Esfuerzos+en+Secciones+I (1)

8/17/2019 Esfuerzos+en+Secciones+I (1)

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©Copyright 2014 Francisco Pellicer Martínez. Todos los derechos reservados. 1

Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Departamento de Ingeniería Civil

Universidad Católica de Murcia

Prof. Francisco Pellicer Martínez.

Tema 1. Ampliación de esfuerzos en vigas.

Distribución de tensiones normales en una sección

1. Dada la siguiente ley de ailes! determinar la distribución de tensiones correspondientes al

m"imo ail de tracción y al m"imo ail de compresión. #a sección es una doble de $% cm de

canto! &% cm de anc'o de ala! 1% cm de espesor de ala y 1% cm de espesor de alma. Determinar la

deformación longitudinal unitaria de dic'as secciones. ()u* 'arías para determinar ladeformación longitudinal total de la barra! sabiendo +ue mide , metros- (#a barra se alarga o se

acorta- / 01%, 234m0.

Al disponer de la ley de axiles, se observa que el máximo axil de tracción es de 40 kN, mientras que el

máximo axil de compresión es de 20 kN.

Para conocer las tensiones a las que está sometida la sección de la piea se aplica la si!uiente ecuación"

= =

#onde N es el axil $positivo o ne!ativo% y A es el área de la sección de la barra.

&l área de la piea es"

= 30 · 40 − 2 · 10 · 20 = 800 = 0,08

+

-

N = 20 kN

N = 40 kN


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= −200,08 = −250 /

= 400,08 = 500 /

'i decidimos que el e(e del cable coincida con el e(e x, aplicando la ley de )ooke !eneraliada

determinamos la de*ormación lon!itudinal unitaria $ε%"

=

+a que el resto de tensiones son nulas. &l resto de ecuaciones no son necesarias para la resolución del

problema, por lo que se podra indicar como"

= = =

−250 /20.000 / = −0,0125

= = =

500 /20.000 / = 0,025

-a de*ormación lon!itudinal unitaria tambin se puede escribir como"

=

∆

y

z h = 4 0 c m

b=30 cm

G balma=10

hala

=10 cm

N = 40 kN

z

x

G

σ = 500 kN/m2

N = 20 kN

z

x

G

σ = - 250 kN/m2


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#e donde se puede despe(ar la de*ormación lon!itudinal $∆%, y queda"

∆ = · = !

" = #− 2 0 $ 1 2 · %

!

" = 1 · &−20 · $ ' · ("!

∆ = 120.000·0,08 · #− 2 0 · 5 $ ' · 5% = 120.000·0,08 · #−100$150% = 5020.000·0,08

∆ = 5020.000·0,08 = 0,03125

0. 5na viga recta! de sección en doble T! est" sometida a fleión pura 6M/0, m738. Determinar

la distribución de tensiones normales +ue sufre dic'a sección. #a sección tiene un canto de ,%

cm! &% cm de anc'o de ala! 1% cm de espesor de ala y 1% cm de espesor de alma. Determinar las

deformaciones longitudinales unitarias m"imas. (9u"nto se alarga la viga teniendo en cuenta la

'ipótesis de :ernoulli- / 0!,1%,234m0.

/lexión pura" la ley de momentos es constante. na ley de momentos es constante implica que no 1ay

cortantes.

'i bien la ley de momentos es positiva, el momento es ne!ativo si se tiene en cuenta el sistema de

re*erencia de la sección, por lo que el momento a utiliar en la *ormulación es 23 m!"N .

aractersticas !eomtricas"

= 30 · 50 − 2 · #30· 10% = )00 = 0,0)

* = 1

121 0 · 3 0+ $ 2 · 1

1230 · 10+- $ 2 · #30 · 10 · #20%%

* = 22.500 $ 5.000 $ 240.000 = 2'.500 = 0,002'5

x

M

L

+

1#% = 25 ·

x

L

25 ·

25 ·


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-a distribución de tensiones normales en la sección debida al momento *lector, tano si 1ay momento*lector alrededor del e(e # como del e(e y , es"

= −* · $

* ·

&n este problema sólo 1ay momento alrededor del e(e $es un problema de Fleión Pura%, por lo que

la ecuación queda"

= −

* ·

#onde la variable y 1ace re*erencia al e(e y , que tiene la dirección de la altura $.

-a distribución de tensiones normales sobre la sección es *unción lineal de la variable y .

= − −25 · 0,002'5 · = ).34' · /+

A1ora se determinan los valores de las tensiones normales en la dirección del e(e % $% dándole valoresa la variable y , que vara desde 5 $&' a $&'.

uando y es i!ual a $&', el valor de la tensión normal es"

= ).34'·#0,25% = 2.33' / uando y es i!ual a ($&', el valor de la tensión normal es"

= ).34' · #−0,25% = −2.33' / + cuando y es i!ual a cero $0%, la tensión normal es nula"

= ).34' · #0% = 0 /

-os puntos en donde la tensión normal es cero se denomina fibra neutra.

y

z h = 5 0 c m

b=30 cm

G x G

M = -25 m·kN balma=10 cm

hala

=10 cm


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-a de*ormación unitaria de la sección provocada por uno o por dos momentos *lectores alrededor de los

e(es y e # se determina aplicando la -ey de )ooke a las tensiones normales que proporciona dic1o o

dic1os momentos *lectores.

=

+ como

= = * ·

Por lo que tenemos el mismo problema de tensiones normales que antes. Por lo que se aprovec1an los

resultados anteriores.

Por lo que la distribución de de*ormaciones lon!itudinales unitarias son las si!uientes"

= = ).34' ·

= ).34' · 250.000 = 0,034 ·

-os valores extremos de esta ecuación se muestran en la *i!ura si!uiente"

y

z

h

b

G x G

= 2.23' = /

= −2.33' /

= 0 /

Fibra neutra

M = -25 m·kN

x G

= $0,00)35

= −0,00)35

= 0

M= 25 m·kN

y

z h

b

G Fibra neutra


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&. Determinar la distribución de tensiones normales de un momento flector 60, m238 y un ail

60, 238 sobre la sección rectangular de una viga bi;apoyada. #a sección tiene por base 6b8 y por

altura 6'8 igual a< b' / 0,,% cm.

uando se indica que una sección es 23x30 cm $bx1% se está indicando que la base es 23 cm y la alturaes 30 cm. &l momento *lector act6a sobre un e(e # paralelo a la sección y perpendicular al e(e de la vi!a,

que se asume que es el e(e % y que pasa por el centro de !ravedad $7% de la sección. &l axil es de

compresión $ne!ativo% y tiene la misma dirección que el e(e % , pero en sentido ne!ativo. Tenemos un

problema de Fleión 9ompuesta 6Ail = Flector8.

-a distribución de tensiones normales en la sección debida al momento *lector, tano si 1ay momento

*lector alrededor del e(e # como del e(e y , es"

= −* · $

* ·

&n este problema sólo 1ay momento alrededor del e(e , por lo que la ecuación queda"

= −* ·

#onde la variable y 1ace re*erencia al e(e y , que tiene la dirección de la altura $. -a distribución de

tensiones del axil $N % es constante en la sección, mientras que la distribución de tensiones normales del

momento *lector $M % es *unción lineal de la variable y .

= 25 0,25 · 0,5 − −25 ·

112 ·0,25· #0,5%+

· = 25 0,125 $ 25 · 0,002' ·

= 200 / $).'15,38· /+ A1ora vamos a determinar los valores de las tensiones normales en la dirección del e(e % $

% dándole

valores a la variable y , que vara desde 5 $&' a $&'.

y

z

h

b

G

x G

M = -25 m·kN

N= 25 kN


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uando y es i!ual a $&', el valor de la tensión normal es"

= 200 / $).'15,38· #0,25% = 200$2.403,85 = 2.'03,85 / uando y es i!ual a ($&', el valor de la tensión normal es"

= 200 / $ ).'15,38 · #−0,25% = 200 − 2.403,85 = −2.203,85 / + cuando y es i!ual a cero $0%, la tensión normal ya no es nula y la fibra neutra no pasa por el centro de!ravedad"

= 200 / $ ).'15,38 · #0% / = 200 / Para determinar los puntos en donde la tensión normal se 1ace nula, se tiene que i!ualar la ley de

tensiones anterior a cero y despe(ar el valor de y .

= 200 $ ).'15,38 · = 0 200 $).'15,38· = 0

).'15,38· = 200

= 200).'15,38 = 0,021

&l cálculo que 1emos realiado es como si calculásemos primero las tensiones normales que e(erce un

axil $N %, y le sumásemos despus las tensiones del momento $M %.


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y

z

h

b

G

x G

= 2.403,85 /

= −2.403,85 6/

= 0 /

Fibra neutra

M = -25 m·kN

y

z

h

b

G x G

= 200 /

N= 25 kN

=

x G

= 2.'03,85 /

= −2.203,85 /

= 0 /

M = -25 m·kN

y

z h

G Fibra neutra

b

N= 25 kN


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$. Determinar la distribución de tensiones normales al actuar de forma con>unta sobre una

sección en doble T un momento flector 6;1% m·kN 8 alrededor del e>e z, y un momento flector 6$%

m·kN 8 alrededor del e>e y. #a sección es de ,%&% cm.

Al tener dos momentos *lectores sobre una misma sección es un problema de *lexión esviada. -a*órmula de la *lexión esviada es"

= − * · $* ·

-os momentos de inercia de la sección son"

* = 112 5 0 · 3 0+ = 2'.500 = 0,001125

* = 112 30· 50+ = 2'.500 = 0,003125 -a tensión normal en la sección es, por tanto"

= − −100,001125 · $ 40

0,003125 ·

-a tensión normal en la sección depende de las variables # e y .

8amos a determinar la tensión normal en los cuatro puntos dibu(ados en la tensión, representados por

sus coordenadas $ y) # %.

9" $ y * +$&': # * +,&'%

7 = − −100,001125 · #−0,125% $ 40

0,003125 ·#−0,25% = −4311,11 /

2" $ y * $&': # * +,&'%

7 = − −100,001125 ·#0,125%$ 400,003125 · #−0,25% = −2088,8) /

y

z

h = 2 5 c m

G

b=50 cm

1

2

3

4


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;" $ y * +$&': # * ,&'%

7 = − −100,001125 ·#−0,125%$ 40

0,003125 ·#0,25% = 2088,8) /

4" $ y * $&': # * ,&'%

7 = − −100,001125 ·#0,125%$ 40

0,003125 ·#−0,25% = 4311,11 /

Para determinar la *ibra neutra se i!uala la expresión de la tensión normal a cero.

= − −100,001125 · $ 40

0,003125 · = 0

8.888,8) · $ 12.800 · = 0

= −0,')4 · Para dibu(ar la *ibra neutra se necesitan dos puntos de la sección"

'i y * -, entonces # * -. &l punto $-) -% pertenece a la *ibra neutra.

'i y * -.'/ , entonces # * +-.-01 . &l punto $-.'/) +-.-01 % pertenece a la *ibra neutra.

y

z

h = 2 5 c m

G

b=50 cm


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,. Determinar la distribución de tensiones normales al actuar de forma con>unta sobre una

sección en doble T un momento flector 6;0% m·kN 8 alrededor del e>e z, un momento flector 60,

m·kN 8 alrededor del e>e y ! y un ail 6;&, kN 8. #a sección tiene un canto de ,% cm! 0% cm de anc'o

de ala! , cm de espesor de ala y , cm de espesor de alma.

Al tener dos momentos *lectores sobre una misma sección es un problema de *lexión esviada. -a

*órmula de la *lexión esviada es"

= − * · $ * · -os momentos de inercia de la sección son"

= 20 · 50 − 2 · #,5·40% = 400 = 0,04

* = 112 5 · 40+ $ 2 · 112 2 0 · 5+- $ 2 · #20 · 5 · #22,5%%

* = 2'.'' $ 41 $ 101.250 = 128.333 = 0,00128

* = 2 · 112 5 · 20+ $ 112 4 0 · 5+ * = '.'' $ 41 = .083 = ,08 · 10!

-a tensión normal en la sección es, por tanto"

= −350,04 − −200,00128 · $

250,000008 ·

-a tensión normal en la sección depende de las variables # e y .

y

z h = 5 0 c m

b=20 cm

G

x G

Mz = -20 m·kN

balma=5cm

hala

=5 cm

y

z

M = 25 m·kN

N = -35 kN


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'e determinan la tensión normal en los cuatro puntos dibu(ados en la tensión, representados por sus

coordenadas $ y) # %.

9" $ y * +$&': # * +,&'%

7 = −350,04 − −200,00128 ·#−0,25%$

250,000008 ·#−0,10% = −40.0)2 /

2" $ y * $&': # * +,&'%

= −350,04 −

−200,00128 ·#0,25%$

250,000008 ·#−0,10% = −32.2) /

;" $ y * +$&': # * ,&'%

+ = −350,04 − −200,00128 ·#−0,25%$

250,000008 · #0,10% = 30.52) /

4" $ y * $&': # * ,&'%

= −350,04 − −200,00128 ·#0,25%$

250,000008 · #−0,10% = 38.342 /

Para determinar la *ibra neutra se i!uala la expresión de la tensión normal a cero.

= −350,04 $ 20

0,00128 · $ 25

0,000008 · = 0

−85 $ 15.'25 · $ 353.10 · = 0 = −22,'0 · $ 0,05'

1

2

3

4 y

z =

b=20 cm

G

b =5c


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Para dibu(ar la *ibra neutra se necesitan dos puntos de la sección"

'i # * -, entonces y * -.-/2. &l punto $-.-/2) -% pertenece a la *ibra neutra.

'i * -.0-, entonces # * -.-21/ . &l punto $-.0-) +'.'-3% pertenece a la *ibra neutra.

y

z =

b=20 cm

G


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9arga ec*ntrica P aplicada en una sección 6fleión esviada8.

-a ecuación para determinar la distribución de tensiones normales provocada por un axil y dos

momentos *lectores se puede expresar en *unción de una *uera P excntrica, no aplicada en el centro

de !ravedad de la sección. &sta *uera !enera un es*uero axil en la sección y uno o dos momentos

*lectores, en *unción de si la excentricidad es en uno o en dos e(es.

Por lo que la si!uiente expresión

= −* · $

* ·


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100 $ 35 · = 0 = −0,2''

-a *ibra neutra queda *uera de la sección.

Determinar la fibra neutra en una sección rectangular $%,% cm cuando se aplica una carga P 6;

&% 238 con una ecentricidad en el e>e y 6e y 8 de @ cm! y en el e>e z de 6e z 8 de 1% cm.

Para determinar la *ibra neutra $ona con tensión normal nula, = 0% se utilia la si!uiente ecuación"

= 9 $9 · :

* · $9 · :

* ·

'e eliminan los trminos que son nulos, en este caso nin!uno, y se i!uala a cero, dado que en la *ibra

neutra = 0. Para este caso la expresión anterior quedara.

= 9 $9 · :

* · $9 · :

* ·

-os datos que se conocen son"

9 = −30 = ; · < = 0,40 · 0,50 = 0,2

* = 112 · ; ·


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'impli*icando esta ecuación queda

10,2 $

0,080,0042 · $

0,100,002 · = 0

1 $ 0,01'0,0042 · $ 0,020,002 · = 0 1 $ 3,81 · $ ,41 · = 0

3,81 · = −,41 · − 1 = −1,)5· −0,2'

&sta ecuación es la de una recta en *unción de los e(es 5y# de la sección rectan!ular.

#ándole dos valores a se obtienen dos puntos de la recta"

'i = 0, entonces y = 0,2@ m. $0,2@: 0%.

'i = 0,2, entonces y = 0,9; m. $0,9;: 0,2%

y

z

h G

Fibra neutra

b

y = 0,13 m

y = 0,26 m

P

Punto aplicación de la fuerza


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3cleo central

'e denomina n6cleo central a la ona de la sección transversal donde 1a de estar aplicada la car!a P

para que la *ibra neutra no corte a la sección y, en consecuencia, los es*ueros normales sean del mismo

sentido.

Para ello se utilia la ecuación de distribución de tensiones normales sobre una sección que !enera una

car!a P excntrica $*lexión esviada%.

= 9 $9 · :

* · $9 · :

* ·

-a *ibra neutra es el punto en el que las tensiones normales son nulas, por lo que.

= 9 $9 · :

* · $9 · :

* · = 0

+ en esta ecuación se puede despe(ar la car!a P ya que está en todos los trminos y la expresión está

i!ualada a cero.

1 $

:* · $

:* · = 0

#e esta ecuación se conoce, el área $A%, y los momentos de inercia sobre los dos e(es principales $I # e I y %.Por lo que queda (u!ar con el valor de las excentricidades $e y , e # % para ver donde se coloca la *ibra

neutra $ y , # → y n, # n%.

1; Determinar el ncleo central de una sección rectangular b'.

'e aplica la ecuación"

1 $

:* · $

:* · = 0

&n la que"

= ; · < * = 112 · ; ·


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&n se!undo lu!ar se cambia de e(es y se determinar la excentricidad e # que 1ace que la *ibra neutra pasepor el borde # n * 6,&'.

&n primer lu!ar la excentricidad e # que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde # n * 6,&'.

'e empiea por la ecuación !eneral,

1

$ :

* · $ :

* · = 0

'e sustituyen los trminos conocidos, y se quitan los que son nulos para este caso $no 1ay e y %.

1; · = 0

'e sustituye el valor de # n para esta sección, que es 6,&'.

1; ·


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A1ora (untamos los cuatro puntos de aplicación de las *ueras y queda.

Punto a licación de la fuerza

y

z

h G

Fibra neutra

b

ez =b/6

zn = -b/2

y

z

h G

b

ey =-h/6

ez =-b/6

zn = b/2

z

y

ez =b/6

e = h/6


21/28


0; Determinar el ncleo central de una sección en doble T siguiente.


1 $

:* · $

:* · = 0

&n la que"

= ; · < * = 1

12· ; ·


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* = '.'' $ 41 = 22.)1 = 2,2)· 10 'e sustituyendo los valores conocidos queda la si!uiente ecuación"

1

0,05 $

:0,001) · $

:2,2)·10 · = 0

&n primer lu!ar la excentricidad e y que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde y n * 6$&'.

'e empiea por la ecuación

10,05 $

:0,001) · $

:2,2)·10 · = 0

'e 1ace nula la excentricidad en el e(e # $no 1ay e # %.

10,05 $

:0,001) · = 0

'e sustituye el valor de y n para esta sección, que es 6$&' *-.'/ m.

10,05 $

:0,001) · 0,25 = 0

'e despe(a la excentricidad e y .

:0,001) ·0,25 =

10,05 ? : =

−10,05 ·

0,001)0,25 ? : = −0,143

Por simetra, para que la *ibra neutra pase por y n $&', entonces la excentricidad es

: = $0,143

&n se!undo lu!ar se cambia de e(es y se determinar la excentricidad e # que 1ace que la *ibra neutra pase

por el borde # n * 6,&'.

Fibra neutra

yn = 0,25 m

ey =-0,143m

Punto a licación de la fuerza

y

z

yn = -0,25 m

ey =0,143 m

y

z

Fibra neutra


23/28


&n primer lu!ar la excentricidad e # que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde # n * 6,&'.

'e empiea de nuevo por la ecuación

1

0,05$ :

0,001)· $ :

2,2)·10 · = 0

'e 1ace nula la excentricidad en el e(e y $no 1ay e y %.

10,05 $

:2,2)·10 · = 0

'e sustituye el valor de n para esta sección, que es 6,&' *-.0/ m.

10,05 $

:2,2)·10 · 0,15 = 0

'e despe(a la excentricidad e # .

:2,2)·10 · 0,15 =

−10,05 ? : =

−10,05 ·

2,2) · 100,15 ? : = −0,031

Por simetra, para que la *ibra neutra pase por n = ,&', entonces la excentricidad es

: = 0,031

Fibra neutra

zn = 0,15 m

ez= - 0,031 m


y

z

z = - 0,15 m

ez = 0,031 m

y

z

Fibra neutra


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A1ora se (untan los cuatro puntos de aplicación de las *ueras y queda.

&; Determinar el ncleo central de una sección en T siguiente.


1 $

:* · $

:* · = 0

Para determinar el n6cleo central se determinan las excentricidades que 1acen coincidir la *ibra neutra

con los bordes de la sección.

Para este caso de 'EFP-& simetra se tiene que calcular en primer lu!ar el centro de !ravedad de la

sección, para poder calcular los momentos de inercia respecto a dos e(es que pasen por dic1o centro.

ez = 0,031 m

ey = 0,143 m

y

z

y

z

h = 5 0 c m

b=40 cm

balma=5cm

hala

=5 cm


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&l centro de !ravedad se sit6a sobre el e(e y , que es un e(e de simetra. /alta calcular establecer ladistancia a la que se encuentra el e(e # de la parte superior de la sección.

@ = 40 · 5 · #2,5% $ 45 · 5 · #2,5%40 · 5 $ 45 · 5 = 0

@ = 15,4 A1ora se pueden determinar los momentos de inercia de la sección.

= 40 · 5 $ 45 · 5 = 425 = 0,0425

* = 112 5 · 45+ $ 112 40 · 5+ $ 45 · 5 · #2,5 − 15,4% $ 40 · 5 · #15,4 − 2,5%

* = 3.)') $ 41 $ 31.11 $ 35.0'0 = 104.5'2 = 0,00105

* = 112 5 · 4 0+ $ 112 4 5 · 5+

* = 2'.'' $ 4') = 2.135 = 2,1 · 10 omo tiene 'EFP-& simetra 1ay que determinar"

-a excentricidad e y que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde in*erior y n * 7/-+0/.138*%34&2!

c'.

-a excentricidad e y que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde superior y n * (1&"4 c'.

-a excentricidad e # que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde # n * ±,&'.

'e utilia la ecuación

1 $

:* · $

:* · = 0

+ sustituyendo los datos conocidos y empeando por el borde in*erior y n * 634&2! c', la ecuación

quedara

10,0425 $

:0,00105 ·0,342' = 0


:0,00105 ·0,342' =

10,0425 ? : =

−10,0425 ·

0,001050,342' ? : = −0,02

A1ora se emplea la misma ecuación y se determina la excentricidad en el e(e y que 1ace que la *ibraneutra pase por el borde superior y n * +0/.13 c', la ecuación quedara

10,0425 $

:0,00105 · #−0,154% = 0



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©Copyright 2014 Francisco Pellicer Martínez. Todos los derechos reservados. 2!

:0,00105 · #−0,154% =

10,0425 ? : =

−10,0425 ·

0,00105#−0,154% ? : = 0,15

A1ora se emplea la ecuación inicial para determinar las excentricidades sobre el e(e .

10,0425 $

:2,1 · 10 · = 0

'e determina la excentricidad en el e(e # que 1ace que la *ibra neutra pase por el borde n * ,&'*'- c',

la ecuación quedara

1

0,0425 $

:2,1·10 · #0,20% = 0


:2,1·10 · #0,20% =

−10,0425 ? : =

−10,0425 ·

2,1 · 10#0,20% ? : = −0,032

Por simetra, para que la *ibra neutra pase por n ,&', entonces la excentricidad es

: = 0,032

yn = 0,3426 m

e y = - 0,072 m


y

z

Fibra neutra

yn = -0,1574 m

e y = 0,157 m

y

z

Fibra neutra


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A1ora (untamos los cuatro puntos de aplicación de las *ueras y queda.

zn = -0,20 m e z = 0,032 m


y

z

Fibra neutra

y

z

Fibra neutra

zn = 0,20 m e

z = -0,032 m

y

z

ez = 0,032 m

ey = 0,157 m

ey = - 0,072 m

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