Problemas de Deformaciones Planas Tpicos. Muro deContencin Terrapln Cimentacin Corrida z Y X z Y X z Y X Relacionesesfuerzo-deformacindematerialesidealesa)elstico,b) plstico rgido, c) elastoplstico, d) elastoplstico con ablandamiento, e) relacin esfuerzo-deformacin tpica con un material real. Esfuerzo Deformacin (a) F Esfuerzo Deformacin (c) Esfuerzo Deformacin (e) Esfuerzo Deformacin (b) Esfuerzo Deformacin (d) FF R F = Significa en la Falla R = Significa Valor Residual Elemento A(a)(b)( c)Superficie del terrenoThTuNuNhDiagramas para ilustrar la definicin de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A. Nivel freticoNivel del terrenoX XZArea ANivel freticoNivel del terrenoX XZZArea AWWZZZZZyyyyyXXXXXXXa)yXZb)123a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principales NyXTyTxHuecos (poros)Selecciones de las partculasPunto de contacto entrepartculas situadas por encima y debajo del plano de la seccion.aaDefinicin de los esfuerzos en un sistema de partculas Concepto de Esfuerzos Efectivos HA Area de Corte Transversal = a a Agua de Poro Partcula Slida H Consideracin del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltracin Fuerzasqueactanenlospuntosdecontactodelas partculas de suelo en el nivel del punto A. Area de Corte Transversal = a1 a2 a3 a4 P1 P2 P3 P4 Concepto de Esfuerzos Efectivos Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo Entrada Vlvula(abierta) H1 Z B C A H2 h * z H2 h Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia arriba Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo Variacindel(a)esfuerzototal;(b)presindeporoy(c)esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia arriba. ProfundidadProfundidadProfundidad Esfuerzo Total,oPresin de Poros Esfuerzo Efectivoo H1W H1 W + z sat H1W (H1 +z + zi)w z( iw) H1W + H2 sat (H1 + H2 + h)wH2 - h w o o o H1 H1 + z H1 + H2 (a) (b)(c) Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo Salida Vlvula(abierta) H1 Z B C A H2 h * z H2 h Entrada Q Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo Distribucin de Esfuerzos en una masa de suelo Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin del (a)esfuerzototal;(b)presindeporosy(d)esfuerzoefectivoconla profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia abajo. ProfundidadProfundidadProfundidad Esfuerzo Total,oPresin de Poro Esfuerzo Efectivoo H1W H1W + z sat H1W (H1 +z - zi)w z( + iw) H1W + H2 sat (H1 + H2 - h)wH2 + h w o o o H1 H1 + z H1 + H2 (a) (b)(c) Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga Puntual. Z y L X r Z X P Ao y Ao z Ao x y A Esfuerzos causados por un Carga Puntual Boussinesq(1883)resolvielproblemadelos esfuerzosproducidosencualquierpuntodeun mediohomogneo,elsticoeistropocomo resultadodeunacargapuntualaplicadasobrela superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solucindeBoussinesqparalosesfuerzosnormales en un punto A causado por la carga puntual P es )`((

++ = A2 3222 252) () 2 1 (32 r Lz yz L Lry xLz x PxtoEsfuerzos Normales en A causados poruna Carga Puntual )`((

++ = A2 3222 252) () 2 1 (32 r Lz xz L Lrx yLz y Pytoy

2 / 5 2 2353) ( 2323z rPzLPzz+= = At todonde: 2 2 2 2 22 2z r z y x Ly x r+ = + + =+ = = relacin de poisson z X N Q por metro Aox Aoz Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita Esfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una carga lineal Q por metro, son 2 2 222 2 222 2 23) (2) (2) (2z xxz Qz xz x Qz xz Qxzxz+= A+= A+= Atttotoq = carga por rea unitaria B X X - r Aoz A | dr r o x z Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por unaCarga de Franja (ancho finito y longitud infinita) Carga Uniformemente Distribuida Sobreuna Franja Infinita LoaincrementosdeesfuerzosenelpuntoAproducidosporuna presin uniforme q queacta sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho B, son los siguientes: | || |) 2 () 2 cos() 2 cos(o | |tto | | |too | | |to+ = A+ = A+ + = Asen senqsenqsenqxzxzIsbaras o Bulbo de Presiones VerticalesBajo una Carga Flexible de Franja Carga deFranja flexible aa Planta q B2B2.5B B 2B 3B 4B 5B 0.7 0.5 0.3 0.2 0.06 0.08 0.1 0 B2B Ao q = 0.9 Ao q = B2B3B4B5B6B=0.1qV0.2q0.3q0.4q0.5q0.6q0.8q0.9qBajo el centroV0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q qa) b)Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro Isbaras o Bulbo de Presiones VerticalesBajo una Carga Flexible de Franja Z N |o X AoX AoV q B R1 R2 Carga con Distribucin Triangularsobre una Franja Infinita Carga con Distribucin Triangularsobre una Franja Infinita Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs del ancho de la franja, lo cualconduce a una distribucin triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N estn dados por: ((

+ = A((

+ = A((

= AxBz qsenRRnBzBx qsenBx qxzxv22 cos 1222112212221|tt| oto| otoCarga uniformemente distribuida sobre una rea circular )`((

+ = A2 / 32) / ( 111z RqvoEl incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de una rea circular flexible de radio R cargada con una presin uniforme q esta dado por Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma grfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En elpunto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como oo qIv = AFactor influencia l Valores del factor de influencia / para calcular el incremento de esfuerzo vertical total Av bajo un rea circular uniformemente cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin del transportation Research board). rVVCarga uniforme q= q/0.002 0.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.10123456789100.1 0.2 0.4 0.6 0.8rR=1098765432.521.51.2500.5rRrR=0.75=1ERR1z R PZZ=I.PZa b0.500.400.300.200.1000.01 2 4 6 6 6 8 8 8 0 0 0 2 1 10 1 2 4 4b/z=Influence Value I a/zb/z=00.10.20.30.40.60.70.80.9b/z =1.0b/z =0.51.21.41.61.92.03.0Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generadospor una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957). B BCarga uniforme q=0.5qV0.2q0.1q0.3q0.4q0.6q0.8q0.9qBajo el centroV0.5B 0.5BB B1.5B 1.5B2B 2B2.5B2.5B0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0a)b)a) lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.Isbaras o Bulbo de Presiones VerticalesBajo un rea Cuadrada con Carga Uniforme zLnzBm==Elincrementoenelesfuerzoverticaldebajolaesquina deunrearectangularcargadauniformementeviene dado por: Incremento de Presiones Verticales Bajoun rea Rectangular con Carga Uniforme oo qIv = ADondeIoesfuncindemyn,parmetrosdefinidos como: ValoresdelfactordeinfluenciaIoparacalcularelincrementodeesfuerzo verticaltotalAovbajolaesquinadeunarearectangularuniformemente cargada (Segn Fadum, 1948) 0.180.180.190.200.210.220.230.240.250.170.160.150.140.130.120.110.100.090.080.070.060.050.040.030.020.010.01 0.1 1 2 3 4 56 8 10 0.20.30.4 0.02 0.04 0.06 0.6 0.80.00m=0.0m=0.1m=0.2m=0.3m=0.4m=0.5m=0.6m=0.7m=0.8m=1.0m=1.8m=2.m=2.4m=3.0m=m=1.2m = 1 . 4m = 1 . 6m=0.9Presion uniforme qBLVV =qlNNota m n : y son intercambiablesFactor de influencia I ZnClculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical Parareascircularesorectangularesuniformementecargadas, puedehacerseunclculoaproximadodelincrementodeesfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirmide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, sielreacargadaesunrectngulodelongitudLyanchoB,el incrementopromedioenelesfuerzoverticaltotalauna profundidad z estar dado aproximadamente por ) )( ( z B z LqLBv+ += AoCualquierreacargadapuedeconsiderarsecomounnmerodiscreto desubreas,quedistribuyenunacargapuntualaplicadasobrela superficie del terreno 1 12 2L x B(L+z) x (B+z)ZqMtodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo vertical total bajo un rea uniformemente cargada.Ejercicio Unacimentacinsuperficialcuadradade2mdelado, perfectamenteflexible,transmiteaundepsitodesuelo homogneoeisotrpicounacargauniformeAq=200KN/m2. Compararladistribucindelosincrementosdeesfuerzovertical, (Aov)bajoelcentrodelazapataconsiderandounacarga distribuidayunacargapuntualequivalente.Estimarapartirde queprofundidadloserroresentreestasdistribucionesson inferiores a 0.1Aq.a) Carga uniformemente distribuida Cq =200 kn/m2BBAADD C2m4 veces 1mUtilizando el baco de Fadum EsquinaCentroZ( m )(m,n)(KN/m )2(KN/m )2O0.250.501.001.502.002.503.003.504.00- -4210.670.500.400.330.290.250,2470,2330,1770.1250,0860,0620,0460,0370,027200 20049,446,635,425,017,212,49,27,45,4197,6186,4141,6100,068,849,636,829,621,6,Carga puntual Expresin de Boussinesq N = == Ak x x PzPv800 200 2 2233toZ(m)V(KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,90,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00Comparacin entre las dos distribuciones deAov A partirde Z>2,20m error absoluto (A`ov-Ao) /Dq < 0.1 432,221050 100 150 200VVV(kN/m )2CARGA DISTRIBUIDACARGA PUNTUALz(m)ZXXXZZTzxTzxTzxTxz TxzTxz0ABcTResultantes de esfuerzos sobre aba)b)ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO CRCULO DE MOHR BAC13TDireccin de 1Direccin de 3(a)221133-+2A ( Coordenados,) TTCirculo de Mohr(b)REPRESENTACIN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL CRCULO DE MOHR a) estado de esfuerzos en un punto. b) Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto. Representacin de los esfuerzos mediante elcrculo de Mohr. uo ou u o o tuo o o ou o u o ouu22cos ) (2 cos2 2cos3 13 13 1 3 12321sen sensen= =++= + =Elesfuerzotangencialmximoenunpunto,tmaxes siempreiguala(o1-o3)/2;esdecir,elesfuerzotangencial mximo equivale al radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo tangencialmximoseproduceenplanosqueforman45 con la direccin del esfuerzo principal mayor. Ejemplo Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.3004kg/cm24kg/cm22kg/cm22kg/cm2BB1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0). 2. Se dibuja el crculo, utilizando estos puntos para definir el dimetro. 3. Se traza la lnea AA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual acta el esfuerzo (2,0). 4. La interseccin de AA con el crculo Mohr en el punto (4,0) es el polo. 5. Se traza la lnea BB por Op, paralela a BB. 6. SeleenlascoordenadasdelpuntoXdondeBBcortaalcrculode Mohr. 10-11 2 3 4CA AXBBOpCA 4 3 2 Op B B Respuesta 2.5 kg/cm22 kg/cm24 kg/cm20.87Sobre BB o = 2.5 kg/cm2 t = -0.87 kg/cm2 Otra solucin. Los pasos 1 y 2 igual que antes. 3. Trazapor el punto (4.0) la lnea CC paralela al plano sobreel que acta el esfuerzo (4.0). CC es vertical. 4. CC corta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6anlogos al caso anterior. Solucin por medio de las ecuaciones 222321/ 866 . 0 60 24022 4/ 5 . 2 60 cos 3 240 cos22 422 4120 / 2 / 4cm kg sen sencm kgcm kg cm kg = = == = ++= = = =uutou o o(preguntas para el alumno. Por qu es u =120? El resultado habria sido diferente si u = 300?) DIAGRAMAS p-q Enmuchosproblemasconvienerepresentar,sobreun diagrama nico,muchosestadosdeesfuerzosparauna determinadamuestradelsuelo.Enotrosproblemasse representaenundiagramadeestetipoelestadode esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos resultamuypesadotrazarloscrculosdeMohr,e inclusomasdifcilverloqueseharepresentadoenel diagrama despus de dibujar todos los crculos . Otro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede seradoptarunpuntorepresentativodelosesfuerzos cuyas coordenadas son 23 1o o+= p23 1o o = q+ si o1 forma un ngulo igual o menor de 45 con la vertical - si o1 forma un ngulo menor de 45 con la horizontalEnlamayoradeloscasosenlosqueseutilizala representacinpuntual,losesfuerzosprincipalesactan sobreplanosverticalesyhorizontales.Enestecaso,la ecuacin se reduce a 2,2h hq po o o ou u=+=Estemtodoequivalearepresentarunpuntonicode un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o el mas bajo si q es negativo. Numricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador. Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de esfuerzos,seposeetodalainformacinnecesariapara dibujarelcrculodeMohrcorrespondiente.Sin embargo,elempleodeundiagramap-qnoeximede utilizar el crculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos.