Error en cálculo numerico

8/19/2019 Error en cálculo numerico

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Luis Gomez

[email protected]

Universidad Austral, Campus Patagonia

Luis Gomez [email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 1 / 67

Cálculo Numérico

BAIN 053Campus Patagonia 2015


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1 Causas principales de errores en los métodos numéricos

2 Clase 2

3 clase 3 Error de redondeo

4 clase 4

5 clase 5



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Causas principales de errores en los métodos numéricos


Introducción

Los errores númericos surgen del uso de aproximaciones para representar

operaciones y cantidades metemáticamente exactasLas dos Causas principales de errores son:

Error de truncamiento: está asociada a las aproximaciones de la fórmulamatemática

Error de redondeo: se asocian con el limitado número de dígitos con elque se representa en la computadora



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Introducciónparte 2

Las soluciones numéricas (T n(x )) son aproximaciones de las soluciones

exactas (f (x ))Generalmente las aproximaciones son realizadas por medio de polinomios(suma o resta de términos o monómios) (de grado n)Es muy importante conocer la precisión (1/ξ ) con que el polinomio queaproxima la función verdadera

f (x ) = T n(x ) + ξ



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Series de TaylorDefinicion

Una serie de Taylor o polinomio de Taylor es una representación de una

función como una suma infinita de términos.

T [f (x ), x a] =∞

i =0

f (i )(x a)

i ! (x − x a)i

Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para undeterminado valor de la variable, lo que involucra un punto específicosobre la función.



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Series de TaylorSolución numérica, aproximación

Como ya digimos, el desarrollo de Taylor es una serie infinita de potenciasque representa una función en un cierto intervalo.Sin embargo, en la practica una serie infinita no es posible por los que serealiza una aproximación a n términos.

T n[f (x ), x a] =n

i =0

f (i )(x a)

i !

(x

−x a)

i

Con algunos términos del polinomio es posible tener una aproximación dela función verdadera denominada serie de Taylor truncada (T n).


C i i l d l é d é i


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Error de truncamiento

La diferencia entre la solución numérica con la serie de Taylor y la soluciónexacta corresponde al error de truncamiento

Si la serie de Taylor se trunca después del termino de orden N, nos queda:

T n[f (x ), x a] = f (x a) + (x − x a)f (x a) + (x − x a)2

2 f

(x a)+

(x − x a)36

f

(x a) + (x − x a)4

24 f

(x a) + ...+

(x − x a)nn!

f N (x a) + 0((x − x a)n+1)El error del método numérico se origina en el truncamiento


C i i l d l ét d é i


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Desarrollo de Taylor para funciones unidimencionales

Se dice que una función es analítica en x = x as í f (x ) se puederepresentar por medio de una serie de potencias en términos deh = x − x a dentro de un radio de convergencia.

La condición para que sea analítica es que todas sus derivadas seancontinuas

Un punto singular es aquel donde f (x ) no es analítica (ejemplo

tan(π/2)) Cuando el valor de x a es igual a 0 denominamos a este polinomio

como de MacLaurin




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Ejercicio

1. Calcular el polinomio de Taylor de grado 5 que se ajusta a la función

seno en el punto π/2.2. estimar el error que se comete entre el valor real, con un polinomio de

grado 2 y uno de grado 5.

3. De la función seno calcular el polinomio de grado 6 centrado en 0.

4. grafique en excel la función seno y los polinomios de grado 0, 1, 2, 3,4, 5 en torno 0 y π y centrado en π/2

5. Analice y discuta los resultados de su gráfica




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Ayuda

y = sen(x ) −→ y = cos (x ) (1)y = cos (x ) −→ y = −sen(x ) (2)


Clase 2


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Clase 2

Clase 2

Repaso

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una

aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. En esencia, la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el

valor de una función en un punto en términos del valor de la función ysus derivadas en otro punto.

En particular, el teorema establece que cualquier función suave puedeaproximarse por un polinomio


Clase 2


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Clase 2

Clase 2

Repaso

Proposition

f (x i +1) = f (x i ) + hf (x i ) +

h2

2!f (x i ) + f

(x i )h3

3! + ... +

hn

n!f n (x i ) + R n

En donde h = x i +1− x i , R n = f (n+1)(ξ)(n+1)! hn+1 y ξ es un valor entre x i y x (i +1)


Clase 2


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Clase 2

Repaso

Proposition

f (x i +1) = f (x i ) + hf (x i ) +

h2

2!f (x i ) + f

(x i )h3

3! + ... +

hn

n!f n (x i ) + R n

En donde h = x i +1− x i , R n = f (n+1)(ξ)(n+1)! hn+1 y ξ es un valor entre x i y x (i +1)


Clase 2


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Clase 2

Ejercicio

A partir de la función:

f (x ) = −0.1x 4 − 0.14x 3 − 0.5x 2 − 0.25x + 1.2y asumiendo que x i = 0 y h = 1, estime el valor de T n[(f (x ), 1]:

1. Para n de orden 0,1,2,3 y 4

2. grafique cada una de la soluciones en el rango de h, inclusive f (x )

3. Estime el error para cada uno de los casos

4. Anlice y discuta sus resultados


Clase 2


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Hay que tener presente que cada uno de los términos adicionalescontribuye, aunque sea con poco, al mejoramiento de la aproximación.

Sin embargo, muchas veces con unos pocos términos obtentendremos

una solución suficientemente buena para términos prácticos. El valor de ξ es que nos debe orientar, sim embargo no se conoce con

exactitud, pero savemos que esta entre el rango de x i y x i + 1


Clase 2


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Figure: Ejemplo gráfico de la aproximación f(x) y sus aproximaciones por elterorema de Taylor


Clase 2


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Clase 2

Error o residuo

Esta ecuación nos es útil para poder evaluar el error provocado por eltruncamentiento, ya que controla el término h de la ecuación

R n = f (n+1)(ξ )

(n + 1)! hn+1 (3)

De aqui se deduce que el error de truccamiento de orden h(n+1) esproporcional al incremento de h elevado a la n + 1 Por lo que estaecuación puede expresarse como

R n = O (hn+1) (4)


Clase 2


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Clase 2

Error o residuo

R n = O (hn+1

) (5)

Lo que quiere decir que si el error es O (h) y el incremento h se reducela la mitad el error tambien se reduce a la mitad

En cambio si el error es O (h2) y el incremento se reduce a la mitad,entonces el error se reduira a la cuarta parte.


Clase 2


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Clase 2

Error o residuo

Proposition

En general, pero no siempre, el error de truncamiento diminuye agregando

términos a serie de Taylor.


Clase 2


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Clase 2

Uso de Taylor en cálculo de error en truncamiento

Por ejemplo tenemos la función que explica el movimiento de un cuerpocomo :

v (t i +1) = v (t ) + v (t i )(t i +1 − t i ) + v

(t i )

2! (t i +1 − t ) + ... + R n (6)

y queremos estimar la aceleración que es v’(t), por lo que truncaremos el

término en la primera derivada:

v (t i +1) = v (t ) + v (t i )(t i +1 − t i ) + R n (7)


Clase 2


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Clase 2

Uso de Taylor en cálculo de error en truncamiento

Por lo que nos queda que :

v (t i ) = v (t i +1) − v (t i )

(t i +1 − t i ) − R n

(t i +1 − t i ) (8)

en donde el primer término lo podemos asociar a la aproximación de

primer orden y el segundo al error


clase 3 Error de redondeo


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Definición del Error de redondeo

Los errores de redondeo se deben a la capacidad finita de nuestratecnología de representar números

en cambio el error de truncamiento representa la diferencia entre laformula exacta y la aproximación obtenida por el método numérico




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Cifras signicativas

Esta dada por los límite mínimo de medición del instrumento, entregandoun grado de certeza y replicabilidad de la medición o evaluación.

Figure: Ejemplo de cifras significativas en un voltímetro




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Implicancias de la Cifras signicativas

Las cifras signicativas nos permiten:

dar confianza a nuestros resultados

estimar el error de redondeo




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Ejercicio:

Evaluef (x ) = x 3 − 6.1x 2 + 3.2x + 1.5 (9)

1. en x = 4.71 con una aritmética de 3 cifras significativas, exactas, contruncamiento y con redondeo

2. estime el error porcentual

3. evalúe el error aplicando el método de la anidada

f (x ) = ((x − 6.1)x + 3.2)x + 1.5 (10)




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NUMEROS EN LAS COMPUTADORAS

El número limitado de dígitos de la calculadora o computador puedeprovocar errores de redondeo

los problemas de error por redondeo se pueden minimizar por mediode prácticas de programación adecuadas.




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Base de los números

La base del sistema numérico decimal es 10. Sin embargo, las

computadoras no usan el sistema decimal en los cálculos ni en lamemoria, sino que usan el binario.

En lenguaje de máquina se usan en particular el octal y elhexadecimal. Estos sistemas son parientes cercanos del binario ypueden traducirse con facilidad al o del binario.

El hexadecimal también proporciona un uso más eficiente del espaciode la memoria para los números reales




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Base de los números

La base de un sistema numérico también recibe el nombre de raíz.

Para, el sistema decimal ésta es 10; para el sistema octal es 8 y 2para el binario. La raíz del sistema hexadecimal es 16.



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Rango de constantes numéricas

Las constantes numéricas que generalmente se usan en un programa seclasifican en tres categorías:

1. enteros

2. números reales y

3. números complejos.




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Representación entera

El método más sencillo para representar los enteros en la computadora sedenomina método de magnitud con signo y emplea el primer bit de unapalabra para indicar el signo: con un 0 para positivo y un 1 para elnegativo.

Los bits sobrantes se usan para guardar el número.Por ejemplo:-10101101 (-173 en decimal)

Figure: Ejemplo de cifras significativas en un voltímetro




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Ejercicio

Si posee una computadora de 16 bits.

1. determine el rango de enteros de base 10 que se pueden representar.

2. calcula la diferencia con uno de 32 bits


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clase 4

Representación del punto-flotante

Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en lacomputadora usando la forma de punto flotante. Con este método, elnúmero se expresa como una parte fraccionaria, llamada mantisa (m) o

significando, y una parte entera, denominada exponente o característica(e), esto es,

m· b e (13)donde:

m: es la mantisa,

b : es la base del sistema numérico que se va a utilizar

e : es el exponente.


clase 4


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Figure: Ejemplo de como se guarda un numero punto flotante en una palabra


clase 4


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clase 4

Ejercicio

a) ¿Como representaría el numero 1458.63 en un sistema de base 10 conpunto flotante y cinco numero de decimales?


clase 4


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clase 4

Ejercicio

1. ¿Como representaría el numero 1458.63 en un sistema de base 10 conpunto flotante y cinco numero de decimales?

2. ¿ como se guardaría el número 0,0245888?


clase 4


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clase 4

normalización

Para evitar ceros a la derecha del número punto flotante se ocupa unprocedimiento denominado normalización el que consiste en elevar elexponente negativo cuantos ceros existan a la derecha del numero antesdel punto. por ejemplo: 0, 0245888· 100 normalizado queda: 0.24588· 10−1


clase 4


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clase 4

normalización

Sin embargo la consecuencia de la normalización es que el valor absoluto

de m queda limitado a:1

b ≤ m


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clase 4

representación de punto flotante

La representación de punto flotante permite que tantofracciones como números muy grandes se expresen en lacomputadora

Sin embargo dentro de las desventajas esta que los puntoflotante requieren más espacio y más tiempo de procesadoque los números enteros

representa un número finito introduciendo una error deredondeo


clase 5


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clase 5

Ejercicio

Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante parauna máquina que guarda información usando palabras de 7 bits enbinario. Emplee el primer bit para el signo del número, los siguientestres para el signo y la magnitud del exponente, y los últimos tres parala magnitud de la mantisa

calcule el valor mínimo a representar, en decimal, a través del límite

de la mantisa estime el rango que es posible escribir en base 10


clase 5

Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante para


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una máquina que guarda información usando palabras de 7 bits enbinario. Emplee el primer bit para el signo del número, los siguientestres para el signo y la magnitud del exponente, y los últimos tres para

la magnitud de la mantisa

calcule el valor mínimo a representar, en decimal, a través del límitede la mantisa

estime el rango que es posible escribir en base 10Luis Gomez [email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 41 / 67

clase 5

l 5


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Características

como en el caso de los enteros, hay números grandes positivos y

negativos que no pueden representar emplear números fuera del rango aceptable dará como resultado el

llamado error de desbordamiento (overflow)

el “agujero” underflow entre el cero y el primer número positivo en la

figura. Se debe a la normalización de la ecuación


clase 5

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Aproximaciones y errores de redondeo

Figure: Ejemplo de aproximaciones y errores de redondeo de números sólopositivos


clase 5

l 5


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número finito de cantidades

Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse

dentro de un rango los números racionales que no concuerdan exactamente con uno de

los valores en el conjunto tampoco pueden ser representados en formaprecisa (ejemplo: el número π)

los errores ocasionados por la aproximación se les conoce comoerrores de cuantificación


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Aproximación Real

La aproximación real se realiza mediante dos formas:

cortando

redondeando

por ejemplo:π = 3.14159265358... (15)

Guardado en un sistema de base 10 con 7 cifras significativas

¿explique como se guardaria en la maquina?

estime la magnitud del error de redondeo y corte


clase 5

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clase 5

redondeando

consecuencia, el redondeo produce un error absoluto menor que el decorte


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clase 5

Ejercicio

Calcule el error de redondeo y el de corte con el número π(π=3.14159265358) con una precisión de 4 cifras significativas


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épsilon de la maquina ε

El épsilon ε de la máquina es el intervalo entre 1 y el siguiente númeromayor que 1 distinguible. Representa la exactitud relativa de la aritméticadel computador.

1 + ε > 1 (16)

numéricamente se puede calcular como

ε = b 1−t (17)

donde b es la base y t es el número de dígitos significativos en la mantisa.La existencia del épsilon de la máquina es una consecuencia de la precisiónfinita de la aritmética en coma flotante.


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∆x

Debido a que el punto flotante conserva el número de dígitos significativo,∆x aumenta conforme x crecen en magnitud para el caso de corte

|∆x ||x | ≤ (18)

para el caso de redondeo|∆x |

|x | ≤

2 (19)

Estos valores corresponden a los límite de los errores, es decir los casosextremos. También nos entregan las diferencias mínimas en las quepodemos evaluar nuestros cálculos.


clase 5

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clase 5

Ejercicio

Para una palabra de 7 bits en donde se emplea el primer bit para el signodel número, los siguientes tres para el signo y exponente y los últimos para

para la magnitud de la mantisa. calcule el épsilon de la máquina

grafique el crecimiento de ∆x con x, en el caso de la aproximaciónpor corte y redondeo

explique que significan esas curvas y como afectan a sus cálculos dederivada.


clase 5

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clase 5

Ejercicio

Desarrolle un código que le permita estimar el épsilon de la máquina con laque usted está trabajando


clase 5

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clase 5

Precisión extendida

Los errores de redondeo, llegan a ser importantes en contextos tales comopruebas de convergencia. El número de dígitos significativos que tiene la

mayoría de las computadoras permite que muchos cálculos de ingeniería serealicen con una precisión más que aceptable

Por ejemplo, las computadoras que usan el formato IEEE permiten 24bits para ser usados por la mantisa

lo cual se traduce en cerca de siete cifras significativas de precisión 1en dígitos de base 10 con un rango aproximado de 10˘38 a 1039


clase 5

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Precisión extendida

Se debe reconocer que aún hay casos donde el error de redondeo resultacrítico:

La más común de estas especificaciones es la doble precisión, en la

cual se duplica el número de palabras utilizado para guardar númerosde punto flotante. Esto proporciona de 15 a 16 dígitos decimales deprecisión y un rango aproximado de 10˘308a 10308.

Esto reduce el error de redondeo.

Sin embargo, el precio que se paga por tales medidas consiste enmayores requerimientos de memoria y de tiempo de ejecución.

por lo tanto la precisión extendida no debe utilizarse en formageneralizada


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Software

Excel: Utiliza doble precisiónMATLAB o Octave: precisión extendida a decisión

C++, : real simple 32 bits (double ), real doble 64 bits (15 digitosdecimales ) (long double )


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Operaciones aritméticas comunes

Las manipulaciones aritméticas que se usan, pueden dar como resultadoerrores de redondeo. por ejemplo el número con punto flotante

suma: cuando sumamos dos números con puntos flotantes, elnúmero de mantisa y el exponente se modifican de talmanera que los exponentes sean los mismos

resta: se realiza de igual forma, solamente que el exponente es

negativo, sin embargo los resultados deben normalizarse


clase 5

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Ejemplo de suma

si tenemos una maquina con cuatro dígitos de mantisa y un exponente deun dígito. y aplicaremos corte sumar 0.1557 · 101 + 0.4381 · 10−1

1. igualamos el exponente menor al mayor

0.4381 · 10−1 −→ 0.004381 · 101

2. sumamos los dos números

0.1557 ·1010.004381

·101

0.160081 ·1013. se eliminan los datos que están por sobre el tamaño de la mantisa


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Ejemplo de resta

La resta se realiza en forma idéntica a la suma

1. Resta 36.41 menos 26.86 Esto es:

0.3641 ·102−0.2686 ·1020.0955 ·102

2. y luego se normaliza

0.0955 · 102 = 0.9550 · 101 = 9.550notar que el cero a la derecha ya no es relevante, es decir hemos perdidoprecisión


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Ejercicio

Estimar la precisión perdida con punto flotante en la resta entre 764.2 y764.1


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Multiplicación

En el caso de la multiplicación los exponentes se suman y la mantisa semultiplica. Por ejemplo la multiplicación entre 1366.3 × 0.06423

1. Se normalizan los valores y se multiplica

0.1363 · 103 × 0.6423 · 10−1 = 0.08754549 · 1022. luego el resultado es normalizado

0.08754549 · 102 −→ 0.8754549 · 101

3. por ultimo se corta el resultado al número de cifras significativasiniciales 0.8754 · 101

Para la división se realiza algo similar pero las mantisas se dividen y losexponentes se restan


clase 5

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Ejercicio

Calcular mediante el método de punto flotante la división entre 5754.3 y0.568891 y estimar el error porcentual


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Número grande de cálculos interdependientes

Mediante un algoritmo investigue el error cometido al sumar 100 000 veces0.00001 con precisión simple y doble. Si puede calcule los tiempos deejecución


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Suma de un número grande y uno pequeño

que sucede si quiere sumar un número pequeño como 0.0010 con un

numero grande 4000 notar que pareciera que la suma nunca ocurrió.

Esto normalmente ocurre con grandes series en donde el término inicial escomparativamente mayor a los siguientes. Después de sumar los primeros

términos los restantes ya no se reflejan en el resultado.


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Cancelación por resta

Se refiere al redondeo inducido cuando se restan dos números de puntoflotante casi iguales Un caso común es en la determinación de raíces deuna ecuación cuadrática o parábola utilizando la fórmula cuadrática

−b ±√ b 2

− 4ac 2a

En el caso de b 2 4ac la diferencia en el numerador puede ser muypequeña, en tales casos es mejor ocupar precisión doble o la fórmula

alternativa que se describe a continuación:−2c

b ±√ b 2 − 4ac Lo que minimiza la cancelación por resta


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Ejercicio

Calcule el valor de las raíces de una ecuación cuadrática con a = 1 b=3000.001 y c =3. Compare el valor calculado con las raíces verdaderasx 1 = −0.001yx 2 = −3000


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Dispersión

Observamos dispersión cuando los términos individuales en una sumatoriason mas grandes que la sumatoria misma, un ejemplo de eso son las series

con signos alternados. Por ejemplo

y = 1 + x + x 2

2! +

x 3

3! + ... (20)

evaluada en un número negativo, por ejemplo -10


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Productos Internos

Una opción muy común en cálculo numérico es la de sumatoria deproductos internos, las que son propensas a errores por redondeo

n

i =1

x i y i = x 1y 1 + x 2y 2 + . . . + x ny n (21)

una opción para evitar dichos errores es el uso de la precisión extendida


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Bonus: Cálculo de decimal a binario

calculo de 100 decimal a binario

valor resultado residuo

100 50 0

50 25 025 12 112 6 06 3 03 1 1

1 1 1

resultado:(100)10 = (1100100)2 (22)


clase 5

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Bonus: Cálculo de decimal a binario

calculo de 0.3125 decimal a binario

0.3125 ·

2 = 0.625 −→

00.625 · 2 = 1.25 −→ 10.25 · 2 = 0.5 −→ 00.5 · 2 = 1 −→ 1

resultado:

(0.3125)10 = (0.0101)2 (23)


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