Un grafo es una pareja G = (V A) donde V es un conjunto de puntos

llamados veacutertices y A es un conjunto de pares de veacutertices llamadas aristas Para simplificar notaremos la arista

a b como ab

La posicioacuten de los veacutertices no importa y se puede variar para

obtener un grafo maacutes claro

Praacutecticamente cualquier red puede ser modelada con un grafo una red de carreteras que conecta ciudades

una red eleacutectrica o un alcantarillado

Uno de los primeros problemas que fueron modelados usando grafos fue el que confrontoacute Leonard Euler (1736) En la ciudad de Kaliningrado (antigua Koumlnigsberg) habiacutea siete puentes sobre el riacuteo Pregel Uno de los puentes conectaba dos islas entre siacute Una de las islas estaba conectada a una ribera por dos puentes y otros dos puentes la conectaban con la otra costa La otra isla poseiacutea un puente hacia cada ribera Euler se preguntoacute si seriacutea posible comenzar un paseo desde cualquier punto y atravesar cada puente una y soacutelo una vez regresando al punto departida

Aplicando grafos se puede encontrar una

mejor manera de regresar a nuestro punto de

partida con el menor tiempo y en el caso de los

puentes esfuerzo

Utilizando el modelo de la figura dondelos veacutertices representan los puntos de tierra y las aristas representan los puentes

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten se dice

que es planoSe dibujan tres casas y tres pozos Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos Como no se llevan bien en absoluto no quieren cruzarse jamaacutes iquestEs posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces Respuesta NO

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas

En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color Dos

regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en

comuacuten no solamente un punto

La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

que justamente son adyacentes Entonces la cuestioacuten equivale a atribuir a cada veacutertice un

color distinto del de sus vecinos Si se empieza por el paiacutes central a y se esfuerza uno en utilizar el menor nuacutemero de colores entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores Llegando al paiacutes h se tiene que introducir un cuarto color Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo meacutetodo

Los grafos se utilizan en aplicaciones muy diversas (redes de comunicaciones redes de transporte

circuitos planificacioacuten de tareas) cada una de las cuales utiliza una nocioacuten distinta de grafo

Los grafos de pueden clasificar atendiendo

Al nuacutemero de arcos que puedan existir entre dos nodos

1048707 Grafos muacuteltiples (vuelos entre aeropuertos) 1048707 Grafos simples (liacuteneas de ferrocarril)

A la orientacioacuten de los arcos1048707 Grafos orientados (vuelos entre aeropuertos)1048707 Grafos no orientados (red de carreteras liacuteneas de teleacutefono)

A la existencia de funciones definidas sobre los arcos o los nodos

1048707 Grafos no valorados 1048707 Grafos valorados (red de carreteras con kms vuelos con duracioacuten)

Al visitar una pagina web y hacer click a un enlace visto

como un grafo los veacutertices son los sitios y cuyas aristas son

loacutegicamente los enlaces

Gracias a la teoriacutea de Grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la siacutentesis de circuitos secuenciales contadores o sistemas de apertura

Los grafos se utilizan los mismos tambieacuten para modelar trayectos como el de una liacutenea de autobuacutes a traveacutes de las calles de una ciudad en el que podemos obtener caminos oacuteptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd

Para la administracioacuten de proyectos utilizamos teacutecnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar

La posicioacuten de los veacutertices no importa y se puede variar para

obtener un grafo maacutes claro

Praacutecticamente cualquier red puede ser modelada con un grafo una red de carreteras que conecta ciudades

una red eleacutectrica o un alcantarillado

Uno de los primeros problemas que fueron modelados usando grafos fue el que confrontoacute Leonard Euler (1736) En la ciudad de Kaliningrado (antigua Koumlnigsberg) habiacutea siete puentes sobre el riacuteo Pregel Uno de los puentes conectaba dos islas entre siacute Una de las islas estaba conectada a una ribera por dos puentes y otros dos puentes la conectaban con la otra costa La otra isla poseiacutea un puente hacia cada ribera Euler se preguntoacute si seriacutea posible comenzar un paseo desde cualquier punto y atravesar cada puente una y soacutelo una vez regresando al punto departida

Aplicando grafos se puede encontrar una

mejor manera de regresar a nuestro punto de

partida con el menor tiempo y en el caso de los

puentes esfuerzo

Utilizando el modelo de la figura dondelos veacutertices representan los puntos de tierra y las aristas representan los puentes

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten se dice

que es planoSe dibujan tres casas y tres pozos Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos Como no se llevan bien en absoluto no quieren cruzarse jamaacutes iquestEs posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces Respuesta NO

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas

En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color Dos

regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en

comuacuten no solamente un punto

La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

que justamente son adyacentes Entonces la cuestioacuten equivale a atribuir a cada veacutertice un

color distinto del de sus vecinos Si se empieza por el paiacutes central a y se esfuerza uno en utilizar el menor nuacutemero de colores entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores Llegando al paiacutes h se tiene que introducir un cuarto color Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo meacutetodo

Los grafos se utilizan en aplicaciones muy diversas (redes de comunicaciones redes de transporte

circuitos planificacioacuten de tareas) cada una de las cuales utiliza una nocioacuten distinta de grafo

Los grafos de pueden clasificar atendiendo

Al nuacutemero de arcos que puedan existir entre dos nodos

1048707 Grafos muacuteltiples (vuelos entre aeropuertos) 1048707 Grafos simples (liacuteneas de ferrocarril)

A la orientacioacuten de los arcos1048707 Grafos orientados (vuelos entre aeropuertos)1048707 Grafos no orientados (red de carreteras liacuteneas de teleacutefono)

A la existencia de funciones definidas sobre los arcos o los nodos

1048707 Grafos no valorados 1048707 Grafos valorados (red de carreteras con kms vuelos con duracioacuten)

Al visitar una pagina web y hacer click a un enlace visto

como un grafo los veacutertices son los sitios y cuyas aristas son

loacutegicamente los enlaces

Gracias a la teoriacutea de Grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la siacutentesis de circuitos secuenciales contadores o sistemas de apertura

Los grafos se utilizan los mismos tambieacuten para modelar trayectos como el de una liacutenea de autobuacutes a traveacutes de las calles de una ciudad en el que podemos obtener caminos oacuteptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd

Para la administracioacuten de proyectos utilizamos teacutecnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar

Uno de los primeros problemas que fueron modelados usando grafos fue el que confrontoacute Leonard Euler (1736) En la ciudad de Kaliningrado (antigua Koumlnigsberg) habiacutea siete puentes sobre el riacuteo Pregel Uno de los puentes conectaba dos islas entre siacute Una de las islas estaba conectada a una ribera por dos puentes y otros dos puentes la conectaban con la otra costa La otra isla poseiacutea un puente hacia cada ribera Euler se preguntoacute si seriacutea posible comenzar un paseo desde cualquier punto y atravesar cada puente una y soacutelo una vez regresando al punto departida

Aplicando grafos se puede encontrar una

mejor manera de regresar a nuestro punto de

partida con el menor tiempo y en el caso de los

puentes esfuerzo

Utilizando el modelo de la figura dondelos veacutertices representan los puntos de tierra y las aristas representan los puentes

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten se dice

que es planoSe dibujan tres casas y tres pozos Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos Como no se llevan bien en absoluto no quieren cruzarse jamaacutes iquestEs posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces Respuesta NO

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas

En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color Dos

regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en

comuacuten no solamente un punto

La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

que justamente son adyacentes Entonces la cuestioacuten equivale a atribuir a cada veacutertice un

color distinto del de sus vecinos Si se empieza por el paiacutes central a y se esfuerza uno en utilizar el menor nuacutemero de colores entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores Llegando al paiacutes h se tiene que introducir un cuarto color Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo meacutetodo

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Los grafos se utilizan los mismos tambieacuten para modelar trayectos como el de una liacutenea de autobuacutes a traveacutes de las calles de una ciudad en el que podemos obtener caminos oacuteptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd

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Aplicando grafos se puede encontrar una

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partida con el menor tiempo y en el caso de los

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Utilizando el modelo de la figura dondelos veacutertices representan los puntos de tierra y las aristas representan los puentes

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten se dice

que es planoSe dibujan tres casas y tres pozos Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos Como no se llevan bien en absoluto no quieren cruzarse jamaacutes iquestEs posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces Respuesta NO

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En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

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El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color Dos

regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en

comuacuten no solamente un punto

La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

que justamente son adyacentes Entonces la cuestioacuten equivale a atribuir a cada veacutertice un

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Para la administracioacuten de proyectos utilizamos teacutecnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten se dice

que es planoSe dibujan tres casas y tres pozos Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos Como no se llevan bien en absoluto no quieren cruzarse jamaacutes iquestEs posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces Respuesta NO

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas

En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color Dos

regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en

comuacuten no solamente un punto

La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

que justamente son adyacentes Entonces la cuestioacuten equivale a atribuir a cada veacutertice un

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En 1852 Francis Guthrie planteoacute el problema de los 4 colores resuelto hasta un siglo despueacutes por

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El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geograacutefico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes

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La forma precisa de cada paiacutes no importa lo uacutenico relevante es saber queacute paiacutes toca a queacute otro Estos datos estaacuten incluidos en el grafo donde los veacutertices son los paiacuteses y las aristas conectan los

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Gracias a la teoriacutea de Grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la siacutentesis de circuitos secuenciales contadores o sistemas de apertura

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Para la administracioacuten de proyectos utilizamos teacutecnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar

1)httpeswikipediaorgwikiGrafosGrafo

2)Documento PDF ldquocap3pdfrdquo Autor Oscar Meza

3)Documento PDF ldquotemaVIIrdquo Autor Juan Miguel Figueroa