1.1. 3/133/13

2.2. 1/31/3

3.3. 11/1311/13

4.4. 11/911/9

5.5. indefinidoindefinido

2

22

2 3lim

2 3x

x xx x

1.1. ––1/21/2

2.2. 00

3.3. 1/41/4

4.4. 3/83/8

5.5. indefinidoindefinido

2

20.5

1lim

2 5 3x

xx x

1.1. 0.00.0

2.2. 0.40.4

3.3. 1.01.0

4.4. 2.52.5

5.5. indefinidoindefinido

2

21

1lim

2 5 3x

xx x

Decimos que el límite de f (x) según x se acerca a a

es L ( ) si para todo   0 existe un

  0 tal que f (x)  – L para todo x tal que

0  x – a  .

¿Cómo funciona eso?

Definición Formal de LímiteDefinición Formal de Límite

limx a

f x L

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

2lim 10 3x

x

Por regla (basado en la intuición) el límite debe ser 17. ¿Cómo se demuestra eso por medio de la definición formal?

Hace falta una función:

Ahora para un épsilon positivo arbitrario   0 hay que fabricar un   0 que depende solamente del que hace cumplir la definición.

17

Sea f (x) = 10x – 3

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

2lim 10 3x

x

Para buscar esa   0 comenzamos desde lo deseado.

Al fin debe resultar f (x) – L para todo x tal que 0  x – a  .

Así (10x – 3) – 17 tiene que resultar cuando x –

2  .

Queremos saber de x – 2, ¿qué se puede deducir de eso?

17

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

Al fin tiene que salir (10x – 3) – 17 <

Así 10x – 20 <

¿Qué conexión tiene eso con x – 2?

Al dividir todo por 10 da x – 2 < /10

¿Puede servir /10 como ?

Definir = /10 para ver si cumple la necesidad.

Como > 0, = /10 también es positivo.

Si x – 2 < = /10, entonces

10x – 20 < .

Por lo tanto (10x – 3) – 17 = 10x – 20 <

Así por definición

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

2

lim 10 3x

x

17

Otro Ejemplo de Épsilon DeltaOtro Ejemplo de Épsilon Delta 2

4lim 2 6x

x x

Por las reglas (basados en la intuición) el límite debe ser 30. ¿Cómo se demuestra eso por medio de la definición formal?

Hace falta una función:

Ahora para un épsilon positivo arbitrario   0 hay que fabricar un   0 que depende solamente del que hace cumplir la definición.

30

Sea f (x) = 2x2 + x – 6

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

Para buscar esa   0 comenzamos desde lo deseado.

Al fin debe resultar (2x2 + x – 6) – 30 para todo x cuando 0  x – 4  .

Queremos saber de x – 4  .

Si (2x2 + x – 6) – 30 tiene que resultar menor que , ¿qué se puede deducir de x – 4.

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

Si (2x2 + x – 6) – 30 < , entonces 2x2 + x – 36 <

¿Dónde está x – 4?

¿Qué da 2x2 + x – 36 cuando sustituye 4 por x?

Así se puede factorizar y tener(x – 4) (2x + 9) <

Se puede hacer x – 4 < ó hasta más pequeño, ¿qué se puede hacer con (2x + 9)?

¿Qué se necesita de (2x + 9) y cómo se puede lograr haciendo x muy cercano a 4?

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

Si x está bien cerca a 4, ¿qué se puede deducir del factor 2x + 9?

Debe estar casi 17. ¿Cuán casi necesitamos?

¿Sería suficiente asegurar que 2x + 9 no sobrepasa 20?

¿Cuán cerca a 4 tiene que ser x para asegurar 2x + 9 < 20?

2x + 9 < 20 2(x – 4) + 8 + 9 < 20

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

2(x – 4) + 17 < 20

–20 < 2(x – 4) + 17 < 20

–37 < 2(x – 4) < 3

–18.5 < x – 4 < 1.5

x – 4 < 1.5

Sería suficiente tener x – 4 < 1 para asegurar 2x + 9 < 20

Definir = menor de /20 y 1.

Como y 1 son positivos, > 0.

Si x – 4 < /20 y x – 4 < 1, entonces

2(x – 4) < 2

2x +9 = 2(x – 4) + 17 2(x – 4) + 17 < 2 + 17

2x +9 < 19 x – 42x +9 < /20 (19) <

(2x2 + x – 6) – 30 = (x – 4) (2x + 9) <

Así por definición

Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta

2

4lim 2 6x

x x

30

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