[EL DÍA DE AYER

SE VIÓ A DOS

VECTORES EN

5TO PISO :O]

Ana Fernanda Montes de Oca 12137

Jacobo Pieters 12552

Ana Teresa Ruíz 12457

Escalando tus metas

es una revista cuyo fin

es entretener a los

lectores al mismo

tiempo que les brinda

toda información

acerca de los

vectores

Conócenos

Nombre: Ana Teresa Ruiz

Carne: 12457

Estatura: 1.54m

Edad: 19

Gustos: Me gustan mucho los animales y me

interesan mucho los temas de salud

humana, mi carrera es administración y mi

hobbie es resolver matrices.

Nombre: Ana Fernanda Hernandez

Carne: 12137

Estatura: 1.50 m

Edad: 19

Gustos: Mi pasión es Zrii, me gusta la

fiesta y los ambientes sociales, mi

carrera es la administración y mi

hobbie es realizar derivadas

Nombre: Jacobo Pieters Escaler

Carne: 12552

Estatura: 1.83 m

Edad: 19

Gustos: Me gusta experimentar con

reacciones químicas, leer,

interpretar vectores en R3 y hacer

deporte

Indice

Vectorin………………………………………………………………………………………………………...5

Glosario…………………………………………………………………………………………………………6

Método de Gauss…………………………………………………………………………………………...11

Propiedades de producto vectorial…………………………………………………………………….12

Igualdad, sustracción y producto de escalar por vector………….….…………………………...13

Desigualdad de Cauchy y de triangulos………………………………………………………………13

Distancia entre dos vectores……………………………………………………………………………...13

Producto escalar…………………………………………………………………………………………….14

Formulas……………………………………………………………………………………………………….16

Rectas en R3……….………………………………………………………………………………………….17

Recta en R2……………………………………………………………………………………………………18

Distancia de un punto a una recta………………………………………………………………………20

Distancia de un punto a un plano……………………………………………………………………….20

Distancia entre rectas paralelas…………………………………………………………………………..21

Distancia entre planos paralelos………………………………………………………………………….22

Ecuaciones en Zp…………………………………………………………………………………………….23

Vectores en Rn………………………………………………………………………………………………..24

Planos en R3……………………………………………………………………………………………………25

Aritmética modular ………………………………………………………………………………………….26

Codigo de barras e ISBN……………………………………………………………………………………28

Vectores generadores………………………………………………………………………………………30

Entretenimiento……………………………………………………………………………………………….31

Respuestas……………………………………………………………………………………………………..35

Actividades…………………………………………………………………………………………………….37

Bibliografía……………………………………………………………………………………………………..38

Hola amigos, me llamo Vectorín y los

acompañaré durante todas las ediciones

de esta editorial entreteniéndolos e

informándoles acerca de las noticias. No

te olvides de participar en la pregunta del

mes!

Glosario

Vector: un vector es un segmento de recta dirigido en el espacio, tiene

un principio y un final

Notación de un vector: Los vectores se escriben con letras en castellano,

mayúsculas o minúsculas, y en negrita o con una flecha arriba de ellos

Vector Equivalente: son aquellos vectores cuyas magnitudes tienen el

mismo valor

Vector Renglón: vector que se escribe de manera horizontal. Ej U=[1,2]

Vector Columna: vector que se escribe de manera vertical.

Vector Paralelo: Vector que tiene la misma dirección, no importando el

sentido que este tenga, son múltiplos escalares entre sí.

Vector Ortogonal: también conocido como vector perpendicular, son

aquellos que tienen un ángulo de 90 grados con otro vector. El producto

escalar de los vectores debe ser igual a 0.

Sabias qué

Si dos vectores se multiplican obtienes un escalar y si dos

escalares se multiplican obtienes un vector

Vector Unitario: vector cuya magnitud es igual a 1, también recibe el

nombre de vector de dirección.

Normalización del vector: proceso para obtener un vector unitario

Recta: sucesión infinita de puntos con una dirección, tiene una sola

dimensión la cual es longitud,

Vector en posición estándar: Un vector está en posición estándar

cuando su punto de inicio es el origen (0,0)

Vector nulo: Vector con magnitud 0 y dirección indeterminable.

Magnitud: es la longitud del desplazamiento de un vector

Expresión de magnitud: la magnitud se expresa al colocar al vector

dentro de dos palos.

Componentes: los datos que forman el vector

Cuadrante: sectores del plano de coordenadas.

Ley de cosenos: cosΦ= (U·V)/|U||V|

Producto Vectorial: Solo está definido en R3, el resultado es un vector

paralelo a los dos vectores originales.

Producto Escalar: operación entre dos vectores que da como resultado

un número real, se multiplican sus componentes por el angulo que hay

entre ellos.

Teorema de Pitágoras: Establece que la raíz de la suma del cuadrado de

los catetos es igual a la hipotenusa.

Método de Gauss http://www.youtube.com/watch?v=GHGdLBaTuLM

El producto escalar es la operación binaria de dos vectores.

También se puede llamar:

Producto punto

Producto interno

Producto interior

Para poder realizar el producto escalar, los vectores deben de

tener la misma cantidad de componentes.

Con el producto punto se puede calcular:

Ángulo entre dos vectores

(ITCR, 2004)

Proyecciones

Magnitud o longitud

También contribuye a encontrar ecuaciones de la recta.

Determinar si dos vectores son ortogonales entre sí.

El producto escalar satisface la propiedad conmutativa

=

El producto escalar satisface la propiedad distributiva

respecto a la suma

Si θ= 0° el producto escalar de vectores paralelos es

es el máximo

El producto escalar de dos vectores iguales es

Si θ= 90° el producto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero

es = AB cos 90° = 0

Si θ= 180° el producto escalar de vectores opuestos es = AB cos 180° = -

AB es un número negativo

C(u+v)=cu + cv

(u u)= U12 + U22 > o = a 0.

Sean u =[U1,U2] y v=[V1,V2] vectores en |R2, se define el producto punto así:

u v= [U1V1 + U2V2]

Magnitud de u=[U1,U2]

||u ‖ = √(u u)

Proyección de un vector v sobre u

Proy uV= (u v) u

u u

Ángulo entre 2 vectores Cosθ=(u v)

|u| |v| Se expresa

en grados (°)

Si (u v)=0 entonces estos vectores son ortogonales entre ellos.

Para hacer la

proyección, se debe

trazar una línea partir

de la punta de la punta

del que se quiere

proyectar (v), que se

sea perpendicular a u.

Ejemplo: Una rec ta pasa por e l punto A (−1, 3) y t iene un

vector d i rec tor = (2 ,5) . Escr ib i r su ecuación vector ial .

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1,3) y tiene un

vector director = (2,5).

Escr iba sus ecuaciones paramétr icas.

Se considera afín el sistema de referencia afín {O; e1, e2}. Sea P ∈

R2 con P = (p1, p2).

Un punto X pertenece a VP si y solo si P_X ∈ V , si y solo

si existe un escalar λ tal que

PX = λv .

La ecuación vectorial de la

recta VP es:

Un punto X de coordenadas X = (x, y) pertenece a VP si y solo si P_X ∈ V , si y solo

si existe un escalar λ tal que PX = λ ・ v .

La expresión P_X = (x − p1, y − p2) = (x − p1)e1 + (y − p2)e2 nos indica que λ(v1e1 + v2e2) = (x − p1)e1 + (y − p2)e2.

Sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Al conocer los dos puntos las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación general:

Ax + By + C = 0

NOTA

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal .

Para recta definida por su ecuación reducida y siendo A un punto de la forma A = (x,y)

Es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta. Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

Ejemplo:

Para hal lar la d istancia entre dos en

rectas parale las, se toma un punto

cualquiera, P, de una de el las

y calcular su distancia a la otra recta.

La distancia entre dos rectas

paralelas r y s se reduce a calcular la distancia entre un

punto cualquiera de una y la otra recta, es decir, estamos en el

caso anterior:

CHISTE:

Dos rectas paralelas se

cortan en un punto siempre

y cuando el punto sea lo

suficientemente gordo.

Recuerda que dos planos son paralelos:

1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la

ampliada 2

2) Cuando si A, B, C y A’, B’,C’ son los

coeficientes de las variables de cada plano.

3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mismo que

decir que el sistema es incompatible, que no se puede resolver.

OJO

La distancia entre dos planos

paralelos viene determinada por la

intersección con ambos planos de una

recta perpendicular a ellos. El

segmento determinado por los dos

puntos de intersección (uno con cada

plano) sobre dicha perpendicular será

la distancia buscada.

Se llaman ecuaciones en Z porque el valor de la variable pertenece al conjunto de los números enteros.

Si a los dos términos que componen una ecuación se le suman o restan cantidades iguales no se altera el resultado de la ecuación

Si a los dos términos que componen la ecuación se le multiplican o son divididos por una misma cantidad no se altera el resultado de la ecuación

Si se multiplica por -1 con el fin de cambiar los signos de toda la ecuación el resultado no se alterara.

Cualquier término de una ecuación puede ser trasladado o transpuesto de un miembro a otro de la igualdad si se le cambia el signo.

Angulo de intersección entre rectas

Si la recta L1, con ecuación y = mx + b,se interseca con la recta L2,con ecuación y = m2x+ b2, se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ. Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente: Como en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Angulo de intersección entre dos planos:

a - Hallar la intersección entre los dos planos.

b - Dibujar un plano perpendicular a la

intersección de los dos planos, I, en cualquier

lugar

c - Hallar las intersecciones, X e Y, del plano

perpendicular con los dos planos dados, P y Q

d - Abatir las dos rectas intersección, X e Y,

respecto del plano perpendicular

e - El ángulo, M, formado por las dos rectas X e

Y abatidas es el ángulo formado por los dos

planos.

El coeficiente que acompaña a la variable que queremos despejar puede pasar al otro lado de la ecuación dividiendo o multiplicando a lo que se encuentre en el otro lado de la igualdad.

Ejemplo:

3 · x – 5 = 40

Los elementos de Rn admiten principalmente dos representaciones geométricas. Una de ellas, como punto

de una recta, plano o espacio, ya la conocemos. Ahora introducimos una nueva representación como vector

o segmento orientado. Veamos ambas representaciones:

i) Representación como puntos.

ii) Representación como vector.

Las operaciones básicas con vectores en Rn

son la suma de vectores y la multiplicación

por un escalar la diferencia sería que en estos

serian n-esimos elementos y n-esimos

vectores ejemplo:

Para suma de vectores

X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).

Para multiplicación de un vector por un

escalar

H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).

Aritmética modular

- En la aritmética solo existen las sumas y multiplicaciones

- Se trabaja con una base que se representa con una

- Dependiendo de la base con la que se trabaje se permitirán los

números, por ejemplo

En Z5 se permiten los números 0,1,2,3,4

Al llegar al número que indica con que base se tabaja, el

conteo vuelve a empezar

- Las ecuaciones se resuelven llegando al número neutro de la

suma para dejar solos los términos de X y luego al número neutro

de la multiplicación para dejar sola a X.

- Si no se puede llegar al neutro en cualquier situación se sustituye

cada valor permitido en la ecuación hasta hallar una igualdad,

si no hay igualdad se escribe no hay respuesta

Código de Barras e ISBN

- El código de barras se trabaja en Z10 y sus dígitos se multiplican

por un vector que va alterando los números 1 y 3, este vector

siempre termina en 1

- El digito que haga falta será lo que haga falta para llegar a 10

- El ISBN se puede trabajar en Z11 o en Z14, la base depende de

cuantos dígitos tenga, si tiene 10 dígitos se trabaja con 11 y si

tiene 13 dígitos se trabaja con 14.

- El vector por el cual se multiplica va en orden decendente.

- La suma de los números multiplicados debe ser 0

Entretenimiento

1. Vector

2. Vectorin

3. Vector paralelo

4. Magnitud

5. Producto Punto

6. Vector Columna

7. Vector unitario

8. Normalización

9. Componentes

10. Vector renglon

Encuentra el número que hace falta

Código de Barras

ISBN

Respuestas

Un vector que va por la calle y se encuentra a otro que hacía años que no veía.

vector 1 - ¡Ey! ¿Qué tal todo?

vector 2 - Pues ya ves, estoy estudiando

vector 1 - ¿Ah, sí? ¿Y qué estudias?

vector 2 - Un módulo

Encuentra el número que hace falta

Código de Barras

ISBN

1. Encuentre la proyección de v sobre u.

v= [1,2] u =[3/5, -4/5]

2. Calcule:

-la magnitud de v

-la dirección de u

-el producto escalar entre v y u

-el ángulo entre los vectores v y u

3. 2ˆ100 en Z11

4. 2x + 3 = 2 en Z5

Bibliografía

http://www.todohumor.com/humor/chistes/chistesacercadeformulasvectores.

http://www.rae.es/rae.html