96 CAP.3 EQUILIBRIO DE UNA PARTíCULA

Ejemplo 3.6

90 lb .r

(b)

Fig.3.9

El cilindro de 90 lb que se muestra en lafigura 3.9a está sostenido por dos cables y un resorte de rigidez k = 500 Ib/ft. Determine la fuerza en los cables y el alargamiento del resor­te para que haya equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC en el plano x-z.

x

(a)

SOLUCIÓN El alargamiento del resorte puede medirse una vez deter­

minada la fuerza en el resorte.

Diagrama de cuerpo libre. Se elige la conexión en A para el análisis puesto que las fuerzas de los cables concurren ahí. Figura 3.9b.

FB ---y Las ecuaciones de equilibrio. Por inspección, se resuelve fácil­mente cada fuerza en sus componentes x, y, Z, y en consecuen­cia se aplican las tres ecuaciones escalares de equilibrio. si se consideran "positivas" las componentes que se dirijan por los ejes positivos, tenemos,

r.Fx = O; F D sen 30° - We = O r.Fy = O; -FD cos 30° + FB = O r.Fz = O; ~F e - 90 lb = O

(1) (2) (3)

Si se resuelve la ecuación 3 para F o la ecuación 1 para F D, Y por último la ecuación 2 para FB, tenemos

Fe = 150 lb FD = 240 lb FB = 208 lb

El alargamiento del resorte es por lo tanto

FB = ksAB

208 lb = 500 lb/ft (SAB)

sAB = 0.416 ft

Resp. Resp. Resp.

Resp.

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SECo 3.4 SISTEMAs DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES 97

Ejemplo 3.7

Determine la magnitud y los ángulos directores coordena­dos de la fuerza F en la figura 3.lOa, que se requieren para el equilibrio de la partícula O.

SOLUCIÓN Diagrama eh! cuerpo libre. Sobre la partícula O, figura 3.lOb, actúan cuatro fuerzas.

H

F)=700 N

F

Ecuaciones de equilibrio. Se usará un análisis vectorial cartesia­no para la solución con el propósito de formular las compo- .::..2.:.:.:m.L.--,-'-_---\~-FI-=4-0-0-N - y nentes de F3' Así,

I:F = O; (1)

Si se expresa cada una de estas fuerzas en forma vectorial car­tesiana, notando que las coordenadas de B son B(- 2, - 3, 6), tenemos

Fl = {400j} N F2 = {- 800k} N

F3 =fJhUB = F3(rB ) = 560 N [ -2i - 3j + 6k ] rB ; (- 2)2 + (- 3)2 + (6)2

= {-20Oi - 300j + 600k} N F = Fx i + Fy j + Fz k

Sustituyendo en la ecuación 1 se tendrá

.400j - 800k - 200i - 300j + 600k + Ft i + Fyj + Fz k = O

Al igualar las respectivas componentes i, j, k, a cero, tenemos

I:Fx = O; I:Fy = O; I:Fz = O;

Así,

-200 + Fx = O 400 - 300 + Fy = O

- 800 + 600 + Fz = O

Fx=200N Fy = - 100 N Fz =200N

F = {20Oi - 100j + 200k} N

F = ./(200)2 + (-100)2 + (200)2 = 300N F 200. 100. 200

UF = F = 300· - 30(}l + 300k

a = cos-1 ( ~~~ ) = 48.2°

f3 = cos-1 ( -3

10000

) = 11 0°

r = cos-1 (~~~) = 48.2°

Resp.

Resp.

Resp.

Resp.

La magnitud y dirección correcta de F se muestran en la figu­ra 3.1Oc.

x

(al

F) = 700 N

F2 = 800 N

x

(O)

z

F= 300 N J 4X.2"

}---'----- y

x

(e)

Fig.3.10

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98 CAP. 3 EQUILIBRIO DE UNA P ARTiCUlA

Ejemplo 3.8

e

y

(a)

" - W=40 lb .Y

(b)

Fig.3.11

Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los ca­bles que sostienen la caja de 40 lb de la figura 3.11a.

SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 3.11b, se considera el diagrama de cuerpo libreA para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los cables y obtener por ese me-dio sus magnitudes. •

Ecuaciones de equilibrio

r.F = O; (1)

Ya que las coordenadas de los puntos B y e son B (-3, -4, 8) Y e (-3,4,8), tenemos

F -F . [

-3i - 4; + 8k ] B- B -1(-3)2 + (-4f+ (8)2

F - F [ -3i + 4j + 8k J. c- e -I(-3)2+(4f+(8)2

= -0.318Fc i + 0.424Fc.i + 0.848Fc k

FD = FDi

W=-40k

Al sustituir estas fuerzas en la ecuación 1 se tiene

-O.318FB i - 0.424FB j+ 0.848FB k- 0.318Fc i + 0.424Fd + 0.848F e k + F D i - 40k = O

Si se igualan las respectivas componentes i, j, k a cero:

L.Fx = O; L.Fy = O; L.Fz = O;

-0.318FB - 0.318Fc + FD = O -O.424FB + 0.424Fc = O

0.848FB + 0.848F c - 40 = O

(2) (3) (4)

La ecuación 3 afirma que FB = F c. Así, al resolver la ecua­ción 4 para obtener FB y F c y sustituir el resultado en la ecua­ción 2 para obtener F D, tenemos

FB = Fc = 23.6 lb FD = 15.0 lb

Resp. Resp.

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SECo 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES 99

Ejemplo 3.9

El cilindro de 100 kg de la figura 3.12a está sostenido por tres cuerdas, una de las cuales está unida a un resorte. Deter­mine la tensión en cada cuerda y el alargamiento del resorte.

SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. La fuerza en cada cuerda puede obtenerse si se analiza el diagrama del cuerpo libre puntual A, figura 3.12b. ¿Por qué? El peso del cilindro es W = 100(9.81) =

981 N.

Ecuaéiones de equilibrio

r.F = O; (1)

Cada uno de estos vectores puede expresarse en forma vecto­rial cartesiana. si se usa la ecuación 2.11 para Fe, y se observa el punto D( -1, 2, 2) para F D, tenemos

FB = FlJi Fe = Fe cos 1200 i + Fe cos 135°j + Fe cos 600 k

= - 0.5Fe i - 0.707Fd + 0.5Fe k

F - F [ -ti + 2j + 2k ] D- D ';(-1)2+(2)2+(2)2

= - 0.333FD i + 0.667FD j + 0.667FD k W = - 981k

Si se sustituyen estas fuerzas en la ecuación 1, se obtiene

FBi - O.5Fe i - 0.707Fd + 0.5Fe k- 0.333FD i + 0.667FD j + 0.667FD k - 981k = O

Igualando a cero las componentes respectivas correspondien­tes a i,j, k

r.F = O' .T ,

r.Fy = O; r.Fz = O;

FB - O.5Fe - 0.333FD = O - 0.707Fe + 0.667FD = O

O.5Fe + 0.667FD - 981 = O

(2) (3) (4)

Al resolver la ecuación 3 para F D en términos de Fe y sustituir en la ecuación 4 se tiene Fe. F D se determina de la ecuación 3. Finalmente, al sustituir los resultados en la ecuación 2 se ten-dráFB• Así .

Fe = 813 N FD = 862N FB = 693.7N

El alargamiento del resorte es, por tanto,

F=ks; 693.7 = 150& s = 0.462 m

Resp. Resp. Resp.

Resp.

(a)

JIf-c---y

x W=981 N

(b)

Fig.3.12

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