1

Esfuerzo en vigas

Durand Porras, Juan Carlos [Docente Asesor]Muñoz Hoyos, Nelson IvánSánchez Amasifuen, Gaby Rita

Universidad Nacional de Ingeniería (UNI-Perú)

RESUMEN

En el presente trabajo comenzaremos por abordar el concepto “esfuerzo” y “viga”, ya que se hará menciones de

ellos en varias partes del documento. Repasaremos un poco de los antecedentes que se tiene en cuanto a su origen de

estudio. También con el objetivo de conocer la aplicación de estos conceptos es que se estudiará las fuerzas que

aparecen o que hallamos en una viga expuesta. Además de los distintos tipos de cargas que actuarán sobre una ella y

que producirán sobre esta un cambio en su longitud, lo que en la realidad se refleja con el concepto de “deflexión”.

Veremos también la fórmula matemática que es muy utilizada para el desarrollo de problemas que involucren

esfuerzos en vigas, la que relaciona los parámetros, momento flector, distancia del eje neutro y momento de inercia.

Encontraremos, además, los tipos de diseños de viga y los parámetros asociados a cada uno de ellos con algunas

tablas que se utilizan para acompañar y servir de guía a los ingenieros que tienen por misión lograr un diseño de

vigas acorde a la exigencia de la ingeniería.

PALABRAS CLAVE

Esfuerzo en vigas, vigas, resistencia de materiales, secciones de vigas, flexión en vigas.

INTRODUCCIÓN

En ingeniería y arquitectura se denomina viga (palabra proveniente del latín biga) a un elemento

estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre

las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

2

Una viga constituye una pieza lineal apoyada que resiste fundamentalmente a flexión. Estas

estructuras presentan un canto e inercia crecientes con luz, puesto que la flexión es directamente

proporcional al cuadrado de la luz. Los puentes viga, por tanto, se basan en secciones de máxima

inercia y de mínimo peso (secciones en doble T, cajones, etc.).

Las primeras intuiciones sobre el mecanismo de la flexión en una viga surgen en el

Renacimiento con Leonardo da Vinci, aunque fue Galileo el primero que intentó dar una

explicación científica al comportamiento de una viga. Sin embargo, fue Coulomb (1736-1806) el

primero que propuso las condiciones de equilibrio de las secciones de la viga y Navier (1785-

1836) el que resolvió en 1824 completamente el problema basándose en la proporcionalidad de

tensiones y deformaciones (ley de Hooke) y en la hipótesis de la conservación de las secciones

planas. Continuadores de Navier fueron Saint-Venant y Bresse que hicieron importantes

aportaciones a la resistencia de materiales y al cálculo de las estructuras hiperestáticas. Sin

embargo, no fue hasta 1954 el año en que Livesley inició el método matricial del cálculo de

estructuras empleado hoy masivamente con el empleo de los ordenadores personales.

OBJETIVOS

Aprender el ámbito de aplicación de la teoría de “esfuerzos en vigas”

Conocer los parámetros a tener en cuenta para el desarrollo de un problema de esfuerzo

en vigas.

Desarrollo del tema

Viga:

3

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja

principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y

suele ser horizontal.

Esfuerzos:

El primer esfuerzo que definiremos será el esfuerzo de flexión, es decir donde no se encuentran

esfuerzos cortantes, suponiendo que una viga está formada por un gran número de fibras

longitudinales, cuando estas se flexionan la parte superior de la viga se comprimen, mientras que

la parte inferior se alargan, estas son iguales en magnitud y forman el momento resistente interno

en la viga. En la mitad de la superficie de la viga se verifica la transición entre compresión y

tensión, esta donde el esfuerzo es cero se denomina superficie neutra o eje neutro y está

localizada en el centro de gravedad de la sección transversal.

Fórmulas de flexión:

Debe suponerse que:

La viga esta recta , con sección transversal constante

Las cargas aplicadas no generan torsión

Todos los esfuerzos en la viga están por debajo del límite de proporcionalidad

Fig. 1: Vista de un punte en donde se aplica el concepto de “esfuerzos en vigas”

4

El módulo de elasticidad de tensión y compresión son iguales

La viga está restringida a moverse lateralmente

La línea de acción de las fuerzas es paralela

Las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión

σ=MCI

donde:

σ=¿esfuerzo en la fibra más alejada o módulo de ruptura, kg/cm2

M=¿ momento flexionante en el tercio medio, cm-kg

C=¿distancia del eje neutro a la fibra más alejada, cm

I=¿momento de inercia de la sección transversal, cm4

Esta fórmula se usa para determinar los esfuerzos máximos en las fibras de vigas,

frecuentemente las vigas tienen secciones transversales asimétricas con respecto al eje de

flexión, el procedimiento para analizar estas vigas debe tenerse en cuenta que existen dos valores

en C y para determinar el esfuerzo máximo se debe usar la mayor distancia en C, sin embargo

para determinar el esfuerzo se debe usar la fórmula de flexión dos veces usando las respectivas

distancias C, como el eje neutro esta siempre en el centroide de la sección transversal, el primer

cálculo consiste en localizar este eje para determinar las dos distancias C.

5

Esfuerzos cortantes:

La consideración del esfuerzo cortante, se hace muy pocas veces en el análisis y diseño de las

vigas. Sin embargo, los esfuerzos cortantes verticales se relacionan con los esfuerzos cortantes

horizontales en las vigas, y esto es de gran importancia en algunos aspectos del diseño de vigas.

Los esfuerzos cortantes horizontales deben considerarse en las dos aplicaciones importantes que

se describen a continuación:

a) El material usado para la viga tiene una baja resistencia al esfuerzo cortante en una

dirección (generalmente la horizontal). Esto ocurre en las vigas de madera.

b) Las partes de las vigas fabricadas deben estar unidas en una forma segura. Una viga de

acero puede reforzarse uniéndole cubre-placas, y una viga de madera puede reforzarse

uniéndole varias placas más pequeñas. En estas aplicaciones se deben calcular las fuerzas

cortantes horizontales para determinar el número requerido de clavos, de remaches o de

pernos, o la longitud de la soldadura necesaria para que la sección compuesta trabaje

como una unidad.

Existen dos métodos para establecer la existencia de los esfuerzos cortantes horizontales.

Considere una carga sujeta a cargas transversales como en la figura.

Fig. 2: Vista de cargas transversales que actúan en la viga

6

La fuerza cortante vertical que actúa sobre cualquier sección, tal como la a-a produce esfuerzos

cortantes verticales.

Sepárese un pequeño bloque de la viga y trácese un diagrama de cuerpo libre mostrando los

esfuerzos cortantes en la superficie a-a. Como la viga esta en equilibrio el bloque también debe

estar en equilibrio.

También puede notarse que siempre que haya un esfuerzo cortante en un punto de un bloque,

debe hacer esfuerzos cortantes iguales sobre las cuatro superficies mutuamente perpendiculares

del bloque.

La figura es otro ejemplo de la acción de esfuerzos cortantes horizontales en una viga. La Fig. 3,

se supone que la viga está compuesta de varias placas delgadas colocadas una sobre otra, pero

sin estar unidas de ninguna manera.

Cuando se aplica una carga a la viga y ocurre la deformación, las superficies de contacto entre

las placas se deslizaran, y sus posiciones finales serán como se indica en la Fig. 4.

Fig. 3: Esfuerzos cortantes horizontales

7

Si estas placas estuvieran unidas por algún medio antes de que se aplique la carga (por ejemplo,

por medio de pernos), la viga actuaría como una unidad, como se muestran la Fig. 5. Estos

medios de conexión (los pernos) impedirán el deslizamiento de las superficies individuales. Por

consiguiente los pernos están ejerciendo fuerzas horizontales.

Si la viga está compuesta de un solo bloque, y se aplica una carga sobre ella como se muestra en

la Fig. 6 cada superficie horizontal tiende a deslizarse con respecto a la superficie adyacente.

Fórmula de esfuerzo cortante

Fig. 4: Carga generando deformación en la viga

Fig. 5: Viga con pernos

Fig. 6: Carga actuando sobre viga

8

En análisis y diseño de ingeniería interesa la magnitud y la distribución de los esfuerzos

cortantes en las vigas. Una expresión para determinar los valores del esfuerzo cortante horizontal

puede obtenerse de la siguiente manera:

Uso de la fórmula de esfuerzo cortante

Los dos tipos de problemas que se pueden resolver con la fórmula de esfuerzo cortante son los

siguientes:

a) Encontrar el esfuerzo cortante en materiales cuya resistencia al esfuerzo horizontal es

pequeña.

b) Diseñar o analizar conexiones en miembros compuestos, en lo que respecta a fuerzas

cortantes horizontales.

Tipos de cargas

Caso 1. Viga libremente apoyada, carga concentrada al centro.

9

Caso 2. Viga libremente apoyada, carga concentrada en cualquier punto.

Caso 3. Viga libremente apoyada, dos cargas concentradas iguales colocadas simétricamente.

Caso 4. Viga libremente apoyada, carga uniformemente distribuida.

Caso 5. Viga libremente apoyada, carga distribuida con variación lineal.

Fig. 10: Viga con carga uniformemente distribuida

Fig. 8: Carga en punto arbitrario

Fig. 9: Cargas colocadas simétricamente

Fig. 7: Carga concentrada en el centro

10

Caso 6. Viga libremente apoyada, par en un extremo.

Caso 7. Viga en voladizo, carga concentrada en el extremo libre.

Caso 8. Viga en voladizo, carga concentrada en cualquier punto.

Caso 9. Viga en voladizo, carga uniformemente distribuida.

Fig. 11: Viga con carga distribuida con variación lineal

Fig. 15: Viga con carga uniformemente distribuida

Fig. 14: Viga con carga en cualquier punto

Fig. 13: Carga concentrada en un extremo

Fig. 12: Viga con par en un extremo

11

Diseño en vigas, consideraciones de diseño

Determinar las dimensiones requeridas de la sección transversal de la viga.

Fórmulas para tener en cuenta…

Diseño de vigas que tienen formas geométricas simples

Como el área de sección transversal de una viga son formas geométricas simples (Rectángulo,

Triángulo, Círculo…), se pueden determinar las dimensiones de la viga si se conoce el Momento

de Inercia y el Centroide, y sus dimensiones pueden hallarse usando la fórmula de Módulo de la

Sección (S).

Diseños usando perfiles estándar, disponibles comercialmente

Vigas de acero

El diseño estructural normal consiste en elegir la forma y dimensiones de la viga más económica,

a partir de perfiles estándar, comercialmente disponibles.

Formas más comunes de vigas de acero:

Fig. 16: Fórmulas para diseño en vigas

12

•De patín ancho (W)

•La estándar americana (S)

•En canal (C)

•En ángulo

Vigas de madera

Las dimensiones de una viga de madera se dan mediante su tamaño nominal, pero esto

generalmente no proporciona las dimensiones verdaderas, ya que las cuatro caras de la viga de

madera se cepillan.

El tamaño nominal, llamado también “dimensión sin labrar” es el tamaño de la viga antes de que

se cepille, y el tamaño labrado es el tamaño después de cepillado que es como generalmente se

compra.

Fig. 17: Tipos de diseño de vigas de acero

13

Perfiles en W

Donde:

d: Peralte o altura

tw: Espesor del alma

bf: Ancho

tf: Espesor

Perfiles I

Donde:

d: Peralte o altura

tw: Espesor del alma

bf: Ancho

tf: Espesor

Canales Americanos Estándar

Fig. 18: Tipos de vigas de madera

Fig. 19: Perfil W

Fig. 20: Perfil I

14

Donde:

d: Peralte o altura

tw: Espesor del alma

bf: Ancho

tf: Espesor medio

Ángulos de lados iguales y de lados desiguales propiedades para diseño (vista selecta)

Aplicaciones prácticas

Primer problema:

Una viga en voladizo de 60mm de ancho por 200mm de canto y 6m de longitud, soporta una

carga que varia desde cero en elo extremo libre hasta 100N/m en el empotramiento. Determinar

el valor y el signo del esfuerzo en una fibra situada a 40mm del extremo superior de la viga en

una sección a 3m del extremo libre.

Fig. 22: Canales Americanos Estándar

Fig. 25: Ángulos de lados iguales y de lados desiguales

15

Resolución:

Del enunciado tenemos:

Calculamos el momento a

una distancia de 3m

M(x=3) = 500(3)2/6=750Nm

Podemos apreciar que las fibras superiores al E.N. de la sección , están en fracción .

Sabemos que:

σ = MY/I = 750(0.06)/(1/12)(0.06)(0.2)3=1.13MPa

σ = 1.13

Segundo problema:

Una viga simplemente apoyada de 12m de claro soporta una carga repartida de 30kN/m en los

6m centrales .Elegir la sección más ligera, si el esfuerzo admisible es de 140MPa. Hallar el

esfuerzo real máximo e la viga elegida.

Resolución:

Del enunciado tenemos:

16

Calculamos el momento máximo , que está en el centro de luz .

Mmax = 90(6)-30(3)2/2

Mmax=405kN/m

σ max=140MPa

Entonces: S ≥Mmax/ σ adm=(405x103)/140x106=2.893x10-3m3=2893x103mm3

Datos del perfil : m=125,1Kg/m=1227N/m

S=3220x103mm3

Mtotal=405+1,227x(122/8)=427KNm

σ total=Mtotal/S =133MPa

Entonces:

σreal = 133MPa

Tercer problema:

Hallar el módulo de sección que tendrá una viga de acero que soporte las cargas mostradas a

continuación. El esfuerzo de flexión admisible es de 24 klb/pulg2.

17

SOLUCIÓN

El momento máximo puede calcularse combinando dos casos.

Viga libremente apoyada; dos cargas concentradas iguales colocadas simétricamente.

Mmáx = Pa

Viga libremente apoyada; carga uniformemente distribuida.

Mmáx = (1/8)wL2

Entonces:

M=18w L2+Pa

M=18 ( 1klbpie )(20 pies )2+( 6klb

pie ) (6 pies )

M=86 klb−pie

Convertir el momento máximo klb / pie a klb / pulg

18

86klb−

pie∗0.3048m1 pie

∗39.37 pulg

1m=1031.997936 klb−pulg

Reemplazando:

S=Mσ

=1031.997936 klb−pulg

24 klbpulg2

S= 42.999914 klb−pulg∗pulg2

klb

S=43 pulg3

Resultados

Se ha visto entonces que la aplicación de esta parte de las ciencias, en el apartado “resistencia de

materiales”, será de vital importancia para cuando un ingeniero pretenda elaborar y ejecutar un

diseño de estructuras, pues no solo se debe calcular esfuerzos sino que también se puede a partir

de ellos planificar el diseño y parámetros adecuados para una viga. Hemos revisado muchos

términos, casos y parámetros que trabajan conjuntamente en esta parte de la ciencia de

ingeniería. Desde el concepto de “esfuerzo”, “esfuerzo cortante”, “tipos de cargas”, “diseño y

sus parámetros”.

Se espera que el presente documento sirva de apoyo para aquellos que quieran entender un poco

más del concepto “esfuerzos en vigas” ya sea para su carrera o para alimentar a esas mentes

deseosas de conocimientos de las ciencias ingenieriles.

Conclusiones

19

Habiendo ya desarrollado el tema “esfuerzos en vigas”, y revisado además los orígenes de los

estudios respecto a este campo vemos que su desarrollo teórico fue forjándose desde la era de

Galileo hasta adoptar la forma que hoy ya conocemos (método matricial del cálculo de

estructuras). En construcciones o edificaciones de los distintos tipos de estructuras que el hombre

ha creado, este se ha visto en la necesidad de analizar las resistencias y esfuerzos de los soportes

de carga para dotar a la construcción con un valor de seguridad. Su expresión matemática no

resulta nada compleja, pero sí exige el conocimiento de los distintos parámetros que la

componen los cuales fueron pensados y obtenidos teórica y prácticamente:

σ=MCI

Referencias

Jacques, H. (1974). Vigas y pórticos. Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Madrid. España: EFCA S.A.C.

Aquiles Martínez, R. (2004). Criterios fundamentales para resolver problemas de resistencia de materiales Vol. II.

Venezuela: Ediciones de la Universidad Simón Bolívar.

Víctor, Y. P. (2013, marzo). Concepto de puente viga y algo de historia. Recuperado de

http://victoryepes.blogs.upv.es/2013/10/10/concepto-de-puente-viga-y-algo-de-historia/