Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla...

Misiones LunaresMisiones Interplanetarias

Astronautica y Vehıculos EspacialesAnalisis y Diseno de Misiones Lunares e Interplanetarias

Rafael Vazquez Valenzuela

Departamento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla [email protected]

10 de diciembre de 2007


Orbitas de intercepcionEsfera de influenciaAjuste de conicas

Introduccion e hipotesis de partida

Vehículos Espaciales y Misiles 1Apr-10-07

Misiones No Geocéntricas

1. Misiones Lunares

2. Misiones InterplanetariasUna mision lunar tiene uno de lossiguientes objetivos:

“Sobrevolar” la Luna.Orbitar de forma “permanente” entorno a la Luna.Impactar o alunizar en la Luna.

Las misiones lunares se puedenclasificar en tripuladas (las unicas hansido las Apollo) y no tripuladas.

Hipotesis basicas de calculo:La orbita de la Luna es kepleriana y circular, de radioa$ = 384400 km.La sonda lunar parte de una orbita de aparcamiento de radior0, ya en el plano orbital de la Luna.No se considera ningun tipo de perturbacion adicional a lapresencia de los cuerpos Tierra y Luna.

2 / 41



Orbitas de intercepcion I

En un primer analisis se desprecia laatraccion gravitatoria de la Luna y se estudiala transferencia desde la orbita deaparcamiento a la posicion de la Luna.

Posibles trayectorias:

Orbita de mınima energıa: su apogeocorresponde con la posicion de la Luna.Otras orbitas elıpticas mas excentricas.Orbita de escape parabolica.Orbita de escape hiperbolica.

El angulo Ψ en la figura es el llamado angulo de fase, que esel que forma la Luna con la posicion de partida de la sondalunar; este angulo se determina para que la Luna se encuentreen la posicion de la sonda cuando esta llegue a su orbita.El valor de Ψ determina las ventanas de lanzamiento (cuandola posicion relativa de la sonda y la Luna forma dicho angulo). 3 / 41



Orbitas de intercepcion II

Para la transferencia de mınima energıa,

amin =r0+a$

2 y λmin =a$r0

. Entonces

∆V =√

µ⊕r0

[√2λ

1+λ − 1]

y

Ttrans = π√

a3minµ⊕

.

En otras trayectorias elıpticas se tiene λ ∈ (λmin,∞): crece∆V y baja Ttrans.

Para la parabolica, ∆VP =√

µ⊕r0

(√2− 1

).

Las transferencias hiperbolicas seran con ∆V > ∆VP .Una vez calculada la transferencia, se determina la anomalıaverdadera al llegar a la orbita lunar θf y el tiempo detransferencia Ttrans con la ecuacion de Kepler.

Entonces, se calcula n$ =√µ⊕/a3

$ y se encuentra el angulo

de fase de la formula: Ψ + Ttransn$ = θf − θi . 4 / 41



Orbitas de intercepcion III

En la figura se han representado lostiempos de transferencia y velocidadesde inyeccion, para r0 = 180 km, luegoVpark = 7,796 km/sLa velocidad de inyeccion esViny = Vpark + ∆Vtrans, el impulsototal que habra que darle a la sondadesde Tierra.

Se observa que con un pequeno incremento de velocidad deinyeccion respecto a la transferencia de mınima energıa, seconsigue una gran disminucion en Ttrans.

Por otro lado, los tiempos de transferencia parabolicos ohiperbolicos no suponen una gran mejora; por eso se usantransferencias elıpticas mas rapidas que la de mınima energıa.

5 / 41



Esfera de Influencia I

Este concepto fue originalmente inventado por Laplace.

Consideremos un vehıculo espacial sometido a la influencia dedos cuerpos masivos 1 y 2, separados por una distancia r12.

1 Si se encuentra en las proximidades de 1, entonces la influenciade 2 se puede considerar como una perturbacion: ~g = ~g1 + ~g ′2,

donde g1 = µ1

r21

y g ′2 = µ2

∣∣∣~r2r32− ~r12

r312

∣∣∣.2 Si se encuentra en las proximidades de 2, entonces la influencia

de 1 se puede considerar como una perturbacion: ~g = ~g2 + ~g ′1,

donde g2 = µ2

r22

y g ′1 = µ1

∣∣∣~r1r31− ~r12

r312

∣∣∣.Cuando

g ′2g1

=g ′1g2

, entonces los dos puntos de vista sonigualmente validos; esa condicion determina un lugargeometrico que separa la “zona de influencia 1” de la “zonade influencia 2”.

6 / 41



Esfera de Influencia II

En el caso (usual) de que uno de los cuerpos (por ejemplo, el1) sea mucho mas masivo que el otro, el lugar geometrico deseparacion de zonas de influencia es aproximadamente unaesfera, que rodea al cuerpo menos masivo (en este caso, el 2).

En este caso el radio de dicha esfera se obtiene de la expresion

Re = L(

µ2µ1

)2/5= L

(m2m1

)2/5, donde L es la distancia que

separa a los dos cuerpos.†† Ejercicio: Demostrar esta formula.

En el caso Tierra-Luna, con L$ = 384400 km, la esfera deinfluencia de la Luna tiene un radio Re$ = 66183 km.

Por tanto, en una esfera de este radio centrada en la Luna, lainfluencia gravitatoria lunar es mas importante que laterrestre, mientras que en el resto del espacio domina laatraccion terrestre.

7 / 41



Ajuste de conicas I

El concepto de esfera de influencia nospermite predisenar una mision lunar usandoel modelo de los dos cuerpos.

Se divide la mision en partes. La primeraparte sera una orbita geocentrica desde laorbita de aparcamiento hasta la esfera deinfluencia lunar; la unica fuerza sera laatraccion terrestre.

Una vez se entre en la esfera de influencia lunar, seestudiara una orbita selenocentrica solo sometida a laatraccion lunar.

Ambas orbitas estaran conectadas de forma que la posicion yvelocidad finales en la orbita geocentrica seran las iniciales enla selenocentrica. Este proceso se llama “ajuste de conicas”.

8 / 41



La orbita geocentrica I

Datos de entrada

r0: radio de la orbita deaparcamientoVelocidad de inyeccion Vi

(Vi = V0 + ∆V )λ: angulo de interseccion con laesfera de influencia lunar.

Tenemos at = 1

2r0−

V 2i

µ⊕

,et = 1− r0at

.

De la figura: rl =√

L2$ + R2

e$ − 2L$Re$ cosλ. Tambien

V 2l = 2µ⊕

rl− µ⊕

at, cos θl = at(1−e2

t )et rl

− 1et

, tan γl = et sen θl1+et cos θl

,

tanEl/2 =√

1−et1+et

tan θl/2, tv = El−e senEln , n =

√µ⊕/a3

t .

Para la luna, Ψ = θl − β − n$tv , donde n$ =√µ⊕/L3

$, y

donde β se obtiene de rl senβ = Re$ senλ. 9 / 41



La orbita geocentrica II

Por tanto, a partir de (r0,Vi , λ)obtenemos los datos de latrayectoria (rl , vl , γl) en el puntode contacto con la esfera deinfluencia lunar y el angulo defase ψ.

El angulo ψ puede ser tambienun dato de entrada, entonces elproblema tiene que ser resueltonumericamente.

En el grafico se representa, para r0 = 180 km, la solucion paraposibles pares (Vi , ψ): la zona oscura responde a condicionesque no dan lugar a intercepcion lunar; la zona clara acondiciones que sı producen intercepcion; y la zona negra acondiciones que dan lugar a impacto lunar.

10 / 41



Ajuste de conicas II

Para el proceso de ajuste, partimos de(Vl , γl , rl , β, λ) y queremos obtener (Ve , γe).Ya sabemos re = Re$.

En primer lugar hay que considerar queestamos cambiando de sistema de referencia,que ahora esta centrado en la Luna; portanto, hay que considerar la velocidadV$ =

√µ⊕/L$ de este nuevo sistema de

referencia y se tiene: ~Ve = ~Vl − ~V$.

De la figura: γe = 90o − δ,V 2

e = V 2l + V$ − 2VlV$ cos(γl − β).

Finalmente δ se encuentra deVe sen δ = V$ cosλ− Vl cos(γl − λ− β).

11 / 41



Orbita selenocentrica I

Egorov demostro que, debido a la velocidad de la lunarespecto a la Tierra, la orbita selenocentrica es siemprehiperbolica.

De la ecuacion de las fuerzas vivas V 2e =

2µ$re

−µ$ae

seobtiene ae , mientras que la excentricidad ee se deduce a partirde h =

√µ$ae(1− e2

e ) = reVe cos γe .

Del valor del radio de periapsis rp = ae(1− ee) podemosdeducir:

Si rp < R$ = 1738 km entonces se produce impacto.Una mision de orbitacion lunar requerira convertir la hiperbolaselenocentrica en una elipse alrededor de la Luna.Una mision de sobrevuelo permitira que la hiperbola escapeuna vez mas de la esfera lunar, con lo que se debe volver arealizar el ajuste de conicas a la salida.

12 / 41



Orbita selenocentrica II

Ejemplo de mision de sobrevuelo (disenada por Egorov):

13 / 41


Esferas de influencia y orbitas de intercepcionManiobra asistida por gravedadAjuste de conicas

Introduccion e hipotesis de partida

Como en el caso lunar, una misioninterplanetaria puede tener comoobjetivo:

Un sobrevuelo de un planeta.Orbitar de forma “permanente” entorno al planeta.Misiones de impacto o “aterrizaje”.

Ademas, una mision interplanetaria puede visitar variosplanetas en su trayectoria para realizar la “maniobra asistidapor gravedad” (y de camino obtener datos cientıficos).Hipotesis basicas de calculo:

Las orbitas de los planetas son circulares y coplanarias.La sonda lunar parte de una orbita de aparcamiento de radio r0en el plano de la eclıptica.No se considera ningun tipo de perturbacion adicional a lapresencia de los tres cuerpos (Tierra, Sol, planeta de destino).

14 / 41



Esferas de Influencia I

La esfera de influencia respecto al Sol de un planeta P se

calcula como ReP = LP

(µPµ�

)2/5

, donde LP es la distancia

entre el Sol y el planeta.

En la siguiente tabla se representan datos para los diferentesplanetas del sistema solar:

15 / 41



Esferas de Influencia II

En todos los casos RP � ReP � LP . Esto nos permiteintroducir las siguientes hipotesis simplificativas:

Desde el punto de vista de las trayectorias heliocentricas, lasesferas de influencia se pueden considerar puntos (despreciandoReP).Desde el punto de vista de las trayectorias planetocentricas, lasesferas de influencia se pueden considerar con radio infinito.

Estas dos hipotesis permiten simplificar el proceso de ajustede conicas, ya que eliminan ReP del calculo:

Las orbitas planetocentricas seran hiperbolicas y entraran osaldran de la esfera de influencia, ya que es supuesta infinita,por las asıntotas.La orbita heliocentrica sera una elipse de transferencia entredos puntos (sin necesidad de introducir los angulos del casolunar).

16 / 41



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos I

La orbita geocentrica inicial es la de aparcamiento, de radio r0y velocidad V0 =

√µ⊕/r0.

Supongamos que aplicamos un impulso tangencial ∆V ,suficiente para obtener una trayectoria hiperbolica:∆V > (

√2− 1)V0.

La velocidad a la salida de la esfera de influenciasera aproximadamente la velocidad de exceso hiperbolica V∞.

De la ecuacion de las fuerzas vivas: V 2∞ = (V0 + ∆V )2 − 2µ⊕

r0.

Se define C3 = V 2∞, parametro caracterıstico de la mision.

Por tanto, si conocemos la V∞ deseada, el impulso inicial

requerido sera ∆V =√

V 2∞ + 2V 2

0 − V0.

Una vez fuera de la esfera de influencia terrestre, es necesariosituarse en el sistema de referencia heliocentrico; en estesistema de referencia, ri = L⊕, ~vi = ~V∞ + ~V⊕, dondeV⊕ =

√µ�/L⊕ ≈ 29,74 km/s.

17 / 41



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos II

Analicemos en primer lugar los V∞ mınimos requeridos para ira un determinado planeta; para ello consideramos unatransferencia tipo Hohmann, en torno a una oposicion dereferencia.

Segun el planeta objetivo sea superior o inferior (ver figura),~V∞ debe tener la misma direccion o direccion opuesta a ~V⊕.

18 / 41



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos III

En la figura se puede observar como es necesario disenar lahiperbola de salida en relacion a la posicion del Sol, segun loscasos.

El angulo τ de la figura es igual a 180− θ∞.19 / 41



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos IV

En la figura se ha calculado, para cadaorbita en torno al Sol y para latransferencia tipo Hohmann, el costeenergetico (∆V en la orbita deaparcamiento) y el tiempo detransferencia (despreciando los tiemposde salida de la esfera de influencia).

Observaciones:

Las misiones a planetas exterioresrequieren de un tiempo muy largo.El interior del Sistema Solar esenergeticamente muy costoso.

Por tanto, para hacer viables las misiones interplanetarias esnecesario un metodo adicional que reduzca tiempo y coste.

20 / 41



Maniobra asistida por gravedad I

El elevado coste energetico de una misioninterplanetaria puede ser mitigado usandola maniobra asistida por gravedad.

Tras 20 anos de debate e incredulidad, en1974 la Mariner 10 realizo esta maniobrapara alcanzar Mercurio vıa Venus.

Esta maniobra cambia la velocidad de unvehıculo relativa al Sol (la velocidadrelativa al planeta permanece constante).

La maniobra se realiza acercandose a un planeta dado, lo quetambien se puede aprovechar desde el punto de vista cientıfico(ningun planeta ha sido visitado “demasiadas veces”).

Ya en el siglo XIX se habıa observado que los cometas, alacercarse a Jupiter, modificaban considerablemente su orbita.

21 / 41



Maniobra asistida por gravedad II

Llamemos ~Va y ~Vd a las velocidadesantes y despues de la maniobra, en elsistema de referencia heliocentrico.

Igualmente, llamemos ~va y ~vd a lasvelocidades antes y despues, en el sistemade referencia planetocentrico.

La velocidad del planeta respecto al Solse denomina ~Vp.

Se tiene que ~va = ~Va − ~Vp y que ~Vd = ~vd + ~Vp.

Por otro lado va = vd = v∞ =√−µp

a , a =rp

1−e , sen δ/2 = 1e .

De la figura: ∆V = 2v∞ sen δ/2. Operando, llegamos a:∆V = 2v∞

11+rpv2

∞/µp

22 / 41



Maniobra asistida por gravedad III

En la expresion ∆V = 2v∞1

1+rpv2∞/µp

tenemos como datos de entradav∞ = |~Va − ~Vp| y el radio deacercamiento maximo rp.

Se observa que ∆V es decreciente conrp. El maximo pues se dara para el menorvalor (teorico) posible de rp, que esrp = Rp, el radio del planeta.

Maximizando ∆V con respecto a V∞, se llega a que elmaximo ∆V se obtiene cuando V∞ =

√µp/Rp, e = 2,

δ = 60o . Entonces ∆VMAX =√µp/Rp.

Por otro lado va = vd = v∞ =√−µp

a , a =rp

1−e , sen δ/2 = 1e .

Es decir el maximo ∆V teorico es la velocidad circular enperiapsis, cuando la periapsis es la mınima posible (Rp).

23 / 41



Maniobra asistida por gravedad IV

En la tabla se puede ver el valor de ∆Vmax paralos diferentes planetas.

Este valor esta limitado en la practica por elacercamiento maximo posible (p.ej. por atmosferao por peligro de radiacion).

La Voyager II pudo alcanzar la velocidad de escape delSistema Solar realizando varias maniobras consecutivas (el“grand tour”), aprovechando una configuracion planetaria quesolo se repite cada 176 anos.

Vehículos Espaciales y Misiles 24Apr-10-07

2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad por El máximo anteriormente conseguidoes teórico, ya que muchas consideraciones diferentes impiden alcanzarlo;p.ej. atmósferas planetarias. Asimismo, no es recomendable acercarse aJúpiter más de 10 radios planetarios debido a su fuerte campo magnético.

En la figura, las maniobras consecutivas que permitieron a la Voyager IIalcanzar la velocidad de escape del Sistema Solar (la configuraciónplanetaria que permite el llamado “Grand Tour” se repite sólo una vezcada 176 años).

Misiones No Geocéntricas

24 / 41



Maniobra asistida por gravedad V

Un concepto avanzado basado en lamaniobra asistida por gravedad es el de lasorbitas cıclicas o “cycler orbits”.

La idea es tener una serie de vehıculosespaciales en orbitas en torno a dos cuerposque se repiten periodicamente; cadasobrevuelo a un cuerpo arroja al vehıculo auna orbita en torno al otro.

Un ejemplo clasico de orbitas cıclicas sedebe al astronauta Buzz Aldrin.

Aldrin diseno dos orbitas acopladas entreMarte y la Tierra; en cada orbita haysiempre un vehıculo, uno de ellos se usarıapara viajar a Marte desde la Tierra (147dıas) y el otro para volver (170 dıas).

short transit times (~5 months) and regular transitopportunities. However, the planetary encounters occurat high relative velocities and typically, impose harsherrequirements on the Taxi craft than other cyclers. Also,the Aldrin Cycler requires a modest mid-coursecorrection on 3 out of 7 orbits to maintain the proper orbitorientation. These delta-Vs will be carried out using low-thrust, solar powered ion propulsion systems (IPS).

Figure 2 Aldrin Cycler Orbits

Stopover Cyclers are direct transfers from Earth to Marswith high-thrust propulsive maneuvers at both ends ofthe trajectory and a stop at each planet. StopoverCyclers require two Astrotels operating. Flight timevaries between 4-7 months depending on opportunityand propellant loading. Stay time at Mars is identical tothe Semi-cyclers or about 1.5 years. Advantages ofStopover Cyclers are low departure and arrival velocitiesfor a given flight time, flexible launch and arrival dates,elimination of the hyperbolic rendezvous, close vicinity ofthe station to the planet for replenishment andrefurbishment, and alternate mission uses for thestations while in orbit about each planet, waiting for thenext opportunity to return.

At this time, the Aldrin Cycler orbits have been selectedas the reference because of several key advantages.One advantage is that Astrotels do not require high-thrust chemical propulsion systems, whereas, in theStopover Cycler concept, high-thrust propulsion must beused to keep the flight time short. Another importantadvantage of Aldrin Cyclers is that the Astrotels neverstop. The implication of this advantage, combined withthe use of low-thrust systems, is that one canincrementally increase the Astrotel capability over timewith very little propulsion cost. Example increasedcapabilities include more radiation shielding,incorporation of artificial gravity if desired, redundancy inthe form of additional Taxi and/or escape vehicles, and a

growing cache of repair hardware, propellants andconsumables at the Astrotel. Finally, by using the low-thrust Aldrin Cyclers, only two Astrotel vehicles need tobe constructed and maintained.

GETTING ON AND OFF THE TRAIN

Cycler orbits with Earth and Mars hyperbolic flybysnecessitate transfers between a planetary Spaceportand an Astrotel via a Taxi vehicle. The Astrotel flyby iscompletely constrained in periapsis date, distance, andinclination, since it must continue to travel on its desiredcycler path between the planets. One of the majorconcerns in the use of cyclers for human transportationhas been the hyperbolic rendezvous where the Taxideparts the Earth with a near instantaneous launchperiod without any margin for error or hardware delay.The primary restriction here is that the rendezvous musttake place within about 7 days from the time of departurefrom the Spaceport because Taxi vehicles have limitedconsumables and life support and are lightly shieldedagainst radiation. Figure 3 (adapted from Penzo andNock 2002a) shows the Spaceport orbit, the Astrotelflyby and three Taxi hyperbolic rendezvous options. Wehave selected the 3-burn option for the referencebecause it requires a low total delta-V and a short flighttime. The 4-burn option has a lower delta-V however aprohibitively long transit time for a Taxi. The 3-burnoption consists of a Taxi departure maneuver, ∆V1, tolower periapsis altitude for the injection delta-V, ∆V2,followed several days later by the rendezvousmaneuver, ∆V3.

Figure 3 Hyperbolic Rendezvous Options

Having to solve the hyperbolic rendezvous problemprovides insight into the desired location of the EarthSpaceport. Plane changes are best made far from theplanet where the orbital velocities are low. Velocitychanges are best made close to the planet, i.e. withinthe gravity well. In LEO, the orbital velocity is almost 8km/s, whereas at lunar distance, the velocity is about 1km/s, which is a better place to make a required planechange.

25 / 41



Ajuste de conicas I

Si bien una mision interplanetariarealmente requiere resolver un problemade 4 (o mas) cuerpos, el ajuste de conicasproduce unos resultados excelentes atodos los efectos excepto los de muy granprecision (astronavegacion).

Se descompone el problema en trespartes: hiperbola de salida, elipseheliocentrica e hiperbola de llegada.

Es posible emplear estas tecnicas incluyendo unaconfiguracion mas realista: las inclinaciones de los planos deotros planetas (se resuelve usando trigonometrıa esferica paracalcular los cambios de plano), teniendo en cuenta la posicionreal de los planetas (usando las efemerides).

26 / 41



Ajuste de conicas II

Complicaciones en el diseno: usode la orbita real de los planetas,teniendo en cuenta lasdiferentes inclinaciones de losplanos orbitales.

27 / 41



Trayectoria heliocentrica I

Se calcula la trayectoria heliocentricaalrededor de una oposicion de referencia.Hay dos tipos de trayectoria: tipo I(∆θ < 180o) y tipo II (∆θ > 180o).

Estas oposiciones de referenciadeterminan las “ventanas deoportunidad” para el lanzamiento, y serepiten con el periodo sinodico S delplaneta: S = 2π

n⊕−nP.

28 / 41



Trayectoria heliocentrica II

Si se tiene en cuenta la orbita real de los planetas (diferenciasde inclinacion, excentricidad), la mınima energıa necesariadepende tambien del ano; y segun el ano, sera mas favorableuna trayectoria tipo I o tipo II.

29 / 41



Trayectoria heliocentrica III

En torno a la oposicion de referencia se resuelve el problemade Lambert, para una variedad de tiempos de vuelo yposiciones relativas de los planetas; con la solucion se haceuna grafica.

30 / 41



Trayectoria heliocentrica IV

31 / 41



Trayectoria heliocentrica V

32 / 41



Trayectoria heliocentrica VI

Estos diagramas se pueden afinar en torno a una fecha dellegada, para determinar con precision una ventana deoportunidad de salida; si se pospone el lanzamiento, habra queesperar un periodo sinodico para repetirlo.

33 / 41



Orbita geocentrica I

Puesto que la esfera de influenciase supone puntual a efectos de laorbita heliocentrica, solo esimportante que, en la hiperbolageocentrica, ~V∞ tenga la direcciony magnitud correctas.

El lugar geometrico de las orbitasde salida define un hiperboloide derevolucion, cuya interseccion conuna esfera de radio r0 define losposibles puntos de inyeccion.

34 / 41



Orbita geocentrica II

Geometricamente (en base a losazimut permitidos de una base) sepuede determinar a que horas deldıa es posible lanzar un vehıculo enuna orbita que permitira lainyeccion.

Estas horas representan la ventanade oportunidad de lanzamientodentro de un dıa dado.

35 / 41



Orbita de llegada

De la misma forma, una vezcalculado ~V∞ a la llegada, seobtiene un hiperboloide con todoslas posibles orbitas de acercamientoal planeta.

La orbita se determinara por lainterseccion de su plano con elhiperboloide.

En un plano perpendicular al hiperboloide y lejano al planeta(plano B) se pueden representar los puntos que determinan siel vehıculo tendra una colision, una reentrada, o unsobrevuelo; se pueden realizar pequenas correcciones a lo largode la orbita heliocentrica para asegurar la situacion deseadasegun la mision.

36 / 41

Ejercicios

Ejercicios I

Datos: R⊕ = 6378,14 km, µ⊕ = 398600,4 km3/s2,L⊕ = 1 AU = 149,598× 106 km, L$ = 384400 km, R$ = 1738 km,

µ$ = 4902,8 km3/s2.

1 Cuales son los elementos a y e de una orbita selenocentrica siel punto de llegada de la orbita geocentrica a la esfera deinfluencia lunar tiene las siguientes propiedades:v = 1,3133 km/s, γ = 20o , λ = 30o . ¿Se trata de una orbitade impacto/alunizaje?

2 Estudiar una mision lunar para h0 = 200 km, λ = 30o yVi = V0 + ∆V = 10,93 km/s. ¿Cual es el angulo de fase Ψ yel tiempo de vuelo? ¿Es una mision de impacto/alunizaje o desobrevuelo? En el segundo caso, calcular el ∆V necesario paraobtener una orbita lunar circular en el mınimo radio desobrevuelo. Repetir para λ = 60o .

37 / 41

Ejercicios

Ejercicios II

3 Repetir el problema anterior para unos valores iniciales deri = 6700 km, Vi = 10,88 km/s, λ = 60o .

4 Para el problema 3, calcular el tiempo de escape de la esferade influencia lunar y la nueva orbita geocentrica tras el escape.

5 Demostrar, para el caso λ = 0o , h0 = 200 km, e inyecciontangencial, que si la orbita geocentrica es elıptica, la orbitaselenocentrica es siempre hiperbolica.

6 El Voyager 2 tardo 12 anos en visitar Neptuno gracias a susmultiples maniobras asistidas por gravedad. ¿Cuanto tiempohabrıa tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usaruna transferencia de Hohmann; L[ = 30,193 AU).

38 / 41

Ejercicios

Ejercicios III

7 Se pretende realizar una mision a Venus que consta de lassiguientes fases: una primera fase con escape directo desdeuna orbita de aparcamiento de 200 km de altitud. Unasegunda fase que consiste en una transferencia de Hohmannheliocentrica. Una tercera fase que consiste en adquirir unaorbita venusiana de aparcamiento con una altura de periapsisde 500 km y un periodo de 12 h (se supone que la orbita dellegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada, graciasa correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el costeenergetico total de la mision (km/s), y el tiempo detransferencia.Datos: (L♀ = 0,723327 AU, µ♀ = 324858,8 km3/s2,R♀ = 6051,8 km, µ� = 132712439935,5 km3/s2).

39 / 41

Ejercicios

Ejercicios IV

8 Se planea una mision Tierra-Saturno con cuatro fases: unaprimera fase con escape desde una orbita de aparcamiento de180 km de altitud. Una segunda que consiste en unatransferencia de Hohmann heliocentrica hasta Jupiter. Unatercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad,con una aproximacion de 11 radios jovianos. Finalmente unanueva orbita heliocentrica hasta Saturno. Se pide: encontrar laorbita joviana, y describir la maniobra asistida por gravedad.¿Llega la nave a Saturno? (suponiendo este adecuadamenteubicado en su orbita). En caso afirmativo, calcular la orbita dellegada, suponiendo una altitud de periapsis de 1000 km, ycalcular ∆V para circularizar la orbita.Datos: (LX = 5,2 AU, µX = 126711995,4 km3/s2,RX = 71492 km, LY = 9,58 AU, µY = 37939519,7 km3/s2,RY = 60268 km, µ� = 132712439935,5 km3/s2).

40 / 41

Ejercicios

Ejercicios de Examen: Junio 2007

Para un vehıculo en una mision interplanetaria, resuelva los siguientes dos apartados (1 punto cada uno):

i Un vehıculo espacial parte de la orbita de la Tierra (habiendo ya abandonado su esfera de influencia) con unavelocidad (respecto al Sol) de 39km/s y un angulo de vuelo de 5o. Determinar a que velocidad y angulo devuelo llega el vehıculo a la orbita de Jupiter (X). Determinar asimismo el tiempo de vuelo.NOTA: Empleese para este apartado el sistema de referencia heliocentrico, y considerense las orbitas de losplanetas coplanarias y circulares con radio igual al semieje mayor de su orbita.

ii El vehıculo pretende realizar en Jupiter una maniobra asistida por gravedad para ganar velocidad. Por razonesde seguridad (para evitar el fuerte campo magnetico joviano) se determina que el vehıculo pasara en suaproximacion mas cercana a 10 radios jovianos del centro de Jupiter. Determinar las caracterısticas (a, e) de lahiperbola joviana de la maniobra y el ∆V que se obtiene. Encontrar la velocidad final y angulo de vuelo finalen el sistema de referencia heliocentrico.

Constantes fısicas para este problema:µ� = 132712439935,5 km3/s2, a⊕ = 1 AU = 149597900 km,

µX = 126711995,4 km3/s2, aX = 5,2 AU, RX = 71492km. Se puede trabajar en unidades fısicas o canonicas(que deberan ser explıcitamente definidas, expresandose el resultado final siempre en unidades fısicas).

41 / 41

Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla...

Documents

Transcript of Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla...