EPV1 T6 Formas Planas
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T6. FORMAS PLANAS. POLÍGONOS
EPV1 . 2009/2010
IES Miguel Ballesteros Viana (Utiel)
José M. Latorre
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LA CIRCUNFERENCIA
Circunferencia : línea curva cerrada en la que todos
sus puntos están a la misma distancia de uno central
al que llamamos centro.
Radio : línea recta que une el centro con cualquier
punto de la circunferencia.
Diámetro : línea recta que une dos puntos de la
circunferencia pasando por el centro.
Recta secante o cuerda : línea recta que une dos
puntos cualquiera de la circunferencia.
Recta tangente : línea recta que sólo tiene un punto
de contacto con la circunferencia.
Círculo : espacio comprendido dentro de
una circunferencia
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CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR 3 PUNTOS
Si trazamos las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera
de una circunferencia, siempre van a cortarse en el centro.
Para trazar una circunferencia que pase por 3 puntos no
alineados procederemos, por tanto, de manera inversa.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Unir los 3 puntos con líneas que
queremos que sean las cuerdas
Trazar las mediatrices de esas 2
cuerdas. Cortan en el centro
Trazar la circunferencia
J. Latorre
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DEFINICIÓN
J. Latorre
¿QUÉ ES UN POLÍGONO?
Es una forma geométrica, plana y cerrada. Formada por segmentos rectos a los que llamamos lados.
Los puntos donde se cortan cada dos lados son los vértices. Por último, la diagonal es el segmento
comprendido entre dos vértices no consecutivos.
CLASIFICACIONES
Los polígonos pueden ser regulares (cuando todos sus lados y ángulos son iguales) e irregulares cuando no lo son.
También se distingue entre inscritos (cuando todos sus vértices están sobre una circunferencia) y
circunscritos (cuando la circunferencia es tangente al polígono).
vértice
regular
diagonal
circunscritoinscrito
irregular(lados desiguales)
lado
irregular(ángulos desiguales)
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TRIÁNGULOS
J. Latorre
DEFINICIÓN
Un triángulo es un polígono de 3 lados. Tiene, por tanto, 3 vértices y 3 ángulos.
Sus 3 ángulos siempre suman 180º.
RECTAS NOTABLES
Son líneas interiores del triángulo con unas determinadas características. Son comunes a todos los
tipos de triángulos y se puede trazar hasta tres diferentes de cada una.
MEDIATRIZ
Mediatriz de uno de los lados.
BISECTRIZ
Bisectriz de uno de los ángulos
ALTURA (“h”)
Perpendicular a un lado
hasta el vértice opuesto.
MEDIANA
Recta que une el punto medio de
un lado con el vértice opuesto
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J. Latorre
CLASIFICACIONES
Existen 2 tipos de clasificación de triángulos: según las medidas de los lados y según los ángulos.
SEGÚN LOS LADOS
SEGÚN LOS ÁNGULOS
EQUILÁTERO
3 lados iguales
ISÓSCELES
2 lados iguales
ESCALENO
3 lados diferentes
ACUTÁNGULO
3 ángulos agudosOBTUSÁNGULO
1 ángulo obtuso
RECTÁNGULO
1 ángulo recto
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TEOREMA DE PITÁGORAS
cateto_a
cateto_b
hipotenusa
“El área de un cuadrado que tiene como
lado la hipotenusa es igual a la suma de
las áreas de los dos cuadrados que
tienen como lados los dos catetos”
O
hipotenusa ² =cateto_a² + cateto_b²
O
Vamos a llamar catetos a cada
lado del triángulo rectángulo
que forman el ángulo recto e
hipotenusa a la línea
inclinada que los une
cateto_a ²cateto_b²
hipotenusa ² =+
J. Latorre
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CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
EQUILÁTERO. A partir del lado
ISÓSCELES. A partir de la base y la altura
Situar el lado del triángulo
altura (h)
base (b)
Trazar dos arcos de radio igual
al lado y centro en cada extremo
Unir los 3 puntos que serán
vértices del triángulo
Situar la base y trazar su
mediatriz. Desde el punto de
corte medimos la altura
base (b)
Unir los extremos de la base y
la altura, vértices del triángulo
altura (h) b
h
J. Latorre
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ESCALENO. A partir de los 3 ladosa
b
c
b a
c
Situar uno de los lados, por
ejemplo, el más largo: a
Trazar dos arcos de radio igual a los otros dos
lados (b y c) y centro en los extremos de a
Como el punto de corte va a ser el
tercer vértice, se ha de unir con los
otros 2
J. Latorre
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CUADRILÁTEROSDEFINICIÓN
Un cuadriláteros es un polígono de 4 lados. Tiene, por tanto, 4 vértices y 4 ángulos.
Sus 4 ángulos siempre suman 360º, pues todo cuadrilátero puede ser dividido en dos triángulos.
RECTAS NOTABLES
Son líneas interiores de los cuadriláteros con unas determinadas características.
Las diagonales son las líneas que
unen dos vértices no consecutivos. Si
son de medidas diferentes las
llamaremos diagonal mayor y
diagonal menor.
La altura es la perpendicular a la base que pasa por el
vértice más alto. Puede coincidir con un lado
La base es el lado (horizontal) sobre el que
apoya el cuadrilátero. Puede haber dos
bases paralelas. Si son diferentes las
llamaremos base mayor y base menor.
J. Latorre
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CLASIFICACIÓN
Vamos a dividir los cuadriláteros en dos grupos:
PARALELOGRAMOSSON AQUELLOS CUADRILÁTEROS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS 2 A 2
Cuadrado
LADOS: 4 iguales
ÁNGULOS: 4 rectos
DIAGONALES: iguales y perpendiculares
Construcción a partir de la base y la altura
Construcción a partir del lado
Rectángulo
LADOS: iguales 2 a 2
ÁNGULOS: 4 rectos
DIAGONALES: iguales
Situar el lado Trazar una perpendicular
por el extremoTrazar 2 arcos con centro en
los extremos y radio el lado
Unir los vértices
Situar la base Trazar una perpendicular
por el extremo
Trazar otra perpendicular
por el otro extremo
Unir los vértices
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Rombo
LADOS: 4 iguales
ÁNGULOS: 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
DIAGONALES: diferentes y perpendiculares
Romboide
LADOS: iguales 2 a 2
ÁNGULOS: 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
DIAGONALES: diferentes y no perpendiculares
Construcción a partir de las 2 diagonales
Construcción a partirde los lados y 1 diagonal
Situar una diagonal y trazar su
mediatriz
Unir vérticesPoner sobre la mediatriz la
distancia de la otra diagonal
Situar un lado y trazar 2 arcos
con centro en los extremos y
radio la diagonal y el otro lado
Trazar 2 arcos con centro en los
extremos de los lados y radio los
lados correspondientes
Cerrar el romboide
diagonal
ba b
a
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NO PARALELOGRAMOSSON AQUELLOS CUADRILÁTEROS QUE NO TIENEN SUS LADOS PARALELOS 2 A 2.
Trapecio Isósceles
LADOS: 2 iguales y 2 diferentes
ÁNGULOS: 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
DIAGONALES: iguales y no perpendiculares
Trapecio Rectángulo
LADOS: diferentes
ÁNGULOS: 2 rectos, 1 agudo y 1 obtuso
DIAGONALES: diferentes y no perpendiculares
Construcción a partir de la base mayor, un lado y la diagonal
Construcción a partir de las bases mayor y menor y la altura
Situar la base mayor Trazar una perpendicular por
un extremo que mida hTrazar una perpendicular a la
altura que mida la base menorCerrar el trapecio
Situar la base mayor Trazar 2 arcos desde el
extremo de la base, de radio
el lado y la diagonal
Repetir la operación desde
el otro extremo de la base Cerrar el trapecio
h
base menor
diagonal lado
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Construcción a partir de los 4 lados y una diagonal
Trapezoide
LADOS: 4 diferentes
ÁNGULOS: 4 diferentes
DIAGONALES: diferentes
J. Latorre
Situar un lado del trapezoide
a
diagonal
c
db
Trazar 2 arcos con centro en
los extremos de a y radio la
diagonal y otro lado, b
Trazar 2 arcos con centro en
los extremos de los lados y
radio c y d
Unir vértices
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POLÍGONOS INSCRITOS
Un polígono inscrito es aquel que tiene sus vértices sobre una circunferencia. Cualquier polígono puede
construirse de esta forma. Para ello necesitaremos dividir la circunferencia en partes iguales.
A continuación, vamos a ver, desde el más sencillo hasta los más complicados, todos los métodos que se
aplican desde el triángulo (3 divisiones) hasta el octógono (8 divisiones).
Cuadrado inscrito
4 divisiones
Octógono inscrito
8 divisiones
J. Latorre
Trazar un diámetro cualquiera Trazar un segundo diámetro
perpendicular al primero
Unir los vértices
Partimos de la construcción
del cuadrado
Dividir los ángulos rectos
en 2 partes iguales
Unir los vértices
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Hexágono inscrito
6 divisiones
Triángulo Equilátero inscrito
3 divisiones
J. Latorre
Hemos de saber que el radio de una
circunferencia la divide en 6 partes iguales
Aplicar el radio 6 veces
sobre la circunferencia
Unir las divisiones
Realizar la misma construcción
que para el hexágono
Unir los vértices adecuadosVamos a necesitar sólo vértices alternos
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Heptágono inscrito
7 divisiones
Pentágono inscrito
5 divisiones
J. Latorre
Trazar 2 diámetros perpendiculares Trazar la mediatriz de un radio.
El punto de corte es MLa distancia desde M hasta la
circunferencia va a ser el lado
Aplicar la medida 7 veces y unir
M
Partimos de la construcción
del heptágono
Trazar un arco con centro en M y radio
hasta A que corta al diámetro en B
M
A
La distancia desde A hasta B va a
ser el lado del pentágono
B
A
B
Aplicar la medida 5
veces y unir
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25. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
1.Dibuja un triángulo obtusángulo e isósceles.
2. Dibuja un triángulo acutángulo que no sea equilátero.
3. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3cm y 4cm y la hipotenusa 5cm.
A partir de él demuestra el Teorema de Pitágoras.
4. Dibuja 4 triángulos equiláteros de 8 cm de lado.
Sobre cada uno trazamos la mediatriz, la bisectriz, la mediana y la altura para comprobar que coinciden.
5. Dibuja 2 triángulos isósceles de base 7cm y altura 8cm. Traza las tres mediatrices a uno de ellos y dos bisectrices al otro.
Para comprobar que coinciden en puntos que son centro de las circunferencias inscrita y circunscrita.
6. Dibuja 1 triángulo escaleno de lados 5cm, 8cm y 10cm. Traza su altura y su mediana.
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26. CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS
1. Dibuja un cuadrado de 5,2 cm de lado.
2. Dibuja un rectángulo de 4,7 cm de base y 3,1 cm de altura.
3. Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 6,3cm y 3,3 cm.
4. Dibuja un romboide de lados 5cm y 3cm y diagonal 7 cm.
5. Dibuja un trapecio isósceles de base mayor 6,5cm, base menor 3,5cm y altura 4cm.
6. Dibuja un trapecio rectángulo de base mayor 6,4cm, base menor 3.8cm y diagonal mayor 7,2cm.
7. Dibuja un trapezoide de lados 8cm, 5cm 7cm, 3,2cm y diagonal 8,8cm.
