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2020. "Año de Laura Méndez de Cuenca; emblema de la mujer mexiquense".

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NÚM. 23 CCT: 15EBH0082O

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO. 23 PLAN DE TRABAJO POR CONTINGENCIA SANITARIA

PERIODO: DEL 01 AL 15 DE JUNIO, 2020 DOCENTE: M. en E. S. NORMA GIL ANGELES

ASIGNATURA: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO CREATIVO IV TURNO: MATUTINO NOTA: Cada trabajo efectuado deberá ser firmado por padre, madre de familia o tutor. Características de los trabajos: Revisar la rúbrica de evaluación.

GRUPO ACTIVIDADES POR SEMANA FECHAS EVIDENCIAS SITIO WEB DE ENTREGA

Segundo Uno

1. Realiza la lectura sobre las diversas Técnicas para generar ideas.

2. Elabora un organizador gráfico de la lectura anterior, de forma creativa y original.

05/Junio 14:00

Fotografía o archivo en pdf de lo realizado.

Google Classroom

Código:

fv646i6

1. En función de tu centro de interés identificado y las lecturas realizadas sobre las técnicas para generar ideas; elabora un prototipo de tu Proyecto de Vida. Puedes utilizar cualquier herramienta, organizador gráfico, técnicas de generar ideas; deja que tu imaginación vuele.

12/Junio 14:00


Segundo Dos



04/junio 14:00

Fotografía o archivo en pdf de lo realizado. Google Classroom

Código:

f5znl5k


11/junio 14:00


Segundo Tres



03/Junio 14:00


Google Classroom

Código:




08/Junio 14:00


2val6lg

Segundo Cuatro



04/junio 14:00

Fotografía o archivo en pdf de lo realizado. Google Classroom

Código:

z6ozz7i


11/junio 14:00




DOCENTE: M. en E. S. NORMA GIL ANGELES

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS IV TURNO: MATUTINO NOTA: Cada trabajo efectuado deberá ser firmado por padre, madre de familia o tutor. Características de los trabajos: Revisar la rúbrica de evaluación.

GRUPO ACTIVIDADES POR SEMANA FECHAS EVIDENCIAS SITIO WEB DE ENTREGA

Segundo Uno

1. Realiza nuevamente lectura sobre la función exponencial y analiza las leyes de los exponentes.

2. Elabora un resumen sobre los aspectos más importantes de la función exponencial.

3. Elabora las gráficas de las funciones indicadas en la lectura. Por lo menos 3 gráficos a elegir (de un total de 10)

05/Junio 14:00


Google Classroom

Código:

225c3lo 1. Analiza qué es la función exponencial natural

y cómo se traza su gráfica. 2. Traza las funciones exponenciales naturales

indicadas en la lectura (son 5 funciones)

12/Junio 14:00

Segundo Dos




04/junio 14:00


Google Classroom

Código:

674y2tt 1. Analiza qué es la función exponencial natural

y cómo se traza su gráfica. 2. Traza las funciones exponenciales naturales

indicadas en la lectura (son 5 funciones)

11/Junio 14:00

Segundo Tres


03/Junio 14:00


Google Classroom





Código:

kwk5f23

1. Analiza qué es la función exponencial natural y cómo se traza su gráfica.

2. Traza las funciones exponenciales naturales indicadas en la lectura (son 5 funciones)

09/Junio 14:00



ELABORÓ REVISÓ

NOMBRE Y FIRMA DEL DOCENTE

__________________________________ M. en E. S. NORMA GIL ANGELES

SUBDIRECTORA ESCOLAR

_____________________________________ DRA. ROSENDA RAMIREZ MARTINEZ

“2020. Año de Laura Méndez de Cuenca: emblema de la mujer Mexiquense”.

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO. 23, LERMA DE VILLADA

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO IV

Docente: M. en E. S. Norma Gil Angeles

“Técnicas para generar ideas”

“La rutina es el hábito de renunciar a pensar”


Semana del 01 al 05 de Junio, 2020. INICIO Actividades a desarrollar: 1. Realiza la lectura sobre las diversas Técnicas para generar ideas.

El pensamiento lateral, instrumentos y técnicas Por: Edward De Bono El pensamiento lateral Existen numerosas técnicas formales de pensamiento lateral. Se ha demostrado, a través de los años de aplicación con gentes diferentes y en diferentes culturas, que estos instrumentos funcionan sistemática y eficazmente. Los instrumentos de trabajo son tan fundamentales y tan básicos para el proceso creativo que si alguien no logra utilizarlos bien es imposible que pueda ser creativo. No obstante, es de suma importancia que los estudiantes del pensamiento creativo se esfuercen por aplicar correctamente los métodos. Sería lamentable que abandonaran en el primer intento, con la convicción de que nunca llegarán a ser creativos. A continuación se presentan algunas de las técnicas más utilizadas. 1. El foco Por lo general no se le considera un instrumento creativo, pero lo es. Creemos que la creatividad sólo se aplica a problemas graves y a dificultades que parecen no tener solución sin una salida creativa. En esos casos suele necesitarse un alto grado de destreza creativa. Supongamos, sin embargo, que usted concentra su atención en algo en lo que nadie se ha molestado antes en pensar. En tales casos, incluso un pensamiento creativo muy pequeño puede producir resultados espectaculares. No existe competencia, estamos en territorio virgen. Hay inventores que triunfan enfrentándose a problemas realmente difíciles y encontrando la solución que todos buscaban. Pero otros eligen campos que nadie había notado y, con una pequeña mejora, producen un invento importante. La búsqueda de estos puntos de atención, inusuales e ignorados, constituye una técnica creativa. El foco es un esfuerzo deliberado por elegir un nuevo foco de atención. ¿Habrá alguna manera de disminuir el tamaño de los paquetes de cereales? ¿Y si encontráramos una manera más sencilla de mejorar los envases? El cuestionamiento El “cuestionamiento creativo” es algo muy particular. ¿Por qué esto se hace de este modo? ¿Por qué hay que hacerlo así? ¿Existen otras maneras de hacerlo?


Lo primero que debemos tener claro es que el cuestionario creativo difiere totalmente del cuestionamiento crítico. El cuestionamiento crítico trata de evaluar si el modo de actual de hacer algo es correcto. El cuestionamiento crítico es un cuestionamiento de juicio. Se dedica a demostrar que algo es defectuoso o erróneo y después intenta mejorar o cambiar la manera como se realiza. Este es el comportamiento normal del perfeccionamiento. El cuestionamiento creativo, en cambio, no critica ni juzga ni busca defectos. El cuestionamiento creativo opera son intención de juzgar. Es un incentivo para lograr la “singularidad”. Se dice que el cuestionamiento creativo es una “insatisfacción creativa”. En cierto modo, el concepto transmite la idea de inconformidad por aceptar algo como la única manera posible, pero la palabra “insatisfacción” también sugiere la idea de imperfeccionamiento. Entonces, hay que aclarar que no se trata de emitir juicios y de atacar a lo establecido sino sólo de una exploración de nuevas posibilidades. La secuencia usual del pensamiento accidental es: ataque y crítica, y después búsqueda de una alternativa. La secuencia no occidental es: reconocimiento de lo existente, búsqueda de alternativas posibles y después comparación con el método vigente. El cuestionamiento creativo se expresa por medio de la pregunta ¿por qué?. El paso siguiente es establecer las alternativas existentes y tratar de poner en práctica las más viables para así obtener nuestro resultado final. El concepto y el abanico de conceptos Un concepto es una idea que se convierte en el punto fijo para otras ideas. Además cada una de estas nuevas posibilidades alternativas se convierte en un punto fijo para ideas alternativa. Así usamos dos tipos de conceptos para lanzar alternativas. Los tres niveles del abanico de concepto son: Direcciones Conceptos o enfoques muy amplios. El más amplio que uno pueda concebir se convierte en la dirección. Conceptos Métodos generales para hacer algo. Ideas Maneras concretas y específicas de poner en práctica un concepto. Una idea debe ser específica; debe ser posible su puesta en práctica directamente. Para construir un abanico de conceptos se empieza por el “propósito” y después se trabaja retrocediendo. En cada paso, uno se pregunta: “Y ahora, ¿cómo llego a este punto?”. De modo que se va retrocediendo desde las direcciones hacia los conceptos, hasta terminar en un conjunto de ideas alternativas. Llegar ahí es precisamente la finalidad del ejercicio.


El propósito del abanico de conceptos e proveer un marco para general ideas alternativas. El marco fuerza las alternativas proporcionando una sucesión de puntos fijos. El abanico puede brindar también nuevos puntos focales. Por ejemplo, uno podría imaginar un concepto pero no tener aun una idea para ponerlo en acción. En el problema del tráfico el concepto podría ser “recompensar a las personas que podrían ir al centro de la ciudad en automóvil pero deciden no hacerlo”. Quizá no haya todavía una manera factible de realizarlo. Entonces, el concepto se convierte en un punto focal creativo.

Provocación Einstein acostumbraba realizar lo que denominaba “experimentos de pensamiento”. Decía: “¿Qué vería si estuviera viajando a la velocidad de la luz?” El niño que coloca un cubo sobre otro “para comprobar que pasa” está llevando a cabo un experimento. La provocación es una especie de experimento mental. Así como muchas nuevas ideas son producto del azar, de un accidento o un error; estos hechos producen una discontinuidad que nos obliga a rebasar los límites habituales de lo “razonable” establecidos por nuestra experiencia. La provocación deliberada es un método sistemática que puede producir los mismos efectos. No tenemos que esperar el cambio, el accidente o el error. Podemos ser temporalmente “locos”, sólo durante treinta segundos cada vez y controlar la situación. Podemos conectarnos y desconectarnos de la locura a nuestro arbitrio. Por eso la provocación es un aspecto tan fundamental del pensamiento lateral y de la creatividad en general. En la firma DuPont hubo cierta vez una reunión para decidir cómo se controlaría un nuevo producto. David Tañer presentó una provocación: “Le vendemos el producto a la competencia”

Lo que provoco el análisis de diversas alternativas para hacer que este producto fuera un éxito en el mercado, ya que se cambió la manera normal de tratar a un producto. Movimiento El movimiento es una operación mental extremadamente importante. Es fundamental para la creatividad. Es casi imposible ser creativo son tener destreza en el “movimiento”. No es una parte normal de nuestro comportamiento de pensamiento, excepto quizás en la poesía. En la lírica nos desplazamos desde las imágenes y las metáforas hacia los significados y los sentimientos. Se considera al movimiento a fin de pasar de una provocación a una idea útil o a un concepto conveniente. Sin movimientos no tiene sentido utilizar la provocación. Podemos decir que “movimiento” significa la disposición a desplazarse de una manera positiva e indagadora, en vez de detenerse para juzgar si algo es correcto o erróneo. En la creatividad lo que no interesa es conseguir ideas prácticas, válidas y útiles. La diferencia consiste en que la creatividad acepta muchas maneras de alcanzar ese objetivo


Los test verbales Se califican así porque tienen la palabra como vehículo fundamental y a veces exclusivo. Van desde lo puramente verbal, en que casi lo único importante es la facilidad para emitir palabras que cumplan las condiciones determinadas, hasta auténticas creaciones donde se recurre a todas las capacidades expresivas del lenguaje y la fantasía juega con la libertad. Aquí están comprendidos la mayor y mejor parte de los test de creatividad. Escribir palabras que respondan a una condición determinada Por ejemplo, que comiencen por cualquier letra dada, o por una sílaba, o que terminen en una letra o grupo de letras. Es ya antiguo el juego de la fuga de letras, pero para que la prueba tenga carácter creativo debe dejar abiertas varias posibilidades de respuestas. Se muestran palabras completas, dos, cuatro, hasta veinte, y se deben formar con ellas variadas frases y párrafos con sentido. Se recomienda que construyan con ese material historias ingeniosas. Únicamente se pueden establecer en las palabras-estímulo las modificaciones gramaticales necesarias, como convertir en plural, modificadores verbales y añadir artículos, preposiciones y conjunciones. Analogías Este es una de las pruebas que tiene mayor poder discriminante y por lo tanto una de las más válidas. Como estímulo se ofrece una palabra, no sólo que tenga numerosos sinónimos sino que además permite aplicarse a campos distintos, por ejemplo raíz, derecho. Se pide que no sólo se formulen lo que pudiéramos considerar sinónimos en un sentido estricto, sino todos aquellos sentidos que van adquiriendo en contextos distintos, al emplear la palabra en situaciones varias. Por ejemplo, duro puede tener un sentido material, como sólido o resistente, o una intención espiritual como tenaz, incansable. Tanto mejor si hay analogías brillantes o literarias. Estas analogías se presentan de modos variados. A veces se invita a descubrir las semejanzas que se dan entre objetos sometidos a comparación. Así, establecer lo que tienen de común entre sí un lápiz y un pincel. La prueba puede tomar otro sesgo. Se pide que enumeren todos los objetos que parezcan en alguna cualidad, por ejemplo: todos los redondos, amarillos o puntiagudos. También se pueden pedir dos condiciones conjuntamente. Tienen indudablemente valor diagnóstico las comparaciones y metáforas. Se indica que deben ser numerosas, ingeniosas: este hombre es tan inaguantable como... La vida es semejante a... Comparaciones, metáforas, símbolos, no hacen sino descubrir relaciones remotas, que es uno de los rasgos del pensamiento creativo. Usos inusuales A veces se designa este ejercicio como redefinición del objeto, porque descubre finalidad distinta de la corriente. Los objetos suelen tener una utilidad fundamental. La silla sirve para sentarse, el plato para poner la comida y el periódico para enterarse de la información diaria. Pero a veces los empleamos para otras finalidades. Con el periódico envolvemos la comida o los zapatos, los niños hacen aviones o construyen gorros napoleónicos, el motorista se lo pone en el pecho bajo la cazadora para combatir la gélida corriente en invierno; inspirados en él hacen camisetas llamativas; se venden los viejos para campañas de caridad y en invierno calientan las manos ateridas de los albañiles


DESARROLLO 2. Elabora un organizador gráfico de la lectura anterior, de forma creativa y original.

Semana del 08 al 12 de Junio, 2020. CIERRE

3. En función de tu centro de interés identificado y las lecturas realizadas sobre las técnicas para generar ideas; elabora un

prototipo de tu Proyecto de Vida. Puedes utilizar cualquier herramienta, organizador gráfico, técnicas de generar ideas; deja que tu imaginación vuele.

Taller de Matemáticas IV

95 Universidad CNCI de México

Sesión 11 Los temas a revisar el día de hoy son:

4. Funciones Exponenciales y Logarítmicas 4.1. Función Exponencial 4.1.1. Gráfica de una función exponencial

4.1.2. Dominio y Rango de una función exponencial 4. Funciones Exponenciales y Logarítmicas Hasta el momento has trabajado una clase de funciones, las llamadas funciones algebraicas, en el tema actual analizarás las funciones exponenciales y logarítmicas, las cuales son consideradas dentro del tipo de funciones trascendentes.

4.1. Función Exponencial Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, donde a > 0, a ≠ 1, y x es cualquier número real. De tal manera que la función f(x) = ax es una función exponencial con base a. Las leyes de los exponentes son aplicables en esta clase de funciones:

Producto de la misma base an x am = an + m y4y3 = y4+3 = y7

Potencia de una potencia (an)m = an x m (y3)4 = y3x4 = y12

Potencia de un producto (ab)n = an bn (5xy)3 = 53x3y3

Potencia de un cociente n

nn

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⎜⎝⎛ 4

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4.1.1

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96 Univers

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4.1.2. Dominio y Rango de una función exponencial

El dominio de una función exponencial está formado por todo el conjunto de los números reales ( ), debido a que en todos los casos está definida, D = (‐∞, ∞). En el rango de una función exponencial, como la función nunca toca al eje de las “x”, el rango de esta función está definido por todos los valores positivos de “y” ( , es decir, R = (0, ∞). Otra propiedad de una función exponencial es que no tiene raíces y que posee una intersección solamente con el eje de las “y”, es decir, en y = 1. Práctica 25 I.‐ Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones exponenciales.

11) xxf −= 2)( 12) 12)( += xxf 13) xxf 2)( −= 14) 32)( −= xxf 15) xxf 1)( = 16) xxf −= 23)( 17) 132)( −= xxf 18) xxf 314)( −= 19) 522)( −= xxf 20) 242)( += xxf



Sesión 12 Los temas a revisar el día de hoy son:

4.1.3. Función exponencial natural 4.2. Función Logarítmica

4.2.1. La función logarítmica como inversa de la función exponencial

4.2.2. Logaritmos comunes y naturales 4.2.3. Operaciones con logaritmos 4.2.4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

4.1.3. Función exponencial natural

La función exponencial natural es una función que utiliza el número e como base,

dicho valor se obtiene al calcular la expresión 1 utilizando valores de n

localizados entre 1 y el ∞. Observa los valores que toma la expresión cuando n aumenta:

n

1 1 1 1 1

5 1 1 1 0.2 1.2 2.48832

10 1 1 1 0.1 1.1 2.59374

500 1 1 1 0.002 1.002 2.71556

1000 1 1 1 0.001 1.001 2.71692

105 1 1 0.00001 1.00001 2.71826 Con base en esta tabla puedes apreciar que mientras más crece el valor de n, la

expresión 1 se acerca al número irracional 2. 7182818…, el cual se denota con

la letra e. Este número es un número irracional, por lo que, al igual que el valor de π, sus decimales no siguen un patrón determinado.

1

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Ejemplo: Si sabes que cierto tipo de bacteria aumenta según el modelo:

P(t) = 100e0.2197t Donde t es el tiempo en horas. Encuentra: a) P(0) b) P(5) Solución:

a) El tiempo en P(0) es t = 0 por lo que sustituyes dicho valor en el modelo que representa el incremento de las bacterias.

P(0) = 100e0.2197(0)

P(0) = 100(1) P(0) = 100

b) El tiempo en P(5) es t = 5 por lo que sustituyes dicho valor en el modelo

que representa el incremento de las bacterias.

P(5) = 100e0.2197(5)

P(5) = 100e1.0985

P(5) = 100(3) P(5) = 300

Práctica 26 I.‐ Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales naturales.

1) f(x) = e2x

2) f(x) = 1 + e‐x

3) f(x) = – e‐x

4) f(x) = 2e0.24x

5) f(x) = 4 – e3x

II.‐ Resuelve los siguientes ejercicios de crecimiento o decrecimiento exponencial.

6) La demanda de un producto está dada por la ecuación P = 500 – 0.5e0.004x. Encuentra el precio P para una demanda de:



a) x = 1000 unidades b) x = 1500 unidades

7) La población de una ciudad aumenta según el modelo: P = 25000e0.0293t, t =

tiempo en años, t = 0 corresponde a 1990. Aproxima la población que hay o habrá en los años:

a) 2000 b) 2005 c) 2010

8) La bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias nuevas. ¿Cuántas bacterias habrá en cuatro horas si inicialmente se tiene una colonia de 32,420 bacterias, considerando la relación B(t) = (32420)(22t)? ¿ Y en 20 días?

9) Para calcular la presión atmosférica P. en lb/pulg2, se utiliza la relación P = 14.7e‐0.21x. Si consideras a “x” como la altura en millas sobre el nivel del mar, qué presión atmosférica habrá en la ciudad de…

a) Dallas, si su altura es de 133m sobre el nivel del mar. b) México, si su altura es de 2235m sobre el nivel del mar.

4.2. Función Logarítmica

El logaritmo base b de un número real x, mayor que cero, es la inversa de la función exponencial de base b. Algebraicamente el logaritmo base b se denota como logb (x), y dado que esta función y la función exponencial con base “a” son inversas se puede afirmar que:

y = logb (x) sí y sólo sí x = by

La función se lee como logaritmo de “x” en base b. Cada ecuación logarítmica tiene asociada una ecuación o forma exponencial. Ejemplo:

Forma logarítmica Forma exponencial

log2 8 = 3 23 = 8

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A través de esta representación gráfica de la función logaritmo ‐inversa de la función exponencial‐ puedes apreciar sus características propias y su comportamiento en el plano cartesiano. A continuación, compara ambas gráficas y verifica tus conclusiones con las que se enlistan a continuación. Propiedades de la función logarítmica

a) Si b< 1, la función es positiva para toda x > 1 y negativa para toda x<1. La función no está definida para valores negativos de x.

b) Si b> 1, la función es siempre creciente. Si x crece, la y crece. c) Si b< 1, la función es negativa para toda x > 1, y positiva para toda x < 1. La

función está definida para valores negativos de x. d) Si b< 1, la función es siempre decreciente. Si x crece, y decrece. e) Si b> 1 ó b < 1, la gráfica intercepta al eje x en (1, 0).

El dominio de la función logarítmica Se refiere a los números reales positivos, es decir, D = (0, ∞). El rango de la función logarítmica Es el conjunto de todos los números reales, es decir, R = (–∞, ∞). Ejemplo 1:

Traza la inversa de la función f(x) = 4x y de la función f(x) = x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41

usando la definición de

logaritmo.

Solución: Para obtener la función inversa de f(x), aplicas la función logaritmo y obtienes lo siguiente:

De la función inicial y = 4x, y = x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41

Despejas “x” y obtienes: x = log4 y x = log1/4 x Lo expresas como la inversa de la función f‐1(x) = log4 x f‐1(x) = log1/4 x



f(x) = 4x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x) = (1/4)x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Una vez que obtuviste la función inversa de f(x), traza su gráfica.

A través de estos dos ejemplos puedes observar claramente cómo se cumplen las propiedades enunciadas anteriormente sobre la función exponencial y logarítmica. Práctica 28 I.‐ Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones. a. y = 2 + log10 x b. y = – log10 x c. y = log10 (x – 1) d. y = log10 (–x) II.‐ Encuentra el valor de “x” sin hacer uso de la calculadora. e. log8 x = ‐1/3

f(x) = 4x

"x" f(x) ‐2 0.06 ‐1 0.25 0 1

1 4 2 16

f(x) = log4 x "x" f(x)

0.6 ‐0.37 1 0

2 0.5 3 0.79 4 1

f(x) = (1/4)x

"x" f(x) ‐2 16 ‐1 4 0 1 1 0.25 2 0.063 3 0.0156

f(x) = log1/4 x "x" f(x)

0.0001 6.64 0.001 4.98 1 0 2 ‐0.5 3 ‐0.79 4 ‐1

f-1(x) = log4 x f-1(x) = log1/4 x



f. logx 8 = 3/2 g. log8 x

2 = 2 4.2.5. Logaritmos comunes y naturales

Las bases que son de mayor utilidad en la práctica son la base común, cuando b = 10 y la base natural, cuando b = e (número e).

• La función logarítmica con base 10 se escribe de la forma: f(X) = log10 x; se denomina logaritmo común y usualmente se escribe como f(x) = log x, sin necesidad de expresar la base 10.

• Asimismo, la función logarítmica con base e se escribe de la forma f(x) = loge x; se denomina logaritmo natural y usualmente se escribe como f(x) = ln x.

Propiedades de los logaritmos naturales.

1) ln 1 = 0, puesto que cero es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener 1.

2) ln e= 1, puesto que 1 es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener e.

3) ln ex = x, puesto que x es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener ex.

Ejemplo: Traza la gráfica de la siguiente función f(x) = ln(2 – x) Solución:

Según las propiedades de logaritmos, 2 – x > 0, por lo que adviertes que el dominio de la función está determinado por x < 2, y concluyes que la recta x = 2 es una asíntota de la misma.



f(x) = ln(2 - x)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x) = ln (2 ‐ x)

"x" f(x)

‐3 1.61

‐2 1.39

‐1 1.10

0 0.69

1 0.00

1.4 ‐0.51

1.6 ‐0.92

1.8 ‐1.61

1.9 ‐2.30

1.94 ‐2.81

1.99 ‐4.61

2 indeterminado 4.2.6. Operaciones con logaritmos Antes de realizar cualquier operación entre funciones logarítmicas es importante que conozcas algunas de sus propiedades con respecto a algunas operaciones fundamentales.

Propiedades de la función Logarítmica

Propiedad Expresión simbólica

1) El logaritmo de la base es siempre igual a 1. loga a = 1

2) El logaritmo de 1 en cualquier base es 0. loga 1 = 0

3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos. loga (x y) = loga x + loga y

4) El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos. loga (x/y) = loga x ‐ loga y

5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una raíz, entendida como una potencia de exponente fraccionario).

loga (x)p = p loga x

xx nmn m loglog =

Ejemplo: Escribe la expresión dada como logaritmo de una sola cantidad. )]1ln(ln2[ 2

331 +− xx

Solución: Aplicas las propiedades de los logaritmos para las operaciones fundamentales.



Aplica la propiedad 5) en ambos logaritmos:

Aplica la propiedad 4):

Aplica la propiedad 5):

Según una de las leyes de exponentes:

Simplifica:

¡Listo! 4.2.7. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Para resolver cualquier tipo de ecuaciones exponenciales o logarítmicas es importante que consideres las siguientes propiedades: Si f(x) = bx y g(x) = logb x, son funciones con base b> 1, entonces: Propiedades inversas:

1) logb bx = x hay que aplicar composición (g f) (x) ln ex = x, si se cambia base b por base e.

2) blogb x = x hay que aplicar (f g) (x)

eln x = x, si se cambia a por e.

Propiedades uno a uno:

1) x = y, sólo sí logb x = logb y, se dice que g es uno a uno

2) x = y, sólo sí bx = by , se dice que f es uno a uno

)]1ln(ln2[ 23

31 +− xx

])1ln([ln 2/3231 +− xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2/3

2

31

)1(ln

xx

31

2/3

2

)1(ln ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+xx

6/3)1(ln

32

+xx

1ln

)1(ln

3 2

21

32

+=

+ xx

xx



Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3e2x = 4 b) 2 ln 5x = 8 Solución: a) Para resolver la ecuación exponencial aplicas lo siguiente:

Divide entre 3 ambos miembros: Aplica el logaritmo natural:

Aplica la propiedad inversa 1):

Divide entre 2 ambos miembros:

Aplica la función ln:

¡Listo!

b) Para resolver la ecuación logarítmica aplicas lo siguiente: 2 ln 5x = 8

Divide entre 2 ambos miembros:

Aplica la función exponencial:

Simplifica:

Divide entre 5:

Realiza la operación:

¡Listo!

3e2x = 4 e2x = 4/3 ln (e2x) = ln (4/3) 2x = ln (4/3) x = ½ ln(4/3) x ≈ 0.144

ln 5x = 4 eln 5x = e4 5x = e4 x = e4/5 x ≈ 10,920



Práctica 29 I.‐ Resuelve las ecuaciones exponenciales que se dan a continuación. 1) e2x = 10

2) 2(1 + e2x) = 5

3) 200e‐x = 100

4) 3e1 – x = 25

5) 5 – 2ex = 3

6) 30 (100 – ex/2) = 500

7) 4ex = 79 II.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 8) ln x = 3

9) 21ln =+x

10) log2 x – log2 (x + 1) = log2 (x + 4)

11) log x – log (2x – 1) = 0

12) ln x + ln (x + 1) = 1

13) log4 x – log4 (x – 2) = ½

14) log2 x2 = 6

15) ln 3x = 1

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