant triangulacions, dirigidesper Pierre Mechain i Jean-Baptiste Delambre.

Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Mate-matiques

El Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Mate-matiques 2009 ha estat atorgat a Timothy D.Browning, de la Universitat de Bristol, per lamonografia titulada Quantitative arithmetic ofprojective varieties. En el proper numero de laSCM/Notıcies en publicarem una recensio.

El dos premis de la Fundacio foren lliuratsel passat 22 d’abril en l’acte de lliurament depremis i borses d’estudis de l’Institut d’EstudisCatalans.

Manuel CastelletDirector de la FFSB

41

Page 44: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Premi Matematiques i Societat 2010

• Ofert a autors de reportatges sobre qualsevol aspecte de les mate-matiques (ensenyament, recerca, divulgacio, presencia en la societat),publicats en qualsevol mitja de comunicacio dels Paısos Catalans decaracter generalista (premsa diaria, publicacions periodiques, radio,televisio, mitjans digitals, etc.) en els dotze mesos anteriors a la datade resolucio.

• El jurat valorara la tematica tractada, l’impacte social i l’us de lallengua catalana. La dotacio del premi es de tres mil euros (3.000e).

Termini d’admissio de candidatures: deu dies abans de la resolucio. Eljurat resoldra l’adjudicacio del Premi abans del dia 20 de marc.

Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Matematiques 2010

• El Premi sera atorgat a una monografia matematica de caracter expo-sitiu que presenti els darrers desenvolupaments d’una area activa enrecerca, en la qual el concursant hagi contribuıt de manera important.

• El Premi es dotat amb 15.000e i la monografia guanyadora es publicadins la serie �Progress in Mathematics� de Birkhauser Verlag.

Termini per a la presentacio de les monografies:

4 de desembre de 2009 a les 13 h

Mes informacio: http://ffsb.iec.cat

Borses Ferran Sunyer i Balaguer 2009

Judit Abardia, �Geometria integral i convexitat a l’espai hiperbolic complex�

Llicenciada l’any 2004 a la UABactualment realitzant la tesi doc-toral sota la codireccio d’EduardGallego i Gil Solanes, a la mateixauniversitat.

Des del mes de gener fins alsetembre gaudeixo d’una estadade recerca a la Universitat de Fri-bourg (Suıssa), sota la direccio delprofessor Andreas Bernig, per aca-

bar la tesi doctoral. Recentment, m’ha estatconcedida una Borsa Ferran Sunyer i Balaguerper realitzar una estada de tres mesos al CRMsota la direccio de Joan Porti.

La tesi doctoral que estic realitzant te coma tıtol provisional �Geometria integral i conve-xitat a l’espai hiperbolic complex� i s’emmarcaen el camp de la geometria integral. Te com aobjectiu principal donar una expressio per a lamesura de plans complexos que tallen un convexa l’espai hiperbolic complex i interpretar-la entermes de la geometria del convex. Una de lespreguntes que classicament ha tractat la geome-tria integral es, precisament, donat un convex,estudiar la mesura de rectes, plans, o mes engeneral varietats lineals, que tallen el convexdonat. Fins ara es coneixia una expressio per aaquesta mesura a l’espai euclidia, a l’esfera i

42

Page 45: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

a l’espai hiperbolic. L’objectiu principal, doncs,d’aquesta tesi es generalitzar aquests resultats al’espai hiperbolic complex.

Per a poder assolir aquest objectiu ha si-gut necessari estudiar la geometria de l’espaihiperbolic complex, es a dir, entre altres, s’hanestudiat les subvarietats totalment geodesiques,certes propietats de les hipersuperfıcies reals i,especialment, les propietats dels bisectors. Unade les propietats de les hipersuperfıcies reals esque no n’existeixen de totalment geodesiques,es a dir, no podem trobar cap hipersuperfıcietal que les geodesiques d’aquesta siguin tambegeodesiques de l’espai ambient. En aquesta situa-cio, una pregunta natural es quines son les hiper-superfıcies amb propietats mes �semblants� ales totalment geodesiques. La resposta que estroba a la literatura es que son els anomenats bi-sectors, que son hipersuperfıcies minimals, gene-rades per l’aplicacio exponencial d’un subespaide dimensio 2n−1 de l’espai tangent en un punt.Un dels seus inconvenients per a l’estudi de lageometria integral es que cap dels semiespaisque determinen es convex.

Classicament, la geometria integral te coma objectes fonamentals d’estudi els dominis con-vexos de l’espai. Aixı doncs, es natural estudiarpropietats i exemples concrets de convexos a l’es-pai hiperbolic complex. Pero, quina interpretaciogeometrica podem donar a l’embolcall convexde tres punts? Com es defineix un polıedre? La

resposta a aquestes preguntes no esta gens clarai el problema principal es que no existeix unanaleg d’hiperpla.

El mateix problema apareix en estudiar elssubgrups discrets del grup d’isometries de l’es-pai hiperbolic complex, PU(n, 1). Tıpicament,un domini fonamental a l’espai hiperbolic reales defineix a partir d’un polıedre amb una certaestructura combinatoria. Com que la nocio depolıedre a l’espai hiperbolic complex no estaclara i, de fet, diferents autors consideren noci-ons diferents, tenim que el problema de deter-minar dominis fonamentals a l’espai hiperboliccomplex es molt mes ric.

De totes maneres, s’han donat diversos exem-ples de dominis fonamentals a l’espai hiperboliccomplex de dimensio 2. Mostow va donar el pri-mer exemple de domini fonamental construintun hexaedre amb les cares contingudes a bisec-tors. Recentment, s’han construıt altres exem-ples de dominis fonamentals en aquest espai ison coneguts alguns metodes que es poden apli-car per trobar nous exemples i poder estudiaraixı noves varietats hiperboliques complexes ob-tingudes com a quocient de l’espai amb el grupque defineix el domini fonamental.

En aquesta estada al CRM, comencarem adonar una nova famılia d’exemples de dominisfonamentals a l’espai hiperbolic complex de di-mensio 2.

Sara Arias de Reyna, �Galois representations and tame Galois realizations�

Soc llicenciada en matematiquesper la Universitat de Sevilla. Vaigdecidir realitzar els meus estudisde doctorat a la Universitat deBarcelona, per poder especialitzar-me en teoria de nombres. El setem-bre de 2004 vaig iniciar els meusestudis de doctorat a la Facultatde Matematiques, sota la tutela

de la doctora Nuria Vila. El 14 d’abril de 2009vaig sol.licitar l’admissio a diposit de la mevatesi doctoral.

La teoria de nombres es una branca moltamplia, estretament relacionada amb moltes al-tres materies. Un objecte central d’estudi dintrede la teoria de nombres es el grup de Galois ab-solut del cos dels nombres racionals Gal(Q/Q),les seves representacions, els seus quocients fi-

nits, etc. Aquesta questio esta directament re-lacionada amb el problema invers de la teoriade Galois sobre Q, que es encara un problemaobert. Aquest problema, que va ser consideratper primera vegada per D. Hilbert, consisteix adeterminar quins grups finits poden realitzar-secom el grup de Galois d’una extensio finita delcos racional. En la meva tesi doctoral em cen-tro a buscar una resposta a la questio seguent,plantejada per B. Birch. Donat un grup finit G,existeix una extensio finita de Galois K/Q, mo-deradament ramificada, tal que Gal(K/Q) ' G?Tracto aquest problema a traves de les represen-tacions de Galois associades a objectes aritmeti-cogeometrics.

En la meva tesi he obtingut alguns resultatsparcials quan G es isomorf al grup projectiuespecial lineal 2-dimensional sobre un cos finit

43

Page 46: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

amb `2 elements. Durant la tardor de 2008, vaigfer una estada en l’Institut fur ExperimentelleMathematik, Universitat Duisburg-Essen (Ale-manya), sota la tutela del doctor Gabor Wiese.Vam provar diferents aproximacions per a resol-dre aquest problema, pero cap ens va conduir aun resultat complet. No obstant aixo, encara ensqueden algunes vies prometedores per estudiar.Afortunadament, m’ha estat concedida una Bor-sa Ferran Sunyer i Balaguer per a realitzar unaestada de tres mesos en l’Institut fur Experimen-telle Mathematik per treballar amb el doctorWiese. D’aquesta manera tindrem l’oportunitat

d’aprofundir en l’estudi aquest problema i con-tribuir, per a una porcio de nombres primers `,a la realitzacio del grup projectiu especial lineal2-dimensional sobre el cos finit de `2 elementscom a grup de Galois d’una extensio de Q mo-deradament ramificada. El nostre proposit esutilitzar les representacions de Galois associadesa formes modulars tals que el seu cos de coefici-ents sigui una extensio quadratica de Q. Per acada primer `, cal trobar formes modulars super-singulars en `, de manera que la representaciode Galois associada tingui imatge gran.

Alejandro Luque, �Teoria de renormalizacio i connexions amb fenomens de breakdown�

Em vaig titular en enginyeria quı-mica a la UPC el setembre de 2004i just despres vaig comencar el doc-torat en matematica aplicada sotala direccio del professor Jordi Vi-llanueva Castelltort en el Depar-tament de Matematica Aplicada Ide la mateixa universitat.

El projecte que vam presentara les Borses Ferran Sunyer i Bala-

guer es una continuacio natural de la recercarealitzada en la tesi, la qual es troba en fasede redaccio. De manera sintetica, hom pot dirque el meu treball ha consistit a desenvoluparmetodes analıtics i numerics per a l’estudi desolucions quasiperiodiques estables. Es un fetben conegut que aquestes solucions tenen un pa-per rellevant a l’hora d’entendre la dinamica enmolts problemes d’astrodinamica, dinamica mo-lecular, fısica d’acceleradors/plasmes o mecanicaceleste.

De manera imprecisa i imcompleta, hom potdir que la teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) recull una serie de tecniques per estu-diar solucions quasiperiodiques (es a dir, fun-cions dependents d’un conjunt de frequencies)de certes equacions. Tot i que la teoria KAMes ben coneguda, els metodes classics presen-ten inconvenients i dificultats a l’hora d’aplicarels resultats abstractes a models concrets. No-gensmenys, A. Gonzalez, A. Jorba, R. de laLlave i J. Villanueva van desenvolupar un noumetode per superar molts dels inconvenientsde les tecniques classiques. Aquest metode fouintroduıt per a tors de dimensio maxima i, enl’actualitat, hom considera de gran interes la

seva extensio a altres contextos. Un dels objec-tius de la tesi ha estat adaptar aquests metodesper demostrar l’existencia de tors de dimensioinferior normalment el.lıptics.

D’altra banda, a l’hora d’estudiar dinamicaquasiperiodica, hom pot obtenir molta informa-cio si es coneix el vector de frequencies. Es peraixo que el calcul numeric d’aquests objectesha esdevingut un tema de molt interes durantels darrers anys. La recerca de la meva tesi con-tinua tambe la lınia encetada recentment perT. M-Seara i J. Villanueva en aquest context.

Mitjancant la teoria KAM, hom pot justifi-car el fet que per famılies analıtiques d’aplicaci-ons del cercle (que compleixen certes condicionsde no-degeneracio), el conjunt de parametresque dona lloc a un nombre de rotacio diofanticfixat es una corba analıtica. Aquest resultat noproporciona cap informacio quan la famılia in-clou una subfamılia d’aplicacions que contenenpunts crıtics. Fruit de discussions recents ambel professor Rafael de la Llave (Universitat deTexas a Austin) i d’experiments numerics rea-litzats mitjancant els metodes de la tesi, es vaobservar que en aquest cas l’anterior conjuntencara mante certa regularitat.

Gracies a aquesta borsa fare una estada aAustin amb el professor De la Llave. Estudiaremla regularitat d’aquests conjunts de nombre derotacio constant en incloure aplicacions crıtiquesen la famılia. Donat que la presencia de puntscrıtics situa aquest context en el lımit de va-lidesa dels nostres metodes, considerem moltinteressant abordar aquest estudi. Cal remarcarque un dels descobriments mes sorprenents ensistemes dinamics de les ultimes decades ha es-

44

Page 47: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

tat l’existencia de relacions d’escala en aquesttipus de transicions, i el seu estudi mitjancanttecniques de renormalitzacio. Esperem que en

considerar l’estudi d’aquests punts crıtics es po-sin de manifest aquestes relacions d’escala i pu-guem derivar-ne propietats importants.

Parlem de llibres

En poc temps s’han editat en catala tres o qua-tre llibres que fan referencia, d’una manera oaltra, a la matematica. Son:• Francesc de Santcliment. Suma de laart de arismetica. Edicio facsımil, amb un opus-cle explicatiu de la Joana Escobedo. Barcelona:Biblioteca de Catalunya, 2007.

M’ha semblat que era l’ocasio de parlar dela importancia i el significat de les aritmetiquescomercials a l’Europa de finals del segle xv.• Pierre de Fermat. Obra matematica varia.Barcelona: Institut d’Estudis Catalans. Secciode Ciencies i Tecnologia, 2008.

Es tracta d’una traduccio al catala d’unaseleccio de textos i cartes de l’insigne juristaamateur, realitzada per Jaume Paradıs, JosepPla i Carrera i Pelegrı Viader, amb notes i co-mentaris.

• Godfrey H. Hardy. Apologia d’un ma-tematic. Santa Coloma de Queralt: ObradorEdemdum., 2008.

Es tracta del famos text de Hardy, amb lasemblanca de Snow, i una introduccio escritaper a aquesta traduccio, i acompanyat d’un textde John von Neumann que fa de contrapunt.• Eduard Bonet. Gabriel Ferrater i RobertMusil: entre les ciencies i les lletres. Barcelona:Residencia d’Investigadors, 2009. (Publicacionsde la Residencia d’Investigadors; 35)

L’Eduard em va demanar que, juntamentamb la Marta Pessarrodona, presentes l’obra ala Residencia d’Investigadors. El text d’aquest�Parlem de llibres� es el que vaig llegir el passat20 d’abril.• Paolo Giordano. La solitud dels nombresprimers. Barcelona: Edicions 62, 2009.

Es tracta d’una novel.la.

Josep Pla i CarreraUB

Gabriel Ferrater i Robert Musil: entre les ciencies i les lletres

Autor: Eduard BonetEditorial: Residencia d’Investigadors. Barcelona, 2009.

[Eduard, Marta, Francesc Farre, Lluıs Calvo,amigues i amics:]

Per comencar voldria agrair als organitza-dors d’aquesta presentacio —que es una celebra-cio— i, molt particularment, a l’amic Eduardla confianca que m’han demostrat en convidar-me a participar activament en aquest acte tanimportant simbolicament.

L’any 1975 es va publicar Una lleu sorra, unllibre col.lectiu en memoria d’en Gabriel Ferra-ter. Hi van participar un grapat de matematicscol.legues i amics de l’Eduard i meus. Per larao que fos —jo no tinc una memoria historicatan bona com la que te l’Eduard— no en vaigtenir coneixement fins que fou massa tard perpoder-hi participar. Es una d’aquelles petites es-

pines que se’t queden clavades a l’esperit. Avui,pero, amb aquesta participacio activa puc re-tre, de forma indirecta, un petit homenatge a lamemoria d’en Gabriel, el qual he conegut per laseva obra, pels molts apropaments que me n’hafet l’Eduard al llarg dels anys i, aquests dar-rers dies, pel llibre que ara presentem amb moltd’orgull, admiracio i un polsim de cobejanca.

Permeteu-me que dediqui les meves paraules,breus pero que volen ser intenses, a l’Eduard.

Per a mi sempre ha estat com el germa granque, amb molt mes esforc que el germa petit,aconsegueix les primeres concessions i assoleixels primers graus de llibertat dels pares; comel guia que obre el camı que cal seguir, totmostrant-lo.

45

Page 48: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Repassare, doncs, tot recordant-los per atots vosaltres, uns quants exemples dels puntsd’encontre i de paral.lelisme entre l’Eduard i jo:1) En el vessant didactic de la teoria de conjunts.

La implantacio de la matematica basada enels conjunts i la logica formal de primer ordreimpressiona Gabriel Ferrater. De quina maneratan nıtida descriu l’Eduard, amb ma mestra, ladescoberta que en feu en Gabriel a l’Analisisalgebraico de Julio Rey Pastor!1

I aixı, a la part tercera del llibre que presen-tem,2 l’Eduard fa pales aquest entusiasme —unentusiame que comparteix— i el sentit que lateoria de conjunts tingue durant els seixanta isetanta del segle xx. Diu:

A causa del seu enfocament estructuralista,la matematica moderna reflecteix, juntamentamb la linguıstica, l’art abstracte i altresmanifestacions intel.lectuals, aspectes moltimportants de la mentalitat del segle xx. Laconsolidacio i la difusio que se’n feu en ladecada dels seixanta va ser un fenomen cien-tıfic, didactic i cultural destacadıssim, quela historia del pensament no pot ignorar.3

Li van preocupar tambe, d’una manera par-ticular, les repercussions didactiques en l’ambitde l’ensenyament no universitari i, de retruc, laformacio de mestres i llicenciats que aquestainnovacio comportava. Aquesta preocupacio elva portar a participar activament en debats aRosa Sensat i a les escoles d’estiu organitzadespel Col.legi de Doctors i Llicenciats. Anys mestard, amb l’amiga Griselda Pascual [Barcelona,1926 - 2001] i Adolf Almato, jo li seguiria lespetjades. I aixı, l’any 1976, a l’Escola d’Estiuper a professors d’ensenyament mitja vaig donarun curset, Notes sobre teoria de conjunts, enaquest mateix sentit.2) Pel que fa a la linguıstica.

L’interes que la gramatica generativa des-perta en molts de nosaltres ens va portar acol.laborar, despres de la mort d’en Gabriel, enun curs al CICF, a la Via Augusta, que l’Eduardva organitzar in memoriam a la seva vocaciolinguıstica i que tan be explica en diversos pas-satges del llibre. Per a ell era un homenatged’amistat i alhora un intent d’omplir el buit que

una obra linguıstica d’en Gabriel, inacabada,deixava a la societat catalana culta.

Durant aquell encontre varem considerar—ateses les novetats linguıstiques que la ma-tematica moderna introduıa en la redaccio de lesllicons, articles i llibres— la necessitat i urgenciade disposar d’un text d’estil matematic. Tanma-teix, mai no varem posar fil a l’agulla.3) La Universitat Catalana d’Estiu a Prada.

Eduard em va convidar a anar a Prada onvaig participar tres o quatre estius seguits acomencaments dels anys vuitanta. En Gabriel,en canvi, hi havia estat l’agost de 1971.4 Und’aquests cursos el vaig titular �La matematica,un monstre d’or amb peus de fang�. Hi posavade manifest que, malgrat l’exit indiscutible de lamanera nova de fer matematica, els problemesde fonamentacio encara eren vius, pero ja ensn’havıem oblidat. [Hi vaig tornar, fara uns deuanys, quan la part cientıfica la portava Anto-ni Lloret, en un d’aquells gestos de nostalgia ianyoranca que provoquen els anys.]4) Els congressos catalans de logica (1983-1990).

Varem coparticipar en els congressos cata-lans de logica, una iniciativa de l’amic comuEnric Trillas. Aquests congressos van ser l’im-puls inicial de les recerques en logica algebricacatalana que encara avui perduren i que s’hanconsolidat en un grup de recerca molt notable,reconegut arreu.5) Josep Vicenc Foix, de Sarria.

L’amistat i admiracio pel poeta de Sarria,Josep Vicenc Foix, es un altre punt d’encontreentre l’Eduard i jo. En aquest fet, li vaig passaral davant, pero tampoc no es merit meu. Foixera amic de joventut del pare, i aixo m’obrı lesportes de casa seva i als sopars dels diumen-ges que mai no oblidare. L’Eduard, en canvi, esguanya l’amistat i simpatia de Foix pels seuspropis merits.6) En la forma d’entendre i assolir el coneixe-ment.

Pero en allo que l’Eduard fou el meu mestre—i sempre n’hi sere deutor— es en la necessitatde comprendre en profunditat per extensio, i nopas per intencio. Un coneixement que, respec-tant les diferencies, en podrıem dir renaixentista

1Vegeu les pagines 317-324.2Vegeu les pagines 105-218.3Vegeu la pagina 103.4Vegeu les pagines 511-513.

46

Page 49: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

i que, pel que he pogut llegir en el llibre, ell vacopsar en l’actitud intel.lectual d’en Gabriel.

La sıntesi que en fa l’Eduard es digna de serllegida:

Al llarg del treball d’escriure el llibre hetingut clar que en alguns capıtols em refe-reixo a la perversa divisio entre el mon dela ciencia i el de les lletres. Algunes vegades,amb Gabriel Ferrater, havıem parlat de C.P. Snow i del seu llibre Les dues cultures.[...] Un dels aspectes importants de l’amistatentre Gabriel Ferrater i jo era una mena decomplicitat per denunciar les consequenciesdevastadores del fet que s’accepti socialmenti es legitimi intel.lectualment la divisio de lesdues cultures.5

Si la influencia es una relacio transitiva, soc,en aixo, deutor d’en Gabriel. Es un metode ex-cel.lent —considereu si no les trajectories d’enGabriel i de l’Eduard. [Si en d’altres no donames fruits, es per llurs limitacions personals iintel.lectuals.]7) Compromıs amb el paıs.

Pero, per damunt de tot, l’Eduard ha estatun exemple d’amor pel seu paıs, un amor com-partit amb altres amors i amb un respecte moltgran pels aires antics i novells d’altres paısos [,una mica en la lınia del controvertit poema deSalvador Espriu —que l’Eduard esmenta a lespagines 195-197—,] i amb un compromıs ferm idecidit per la nostra petita gran cultura. Fa pocsdies, el conseller de Cultura de la Generalitat,Joan Manuel Tresserras, durant l’entegra delPremi de Cultura Popular Valeri Serra i Boldu(Bellpuig, Lleida), deia que, d’entre els paısossense estat, Catalunya es, pel que fa a la culturapropia, dels primers, si no el primer; de primeradivisio.8) Compromıs amb el catala.

L’amor de l’Eduard per la nostra llenguaque, sempre en perill, pot produir i produeixtota mena de literatura de gran nivell, cada unaen el seu estil i ambit, com ara, per ser breu, lapoesia de Foix i de Ferrater, es indiscutible.

Ell, amb la col.laboracio d’en Gabriel, fou elprimer a escriure durant els anys foscos de ladictadura un llibre de matematiques en catala:

Espais de probabilitat finits. Jo, en canvi, hi es-criuria la primera tesi de matematiques, pero jaa les acaballes del franquisme.

I ara l’ha tornat a usar, amb rigor i clare-dat, per escriure la biografia d’un home, d’untemps i d’unes idees: Gabriel Ferrater i RobertMusil: entre les ciencies i les lletres. Es un textque, entre moltes altres aportacions, sintetitzala generacio intel.lectual del Maig del 68.

En l’ambit de la matematica, ningu com ellmereix ser membre de la Seccio de Ciencies iTecnologia de l’IEC, un tret en el qual no heaconseguit imitar-lo.

* * *

El llibre d’Eduard Bonet Gabriel Ferrater iRobert Musil: entre les ciencies i les lletres es—deixeu-m’ho dir amb totes les paraules— unacte d’amor de l’Eduard per en Gabriel, i del’Eduard per la veritat.

Em podreu dir que, atesa la meva vinculacioafectiva i ideologica amb l’Eduard, no soc elmes indicat per presentar-lo amb objectivitat.Jo, pero, crec que, si se mantenir el grau desinceritat que l’Eduard empra en el llibre, ensoc perfectament idoni precisament pels paral-lelismes que m’hi uneixen i que he exposat, ambsinceritat, al preambul explicatiu i que el justi-fiquen alhora que em qualifiquen per compren-dre’n les dues cultures, seguint la terminologiade C. P. Snow.

Ara, pero, entrant de ple en el text, us mos-trare fins a quin punt el llibre de l’Eduard es unacte reflexiu d’amor, i un exercici de sinceritat.Hi llegim:

[...] en desgreuge meu, indicare que el llibreque tenim a les mans no es una obra deficcio sino de reflexio sobre la personalitatcomplexa de Gabriel Ferrater vista a travesde la presentacio de teories i histories.6

I segueix:

Un autor no es merament un objecte perreconstruir, a partir d’uns indicis, amb lanostra imaginacio lliure i de vegades tanpobra com desenfrenada. Un autor es unapersona que ofereix la seva obra a la nostraconsideracio i a la nostra crıtica i que te eldret d’esser respectada.7

5Vegeu les pagines 23-24.6Vegeu la pagina 303. Els emfasis son meus.7Vegeu la pagina 304. Els emfasis son meus.

47

Page 50: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

En aquests textos, hi podem veure l’objectiui proposit de l’Eduard i alhora l’acte d’humilitatal qual sotmet l’obra. Solament demana que lisigui respectada —com cal a tota obra d’autor—perque el respecte a l’obra es, de fet, el respectea la feina feta. Aquest respecte, pero, no excloula crıtica ni tampoc no exclou les limitacionsde la imaginacio de l’autor.

I, com a introduccio a l’obra autobiograficade Musil, L’home sense qualitats, diu:

L’autor que publica una novel.la mes o menysautobiografica ens ofereix dues classes deconeixement sobre la seva personalitat: lesexperiencies que realment ha viscut ens ex-pliquen com es, i les situacions fictıcies quecrea ens diuen com li agradaria ser. El lec-tor que s’emmiralla en aquesta novel.la i enscomenta que hi reconeix aspectes basics dela seva mentalitat ens incita a entendre’lmes profundament, tant en el pla de les se-ves experiencies com en el dels seus ideals.Aquests jocs d’identificacions i seduccionshermeneutiques tenen malauradament moltsparanys, que les nostres reflexions crıtiqueshan intentat d’evitar.8

I, malgrat que ens ha deixat ben clar que elseu llibre �no es un llibre de ficcio� i tampoc,es clar, no es una autobiografia i, per tant, nohi pot reflectir �allo que li agradaria ser� alpersonatge biografiat, em sembla que en la restaens presenta totes les pautes de sinceritat queatribuiex a l’autobiografia alhora que es consci-ent dels paranys en els quals pot haver quedatatrapat.

La voluntat d’objectivitat —en el grau enque aixo sigui possible en un text d’autor— hies en la intencio. Ho diu, entenc, ben claramentquan escriu:

El conductisme de les ciencies socials, quees va desenvolupar a partir de la primerameitat del segle xx, no ens serveix gaire perconeixer la complexitat de les persones. Perinterpretar la mentalitat i els sentiments pro-funds dels altres ens basem en indicis que,

malgrat la seva importancia, sempre son in-suficients. [...] Sense ser esceptics sobre alloque coneixem be, la consciencia d’aquesteslimitacions ens hauria de portar a no fer elviu i a ser humils i prudents en les nostresindagacions sobre els homes i les dones.9

No crec que hi haguem de veure, en capcas, un intent d’ironitzar sino una reflexio deles limitacions que li presenta el repte que s’haplantejat a si mateix.

Aquest repte d’objectivitat extrema ens l’ofe-reix tot presentant el context de la vida personald’en Gabriel, amb un detall i un grau d’intimitatnotables;10 l’estat de la situacio intel.lectual, al’epoca en que toca de viure a Gabriel, de totesi cada una de les questions afins als seus interes-sos —que, en el cas d’en Gabriel, son molts idiversos— amb una lucidesa que considero enve-jable: amb una capacitat de sıntesi notable ensofereix l’evolucio de la logica a partir de Frege,11

seguida d’una exposicio acuradıssima del girlinguıstic que l’evolucio de la logica propicia;12

l’analisi acurada —i sempre contextualitzada—de les anecdotes —que, a voltes, transcendeixenla mateixa anecdota i esdevenen cabdals peruniversals—13 els textos que, en un escriptor iintel.lectual, son, de fet, el tret definitiu i de-finitori per poder-ne copsar la personalitat;14

8Vegeu la pagina 367.9Vegeu la pagina 35. Els emfasis son meus.

10Vegeu les pagines 303-342.11Vegeu les pagines 232-272.12Vegeu les pagines 273-300.13Vegeu les pagines 501-532.14Vegeu les pagines 81-101.

48

Page 51: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

i finalment, l’experiencia personal i enriquido-ra —una lectura que em permeto de recomanard’una manera especıfica—15 de la col.laboracioen l’elaboracio del text Espais de probabilitatfinits, un exemple a imitar per la seva claredatexpositiva i per la seva qualitat expressiva.

Pero, certament, el text, malgrat els intentsde l’Eduard per bastir la personalitat d’en Ga-briel des de l’objectivitat, es un text delicat —iaixı l’hem de llegir— perque, com deia, es unacte d’amor:

En cada context historic —escriu l’Eduard—,l’amistat es construiex amb elements afec-tius, emocionals i racionals, que s’integrenen proporcions diverses. En un extrem, lesrelacions entre els amics es basen quasi ex-clusivament en l’afectivitat, mentre que enl’altre es fonamenten fortament en afinitatsintel.lectuals, de manera que, entre els doslımits, hi ha tot un espai de formes relaci-onals possibles. Cap aparell analeg a l’es-pectrometre de masses no pot detectar nimesurar els elements afectius i intel.lectu-als que intervenen en cada relacio especıfica.Tanmateix, les caracterıstiques d’aquests ele-ments revelarien aspectes molt profunds dela personalitat de la gent.16

Qui podria desitjar una biografia millor quela que emana de l’amistat!

I quina no devia ser la valua intel.lectual ihumana d’en Gabriel si va aconseguir despertaraquesta passio en una persona com l’Eduard—tots els que el coneixem sabem que es ıntegre,sensible, amb una capacitat intel.lectual abstrac-ta saonada per grans dots d’intuıcio. Llegiu sino em creieu, entre d’altres parts del text, lasisena, on l’Eduard fa l’analisi Robert Musil coma referent,17 una analisi que, en aquest cas, no essuspecte de cap desviacio provinent d’un excesd’amistat, i comprendreu el rigor amb que hatractat la biografia d’en Gabriel.

Tanmateix la tasca que s’ha proposat i queexplicita amb ploma mestre es un intent d’aixe-car la boira dels records. Diu:

L’experiencia humana, en el seu fluir al llargdel temps, es, entre altres coses, un mon deconeixements, reflexions, arguments, teories,confirmacions, refutacions, sentiments, acci-ons, expectatives, projectes, valors i signifi-cats [...]. Els esdeveniments que les historiesrelaten adquireixen significats a traves del’argument i del final narratiu. Pero, sobre-tot, la moral de les histories, com la de lesfaules, prove del fet que apunten cap al fu-tur.18

Una personalitat complexa com la d’en Ga-briel —amb tantes facetes i totes tan brillantscom les d’un diamant polit per la lectura, pelconeixement profund, per una intel.ligencia ex-cepcional, per la cultura occidental— es indub-tablement recordada en la boira d’un recordmultiple fet de records parcials. Cal, doncs, ai-xecar la boira.

Com va escriure el mateix Gabriel Ferrater—oh miracle de la poesia!— el text de l’Eduardvol ser el raig de sol que s’endu la boira:

Boira (fragment)

Molt abans que te’ls tornis vella i grisa,l’ombra del nuvol meu damunt l’estesade natura i conreu: la teva terra,com un floc lleu de cendra, imperceptibleper tots ells, pero encara no per tu,quan se l’endugui un ultim pal.lid vents’arrissara convulsa per l’adeu,i et deixara el record d’un fred caduc.Se com, despres, se’ls obriran les viesdel sol, quan, dins la multiple sorpresade fulles nobles, els fibli l’orellal’agil flauta infernal del teu migdia.19

Eduard, gracies pel teu testimoniatge, la te-va amistat i per aquesta obra tan meditada,acurada, precisa, fidel, sincera i alhora tan cu-rulla de complicitats i d’estimacio. Gracies, decor!

Josep Pla i CarreraUB

15Vegeu les pagines 473-499.16Vegeu la pagina 59.17Vegeu les pagines 369-472.18Vegeu la pagina 471.19Les dones i els dies, pagina 149. Barcelona, 1968, col.leccio �Cara i creu�, num. 10.

49

Page 52: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Fermat parlava i parla catala

Autor: Pierre de FermatEditorial: Institut d’Estudis Catalans, 2008.

Segons [1]-b (pag. 12), Pierre de Fermat era des-cendent de catalans que emigraren a Franca enalgun moment de la segona meitat del segle xv.A mes, Barner tambe afirma (ibid.) que la for-macio de Fermat als franciscans de Beaumont-de-Lomagne (el seu poble natal, situat a uns55 km al nord-oest de Tolosa de Llenguadoc)comprenia el grec classic, el llatı, l’italia i elcatala. Vista la facilitat per les llengues que de-mostra (vegeu la citacio de [2]), es, doncs, moltversemblant que Fermat conegues be la nostrallengua. Ara, amb el volum Pierre de Fermat:Obra matematica varia, traduccio comentada ianotada per Josep Pla, Pelegrı Viader i JaumeParadıs, publicat el 2008 per l’Institut d’EstudisCatalans, podem dir que Fermat torna a parlaren catala.

La carrera professional de Pierre de Fermatfou la d’un magistrat competent, habil i eficacque es desenvolupa durant gairebe trenta-quatreanys a les corts de justıcia de Tolosa i de Castres(una vila a 75 km a l’est de Tolosa). Iniciadael maig de 1631, en que pren possessio del pri-mer carrec, acaba el 12 de gener de 1665, diaen el qual mor a Castres. Tanmateix la historiade les idees no el recorda pel seu paper com ajurisconsult, sino com a matematic, en reconei-xement al fet que cultiva les matematiques en eltemps lliure que li deixaven les seves ocupacionsprofessionals, des de molt jove fins gairebe alfinal dels seus dies, i que, fruit d’aquesta de-

dicacio, aporta idees profundes i originals queobriren nous camins en diverses branques de lesmatematiques.

El cas mes conegut es el de la teoria de nom-bres moderna, de la qual Fermat es l’iniciadorindiscutible. �Ens ha llegat un gran nombre deteoremes�, diu Legendre a la introduccio delseu Essai sur la theorie des nombres (Parıs, Du-prat, 1797), �pero gairebe tots sense demostra-cio�. Els reptes aritmetics de Fermat, exploratsprimer per Euler, i perfilats posteriorment perLegendre i Gauss, han propulsat un desenvolu-pament de la teoria de nombres que avui pros-segueix amb tot el seu vigor. S’ha de subratllarel fet que al llarg dels anys s’han anat trobantdemostracions de tots els enunciats que Fermatafirma que havia provat, essent el gran teorema(xn + yn 6= zn si n es un nombre enter > 2 ix, y, z son nombres enters positius) el darrer enser expugnat (Wiles, 1995), amb que culminaaixı una llarga llista d’aportacions memorablesper part de molts altres investigadors. La con-jectura que 22n

+ 1 es un nombre primer per atot nombre enter n ≥ 0, sostinguda per Fermat irefutada per Euler (225

+ 1 es divisible per 641),no invalida l’afirmacio anterior, ja que Fermatmai pretengue que en tingues una demostracio,per mes que es penses que la trobaria. El casdel gran teorema tampoc la contradiu: enca-ra que els experts creguin que la �meravellosaprova� esmentada en aquell mıtic �marge� esdegue basar en alguna suposicio erronia, el fetes que no hi ha indicis que Fermat afirmes maipublicament, en vida, que en tenia una demos-tracio.

Pero el cas es que el geni de Fermat foutambe pioner indiscutible en els dominis de lageometria analıtica, del calcul diferencial, delcalcul integral (arees i longituds), de la teoria deprobabilitats i de l’optica geometrica (principidel mınim temps). Tanmateix, en aquests casosl’originalitat i significacio del seu pensament fo-ren facilment eclipsades per les contribucionsposteriors d’altres autors a causa del recel deFermat a publicar els seus descobriments. En elcas de la geometria analıtica, els llorers se solenatribuir a Descartes, que publica La Geometrieel 1637, quan Fermat ja feia anys que estava

50

Page 53: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

en possessio de les idees essencials del metode(cf. [3], pag. 3). Newton i Leibniz solen passarcom a descobridors independents del calcul dife-rencial, del qual a mes es disputaren la prioritaten una llarga i agra polemica, pero les ideesfonamentals d’aquest calcul havien estat con-cebudes per Fermat anys abans del naixementd’aquests genis. �Hom ha de considerar Fermatcom el primer inventor d’aquests nous calculs�,escrigue Lagrange en el seu Calcul des fonctions,i sembla segur que Newton i Leibniz en tenienconeixement.

El volum Obra matematica varia es un mag-nıfic regal en tots els sentits. Primordialment,ens presenta traduccions d’una meditada selec-cio dels textos mes significatius de [4], que re-presenten aproximadament la meitat del contin-gut del volum. Son tots obres mestres que enspermeten copsar, d’una manera colpidoramentdirecta i ensems molt plaent, la frescor, agudesai amplitud del pensament matematic de Fermat.Estan agrupades en cinc parts, que es poden lle-gir independentment: Obra geometrica, Calculdiferencial i aplicacions, Longituds de corbes iarea de superfıcies, Combinatoria i probabili-tat, i Aritmetica. L’altra meitat del volum, quejustifica la locucio �comentada i anotada� delsubtıtol, i que els que coneixen [5] o altres tre-balls dels autors estaran a l’aguait de trobar,esta formada per escrits propedeutics, destinatsa contextualitzar les materies, i per un elevatnombre de notes a peu de pagina (1.235), pensa-des per anar informant el lector de les diversessignificacions (matematiques, historiques o me-todologiques) del que s’esta llegint. Al final hiha dos apendixs, un sobre la cronologia de lavida de Fermat i un altre sobre la cronologia deles seves obres, i una extensa bibliografia.

Els traductors/autors han aconseguit ambescreix el proposit que anuncien a les pagines depresentacio del volum (marc de 2006): �[...]posara l’abast del lector en catala una part importantde l’obra matematica de Fermat�. En la creencaque el 2001 es complia el quart centenari delnaixement de Fermat, podrien haver pensat quefeien una mica tard, pero si les consideracionsque es poden trobar seguint el fil de [1] i [6]son correctes, haurien acabat la seva tasca mesd’un any abans del vertader centenari, i el llibrehauria aparegut just quan tocava. Un motiu mesde celebracio.

Bibliografia

[1] Barner, Klaus: a) How old did Fermat be-come? NTM (N. S.) 9, (2001) num. 4, pag.209-228. b) Pierre de Fermat (1601? - 1665).His life beside mathematics. EMS Newslet-ter, desembre 2001, pag. 12-16.

[2] Una evidencia important relativa a [6] es lainscripcio (en llatı) posada al mausoleu dela famılia Fermat, a Tolosa, presumiblementescrita pel seu fill Samuel i avui diposita-da al Museu dels Agustins de la mateixaciutat. Pel seu interes en traduım una partseguint la transcripcio de l’original inclosa a[3], pag. 10: �A la memoria de Pierre de Fer-mat, conseller al parlament de Tolosa. Sagacen la literatura, les matematiques, la filoso-fia i en el coneixement de moltes llengues,palesa tanmateix un tan gran coneixementde la jurisprudencia, tant de zel en l’exerci-ci de la judicatura, que hom hauria cregutque tota la forca del seu geni era dirigidaa aquest fi, quan en realitat fou repartidaentre una diversitat d’especulacions sublims.[...] Home sense ostentacio, poc propens apublicar el resultat dels seus desvetllaments,mes engrandit per la indiferencia envers lesseves belles obres que no pels mateixos desco-briments, mai s’enorgullı dels brillants elogisdels seus contemporanis. [...] Morı el 12 degener de 1665, als 57 anys d’edat.�

[3] Brassine, Emil: Precis des Oeuvres Mathe-matiques de P. Fermat et de l’Arithmetiquede Diophante. Tolosa: Imprimerie de Jean-Matthieu Douladoure, 1853. Reimpressio perEditions Jacques Gabay, 1989, 164 pag. Ala introduccio d’aquesta obra remarcablellegim: �La primera part d’aquest Precispresenta un resum complet de les memoriescontingudes a les Opera varia, publicadesa Tolosa el 1679 per Samuel Fermat, fillde l’autor� (pag. 3). �La segona part delnostre resum presentava dificultats particu-lars que nomes hem pogut evitar reproduintamb concisio els sis llibres complets de l’A-ritmetica de Diofant. Sense aquest treballpreliminar, el lector no hauria pogut cop-sar ni el sentit ni l’abast de les notes pocdesenvolupades de Fermat, que hem traduıtamb cura, i que seran encara per molt detemps l’objecte de recerques i meditacionsdels geometres� (pag. 6).

51

Page 54: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

[4] Fermat, Pierre de: Varia Opera Mathe-matica. Publicada el 1679 a Tolosa perJ. Pech, a cura del fill gran de l’autor, Sa-muel Fermat. Publicada amb el tıtol Oevresde Fermat per Gauthier-Villars, a cura dePaul Tannery i Charles Henry, que hi afe-geixen estudis i comentaris, fent un total decinc volums: Obres matematiques de Fermat,incloent-hi els comentaris a l’Aritmetica deDiofant (1891, 440 pag.), Correspondencia(1894, 514 pag.). Traduccio [al frances] delsescrits llatins de Fermat, incloent-hi la cor-respondencia (1896, 611 pag.), Complements(1912, 217 pag.) i Suplement als volums i-iv (1912, 128 pag.). Els podeu descarregar dehttp://wlym.com/∼animations/fermat/.

[5] Descartes, Rene: La geometria. Traducciode Josep Pla i Pelegrı Viader. Barcelona:IEC, 1999.

[6] En els articles [1] s’argumenta que Fermatnasque a finals de 1607 o principis de 1608—per a mes detalls referim el lector a larecensio de l’article [1]-a, escrita per Phi-lip Beeley al Zentralblatt (1001.01006), queconte mes referencies, i del qual aquı enslimitem a traduir les darreres lınies: �Enaquest suposit, Fermat inicia la seva creaciomatematica el 1628, a l’edat de 21 anys, i escasa amb Louise de Long el 1631, a l’edatde 24 anys. Aquestes edats [...] s’adiuen beamb les normes sociologiques i cientıfiquesdel seu temps.�

Sebastia XamboUPC

Raco biografic

Oliver Heaviside (1850-1925)

Oliver Heaviside, nascut a Londres l’any 1850,morı l’any 1925 a Paignton, una ciutat a la cos-ta sud-oest d’Anglaterra. Heaviside, amb vint-i-quatre anys, interessat en problemes de trans-missio de senyals es va trobar amb el llibre deMaxwell acabat de publicar Tractat sobre elec-tricitat i magnetisme i va pensar que aquellllibre el podia ajudar. Heaviside no tenia estu-dis superiors i sabia ben poques matematiques,pero aixo no el va aturar.

Oliver Heaviside era fill d’una modesta famı-lia londinenca; el seu pare era un artesa que esguanyava la vida gravant fusta i la seva mare do-nava classes. Ell era el menor de quatre germansi de petit va sofrir l’escarlatina, una malaltiaque li va provocar una lleugera sordesa per a laresta de la seva vida. Amb setze anys va haver dedeixar l’escola i durant els dos anys seguents esva quedar a viure a casa els seus pares sense capfeina remunerada; llavors ell va confeccionar-seun pla d’estudis; en particular estava interes-sat en la telegrafia. Charles Wheatstone, fısicangles professor del King’s College de Londres,que tots recordem pel �pont de Wheatstone� enel calcul de resistencies electriques, estava casatamb una germana de la mare de Heaviside. Peraquells anys Wheatstone intervenia de manera

destacada en el desenvolupament de la telegrafiaa l’Anglaterra del xix i va aconseguir un llocde treball per a al seu nebot —tenia llavors di-vuit anys— com a tecnic telegrafista, primer aDinamarca i despres a Anglaterra, a l’Oficinade Telegrafs de Newcastle upon Tyne, ciutatsituada al nord-est. Heaviside va participar ac-tivament en tasques propies de la tecnologiade comunicacions; li agradava la feina i, a mes,era molt ben pagada, pero aquesta feina nomesva durar sis anys. Heaviside havia iniciat l’es-tudi de l’electricitat i el magnetisme i haviapres la decisio de deixar qualsevol cosa que l’a-partes d’aquest estudi. Que un jove angles devint-i-quatre anys, a l’ultim terc del segle xix,s’interesses en l’electricitat i el magnetisme note res d’estrany, pero sı que crida l’atencio queHeaviside decidıs deixar una bona feina amb unbon sou per dedicar-se exclusivament a l’estudidels fenomens electromagnetics, a mes teninten compte que no tenia fortuna personal. Peroaixı va ser i aixı seria per a la resta de la sevavida, mai va voler acceptar cap feina regular queel pogues distreure de l’estudi i va sobreviuregracies als diversos ajuts economics que rebiade parents, amics i institucions.

Un fet havia esperonat la decisio de Heavi-

52

Page 55: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

side: l’any 1873 es va publicar el Tractat sobreelectricitat i magnetisme de J. C. Maxwell i diuHeaviside: �Recordo quan jo era jove la mevaprimera trobada amb el gran tractat de Maxwell.Fins llavors no s’havia escrit una teoria lligadai completa, nomes es trobaven coses disperses;jo m’esforcava per entendre l’electricitat enmigd’una gran foscor. Quan vaig veure a la taula dela llibreria el treball que Maxwell havia publicatfeia poc, em vaig posar a fullejar-lo i vaig quedarsorpres. Vaig llegir-ne el prefaci i l’ultim capıtoli alguns trossos mes a un lloc i altre; sentia queera una cosa gran i amb moltes possibilitatsd’obrir noves perspectives. Vaig decidir que l’es-tudiaria i em vaig posar a fer-ho. Jo era moltignorant. No tenia cap coneixement d’analisi ma-tematica, a l’escola nomes havia apres algebrabasica i trigonometria, les quals ja havia oblidati aixo em deixava fora de combat. Amb algunsanys vaig arribar a entendre d’aquell llibre totallo que jo era capac d’entendre amb la mevaformacio. A partir d’aquı vaig decidir deixarel llibre de Maxwell i seguir el meu propi cursi vaig comencar a progressar amb molta mesrapidesa.�

Heaviside va tornar a casa dels seus pares;alla va viure fins al 1889 quan ell i els seus paresvan traslladar-se a la ciutat costanera de Paign-ton a casa del seu germa Charles, que hi teniauna botiga d’instruments musicals. Heavisideno es va casar, no va tenir fills, no feia vidasocial de cap mena, no va ocupar mai cap llocacademic ni mai va voler fer res mes que nofos estudiar electricitat i magnetisme. Amb lamort dels seus pares, el 1894 i 1896, Heaviside

va llogar una casa de camp a Newton Abbot,lloc proper a Paignton. Lligat a la seva perso-nal recerca electromagnetica va portar una vidasolitaria i excentrica que el va conduir cap alfinal de la seva vida a haver de suportar certsdesequilibris d’ordre psicologic. El 1908 va anara viure en una pensio a Torquay; en aquestaciutat costanera, veına a Paignton, va morir el1925.

Heaviside va publicar una gran quantitatd’articles que, en la seva majoria, es troben reco-llits a Electrical Papers (1892) i ElectromagneticTheory, vol. i (Londres, 1893), vol. ii (Londres,1899), vol. iii (Londres, 1912). Les recerquesde Heaviside estigueren sempre lligades a l’e-lectromagnetisme i s’hi interessa tant des delpunt de vista del fısic com de l’enginyer. Un es-tudi aprofundit d’electromagnetisme en l’ultimterc del segle xix implicava el coneixement delsmetodes matematics mes recents de l’epoca pero,com ell mateix diu, nomes li havien ensenyatalgebra elemental i trigonometria. Aquest fet,unit a l’absencia d’estudis superiors, faran queels metodes i conceptes que Heaviside aprenguide manera autodidacta en els llibres de mate-matiques superiors siguin per ell transformatsde manera singular per tal que li siguin utilsen la seva recerca electromagnetica personal.

Amb aquesta idea d’ajustar el metode ma-tematic a l’objecte o al problema fısic en estudi,Heaviside confeccionara un metode singular decalcul per resoldre equacions diferencials; es l’a-nomenat �calcul operacional�, antecedent del’actual metode de transformades de Laplacei un calcul vectorial algebraicodiferencial ambel qual reescriu el llibre de Maxwell i que es lamanera en que avui es presenta.

El metode de resolucio d’equacions diferenci-als consisteix en una substitucio de la derivaciotemporal per un sımbol p que actua com unelement algebraic, de manera que aixo li permettransformar l’equacio diferencial en una equa-cio algebraica. Aquest proces de transformacioalgebraica per resoldre equacions diferencials li-neals ja l’havien practicat anteriorment Cauchyi Boole entre d’altres. Heaviside havia estudi-at el llibre de Boole pero ara Heaviside adaptael metode al seu estudi particular dels circuitselectrics lligats a problemes de retransmissiode senyals. Amb aquest proposit introdueix elsımbol 1, que no es el numero 1, sino un sımbolfuncional que per a t < 0 val 0 i que per a t > 0

53

Page 56: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

val 1. Aquest 1 es el que avui anomenem funcioesglao de Heaviside, que tindra un paper clauen la seva teoria d’operadors.

La produccio matematica de Heaviside es-tava sempre guiada per la fısica; Heaviside noes va preocupar mai de trobar demostracions ri-goroses d’allo que introduıa; del rigor matematicpensava que actuava com una barrera que fre-na el desenvolupament dels nous conceptes imetodes que sorgien de manera procedent enl’estudi del mon fısic. Per Heaviside, la prova defoc que el seu metode operacional era valid eraque els resultats de les equacions concordavenamb allo que observava que passava. Aquestamanera de treballar de Heaviside va exasperarels matematics de Cambridge, els quals li vannegar la publicacio de la tercera part de la sevateoria d’operadors simbolics en els Proceedingsde la Royal Society. W. Burnside n’era llavors elreferee i va escriure que els resultats de Heavisi-de podien ser certs o no ser-ho, pero que el camıseguit per obtenir-los feia que no tinguessin capvalor. Heaviside es va sentir molt molest pelrebuig oficial dels matematics de Cambridge isempre que va poder va fer corrosius comentarisal tractament rigorista de la matematica. S’hafet famos el seguent comentari del 1894, on espregunta si hom ha de deixar de menjar pel fetque no comprengui prou be el proces digestiu: �Isuppose all workers in mathematical physics ha-ve noticed how the mathematics seems made forthe physics, the latter suggesting the former...This is really the case with resistance operators.It is a fact that their use frequently effects greatsimplifications and the avoidance of complica-ted evaluations of definite integrals. But thenthe rigorous logic of the matter is not plain!Well, what of that? Shall I refuse my dinnerbecause I do not fully understand the processof digestion? No, not if I am satisfied with theresult.� (Heaviside, 1971, vol. ii, pag. 9).

Va ser precisament a causa dels exits ob-tinguts per Heaviside en aplicar el seu metodeoperacional a la resolucio de problemes relacio-nats amb circuits electrics i de transmissio desenyals que a partir de la segona decada del se-gle xx es renoves l’interes dels matematics i delsenginyers per cercar-ne una teoria matematicarigorosa. En aquesta lınia d’investigacio a tre-ballar el matematic angles T. J. Bromwich, qui,utilitzant tecniques d’integracio en el camp com-plex, acaba trobant els resultats que Heaviside

havia descobert experimentalment. L’any 1919,Bromwich va escriure una carta a Heaviside onli deia que considerava la seva (referint-se a He-aviside) manera de treballar amb els operadorscom la mes util per a l’enginyer i que la intro-duccio de les integrals de contorn servirien perconvencer els mes puristes dels matematics queel p-metode te un fonament matematic solid. He-aviside li contesta que s’alegrava que per fi alguque era matematic s’adones de la importanciadel calcul operacional... pero li aconsellava queno es preocupes mes de convencer els �caps defusta� dels rigoristes... i afegı que, com deiaLord Rayleigh: �la logica es l’ultima cosa deque hom s’ha de preocupar�.

Un exemple senzill de calcul operacional al’estil Heaviside seria com segueix: la resoluciod’una equacio diferencial lineal associada a uncircuit electric que conte una resistencia R, unaimpedancia L en serie, i que a partir d’un certmoment (t = 0) actua una f. e. m. E (constant),c(t) representa la intensitat del corrent electric.

Ldc

dt+ Rc = E. (1)

Heaviside expressa matematicament que a partirde t = 0 actua la f. e. m. costant E mitjancant elsımbol 1. El que vol es aconseguir que la igual-tat Ldc

dt + Rc = E esdevingui una simple relaciodel tipus Rc = E (llei d’Ohm) aplicable en elcas en que nomes hi ha resistencia. Introdueixel sımbol p per indicar la derivacio temporal,

Lpc + Rc = E.

Aquesta es ja una equacio algebraica de primergrau en la incognita c; treu, doncs, c factor comui queda l’expressio

(Lp + R)c = E. (2)

amb aspecte semblant a la llei d’Ohm si s’in-terpreta el factor Lp + R com una resistenciageneralitzada. Heaviside en diu operador de re-sistencia. Llavors

c =E

Lp + R.

Ara cal, pero, donar un significat a aquesta divi-sio simbolica i aquest es el punt clau del metode;aixo ho fa per analogia amb la divisio

11 + x

= 1− x + x2 − x3 + · · · (3)

54

Page 57: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

1Lp + R

=1

Lp· 11 + R

Lp

=

=1

Lp

(1− R

Lp+

R2

L2p2− R3

L3p3+ . . .

). (4)

Cal ara dir que significa el sımbol 1p i les suc-

cessives potencies 1p , 1

p2 , 1p3 + . . . . Per analogia

amb el producte p· 1p = 1, Heaviside els atribueixel significat seguent:

1p1 =

∫ t

01 dt = t per t ≥ 0 i es 0 per t ≤ 0,

1p2

t =1p

(1pt

)=

∫ t

0t dt =

t2

2per a t ≥ 0 i es 0 per a t ≤ 0, etc.

Llavors, tenint en compte que per Heaviside laE de (1) es 1 ·E, el calcul de c(t) es com segueix:

1Lp + R

1=1

Lp

(1− R

Lt+

R2

L2

t2

2−R3

L3

t3

3!+· · ·

)=

=1L

∫ t

0e−

RL

t dt =1R

(1− e−R

Lt

)i, per tant, el corrent c(t) es

c(t) =E

R

(1− e−R

Lt

).

En general el metode operacional de Heavisideconsisteix a reduir les equacions diferencials aexpressions simboliques del tipus

Z(p)c(t) = E(t),

una mena de llei d’Ohm generalitzada on Z(p)es anomenat operador de resistencia. La questioes sempre la de donar significat matematic a[Z(p)]−1 per tal de poder trobar

c(t) = [Z(p)]−1E(t)

i per fer-ho utilitza els desenvolupaments enserie de potencies del sımbol p, fins i tot utilit-za series divergents. En el cas concret en que[Z(p)]−1 es una funcio racional de p Heavisidetroba allo que avui coneixem com la formulad’expansio de Heaviside.

En un problema relacionat amb la genera-cio d’una ona de difusio, Heaviside es trobaamb desenvolupaments en serie en els quals lespotencies de p son fraccionaries (Heaviside, 1971,

vol. ii, pag. 286). Llavors te necessitat d’atri-buir un significat a p1/21. Heaviside atribueixun significat a p1/21 a partir de la comparaciode dues resolucions d’un mateix problema fısic(difusio de la calor en una barra). En un casaplica el metode de Fourier i en l’altre els seusdesenvolupaments simbolics, i aixı arriba a lesdues igualtats:

C0 =(

Sp

R

)1/2

V0 i C0 =(

S

Rπt

)1/2

V0.

I conclou que a fi que coincideixin cal definirl’accio de l’operador simbolic p1/2 sobre 1 mit-jancant la igualtat p1/21 = (πt)−1/2 (Heaviside,1971, vol. ii, pag. 35). En un altre dels seus tre-balls li cal donar un significat a la derivada de 1en el zero i ho fa de tal manera que estableix unclar precedent de la delta de Dirac. Val la penallegir atentament les propies paraules de Heavi-side (EMT, 1971, vol. ii, pag. 55): �We have tonote that if Q [carrega electrica] is any functionof the time, then pQ is its rate of increase. If,then, as in the present case, Q is zero before andconstant after t = 0, pQ is zero except whent = 0. It is then infinite. But its total amount isQ. That is to say, p1 means a function of t whichis wholly concentrated at the moment t = 0, oftotal amount 1. It is an impulsive function, soto speak. The idea of an impulse is well knownin mechanics, and it is essentially the same here.Unlike the function p1/21, the function p1 doesnot involve appeal either to experiment or togeneralised differentiation, but involves only theordinary ideas of differentiation and integrationpushed to their limit�.

Quan Heaviside va estudiar el Tractat sobreelectricitat i magnetisme de Maxwell va tro-bar que el llenguatge matematic emprat perMaxwell era massa enrevessat; sobretot el mo-lestava aquella cosa anomenada �quaternio�.Es va proposar llavors modificar el llenguatgequaternionic. Els quaternions son expressionsdel tipus a + bi + dj + dk on a, b, c i d son nom-bres reals i i, j i k son entitats imaginaries ambles regles seguents de multiplicacio:

i2 = j2 = k2 = −1 ij = −ji = k

jk = −kj = i ki = −ik = j.

L’algebra de quaternions creada per Hamiltonel 1843 va representar una autentica revolucioen el mon matematic del segle xix. Es tractava

55

Page 58: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

d’uns nombres amb representacio quadridimen-sional amb producte no commutatiu. Heavisideno els va trobar convenients per representar lesentitats electromagnetiques i per aixo va decidirmodificar la teoria quaternionica donant entitatpropia a la part vectorial del quaternio. Va cons-truir un calcul amb vectors definint la suma iproducte per escalars i afegint-hi dos productesmes, �el producte escalar� i �el producte vecto-rial�. Aquesta desconstruccio dels quaternionsva esverar G. Tait, el matematic company deHamilton defensor a ultranca dels quaternions.La polemica estava encetada i va ser llarga. Almateix temps que Heaviside a Anglaterra estavaelaborant el calcul vectorial, als Estats Unitsel professor J. W. Gibbs, de la Universitat deYale, independentment de Heaviside i tambe in-tentant eliminar els quaternions del Treatise deMaxwell, n’estava elaborant un de semblant, iHeaviside ho va saber perque el mateix Gibbsli va enviar uns apunts del seu calcul vectori-al; Heaviside dona compte d’aquest fet a undels seus articles. En aquest cas, pero, no es vaencetar cap polemica entre Gibbs i Heaviside,pero sı que va haver-hi polemica entre Gibbs iTait. Si esteu interessats en aquesta polemicaquaternionica llegiu Garcıa Doncel, 1984.

Utilitzant el calcul vectorial, Heaviside vaaconseguir reduir les tretze equacions fonamen-tals de Maxwell a nomes quatre equacions. Laversio vectorial del Treatise de Maxwell es deua Heaviside i el calcul vectorial de Heaviside(o Gibbs) es avui emprat per fısics, enginyers igeometres.

Heaviside estava nomes interessat per l’e-lectricitat i el magnetisme pero, amb rigor osense, va fer moltes matematiques al llarg dela seva vida i ell mateix estava ben convencutdel poder de la matematica en la recerca delconeixement de les lleis fısiques.

Bibliografia

[1] Garcıa Doncel, M. �Orıgens fısics del’analisi vectorial�. A: El desenvolupamentde les matematiques al segle xix. Barcelo-na: Institut d’Estudis Catalans, Arxius dela seccio de Ciencies; LXXV, 1984.

[2] Heaviside, O. Electrical papers. Nova York:Chelsea Publishing Company, 1970.

[3] Heaviside, O. Electromagnetic theory. No-va York: Chelsea Publishing Company, 1971.

[4] Nahin, P. J. Oliver Heaviside. Baltimore:The Johns Hopkins University Press, 2002.

Eduard Recasens GallartUPC

Webs de matematiques

The MacTutor History of Mathematics Archive

Durant molts anys m’ha encuriosit, en caminarpel passadıs de davant el deganat de la Facultatde Matematiques i Estadıstica de la UPC, unfull penjat al suro d’anuncis amb el �matematicdel dia�. Aquest full, canviat cada dia, conte laimatge d’un matematic de qui es l’aniversari obe del seu naixement, o be de la seva mort. Perexemple, avui 31 de maig, es l’aniversari de lamort d’en Galois, mort el 31 de maig de 1832.

Aquest full amb el matematic del dia estaextret d’una exhaustiva base de dades de mate-matiques anomenada The MacTutor Historyof Mathematics Archive (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/), ubicada a la pagina webdel Departament de Matematiques i Informatica

de la Universitat de St. Andrews, a l’est d’Es-cocia. Aquesta base de dades es monumental,i conte les dades de la gran majoria de ma-tematics, vius o morts, d’una certa rellevancia.

La busqueda dins la base de dades es pot ferper biografies, o per branca de les matematiques.Es pot buscar els matematics per lloc de nai-xement, i aixı podem saber, per exemple, queAbraham bar Hiyya Ha-Nasi va neixer a Barcelo-na l’any 1070. Podem buscar per matematiquesde la Xina, de l’India o de l’antiga Babilonia.Podem buscar les dones matematiques de lahistoria, o tambe podem buscar l’ındex de cor-bes famoses i els matematics que les van estudiar.Una base de dades completıssima.

56

Page 59: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Pero la joia de la corona dins aquesta web,que la fa d’una importancia extrema, es l’exhaus-tiva llista de biografies de matematics. Tant espot buscar pel cognom, com per l’any de nai-xement. Aquı podem consultar les biografies detots els matematics coneguts i de molts de notan coneguts. Per exemple, aquı podem com-provar que Klein es va casar amb la neta delfilosof Hegel. Aquı podem llegir, per exemple,com Newton va recomanar MacLaurin per a laplaca de professor a la Universitat d’Edimburg.Fets com que el descobridor de la llei d’Ohm(el fısic Georg Ohm) tenia un germa matematic(Martin Ohm) que va dirigir la tesi de Lipschitz.O tambe podem aprendre que Jean-Pierre Ser-re (potser el matematic mes important viu aramateix) es nascut als Paısos Catalans, a Bages,al sud de Perpinya (Catalunya del Nord).

A la base de dades hi ha vuit Bernoullis,entre ells els famosos germans Jacob i Johann,i a la biografia d’en Johann podem descobrirque, tot i sent de Basel (Basilea, Suıssa), lafamılia Bernoulli era originaria d’Amsterdam iva haver de marxar de Flandes fugint de l’espa-nyol duc d’Alba, enviat per Felip II a obligartots els seus subdits a convertir-se al catolicisme,i els Bernoulli eren protestants. Tambe podemcomprovar com Teichmuller va formar part de

l’ofensiva que els nazis van llancar l’estiu de1943 per recuperar posicions a la zona de Kursk(Russia), despres de la desfeta de Stalingrad, ialla morı amb trenta anys.

Obviament, els matematics no viuen comple-tament aıllats de la seva epoca historica, perono deixa de ser curios observar la seva interaccioamb els fets historics coneguts. Un ultim exem-ple: el matematic Eugene Catalan, conegut pelsnombres que porten el seu nom, va ser nascut aBruges, que avui dia es a Belgica, pero que l’anydel seu naixement, 1814, formava part de l’im-peri frances conquerit per Napoleo i, per tant,en Catalan es va considerar sempre frances, ivisque molts anys a Parıs. Pero, per ironies de lavida, Catalan, republica, es va negar a jurar sub-missio a l’emperador Napoleo III el 1852, perdela seva feina, i subsistı uns anys sense feina fixafent classes particulars, fins que el 1865 agafauna feina a la Universitat de Liege, aixı torna alque ja era Belgica, a on, havent-hi nascut, eraestranger...

Curiositats com aquestes formen part de l’in-teressantıssima lectura de les biografies de mate-matics, de les quals en podeu trobar uns quantsmilers al MacTutor Archive. Lectura altamentrecomanada.

Josep BurilloUPC

Problemes

Com ja es habitual, hem d’alegrar-nos altra vegada perque hem rebut solucions a tots els problemesproposats en el numero anterior. No nomes aixo, sino que tant novells com veterans estan benrepresentats en la nomina de solucionadors.

Agraım a Miquel Amengual Covas, de Cala Figuera, Mallorca, les seves solucions dels problemesA85 (solucionat tambe per Xavi Ros, estudiant a la FME, UPC) i A87, i al mateix Xavi Ros lessolucions dels problemes A86 (solucionat tambe per Joaquim Nadal Vidal, de Cassa de la Selva) iA88, aixı com l’enunciat del problema A91. En Jose Luis Dıaz-Barrero, de la UPC, Barcelona, ensproporciona l’enunciat A92 i tambe li en donem les gracies!

El problema A90 es la generalitzacio a n qualsevol d’un problema proposat, per a n = 20,n = 21 i n = 35 a l’activitat �Fem Matematiques 2009� (FEEMCAT) per a alumnes de 2n d’ESO.No s’estan pas de res aquests de la secundaria!

Si treballeu amb TEX o LaTEX, ens facilitareu moltıssim la feina d’edicio del vostre treball, tot ique aportacions en qualsevol altre format, inclosos els manuscrits, tambe seran ben rebudes. Lesadreces de correu per enviar-nos-les son [email protected] o be [email protected]. Fins a lapropera!

57

Page 60: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Problemes proposats

A89. (Proposat per la Redaccio.) En un trian-gle 4ABC, les bisectrius interiors dels anglesA, B i C tallen els costats BC, AC i AB en elspunts D, E i F respectivament. Siguin p i qels perımetres respectius dels triangles 4ABCi 4DEF . Demostreu que p ≥ 2q. En quinescondicions hi ha igualtat?

A90. (Proposat, de manera simplificada, a l’ac-tivitat �Fem Matematiques 2009� (FEEMCAT)per a alumnes de 2n d’ESO.) Considereu el jocseguent: dos jugadors comencen amb n ≥ 2fitxes sobre la taula i en van retirant certesquantitats alternativament, tot respectant lesdues regles seguents: 1) el primer jugador no seles pot endur totes en la primera tirada, i 2) acada jugada (posterior a la primera) el jugadorque te el torn ha de retirar com a mınim unafitxa i com a maxim el doble de les retiradesper l’altre jugador en la tirada immediatamentanterior. El joc s’acaba quan algu retira l’ultimafitxa de la taula, i el jugador que se la quedan’es el guanyador.

Estudieu si hi ha alguna estrategia, en funciode n i de si ets primer o segon jugador, que et

permeti guanyar sempre.A91. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Sigui 4ABC un triangle amb cos-tats a, b i c, i siguin p, S el semiperımetre i l’areadel triangle i R el radi de la circumferencia cir-cumscrita a aquest triangle.

a) Demostreu que a + b + c ≤ 3√

3R.b) A partir de la desigualtat anterior, demos-

treu que

1a

+1b

+1c≤√

32· p

S.

Nota: L’apartat b) es un refinament del proble-ma 2 proposat a la fase catalana de la XLIIIOlimpıada Matematica.A92. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Trobeu totes les ternes(x, y, z) de nombres reals positius que son solu-cio del sistema d’equacions

x + y + z = 1xy

xy + z+

yz

yz + x+

zx

zx + y=

34

.

Solucions

A85. (Proposat per Joaquim Nadal Vidal,IES de Cassa de la Selva.) Quatre cercles te-nen diametres enters i el mes gran d’aquestsdiametres es igual a la suma dels altres tres. Elstres cercles petits es poden posar sobre el grande manera que cadascun dels cercles es tangentals altres tres i, en aquest cas, la part no cobertadel cercle gran equival a l’area del cercle inscriten un quadrat de 4.830 cm2 d’area. Trobeu elsdiametres d’aquests quatre cercles.

Solucio: (Solucio de Miquel Amengual Co-vas, Cala Figuera, Mallorca.) Siguin d1, d2 id3 els respectius diametres dels tres cercles pe-tits i S el diametre del cercle gran. Aleshores,S = d1 + d2 + d3.

L’equivalencia d’arees enunciada en el pro-blema s’escriu

πS2

4−

d21

4+ π

d22

4+ π

d23

4

)= π

48304

o, equivalentment,

S2 = d21 + d2

2 + d23 + 4.830.

En combinar ambdues expressions tenim

(d1 + d2 + d3)2 = S2 =

= d21 + d2

2 + d23 + 4.830.

i, en simplificar, resulta

d1d2 + d2d3 + d3d1 = 2.415.

Aixı doncs, d’acord amb les relacions de Carda-no, d1, d2 i d3 son les arrels de la cubica

x3 − Sx2 + 2.415x + P = 0 (1)

en la qual P = d1d2d3. Observeu que P es unnombre enter perque d1, d2 i d3 ho son.

D’altra banda, atesa la posicio dels quatrecercles quan cadascun es tangent als altres tres,pel teorema del cercle de Descartes, el diametredel cercle gran es igual a

S =d1d2d3

2√

d1d2d3 (d1 + d2 + d3)− (d1d2 + d2d3 + d3d1),

58

Page 61: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

es a dir que

S =P

2√

PS − 2415,

relacio que escrivim com una equacio quadraticaen P :

P 2 − 2S(2S2 − 2.415

)P + (2.415S)2 = 0, (2)

el discriminant de la qual,

∆ = 16S4(S2 − 2415

),

ha de ser un quadrat perfecte per tal que P , coms’ha dit, sigui un nombre enter. Aixo imposaque S2 − 2.415 = u2, amb u un nombre enter.

Si escrivim aquesta equacio en la formaS2−u2 = 2.415, observarem que el primer mem-bre es una diferencia de quadrats i, per tant, espot posar en la forma (S + u)(S − u) = 2.415.Com que S + u i S − u han de ser naturals,poden prendre tants valors com possibles des-composicions en producte de dos factors positiusdel nombre 2.415 i, com que 2.415 = 3 · 7 · 23,tenim 2.415 = 2.415 · 1 = 805 · 3 = 483 · 5 =345 · 7 = 161 · 15 = 115 · 21 = 105 · 23 = 69 · 35;per trobar els valors de S es suficient resoldreels vuit sistemes:

S + u = 2.415S − u = 1

}S + u = 805S − u = 3

}S + u = 483S − u = 5

}S + u = 345S − u = 7

}S + u = 161S − u = 15

}S + u = 115S − u = 21

}S + u = 105S − u = 23

}S + u = 69S − u = 35

},

els quals donen els valors seguents per a S:

1.208 , 404 , 244 , 176 , 88 , 68 , 64 i 52.

Ara, en substituir-los a (2), obtenim els respec-tius valors admissibles de P seguents:

1.208 , 3.636 , 6.100 , 8.624 , 19.800 ,

29.988 , 33.856 i 63.700.

Finalment, es comprova que, de tots els pa-rells (S, P ),

(1.208, 1.208), (404, 3.636), (244, 6.100), (176, 8.624),(88, 19.800), (68, 29.988), (64, 33.856), (52, 63.700)

l’unic que fa que (1) tingui solucions enteres es(88, 19.800), aixo es, 15, 33 i 40.

Aixı, les longituds dels diametres demanatsson

15 cm , 33 cm , 40 cm i 88 cm.

A86. (Proposat per Enric Ventura, UPC, Man-resa.) Considereu el conjunt de punts enters delpla, Z2, i la quadrıcula de rectes horitzontalsi verticals que els uneix. Trobeu una formulaexplıcita que compti la quantitat total de caminsque es poden seguir per la xarxa esmentada, co-mencant i acabant a l’origen, i en funcio de laseva longitud n (s’enten per longitud d’un camıla quantitat de segments de llargada 1 que tra-vessa, ja siguin horitzontals o verticals, i en qual-sevol sentit; per exemple, �→, ↑,←,←,→, ↓� telongitud 6).

Solucio 1: (Solucio del proponent.) Un camı perla xarxa bidimensional entera, des de l’origen ide longitud n es simplement una sequencia orde-nada de n sımbols del conjunt {→,←, ↑, ↓}. Elcamı sera tancat (es a dir, s’acabara altre cop al’origen) si la quantitat total de �→� coincideixamb la quantitat de �←�, i la de �↑� coinci-deix amb la de �↓�. Per tant, d’entrada, no hiha cap camı tancat de longitud n senar.

Suposem, doncs, que n es parell i conside-rem el conjunt de posicions P = {1, 2, . . . , n}.Siguin S, T ⊂ P dos subconjunts tals que|S| = |T | = n

2 . A partir d’ells, definim A = S∩T ,B = S\(S∩T ), C = T \(S∩T ) i D = P\(S∪T ).I, comencant a l’origen, considerem ara el camıγ de longitud n que consisteix a posar �→� ales posicions de A, �←� a les de D, �↑� a lesde B i �↓� a les de C. Com que

|B| =|S \ (S ∩ T )| =n

2− |S ∩ T | = |T \ (S ∩ T )| = |C|

i

|A| = |S ∩ T | = n

2− |B| = n

2− |C| = |D|

es clar que el camı γ es tancat. Aquesta construc-cio dona, doncs, una aplicacio (S, T ) 7→ γ delconjunt de parelles ordenades (S, T ) de subcon-junts de P de cardinal n, al conjunt de caminstancats de longitud n. Pensant un moment, esveu que es injectiva. I tambe exhaustiva.

59

Page 62: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Per tant, hi ha tants camins tancats de lon-gitud n com parelles ordenades de subconjuntsde P de cardinal n. Es a dir,(

nn2

)2

.

Solucio 2: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudi-ant, FME, UPC.)

Entendrem un camı a Z2 com un vector(c1, . . . , cn) amb ci ∈ {↑, ↓,←,→}. Siguin n1,n2, n3 i n4 el nombre de ci que son ↑, ↓, ← i →respectivament. Notem que n1+n2+n3+n4 = n,i si volem que el camı acabi al mateix punt enque comenca, n1 = n2 i n3 = n4 (i, per tant, nha de ser parell).

Fixat k, si n1 = k, aleshores n2 = k in3 = n4 =

n

2− k, i el nombre de camins en

que n1 = k es el nombre de combinacions ambrepeticions n1, n2, n3, n4, es a dir,

n!n1!n2!n3!n4!

=n!

(k!)2((n

2− k

)!)2 .

Aixı, doncs, el nombre total de camins serazero si n es senar i

n/2∑k=0

n!

(k!)2((n

2− k

)!)2 =

=n/2∑k=0

(n

n/2

)(n/2k

)2

=

=(

n

n/2

) n/2∑k=0

(n/2k

)2

=

=(

n

n/2

)2

si n es parell, on hem usat quet∑

k=0

(t

k

)2

=(2t

t

).

En el cas mes general de camins a Zr, s’obteun resultat similar: el nombre de camins es zerosi n es senar i∑

n1+···+nr=n/2

n!(n1!)2 · · · (nr!)2

=

=(

n

n/2

) ∑n1+···+nr=n/2

(n/2

n1, . . . , nr

)2

si n es parell, on els termes(

m

m1, . . . ,mr

)son

els coeficients multinomials.

A87. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Si A, B i C son els angles d’untriangle, proveu que

0 <sinA + sinB + sin C

cos A + cos B + cos C< 2.

Solucio: (Solucio de Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) Designarem els trescostats de 4ABC per a, b i c. Es representaraper R el radi de la circumferencia circumscritaal triangle, per r el radi de la circumferenciainscrita i s sera el semiperımetre.

Ates que sinA + sinB + sinC =s

Ri que

cos A + cos B + cos C =R + r

R, es tracta de

provar que0 <

s

R + r< 2.

La desigualtat de l’esquerra es clara. Per provarla de la dreta, escrivim s, r i R en funcio dex = s−a, y = s− b i z = s− c. Observeu que x,y i z son nombres positius i representen els seg-ments que la circumferencia inscrita al triangle4ABC determina sobre els seus costats.

Obtenim

s = x + y + z

r =

√(s− a)(s− b)(s− c)

s=

√xyz

x + y + z

R =abc

4rs=

(x + y)(y + z)(z + x)4√

xyz(x + y + z).

Amb la substitucio indicada, la desigualtats

R + r< 2, que es equivalent a

s

2< R + r,

s’escriu

x + y + z

2<

(x + y)(y + z)(z + x)4√

xyz(x + y + z)+

+√

xyz

x + y + z

o, el que es el mateix,

2(x + y + z)√

xyz(x + y + z) <

< (x + y)(y + z)(z + x) + 4xyz,

de la qual, elevant al quadrat, en resulta

4xyz(x + y + z)3 <

< [(x + y)(y + z)(z + x) + 4xyz]2 ,

60

Page 63: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

equivalent a l’anterior.Tot substituınt (x + y + z)3 per x3 + y3 +

z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x), desenvolupant elquadrat i simplificant, obtenim

4xyz(x3 + y3 + z3

)+

+ 4xyz(x + y)(y + z)(z + x) <

< [(x + y)(y + z)(z + x)]2 + 16x2y2z2.

Ara fem la substitucio

(x + y)(y + z)(z + x) =

=∑

α,β∈{x,y,z}α6=β

α2β + 2xyz

i simplificam. El resultat es

4xyz(x3 + y3 + z3

)<

(∑α2β

)2+12x2y2z2

i, ates que(∑α2β

)2=

∑α4β2+

+ 2xyz∑

α2β + 2(x3y3 + y3z3 + z3x3

)+

+ 2xyz(x3 + y3 + z3

)+ 6x2y2z2,

la desigualtat anterior es pot escriure equiva-lentment en la forma

0 <∑

α,β,γ∈{x,y,z}α6=β 6=γ 6=α

α4(β − γ)2+

+ 2(x3y3 + y3z3 + z3x3

)+ 2xyz

∑α2β +

+ 18x2y2z2,

la qual es clar que es certa.Vegem, finalment, que els coeficients de l’e-

nunciat, 0 i 2, son els millors:

Si fem tendir c a zero, llavors s =a + b + c

2tendeix a

2R + 2R + 02

= 2R i r tendeix a zero.Per tant, la desigualtat

s

R + r< 2

no es pot millorar.D’altra banda, considerant un triangle en

el qual a + b tendeix a c, llavors s =a + b + c

2tendeix a

c + c

2= c , r tendeix a zero i R ten-

deix a infinit, amb la qual cosa es veu que ladesigualtat

0 <s

R + r

tampoc no es pot millorar.

A88. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Sigui 0 < α < 1 un nom-

bre real amb1

1− α> k, 1 ≤ k ≤ n. Calculeu

limn→∞

n∏k=1

(k2α2 + n2

n2

) kα+n

n2

.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.)

Sigui L el lımit que volem calcular, el qualcalcularem per tot α ∈ R.

Si α 6= 0, tenim que

log L = limn→∞

logn∏

k=1

(k2α2 + n2

n2

) kα+n

n2

=

= limn→∞

n∑k=1

kα + n

n2log

(k2α2 + n2

n2

)=

= limn→∞

1n

n∑k=1

(1 +

n

)log

[1 +

(kα

n

)2]

=

=1|α|

∫ α

0(1 + x) log

(1 + x2

)dx =

=1|α|

[12(1 + x)2 log

(1 + x2

)−

−x2

2− 2x + 2 arctanx

0

=

=1

2|α|(1 + α)2 log

(1 + α2

)− |α|

2−

− 2sign(α) +2 arctanα

|α|

ja que la funcio (1 + x) log(1 + x2

)es contınua

i|α|n

n∑k=1

(1 +

n

)log

[1 +

(kα

n

)2]

n’es la suma de Riemann associada a la particio{0, . . . , kα

n , . . . , α}.

Per tant,

L =

(1 + α2)

(1+α)2

2|α| e− |α|

2−2sign(α)+ 2 arctan α

|α|

si α 6= 0

1 si α = 0.

61

Page 64: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Comentari: (Redaccio)Si tenim en compte les restriccions de l’e-

nunciat per a α, aleshoresk − 1

n<

n<

k

n,

1 ≤ k ≤ n, i resulta que

1n

n∑k=1

(1 +

n

)log

[1 +

(kα

n

)2]

es una suma de Riemann per a la funcio

f(x) = (1 + x) ln(1 + x2)

com abans, pero ara a l’interval [0, 1]. Per tant,

log L =∫ 1

0(1 + x) ln(1 + x2) dx =

=[(x + 1)2

2ln(1 + x2)−

−2(x− arctanx)− 1 + x2

2

]1

0

=

= ln 4 +π − 5

2

i

L=exp(

ln 4 +π − 5

2

)= 4 e(π−5)/2 ' 1.579,

amb total coherencia amb la solucio anterior, sihi prenem α = 1.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Oriol Guasch i Fortuny va llegir la seva tesi, dirigida per Ramon CodinaRovira, titulada Computational aeroacoustics and turbulence modelling of lowspeed flows using subgrid scale stabilised finite element methods, el dia 8 denovembre de 2007. La tesi correspon al Departament de Matematica AplicadaIII de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Aquesta tesi aborda la simulacio de la generacioi propagacio de soroll aerodinamic dins del marcdels metodes d’elements finits estabilitzats ambsubescales. Per tal de fer-ho, es simula tant ladinamica de fluxos no periodics i/o turbulentscom el camp acustic que aquests generen.

La metodologia d’aeroacustica computaci-onal (CAA) proposada es basa en l’analogiaacustica de Lighthill i conceptualment es potdividir en tres fases. En la primera, es duu aterme una simulacio de fluidodinamica compu-tacional (CFD) per tal de calcular el terme fontde soroll aerodinamic. En el cas d’un flux tur-bulent, s’acostumen a utilitzar els anomenatsmodels de remolins grans (LES), que es basenen convolucionar les equacions de Navier-Stokesamb un filtre passa-baix, i discretitzar-les poste-riorment un cop escollit un model de clausura.Tot i tractar-se d’un enfocament molt estes, el

LES presenta nombrosos problemes de caire ma-tematic, com no permetre distingir clarament elserrors que provenen del model fısic dels que pro-venen de l’esquema de discretitzacio numerica.Com a alternativa al LES per simular fluxosturbulents, en aquesta tesi s’han emprat modelsd’elements finits estabilitzats mitjancant subes-cales (SGS). Aquests ofereixen una separaciod’escales natural entre aquelles que son resolu-bles amb la malla discreta utilitzada i aquellesque no son capturables per la malla (subescaleso escales de submalla). L’aplicacio dels metodesSGS a les equacions de Navier-Stokes permetplantejar el problema de simulacio de la tur-bulencia com un problema numeric mes que nopas fısic. Combinant resultats de la mecanicaestadıstica de fluids amb resultats de la ma-tematica dels metodes numerics, la tesi presentauna prova heurıstica que dona suport a la idea

62

Page 65: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

que els metodes SGS haurien de ser suficientsper representar el comportament de fluxos tur-bulents en el subrang inercial.

La segona fase de la metodologia proposadaconsisteix a calcular el terme font acustica, enaquest cas la doble divergencia del tensor deLighthill. L’evolucio temporal d’aquest termes’obte de la simulacio CFD i la seva transfor-mada de Fourier permet construir una equaciode Helmholtz inhomogenia, que novament es re-soldra utilitzant metodes SGS d’elements finits.Ja que es consideren fluxos de poca velocitat,el lligam d’incompressibilitat permet calcularla doble divergencia del tensor de Lighthill fentservir funcions d’interpolacio lineals.

La tercera fase consisteix a avaluar el campacustic resolent l’equacio inhomogenia de Helm-holtz. Es un fet prou conegut que, per a nombresd’ona elevats, la forma debil del problema noes definida positiva, de manera que l’anome-nat error de pol.lucio apareix en la resolucionumerica de l’equacio de Helmholtz. Una analiside dispersio de l’stencil associat al problema

discret revela que l’error de pol.lucio es pot atri-buir al fet que les ones es propaguen amb unnombre d’ona discret diferent del continu. Ladiferencia entre ambdos augmenta per a nom-bres d’ona elevats i apareix un error de fase enl’ona aproximada. Un comportament similar espot observar en l’equacio de Helmholtz convec-tada, que te importancia en diverses arees del’aeroacustica com en la generacio de soroll ae-rodinamic de ventiladors i compressors. Per talde disminuir l’error de pol.lucio de l’equacio deHelmholtz convectada, a la tesi es proposa unmetode SGS d’elements finits pel cas bidimen-sional. El metode es formalment equivalent almetode Galerkin Least-Squares (GLS) i la sevaclau rau a trobar un parametre d’estabilitza-cio adequat mitjancant una analisi de dispersio.Es comprova que el metode proposat milloraclarament els resultats del metode de Galerkini que el parametre d’estabilitzacio es redueix aparametres coneguts per l’equacio de Helmholtz,en el cas en que no hi ha conveccio.

• Cristina Dalfo Simo va llegir la seva tesi, dirigida per Francesc ComellasPadro i Miquel Angel Fiol Mora, titulada Estudi i dissenys de xarxes d’in-terconnexio: modularitat i comunicacio, el dia 19 de desembre de 2007. Latesi correspon al Departament de Matematica Aplicada IV de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Normalment les grans xarxes d’interconnexio ode comunicacions estan dissenyades utilitzanttecniques de la teoria de grafs. Aquest treballpresenta algunes contribucions a aquest tema.Concretament, presentem dues noves operaci-ons: el producte jerarquic de grafs i el producteManhattan de dıgrafs. El primer es una gene-ralitzacio del producte cartesia de grafs i enspermet construir algunes famılies amb un altgrau de jerarquia, com l’arbre binomial, que esuna estructura de dades molt utilitzada en al-gorısmica. El segon dona lloc a les conegudesManhattan street networks, les quals han estatextensament estudiades i utilitzades per mode-litzar alguns tipus de xarxes optiques. En elnostre treball, definim formalment i analitzemel cas multidimensional d’aquestes xarxes. Es-tudiem algunes propietats dels grafs o dıgrafsobtinguts mitjancant les dues operacions esmen-tades, especialment: els parametres estructurals(les propietats de l’operacio, els subdıgrafs in-

duıts, la distribucio de graus i l’estructura dedıgraf lınia), els parametres metrics (el diametre,el radi i la distancia mitjana), la simetria (elsgrups d’automorfismes i els dıgrafs de Cayley),l’estructura de cicles (els cicles hamiltoniansi la descomposicio en cicles hamiltonians arc-disjunts) i les propietats espectrals (els valorsi vectors propis). En el darrer cas, hem trobat,per exemple, que la famılia dels arbres binomi-als tenen tots els seus valors propis diferentsi �omplen� tota la recta real. A mes a mes,mostrem la relacio del seu conjunt de vectorspropis amb els polinomis de Txebixev de segonaespecie. Tambe hem estudiat alguns protocolsde comunicacio, com els enrutaments locals iels algorismes de difusio. Finalment, presentemalguns models deterministes (com les xarxesSierpinski i d’altres), els quals presenten algu-nes propietats propies de les xarxes complexesde la vida real (com, per exemple, Internet).

63

Page 66: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

• Daniel Blasi Babot va llegir la seva tesi, dirigida per Artur Nicolau Nos,titulada Successions d’interpolacio en certs espais de funcions, el dia 1 defebrer de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematiques de laUniversitat Autonoma de Barcelona.

Donades dues successions finites de punts{zn}, {wn} al disc unitat obert D, el problemad’existencia d’una funcio analıtica f : D → Damb f(zn) = wn, n = 1, . . . , N es considerat elprimer problema d’interpolacio mai estudiat. Lacaracteritzacio d’aquestes successions fou obtin-guda durant la primera decada del segle xx perNevanlinna i Pick.

Als anys cinquanta, R. C. Buck va plante-jar un nou problema d’interpolacio a l’algebraH∞ de les funcions analıtiques i acotades aldisc D. Una successio de punts {zn} ⊂ D esdiu d’interpolacio per H∞ si per tota succes-sio de valors acotats {wn} existeix una funciof analıtica i acotada a D amb f(zn) = wn pertota n = 1, 2, . . .. L’any 1958, L. Carleson va pro-var una caracteritzacio geometrica d’aquestessuccessions.

En aquesta memoria estudiem i caracterit-zem les successions d’interpolacio en dos es-pais de funcions diferents. En el primer capıtol,que correspon a l’article [1], estudiem les suc-cessions d’interpolacio per l’espai de funcionsharmoniques i positives h+, mentre que el segoncapıtol presenta resultats dels articles [2] i [3],on s’estudien les successions d’interpolacio perals espais de tipus Besov Bp(s).

En el primer capıtol, utilitzant la desigual-tat de Harnack per a funcions harmoniques ipositives al semipla R2

+ = R× R+, es plantejaun problema d’interpolacio en h+. La soluciod’aquest problema s’obte provant una condicioque caracteritza geometricament les successionsd’interpolacio en aquest espai. Aixı mateix, esplanteja i es resol tambe un problema d’interpo-lacio per a funcions holomorfes i acotades sense

zeros. El problema d’interpolacio per l’espai defuncions harmoniques i positives definides alsemiespai Rd+1

+ = Rd×R+ en dimensions d ma-jors o iguals que 2 resta com a problema obert.Obtenim, pero, una condicio necessaria per ala interpolacio que conjecturem de ser tambesuficient.

Al segon capıtol s’estudien les successionsd’interpolacio per als espais de tipus Besov Bp(s)de funcions analıtiques f amb∫

D|f ′(z)|p(1− |z|2)p−2+sdA(z) <∞,

per a 1 < p <∞ i 0 < s < 1, aixı com les succes-sions d’interpolacio pels corresponents espais demultiplicadors M(Bp(s)). La caracteritzacio deles successions d’interpolacio en ambdos espaiss’obte en termes d’una condicio de separacio iuna altra de mesura de Carleson. Aixı mateix,en aquest capıtol, es prova una nova caracterit-zacio dels espais de Besov Bp(s) sense utilitzarderivades i es resol el problema de la corona al’espaiM(Bp(s)).

Bibliografia

[1] Blasi, D.; Nicolau, A. �Interpolationby positive harmonic functions�. J. LondonMath. Soc., (2), 76 (2007), pag. 253-271.

[2] Blasi, D.; Pau, J. �A characterizationof Besov type spaces and applications toHankel type operators�. Michigan Math. J.,56, 2 (2008), pag. 401-417.

[3] Arcozzi, N.; Blasi. D.; Pau, J. �Inter-polating sequences on analytic Besov typespaces�. Indiana Univ. Math. J., 58 (2009).

• Jordi Marzo Sanchez va llegir la seva tesi, dirigida per Joaquim Ortega-Cerda, titulada Sampling sequences in spaces of bandlimited functions inseveral variables, el dia 25 d’abril de 2008. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada i Analisi de la Universitat de Barcelona.

64

Page 67: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

A grans trets, una successio de mostreig per a uncert espai de funcions es una successio de punts(xn)n∈Z tals que la norma de tota funcio f del’espai es equivalent a la norma de la successioque resulta d’avaluar la funcio:

‖f‖ ∼ ‖(f(xn))n∈Z‖.

Son, doncs, els conjunts adequats per a discretit-zar o digitalitzar un senyal continu. Al seu torn,una successio d’interpolacio es tal que qualse-vol problema d’interpolacio es pot resoldre mit-jancant una funcio de l’espai. Aquest concepteesta relacionat amb el fet que el senyal continu espugui recuperar a partir de la digitalitzacio ies pot considerar, en un cert sentit, com a dualdel de mostreig.

Al primer capıtol de la tesi trobem successi-ons de mostreig i d’interpolacio per a l’espai defuncions amb frequencies a una unio de traslla-dats d’un cub; el resultat es, doncs, una gene-ralitzacio del teorema de Shannon. Amb aquestresultat hom pot trobar successions de mostreigi d’interpolacio amb densitat arbitrariament pro-pera a la crıtica (rao de Nyquist) per a l’espaide Paley-Wiener sobre un domini qualsevol del’espai euclidia. L’existencia d’aquestes succes-sions demostra en particular que els resultatssobre densitats de H. J. Landau de 1967 sonoptims.

A la resta de la tesi passem a estudiar lesfamılies de Marcinkiewicz-Zygmund (MZ) (con-cepte analeg al de mostreig) i d’interpolacio pera espais de polinomis a l’esfera.

Al cercle, els conjunts formats per les succes-sives arrels de la unitat ens donen una famıliatriangular de punts �ben distribuıts�. Per aaquests es compleix que

A

n

n∑k=0

|p(e2πikn+1 )|p ≤

∫ 2π

0|p(eiθ)|pdθ ≤

B

n

n∑k=0

|p(e2πikn+1 )|p (1)

per a tot polinomi p de grau ≤ n amb constants(A,B > 0) independents del grau (J. Marcinki-ewicz i A. Zygmund, 1937).

A la tesi trobem una nova caracteritzacio deles famılies de MZ que ens permet obtenir totde resultats. Per exemple: es conegut que unapetita pertorbacio d’una famılia de MZ tambees de MZ pero, com de gran pot ser aquesta per-torbacio? En un analeg al teorema de Kadets,

demostrem que podem pertorbar les arrels de launitat a (1) fins a 1/4 i que el resultat es optim.

Aixı com pel cercle tenim fins i tot una carac-teritzacio de les famılies de MZ, en dimensionsmes grans les coses es compliquen. Un primerproblema es que a l’esfera no hi ha famılies depunts tant �ben distribuıts� com les arrels de launitat, cosa que es tradueix en el fet, demostrata la tesi, que no hi ha famılies de punts que doninbases ortonormals de nuclis reproductors. Aixıdoncs, no hi ha famılia de referencia. Tanma-teix, estudiant l’operador de concentracio sobrel’esfera podem trobar condicions geometriquesnecessaries si es verifica la propietat de MZ o lad’interpolacio. No nomes no hi ha famılies quedonin bases ortonormals de nuclis reproductors,sino que no es coneix cap exemple de famıliaque sigui de MZ i d’interpolacio alhora pero,podrıem trobar-ne una? A la tesi demostremque la resposta es negativa quan p 6= 2.

Trobar punts ben distribuıts a l’esfera es unproblema d’interes practic a diverses disciplines:meteorologia, cristal.lografia... De fet, existeixentot de metodes per a trobar punts (punts deFekete, minimitzadors d’un cert potencial, es-quemes aleatoris...). Un problema seria, doncs,estimar com son de bones aquestes distribucions.Ates que l’estabilitat a l’hora de recuperar unsenyal a partir d’una discretitzacio es una me-sura d’aquesta bona distribucio, i que aquestaes (en un cert sentit) la definicio mateixa defamılia de MZ, a la tesi ens interessem per atrobar condicions suficients per a ser de MZ. Elfet remarcable es que la condicio que obtenim esforca mes facil de verificar que les ja conegudes.

Parlant d’aplicacions, estudiem tambe la re-construccio d’una funcio a partir de les sevesintegrals sobre hiperplans (transformada de Ra-don). Aquest problema es important, per exem-ple, en el domini de la tomografia computerit-zada. A la tesi demostrem que la norma de lafuncio de densitat a reconstruir es pot contro-lar (essencialment) per les projeccions, tan bonpunt aquestes formin una famılia de MZ ambprou punts. Aixı doncs, aquestes famılies depunts son els bons candidats de cara a obteniresquemes de mostreig.

La propietat de MZ diu que la norma delspolinomis es comparable (amb constants inde-pendents del grau) a la norma discreta de l’ava-luacio a la famılia de punts. Pero, que podemdir sobre comparacio de normes sobre conjunts

65

Page 68: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

menys singulars que una unio finita de punts?Ates que aquest problema es mes senzill, enaquest cas podem portar-ho mes enlla i caracte-ritzar els conjunts pels quals tenim comparaciode normes respecte a mesures molt generals, com

les mesures doblants (resultat que es demostraque es optim en un cert sentit). Finalment, d’a-quest resultats derivem un principi d’incertesaper a polinomis a l’esfera.

• Llorenc Rubio i Pons va llegir la seva tesi, dirigida per Pere Pascual Gainza,titulada Categories de descens: aplicacions a la teoria K algebraica, el dia 8 dejuliol de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada I dela Universitat Politecnica de Catalunya.

Aquest treball se situa en el marc de l’estudi dela cohomologia de les varietats algebraiques, ien particular en les aplicacions cohomologiquesdel teorema de resolucio de singularitats d’Hiro-naka. Utilitzem la tecnica de les hiperresolucionscubiques i el criteri d’extensio de functors deGuillen i Navarro per a definir una variant dela teoria K algebraica de les varietats sobre uncos de caracterıstica zero, que coincideix ambla teoria K per a les varietats llises i que satisfauna propietat de descens respecte als blow-upsabstractes.

La tecnica de les hiperresolucions cubiquesde Vicenc Navarro es un instrument alternatiual dels hiperrecobriments simplicials de Delignei dona un marc general per a l’us cohomologicdel teorema d’Hironaka. Les hiperresolucionscubiques permeten substituir una varietat, pos-siblement singular, per un diagrama cubic i finitde varietats llises. Basant-se en la teoria de leshiperresolucions cubiques, F. Guillen i V. Na-varro han provat un criteri d’extensio per afunctors cohomologics definits en les varietatsllises a functors cohomologics definits en totesles varietats.

El criteri d’extensio de Guillen i Navarros’aplica a functors que prenen valors en unacategoria de descens. La nocio de categoria dedescens es una variant mes rıgida de la de ca-tegoria triangulada de Verdier, adaptada a laformulacio de les teories cohomologiques no ad-ditives.

El primer problema que hem estudiat en elnostre treball es el de la relacio entre les cate-gories de models i les categories de descens. Lescategories de models, introduıdes per Quillen,han estat profusament utilitzades en les darre-res decades com una axiomatitzacio util per a

fer teoria d’homotopia. Hem demostrat que lescategories de models que satisfan un cert criterid’aciclicitat tenen una estructura de categoriade descens. En particular hem demostrat que lacategoria d’espectres topologics es una categoriade descens.

La teoria K algebraica d’una varietat esconstrueix a partir dels seus fibrats vectorialsalgebraics i es pot considerar com un functorK : Var(k) → Sp de varietats algebraiques aespectres topologics. Els grups de teoria K d’unavarietat X s’obtenen a partir dels grups d’ho-motopia de l’espectre KX, KmX = πm(KX).Les condicions d’extensio per a la teoria K sonbasicament consequencia dels resultats de Tho-mason per a la teoria K d’un blow-up, de maneraque el teorema d’extensio es aplicable a la te-oria K algebraica de les varietats llises. Aixıel functor K admet una extensio de les varie-tats llises a totes les varietats. El functor estesKD satisfa una propietat de descens respecteals blow-ups abstractes, i aquesta extensio esessencialment unica amb aquesta propietat. Lapropietat de descens significa que el functorporta un cert tipus de quadrats cartesians devarietats a quadrats homotopicament cartesiansd’espectres. Els quadrats homotopicament car-tesians d’espectres donen lloc a la successio deMayer-Vietoris i en general a certes successionsespectrals.

Tambe hem estudiat les propietats que lateoria obtinguda pel criteri d’extensio heretade les propietats del functor sobre les varietatsllises. En particular hem vist que la teoria Kde descens satisfa per exemple les propietats deMayer-Vietoris i d’invariancia homotopica.

Un functor de varietats a espectres tambes’anomena un prefeix d’espectres. Des d’aquest

66

Page 69: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

punt de vista la teoria de les cd -topologies asso-ciades a quadrats commutatius desenvolupadaper Voevodsky aplicada a l’estructura de ca-tegoria de models de prefeixos d’espectres deJardine permet definir el reemplacament fibrantd’un prefeix d’espectres considerant una certatopologia. Per tant, sorgeix la questio de com-parar l’extensio de Guillen i Navarro amb elreemplacament fibrant amb la topologia dels

blow-ups abstractes. Hem demostrat que, quanson comparables, coincideixen.

Hem demostrat tambe que la teoria K dedescens es equivalent, per un resultat de Hae-semeyer, a la teoria K homotopica introduıdaper Weibel. Aixı mateix hem demostrat que hiha una filtracio pel pes natural en els grups deteoria K de descens.

• Gemma Colome i Nin va llegir la seva tesi, dirigida per Joan Elias Garcia,titulada Multigraded structures and the depth of blow-up algebras, el dia 14 dejuliol de 2008. La tesi correspon al Departament d’Algebra i Geometria de laUniversitat de Barcelona.

En algebra commutativa, els moduls graduats,aixı com els multigraduats estandards, han es-tat objecte d’estudi per a molts autors. Toti que tambe es coneixen resultats per modulsgraduats noestandard, el cas multigraduat no-estandard no es tan comu. D’altra banda, sota elnom d’algebres de blow-up, es coneixen algunesalgebres graduades associades a un ideal d’unanell local Noetheria. Les algebres de blow-ups’utilitzen per estudiar propietats i caractersnumerics de l’anell local i de l’ideal i, a mes,tenen rellevancia geometrica.

Un primer objectiu d’aquesta tesi es con-tribuir al coneixement de propietats cohomo-logiques de moduls multigraduats noestandard.En una primera part considerem anells mul-tigraduats S finitament generats sobre l’anelllocal S0 per elements de graus γ1, . . . , γr ambγi = (γi

1, . . . , γii , . . . , 0) ∈ Nr i γi

i 6= 0 per ai = 1, . . . , r. En primer lloc demostrem quela funcio de Hilbert d’un S-modul multigradu-at es quasipolinomica en un con de Nr defi-nit pels graus. A mes es satisfa la formula deGrothendieck-Serre en la nostra situacio.

Utilitzant el comportament quasipolinomicde la funcio de Hilbert dels moduls d’homolo-gia de Koszul d’un S-modul M multigraduatrespecte d’un sistema de generadors de l’idealmaximal de S0, podem demostrar que la pro-funditat de les components homogenies de Mes constant per a graus en una subxarxa d’uncon de Nr. Considerant els anells de blow-upmultigraduats associats a ideals I1, . . . , Ir en unanell local Noetheria R, podem demostrar que

la profunditat de R/In11 · · · Inr

r es constant pera n1, . . . , nr prou grans.

Tambe estudiem la profunditat dels modulsde Veronese M (a,b) per a a, b prou grans. Enparticular demostrem en el cas quasiestandard(on els graus son multiples per un escalar enterpositiu dels graus estandard), amb S0 quocientd’un anell local regular, que aquesta profunditates constant per a a, b en certes regions de Nr.Per arribar a aquest resultat ens cal un estudiprevi dels moduls de Veronese i de l’anul.laciode moduls de cohomologia local. En particulardemostrem que, en el cas mes general, si S0 esquocient d’un anell local regular, la profunditatgeneralitzada es invariant per transformacionsVeronese. A mes en el cas quasiestandard la pro-funditat generalitzada coincideix amb l’ındexde graduacio finita dels moduls de cohomologialocal respecte de l’ideal maximal homogeni.

Un segon objectiu de la tesi es l’estudi dela profunditat de les algebres de blow-up asso-ciades a un ideal. S’obtenen versions refinadesde conjectures sobre la profunditat de l’anellgraduat associat a un ideal. Utilitzant algunesestructures bigraduades noestandard, es podeninterpretar els enters que apareixen a la conjec-tura de Guerrieri i a la conjectura de Wang coma multiplicitats de moduls bigraduats. En parti-cular hem pogut donar resposta a una preguntaformulada per A. Guerrieri i C. Huneke el 1993.Hem demostrat que donat un ideal I m-primarien un anell local (R,m) Cohen-Macaulay de di-mensio d > 0 amb reduccio minimal J , suposantque les longituds de les components homogenies

67

Page 70: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

del modul de Valabrega-Valla de I i J siguinmenors o iguals que 1, aleshores la profunditat

de l’anell graduat associat a I es major o igualque d− 2.

• Josep M. Palmada Privat va llegir la seva tesi, dirigida per Angel CalsinaBallesta, titulada Poblacions estructurades i evolucio de cicles biologics: edatde maduracio i temps de lisi en bacteriofags, el dia 14 de novembre de 2008. Latesi correspon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonomade Barcelona.

En aquesta tesi s’estudien dos models de dina-mica de poblacions estructurades que, tot i tenirnaturalesa molt diferent, tots dos fan referenciaa cicles biologics de la poblacio en questio i es faemfasi en l’estudi de parametres que determinenaquests cicles.

La memoria esta estructurada en dos capıtolsben diferenciats, tot i que l’objectiu de tots doses comu. En el primer model s’estudia una po-blacio abstracta on hi ha dos tipus d’individus:joves i adults (o no fertils i fertils respectiva-ment). El pas de jove a adult es fa quan s’arribaa certa edat de maduracio; per aixo la densi-tat de poblacio te una doble estructura. Aques-ta s’estructura tant fisiologicament (per l’edat)com fenotıpicament (per l’edat de maduracio,variable que es considera fixada geneticamenttot i que subjecta a mutacio hereditaria: una va-riable evolutiva). Aquesta mutacio es modelitzaamb un operador integral. La diferencia essen-cial entre els models anteriors i aquest es quefixada la variable evolutiva encara queda un sis-tema dinamic en dimensio infinita: un model dedinamica de poblacions estructurades en edat.

En aquest primer capıtol es tracta, a part delproblema d’existencia i unicitat de solucionsdel model, l’existencia de solucions estacionariesi, com a principal resultat, s’estableixen condi-cions suficients per garantir l’existencia (i enalguns casos unicitat) d’aquestes en diferentssituacions (donades per possibles expressionsde la mortalitat dels individus), i l’existenciad’estrategia evolutivament estable (ESS) pre-nent com a tret evolutiu l’edat de maduracio.Es donen, tambe, condicions suficients per a laseva existencia.

En el segon capıtol s’estudia un model per

a una poblacio de bacteris i bacteriofags (fagsper abreujar) lıtics (es a dir, que el proces per ala seva reproduccio infectant el bacteri tambeacaba amb la mort d’aquest) on la poblacio debacteris esta estructurada per l’edat d’infeccioper part del fag.

A part d’existencia i unicitat de solucionsdel model biologic aquest capıtol es centra enl’estudi sobre l’existencia de valors d’un delsparametres (el perıode de latencia o el temps quepassa des que un fag envaeix un bacteri finsque aquest mor i s’alliberen els nous virus) pertal que s’optimitzi el creixement de la poblaciode bacteriofags. Aquest perıode de latencia esconsidera de dimensio infinita en modelitzar-loper una funcio de distribucio d’una variable ale-atoria. Aquesta es la principal diferencia entreaquest model i els que hi ha en treballs anteri-ors (en tots es considera el perıode de latenciacom un parametre unidimensional). Aixo por-ta a un problema d’optimitzacio en dimensioinfinita. Es distingeixen dos casos depenent decertes desigualtats que compleixin els diferentsparametres del model, provant l’existencia d’a-quest perıode de latencia optim en el primer il’existencia i unicitat en el segon (d’altra bandael cas biologicament mes interessant ja que lapoblacio de fags pot no extingir-se). En aquestcas tambe es prova que aquest optim correspona una delta de Dirac en un valor determinatdel perıode de latencia. Finalment es relacio-na aquest perıode de latencia optim amb l’ESSprenent com a tret evolutiu aquest parametre,provant-ne l’existencia i unicitat, i veient queno es cap altre que el perıode de latencia optimcorresponent a la quantitat de bacteris constanten l’estat d’equilibri.

68

Page 71: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

• Marıa Barbero Linan va llegir la seva tesi, dirigida per Miguel CarlosMunoz Lecanda, titulada Estudi geometric de la anormalitat en problemesde control optim per a sistemes de control i de control mecanic, el dia 19 dedesembre de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematica AplicadaIV de la Universitat Politecnica de Catalunya.

La teoria de control estudia les propietats d’unsistema dinamic depenent de parametres queson determinats convenientment i que reben elnom de controls. Quan la trajectoria del siste-ma dinamic que es cerca ha de minimitzar unfuncional, com l’energia, la distancia o el temps,ens trobem davant d’un problema de controloptim. Si mirem enrere en el temps, ens adona-rem que la teoria de control optim ha existit desde fa uns quants segles. De fet, alguns conside-ren que el seu origen es troba en el problemade la braquistocrona plantejat a la comunitatmatematica per J. Bernoulli el 1696.

En general, trobar una solucio d’aquests pro-blemes no es obvi. Una tactica habitual es reduirel nombre de possibles solucions per mitja deles condicions necessaries d’optimalitat que pro-porciona el principi del maxim de Pontryagin.Aquest principi es va explicar per primer copen el Congres Internacional de Matematics el1958, a Edimburg (Escocia), de la ma d’un grupd’investigadors russos que treballaven a l’Ins-titut de Matematiques de Steklov. El principidel maxim de Pontryagin es considerat un delspunts clau en el desenvolupament de la teoriade control optim, tant des d’un punt de vistamatematic, com des del punt de vista de lesaplicacions en medicina, economia, enginyeria,astronautica, etc.

Recentment, s’ha comencat a aplicar la ge-ometria diferencial per tal d’assolir una mi-llor comprensio de tots els elements involucratsen el principi del maxim de Pontryagin. Ge-ometricament, aquest principi associa al proble-ma de control optim un problema hamiltonia, enel qual es dobla la dimensio de l’espai de confi-guracio inicial. Les solucions d’aquest problemahamiltonia estan definides en el fibrat cotangentde l’espai de fases. Aquelles que satisfacin unesdeterminades condicions s’anomenen extremalsi son candidates a esser solucions del problemade control optim.

En aquesta tesi desenvolupem una demostra-cio completa i geometrica del principi del maximde Pontryagin amb el proposit d’entendre com

la geometria diferencial pot ajudar a estudiar elsdiferents tipus de solucions que existeixen en unproblema de control optim. Investiguem acura-dament els punts mes delicats de la demostracio,que, per exemple, inclouen les pertorbacionsdels controls, l’aproximacio lineal del conjuntde punts accessibles i la condicio de separaciodels anomenats cons tangents de pertorbacionsque apareixen com a resultat de modificar elscontrols. A mes a mes, aquests cons tenen unpaper clau en l’aproximacio lineal del conjuntdels punts accessibles.

Entre totes les solucions d’un problema decontrol optim, existeixen les corbes anormals.Aquestes corbes no depenen de la funcio decost la integral de la qual es vol minimitzar,sino que nomes depenen de la geometria delsistema de control. En la literatura de controloptim, existeixen estudis sobre la anormalitat,tot i que nomes per a sistemes lineals o afinsen els controls i sobretot amb funcions de costquadratiques en els controls. Nosaltres descri-vim un metode geometric nou per caracteritzartots els diferents tipus d’extremals (no nomesles anormals) de problemes de control optimgenerics. Aquest metode s’obte com una adap-tacio d’un algorisme de lligadures presimplectic(Gotay, Nester, Hinds, 1978). El nostre interesen les corbes anormals es a causa de les corbesoptimes estrictament anormals, les quals tambequeden caracteritzades mitjancant l’algorismedescrit en aquesta tesi. L’existencia de les cor-bes que acabem de mencionar es coneix en elproblema de trobar els camins mes curts en geo-metria subriemanniana (Montgomery, 1994; Liu,Sussmann, 1995).

Apliquem el metode anterior per caracte-ritzar les extremals d’un problema de controloptim lliure, aquell on el domini de definicio noesta donat. En concret, els problemes de tempsmınim son problemes de control optim lliures.A mes a mes, som capacos de donar una cor-ba extremal estrictament anormal aplicant elmetode descrit per a un sistema mecanic de con-trol, pero malauradament aquesta corba no es

69

Page 72: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

una solucio del problema ja que no minimitzala integral de la funcio de cost.

Un cop la nocio d’anormalitat ha estat es-tudiada en general, ens concentrem en l’estu-di de la anormalitat per a sistemes de controlmecanics, perque no existeixen resultats sobrel’existencia de corbes optimes estrictament anor-mals per a problemes de control optim associatsa aquests sistemes. En aquesta tesi es donenresultats sobre les extremals anormals quan lafuncio de cost es quadratica en els controls osi el funcional a minimitzar es el temps. Anantencara mes enlla, la caracteritzacio d’anormalses descrita en casos particulars mitjancant ele-ments geometrics com les formes quadratiquesvector valorades. Aquests elements geometricsapareixen de manera natural com a resultatd’aplicar el metode explicat en aquesta tesi.

Tambe enfoquem l’estudi de la anormali-tat de sistemes de control mecanics des d’unaltre punt de vista que consisteix a aprofi-tar l’equivalencia que existeix, sota determina-des hipotesis, entre els sistemes de control noholonoms i els sistemes de control cinematics.

Provem l’equivalencia entre els problemes decontrol optim associats a ambdos sistemesde control i aixo permet establir relacions entreles corbes extremals del problema no holonom idel cinematic. Aquestes relacions permeten do-nar, aquesta vegada sı, un exemple d’una corbaoptimal estrictament anormal en un problema detemps mınim per a sistemes de control mecanics.Es tracta del primer exemple amb aquestes ca-racterıstiques que es coneix en la literatura, alnostre millor saber i entendre.

Finalment, i deixant de banda per un mo-ment la anormalitat, donem una formulacio ge-ometrica dels problemes de control optim noautonoms mitjancant la formulacio unificadade Skinner-Rusk (1983), que unifica en una lesformulacions lagrangianes i hamiltonianes delssistemes mecanics. La formulacio descrita enaquesta tesi es fins i tot aplicable a sistemes decontrol implıcits que apareixen en un gran nom-bre de problemes de control optim dins l’ambitde l’enginyeria, com, per exemple, els sistemeslagrangians controlats i els sistemes descriptors.

70

Page 73: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Stable Homotopy Around theArf-Kervaire InvariantSnaith, V.P.,University of Sheffi eld, UK

This monograph describes important techniques of stable homotopy theory, both classical and brand new, applying them to the long-standing unsolved problem of the existence of framed manifolds with odd Arf-Kervaire invariant. Opening with an account of the necessary algebraic topology background, it proceeds in a quasi-historical manner to draw from the author’s contributions over several decades. A new technique entitled “upper triangular technology” is introduced which enables the author to relate Adams operations to Steenrod operations and thereby to recover most of the important classical Arf-Kervaire invariant results quite simply. The fi nal chapter briefl y relates the book to the contemporary motivic stable homotopy theory of Morel-Voevodsky.

2009. XIV, 239 p. HardcoverISBN: 978-3-7643-9903-0PM — Progress in Mathematics, Vol. 273

Combinatorial Number Theory and Additive Group Theory

Geroldinger, A.,University of Graz, Austria Ruzsa, I.Z.,Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary

This book begins with two seminars: Additive Cominatorics and non-unique factorizations; Sumsets and structure. The book then offers notes from those seminars to address the methods, techniques and problems of contemporary additive combinatorics.

Table of Contents:Foreword.- Preface.- I. Additive Group Theory and Non-unique Factorizations - II. Sumsets and structure.- III. Thematic seminars - Contributions by Jean Marc Deshouillers, Christian Elsholtz, Gregory A. Freiman, Yahya O. Hamidoune, Norbert Hegyvári, Gyula Károly, Melvyn B. Nathanson, Jaroslav Nešetril, Jozsef Solymosi, Yonutz V. Stanchescu, Gilles Zémor.

2009. XI, 330 p. SoftcoverISBN: 978-3-7643-8961-1

Elliptic Equations:An Introductory Course

Chipot, M.,University of Zurich, Switzerland

Avoiding technicalities and refi nements, this book introduces different topics in the theory of elliptic partial differential equations. Coverage includes singular perturbation problems, regularity theory, Navier-Stokes system, p-Laplace equation.

Table of Contents:Preface.- I. Basic techniques.- 1. Hilbert space techniques.- 2. A survey of essential analysis.- 3. Weak formulation of elliptic problems.- 4. Elliptic problems in divergence form.- 5. Singular perturbation problems.- 6. Problems in large cylinders.- 7. Periodic problems.- 8. Homogenization.- 9. Eigenvalues.- 10. Numerical computations.- II. More advanced theory.- 11. Nonlinear problems.- 12. L(infi nity)-estimates.- 13. Linear elliptic systems.- 14. The stationary Navier–Stokes system.- 15. Some more spaces.- 16. Regularity theory.- 17. The p-Laplace equation.- 18. The strong maximum principle.- 19. Problems in the whole space.- A. Fixed point theorems.- Bibliography.- Index.

2009. VIII, 288 p. HardcoverISBN: 978-3-7643-9981-8

Birkhäuser Verlag AGViaduktstrasse 424051 Basel / Switzerland

Tel. +41 61 205 07 77e-mail: [email protected]

Page 74: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

Handbook of Teichmüller Theory, Volume II (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics)Athanase Papadopoulos (IRMA, Strasbourg, France), Editor

ISBN 978-3-03719-055-5. 2009. 882 pages. Hardcover. 17.0 x 24.0 cm. 98.00 Euro

This multi-volume set deals with Teichmüller theory in the broadest sense, namely, as the study of moduli space of geometric structures on surfaces, with methods inspired or adapted from those of classical Teichmüller theory. The aim is to give a complete panorama of this generalized Teichmüller theory and of its applications in various fields of mathematics. The present volume has 19 chapters and is divided into four parts: The metric and the analytic theory; the group theory; representation spaces and geometric structures; the Grothendieck–Teichmüller theory. This handbook is an essential reference for graduate students and researchers interested in Teichmüller theory and its ramifications, in particular for mathematicians working in topology, geometry, algebraic geometry, dynamical systems and complex analysis.

Demetrios Christodoulou (ETH Zürich, Switzerland)The Formation of Black Holes in General Relativity (EMS Monographs in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-068-5. 2009. 598 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 98.00 Euro

In 1965 Penrose introduced the fundamental concept of a trapped surface, on the basis of which he proved a theorem which asserts that a spacetime containing such a surface must come to an end. The presence of a trapped surface implies, moreover, that there is a region of spacetime, the black hole, which is inaccessible to observation from infinity. A major challenge since that time has been to find out how trapped surfaces actually form, by analyzing the dynamics of gravitational collapse. The present monograph achieves this aim by establishing the formation of trapped surfaces in pure general relativity through the focusing of gravitational waves. The theorems proved in the present monograph constitute the first foray into the long-time dynamics of general relativity in the large, that is, when the initial data are no longer confined to a suitable neighborhood of trivial data. The main new method, the short pulse method, applies to general systems of Euler–Lagrange equations of hyperbolic type. This monograph will be of interest to people working in general relativity, geometric analysis, and partial differential equations.

6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Zürich, Switzerland, 16–20 July 2007. Invited LecturesRolf Jeltsch (ETH Zürich, Switzerland), Gerhard Wanner (Université de Genève, Switzerland), Editors

ISBN 978-3-03719-056-2. 2009. 524 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 108.00 Euro

The International Council for Industrial and Applied Mathematics (ICIAM) is the worldwide organisation of societies dedicated primarily or significantly to applied and/or industrial mathematics. The ICIAM Congresses, held every 4 years, are run under the auspices of the Council with the aim to advance the applications of mathematics in all parts of the world. The 6th ICIAM Congress was held in Zürich, Switzerland, 16–20 July 2007, and was attended by more than 3000 scientists from 47 countries.This volume collects the invited lectures of this Congress, the appreciations of the ICIAM Prize winners’ achievements and the Euler Lecture celebrating the 300th anniversary of Euler. The authors of these papers are leading researchers of their fields, rigorously selected by a distinguished international program committee. The book presents an overview of contemporary applications of mathematics, new perspectives and open problems.

Thomas Harriot’s Doctrine of Triangular Numbers: the ‘Magisteria Magna’ (Heritage of European Mathematics)Janet Beery (University of Redlands, USA), Jacqueline Stedall (University of Oxford, UK), Editors

ISBN 978-3-03719-059-3. 2008. 144 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 64.00 Euro

Thomas Harriot (c.1560–1621) was a mathematician and astronomer, known not only for his work in algebra and geometry, but also for his wide-ranging interests in ballistics, navigation, and optics (he discovered the sine law of refraction now known as Snell’s law). By about 1614, Harriot had developed finite difference interpo-lation methods for navigational tables. In 1618 (or slightly later) he composed a treatise entitled ‘De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis, Magisteria magna’, in which he derived symbolic interpolation formulae and showed how to use them. This treatise was never published and is here reproduced for the first time. Commentary has been added to help the reader to follow Harriot’s beautiful but almost completely nonverbal presentation. The introductory essay preceding the treatise gives an overview of the contents of the ‘Magisteria’ and describes its influence on Harriot’s contemporaries and successors over the next sixty years. Harriot’s method was not superseded until Newton, apparently independently, made a similar discovery in the 1660s. The ideas in the ‘Magisteria’ were spread primarily through personal communication and unpublished manuscripts, and so, quite apart from their intrinsic mathematical interest, their survival in England during the seventeenth century provides an important case study in the dissemination of mathematics through informal networks of friends and acquaintances.

Tammo tom Dieck (University of Göttingen, Germany) Algebraic Topology (EMS Textbooks in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-057-9. 2008. 284 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

This book is written as a textbook on algebraic topology. The first part covers the material for two introductory courses about homotopy and homology. The second part presents more advanced applications and concepts (duality, characteristic classes, homotopy groups of spheres, bordism). The author recommends to start an introductory course with homotopy theory. For this purpose, classical results are presented with new elementary proofs. Alternatively, one could start more traditio-nally with singular and axiomatic homology. Additional chapters are devoted to the geometry of manifolds, cell complexes and fibre bundles. A special feature is the rich supply of nearly 500 exercises and problems. Several sections include topics which have not appeared before in textbooks as well as simplified proofs for some important results. Prerequisites are standard point set topology (as recalled in the first chapter), elementary algebraic notions (modules, tensor product), and some terminology from category theory. The aim of the book is to introduce advanced undergraduate and graduate (masters) students to basic tools, concepts and results of algebraic topology. Sufficient background material from geometry and algebra is included.

20% discount for individual members of the European, American, Australian, Canadian and Swiss Mathematical Societies!

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4

Fliederstrasse 23CH-8092 Zürich, Switzerland

[email protected]

New books published by the

Stanley E. Payne (University of Colorado, Denver, USA), Joseph A. Thas (Ghent University, Belgium)Finite Generalized Quadrangles. Second Edition (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-061-1. 2009. 300 pages. Softcover. 17.0 x 24.0 cm. 44.00 Euro

Generalized quadrangles (GQ) were formally introduced by J. Tits in 1959 in order to describe geometric properties of simple groups of Lie type of rank 2. Since its appearance in 1984, Finite Generalized Quadrangles (FGQ) quickly became the standard reference for finite GQ. It presents the whole story of the subject from the very beginning in a book of modest length. This second edition is essentially a reprint of the first edition. It is a careful rendering into LaTeX of the original, along with an appendix that brings to the attention of the reader those major new results pertaining to GQ, especially in those areas to which the authors of this work have made a contribution. The first edition being out of print for many years, the new edition makes again available this classical reference in the rapidly increasing field of finite geometries.

Page 75: Entrega de premis del XIV Cangur - Societat …mis Cangur, amb un nou r`ecord de participaci´o i la pres`encia del president de la Generalitat, que l’aventura d’engrescar vint

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: [email protected] Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de

Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte corrent / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2009 i 2010 son les seguents: 34 euros socis ordinaris, 17 euros socis estudiants imembres de societats amb conveni de reciprocitat, 68 euros institucions, 20 euros EMS i 25 euros RSME,les dues ultimes pagant la quota a traves de la SCM.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.