EQUILIBRIO DEL MODELO DE EDGEWORTH

En economía, una Caja de Edgeworth o Caja de Edgeworth-Bowley, llamada así en honor a Francis Ysidro Edgeworth y Arthur Lyon Bowley, es un instrumento gráfico utilizado para representar y analizar el intercambio de dos bienes entre dos individuos. Se utiliza con frecuencia en la teoría del equilibrio general y es un recurso para encontrar el equilibrio competitivo de un sistema económico simple. Se utiliza para mostrar la eficiencia en el intercambio. La caja de Edgeworth permite representar las cestas posibles de consumo y las preferencias de dos consumidores, proporcionando una descripción completa de las características económicamente relevantes de ambos.

Edgeworth buscaba mostrar que en condiciones perfectamente competitivas, donde todo individuo está en libertad de celebrar contratos con cualquier otro, donde el número de personas es grande, y esto ocurre independiente de la intervención de terceras partes, entonces dos individuos cualesquiera con una dotación inicial de recursos dada, pueden alcanzar mayores niveles de satisfacción voluntariamente. Este concepto de intercambio sería llevado por Pareto al contexto de equilibrio general.7 Edgeworth reconocía que la contratación no llevaba necesariamente a un único equilibrio competitivo8 sino que las diferencias en la dotación inicial de recursos y de restricciones llevarían a soluciones distintas. La introducción de restricciones a este análisis incluye información imperfecta entre los negociadores, presencia de terceras partes, teoría de juegos, teoría de conjuntos, teoría de la medida, entre otras. William Vickrey introdujo una reformulación del análisis de Edgeworth más riguroso, introdujo el concepto de contrato social. Similarmente, otros economistas han hecho contribuciones de importancia relacionadas con el tema (como Arrow y Debreu).

QUE ES LO QUE REALMENTE REPRESENTA EL MODELO DE EQULIBRIO DE EDGEWORTH?

La caja de Edgeworth, recibe el nombre de su inventor, Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), y es una manera gráfica de representar la distribución potencial de los recursos tomando las curvas de indiferencia de dos individuos. Edgeworth hizo aportes importantes a la teoría económica neoclásica y contribuyó al desarrollo de la estadística económica. La presentación de este tema las hizo en conjunto con las curvas de indiferencia en su libro Mathematical Psychis: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences; Matemáticas psíquicas: Un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales, en 1881.

Aunque fue recibido con indiferencia en su época, fue alabado por Irving Fisher en su tesis doctoral, y ejerció una enorme influencia en Alfred Marshall, quien así lo expresó en sus Principios de Economía, de 1890. Su trabajo fue desarrollado posteriormente por Wilfredo Pareto en 1906 y se popularizó con la exposición de Arthur Bowley. La versión moderna de la figura se conoce comúnmente como la caja de Edgeworth-Bowley. Sobre la caja de Edgeworth y sus propuestas sobre la distribución de los recursos dedicamos este Concepto de Economía.

La caja de Edgeworth es un instrumento gráfico analítico que se utiliza con frecuencia en la teoría del equilibrio general, y que puede ayudar a encontrar el equilibrio competitivo de un sistema simple. Permite representar las dotaciones y las preferencias de dos personas y analizar el proceso de intercambio. Para ello debemos recordar las curvas de indiferencia individuales y que ellas no decían nada sobre la cantidad de recursos. Esta vez, los recursos son fijos (potenciales) y la interacción es entre dos personas (en este caso, Alex y Benjamin) que deben compartir una cantidad fija de los bienes 1 y 2.

La caja de Edgeworth es un diagrama rectangular en el cual Alex y Benjamin (A y B) se ubican en las aristas mientras la medición de los bienes se hace en los ejes. El Bien 1 se mide horizontalmente y el Bien 2 verticalmente. Puede apreciarse que los diagramas de A y

B son idénticos, sólo que uno de ellos se ha invertido para traslaparlo a continuación del otro y conformar la caja. La anchura de la caja es la cantidad total del Bien 1 y su altura es la cantidad total del Bien 2. Por lo tanto, cada posible distribución de los bienes entre las dos personas se puede representar como un punto dentro del cuadro. Se dice que una asignación de los recursos es viable si la cantidad total utilizada de cada bien es igual a la cantidad total disponible. Esto significa:

Cantidad total del Bien 1 = cantidad del Bien 1 de A + cantidad del Bien 1 de B

Lo mismo para el Bien .

En este análisis, se dibujan las curvas de indiferencia para A y B que representan las combinaciones de los bienes 1 y 2 que satisfacen el mismo nivel de utilidad. Recordemos que a lo largo de la curva de indiferencia la utilidad o satisfacción se mantiene constante, sin importar el valor monetario. Y a medida que nos alejamos del origen aumenta el nivel de utilidad. Esto indica que la curva a2 tiene mayor utilidad que la curva a1, que la curva a3 tiene mayor utilidad que la curva a2, etc., idem para las curvas de indiferencia del individuo B.

Un punto que merece especial interés es la asignación correspondiente a la dotación inicial de A y B, que es la asignación de la que parten los consumidores y que se indica en la gráfica con la letra W. Como vemos, en esta dotación inicial están agotados todos los recursos del Bien 1 y del Bien 2. A se ubica en la curva a3 y B está en su curva b2; cada uno consumiendo las cantidades potenciales de los bienes 1 y 2. La pregunta que interesó a Edgeworth y que da motivo al proceso de intercambio es ¿es esta una asignación eficiente?

Observemos las curvas de indiferencia que pasan por la dotación inicial W, a3 y b2. El área en la que A disfruta de un mayor bienestar del que le ofrece la dotación inicial está formada por todas las cestas que pasan por encima (arriba y a la derecha) de W. A su vez, el área en la que B disfruta de un mayor bienestar está

formada por todas las asignaciones que se encuentran por encima (desde su punto de vista) de su curva de indiferencia que pasa por W (desde nuestro punto de vista, abajo, a la izquierda). Nótese del área achurada que forman las curvas de indiferencia a3 y b2, color naranja en la gráfica. Cualquier punto dentro de esa área es mutuamente ventajoso tanto para A como para B. Sin embargo, el proceso de negociación que se debe realizar para alcanzar un nivel de mayor utilidad, implica renunciar a una parte del bien que se tiene en exceso.

Como hemos hablado en otros artículos, las aportaciones morales de la economía clásica siempre estuvieron en el centro del análisis. En este caso, la región achurada es una zona que ofrece ventajas mutuas y que tiene un nivel de comercio potencial, pero para acceder a una parte del bien más escaso se requiere renunciar a una parte del bien que se posee en mayor abundancia. La idea de que los recursos son finitos estuvo en el origen del pensamiento económico, de ahí la necesidad de buscar la máxima eficiencia en su uso. Esta eficiencia velaba por una mejora de la equidad y de la dotación inicial.

La caja de Edgeworth ejemplifica varios conceptos claves de los mecanismos de intercambio y de las acciones que contribuyen al proceso de las asignaciones eficientes y al mejoramiento de la equidad. Cada punto de tangencia entre las curvas de indiferencia de A y B (como los puntos E y F de la gráfica), son puntos de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. Se dice que una asignación es eficiente en el sentido de Pareto cuando no es posible mejorar el bienestar de uno de los agentes sin empeorar el del otro, es decir cuando no es posible realizar ningún intercambio que sea mutuamente ventajoso.

En este sentido, la importancia que tiene la dotación inicial es clave para comprender el nivel de eficiencia alcanzable por la vía del intercambio simple. Nótese que estos puntos eficientes en el sentido de Pareto, unen ambas aristas de la caja en esa linea imaginaria que se conoce como Curva de Contrato (color verde en la gráfica). Este término se basa en la idea de que todos los contratos finales de intercambio deben encontrarse en el conjunto

de Pareto, de lo contrario no serían finales ya que todavía podría mejorarse el bienestar de ambas partes.

EJEMPLO

Supóngase dos individuos, Ana y Beatriz, con una cantidad fija de recursos, por ejemplo, frutas y agua. El eje de abscisas representa la oferta total de frutas, medida en kilos, y el de ordenadas la oferta total de agua, medida en litros. Por lo tanto, toda repartición posible de estos recursos entre las dos personas puede representarse como un punto en la caja.

Lo que obtiene Ana para consumir se mide desde la esquina inferior izquierda (O). Lo que obtiene Beatriz se mide desde la esquina superior derecha (O´). En la asignación de recursos representada por el punto E, Ana obtiene OX kilos de fruta y OY litros de agua. Beatriz obtendrá el resto, esto es, O´X´ kilos de fruta y O´Y´ litros de agua.

Pueden trazarse curvas de indiferencia para ambas personas, desde O las de Ana y desde O´ las de Beatriz, representando las combinaciones de fruta y agua del mismo valor según las preferencias de cada una. Así, partiendo de O y desplazándose hacia la derecha en sentido ascendente, Ana tendrá mejores asignaciones de estos recursos. De manera análoga, al desplazarse hacia la izqueirda y en sentido descendente, las asignaciones de recursos según las preferencias de Beatríz mejorarán.

Una vez descritos los dos conjuntos de preferencias y de dotaciones pueden analizarse los tipos de intercambio posibles en este espacio. Cuando una curva de indiferencia de Ana se cruza con una de las de Beatriz en más de un punto (como ocurre con las curvas que se intersecan en W), tanto Ana como Beatriz econtrarán incentivos para negociar un intercambio mutuamente ventajoso. Esto ocurrirá hasta alcanzar un intercambio en el que una curva de indiferencia de Ana sea tangente a una de Beatriz, como ocurre en E. Ese punto se conoce como Pareto eficiente, las pendientes de las curvas de indiferencia son iguales, y por lo tanto, sus relaciones marginales de sustitución de frutas por agua son iguales.