I. Obtener la curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo con los datos estadísticos dados en clase, para la zona de tracción y compresión.

fy sh fsu su suu PX 449 0.0088 734 0.1171 0.1493 3.474S 16.6 0.0022 19.5 0.012 0.0809 0.02646CV 0.037 0.249 0.027 0.102 0.542 0.0706Per 5% 417 0.0046 698 0.0941 2.966Per 95% 480 0.013 772 0.1401 3.982

DESARROLLO

Para graficar la curva de esfuerzo-deformación, primero se obtienen los datos del esfuerzo a tracción

Zona elástica

Se tiene las siguientes relaciones

Del límite con la zona de fluencia se asume que: s=y y fs=fy; se considera el módulo de elasticidad del concreto E=200 000 MPa, obteniendo

Es fy yX 200000 449 0.0022Per 5% 200000 417 0.0021Per 95% 200000 480 0.0024

Zona de fluencia

Se tiene las siguientes relaciones

De los datos brindados se tiene:

fy shX 449 0.0088

Per 5% 417 0.0046Per 95% 480 0.0130

Zona de endurecimiento por deformación

Se tiene las siguientes relaciones

Se ha considerado conveniente dividir esta zona en 10 espacios:

su sh su-s (su-s)/10X 0.1171 0.0088 0.1083 0.01083

Per 5% 0.0941 0.0046 0.0895 0.00895Per 95% 0.1401 0.013 0.1271 0.01271

Con los datos brindados y la división de la zona de endurecimiento por deformación, se tiene:

X Per 5% Per 95%

s fs s fs s fs0.0088 449.0000 0.0046 417.0000 0.0130 480.00000.0196 536.3561 0.0136 492.4159 0.0257 580.05510.0305 602.7258 0.0225 553.0323 0.0384 651.91540.0413 651.4503 0.0315 600.4411 0.0511 701.43920.0521 685.6783 0.0404 636.2406 0.0638 733.80720.0630 708.3512 0.0494 662.0374 0.0766 753.52090.0738 722.1859 0.0583 679.4469 0.0893 764.40050.0846 729.6513 0.0673 690.0960 0.1020 769.58300.0954 732.9368 0.0762 695.6256 0.1147 771.51910.1063 733.9043 0.0852 697.6961 0.1274 771.96960.1171 734.0000 0.0941 698.0000 0.1401 772.0000

Para obtener los valores del esfuerzo en compresión se utilizaron las fórmulas de Dodd y Restrepo (1995), que relacionan la deformación en compresión con la deformación en tracción; y del esfuerzo en compresión con el esfuerzo en tracción y la deformación en tracción.

Zona elástica

Es fy yX 200000 -456.9372 -0.0023

Per 5% 200000 -420.8452 -0.0021Per 95% 200000 -492.5611 -0.0025

Zona de fluencia

Zona de endurecimiento por deformación

Del procedimiento anterior se han obtenido los esfuerzos y sus respectivas deformaciones en tracción y compresión; se presentan los siguientes gráficos

-0.11 -0.06 -0.01 0.04 0.09

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Curva esfuerzo deformaciónde la Media (X)

fs (Tracción) fsc (Compresión)

Deformación

Esfu

erzo

fy shX -456.9372 -0.0087

Per 5% -420.8452 -0.0046Per 95% -492.5611 -0.0128

X (Media) Per 5% Per 95%

sc fsc sc fsc sc fsc-0.00872 -456.9372 -0.0046 -420.8452 -0.0128 -492.5611-0.01925 -557.6202 -0.0134 -505.8507 -0.0251 -610.2650-0.02956 -640.0030 -0.0220 -578.1987 -0.0370 -702.9709-0.03965 -706.3577 -0.0305 -638.8027 -0.0486 -775.0022-0.04954 -759.0160 -0.0388 -688.6873 -0.0600 -830.4904-0.05922 -800.3396 -0.0470 -728.9928 -0.0711 -873.3005-0.06871 -832.6828 -0.0551 -760.9798 -0.0819 -906.9515-0.07801 -858.3463 -0.0630 -786.0349 -0.0925 -934.5338-0.08712 -879.5159 -0.0708 -805.6780 -0.1029 -958.6213-0.09606 -898.1765 -0.0785 -821.5724 -0.1130 -981.1797-0.10482 -915.9677 -0.0860 -835.5443 -0.1229 -1003.4672

-0.09 -0.07 -0.05 -0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Curva esfuerzo deformación Percentil 5%

fs (Tracción) fsc (Compresión)

Deformación

Esfu

erzo

-0.13 -0.08 -0.03 0.02 0.07 0.12

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Curva esfuerzo deformaciónPercentil 95%

fs (Tracción) fsc (Compresión)

Deformación

Esfu

erzo

En los gráficos de observa que el esfuerzo a tracción es menor que el esfuerzo a compresión; esto no ocurre para las correspondientes deformaciones donde los valores en tracción son mayores que en compresión.

En la Media, Percentil 5% y Percentil 95% se han definido la zona elástica, zona de fluencia y zona de endurecimiento por deformación.

II. Escalar los datos verticales y horizontales en AutoCad de los datos experimentales y graficar la curva-esfuerzo deformación; del mismo gráfico obtener fy, fsu con sus respectivas deformaciones y aplicar el modelo de Ramberg Osgood Modificado para obtener otra curva esfuerzo-deformación. Comparar las curvas del acero de presfuerzo obtenidas por ambas formas.

DESARROLLOCurvas experimentalesCuadrícula y escala de datos

De la escala de datos, se obtiene la siguiente tabulación

1860 MPa0 1620 MPa 1103 MPa

s fs s fs s fs0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0020 439.7722 0.0020 396.7023 0.0020 360.56590.0040 856.4918 0.0040 835.1120 0.0040 783.56880.0060 1269.4107 0.0060 1231.8527 0.0060 885.52920.0080 1500.2024 0.0080 1351.9153 0.0080 941.76560.0100 1603.9538 0.0100 1384.8007 0.0100 985.63650.0120 1686.1717 0.0120 1413.4213 0.0120 1008.38170.0140 1736.8519 0.0140 1433.2643 0.0140 1022.08020.0160 1766.0548 0.0160 1449.4720 0.0160 1033.79860.0180 1784.3905 0.0180 1464.1340 0.0180 1043.92110.0200 1797.6811 0.0200 1475.3707 0.0200 1051.30080.0220 1804.9368 0.0220 1486.2172 0.0220 1057.04920.0240 1812.1924 0.0240 1495.2255 0.0240 1062.79170.0260 1818.8215 0.0260 1503.6840 0.0260 1068.53410.0280 1823.7040 0.0280 1512.1425 0.0280 1074.52780.0300 1828.6041 0.0300 1520.0750 0.0300 1080.11070.0320 1833.4836 0.0320 1527.4754 0.0320 1085.16150.0340 1837.0892 0.0340 1533.6671 0.0340 1090.47540.0360 1839.9324 0.0360 1539.6017 0.0360 1095.27810.0380 1842.7726 0.0380 1545.3323 0.0380 1099.44820.0400 1845.6246 0.0400 1550.5960 0.0400 1102.45980.0420 1848.2549 0.0420 1555.6794 0.0420 1103.67450.0440 1849.6558 0.0440 1560.7184 0.0450 1104.13260.0460 1851.0538 0.0460 1566.16530.0480 1852.4547 0.0480 1572.17380.0500 1853.8378 0.0500 1578.17930.0520 1854.7097 0.0520 1584.03990.0540 1855.4012 0.0540 1589.61390.0560 1855.8475 0.0560 1595.18790.0580 1853.1906 0.0580 1595.18790.0600 1856.4741 0.0600 1614.41610.0610 1856.6485 0.0620 1608.3249

0.0640 1610.34060.0660 1612.33550.0680 1613.47040.0697 1614.2565

Curvas mediante el Modelo Ramberg Osgood Modificado

Se muestran los gráficos de los aceros de presfuerzo con resistencias últimas de 1860 MPa, 1620 MPa y 1103 MPa; de los cuales se obtendrá fsu y fy

Siendo fsu el esfuerzo último y su la deformación última. Luego se traza la pendiente en cada curva y en la intersección de ésta se obtiene una deformación s; se calcula el 2% de s y se traza una paralela a la pendiente que intersecta a la curva, finalmente la abscisa de ésta última intersección es y y la ordenada es fy.

El modelo Ramberg Osgood es un método analítico que utiliza los valores de esfuerzo y deformación última, y de esfuerzo y deformación en el límite elástico; con esos datos genera la curva esfuerzo deformación mediante la siguiente relación:

Procesando la fórmula en Excel obtenemos la siguiente tabulación:

1860 MPa0 1620 MPa 1103 MPa

s fs s fs s fs

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0000.001 200.000 0.001 200.000 0.001 199.9980.002 399.999 0.002 400.000 0.002 399.7690.003 599.975 0.003 599.999 0.003 596.5560.004 799.729 0.004 799.969 0.004 778.0000.005 998.316 0.005 999.522 0.005 919.3160.006 1192.602 0.006 1195.635 0.006 1005.5220.007 1375.000 0.007 1373.805 0.007 1048.8700.008 1532.631 0.008 1500.322 0.008 1069.2200.009 1652.724 0.009 1560.396 0.009 1078.9970.010 1732.314 0.010 1581.627 0.010 1084.0160.011 1779.657 0.011 1588.753 0.011 1086.8180.012 1806.316 0.012 1591.417 0.012 1088.5330.013 1821.194 0.013 1592.636 0.013 1089.6880.014 1829.666 0.014 1593.354 0.014 1090.5390.015 1834.671 0.015 1593.887 0.015 1091.2190.016 1837.773 0.016 1594.345 0.016 1091.7980.017 1839.802 0.017 1594.772 0.017 1092.3150.018 1841.211 0.018 1595.185 0.018 1092.7950.019 1842.252 0.019 1595.592 0.019 1093.2490.020 1843.068 0.020 1595.996 0.020 1093.6870.021 1843.744 0.021 1596.397 0.021 1094.1150.022 1844.331 0.022 1596.798 0.022 1094.5350.023 1844.860 0.023 1597.199 0.023 1094.9490.024 1845.350 0.024 1597.599 0.024 1095.3600.025 1845.814 0.025 1598.000 0.025 1095.7680.026 1846.260 0.026 1598.400 0.026 1096.1750.027 1846.693 0.027 1598.800 0.027 1096.5800.028 1847.118 0.028 1599.200 0.028 1096.9830.029 1847.536 0.029 1599.600 0.029 1097.3860.030 1847.950 0.030 1600.000 0.030 1097.7890.031 1848.361 0.031 1600.400 0.031 1098.1910.032 1848.769 0.032 1600.800 0.032 1098.5920.033 1849.175 0.033 1601.200 0.033 1098.9940.034 1849.580 0.034 1601.600 0.034 1099.3950.035 1849.984 0.035 1602.000 0.035 1099.7950.036 1850.387 0.036 1602.400 0.036 1100.1960.037 1850.789 0.037 1602.800 0.037 1100.5970.038 1851.191 0.038 1603.200 0.038 1100.9970.039 1851.592 0.039 1603.600 0.039 1101.3980.040 1851.994 0.040 1604.000 0.040 1101.7980.041 1852.395 0.041 1604.400 0.041 1102.1980.042 1852.796 0.042 1604.800 0.042 1102.5980.043 1853.196 0.043 1605.200 0.043 1102.9990.044 1853.597 0.044 1605.6000.045 1853.997 0.045 1606.0000.046 1854.398 0.046 1606.4000.047 1854.798 0.047 1606.8000.048 1855.198 0.048 1607.2000.049 1855.599 0.049 1607.600

0.050 1855.999 0.050 1608.0000.051 1856.399 0.051 1608.4000.052 1856.799 0.052 1608.8000.053 1857.199 0.053 1609.2000.054 1857.599 0.054 1609.6000.055 1857.999 0.055 1610.0000.056 1858.399 0.056 1610.4000.057 1858.800 0.057 1610.8000.058 1859.200 0.058 1611.2000.059 1859.600 0.059 1611.6000.060 1860.000 0.060 1612.0000.061 1860.000 0.061 1612.400

0.062 1612.8000.063 1613.2000.064 1613.6000.065 1614.0000.066 1614.4000.067 1614.8000.068 1615.2000.069 1615.6000.070 1616.0000.071 1616.4000.072 1616.8000.073 1617.2000.074 1617.6000.075 1618.0000.076 1618.4000.077 1618.8000.078 1619.2000.079 1619.6000.080 1620.000

Con los esfuerzos y deformaciones obtenidos de las escalas experimentales y del modelo analítico se grafican las curvas para 1860 MPa, 1620 MPa y 1103 MPa:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Curva esfuerzo-deformación de cable de presfuerzo Experimental Vs. Analítico (1860 MPa)

Ramberg-Osgood

fym

fsy

Experimental

es

fs

𝑓_𝑠=𝐸_𝑠 𝜀(𝛼+(1−𝛼)/ 〖 (1+〖𝛽𝜀〗 ^p) 〗 ^(1/𝑝) )

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Curva esfuerzo-deformación de cable de presfuerzo Experimental Vs. Analítico (1620 MPa)

Ramberg-Osgood

fym

fsu

Experimental

es

fs

𝑓_𝑠=𝐸_𝑠 𝜀(𝛼+(1−𝛼)/ 〖 (1+〖𝛽𝜀〗 ^p) 〗 ^(1/𝑝) )

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

200

400

600

800

1000

1200

Curva esfuerzo-deformación de cable de presfuerzo Experimental Vs. Analítico (1103 MPa)

Ramberg-Osgood

fym

fsu

Experimental

es

fs

𝑓_𝑠=𝐸_𝑠 𝜀(𝛼+(1−𝛼)/ 〖 (1+〖𝛽𝜀〗 ^p) 〗 ^(1/𝑝) )

Al graficar las curva experimental Vs la curva analítica del cable de presfuerzo para 1860 MPa, 1620 MPa y 1103 MPa, se observa que ambas curvas se aproximan en la zona elástica.

A partir de fym existe cierta separación de las curvas que es más creciente para 1103 MPa y menor separación para 1860 MPa; esta situación puede ser causada por el escalado impreciso de la imagen de las curvas de presfuerzo en AutoCad, siendo recomendable trabajar con datos obtenidos directamente de ensayos reales.

Para los tres niveles de presfuerzo las curvas experimentales y analíticas se aproximan hasta intersectarse en el esfuerzo último.