ERROR DE CU ANTIFICACION LINEAL

Se define como error de cuantificación o ruido de cuantificación a la señal en tiempo discreto y

amplitud continua introducida por el proceso de cuantificación (uno de los procesos que

intervienen en la conversión analógica-digital, que sigue al de muestreo y precede al

de codificación) y que resulta de igualar los niveles de las muestras de amplitud continua a los

niveles de cuantificación más próximos. Una vez cuantificadas las muestras podrán ser

codificadas ya que siempre se podrá establecer una correspondencia biunívoca entre cada

nivel de cuantificación y un número entero. Para el caso del cuantificador ideal se trata del

único error que introduce el proceso.

Figura 2: Función de transferencia del proceso de cuantificación. Un intervalo de valores de entrada

(escalón de cuantificación) se corresponde con un único valor de salida. Así, por cada valor de entrada

se obtiene un valor de salida y un error que, si se resta al de salida, devolvería el valor de entrada. El

error es máximo cuando el valor de entrada es equidistante a sus dos niveles de cuantificación más

próximos (se dice entonces que se encuentra sobre elnivel de decisión). El error es cero cuando el valor

de entrada equivale a un nivel de cuantificación y, por tanto, al nivel de salida. Se puede observar que la

amplitud máxima del error es de medio escalón de cuantificación (Δ = Escalón de cuantificación)

mientras la señal de entrada se encuentra dentro del rango de cuantificación.

El proceso de convertir una señal en tiempo discreto de amplitud continua (esto es, en el

proceso de muestreo la señal se ha dividido en el tiempo en un número finito de muestras

pero el valor de estas aún no ha sido limitado en precisión) en una señal discreta en tiempo y

amplitud (sus dos dimensiones), expresando cada muestra por medio de una precisión finita y

conocida (en contraposición a una precisión infinita -en matemática- o indeterminada -en

física-) consecuencia del ajuste a un número finito y determinado de niveles, se

denomina cuantificación. La diferencia que resulta de restar la señal de entrada a la de salida

es el error de cuantificación, esto es, la medida en la que ha sido necesario cambiar el valor

de una muestra para igualarlo a su nivel de cuantificación más próximo. Esta diferencia,

entendida como una secuencia de muestras de tiempo discreto pero de amplitud continua (al

igual que la señal de entrada), puede ser interpretado en la práctica como una señal

indeseada añadida a la señal original (motivo por el que se denomina ruido, aunque no

siempre cumpla con todos los criterios necesarios para ser considerado así y no distorsión),

de modo que se cumple:

Modelo matemático del ruido de cuantificación.

donde   representa a la secuencia de muestras de amplitud continua a la entrada del

cuantificador,   a la secuencia de muestras de amplitud discreta (cuantificadas) a la

salida del cuantificador y   representa a la secuencia de muestras de amplitud continua

del error de cuantificación. El receptor/lector de   (o de su versión codificada posterior)

no tiene la información necesaria para identificar el componente de error   que incluye y

poder recuperar  . Es decir, la reconstrucción de las muestras originales de amplitud

continua (sin cuantificar) no es posible sólo a partir de las muestras cuantificadas: falta la

información necesaria para distinguir el error de la señal una vez estos se suman en la

cuantificación (véase Figura 3).

En la Figura 2 es posible verificar que el error de cuantificación   está siempre en el

rango -Δ/2 a Δ/2 mientras la señal analógica de entrada se encuentre dentro del rango del

cuantificador:

donde   es el tamaño del escalón de cuantificación que viene dado por:

donde   es el rango del cuantificador y   el número de niveles de cuantificación.

Figura 4: La línea roja corresponde con las muestras (2000 en este ejemplo para el ciclo completo por lo

que produce la ilusión de ser continua) sin cuantificar (muestras de entrada al cuantificador) de una

señal original sinusoidal sindither, la verde representa esas mismas muestras de entrada cuantificadas

(salida del cuantificador ideal) y la azul muestra el error de cuantificación que resulta del proceso de

cuantificación. La relación señal a ruido de cuantificación (SQNR) es para este caso de sólo 24,74

dB con objeto de resaltar el error de cuantificación y su forma. Dicho de otro modo, la amplitud de la

sinusoidal original de entrada (línea roja) es de 7,5 niveles de cuantificación (la máxima amplitud de una

sinusoidal que puede cuantificar un cuantificador por redondeo de 4 bits ya que el nivel de cuantificación

de valor 0 no puede estar centrado al haber un número par de niveles totales). Con objeto de poner de

manifiesto el ruido de cuantificación, a la señal de entrada sinusoidal de este ejemplo no se le ha

añadido Dither (un ruido analógico que se añade intencionadamente a la señal de entrada antes de la

conversión A/D). En la práctica, y como consecuencia de la lógica y habitual práctica de

añadir dither (véaseRuido o distorsión: la necesidad de añadir dither), la figura notablemente escalonada

de una señal cuantificada como la ilustrada aquí adquiere el aspecto de la Figura 9.

En el caso de que el error está limitado en magnitud [es decir,  ], el error

resultante se denomina ruido granular. Cuando la entrada cae fuera del rango de

cuantificación (recorte),   es ilimitado y resulta en ruido de sobrecarga.

Teóricamente, la cuantificación de las señales analógicas resulta siempre en una pérdida de

información (incluso en su caso ideal). Éste es el resultado de la ambigüedad introducida por

la cuantificación. De hecho, la cuantificación es un proceso no reversible, dado que a todas las

muestras a un intervalo inferior a Δ/2 de un determinado nivel se les asignan el mismo valor.

Sin embargo, discretizar una señal en su otra dimensión (el tiempo) mediante el proceso

de muestreo, no es irreversible tal y como demuestra el teorema de muestreo y si se cumplen

los criterios que impone el propio teorema debido a la naturaleza periódica y, por tanto,

determinista de las señales que se someten a este proceso y a la limitación del ancho de

banda (límite superior a la frecuencia de los componentes que componen la señal periódica).