I . - 1

ENUNIVERSIDAD AUTCINOMA METROPOLITANA Cara a k r i a al ipmp~ UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería

M A T E W A T I C A S

PROBLEMAS RESUELTOS

JORGE ESQLIIVEL ROBLES

I11

04051110007.90

M A T E M A T I C A S I11

PROBLEMAS RESUELTOS

JORGE ESQUIVEL ROBLES

REVISORES:

MECANOGRAFIA:

ROSA OBDULIA GONZALEZ ROBLES

FELIPE PEREDO RODRIGUEZ

CONSUELO DIAZ TORRES

M. BEATRIZ ARCE VARGAS

M A T E M A T I C A S

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

COORDINO LA REALIZACION Y CONTENIDO DE ESTE MATERIAI. DIDACTICO: ROSA OBDULIA GONZALEZ ROBLES

[ N D I C E

INTRODUCCION ........................................................ 1

TEMA I: MATRICES

1.1. OPERACIONES .......................................... 2

1.2. DETERMINANTES ........................................ 15

TEMA 11: SISTEMAS DE ECUACIONES ..................................... 17

TEMA I I I : APLICACIONES .............................................. 37

BIBLIOGRAFIA ........................................................ 59

I N T R O D U C C I O N

1 .

El presente problemarío se ha elaborado con el fin de que, tanto profesores como alumnos del curso Matemáticas I l l para CSH, t e p -

gan a su alcance problemas resueltos de tipo numérico y de aplicación

a las Ciencias Sociales.

Se pretende que el alumno estudie y siga los procedimientos

de solución de los problemas, los cuales no sustituyen a los cursos,

sino son solamente un complemento didáctico.

Las personas involucradas en la elaboración de este trabajo

agradecen a los alumnos de la UAM-I su aportación, en el sentido de

motivarnos con preguntas y sugerencias, y a la UAM su apoyo y fac; l i - dades.

Agradecemos a la Sra. Beatriz Arce por la mecanografía de

este trabajo, así como las sugerencias y correcciones de redacción.

i ) Para las matrices

3A - 28 =

a) 2A + 38 b) 3A - 28

- - 3 -8

-14

1 0 2

A = -2 1 3 I 1 o - 3

SOLUCION: a) 2A + 38 -

dadas, encon t ra r :

3 4

4 -3

-3 4

2A + 38 =

0 =

-5 2

2] = [ -4 2

5

8 - 7

4 -3

2.

9 12 - 1 5 12 - 9 6

- g 12 15

b) 3 A - 28

2) Dadas las siguientes matrices, llevar a cabo las operaciones que se

indican.

A + B =

A =

r

3 1 5 2 1 3

- 1 -2 o

3 1 5 2

2 1 3 0

- 1 -2 o 4

SOLUC I ON :

B =

o 4 -1 61

- 1 2 1 0

5 3 - 8 3 O 4 - 1 6

2 3 6 2

7 4 - 5 3 - 1 2 -1 10

NOTA: Es claro que A+B = B+A, es decir, la

3+(-1) 1+2 5+1 2+0

5+2 3+1 3+(-8) 0+3]

( - 1 ) + O (-2)+4 0+(-1) 4+6

suma de matrices es conmutable.

b) A+C esta operación no es posible llevarla a cabo porque el crden de

las matrices es distinto.

A ( 3x4) . . . C (2x3)

U A I

c) A-B esta operación no es posible llevarla a cabo porque el número

de columnas de A es distinto a l número de filas de B. Es decir

d) C-A: C(2X3) A(3X4) estas matrices son conformables para la multi-

plicación, ya que el número de columnas de la primera es igual al número

de filas de la segunda. Además la matriz resultante sería de (2x4) número

Ifl

de filas de la primera por número de columnas de la segunda.

[: : ; :j 1-1 -2 o 4

6(1)+4(1)+1(-2)

3 ( 1 )+2 ( 1 +0(-2)

M N 7 A

e) A-C: Este producto no es conformable ya que A(3X4)

te ejemplo vemos que en general A - C # C - A , es decir el producto de ma-

trices no es conmutable.

Vemos que A.C # C-A es decir el producto de matrices no es conmutable en general.

C(2X3). Con es- L5-I

3) indican

Dadas las siguientes matrices, llevar s cabo las operaciones que si'

1 5

5 O

- 5-

A = [ 2 1 3 51. H = [ 3 1 o -11

SOLUC I ON :

a) A.Bt A ( l X 4 ) B t ( 4 X 1 ) resultado ( 1 x 1 ) u

5 3 9 2 1 3

O 0 0

- 2 - 1 -3

3 1 1 3 1 ! 2 1 " '

- 2 -1 3 O L U t4 N A S

d) B-C' B ( l X 4 ) Ct(4X3) resultado (1x3) I = I

C O

U M

L [3 1 0 -11

t NOTA: Debe quedar claro que si se tiene una matriz D(mxn) entonces D (nxm),

es decir al transponer una matriz el orden de la misma se intercambia por-

que recordemos que las filas se convierten en columnas y las columnas en

f i l a s .

--1 - 2 2

= [-4 - 1 0 31 o 3 1

2 - 1

- 3 3 4

e> + B~

NOTA: Observemos que en e) y f) obtuvimos los mismos resultados ya que

t t ( A + B ) t = A + B .

7.

1

1564.75 161 7.55 1430.22 1435.50 720. SO 753 * 77 764.77 715.00 500.72 500.72 515.35 51 7.55

1839.86 1650.44 1817.47 1839.86 242.00 253.00 236.50 253.00

s =

I 4

4) Se analizó el precio de 5 artículos en 4 tiendas diferentes obtenitAri-

dose la siguiente información:

TABLA DE PRECIOS Tienda: AURRERA G I GAN TE CON AS UP O TIENDA

ART I CULO

ART. 1 1422.50 1470.50 1300.20 1305.00

ART. 2 655.00 685.25 695.25 650.00

ART. 3 455.20 455.20 468.50 470.50

ART. 4 1 672.60 1 500.40 1652.25 1672.60

ART. 5 220.00 230.00 215.00 230.00

Debido a que los cinco artrculos causan IVA, los precios expuestos en la

tabla anterior, no son aquellos que el consumidos debe pagar al adquirir-

los, sino éstos mas su correspondiente impuesto. Por lo cual, calculamos

el I V A de cada producto, representando primero la tabla anterior c m la

s.iguiente matri z

A =

1305.00 650.00 470.50

1 672.60 230.00 I 1422.50 1470.50 1300.20

655.00 685.25 695 25 455.20 455.20 468. 50

1672.60 1500.40 1652.25 220.00 230.ClO 215.00

y multiplicando cada entrada de la matriz A por 0.1, se obtiene la matriz

de i mpues tos :

65.00

23.00 1 1 4 7.05 130.02 130.50 68.52 69.52 45.52 46.85 47.05

1167.26 150.04 165.22 167.26 L 22.00 23.00 21 . S O

I = pl':P el precio total que el consumidor debe pagar se obtiene mediante la suma

de :

S = A + I, donde

8.

ARROZ

HA1 L FRIJOL

5) Un d i s t r i b u i d o r de productos básicos s u r t e a r r o z , maíz y f r i j o l a 2

almacenes. Compra los productos en d i f e r e n t e s regiones y los guarda en

3 bodegas, para después t r a n s p o r t a r l o s a los almacenes. Dicho d i s t r i b u i -

dor desea conocer e l costo d e l t r a n s p o r t e de l a mercancía de cada bodega

a cada almacén.

20 40 O

10 40 1 5

50 30 O

La t a b l a 1 cont iene l a cant idad en tonelada, de cada producto que hay en

cada bodega, y l a t a b l a 2 e l cos to en m i les de pesos de t r a n s p o r t e por

tonelada de cada bodega a cada aimacén.

BODEGA

PRODUCTO I 1 2 3

ALMACEN

BODEGA

4 2

TABLA 1 TABLA 2

Con los datos de l a t a b l a 1 podemos formar l a m a t r i z T de orden 3x3 s i -

gu i ente:

Con los datos de l a t a b l a 2 podemos formar l a m a t r i z P de orden 3x2 que es:

S i mu l t i p l i camos l a cant idad de toneladas de un producto que hay en l a

bodega por e l costo de t r a n s p o r t e de l a bodega i a l almacén j , obtenemos

e l costo de t r a n s p o r t a r dicho producto de l a bodega i a l almacén j.

Por' l o que, si mul t i p l i camos l a m a t r i z T por l a m a t r i z P obtenemos e l cos-

t o de t r a n s p o r t a r e l t o t a l de toneladas de cada producto a cada uno de los

a imacenes.

9.

Nótese que podemos r e a l i z a r e l producto TP, pues estas ma t r i ces son confor-

mables respecto a d icho producto. S i llamamos C=TP, e s t a m a t r i z tendrá

orden 3x2.

Esto es: [i i! l:] [: :] = [ 1 7 0 140 220 2 0 0 1 = C

TP =

4 2 210 340

Hems ob ten ido que, p o r ejemplo, e l costo de t r a n s p o r t a r e l t o t a l de tone-

ladas de a r r o z a l almacén l es de 140 m i l pesos; e l costo de t r a n s p o r t a r

e l t o t a l de maíz a l almacén 1 es de 170 m i l pesos, e t c .

S i sumamos po r columnas los elementos de e s t a m a t r i z C obtendremos el cos-

ta t o t a l de t r a n s p o r t a r toda l a mercancía a cada uno de los almacenes. A s í ,

por ejemplo, para e l almacén 1, e l costo de t r a n s p o r t a r l a mercancía a e s t e

almacén es $ 520,000.00 y pa ra e l almacén 2 es de $ 760,000.00.

S i formamos 2 vectores C1 y Cp, con l a s columnas de l a m a t r i z C, tendríamos:

r 220 1 140 220

= [ 210 1 7 0 1 C2 = [ 2 0 0 1 340

Observe que para estos dos vectores tenemos l a r e l a c i ó n Cl < C2 l o que s i g -

n i f i c a que t r a n s p o r t a r l a mercancía a l almacén 1 r e s u l t a más ba ra to que

t r a n s p o r t a r l a a l almacén 2.

En caso de que e l d i s t r i b u i d o r t u v i e r a que d e c i d i r s i e n v i a r l a mercancía

a l almacén 1 Ó a l 2, los datos a n t e r i o r e s muestran que deber ía d e c i d i r s e

por el almacén 1.

10.

. * 1s 1 5 15

P = 15 20 1 5 20

6 ) E 1 dueño de un puesto de p e r i ó d i c o anota sus ventas semanales del

Uno más Uno como sigue:

LUN. FIAR. MIER. JUEV. V IER. SAB. DOM. 20 31 22 21 16 12 18

Puesto que e l p rec io var ía según e l d í a de l a semana, t i e n e su l i s t a de

prec ios correspond ¡en te :

LUNES $ 15.00 MARTES 15.00 M I E RCOLES 15.00 JUEVES 15.00 VIERNES 20.00 SABADO 15.00 DOM I NGO 20.00

Cada domingo por l a tarde c o n t a b i l i z a sus ingresos por ventas de l Uno más

Uno. S i llamamos:

C = (20, 31, 22, 21, 16, 12, 18)

a l a m a t r i z de orden 1x7 de ventas y

a l a m a t r i z de orden 7x1 de

C P

i nd ica e l ingreso t o t a l de

prec ios e l producto:

= (2270) 1 x1

a venta semanal.

~

1 1 .

7 ) tas de sopa, 2 l a tas de maíz y 4 l a t a s de chícharos; l a señora 6 compró

4, 3, 2 y 5 l a t a s de los mismos productos y l a señora C compró 2, 4, 5

y 3 l a tas de l os mismas a r t í c u l o s . U t i l i z a n métodos m a t r i c i a l e s y la l i s -

t a de prec ios que se da a cont inuación para encontrar l a cant idad t o t a l

que gas t a ron 1 as t r e s personas.

En c i e r t o supermercado, e l señor A compró 3 l a tas de f r i j o l e s , 5 l a -

S OLU C I ON :

1 l a t a de f r i j o l e s $ 0.30 1 l a t a de sopa O. 31

1 l a t a de maíz 0.32

1 l a t a de chícharos 0.33

PERSONA FRIJOLES SOPA MAL2

3 5 2

8 4 3 2

L 2 4 5

A

COSTO F r i j o l e s 0.30 Sopa O. 31 Maíz O. 32 ChÍcharo O. 33

CHI CHAROS

4

5 3

I 1 ’ 11 [ i;i: 1 = 4.41 + 4.42 + 4.43 = $ 13.26

L

$ 13.26 Gastaron las t r e s personas cm t o t a l .

12.

8) Demostrar que l a ecuación de una r e c t a a t ravés de los puntos (x 1' Yl)

y cx y ) e s t á dada por : 2' 2

= o 1

2

SBLUC I ON :

La ecuación de una r e c t a que pasa por los puntos ( x , yl) y (x 2 ' y,) e s t á

dada por 1

Y

y2

y, - y2 x - x

1 2

Y - Y 1 - - x - x

1

x - x - x Y - Y 1 O 1

x - x ( 1 ) O 1 = [ 1 2

1

2 y 1 - y 2 - x

Er. tonces

Y - Y 1 y 1 - y * = x - x x - x

1 2 1

y y 1 - - "I

y q u e d a demostrada l a a f i rmación.

9:i Demostrar que 11' = M si:

1 - x Y Y 2

M = [ x - x y xy

SOLUC I ON :

- XY - XY ( l+xy)2+y(x-x2y) y ( 1 -xy +xy

" 2 = 1: - x * y :j ;Í - x2y ij I (x-x2y) ( l -xy )+xy(x -x2y) y (x -x2y)+ (xy )2

Pero:

( 1 1 ( 1 - x y I 2 + y ( x - x 7 y ) = ( l - x y ) 2 + xy(1-xy) = ( 1 - x y ) ( ( l - x y ) + yx)

a s í ( l - x y ) 2 + y ( x - x 2 y ) = (1 -xy) .

y (1-xy) + xy2 = y-xy 2 + xy2 = y (2)

Entonces M = M ~ .

14.

10) L a s ecuaciones x + x + x = 1 , 2x + x + 2x = O, 3x + 2x + 4x = 1

son ecuaciones simultáneas para determinar las tres incógnitas, x , x , x . 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 1

Demostrar que se pueden escribir como una sóla ecuación matricial.

SOLUC I ON :

Las ecuaciones pueden expresarse matri cialrnente como

Ya ?que efectuando simplemente la multiplicación de las matrices obtenemos

las tres ecuaciones arriba señaladas.

Sin duda, podemos escribir en la misma forma cualquier conjunto de ecua-

ciones lineales en una es el vec-

tor columna formado por las incógnitas.

sola ecuación matricial A S = b, donde

A X + A X +...+ AlnXn = b 1 1 1 12 2 1

A X + A X +...+ A X = b 21 1 22 2 2n n 2

A X + A X +...+ Amn X = bm ml 1 m2 2

Lo Dodemos expresar como:

A 1 2 ::: 1 2n

2 ?

A ... Amn 1 I Aml m2

Hay que hacer notar que el sistema

es d e c i r , tener el mismo número de

de ecuaciones no necesita ser cuadrado,

ecuaciones que de incógnitas.

Calcular io5 determinantes siguientes:

1 0 - 1 o 0 - 1 o 1

- 1 0 1 0 o 1 0 - 1

F + F3 > - 1 -

O 0 0 0 0 - 1 o 1

- 1 0 1 0 o 1 0 - 1

-1 o o 2 0 1 . .

- 1 o o 1

Ya que toda una 1 i nea está compuesta por ceros.

o 1 0 - 1 o 1 0 - 1 o 1

-1 1 o o 1 o o 1 - 1 o

1 1 o -1 o o

F + F3 > 2

5 3 = f + F

I 1 o -1 o

-1 1 2

-1 1 1 = (-1) 1 -1 o

1 1 -1 o 1

O 0 1

- 1 -1 o 3

F - F 1 - -

O 1 0 o 1 -1

- 1 1 o O 0 1 o 1 -1

c) 1 2 3 0 3 2 1 0 2 1 0 3 o 3 2 1

F - F

F - F -- 2 > ( - l ) 4 1

1 2 3 0 3 2 1 0 2 -8 -6 O o 3 2 ( 1 )

- - >

4 F - 3 F

3

= o

1 0 1 o -1 1 o 1 -1 o -1 1

O 2 O 1

E

E's importante hacer notar que en cada paso se logró reducir el tamaño del

de te rm i nan te.

16.

5 8 3 9 6 O 3 - 1 5 8 O 0 - 6 3 1 O 0 0 7 2 O 0 0 0 5

12) Calcular la determinante de las siguientes matrices:

1

e 5 o o O 0 0 5

-13 o o 3 19 o O O 16

Es iwportante hacer notar que el determinante de cualquier matriz triangu-

lar (superior o inferior) es igual al producto de todos los elementos be

su diagonal principal.

= (-13) (19) (16)

kcordemos también que cualquier matriz diagonal es también triangular.

17.

TEMA I i

13) Durante un c i e r t o período de tiempo, una función de costo total está

def in ida por C = MCo + C f , donde t

C = Costo total de manejar un carro t

= Costo de manejar por ki lómetro cO

C f = Costo f i j o tota l

M = Número tota l de ki lómetros recorr idos

S i e l costo to ta l es $ 1,800 a l manejar 6000 kilómetros y $ 2 , 2 5 0 al mane-

jar 9000 ki lómetros, encontrar e l costo f i j o total y e l costo por kilóme-

t m ,

SOLUC I ON :

Las ecuaciones obtenidas a p a r t i r del problema son:

1 ,800 = 6000 Co + C f

2 , 2 5 0 = 9000 Co + C f

en forma matr i c ia l será

Caiculemos l a determinante de l a mat:riz de coef ic ientes

[ 1 = 6000 - 9000 = -3000

Así

[ -9AOO 6000 - ' I 1 -:loo0

por lo tanto

18.

-6000 3000

1800

2250

A s í eí costo por kilómetro es C = - 3 y el costo f i j o total es o 20

Cf = goo

14) Una compañía hace tres inversiones que suman $ 76,000 con t asas de

interés de 5 % , 6% y 10%. La renta anual to ta l por esas tres inversiones

es de $ 5,000. La renta por la inversión al 10% es de $ 1,000 menos que

la percibida por las otras dos combinadas. Encontrar la cantidad de cada

i n ve rs i ón .

SOLUC I ON :

x =I Cantidad

x = Cantidad 1

2

Ón No. 1

ón No. 2

x = Cantidad inversión No. 3 3

nve rs

nve rs

De io dicho arriba se establecen les siguientes ecuaciones.

x = 76,000

0 . 0 5 ~ + 0.06~ .t 0 . 1 ~ = 5,000

x + x 4- 1 2 3

1 2 3 0 . 1 ~ = 0.05~ + 0 . 0 6 ~ - 1000

3 1 2

x + x = 76,000 x + x + x = 76,000

0 . 0 5 ~ + 0.06~ + 0 . 1 ~ = 5,000 Ó 5x + 6x + 1 0 ~ = 500,00@

0.05~ + 0.06~ - 0 . i ~ = 1,000 5x + 6~ - I O X = IOO,OOO

3 - 3 1 2 3 1

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

x +

En forma rnatricial

[ 5 6 1 q 6 -IO

Ob tenemos p r i me ro de tA

1 1 1 5 6 10 5 6 -IO

76000

100000 [ E: ] = 5 0 ~ 0 0 0 ] representa 6 = b.

3

= (-60-60) - (-50-50) = -120 + 100 = -20

Ahora la matriz de cofactores

2 1 6 -10

6 io

cof = I 1 5 -10 1 1 22

5 10 32

cof 1 3 = I ;

O 1 -120 100

16 - is - 1 4 - 5 1 1

- 1 COFt 1 A = - = - detA -20

por lo tanto

-120 16 76000 [ !l ]= -& [ 1:O 11: -: 500000 100000

3

F i na 1 men te

r -72000 1 -

- -20 i -40000 - 4OOQO

son los respectivos montos de cada inversión.

is) El número total de propietarios en los distritos A, 6 y C es de

140,000. Cada propietario debe pagar un impuesto anual de $ 70., $ 60. y

$ 80. respectivamente. Esto produce un impuesto total de 10,000,000. Otro

impuesto de $ S O . , $ 20. y $ 30., respectivamente proporciona a la Teso-

rería un impuesto total de 4,600,OOCi. Encontrar el número de propietarios

en cada uno de los distritos.

Sea x = Número de propietar

x = Número de propietar

x = NÚmero de propietar

a

b

C

Entonces tenemos que :

matr i ci a 1 men te

os del distr

os del distr

os del distr

to A

to B to c

x + x + x = 140,000

70x a + 60xb + 80xc = 10,000,000

SOX, + 20x + 3Ox = 4,600,000

a b C

b C

1 140,000

10,000,000

4,600,000

Resolveremos el sistema por el método de Gauss. Formamos la matriz amplia-

da.

1 40,000 1 1 1 ( 1 ) 1 1 1'+O,OOO F .-7oF 70 60 80 10,000,000 -- > O -10 10 200,000

O -30 -20 -2,400,000 IF: ,OF: [

50 20 30 4,600,000

22.

1 1 1 1 4 0 , 0 0 0

-> [ o - 1 0 10 2 0 0 , 0 0 0 F - 3 F 3 2 O O - 5 0 - 3 , 0 0 0 , 0 0 0

de donde o b t e n e m o s q u e :

- 50xc = -3,000,000 a s í xc = 60,000

- l o x + l o x c = 200,000 sust i tuyendo e l valor conocido tenemos

- l oxb + lO(60,OOO) = 200,000 y xb = 40,000 y b

x + x + x = 140,000 sust i tuyendo y despejando a b c

x = 140,000 - 60,000 - 40,000; xa = 40,000 a

que son el número de p r o p i e t a r i o s en cada d i s t r i t o .

23.

16) Los b o l e t o s p a r a una f u n c i ó n u n i v e r s i t a r i a cuestan S 5.00 pa ra

e s t u d i a n t e s , $ 10.00 pa ra p r o f e s o r e s y $ 15.00 para el p ú b l i c o . A s i s t i e -

ron 500 personas, pagando un t o t a l de $ 3,750.00 pa ra l a admis ión. S i

hubo s i e t e veces mas b o l e t o s vendidos pa ra e s t u d i a n t e s que para p r o f e -

sores. Encon t ra r e l nÚmero de b o l e t o s vendidos de cada t i p o .

SOLUC I ON :

Sea x = Número de b o l e t o s pa ra e s t u d i a n t e s 1

2

3

x = Número de b o l e t o s para p ro feso res

x = Número de b o l e t o s p a r a o t r a s personas

Del enunciado obtenemos que

x + x + x = 500 5x’ + lox2 + 15x3 = 3,750

2 x3 = 7x 1

1 2

Eq u i va 1 en temen t e

x + X + X = 500

5x + iOx + 15x = 3,750 1 2 3

1 2 3

x - 7x 1 2

En ‘forma m a t r i c i a l

= o

Resolveremos e l s is tema p o r e l Método de Gauss-Jordan; formamos la ma-

t r i z amp1 i ada :

24.

o - 1 1 0 0 350

o o ( 1 ) 100 O 0 1 1 O0 50 I F I (15 ) 3

De la Última matriz equivalente obtenemos que:

x = 350

x = 50

x = 100

1

2

3

que son el número de boletos que se vendieros para alumnos, profesores

y personas en general, respectivamente.

17) Encontrar las cantidades de cada uno de los tres alimentos dados que

proporcionarán los requerimientos mínimos diarios de una persona, según se

especifica en la Última columna de la tabla (la cantidad dada para cada

alimento está en gramos por kilo).

REQUERI M I ENTO i l I t i 1MO DIARIO A B C AL I MENTO

V I T A M I N A

TIAMINA O. 3 o. 1 O. 4 1.5 N IAC I NA 100.0 40.0 60.0 440. O HIERRO 1.6 2.2 1.4 10.6

SOLUC I ON :

Con !a información podemos establecer el sistema:

0 . 3 A + 0.1B + 0.4C = 1 . 5

1.6A + 2.2B + 1.4C = 10.6 100. A + 40. B + 60. C = 440.

Podemos escribirlo en un sistema equivalente más fácil de manejar.

3 A + B + 4C = 15 multiplicando por (10) la ecuación

5A + 28 + 3C = 22 dividiendo entre (20) la ecuación

8A + llB + 7C = 5 3 multiplicando por ( 5 ) la ecuación

En fórma matricial

Resolveremos el sistema invirtiendo la matriz de coeficientes, por el mé-

todo de cofactores.

26.

Primero calcularemos el determinante de l a m a t r i z .

Ahora calcularemos l a m a t r i z de cofactores C O F

3+3 3 I 5 :I cof = ( - 1 ) 3+2 = 1; ;I c o f = (-1)

3+1 I: ;I 32 3 3 cclf = ( - 1 )

3 1

c T-19 37 - 5 1 - 1 1 - 1 1 COFL 1

ciet - -88 I N V = - -

A s í , para que e l a l imen to contenga los requcrimentos mínimos, se necesi tan

3 Kg. de A, 2 Kg. de B y 1 Kg. de C.

27.

18) Tres l í n e a s de ensamble A, B y C t r a b a j a n durante 15, 22 y 23 horas

respect ivamente. Se ensamblan t r e s piroductos 1 , M y N en es tas l í n e a s co-

mo s igue : Una un idad de L e s t á en A duran te l hora , en B du ran te 2 boras,

en C duran te 1 hora , una un idad de M e s t á en A du ran te 2 ho ras , en B du-

r a n t e 2 horas, en C duran te 3 horas ; una un idad de N e s t á en A duran te 1

hora, en B duran te 2 horas, en C durante 2 horas. S i l a s l í n e a s se usan

a máxima capacidad, e n c o n t r a r e l número de unidades que es p o s i b l e ensam-

b l a r de cada produc to .

SOLUC I ON :

Sea. x 1 = Número de produc tos t i p o L

x = Número de produc tos t i p o M

x = Número de produc tos t i p o N m

n

A través d e l enunciado obtenemos l a s i g u i e n t e t a b l a :

M N TIPO I LINEA

22 l 5 I 1 2 1 I : 2 2 2

Entonces obtenemos 1 as ecuaci ones :

l x L + 2xm + l x = 15

= 22

=: 2 3

n

n 2XL + 2xm + 2x

I x L + 3xm + 2x n

En forma matricial

28.

Resolveremos el sistema por el método de Gauss. Formarnos la matriz am-

pl iada-

Ya coriseguimos un sistema equivalente al original pero la forma de la ma-

triz de coeficientes es triangular superior, pasamos ahora a la etapa de

sustitución regresiva.

*

De la tercer fila de nuestra Última matriz obtenemos &

2xN = 8 de donde xN = 4

De la segunda f i la obtenemos

-2xM = -8 de donde xM = 4

De la primera fi la obtenemos

x + 2x + XN = 15; L M

susti tuÍmos los valores ya conocidos

x + 2(4) + (4) = 15 y xL = 3 .. L

A s T !a solución a nuestro problema sería:

. w-.

La cantidad que es posible hacer a capacidad máxima será 4 artículos tipo N; 4 artículos tipo M y 3 artículos tipo L.

l g j Tres máquinas A , B, C es tán en operación. A y B junta.; pueden hacer

tin t r a b a j o en - horas; A y C pueden hace r lo en 6 horas; B y C pueden ha-

c e r l o en horas. ¿Cuánto ta rda rá cada máquina en hacer e l t raba jo , s i

lo hace s o l a ?

3 5 2

15

So\ uc i ón :

Se a xA= Parte del t r a b a j o que puede hacer A en una hora

xB= Par te del t r a b a j o que puede hacer B en una hora

xc= Par te del t r a b a j o que puede hacer C en una hora

Entonces tenemos que :

2 x + x = : - A B 3

3 3 T X A + T X B = l

por Gauss-Jordan 4

q X A + - q - X c = 5 5 1 ó X A + xc =: 3

g x B + T X c = l 15

30.

1 O O

* O O 1 1

1 1 1 O 2 / 3 1 1 o r / 3 O 1 1 8 /15 1 ~2 1 1 1 31151

O O 1 I 5/15 3 F t Fi ' O O 2 i0/15 3 i

7 / 1 5

5 / 1 5

C O ~ O A hace 7 / 1 5 del t r a b a j o en una hora; hará todo el t r a b a j o en 1 5 / 7

de hora .

Análogamente B hará e l t r a b a j o en 5 horas y C hará e l t r a b a j o en 3 horas.

20)

minación de Gauss.

Resuelva los s igu ien tes sistemas de ecuaciones, usando e l método ae eli-

1 - 2 3

1 4 - 5

3 3 - 3

a) 2 x + y - 2 2 + 3 ~ = 1

3x + 2 y - z + 2u = 4

3x + 3 y + 32 - 3u = 5

1

5 5

b) 3x + 6y + 1 . 5 2 - 6u + 5w = 2

2 x + 4 y + z - 2 u + 3 w = o

x + 2 y - z + 2 u + w = - 1

5x + I O y + 2.52 - 8~ + 8w = 2

Sol LIC.¡ ón :

a) La matriz aumentada del s istema es :

1 -2 3

3 2 - 1 2 1: 3 3 -3

- 2 F + 3F 2->

4 l 1 - F + F 2 í>

5 1

2 1 - 2 3

o 1 4 - 5 o - 3 -12 15

S i se pasa e s t a m a t r i z aumentada,

t i e n z :

5; 2 > '1 F3 - 3F a

2 1 - 2 3 o 1 4 - 5

O 0 0 0

a l s istema de ecuaciones que representa, se

2x + y - 22 + 3u == 1

ox + y + 4z - 5u == 5 OX + Oy + oz + Ou := 8

que es un sistema s i n so luc ión ya q i i e 13 t e r c e r ecuación de este sistema im-

plica que O = 8, lo cual no puede ser.

b ) La matriz aumentada del sistema e s :

3F - 2F -> 2

-3F + F - 1 3 1

-3F + 5F

3 6 1 . 5 -6 5 2 4 1 -2 3 1 2 - 1 2 1 I 5 io 2.5 -8 8

3 6 1 .5 - 6 5

O O O 6 - 1

o o 4 . 5 -12 2

0 0 0 - 6 1 -

3 6 1 . 5 O 4 F + F O O O 6 - 1 F + F O O O 6 - 1

o o 4.5 o o -3 o o 4 . 5 o o ' 0 0 0 O 0 O , o o o O 0

-> 1 4 2>

F + 2F 3

-2 - - 4

-3 o

L

Pasando e s t a matriz al sistema de ecuaciones que representa, se t iene :

3F - F

3~ + 6y + O Z + O U + 12w = -9 OX + Oy + OZ + 6~ - w = -4

OX + Oy + ~ . S Z + O U + Ow = -3

-3 6 O O 12

O O O 6 - 1

Despe j ando se ob t i ene : u = (w - 4 ) / 6

z = -3/4.5

x = (-9 -6y - ! 2 w ) / 3

O - 0 0 0 0 0

X

- w -

Note Que ¡as variables y y w son libres de tomar c u a l q u i e r valor er. los rea -

l es (un Q4met-o infinizo! y ccmü x y u dependen de e l l a s , entonces tanbiér,

pueden tomar un número i n f i n i t o de v a l o r e s , po r e s t o , p a r a el s i s tema h a y

un núniero i n f i n i t a de so luc iones .

34.

1 1 1 1 1 1 O O F - F

O 0 1 1 l D I = o 1 1 o

21) Mat r i z Inversa y c ) Método de Gauss Jordan.

Resolver e l s igu ien te sistema por a ) Regla de Cramer, b) Método de

1 1 0 0 1 1 0 0

5 0 1 1 0 o o 1 ( 1 )

w + x + y + z = b w + x = 2

X + Y = 3 y + z = 4

En forma m a t r i c i a l

1 1

[ b i] [ I=[ i] rtepresenta:DX - = b

SOLUC I ON :

a) Calculemos pr imero ID1 recordando que los ceros ya ex is ten tes en l a ma-

t r i z nos ahorran mucho t raba jo .

b) Por l a s mismas razones que e l método a n t e r i o r no podemos reso lver e l

sistema por m a t r i z inversa.

c j Método de Gauss-Jordan

Representamos es te s istema en l a forma normal

w + + z = 3 x + ( - 2 ) = - 1

- y - 2 = 4

de donde concluímos que:

w = 3 - z

x = z - 1

y =-4 - z

z = z

A s í l a so luc ión será:

Esto s i g n i f i c a que hay una i n f i n i d a d de soluciones una por cada v a l o r de

z que se escoja. Con es te ejemplo, concluímos que l o s métodos de Cramer y

m a t r i z i nve rsa s ó l o nos son Ú t i l e s cuando e l s istema que se qu ie re reso l -

ver t i e n e so luc ión Única. Cuando e l determinante de l a m a t r i z de c o e f i c i e n -

t e s es cero, hay dos p o s i b i l i d a d e s , hay so luc ión m ú l t i p l e Ó no hay so luc ión;

en estos casos podemos u t i l i z a r e l método de Gauss 8 e l método de Gauss-Jor-

dan para encon t ra r l a s o l u c i ó n Ó saber s i no e x i s t e t a l so luc ión.

22) ( h a compañía invierte ?in t o t a l $ 30,000. parte a l 6% y el r e s t o a i 9 Los Oivídendos anualcs son iguales a to5 que ganaría todo el dinero si PC.-

tuviese invertido a l 7%. Encontrar la cantidad invertida a cada t a sa .

SOLCC I ON :

Sea x l a cantidad invertida al 6% y la cantidad invertida a l 9%, entonces a partir de las condiciones dadas se establece que deben satisfacerse:

x + y = 30,000 0.06~ + 0.09~ = (0.07)(30,000)

lo cual equivale al sistema

x + y = 30,000 (1) 2~ + 3y = 70,000

entonces podemos representar el sistema ( 1 ) como:

A'? - = C

despejando tendremos

- 1 - 1 - ? = A 'C, donde A = [-; 'i] as í

30 O00 20 000 - - x = I-: -;] [70 0001 = [lo ooo]

Esto nos indica que x = 20,000, y = 10,000

AI observar la forma de resolver este problema, vemos que es muy pcdero-

sa y natural l a representación matricial de

adem% que dicho método se podría generalizar a cualquier número de ecua-

ciones, si podemos invertir la matriz de coeficientes.

un sistema de ecuaciooes,

TEMA I l l . 23) Kode lo de i nsumo-Producto.

Supongamos que tenemos un s i s tema económi co formado p o r tres s e c t w

res de p roducc i6n

COMPRAS DEMANDA INTERMEDIA DEMANDA PRODUCCI ON

- VENTAS SECTOR 1 SECTOR 2 SECTOR 3 FtNAL B RUTA

SECTOR 1 600 400 1,400 600 3,000

SECTOR 2 1,500 800 700 1,000 4,000

SECTOR 3 900 2 !, 800 700 2,600 7,000

Esta es una t a b l a de t ransacc iones i n t e r s e c t o r i a l e s , que muestra como se

i n t e r r e l a c i o n a n todas l a s i n d u s t r i a s , en e l s e n t i d o de que cada una ad-

q u i e r e p roduc tos f a b r i c a d o s p o r los demás a f í n de l l e v a r a cabo su pro-

p i o proceso. Por e jemplo, l o s sec to res p r o d u c t i v o s de e s t a t a b l a pueden

s e r : Agropecuar io , I n d u s t r i a y S e r v i c i o s , donde:

Sec tor Se rv i c i o s agrupa: Bancos, Transpor tes de Carga, Transpor te de Pa-

s a j e r o s , Comercios, S e r v i c i o s P r o f e s i o n a l e s d i -

versos, S e r v i c i o s P ú b l i c o s , e t c .

Sec tor I n d u s t r i a l agrupa: i n d u s t r i a T e x t i l , Farmacéutica, Pet roquímica de

Energé t i cos , de A l imentos , de Bebidas, de P l á s t i -

co, de Papel , e t c .

Sec tor Agropecuar io agrupa: Producc ión de H o r t a l i zas , Cereales, Forra:jes,

Ganado Lechero, Ganado Lanar, A v í c o l a , Porc ino ,

e t c .

La p r imera columna de l a t a b l a rep resen ta l a s compras que ha hecho

Sector Agropecuar io , a l o s t r e s sec to res , es d e c i r a l Sec tor Agropecuar io ,

de S e r v i c i o s e I n d u s t r i a l .

e l

La segunda columna, representa l a s compras que ha hecho e l Sec tor de Ser-

v i c i o s , a l o s t r e s sec tores ; ígualmétnte l a t e r c e r columna.

La c u a r t a columna de l a t a b l a rep resen ta l a s compras que l o s consumidores

f i n a l e s e f e c t u a n a l o s sec to res de producc ión . Es ta columna r e c i b e l a

18.

denorn'i nación de demanda final .

En i a Última columna tenemos el valor bruto de la producción de cada sec-

tor; estas cifras se calculan sumando las ventas que cada sector ha hecho

a los demás sectores de la economÍa y a los consumidores finales.

Las unidades físicas en las que se expresan las ventas de un sector a

otro Ó al consumidor final son unidades monetarias. Nos valdremos de esta

tab!a y de algunas operaciones matriciales para responder preguntas tales

como :

Si se ha determinado el incremento en la demanda final que previsiblernen- te owrrirá en el próximo período. & Cuál debe ser el valor de la pro-

ducción bruta de cada sector que se requerirá para satisfacer estas nece-

si dades 7

Supongamos que por alguna razón cualquiera la demanda final del sector

agropecuario se incrementa en 100 unidades.

& Que efecto producirá este incremento de la demanda final en el proceso

productivo 7

intrQduci remos ahora la notación necesaria para sirnbol izar las relaciones

entre producción, demanda intermedia y demanda final, que resultan de la

tabla que estamos considerando.

del sector i , esto es: Con x . se simbolizará la producciór! bruta

I

I

Con yi se representará la demanda final correspondiente al sector i

es :

esto

39.

1 .:::I 2,600

Cori x se representarán las ventas que el sector i ha efectuado al sec-

tor j, esto es: i j

X

X

X

I2

2 2

32 X

600 400 1,400

1,500 800 700 1 i 900 2,800 700

C m la producción bruta de cada sector es igual a la suma de las ventas

a demanda intermedia más las ventas a demanda final, tendremos:

1 1 1 12 1 3

2 21 2 2 2 3

x = x = x + x + x

+ y 2

+ y 3 x = x + x + x

3 3 1 3 2 3 3

o en términos matriciales

X i = I x x X I I 1

X I I 1

Ahora para seguir l a cadena de reacciones directas e indirectas que tien-

den a modificar todo flujo de transacciones intersectoriales debemos ela-

bo;ar una segunda tabla que se conoce con el nombre de matriz de coefi- - cientes técnicos Ó matriz de INSUMO-PRODUCTO. En cada transacción existen

dos 'sectores: el sector que vende y el sector que compra, indicados por

(i,j) respectivamente. Relacionando cada xij (venta del sector i al sec-

tor j) con la producción bruta x del sector comprador, efectuamos el

co c i en te

j X

i j' que define el coeficiente técnico a ij

j X

Cala coeficiente a. representa lo< r e q u e r i n , i e n t o s de I l ~ ~ ~ ~ m ~ ~ 3

i riecesarios para p r o d u c i r una unidad de producto i. I j

Aquí' aceptaremos un supuesto importante. Supondremos que los ,nsirrr,-; L i a ~ c .

venden los sectores oroveedores varían eo la misma prop(:rciÓn e r i qci.

modifica la producción bruta del sector que los adquiera, es decir, esta--

mos admitiendo que los coeficientes técnicos a. son constantes y se t i e -

ne ¡a ecuación x = a X que indica qiie las compras que un seetot- j

efectúa a otro sector cualquiera i, se calcula multipl cando a producci6;i

ij

i j ij j'

bruta de ese sector X por un coeficiente constante a j

Calculando los coeficientes técnicos:

X 2 1 a z -

1 2 1 x

X

6oo 0.2 = 3ooo=

1500 = - = 0.5 3000

a = 0.1 1 2

a = 0.2 2 2

d = 0.7 3 2

Es deci r la matriz de coeficientes técnicos

A = [o:: 0:: 0'3 0.7 o. 1

Si reemplazamos en ( I ) x = a X ij ij j

.. J

a = 0 . 2 1 3

a = 0.1 2 3

a = 0.1 3 3

a X 1 2 2

2 1 1 2 2 2

31 1 32 2

a X

a X a X a X L

a 3 2

c., e_n forma simból i ca 2 = AT( + y - -

Operdndr, sobre la forma simbólica.

- - X - A X = y (1 - A ) se le llama matriz de Leontief.

(I - A > g = y

X = (I - A ) y ........ ( 1 1 )

( I - A ) - ’ inversa de la matriz de Leonticf. - - 1

Como h e m s supuesto que los coeficientes a no varían en un cierto período

de tiempo, nos permite utilizar ( 1 1 ) para determinar el nivel de producción

bruta que se requiera en cada sector para satisfacer la demanda final pre-

vista para el período siguiente.

i j

Erl este ejemplo, supongams que se trata de satisfacer un aumento en Is

demanda final para el próximo período de 400 unidades en el sector agrope-

c i ja r i c , , 200 unidades en el sector ir1 dustrial y 200 unidades en el sector

tic t;rrvicios. ¿ Cuáles deben ser los valores de X , X , X que permitiiáq

saii<faíl?r estos incrementos ? 1 2 3

i r 1.836 0.64,9 - 1 ~

(I - A) = I 1 . 3 5 5 1.8614 0.508

1 1 . 6 6 6 1.666 1.666 1 y quererros una demanda final de

600

2,800

42.

Entonce,: :

r 3,959 1 i ’ ,Ooo l 856 0.649 0.480 1 1 .j’b5 1.864 0.508 1 1 1,200 1 = I 5,014 [ 1.666 1.666 1.666 2 , 800 8,330 J

I-

Lo que significa que para satisfacer la demanda final prevista, de 1OCO

unidadec. de productos agropecuarios, 1200 de productos industriales y

2809 de servicios debe generarse una producción bruta de 3,959 unidades

del sector 1; 5014 unidades en el sector 2 y 8330 unidades en el sector

3.

Si ana1:zams este ejemplo nos daremos cuenta de lo siguiente:

1 ) Es importante la notac

datos, y para corregir

mode los.

ón matricial, para mejor manipulación de los

una representación más compacta de ntiestros

2) Para resolver este pequeño problema fué necesario saber sumar, mul-

tiplicar e invertir matrices, además de conocer el algebra que las

rige.

2 4 ) Considere que en un parque nac iona l se t i e n e n v a r i a s casetas de v i g i -

l a n c i a y se desea i n s t a l a r una red t e l e f ó n i c a de forma t a l que de c u a l q u i e r

caseta haya comunicación a l a s o t r a s (aunque no en forma d i r e c t a ) y l a lon-

g i t u d de l cableado sea mÍnima. A c o n t i n u a c i ó n se representan gra f icamente

l a s casetas y l a d i s t a n c i a e n t r e e i l las .

Un a l g o r ¡ tmo computacional para r e i j o l v e r e s t e problema s e r i a c o n s t r u i r

una m a t r i z en l a que se r e g i s t r a n los v a l o r e s pa ra los arcos f a c t i b l e s y

as igna r un v a l o r muy a l t o pa ra los no f a c t i b l e s .

44.

O A 0

o 1o’O 2 5 A 2 1ol0 2

B 5 2 1o’O

c 4 1o’O 1

D 10” 7 4 1o’O 3

101O l o ’ *

NQDOS

C D E , F - 4 1o’O 1o’O 1o’O

1o’O 7 1o’O 1o’O

1 4 31° 1o’O

1o’O 1o’O 4 1o’O

1o’O 1o’O 1 5 4 , 1 1o’O 7

l o L o 1 5 7 1o1O

Se selecciona cualquier hilera (nodo) como nodo inicial y encontrar cuál

es el elemento menor de esa hilera y observar en qué columna ocurre. Mar-

car las columnas correspondientes a los nodos ya conectados para que pos-

teriormente no participen en la búsqueda. Para tas hi leras correspondien-

tes a los nodos ya conectados encontrar dentro de las columnas de los

no corsectados el valor menor y repetir el proceso hasta que todos los no-

dos hayan sido conectados.

La solución de este problema después de seguir el algoritmo antes

do será:

señala-

D-E-B-C, B-A-O, D-T

con una longitud total de 14.

Algunos problemas de planeación de redes de transporte pueden ser resuel-

tos pcr este procedimiento.

45.

- VOLUMEN DE PRODUCC I ON

E S P E C I E PROG. REAL.

1) Carne (tn) 109766 11 5805.2 2) Leche (mi. I t . ) 839334 763794.2 3) Porcinos 1351 31 142294.5 4) Ovinos 434 110.0

5) Carne (tn.) 2169 2169.4 6) Leche (mi. it.) 40069 40270. O 7) Aves 22216 22249. O 8) FroducciÓn total

de leche (mi. it.) 879403 804064.2 9) Producción de

huevo 104019 126656.0

B OV I NOS :

CAPRI NOS

25) Con el doble propósito de resumir las actividades realizadac. y eva.

luar los resultados obtenidos al cabo de dos años consecutivos (1980-81)

de aplicación del Sistema Alimentario Mexicano en el caso del Estado de

Jai isco, el Subcomité respectivo pub1 icÓ las siguientes tablas de doble

entrada, refer¡ das solamente al Subsector Pecuario:

VALOR DE PRODUCC I ON PROG. . REAL.

5764441 7445360 506841 9 581 5838 7380233 7906234

22525 29502

117967 131840 247167 320516 867366 1030264

531 5586 61 33654

2838781 2722 1 16

AFiO 1,980

PROGRAMA DE PRODUCCI ON PECUARIA

I ON REAL

(000 PESOS)

NOTA: PROG. = PROGRAMADO REAL. = REALIZADO

3023176

1831797 3822921

12677

75045 1 13334 622424

3936255

141 1522

- E S P E C I E

BOVINOS: 1 ) Carne ( t n . ) 2) Leche (mi. it.) 3) Porcinos 4) Ovinos

CAPRI NOS : 5 ) Carne (tn.) 6) Leche (mi. it.) 7) Aves 8) Producción total

9) Producción total de Leche

de Huevo

472786.0 o. o

215300.0 o. o

120.0 o. o

62021 .O

8751 1 .O

o. o

CREDIT0 600 PESOS)

426355. O 0.0

158201. O 0.0

80000. O 0.0

41 229. O

55135.0

0.0

1191 78 946758 1 O991 5

446

2709 2 706 1 23596

97381 9

137205

4731 4 7 1 50680 . 338942 6198006

44 185 6346744 181 57980

1140 162540 9905 163902

10100 1252346

348847 636191 1

55975 2798774

PRODUCC I ON P RODUC

46.

426355.0 ’ 0.0

158201 .O 0.0

80000. O o. o

41 229.0 551 35.0

0.0

Con respec to a e s t a i n fo rmac ión se h i c i e r o n l a s s i g u i e n t e s preguntas :

7 ’

1) L En l o s años 1980 y 1981 a lcanzó e l SAM-Jal i s c o l a s metas f i j a d a s en

v o l o r y volÚmen de producc ión pa ra e l Subsector Pecuar io ?

P =

2) & Cuál es e l volúmen t o t a l de tone ladas de carne de ave produc idas

por e l Estado du ran te e l b i e n i o 1980-1981 ?

- 109766 839334 1351 31

434 2169

40069 222 16

879403 104019

3) L Cuál es e l v a l o r t o t a l de l a p roducc ión de huevo en e l Estado de

J a l i s c o e n l o s años 1980-1981 ?

4) L Cuántos m i l l o n e s de pesos se han dedicado en c r é d i t o a l a p roducc ión

t o t a l de leche y a l a p roducc ión de carne de puerco en d i c h o es tado

durante e l b i e n i o 1980-1981 ?

5 ) & Cuál ha s i d o e l aumento de l a p roducc ión e n toneladas de carne de

cabra durante e l año 1981, respec to a i año a n t e r i o r ?

6) ¿ Cuál ha s i d o e l aumento en m i l e s de m i l l o n e s de pesos d e l v a l o r de

l a p roducc ión de leche de vaca en e l año 1981 ?

7) ¿ Cuántos m i l e s de 1 i t r o s más se f i j a r o n como meta para l a p roducc ión

t o t a l de leche en e l Estado en e l año de 1981, respec to a l año an te-

r i o r ?

Antes de empezar a dar respuesta a l a s preguntas a n t e r i o r e s vamos a d e f i -

n i r l a s t a b l a s de dob le en t rada como l a s m a t r i c e s P y Q, donde:

1 15805.2 763794.2 142294.5

110.0 2169.4

40270. O 22249. O

804064.2 126656. O

5764441 5068419 738023 3

22525

2471 67 867366

531 5586 2838781

1 1 7967

7445360 581 5838 7906234

213502 131 840 32051 6

1030264 6 133654 27221 16

4 7 .

o. o 2 16300. O

o. o 120.0

0.0 62021 . O 8751 1 .O

0.0 ~

Q =

473 14 338942

441 85 181

1140 9905

10100 348847

55975

1 O991 5 446

2 709 2706 1 23596

97381 9 137205

7 1 5068C 6 19 8006 6 3 4 6 74 4

57980 162540 163902

125231+6 6361911 1 2 79 87 74

- 6,039.2

-75,539.8 7 ,'I 63.5

- :j24.0 0. 4

201 .o 33.0

-75,338.8 - 22,637.0 -

302.3 176 382292 1 1831797

12677 75045

1 1 3334 622424

3936255 1411522

Para cada una de las preguntas a n t e r i o r e s se ob tuv ie ron las s igu ien tes

respwes tas :

I ) Tomamos de l a m a t r i z P desde l a p r imera has ta l a q u i n t a columna d e f i -

n iéndolas como l o s vectores (coliumna): V1 has ta V5 respectivamente.

Note que e l vec to r V1 representa los volúmenes de producción de los

d i s t i n t o s productos pecuar ios programados por e l SAM como las metas

a alcanzar .

Análogamente los vectores res tan tes representan, para l o s mismos pro-

ductos :

'J2, los volúmenes de producción alcanzados durante ese año;

V3, l os va lo res de producción f'ijados como meta;

V4, los va lo res de producción rea les , y

V5, el c r é d i t o en m i les de pesos dest inado a c i e r t o s productos espe-

c í f i cos.

S i efectuamos l a d i f e r e n c i a (V2 - V i ) ,

v 2 - v 1 =

los elementos negat ivos, del nuevo vec tor (V2 - V i ) ind ican las cantidades

48.

v4 - v3 =

def i c i tari as para al canzar los respectivos volúmenes de producción pro-

gramados. Por el contrario, aquellos elementos positivos indican las can-

tidades por las que se sobrepasó a los volúmenes de producción fijados.

El elemento que resultó cero, muestra que el volúmen de producción fija- do corn meta coincidió con el volúmen de producción real.

1,680,919.0 747,419.0 526,001.0

6,977. O 13,873.0 73,349.0

162,898.0 81 8,068. O

~ - 116,665.0

De manera análoga, se debe anal izar la diferencia (V4 - V 3 ) ,

- 899141 .O

o. o 374501. O

0.0 80120. o

0.0 103250. O 142646. O

0.0 -

s =

2) , 3 ) y 4) Si real i zams la suma P + Q = S, donde

228944 1786092 245046

8 80 4878

671 30 45812

1853222 241 224

163119.2 12915121 1102736.2 11266425

186479.5 1 3726977 291 .o 80505

3309.4 280507 50175.0 41 1069 32349.0 21 19712

1152911.2 11677497 182631. O 5637555

10468536 9638759 9738031

421 79 206885 433850

1652688 10069909 41 33638

El elemento S es el volúmen total de toneladas de carne de ave producidas por el Estado de Jalisco en el bienio 80-81 que fue igual a:

S72 = 32,349 tone 1 adas.

As; el elemento S = 182,631 toneladas, corresponde al valor total de la

producción de huevo. Por Último,

millones de pesos destinado en crédito a la producción de leche, y , S35 = 374,501,000.00 es el número de mi 1 lones de pesos en crédito desti-

nado a la producción de carne de puerco.

92 = $ 142,646,000.00 es el número de 85

5 ) , 6) y 7 ) Para dar respuesta a e s t o s casos, obtenemos l a d i f e r e n c i a

Q - P = D, donde

D =

941 2 107424

- 25216 12

5 40 - 13008

1380 9441 6

. 33186

- 68491.2 -424852.2 - 98109.5

- 1029.4 - 30365.0 - 12149.0 -45521 7.2 - 70681 .O

71 .o

13,86239 1 1 29587

35455 445 73

- 83265 384980

1 O46325 - 40007

- 1 O33489

-44221 84 - 199291 7 - 607443 7 - 16825 - 56795 - 207182 - 407840 - 2 197399 -1 310594

46431 . O 0.0

58099. O 0.0

-79880.0 o. o

20792. O 32376. O

o. o

E l elemento D = - 1 ,029.4 toneladas nos i n d i c a que no hubo aumento en l a

producción de carne de cabra de u11 año a o t r o , s i n o un decremento corres-

pondiente a l v a l o r D a n t e r i o r .

52

52

E l elemento D24 = - $ 1

e l decremento en e l va

1481, respecto a año

992,917.00 nos muestra, como en e l caso a n t e r i o r ,

o r de l a producción de leche de vaca en e l año

980.

Finalmente,tenemos que e l aumento en m i les de l i t r o s f i j a d o s como meta

en 1981, respecto a l año a n t e r i o r , f ue de 94,416, número correspondiente

a l elemento D81 de l a m a t r i z .

(Datos tomados de: Subcomité SAM-,Estado de J a l i s c o . Enero 1980. Fol l e t o

impreso por e l mismo Subcomité).

50.

A continuación se presentan varios problemas de programaci8n 1 ineal en

dos variables que se resuelven por el método gráfico.

26) Maximi zar &,y) = x + y

2x + 5y < 40 I sujeto a - 4x + y < 20 I I

2x + y < 12 I l l

X , Y ? O

- -

Para resolver este problema necesitamos graficar las desigualdades, para

encontrar la región factible si ésta existe

Podemos escribir las

res t t- i c c i ones como :

I 2 5 y & - - x -

< 20 - 4x y -

Y < 12 - 2x -

I I

I l l

REGION FACT x = o

LJ 'y = o Esta forma de escribir las restricciones nos sirve para saber de que' la-

do de la iinea(s) está la región a graficar.

Sabemos que la solución existe, dado que la región factible no es vacía

y e s t á acotada, además que al menos una solución está en uno de los vér-

tices del polígono que limita l a región factible.

Para conocer el punto donde la función z torna su máximo encontramos los

vértices del polígono (A, B, C, D, E ) y hacemos una tabla en la c u a l ha-

cemos corresponder un vértice y el correspondiente valor que toma la f u n -

ción z en él mismo.

Vértice A de la gráfica: A = (0,8)

Vértice B:lntersectamos la linea y = 8 - - x cony = 12 - 2x es decir

I I I y I

2 5

(-1) 2x + y = 12 OX + 4y = 28 A s Í y = 7 , x = 5/2

por lo tanto B = (5/2, 7)

Vértice C:lntersectamos la línea y = 20 - 4x c o n y = 1 2 - 2 x es decir I I

y I l l

4x + y = 20

por lo tanto C = (4,4)

Vértice D de la gr5fica:D = (5,O)

Vértice E de la gráfica:€ = (0,O)

T A B L A

Entonces en el vertice B = (5/2,7), :z toma s u valor máximo que es 13/2 =

9.5.

Sujeto a

Escribimos l a A 15

3% + y = 1 5 4

3x + 2y = 2 4 En es te caso

3x + y -, 15

3x + 2y > 24

x + 2y > 12

-

-

-

ES t r i cc i ones como :

Y - > is - 3x

y > 12 - -.x 3 2 -

m a - atotada, - - I 3 por i o t a n t o no sabe-

mos s i e x i s t e so luc ión pero en caso de e x i s t i r debe e s t a r en alguno de

los v e r t i c e s (A, 6 , C , 9 ) . En es te caso (en general cuando l a reg ión

fac . t ib le no e s t á acotada) e l procedimiento a segu i r es e l s igu ien te :

a) Asegurarnos de que e x i s t e so luc ión.

Para l o g r a r ésto, graficamos l a func ión que se q u i e r e o p t i m i z a r

z(x,y) = 3x + 5y, haciendo z constante, es d e c i r C = 3x + Sy, con va-

lo res de C cualesquiera, pueden s e r en e s t e caso C = O y C = 40

Para C = O tenemos 3x + 5y = O cuya g r á f i c a es 1 .

Para C = 1 tenems 3x + 5y = 40 cuya g r á f i c a es I I .

Lo que observamos de lo a n t e r i o r es que,cuando z c rece , la r e c t a que ob-

tenemos es p a r a l e l a a las rec tas que se g r a f i c a n con menor v a l o r de z

53 -

y adeniás que éstas se mueven hac ia a r r i b a ; en es te caso lo que nosotros

deseataos es m i n imi zar l a f unc ión z , a s í que debemos encon t ra r una rec-

t a p a r a l e l a a las rectas 3x + 5y = O y 3x + 5y = 40 de t a l forma que,

l a r e c t a buscada toque solo l a f r o n t e r a de l a reg ión f a c t i b l e minimizan-

do e l v a l o r de z, en es te caso es l a r e c t a I I I .

La r e c t a I no s i rve a nuest ros propósi tos ya que no toca l a reg¡ ón fac-

t i b l e , l a r e c t a I 1 toca l a reg ión f a c t i b l e pero no toma e l v a l o r mTnim

de 2 .

Este procedimiento nos asegura que e x i s t e so luc ión (mÍníma) a l a func ión

z(x,y) = 3x + 5y s u j e t a a las r e s t r i c c i o n e s es tab lec idas .

b) En caso de observar que s i e x i s t e soluciÓn, e n c o n t r a r l a haciendo

l a t a b l a de v é r t i c e s y va lores.

Vér t ices:

A = (0,161 B = (2,9) C = (6,3) D = ( 1 2 , O )

Léase problema a n t e r i o r en caso de no saber como obtener los v e r t i c e s .

AsT l a s o l u c i ó n es z = 33 en x = 6 , y = 3.

Observación: Suponiendo que se q u i s i e r a maximi tar es te mismo problema,

debe se r c l a r o que no habrá so luc ión , ya que podemos aumentar e l v a l o r

de z indef in idamente y todas l a s rec tas propuestas tocarán l a reg ión ,

f a c t i b l e .

54.

28) Min imizar z (x , y ) = 20x + 3y

3x + y > 12 su je to a - - X + 3y 6 -

x + 2y < 1 4 - x , y 1 0

Escribimos las r e s t r i c c i o n e s como:

y > 12 - 3x -

-k+y=12 -x + 3 y = 6, 10

5

REG I ON FACTI BLE

O c 5 1 0 D

W é r t i ces :

Como en es te caso l a reg ión f a c t i b l e e s t á acotada, bas ta hacer l a ta -

b!a de v é r t i c e s y va lo res de z pa ra encont ra r l a so luc ión.

55.

T A B L A

Valor de z

69 132 80

2 80

A s ; el m i n i m es 69 y lo toma en x = 3, y = 3.

* Ver problema 26 a) para obtener v é r t i c e s .

56.

29 ) Maximizar z(x ,y) = 6x + 5y

su je to a Y , 1 2

x + 2 y > 4 -

Rest r i cc i ones :

/y = 12

Como l a reg ión f a c t i b l e es no acotada:

Veremos s i e x i s t e so luc ión.

Hacemos z = O y z = 30; entonces, tenemos las rec tas 6x + 5y = O y

6x + 5y = 30, observando que cuando aumentamos e l v a l o r de z l as rectas

se desplazan hac ia l a derecha, y como l a reg ión no e s t á acotada por l a

derecha podemos aumentar indef in idamente e l v a l o r de z siempre tocando

l a reg ión f a c t i b l e , a s í nunca podríamos encontrar un máximo para z , por

l o tan to no e x i s t e so luc ión.

:: Ver problema 27 para exp l i cac ión más amplia.

30 ) Maxirnizar z(x,y) = l o o x + 25y

siJjeto a: 2x + 5y 5 40

4x + y 2 0

2 x + y < 12

x7 Y - > o -

Escribiendo las restricciones comc~:

2 x < 8 - - < 2 0 - 4x Y - < 12 - 2 x Y -

Y - 5

x9 Y - > o

! \

A

5

w

D

Vértices:

A = ( 0 , 8 ) B = (2 /5,7)

Vér t i ces (x ,y )

En es te caso vemos que en los puntos (4,4) y (5,O) es donde la func ión z

toma su v a l o r máximo. Pero es to imp l i ca que todos los puntos que están

en el segmento de r e c t a que une e s t o s dos puntos, son puntos donde z

torna e l máximo, asÍ,hay una i n f i n i d a d de soluciones.

Valor de t

B I B L I OG RAF I A.

111 Matrices, Aplicaciones Matemáticas en Economía y Administración.

A. Kleiman y E. Kleiman Editorial Limusa

I21 Matemática, Aplicaciones a las Ciencias Econbico Administrativos.

M.L. Kovacic

Editorial: Fondo Educativo Interamericano.

131 Operaciones con Matrices, Problemas Aplicados a las Ciencias So-

ciales.

Varios Autores

Departamento de Matemáticas, UAM-lztapalapa.