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18 Glculo integral vectorial
18.i Integrales de lnea
Terminologa
La nocin de integracin de una funcin definida en un intervalo se puede generalizara la de integracin de una funcin definida a lo largo de una lnea (recta o curva). Paraeste fin necesitamos introducir una terminologa referente a lneas o curvas. Supongamosque e es una curva parametrizadaporx = f(l), y =g(t), a :5 t < b, Y queA yB sonlos puntos (f(a),g(a y (f(b) , g (b , respectivamente. De la Seccin !." recordemos que
#i$ Ces una curva alisadasil' y s' son continuas en [a, b] y no son cero simult%neamen& 'te en (a, b). (dem%s que
(ii) e es alisadaparte por parte si se puede e)presar como la unin de un nmero finitode curvas suaves alisadas.
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18.l InteQTales de linea 861
Integrales de lnen el plano.
/t.os cincopasos
siguientesc
onducenala
sdefinicionesdetresin
tegrale
(ii) e es una curva cerrada siA **B,(iv) e es una curva cerrada simple siA = B Y la curva no se cruza a S+ rnisrria(v) Si e no es una curva cerrada, entonces el sentido positivo de e es el&sentido corres&
pondiente a los valores crecientes de t.
#al curva
alisada(b) curva alisada
partepor parte#e$ curva
cerradapero no simple
(d) curvacerrad
a
simpleFigura 18.1
La -igura "." ilustra cada uno de los tipos de curvas definidas en #i$iv$. La reginR, interior a una curva cerrada simple, se dice que es simplemente c/01l,2l3a. 4naregin simplemente cone)a no tiene *agu3eros*. 56ase la -igura ".7. .
e,
R. no es simplemente cone)a
Figura 18.2
tt
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s de lnea (o decurva) en el plano.
z=G(x,
y
)
12. Sea 8 definida en algunaregin que contiene a la curva y
alisada e definidaporx9f(l), y 9 g(t), a :5 t :5b.
13. Divdase e en 1Isu:arcos de longitudesSs, seg;n la parti&cin a = lo < tJ < ...< I = b de [a, b). SeanXk y !".#$las longitudes de lasproyecciones de cadasu: arco so:relos e3es.x Y"li3a
unpunto(x
%,y%)encadasu:arco.
16.
-orme
las
su
mas
n
:k;1
n
:cut.
f
)
&
S
$
.
k
~
1
1.D!I"I#I$" 18.1
Sea 8una funcin
dedos varia:les)y !definida en unaregin del plano quecontienea una curva alisada8. >ntonces
#?$ la
integral de
lnea de G a lo
largo de e de
A a B con
respecto ax es
r G(x, y) x =
lmi G(xt,yt) !".x,%
Je
;
'
p
I
L
.
O
J
-
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. I
la integral de lnea de # a lo
largo de e deA aB con
respecto a y es
n
G
(
x,
)
d
=
.
.
.
lm@G
(
x
t
.
.v!)"
"
#
ei~"#1 ....$ l% !. &' mpleandox como par%metro,de #".E$ y #".C$ resulta que
fex dx * x&d 9 +l x(x9) dx * x&(9x&dx)8 *& 6x6dx
&1
T t CI7 T "!7 :
9
& C .&1 .
, .
(1.)
,
,
"!7
5
-
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a la curva 8. 8omo = x9, entonces d = :x&x. >mpleandox como
par%rnetro,
de #+S.E$ y #".C$ resulta que
+
& 7
0cxy x &*&x&d "&"x(x9) x * x&(:x&x)2
9 0.t ;x6 x== #+X;%&
C 71
"'.
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D2 18 #lculo integral vec1-rial #
/22.
+g(t)
#
(
(lte
rnativamente.
silacurvaeesdefinida
mediant
Mtodo de evaluai!n
Si 8es una curva cerrada suaveparametrizada porx = f(t),' = g(l), a V ts# b, entoncesse tiene de inmediato '
(dem%s, aplicando #D."E$ de la Seccin D.C y la parametrizacin indicada encontramoss = J([g'(t?) t . Por lo tanto.
. (x,,,v) ds 9 J' (f(t). g#t$l5=F.f=#"WX&
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eunaf
u
ncine)
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=
(
x
)
,
a
V
x
V
b
,
puedeutili
zarsexcomounpar%metro.>mpleando y= '(x)
dx y ds
8
0" *Rf=#)$07
x, lasintegrales delneaprecedentesseconvierten,respectivamen
te, en
(
x
,
y
)
d
x
=
J
+
(
x
,
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ali
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parte
por
par
teesed
efine
comola
s
u3
adela
sintegrales encadauna delascurvasalisadas cuya
unines >.Pore3emplo, si eest%compuestapor lascurvasalisadas el yez'
entonces~
',
:
,
y
)
d
s
=
%-
(
x
,
y
)
d
s
*
*
A#,". ,$ ds .
l
.
#
"
#
7!.
>aluar(a)
f
2x
y
dx
(b)
2
y
y
,
(e)
fe
xy
s
enelcuar&
todcircunferenciaedefinido
por=
Ecos1,
=
Esent.
/s
Pr
7.
56a
l
=
J
$
J
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Figura18.$
24.
2e acostum:ra escri:ir esta suma como una integral sin par6ntesis, corno
&, . lc=+"x. y) dx ? 8lX. y) d v o simplemente i 7 dx * 7 dv.. ; .~.~% . & ~ 4'
,&&7&&&&-&&& &&:&.~~~. Ejemplo 2 ..y ., 2 ,< 3'',,, - >valuarfe x dx * )2y en donde e est% dada por 19Pl
#7,$ &"1x##> 7.&
#
1
#
l ???@i& a1.;.
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..
864
25.Kec
u6r
desequepara
integralesdef
inidas
b
if
(x
)
d
x
(& 1. & 1)
%otai!n>n mucNas aplicaciones se presentan integrales de lnea como una suma
i# n. y) x * ! 7(x, y) d,
( 1.)
*oluci+n >n la -igura ".E se ilustra la curva 8. 8omo =x9, entonces d = :x&x. >mpleandox comopar%metro,de #".E$ y #".C$ resulta que
( xy dx * x&d 9 J+x(x9) x * x&(:x&x)0c &&1
@ *& 6x6dx& #
9 ,FJC07 9 l225 &1 5-
e
.
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= & iLasintegralesdelneaposeen unapropiedad
seme3ante.SiABdenotaintegracina lolargodeunalnea
curvae deeB,entonce.s,comosemuestra enla-igura".C,
& dx
7 y
Ji..vi
o enformaecrivalente
& dx
9 /.A
)
.r
2.
idx
d>
i.7ix,
y) dx
*
8(x,
y) d>
fe(x.
y) ds,
etc
6
tera.Lo
ssm:olosVic
y"ics
erefieren aintegraciones enlossentidospositivo y
nega&tivo,respectivamente.
7.7.
#
a
$
s
e
n
t
i
d
o
p
o
s
i
t
i
v
o
.
#:$
sentido
positivo
Figura
1B.4
. #el=
sentido
negativo
'
Integrales de lnea
a"B"2#a#rg#C"d#e"c#u>rv#a."s"""'#'l?erradas simples
>n una curva cerrada simple e, es necesario precisar el sentido de 2nfegracin ya queel punto iniciaFA y el punto terminal B usualmente no se= especifican. Se e)presaque el sentido positivo de una curva cerrada simple e es aquel en el que se de:e moverun punto so:re la curva, o :ien el sentido en el que de:era caminar una persona so:re8para que la egi6R limitada por ese mantenga asu izquierda. 56ase la -igura " .#a$.Los sentidospositivo y negativo corresponden convencionalmente alsentido contrarioal del relo< y alsentido del relo
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"." ' +ntegrales de lnea
9/emlo >valuar 6.. x en donde e es la circunferenciax&* & = l.
Solucin Pararnetrizando la curva comox := cos t, == sen t, / V I V 1,sentidopositivo de e corresponde al sentido en que t aumenta. Por lo tanto,
l x x = #7"" cos (>set I) 9 le >os2t07=* = 1[1 & ++ 9 o.De)o 7 o 7
8'
9/eml
o477.................................7
.................................-..77.
.77..................................-
..................................
#
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>
v
a
l
u
a
r
6
.
.
y>x &xiy en la curva e mostrada en la -igura ".#a$.
Solucin Puesto que e es alisada partepor parte, e)presamos la integral comouna suma de integrales. Sim:licamente,
en donde el- e2y e@ son las curvas mostradas en la -igura ".#:$. >n el. se empleax como par%metro. 8omo == /, d = /1 por lo tanto,
. & x &x&d = #/ x &&x&(D) = /.el %o
y
#7.E$
(a)
@igEa ".
>n el. se usa y como par%metro. Dex = 7, x = /,
(b)
( & dx &x&d 9 t $=7#Q$ & E dJE& *o #
R* =,E@ '>)DI;y9 ,6.o= &1(:
0
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" #lculo integIal vectorial
-inalmente, en 80se emplea denuevox comopar%metro. De y =x&o:tenemosy = x x y as
Por lotanto
Integrales
delneaen elespaio
Las integrales delnea de una funcin de tres varia:les,J2G(x, y, z)x, J
2G(x, y, z)y
A l2G(x, y,
z$dssedefinen demanera an%loga a la
Definicin 1.1. Sinem:argo, se aadea esa lista una cuartaintegral de lnea a lo
largo de una curva
#en el espacio con
respecto a z
.A#l. v, z$
& lm :G(9( . .vi=
~:,.
. {
J&
&11'&
f
-
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B)
Mtododeevaluai!n
Si 8esunacurvaalisadaen elespaciotridimensio2al
definidaporlasecuacionespararn6&tricas
x ==f(t),
== g(t),
z == F(t),
a ~ t 2 b,
entonces la
integral #".B$
puede
evaluarse
empleando,
b
fe (x, y, z$ dG ==. (f(t), g(t),F(tF'(t) .u.
Lasintegralesl2G(
x, y,
z$x y
J2G
(x,
y, z)
y
seeval
;an de maneraseme3ante.La integral de lneacon respecto a lalongitud de arco es
fe (x,, z$ ds
==+ (f(t),g(t), F(tv '$f'(l)f
* $g'(t/& *
$F'(t)f dt .
. ,>n el espacio
tridimensional amenudo se trata conintegrales de lnea enforma
de suma, como en#l.$..
F
(
.
/
,
.
3
.
:
)
x
.
.
$
.
.
U
8
,
v
,
.
$
v
*Hlx.
-
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= . >).d,.>t /i
77E
jemplo5
7
.7
valuarle!
x *xd
* ;::
z,
endond
e 8es laN6licex= 7cost, !
9 7sen t.# z =t, / :5 t :5
21-.
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"." ' +nteg
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%ngulo do:le,
la (4 cos &t * t) dt
R7 sen &t *2rH7PP=7.
Ea3posvectotiales=Punciones vectoriales
como@(x,
y) 9F(x,
y)i *7(x,
y)0
y @(x,, z) = F(x,.z$i * 7(x,, z$3 *R(x,, z$Z
tam:i6n se llamancampos vectorlales. Pore3emplo, el movimientode una corriente deaire C de un lquido sepuede descri:ir pormedio de un ca3po develocidades #o de velocidad) en el que se puede
asignar a cada punto unvector que represente lavelocidadde una partcula en dicNopunto. 56anse las -iguras".#a$ y ".#:$. >lconcepto deca3po de fuerGas #o deEeza)3uega un papelimportante en mec%nica,electricidad ymagnetismo. 56anse las-iguras ".#c$ y ".#d$.
a)
corr
ien!
e
deaire
alrededor
del
al
(#..-l 3,::-;ll1
1o
l
-
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a
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.
la,placascilndricasfluyenmi* #%rido
ce
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de
l
centr
o
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!".
2.8'8 " ' 8%lculo integral vectortal
Gaba0o
>n el 8aptulo vimos que el tra:a3o realizado al mover un o:3eto de . = a ax = bpor aplicacin de una fuerza @(x), que vara en magnitud pero no en direccin, est%dado por la integral
.& rFH 9 *a @(x) x -. #"."Q$
>n general, un campo vectorial @(x, y) = F(x, y$i * 7(x, y$3 que act;a en cada puntode una curva alsada 8x = f(l), = g(l), a :5 t :5 b, vara tan2Ufen magnitud comoen direccin. 56ase la -igura ".B#a$. SiA Y B son los puntos #f#d.3[#%2$Y (l(b), g(b?,respectivamente, se pregunta @cu%l es el tra:a3o realizado por E cliiiIo>"'punto de apli&cacin se desplaza a lo largo de 8, deA aB/ Para contestar e2tipr=tg\in=ta =stipongamosque 8 se divide en "" su:arcos de longitud tls $ >n cada su:ar6U1226[, yt'"es una fuerzaconstante. Si la longitud del vector tl$. = #), & ).T'y%&'*))'%.**+'I9. *&- ~y% esuna apro)imacin a la +ongitud del Z&6simo su:arco, como se muestra en la -igura ".B#:$,
tonces el tra:a3o apro)imado realizado por E en el su:arco es
(#E(6!, y,nl cos )#1rkl = @(xt, yt). ;1rk@ 7(x#' yt) 5Xk* 8(Xk, y$) 5!k'
Sumando estos elementos de tra:a3o ypasando al lmite, resulta natural definir el tra:a3orealizado por @ a lo largo de e como la integral de lnea
J = J7(x, y) dx * 8(x, y) d.e
#".""$
@oa ve2toital
Si 8 es una curva descrita por una funcin vectorial (l) = f(t)i * g(t)0, entonces-t = f'(t)i * g'(l)0 sugiere definir = $f'(t)i * g'()0] t = xi * y0. De estamanera, #".""$ puede escri:irse en forma vectorial,
H = . - . (1B.1)
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.
A(x+.y E
v *
[J
~#&&&
(a) (b)
@ga 1.K 3
".2 ' +ntegrales de l+nea 8'0
en donde - = 7i * U3. (Nora :ien, puesto que
dr dr ds& &&dt ds dt '
Nacemos = H s, en donde H = - s es un vector tangente unitario* a 8. Por lo tanto,
J@ #-=dr9 (.Dds@ (co3pDds. (1B.1:)
le le le>n otras pala:ras, el traban este caso dr = dxi * d< * z$.
Ejemplo 6
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!E.
e
@igEa 1.1 G(x,, z) 9 zx = 8/S ", 9 sen t. _ = ", o Vr V PH?7
l , ,L. G(x, y, z$ = 6xG>x = (H- y = t@, M= -,
CKtK
>n los Pro:lemas &1I eval;efe #7# -+& ')dx *x den la curva e que indica entre #&", 7$ Y #7, C$.
(&1.2)
N. ! = xO ! @igEa 1.1;
?
"Q
12. J y dA & #7 * y) dAR R
"P ' +ntegrales m;ltiples
"C. Si H,f(x, y) dA 2 *E Y 00 H,f(x, y) dA@8u%l es el valor de& J H tQ, y) dA/
"E.
,-3 ,.
>n los Pro:lemas "C y ". sean R Y R®iones queno se traslapan y sea R = R= 4 R&. ,&=.
". Suponer ,=(x.? 'N>l '' 72 Y*fu,f(x, y) dA 8!Q. @8u%l es el valor de2fll, .I'(x. y) dA =$
17.2 Ite!r"les iter"#"s
tniearactona2ial
Podemos definir la integracin parcial de manera an%loga al proceso de diferenciacinparcial.
Si @tx, y) es una furicin tal que(x, y) = f(x, y), entonces la integral parcialde . con respecto a y es
P,(X) %g,(X)
f(x, y) y = (x, y) = tx, PG(x & @t?,gQ(x ..#n otras pala:ras, para evaluar 0fg1 f(x, y) y * mantenemosx fi3a, mientras.que en.. : J&%g* f(x, y) dx mantenemos y fi3a=. ,,,== . =. .
,..&&& 77 Ejemplo 1 & &&&&.&&&&&&&&'~:&...,..c,...:..77-;;;-..;:..;::&~&&&&&&
>valuar (a) r (LX& & E2$ d ' 0 , ,(b) ; (Lx&& E2$ x.
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"P.7 ' +ntegrales iteradas
>n el e3emplo precedente de:e o:servarse que
811
y
!.
j
mplo (
>valuar
=3=e*=n
X)l d.
'
SolucinHratando axcomo
constante,o:tenemos
'
9
7
cos
9#J'
cos
2&&&T.T&T.T&&&&&&&&
Solucin
~
(a)
+ (Lx&& E2$ d 9 $&xl & 6x ln"yl+
Y)fi3a 2
9 #l) & 6x +n 7$ & (x & 6x +n "$@ 6x & 6x +n 7
r&&+y+l/al&&&,! # 22r 2 7!
(b) (Lx&& E,F$ x 9 $9X&&& 72I-1 ! ! -1
# +1.!i/.J&&&&1
9 (&N& & 2$ & (9l & 2$
@ &6lT 1!
*
l(
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X&,Tcas X'?'+ sexy d =
~e&
xt=x.r
_______ o
Re
gioeseti
o
"11
La regin
que se
muestra en la
-igura
".B#a$,
H# a Cx C b,
g=(x) C !
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suvez
integrar la funcin resultante con respecto ax aNora. Si . escontinua en unaregin de tipo +, entonces
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B.EQ.E".
81( 1 Integrales m2ltiples
C iP'QX> *b $iS&5') %
? f(x,) d dx 9 $tx,) d dx. o .&3lt4) I.$ %I(.t&
(1&.4)
es una integral iterada deF en la regin. La idea :%sica en #".E$ es realizar integraciones'' )
sucesivas. La integral parcial da una funcin dex, la cual es luego integrada en la manerausual, dex = a ax = . >l resultado final de %m:as integraciones ser% unti;2e,ro real.
Demanera seme3ante, definimos una integral itcrada de una funcin contlu.afrPuoaiegi+valuar la integral iterada e-(x,y) = 7)yenla regin que se muestra en la -igura "."Q.
.T&&&&T.T&&&&T.T&&&T.&.T .$. TT.T&&&&
y
=x" * #
x7
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42.4.".7 Integrales iteradas
= + $6x&*xe/r d9 + R#"D? * &e!) & (6& * ye.l,)% d= LQE (1i * y-) &'
0 ,. +ntegracin porpanes
$6i *e' & e.'l= 7C &"& valuar +l + (Lx&& E2$ d dx .
815
0Pore
lresultadode(
a)
del>3emplo"
,
!
7
"
[J7
I
;0(L
x&
&E2$dd
x9;"
(L
x&
&E2$dd
x
= ( #lE) & 6x +n 7$ dx
Figura 1(.1)
!4-
T Ejemplo 4 &&
>valuar t R7= (x * el') x d ..lo . I
*oluci+n De #".C$ se ve que
+ !- (x * e'%) x d = + Rf= (x * e') 9] d
,, ,
$
1
-
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@ [3x&& x19 9 EE. Bl.
EE.-&~&&&&&'',K;'-' &".&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.&&&&=
.,
.-
.r
Figura 1(.11
. ;
~
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EC.
816
1 +2te2sm;ltip"es
,,#t>"" , *
prraza dela supe1ficie&&&&l
Ln elplanox 9 con stamc3E.
?x
(x, g,(x), D)
v = IU,(9)
4.S J
".! valuaci+n de integrales do6les 81.
7.9 J'IX 1& & dv dx
+ 4 9 * # ~
9&. J; J fT.x, y) dx dJ*+1 .,
0 5+D&y=
99.* J [tQ, y) dx d y&1 o
::. -2 ., I
!E. !i !'f(x, y) y dx
&N. JRJ' #cos) &sen)ddx..,. o
:=& + 7sen2/&U. r dr dC.;;*12 I
9.* *.=! J' " 2 OQ= V r dr aeo 5-1). t7
&&. - :::. n los Pro:lemas !"&!E di:u3e la regin de integra&cin de la in3eg al iterada indicada.
( (9:t+ ,
$1. ! f(x, y) y dx
;ro6lemas diversos!C. Si . y g son integra:les, demuestre que
d bi i f(x)g() dx el.R' @#f =(x) dX)(=' g(y)2!).
1.5 valuaci+n de integrales do6les
Las integrales iteradas de la seccin precedente proporcionan los medios para eva&luar una integral do:le*2Hf=x, y) dA en una regin de tipo " o de tipo ++, o :ien unaregin tal que pueda e)presarse como la unin de un n;mero finito de estas regiones.
T? "P.7
Sea . continua en una reginH.#?$ SiH es de tipo +, entonces
f(x, y) A 9 t 1----) $tx, y) y dx.
0. '(9)H
#i+$ SiH es de tipo "+, entonces
f(X,V) A 9r fn(,)f(x, y) dx y.
)e ,J,&H
#".$
#".$
C2 ,=.,.. >l Heorema ".7 es el an%logo para integrales do:les del Heorema -undamental, 2 2ael 8%lculo, Heorema C."". (unque el Heorema ".7 es difcil de demostrar, podemos
. adquirir cierto sentido intuitivo de su significado considerando vol;menes. Sean Kunaregin de tipo " yG = f(x, y) continua y no negativa en R. >l %reaA del plano vertical,tal como se muestra en la -igura "."7, es el %rea :a3o la traza de la superficie z @f(x, y) en el planox = constante, ypor lo tanto est% dada por la integral parcial
A(x) = ,"'X)f(x.) d.81(.'cl
5ariando aNorax se suman todas estas %reas desdex 9 a Nastax 9 b, Y se o:tiene elvolumen 1 del slido situado arri:a deH y de:a3o de la superficie
M = lb A (x) dx 9 lb Q;'1+ [ix, y) dv dx.(1 a 81(-&
...
*
*
2 *
**
x = constante
-
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Figura 1(.12
Pela
1
H
-
>
as dey
1, # 97, #9x,y y 9,x *5,
*oluci+n8omo
seveenla-
igura"
P
.
.
"!
,laregines
detipo
+l1por
lo tanto,por #"P,P$ integramos primero conrespecto a,*xe la frontera izquierdax = y, a la fronteraderecNax = C & y%
**
exW9
)'
dA
H
2 s&v
%, . exW:ydx d& N, &1"&*,IC&$=
e+ d.
*,+ [e:W&!&'6.'% d
" CX7$= " E,I7')1' ,& E"= "
1' 1 -; 1 P 1 E
*E@,&'( ,>Qe &e' * ;1' = ~1,3),
&&&~'/P.&& 2
Figura1(.1$
*
R
-
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".! valuaci+n de integrales do6les 81
8omo unaayudaparareducirunaintegraldo:le auna
integraliteradaconlmitesdeintegracincorrectos,es ;tilvisualizar,como sesugiereprecisame
nte en ladiscusinanterior,la integraldo:lecomo unprocesodesumatoriado:le. K>n unaregin detipo " laintegraliterada2"2"#"""(x, y)
yxCi
eo esunasumatoria
en ladirecciny.Ar%ficam
ente, estose indicapor laflecNaverticalen la-igura" ."E#a$1
elrect%ngulo tpicode la
flecNatiene por%rea dx. Lay2olo2a
a antesde la
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xsigii>
ea que los *vol;menes*-(x, y) y x deprismas construidos so:re losrect%ngulos, sesuman verticalmente con respecto a ydesde la curva frontera inferior g=, Nastala curvafrontera superiorg&' La x que sigue a lad significa que el resultado de cadasumatoriavertical se suma luego Norizontalmente
con respecto ax desde la izquierda (x =a) Nastala derecNa (x = b). Para integralesdo:les en regiones de tipo ++, sonv%lidas o:servacio&nes seme3antes. 56ase la -igura"."E#:$. Kecu6rdese de #".7$ de laSeccin "." que2Eao(x,y) = ", la integral do:leA =22H A da el %rea de la regin. De estamanera,la -igura " ."E#a$ muestra que .i.&*&%J y xsEa las Wreas
rectangulares verticalmentey luego Norizontalmente, mientras que la-igura "."E#:$ muestra que & &%&0x y
suma las %reas rectangularesNorizontalmente y luego en formavertical.
#a$ #:$Kegindetipo++
,&&
&- .&&&&Ejemplo2
(pliq
ue unaintegraldo:leparadeterminar el%rea delareginlimitadapor lasgr%&, ficasde
9x&y 9 &x&4#
*oluci+n >n la-igura"."C sepresentanlasgr%ficas ysuspuntos de
interseccin.PuestoqueH esevidentemente detipo +, envirtud de#+ .$resultaque
."
.' (unque
no
proseguirem
os con los
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detalles, la integral do:le se puede definir en
t6rminos deun lmite de una suma do:le tal como .
# # f(x>, M'*,n X..x, L.,.
I % 0
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