Imagineque, comocadamañana, sualarmasuenaa las8hde lamañana.Al escucharel sonidodeldespertador,mira su relojdepulseraparaasegu-rarsedequeaúnpuedeaprovecharesosúltimoscincominutosdegloria, o sueñoextra, que tanbiensientanal cuerpo.Ni siquieraha llegadoa saltar (esundecir)de la cama, yya sonpor lomenos seis lasecuacionesmatemáticasquehanhechoposiblesestasdosescenascotidianas.Porun lado, el chipdememoriaquealmacena lahoraensureloj jamáspodríahaber sido inventadosin la ecuación funda-mentalde lamecánicacuántica.Porotro lado, gra-cias a las cuatroecuacionesdel electromagnetismodeMaxwell, el serhumanopudofijar el tiempoenunaseñalde radioquenos informaconstantementede lahoraen laquevivimos.Yesta señal electro-magnética–el tiempoqueapareceen lapantalladenuestro reloj–, sólo sepuededesplazardeacuerdocon loqueseconocecomo laecuacióndeonda.Es-tas seis fórmulasmatemáticasnosólocambiaroneldespertar suyoyelde toda lahumanidad, sinoque,juntoaotras, hancambiadonuestrahistoria.

Si las expresionesmatemáticasnuncahubieranexistido, elmundoseríamuydistintoa tal como loconocemoshoy. “Internetutiliza constantemente

TextoYaiza Saiz

Las leyes nos gobiernan, algunas soncaprichosas y sobre todo efímeras; otras,como las científicas, nos acompañan siempreymarcan nuestra vida: desde la ley de lagravedad de Newton hasta el modelo de Black-Scholes, usado por los banqueros para predecirel comportamiento delmercado financiero

TEOREMADEPITÁGORAS

Significado En todo triángu-lo rectángulo, el cuadradode la hipotenusa es iguala la sumade los cuadradosde los catetos.RelevanciaGracias a estaecuación, que nos explica larelación entre los tres lados

DAVIDSTANLEY

Ecuacionesque cambiaronnuestra historia

24ES-24 DE AGOSTO DEL 2013

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de un triángulo rectángu-lo, el hombre aprendióa calcular distancias entérminos de coordenadas.“Abrió la posibilidad amediren la tierra, a navegar porlosmares y a edificar enarquitectura”, afirma Claudi

Alsina. Y aunque el teoremaparezca ser un revelaciónúnica delmundo occidental(su descubrimiento recaeen la escuela pitagórica dela antiguaGrecia), “otrasculturas que no tuvieronconexión entre sí también

descubrieron esta relación”,añade elmatemático.Los egipcios utilizaban lafórmula para construir suspirámides triangulares, y enel Chou Pei, una obrama-temática china escrita entreel 500 y el 300 a.C., también

se recoge el teorema.Aplicaciones Fue vital parael trazado demapas y poste-riormente para el desarrollodel sistemade navegaciónpor satélite (GPS), presenteen teléfonosmóviles y otrosequipos.

Uno de los triángulosmásbellos del mundo, una carade la pirámide de Kefrén,en Giza

EN CASA25

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LEYDEGRAVITACIÓNUNIVERSAL

Significado Fuerza es igualamasa por aceleración.Relevancia La ecuación delfísico inglés Isaac Newton,publicada en 1687, “inicial-mente explicaba por qué unplaneta orbita alrededor delSol siguiendo una trayectoriaelíptica, pero lamisma ecua-ción es aplicable a cualquiernúmero de cuerpos –explicaelmatemático Ian Stewart–;puede describir la órbita detodo el sistema solar o deuna galaxia entera”. Conesta ley se pueden predecirlos eclipses, las órbitasplanetarias, la reaparición decometas y la rotación de lasgalaxias.Aplicaciones Se usa paradiseñar sondas espacialesy “ayuda a calcular nuevastrayectorias eficientes paralos satélites”, añade Stewart.A través de este cálculo esposible ahorrar combustibleen el despegue y despla-zamiento de lasmisionesespaciales.

LAFÓRMULADEEULER

Significado En cualquierpoliedro convexo, caramásvértices igual a aristasmásdos.Relevancia Formulada porel alemán Leonhard Euleren 1750, describe la formao estructura de un espacio,independientemente de laalineación. “Matemática-mente es de una gran bellezay sorpresa, pues esta relaciónnumérica no sirve sólo parapoliedros, sino que puedevaler para infinitas figurasgeométricas”, asegura Alsi-na. Fue fundamental para eldesarrollo de la topografía yes una herramienta esencialpara el trabajo de ingenierosy biólogos.Aplicaciones “Tienemúl-tiples aplicaciones, no sóloen geometría o topografía,sino también a la hora dedefinir y delinear grandesredes de transporte”, explicaelmatemático. Además, seutiliza para comprender elcomportamiento y funcióndel ADN.

DISTRIBUCIÓNNORMAL

Significado En una curvaen formade campana, laprobabilidad de observar unvalor concreto esmayor cer-ca de lamedia, y disminuyerápidamente amedida queuno se aleja.Relevancia Ecuaciónde AbrahamdeMoivre,hallada en 1733. Es la baseteórica imprescindible de laestadísticamoderna y de lasociología. “Se aplica paraestudiar distribuciones queayuden a tomar decisionessobre algo”, aclara Alsina.Permite hacer sondeos políti-cos, estudios para decidir enqué punto esmejor construirun centromédico según ladensidad de población (porejemplo).Aplicaciones Según explicaClaudi Alsina, “gracias a estafórmula es posible regularlas colas en las autopistas,las acumulaciones de tráficoen un determinado puntoo el tiempo de espera parapagar en las cajas de un su-permercado, entre otros”.

LAECUACIÓNDEONDA

Significado Si algooscila, afecta a su entornopropagándose comounaonda. Esta vibración puedetransmitirse por el agua, laacústica del aire o la luz.Relevancia Elmatemáticosuizo Daniel Bernoulli ysu colega francés JeanD’Alembert fueron losprimeros en describir esteconcepto en el siglo XVIIIal estudiar cómo vibrabanlas cuerdas de un violín.“Es una demis ecuacionesfavoritas porque, aunqueexplicamuchos aspectos delamúsica –afirma Stewart–,también describe ondas detodo tipo”. La ecuación deonda generaliza la forma enque se propaga el sonido y laelectricidad o cómoocurrenlos terremotos.Aplicaciones Las petroleras,por ejemplo, activan explo-sivos en la tierra para luegopoder analizar los datos delas ondas de sonido y asídeterminar la presencia deformaciones geológicas.

ECUACIONESDEMAXWELL

SignificadoDemuestran quelos campos eléctricos ymag-néticos viajan en ondas quese desplazan por el espacio ala velocidad de la luz, lo quequiere decir que la electrici-dad y elmagnetismono sondos fenómenos aislados.Relevancia Estas cuatroecuaciones, descubiertas porfísico escocés James ClerkMaxwell a finales del XIX,describen y predicen el com-portamiento de todos losfenómenos electromagnéti-cos. Según CarlosMuñoz, es-te estudio es importantísimoporque “unificó dos teoríasfísicas, la de la electricidadcon elmagnetismo, dandolugar a una única teoría aldescubrir que la luz es unaonda electromagnética”.Aplicaciones Casi todas lastecnologías que usamos adiario se basan en este grupode ecuaciones. “De aquí hansurgido las ondas de radio olosmóviles”, añade el físicoteórico. También la televi-sión, el radar, el wi-fi...

TEORÍADELARELATIVIDAD

Significado La energía esigual a lamasamultiplicadapor la velocidad de la luz alcuadrado.Relevancia Cuando Einsteinla formuló en 1915nadiepensó que, tanto ecuacióncomoautor, se converti-rían en icono de la cienciamoderna del siglo XX. “Esimportantísima porque loque define es que energíaymasa son lomismo”,aseguraMuñoz. Explica latransformación en energíade los cuerpos que viajan cer-ca de la velocidad de la luz,cambiando nuestra visión delamateria y sustituyendo lasleyes deNewton.Aplicaciones Sirvió de basepara el desarrollo posteriorde la energía atómica, lasplantas nucleares y lasbombas. Ha sido crucial parala construcción de los acele-radores de partículas, comoel GHC de laOrganización Eu-ropea para la InvestigaciónNuclear, donde se investiganlos orígenes del universo.

V+F=E+2

E=mc2

F=Gm

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F(x)=

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Las ecuaciones ayudan ahacermás fácil nuestra vidacotidiana, pero también nosproporcionan informaciónsobre los fenómenos quesuceden a nuestro alrededor.Comprendemos el cambioclimático gracias a lasma-temáticas y actuamos juntoa ellas frente a los desastresnaturales. Ian Stewartrecuerda, por ejemplo, que“cuando el volcán islandésEyjafjalla entró en erupciónen el 2010 produciendonubes de polvo que impe-dían el tráfico aéreo, lasecuaciones se utilizaron paraseguir elmovimiento de esasnubes, ya que era imposibleobservarlo directamente”.También las ecuacionespueden predecir “cómo lalluvia radiactiva, consecuen-cia por ejemplo del desastrede Fukushima, se extenderáy cómodecaerá con el tiem-po”, añade elmatemático.Casi todas las catástrofesnaturales se pueden explicara través de lasmatemáticas,“el problemadeviene enpoder prevenir cuándo vana ocurrir esas catástrofes–advierteManuel de León–;la tierra no está pasiva y nopodemos controlarla, pero silo hacemos bien en un futurosí que podremos y, además,será factible aprovechar anuestro favor la gran canti-dad de energía que generanesos fenómenos”.En el último año también seha culpado a una ecuaciónde ser la responsable delderrumbe del sistemafinanciero. Supuestamenteelmal uso delmodeloBlack-Scholes propició unacoartadamatemática para lacreación de inmensosmerca-dos financieros globales quefinalmente estallaron. “Seha culpabilizado a losmate-máticos de haber desarrolla-do los instrumentos que pos-

teriormente han servido almercado de valores –explicaDe León–; pero la culpa nola tiene una ecuación, sinoelmal uso de las cosas. ¿Oacaso Einstein, al formular lateoría de la relatividad, fueresponsable de la invenciónde la bomba atómica?”, sepreguntaDe León. Lasmate-máticas pueden prever comofuncionará elmundo, perono tienen la verdad absolutasobre cada situación futura.“Algunos economistas estántrabajando ahora en lamejora de ecuaciones parapoder controlar el sistemaeconómico global con sensa-tez – afirma Stewart –, perohaymucha resistencia porparte de la industria, que noquiere ser controlada”.

OTRASECUACIONESRELEVANTES

Transformadade FourierSe utiliza para comprimirinformación en el formatode imagen JPEG –uno de losmás usados en la fotografíadigital– y para descubrir laestructura de lasmoléculas,información vital para com-batirmales comoel cáncery alteraciones genéticas.

Ecuación deNavier-StokesPermitió la fabricación devehículos aerodinámicos yel desarrollo de los actualesjets de pasajeros. Es funda-mental enmedicina para elestudio del flujo sanguíneoy a nivel ambiental para elanálisis de la polución.

Ecuación de SchrödingerRevolucionó elmundo de lafísica a pequeña escala y fueesencial para el desarrollo desemiconductores y transis-tores, base de la tecnologíainformáticamásmoderna.

Teoría de la informaciónde Shanon Contribuyó alcampodel desciframientode códigos y al desarrollode comunicaciones seguras.Se utiliza para detectarerrores en códigos tanto eninternet comoen criptogra-fía, neurobiología o códigosmoleculares.

Elmodelo deBlack–ScholesEs especialmente polémicoporque algunos expertosdicen que el uso indebido deesta fórmula es el respon-sable de la actual crisisfinanciera.

ecuacionespara intercambiardatosde formafiable, el sistemadenavegación (GPS)denuestroscochesnecesitadealmenoscuatroecuacionesdistintaspara funcionar, y escuchar la radiooverla televisiónnuncahubiera sidoposible sin lasecuacionesdel electromagnetismodeMaxwell”,explica IanStewart, catedráticodeMatemáticas enlaUniversidaddeWarwick (Inglaterra),miembrode laRoyalSocietyyautordel libro 17 ecuacionesque cambiaronelmundo (Crítica). “Haymuypocasactividadescotidianasquenorevelenecuaciones.¡Incluso la compradeverdurasporpartedeunacadenadealimentaciónsebasaenecuacioneses-tadísticasparacomprobarquévariedadesdeestosvegetales sonmejores!”, añadeelmatemático.Unaecuaciónsiempreactúacomopuente, importandomásbienpoco lograndequeseael abismoentredos ideasen los ladosopuestosdeunsímbolo=.

Sinecuacionesviviríamosdenuevoenunmundohoyendía inimaginable.Tendríamosqueolvidar-nosdehablarporel teléfonomóvil, deasistir aunareuniónenavión,de saber simañana lloveráoporel contrariohará sol e, incluso,depoderpulsaruninterruptorparaquesehaga la luz.Delwi-fi,deinternet, de la tele, endefinitivade toda la tecno-logía. “Lasecuacionesestánpor todos lados, peronoseven.Nosotrosvemoselmóvil, peronovemoslasmatemáticasquehaydentro”, aseguraManueldeLeón,directordel Icmat (InstitutodeCien-ciasMatemáticas), investigadordelCSICyúnicoespañolmiembrodel comitéejecutivode laUniónMatemática Internacional.El sistemafinanciero,las redesde transportepúblico, los sistemas infor-máticosquegestionanel tráficode las ciudades, elabastecimientodeproductos… todosegestionaconecuaciones. Sinellasnoexistirían las ciencias socia-les, la economía, la estadísticayquizás tampoco lasociología. “LeonardoDaVincidecíaqueningunaciencia sepuedeconsiderar ciencia sino tienecon-tenidomatemático–recuerdaManueldeLeón–.Dehecho,nopodemosentendernadadelmundohastaquenoponemos lasmatemáticasdetrás”.

Tampocosinecuacionespodríamosentendernuestravidacotidiana. SegúnClaudiAlsina, ca-tedráticodeMatemáticasde laUPC(UniversitatPolitècnicadeCatalunya)yautordevarios librosdedivulgacióncomoVitaminasmatemáticasoEl clubde lahipotenusa (Ariel), “la ecuaciónde levantarse

por lamañanaafortunadamentenoexiste, peronosalimosdecasa sin lasmatemáticas incorporadas.Preparamosnuestraagendadiariadeacuerdoconecuaciones, conunaestructuramatemática”.Granpartede loquehacemosen lavidaes “resolverproblemas”, diceelmatemático, y lasmatemáticassonel caminopara resolverlos. “Algunosde losproblemasquesenosplantean incluyennúmeros,otrosno.La lógica, el razonamiento, el argumentar,nonecesitandeuncálculo, pero tambiénsonunapartede lasmatemáticas”, afirmaAlsina.

Ese lenguaje tanabstractoe incomprensibleparamuchos (el lenguajematemático)nosóloexplicaeldía adíadelmundo, sino tambiéneldeluniverso.“Fórmulas tan sencillas yclásicas como lasecuacio-nesdeNewtonrevelanporquénosmovemosporelsueloyal saltar caemosdenuevosobreél–explicaCarlosMuñoz, catedráticodeFísicaTeóricade laUAM(UniversidadAutónomadeMadrid) ydirec-tordel InstitutodeFísicaTeóricadelCSIC-UAM–.Si saltásemos sobre laLunanoselevaríamosmuchomásaltoporquesumasaesmáspequeñayhaymuchamenosatraccióngravitacional”.

Toda ecuación es importante, y nadie puedecertificar que alguna seamás relevante que otra,pero algunas fórmulas clave estánpresentes en lacabeza de todos por haber contribuido a cambiarla historia de la humanidad.s

LASECUACIONESRIGENNUESTRODÍAADÍAYELDELUNIVERSO

MATEMÁTICASPARAEXPLICARLACRISISOELCAMBIOCLIMÁTICO

ANTESDESALTARDELACAMAYASEHAN‘DESPERTADO’HASTA SEISECUACIONES

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