Enunciados Solucion Primer Parcial Estadistica 2013 1 (1)

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

ESTADISTICA GRUPO O1PRIMER PREVIOJunio 26 de 2013

Nombre:____________________________________________________________Código:___________Grupo:___

Favor entregar la presente hoja junto a la hoja de la solución.

Problema 1. Una reconocida constructora de edificaciones de vivienda, se encuentra interesada en estudiar la estatura de sus empleados que laboran en obra, el objetivo es realizar algunas modificaciones en la ropa de trabajo y los elementos de protección personal. La compañía para estudiar la estatura de sus empleados realiza una toma de datos, entre una muestra representativa de los trabajadores, y contrata a un estudiante de Ingeniería Civil apasionado por el estudio de la estadística para que modele una función de densidad de probabilidad con la estatura como variable aleatoria. Suponga que el estudiante determina la siguiente función de densidad de probabilidad.

f ( x )={a√ x1.57<x ≤1.64b e−x1.64<x≤1.75cx1.75<x ≤1.86 }

a) Si el 56% de los trabajadores tienen una estatura inferior a 1.72 m, y el 72% de los trabajadores una estatura superior a 1.64 m, calcular los valores de las constantes a, b, c y obtener la función de distribución acumulada.

b) Calcule el valor de estatura esperado en los empleados de la constructora.c) Calcule la probabilidad de que la estatura de un empleado elegido al azar se encuentre entre 1.61 y 1.78 m.

Solución:Del enunciado se deduce que:

P ( x<1.72 )=0.56

P ( x>1.64 )=0.72

Planteando las ecuaciones correspondientes se obtiene:

P ( x<1.72 )=0.56=∫1.57

1.64

a√ xdx+∫1.64

1.72

be−x dx

P ( x>1.64 )=0.72=∫1.64

1.75

be− xdx+∫1.75

1.86 cxdx

P (1.57<x≤1.86 )=1=∫1.57

1.64

a√x dx+∫1.64

1.75

be− xdx+∫1.75

1.86 cxdx

Resolviendo las integrales planteadas se obtiene:

0.08868∗a+0.014914∗b=0.56 (1)

0.020206∗b+0.060961∗c=0.72(2)

0.08868∗a+0.020206∗b+0.060961∗c=1(3)

Solucionando el sistema de ecuaciones 3x3.

a=3.15741; b=18.7744 ; c=5.58789

Determinando la función de distribución de probabilidad acumulada,

F ( x )1=∫1.57

x

3.15741∗x12∗dx= 2

3∗3.15741∗x

32│1.57

x =2.10494∗x32−4.14085

F ( x )1=2.10494∗x32−4.14085

F (x)2=∫1.64

x

18.7744∗e−x∗dx+F (1.64)1=−18.7744∗e−x│1.64x +F (1.64)1

F (x)2=−18.7744∗e−x+3.64186+0.28

F (x)2=−18.7744∗e−x+3.92186

F (x)3=∫1.75

x cx∗dx+F(1.75)2=5.58789∗ln x│1.75

x +¿F (1.75)2 ¿

F (x)3=5.58789∗ln x−3.12707+0.659357

F (x)3=5.58789∗ln x−2.46771

Solución a:

F ( x )={0 x≤1.57

2.10494∗x32−4.140851.57< x≤1.64

−18.7744∗e−x+3.921861.64<x≤1.755.58789∗ln|x|−2.467711.75≤ x≤1.86

1x>1.86}

a=3.15741; b=18.7744 ; c=5.58789

Solución b:

E ( x )=μ=∫−∞

∞

xf ( x)

E ( x )=μ=∫1.57

1.64

3.15741∗x∗√x∗dx+∫1.64

1.75

x∗18.7744∗e− xdx+∫1.75

1.86 5.58789x

dx

E ( x )=μ=1.70673[m]Solución c:

P (1.61< x<1.78 )=F (1.78 )−F (1.61)

P (1.61< x<1.78 )=5.58789∗ln1.78−2.46771+18.7744∗e−1.61−3.92186

P (1.61< x<1.78 )=0.585252

Problema 2.Cierto profesor acostumbrado a llegar tarde a clase recibe una llamada de atención del jefe de escuela. El profesor con el fin de acostumbrar a sus estudiantes a llegar temprano, impone a sus estudiantes que ningún estudiante podrá entrar al aula de clase después del profesor, Un estudiante acostumbrado a llegar tarde siempre tiene una disculpa, 10% de las veces que llega tarde se debe al transporte, 25% se debe a que se queda dormido, 40% se debe a su falta de voluntad, 10% a que desayuna tarde. De las veces que llega tarde por motivo del transporte el 35% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante se queda dormido el 15% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante llega tarde por desayunar tarde 60% no alcanza a entrar a clase, de las veces que llega tarde por otros motivos el 70% entra a clase. La hermana del estudiante afirma, si mi hermano no alcanza a entrar a clase la posibilidad que se haya quedado dormido es de 33.1%.a) Calcule el porcentaje de veces en que el estudiante llega tarde y por tanto no alcanza a entrar a clase.b) Si el estudiante desayuna tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que no alcance a entrar a clase?c) Si el estudiante no alcanza a entrar a clase, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tenido problemas con el

transporte?

Solución:Planteando el diagrama de árbol para la situación propuesta en el enunciado:

Del enunciado se sabe que:

P (Se quedadormido |No Entra )=P (Se quedadormido∩No entra)P (No entra)

=0.331

Del diagrama de árbol se

0.331= 0.25∗0.850.1∗0.65+0.25∗0.85+0.40∗(1−p )+0.1∗0.6+0.15∗0.3

p=0.351265Solución a:

P ((A))=0.1∗0.65+0.25∗0.85+0.4∗0.648735+0.1∗0.6+0.15∗0.3

P ((A))=0.641994Solución b:

P ((B))=P (NoEntra |Desayuna tarde )=P(Noentra∩Desayuna tarde)P (Desayunatarde )

=0.1∗0.60.1

P ((B))=0.600000

Solución c:

P ((C ))=P (Transporte |No Entra )=P(Transporte∩Noentra)P(No entra)

= 0.1∗0.650.641994

P ((C ))=0.101247Problema 3.En un estudio sobre la falla de estructuras de pavimento se tienen los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia:

A={Fallaen la carpetaasfáltica }

B= {Falla unacapagranular }

C={Falla enla subrasante }

p (A )=0.265000; p (B|A )=0.0943396; p (B|A' )=0.408163; p (C|A∩B )=0.400000

p (C|A '∩B )=0.533333; p (C|A ∩B ' )=0.916667 ; p (C|A '∩B' )=0.804598a) Calcule la probabilidad de que falle la carpeta asfáltica dado que hubo fallas en la subrasante y en la capa

granular.b) Calcule la probabilidad de que se presente falla únicamente en la carpeta asfáltica.c) Calcule la probabilidad de que fallen la subrasante y la carpeta asfáltica pero no la capa granular.

Solución:Con la aplicación del diagrama de Venn se obtiene:

Planteando el sistema de ecuaciones de acuerdo a las condiciones del enunciado.

P (A )=0.265000=K+L+N+T (1)

P (B | A )= P(A∩B)P(A)

=0.0943396= L+T0.265000

(2)

P (B | A´ )= P(A ´∩B)P(A ´ )

=0.4081630= M+P1−0.265000

(3)

P (C |A∩B )=P (A∩B∩C)P (A ∩B)

=0.400000= TL+T

(4 )

P (C |A ´∩B )=P(A ´∩B∩C)P (A ´∩B)

=0.533333= PM+P

(5)

P (C |A∩B´ )=P(A∩B´∩C)P (A ∩B´ )

=0.916667= NK+N

(6)

P (C |A´∩B ´ )=P(A´∩B´∩C)P (A ´∩B ´)

=0.804598= QQ+W

(7)

K+L+N+T +P+Q+W+M=1(8)

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 8x8

T=0.01 ;W=0.085; K=0.02 ; L=0.015 ;M=0.12 ; N=0.22 ; P=0.16 ;Q=0.35

Solución a:

p ((A))=P(A∩B∩C)P(B∩C )

= TT+P

= 0.010.01+0.16

=0.058824

p ((A))=0.058824Solución b:

P ((B))=K=0.02

P ((B))=0.020000

Solución c:P ((C ))=N=0.22

P ((C ))=0.220000

Seguridad y concentración


ESTADISTICA GRUPO H1PRIMER PREVIOJunio 26 de 2013



Problema 1. Para un experimento estadístico se cuenta con una moneda y las tres urnas A, B y C, La urna A contiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras, la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 bolas negras, la urna C contiene 12 bolas rojas y 5 bolas negras. Se lanza la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna A y en seguida una bola de la urna B, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna C. En el caso de obtener un sello en la moneda se extrae una bola de la urna B y en seguida una bola de la urna C, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna A. Para finalizar el experimento se lanza nuevamente la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna C y en el caso de obtener un sello se extrae una bola de la urna B.a) Calcular la probabilidad de que en las extracciones realizadas las bolas sean del mismo color.b) Calcular la probabilidad de obtener la serie: una cara en el primer lanzamiento de la moneda, extraer una bola

negra en la urna A, extraer una bola roja en la urna B, obtener una cara en el segundo lanzamiento de la moneda y extraer una bola negra en la urna C.

c) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean extraídas en el orden roja - negra - roja.

Solución a:

p (A )= 52361201552

=0.259789

p (A )=0.259789

Solución b:

p (B )= 351482

=0.023617

p (B )=0.023617

Solución c:

p (C )= 69229604656

=0.114493

p (C )=0.114493

Problema 2.Un ingeniero residente de obra afirma, con base en su experiencia y trayectoria, que de los accidentes que se producen en obra por falta del uso de elementos de protección personal, el 40% se dan por la falta de guantes, el 20% se dan por falta de botas, el 10% por falta de casco, el 10% por falta de gafas. De los accidentes causados por falta de guantes el 15% terminan en hospitalización, por falta de botas el 95% de los casos no terminan en hospitalización, para los accidentes por falta de cascos el porcentaje de individuos no hospitalizados corresponde al 75%, el ingeniero recalca que en los casos de otros tipos de accidentes el 95% no terminan en hospitalización. El médico del centro de salud más cercano a la obra, afirma que si un paciente es hospitalizado la probabilidad de que el accidente haya ocurrido por falta de gafas es de 12.3%.a) Calcule el porcentaje de trabajadores que son hospitalizados a casusa de un accidente por falta de elementos de

protección.b) Calcule la probabilidad de que si un individuo es hospitalizado sea a causa de la falta de botas.c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea hospitalizado dado que el accidente se produjo por la falta de

guantes?

Solución:Del enunciado es posible elaborar el siguiente diagrama de árbol,

Del enunciado es posible obtener la siguiente probabilidad,

p (Gafas |Hospitalización )= p (Gafas∩Hospitalización)P(Hospitalización)

=0.123000

0.123= (0.10)( p)(0.4 ) (0.15 )+(0.2 ) (0.05 )+(0.10 ) (0.25 )+(0.10 ) ( p )+(0.20)(0.05)

p=0.147263

1−p=0.852737Solución a:

p ((A))=(0.4 ) (0.15 )+(0.2 ) (0.05 )+ (0.1 ) (0.25 )+(0.10)(0.147263)

p (A )=0.1097263Solución b:

p ((B))=p (Botas |Hospitalización )= p (Botas∩Hospitalización)P(Hospitalización)

=(0.2)(0.05)0.119726

p ((B))=0.083524Solución c:

p ((C ))=p (Hospitalización |Guantes )= p (Guantes∩Hospitalización)P (Guantes)

=(0.4)(0.15)

(0.4)

p ((B))=0.150000

Problema 3.Un estudiante de ingeniería civil debe recorrer todos los días un trayecto considerable desde su casa hasta el lugar en el que se encuentra la universidad, el estudiante dispone de dos horas para almorzar, tiempo que es insuficiente para ir hasta su casa, por esta razón el estudiante compra el almuerzo en la cafetería de la universidad. El tiempo que el estudiante ha utilizado para esperar su almuerzo lo ha dedicado a modelar la siguiente función de distribución acumulada, donde la variable aleatoria es el tiempo de espera en la cafetería en minutos, el estudiante afirma que no espera un tiempo superior a 30 minutos pues de darse el caso prefiere quedarse sin almorzar.

F ( x )={0 x≤0

a (1−e− x )0<x≤10

bln| x10|+a (1−e−10 )10<x ≤21

cln|x+526 |+bln|2110|+a (1−e−10 )21<x ≤30

1x>30}

a) Obtener la función de densidad de probabilidad y el valor de las constantes a, b y c.b) Calcular el tiempo más probable que el estudiante tendrá que esperar para que le sirvan su almuerzo.c) Calcular la probabilidad de que el estudiante tenga que esperar en la fila a lo más un tiempo de 19 minutos.

Solución:Se sabe que:

Me=16

p ( x<15 )=0.45

Se plantean las ecuaciones para despejar las constantes a, b y c.

cln|30+526 |+bln|2110|+a (1−e−10 )=1

bln|1610|+a (1−e−10 )=0.50

bln|1510|+a (1−e−10 )=0.45

Solucionando el sistema de ecuaciones:

a=0.13588 ;b=0.774731; c=0.973332

Derivando la función de distribución acumulada con el objetivo de obtener la función de masa de probabilidad.

f (x)3=∂∂ x (cln|x+526 |+bln|2110|+a (1−e−10 ))

f (x)3=c

x+5

f (x)2=∂∂ x (bln| x

10|+a (1−e−10 ))f (x)2=

bx

f (x)1=∂∂ x

(a (1−e−x ))

f (x)1=ae−x

Solución a:

f ( x )={0.13588 e− x0<x ≤10

0.774731x

10<x≤21

0.973332x+5

21< x≤30 }a=0.13588 ;b=0.774731; c=0.973332

Solución b:

E ( x )=μ∫−∞

∞

xf (x)

E ( x )=μ=∫0

10

0.13588 e−x xdx+∫10

21 0.774731x

x dx+∫21

30 0.973332x+5

xdx

E ( x )=μ=15.9712[minutos ]Solución c:

p ( x<19 )=F (19 )=0.973332 ln|19+526 |+0.774731 ln|2110|+0.13588 (1−e−10 )

p ( x<19 )=0.633138



ESTADISTICA GRUPO K1PRIMER PREVIOJunio 26 de 2013



Problema 1.En un grupo de investigación laboran, Estudiantes de Ingeniería Civil, con una gran de dedicación y sentido del deber, situación que tiene como consecuencia la alta ocupación de los seis equipos informáticos disponibles para trabajar, uno de los estudiantes interesado en el arduo trabajo estudia el número de equipos disponibles a determinada hora del día, para el estudio realiza una toma de datos en la sala de informática durante varios días y finalmente obtiene la siguiente función de masa de probabilidad acumulada.

F ( x )={0x<0

a0≤ x<10.701≤ x<2b2≤ x<30.883≤x<4c 4≤ x<50.975≤ x<61.00 x≥6

}Se sabe que:

E ( x )=μ=1.26 ; p ( x≤2 )=0.80; p (2≤x ≤4 )=0.24

a) Obtener los valores de las constantes a, b y c además de la función de masa de probabilidad.b) Calcular la probabilidad de que se encuentren disponibles entre dos y cinco computadores, inclusive.c) Calcular el coeficiente de asimetría para el número de computadores disponibles.

Solución a:

x P(x )0 a=a1 0.70−a=0.70−a2 b−0.70=b−0.703 0.88−b=0.88−b4 c−0.88=c−0.885 0.97−c=c−0.976 1.00−0.97=0.03

De acuerdo a las condiciones dadas se platean las siguientes ecuaciones:

E ( x )=μ=1.26=(0 ) (a )+(0.70−a ) (1 )+ (b−0.70 ) (2 )+ (0.88−b ) (3 )+ (c−0.88 ) (4 )+(0.97−c ) (5 )+(0.03)(6)

p ( x≤2 )=0.80=a+0.70−a+b−0.70

p (2≤ x≤4 )=0.24=b−0.70+0.88−b+c−0.88

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

a=0.45 ;b=0.80 ;c=0.94

Remplazando los valores es posible obtener la función de masa de probabilidad.

x 0 1 2 3 4 5 6p(x ) 0.45 0.25 0.10 0.08 0.06 0.03 0.03

Solución b:p (2≤ x≤5 )=p ( x=2 )+ p ( x=3 )+ p ( x=4 )+ p(x=5)

p (2≤ x≤5 )=0.10+0.08+0.06+0.03

p (2≤ x≤5 )=0.27

Solución c:

g1=∑ ( x−μ )3 p(x)

σ3

E ( x )=μ=1.26

σ 2=∑ ( x−μ )2 p (x)

σ 2=(0−1.26 )2 (0.45 )+ (1−1.26 )2 (0.25 )+(2−1.26 )2 (0.10 )+ (3−1.26 )2 (0.08 )+(4−1.26 )2 (0.06 )+ (5−1.26 )2 (0.03 )+(6−1.26 )2 (0.03 )=2.5724

σ=1.60387

g1=(0−1.26 )3 (0.45 )+ (1−1.26 )3 (0.25 )+(2−1.26 )3 (0.10 )+(3−1.26 )3 (0.08 )+¿ (4−1.26 )3 (0.06 )+ (5−1.26 )3 (0.03 )+ (6−1.26 )3 (0.03 )

1.603873

g1=1.346638

Problema 2.En un depósito de materiales de construcción, se lleva un riguroso balance de los productos cotizados, el propietario afirma que el 45% de los materiales cotizados son concretos, el 25% aceros, el 15% tuberías y accesorios, 5% ladrillos. De las cotizaciones de concreto el 20% se convierten en ventas, de las cotizaciones de acero el 75% nunca llegan a convertirse en ventas, las cotizaciones que de tuberías y accesorios que se convierten en ventas son el 60%. Se sabe que si se realiza una venta la probabilidad de que sea acero es de 21.4%, si una cotización no se convierte en venta la probabilidad de que el material involucrado sea diferente de concreto, acero, tuberías, accesorios y ladrillos es de 9.18%.a) Calcule el porcentaje de veces que el depósito de materiales de construcción logra convertir una cotización en

una venta.b) Si se realiza una cotización de concretos, calcule la probabilidad de que se logre una venta.c) Si se logra una venta, calcule la probabilidad de que sean ladrillos.

De acuerdo a las condiciones suministradas se plantea las ecuaciones que se muestran a continuación.

p (Acero |Venta )=0.214= p(Acero∩Venta)p(Venta)

0.214= (0.25)(0.25)(0.45 ) (0.2 )+ (0.25 ) (0.25 )+(0.15 ) (0.6 )+(0.05 ) ( p )+(0.10)(q)

(1)

p (Otros |No venta )=0.0918= p (Otros∩NoVenta)p(NoVenta)

0.0918= (0.10)(1−q)(0.45 ) (0.8 )+ (0.25 ) (0.75 )+(0.15 ) (0.4 )+(0.05 ) (1−p )+(0.10)(1−q)

p=0.290907

1− p=0.709093

q=0.350107

1−q=0.649893Solución a:

p (A )=(0.45 ) (0.2 )+(0.25 ) (0.25 )+ (0.15 ) (0.6 )+ (0.05 ) (0.290907 )+(0.10)(0.360107)

p (A )=0.292056

Solución b:

p (B )= p (Venta |Concreto )= p (Venta∩Concreto)p(Concreto)

=(0.2)(0.45)

(0.45)

p (B )=0.200000Solución c:

p (C )=p (Ladrillos |Venta )= p(Ladrillos∩Venta)p(Venta)

p (C )= (0.5)(0.290709)(0.45 ) (0.2 )+(0.25 ) (0.25 )+ (0.15 ) (0.6 )+(0.05 ) (0.290709 )+(0.1)(0.350107)

p (C )=0.049803

Problema 3.Un sistema de canalización de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como se presentan en la figura.

Cada compuerta se abre al azar dejando pasar agua (si está abierta) o impidiéndolo. Suponga las probabilidades siguientes:

P (I abierta )=P (II abierta )=P ( IV abierta )=0.55 ;P ( III abierta )=0.36

P (I cerrada , II abierta )=P (I abierta , IV cerrada )=P ( I cerrada , III abierta )=0.2

P (II abierta , IV abierta )=0.35 ; P ( III abierta , IV cerrada )=0.26

P (II abierta , III abierta )=0

P (I o II o IV abierta )=0.85 ; P ( I o III o IV abierta )=0.87

Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto A llegue a B.

Solución:

p= (1−0.45 ) (1−0.4 52 ) (1−0.54 )=0.157905

p=0.157905


Enunciados Solucion Primer Parcial Estadistica 2013 1 (1)

Documents

Transcript of Enunciados Solucion Primer Parcial Estadistica 2013 1 (1)