¿Es posible enseñar a resolver problemas? Jordi Deulofeu. Congreso PISA-Resolución de problemas

¿Es posible enseñar a resolver problemas? Estrategias para mejorar el aprendizaje

Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals

Jordi DeulofeuUniversitat Autònoma de [email protected]

Congreso PISA 2012 Evaluación por ordenador y resolución de problemas

Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE)Madrid, 2 de Abril de 2014

mailto:[email protected]


It is better to solve one problem in five different ways than to solve five problems in one way.

George Polya (1887 – 1985)


Sobre problemas, matemáticas y ciencia

¿En que consisten realmente las matemáticas?¿En axiomas, como el postulado de las paralelas? ¿En teoremas, como el teorema fundamental del álgebra? ¿En conceptos, en definiciones, en teorías, en fórmulas, en métodos?....

La matemática seguramente no existiría sin todos estos ingredientes, todos son esenciales, pero ninguno de ellos es el corazón de la disciplina, puesto que la principal razón de existir de un matemático es resolver problemas y por lo tanto, en lo que realmente consiste la matemática es en [plantear] problemas y [encontrar sus] soluciones” (P. Halmos, 1980, p.519)


Sobre la educación y los problemas

- ¿Por qué la resolución de problemas tendría que ser el núcleo de la enseñanza de las matemáticas, de las ciencias y de otras disciplinas?

- ¿Qué problemas son adecuados en las diferentes etapas?

- ¿Cómo hay que plantear y gestionar las actividades centradas en la resolución de problemas?

- ¿Qué actitud hay que favorecer en relación con esta actividad?

- En definitiva, ¿qué problemas constituyen buenas actividades de aprendizaje? ¿cómo gestionar la clase para ayudar a los alumnos para que aprendan a resolver problemas?


Plantear y resolver problemas, ¿para qué?

- Ayudar a los alumnos a progresar en su autonomía a través de problemas que les lleven a tomar decisiones, a comprender las informaciones que reciben, a ser creativos y también críticos con aquello que se les presenta y con aquello que hacen.

- Desarrollar múltiples competencias (pensar, razonar, argumentar, modelizar, utilizar técnicas, comunicar,…) y contribuir a la construcción del conocimiento propio.

- Mostrar lo que son las matemáticas y la ciencia en general y crear interés por ella, como parte importante del conocimiento generado por la humanidad, relevante tanto por él mismo como por sus aplicaciones.

- Dar sentido al hecho de plantearse problemas y al reto que supone tratar de resolverlos.


Los problemas como actividades de aprendizaje

CUANDO PROPONEMOS UN PROBLEMA EN EL AULA, ¿QUE QUEREMOS QUE LOS ALUMNOS HAGAN?

1. Comprender el problema, traducirlo a un lenguaje adecuado y usar modelos pertinentes que posibiliten su resolución

2. Utilizar conceptos, herramientas y estrategias pertinentes.

3. Mantener una actitud de investigación ante un problema, ensayando estrategias diversas.

4. Generar preguntas y plantear problemas.

EN DEFINITIVA, GENERAR EN CLASE UN AMBIENTE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Paulo Abrantes)


Los problemas como tareas de aprendizaje para el aula

Cuando presentamos un problema hay que tener en cuenta muchos aspectos distintos, todos ellos relevantes:

- El contexto del problema (o de la situación)

- La formulación y la presentación del problema

- El tipo de problema (construcción / prueba)

- Las posibilidades de generalización (campo de problemas)

- Los conceptos y/o técnicas curriculares involucrados

- Las heurísticas que pone (o puede poner) en juego……….


Cuando los alumnos resuelven problemas…

Si proponemos la resolución de un problema de cierta complejidad, como una tarea de clase desligada de un tema concreto y pedimos, además, que traten de explicar cómo lo han resuelto, ¿qué hacen los alumnos?

- Posible bloqueo inicial…. ¿Cuándo? ¿Por qué?

- Ensayos y tentativas para establecer un plan

- Uso de sus propios conocimientos (métodos informales)

- Explicaciones inicialmente descriptivas y evolución hacia otras, explicativas y finalmente argumentativas.


Un ejemplo con alumnos de 6º de primaria

Problema: Arnau ha comprado una alfombra muy grande de 6 m de largo y 3,6 m de ancho. La alfombra está formada, como se puede ver en la figura, de pequeños cuadrados que contienen el dibujo de un Sol o de una Luna.

1.Cuando la alfombra esté totalmente desplegada, ¿cuántos cuadrados pequeños habrá en total? 2.¿Cuántos cuadrados pequeños contendrán un Sol? ¿y una Luna? 3.Resuelve el problema y después explica como lo has resuelto.


Gina

Métodos formales (1ª)Métodos informales (2ª)

Discurso verbal- narrativo:

Explicativo (1ª)

Argumentativo (2ª)


Mariona

1a pregunta: Calcula el área pero no sabe continuar. Entonces utiliza el dibujo en lugar de los datos.

2a pregunta: detecta el patrón y explica la solución con un discurso esquemático, con lenguaje verbal y numérico, bien estructurado.


La resolución de Tom

Resuelve el problema por métodos informales:

Divide 3,6 : 9 = 0,4. Luego,en lugar de dividir 6 : 0,4 hace:

0,4 x 7 = 2,82,8 x 2 = 5,65,6 + 0,4 = 6

Habrá (en el largo):7 + 7 + 1 = 15 cuadraditos


Sobre las producciones de los alumnos

Los ejemplos anteriores son una muestra de la capacidad de los alumnos de 6º para resolver un problema complejo, tanto para diseñar un plan como para ejecutarlo y explicar sus resoluciones.

Casi todos los alumnos resolvieron el problema de modo coherente.

Las formas de resolución fueron muchas y diversas, y en la mayoría de casos alejadas de resoluciones formales: ningún alumno calculó las respectivas áreas (alfombra y cuadradito) y las dividió.

El conjunto de producciones sugiere que la tarea, aun significando una demanda compleja, permite un alto desarrollo de competencias diversas. La discusión en clase mostró tanto la riqueza de los planteamientos como la dificultad para utilizar (y dar sentido) a determinadas operaciones (p.e. una división de dividendo decimal)


¿Que podemos hacer los profesores para ayudar a los alumnos a resolver problemas?

Consideremos las distintas tareas del profesor al abordar una situación de enseñanza:

- Diseño y planificación

- Gestión del aula (implementación de la planificación)

- Evaluación de los aprendizajes


En el ámbito de la planificación

Empezar por enseñar conceptos y técnicas primero y luego plantear problemas para aplicar los conocimientos supuestamente adquiridos no es, habitualmente, el mejor camino.

Hay problemas especialmente adecuados para hacer emerger la necesidad de nuevos conceptos y técnicas.

Un buen camino puede ser: Seleccionar problemas adecuados, proponer su resolución, mostrar los conceptos involucrados y establecer relaciones entre las estrategias de resolución informal de los alumnos y las formales de la ciencia, mostrando la potencia, la validez y el posible nivel de generalización de cada una de ellas


Proponer problemas en contexto

Un ejemplo: Cálculo de la altura, el volumen y la masa de las columnas de la UAB. Una actividad del Campus Ítaca (junio 2013)


Diferentes formulaciones de un problema

Problema 1. La altura de una columna de granito es de 40 m. La base es cuadrada y mide 3 m de lado. ¿Cuál es el volumen de la columna? Si la densidad del granito es de 2750 kg/m3, ¿Cuál es la masa de la columna?

Problema 2. Para calcular la masa de una columna de granito (densidad granito: 2750 kg/m3) cuya base es cuadrada y mide 3 m de lado, necesitamos su altura. Nos situamos a 40 m de la columna y desde el suelo medimos el ángulo de elevación bajo el cual se ve la columna. Si el ángulo es de 45º, calcula la altura, el volumen y la masa de la columna.

Problema 3. Queremos calcular el volumen y la masa de las columnas de la escultura de la Universidad Autónoma de Barcelona. Disponemos de instrumentos (cinta métrica, odómetro, clinómetro y teodolito) para medir longitudes y ángulos. ¿Como podemos hacerlo? ¿Qué datos necesitamos? ¿Existen diversas maneras para resolver el problema? ¿Cuáles dan resultados más precisos?


Planificación de la actividad (problema 3)

1. Formulación (y justificación) del problema.

2. Diseño de un plan de resolución: ¿cómo lo haremos?

3. Obtención de los datos: Trabajo de campo (toma de medidas)

4. Resolución del problema y justificación de los métodos

5. Comparación de resultados y análisis de los errores

6. Explicación del problema: preparación de una exposición

7. Presentación oral del problema con soportes adecuados

TIEMPO TOTAL: 4 horas


Algunos ejemplos de las producciones de los alumnos

Cuando los alumnos preparan su exposición deben estructurar la misma teniendo en cuenta que hay que exponer toda la actividad de la manera más completa posible.

En este caso, deben contextualizar el problema: quien es el autor de la escultura, cual es su significado, cuales son sus dimensiones, como se construyeron, cual fue su coste, …

A continuación presentamos, a modo de ejemplo, algunas de sus producciones (extraídas de uno de los trabajos que utilizaron para su presentación)

Las Columnas de la UAB de Alfaro

Andreu Alfaro fue un gran escultor valenciano. Nació en Valencia el 5 de agosto de 1929 y murió el 13 de diciembre de 2012.

Cuando vino a la UAB para hablar de su obra, el rector le propuso hacer la escultura de las columnas.

Significado de las columnas

La columnas de la UAB significan la unión entre la comunidad universitaria y las relaciones entre la naturaleza, la ciencia, el arte y la identidad.

Este Sur

Norte

Oeste

El Problema i los instrumentos

Los problemas que nos hemos planteado son: medir la altura, el volumen y el peso de cada columna.Los instrumentos:- Clinómetro: sirve para medir el ángulo respecto a la vertical. - Teodolito: sirve para medir el ángulo respecto a la vertical y también respecto a la horizontal. - Cinta métrica: es un aparato que sirve para medir distancias cortas. - Rueda métrica: es un aparato que sirve para medir distancias largas .

Tomado datos reales

DISTINTOS MÉTODOS PARA HALLAR LA ALTURA

Método 1: CONTAR PLACAS. Medir la altura y la anchura de una placa y multiplicarlo por las placas que hay en la columna.

Método 2: TEOREMA DE TALES. Medir la altura y la sombra de una persona y después la sombra de la columna.

Método 3: TRIANGULO ISOSCELES.Medir la distancia desde el punto donde hay 45º respecto al punto más alto de la torre.

Método 4: SEMEJANZA. Medir la distancia que hay desde un ángulo cualquiera hasta el punto más alto de la torre.

Método 5: FOTOGRAFIA. Medir la altura de un alumno y hacerle una foto con la columna. Después ver cuántas veces cabe el alumno en la columna (foto) y llevarlo a la realidad.

Volumen y masa de las columnas

Para calcular el volumen hemos medido los lados de una placa. El resultado lo hemos multiplicado por 82 (número de placas totales de la columna oeste).

V (placa) = 3m x 3m x 0.50m = 4,5m3

V (columna) = 4,5m x 82 placas = 369m3

Para calcular la masa hemos utilizado el volumen y la densidad del granito, que hemos hallado en internet:

Massa = Volumen x densidad

M = 369m3 x 2700kg/m3 = 996300 kg 996,3 toneladas

¿Cómo están construidas las columnas?• Las columnas de la UAB parece que están construidas de

granito compacto, pero hemos calculado que pesarían demasiado y no se aguantarían.

• Resulta que en realidad están vacías por dentro y tienen un cilindro de hierro. Por esto pesan mucho menos y se aguantan bien. Lo descubrimos con las fotos de su construcción.


¿Cuáles son las diferencias? La opinión de los alumnos

- Tenemos una pregunta y no tenemos datos- Hay que hacer el problema desde el principio hasta el final- Lo hacemos de distintas maneras pero no sabemos cual es el resultado exacto- Hemos tenido que explicar cómo lo hemos hecho y porqué está bien- Conocíamos el método de la sombra pero ha sido el más difícil de hacer porque el suelo no era plano- Hemos descubierto que las columnas parecen compactas pero no lo son- Hemos trabajado en equipo durante toda la actividad

Hacia una metodología que favorezca el trabajo de las competencias en el aula

- El trabajo por competencias implica adoptar una metodología determinada, tanto en la planificación y el diseño de actividades de aprendizaje como, especialmente, en la gestión del aula y en la evaluación.

- El trabajo relacionado con los contenidos (de todo tipo) sigue siendo relevante, pero si queremos que los alumnos sean capaces de utilizar los contenidos aprendidos en contextos diferentes es necesario que les proporcionamos oportunidades para hacerlo en el trabajo cotidiano en el aula.


Problematizar siempre que sea posible

Podemos empezar haciendo pequeños cambios en las formulaciones de las actividades que permitan dar sentido y aplicar lo que aprendemos, manteniendo el nivel tanto de aprendizaje conceptual como de práctica de técnicas.

EN LUGAR DE: Ejercicio: Encontrar los divisores de 24, 39 y 72 (individual)

PROPONEMOS: Problema: ¿Cuál es el número, menor que 100, que tiene mas divisores? ¿Cómo podemos hacerlo para responder a esta cuestión? (actividad individual y colectiva)

QUÉ SENTIDO TIENE: ¿Por qué es importante saber que un número tiene más o menos divisores que otro? La medida del tiempo (el calendario, un contexto históricamente y socialmente relevante)

Problematizar para aprender

La medida del tiempo: un contexto interdisciplinario pera plantear buenas preguntas

Hagámonos preguntas sobre el calendario. Por ejemplo, referidas a:

- Su estructura - Su relación con los movimientos de los astros - La etimología de las palabras empleadas - Su historia - Su influencia en nuestra organización social.

Análogamente podemos hacernos preguntas sobre la medida del tiempo "pequeño"


Los juegos, un contexto para resolver problemas (I)

Interés por los juegos de estrategia como problemas. ¿Por qué?

Si los alumnos practican con pequeños juegos de estrategia, aprenden a resolverlos, analizan posibles variantes y llegan a plantear y resolver generalizaciones, ¿adquirirán algunas competencias que les permitan afrontar con mayores garantías la resolución de otros problemas, más allá de mejorar su capacidad para resolver este tipo de juegos?

Una reciente tesis doctoral (Navarro, 2013) muestra que la respuesta a la pregunta anterior es positiva.


Los juegos, un contexto para resolver problemas (II)

Al realizar un taller de juegos de estrategia, los alumnos de secundaria mejoran en muchos aspectos directamente relacionados con la resolución de problemas:

- En la comprensión de los problemas, en particular de la demanda de los mismos y la relación pregunta - datos.

- En la capacidad para analizar y explicar los problemas.

- En el uso de heurísticas adecuadas y su uso coherente.

- En los lenguajes utilizados para la resolución

- En su efectividad como resolutores.


¿Cuándo y cómo? La importancia de una buena secuenciación

¿Es adecuado cualquier juego en cualquier momento?

El estudio se ha realizado con una muestra amplia de alumnos de los cuatro cursos de la ESO y también de Estalmat.

Se ha podido constatar que si bien las mejoras se dan en todos los cursos, es en el primer ciclo de la ESO, y en particular en 2º curso, donde estas son más significativas.

Esto indicaría que entre los 12 y los 14 años es una edad especialmente adecuada para realizar actividades curriculares en un contexto de juegos de estrategia.


Un juego de estrategia del proyecto NRICH http://nrich.maths.org.

En una estrella pentagonal ponemos 10 fichas (ver figura). Cada jugador, a su turno, puede quitar una o dos fichas, pero en este caso será necesario que las dos fichas estén unidas por un segmento (y sin ninguna ficha, o espacio vacío, entre ellas). El jugador que consigue quitar la última ficha gana la partida. ¿Cuál de los dos jugadores tiene ventaja?¿Cómo hay que jugar para ganar siempre?

http://nrich.maths.org/

Contexto lúdico: ¿Juegos de estrategia o problemas?

Cuadrados y círculos: juego para dos jugadores. Situación inicial: Dibujamos cuadrados y círculos en una línea. Por ejemplo empezamos con 8:

Objetivo: Para ganar, un jugador debe lograr que al final quede un cuadrado. El otro jugador que quede un círculo. Las jugadas: Cada jugador, a su turno elimina dos figuras: si estas son iguales las cambia por un círculo y si son diferentes por un cuadrado.

Una reflexión: Cuando enseñamos debemos tomar decisiones entre principios en conflicto

Es preciso decidir en que punto nos situamos sobre:

- Contenidos – contextos – intereses de los alumnos- Homogeneidad – heterogeneidad / diversidad- Métodos: informales – formales- Lenguajes: oral – escrito / verbal - simbólico - Técnicas y rutinas – procesos de orden superior- Intuición y experimentación – argumentación- Formas de resolución – resultados- Retos complejos – asegurar éxitos

Sobre la evaluación de la resolución de problemas

a) Sobre la evaluación en general Debe tener una función reguladora de los aprendizajes y debe formar parte del proceso de enseñanza - aprendizaje.

b) Sobre la evaluación del logro de competencias Cuando evaluamos una técnica proponemos una actividad para verificar el nivel de logro de la misma. La valoración / calificación de este ejercicio puede ser clara y, a menudo, cerrada.

Sin embargo, cuando queremos evaluar una competencia el establecimiento de criterios es mucho más complejo y la valoración de lo que hace el alumno lo es aún más. Antes de llegar a poder cuantificar, es necesario establecer criterios (y niveles) para caracterizar bien que significa alcanzar (hasta cierto nivel) una competencia.

¿Cómo podemos hacerlo?

Una de las formas que estamos utilizando es la evaluación a través de rúbricas.

El primer paso consiste en construir una rúbrica general para una competencia determinada.

Luego, para cada actividad de evaluación seleccionamos aquellos criterios de la rúbrica general que se pueden evaluar a partir de esa actividad.

Las rúbricas permiten relacionar evaluación con aprendizaje si las hacemos explícitas a los alumnos. De alguna manera una rúbrica contiene todo lo que esperamos que el alumno haga cuando desarrolla de manera exhaustiva una determinada actividad.

Veamos un ejemplo correspondiente a la competencia de resolución de problemas.

Una propuesta de rúbrica para la competencia: resolución de problemas (I)

- Identifica datos y unidades implicadas en la situación.- Explica el problema con sus palabras.- Representa el problema mediante esquemas, gráficos, dibujos geométricos, expresiones aritméticas...).- Interpreta y utiliza correctamente las magnitudes y unidades.- Usa el tanteo para hacer una estimación de la solución.- Simplifica la situación - problema a otros conocidos.- Identifica patrones/pautas que pueden ayudar a la resolución.- Usa estrategias/algoritmos conocidos para hallar resultados.- Elige la estrategia más eficaz.- Incorpora o adapta otras estrategias o algoritmos.- Replantea el problema si la estrategia no le funciona.

Una propuesta de rúbrica para la competencia: resolución de problemas (II)

- Si el problema lo permite, encuentra más de una estrategia para resolverlo.- Da todas las soluciones al problema planteado.- Expresa correctamente las soluciones que da.- Explora la posibilidad de que haya más de una solución.- Comprueba si las soluciones halladas cumplen las condiciones del enunciado.- Se plantea si las soluciones obtenidas matemáticamente son razonables.- Explica de manera clara y ordenada si las soluciones encontradas son razonables o no.- Relaciona las respuestas con las preguntas formuladas, si hay más de una.

Determinación de niveles (inicio)Resolución de Problemas Grado

de logro

Items

de la competencia 1r nivel

(inicial) 2n nivel

(intermedi) 3r nivel

(expert)

Identifica datos y unidades implicadas en la situación. Sí. Sí. Sí.

Explica el problema con sus palabras. Sí, pero con dificultades Sí. Sí.

Representa el problema mediante esquemas, gráficos, dibujos geométricos, expresiones aritméticas...).

En general no Sí, pero no siempre las utiliza bien

Sí. A menudo no necesita acabar la representación y pasa al uso de expresiones simbólicas

Interpreta y utiliza correctamente las magnitudes y unidades. No siempre. Si, en general Sí.

Usa el tanteo para hacer una estimación de la solución. En general no Si, en general Si

Simplifica la situación - problema a otros conocidos En general no Si, pero a veces necesita

ayuda. Sí, en general


A modo de conclusión (I)

Hay dos puntos clave que atañen a la planificación de la enseñanza y a la gestión de la misma. En relación con el diseño de tareas, los problemas propuestos deben proporcionar oportunidades de aprendizaje reales. El trabajo con problemas en el aula debería proporcionar oportunidades para:

- Ayudar a construir los conceptos más relevantes, las relaciones entre dichos conceptos y las distintas formas de representación de los mismos.

- Desarrollar y aplicar los procedimientos y las técnicas propios de las distintas disciplinas (matemáticas, ciencias, tecnología,...)

- Utilizar las heurísticas, tanto las de carácter general, que difícilmente pueden enseñarse de manera explícita, como las herramientas heurísticas específicas que pueden ser objeto de enseñanza


A modo de conclusión (II)

Los problemas deberían ser la fuente principal para la elaboración de actividades de aula. Determinar qué es un "buen" problema, como actividad de aprendizaje es difícil, pero algunas características que debería cumplir son:

Que permita experimentar y/o construir y/o argumentar Que admita diferentes niveles de resolución Que se pueda enmarcar en una situación más amplia Que posibilite la discusión y la reelaboración Que se relacione con conceptos del currículo

Muchas de estas características dependen no sólo de la situación / problema, sino de su formulación


A modo de conclusión (III)

En cuanto a la gestión de la clase, la actitud del profesor debe ser la de crear un ambiente de resolución de problemas (de interrogación, de discusión, de colaboración) y proporcionar las ayudas necesarias para que los alumnos puedan avanzar en su proceso de resolución.

Son posibles y deseables distintas organizaciones que van del trabajo individual a las discusiones con el grupo clase, pasando por el trabajo en parejas y en pequeños grupos. Cada una de estas formas de trabajo aporta elementos importantes y a menudo complementarios, desde el fomento de la autonomía y la toma de decisiones fundamentadas, hasta la incentivación de las distintas interacciones que promueven la argumentación y la comunicación y, en definitiva, la construcción de conocimiento.


A modo de conclusión (IV)

Nuestro papel como profesores, hoy, sigue siendo fundamental: seleccionando y secuenciando las actividades, gestionándolas, ayudando al alumnado en su trabajo y evaluando todo el proceso.

Sin embargo, una condición: que nosotros también nos planteemos y resolvamos problemas, además de dar oportunidades a nuestros alumnos para hacerlo.

Entiendo que un trabajo conjunto en la línea que he tratado de exponer es imprescindible para que la educación que proponemos sea relevante para la formación de todos los ciudadanos.


Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica el tiempo a ejercitar a sus alumnos con operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si pone a prueba la curiosidad de sus alumnos, planteándoles problemas adecuados y les ayuda a resolverlos con preguntas estimulantes, podrá despertar el gusto por el pensamiento independiente, además de proporcionarles ciertos recursos.

George Polya (1887 – 1985)


LA PRIMERA CONDICIÓN PARA QUE LOS ALUMNOS QUIERAN RESOLVER PROBLEMAS

ES QUE A SUS PROFESORES LES GUSTE HACERLO

LA SEGUNDA CONDICIÓN ES QUE LOS PROFESORES ESTEN CONVENCIDOS QUE SUS ALUMNOS PUEDEN

HACERLO.

MUCHAS GRACIAS

¿Es posible enseñar a resolver problemas? Jordi Deulofeu. Congreso PISA-Resolución de problemas

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