1/27

1. Espacio Afín. 1.1. Plano Afín. 1.2. Espacio Afín. 1.3. Subespacios Afines.

2. Sistemas de Referencia en el Plano y en el Espacio. 2.1. Sistemas de Referencia en el Plano.

2.1.1. Coordenadas de un Punto en el Plano Afín. 2.1.2. Cambio de Sistema de Referencia Afín.

2.2. Sistemas de Referencia en el Espacio. 2.2.1. Coordenadas de un Punto en el Espacio. 2.2.2. Cambio de Sistema de Referencia en el Espacio.

3. Ecuaciones de la Recta en el Plano. 3.1. Ecuación Vectorial de la Recta. 3.2. Ecuaciones Paramétricas de la Recta. 3.3. Ecuación de la Recta en Forma Continua. 3.4. Ecuación de la Recta en Forma General. 3.5. Ecuación Explícita de la Recta. 3.6. Ecuación de la Recta que pasa por dos Puntos distintos.

4. Ecuaciones de la Recta y del Plano en el Espacio. 4.1. Ecuaciones de la Recta en el Espacio. 4.2. Ecuaciones del Plano.

5. Relaciones Afines. 5.1. Incidencias de Puntos, Rectas y Planos.

5.1.1. Incidencia entre Punto y Recta. 5.1.2. Incidencia entre Punto y Plano. 5.1.3. Incidencia entre Recta y Plano.

5.2. Paralelismo entre Rectas y Planos. 5.2.1. Paralelismo entre Rectas. 5.2.2. Paralelismo entre Planos.

5.3. Intersección entre Rectas y Planos. 5.3.1. Intersección entre Rectas. 5.3.2. Intersección entre Planos. 5.3.3. Intersección entre Recta y Plano.

5.4. Posiciones Relativas de dos Rectas en el Plano. 5.5. Estudio Analítico de las Posiciones Relativas entre Rectas y Planos.

5.5.1. Posiciones Relativas de dos Planos. 5.5.2. Posiciones Relativas de Recta y Plano. 5.5.3. Posiciones Relativas de dos Rectas.

Bibliografía Recomendada.

2/27

1. ESPACIO AFIN.

DEF Sea V un K-espacio vectorial. Llamaremos K-espacio vectorial afín sobre V a una terna (E, V, ϕ) donde E es un conjunto arbitrario, V un espacio vectorial y ϕ es una aplicación ϕ : E x V → E que cumple las siguientes condiciones

i) ∀ P ∈ E ∀x , y ∈V

χπ(χπ(P, x ), y) = χπ(P, x + y )

ii) ∀ P ∈ E χπ(P,8) = P 8 es el neutro de V.

iii) ∀ P, Q ∈ E ∃x ∈V χπ(P, x ) = Q

A la terna (E, V, ϕ) la vamos a denotar por A. Si definimos axiomas anteriores quedan como:

χπ(P, x ) = P + x los

i) ∀ P ∈ E

∀x , y ∈V (P + x ) + y = P + (x + y )

ii) P + 0 = P

iii) ∀ P, Q ∈ E ∃x ∈V / P + x = Q DEF Se llama dimensión del espacio afín (E, V, ϕ) a la dimensión del espacio vectorial asociado.

TEOREMA. TEOREMA DE CHASLES

Si tenemos P1 , P2 ,........, Pn ∈ E ⇒ P1 P2 + P2 P3 + P3 P4 + ...... + Pn−1 Pn = P1Pn

Dem.

Vamos a realizar la demostración en n.

Si n = 3.

P + (PP

+ P P ) = (P + P P )+ P P

= P + P P

= P ⇒

PP + P P

= PP 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 1 2 2 3 1 3

Supongamos que es cierto para n – 1 y vamos a demostrarlo para n luego P1 P2 + P2 P3 + ..... + Pn−2 Pn−1 = P1Pn−1 es la hipótesis de inducción

P + (PP + P P + ...... + P P ) = P + [(P P + ..... + P P )+ P P ] = 1 1 2 2 3 n−1 n 1 1 2 n−2 n−1 n−1 n

3/27

2 2

= [P + (P P

+ ..... + P Pn − 1)]+ P = [P + PP ] + P

P ? P

+ P P = 1 1 2 n−2 n−1 1 1 n−1 n−1 n n−1 n−1 n

= Pn ⇒ Luego P1P2 + P2 P3 + ..... + Pn−1Pn = P1Pn c.q.d.

COROLARIO Un caso particular del teorema de Charles es

P P + P P + + P P = P P =

1 2 2 3 ..... n 1 1 1 0 1.1. Plano afín.

Supongamos ahora que el espacio vectorial V es el conjunto de todos los vectores libres del plano definido sobre el cuerpo K = ΙΡ y sea E = P2 conjunto de los puntos del plano.

En P2 tenemos definida la ley de composición externa que asocia a un punto A y a

un vector v un solo punto P tal que AP es el representante del vector v .

P xV �χπ → P (A, v ) → P siendo v = [AP]

PROP A2 = (P2 ,V2 ,χπ) es un espacio afín de dimensión 2 llamado Plano Afín.

Dem.

i) Sea A∈P2 y

u = [AB]

y v = [BC] dos vectores libres. Se verifica

B = A + u y C = B + v = (A + u ) + v

Como [AB]+ [BC ]= [AC] tenemos que C = A + (u + v ) luego

(A + u ) + v = A + (u + v )

ii) A + O = A

Si A + x = A ⇒ x = AA = O

iii) Dos puntos cualesquiera A y B de P2 definen un único vector libre v de representante AB y por tanto B = A + v .

Por lo tanto A2 = (P2 ,V2 ,χπ) es un espacio afín de dimensión 2 llamado Plano Afín.

4/27

1 1

1

1

1

1.2. Espacio afín.

De forma análoga al plano afín, tomamos V como el conjunto de los vectores libres del espacio definido sobre ΙΡ y E el conjunto de puntos del espacio ordinario y se define:

χπ ExV → E

( A, v ) → P

t·q v = [AP]

Así definido, cumple los axiomas del espacio afín. (Demostración análoga). Como la dimensión de V es 3 ⇒ la dimensión de espacio afín tridimensional.

1.3. Subespacios afines.

A3 = (E,V ,χπ) es 3 y A3 recibe el nombre de

DEF Sea E1 un subconjunto no vacío de E y U un subespacio vectorial de V. Se dice que (E,U ,χπ1 ) es un subespacio afín de dirección U cuando es un espacio afín asociado al espacio vectorial U y χπ1 =

χπ

E1xU

E xU �χπ1 → E

(A,u ) → P = A + u

Los subespacios afines reciben también el nombre de variedades lineales.

TEOREMA

Un subconjunto E1 del espacio afín (E,V ,χπ)

es un subespacio afín si y sólo si el

conjunto U = {AX / X ∈ E }, donde A es un punto fijo pero arbitrario de E1, es un subespacio de V.

Dem.

“⇒”

Sea (E1,U ,χπ1 )

un subespacio afín de dirección U. Demostraremos que

U = {AX , x ∈ E } es subespacio vectorial.

a) {AX , X ∈ E }⊂ U ya que para todo par de puntos A, X ∈ E por ser (E ,U ,χπ ) un 1

espacio afín (ax, iii) se tiene que 1 1

AX ∈U .

b) Sea u un vector arbitrario de U, existe un vector fijo con origen en A / u ∈{AX , x ∈ E }.

“⇐”

5/27

o o

Demostraremos que (E1,U ,χπ1 ) vectorial. Se cumple:

i) Sea B un punto arbitrario de E1 y

es un espacio Afín asociado a U subespacio u, v ∈U. Se verifica

D = (B + u ) + v ⇔ C = B + u

⇔ u = [BC]

D = C + v v = [CD]

Como u + v = [BC]+ [CD]= BD ∈ U ⇒ D = B + (u + v ) .

Luego (B + u ) + v = B + (u + v ).

ii) B + O = B

iii) B y C dos puntos arbitrarios de E1, como AB, AC ∈ U ⇒ BC = AC − AB ∈U ya que U es un subespacio vectorial, luego BC = AD y por tanto C = B + AD .

OBS La recta es un subespacio afín de dimensión 1 y el plano es un subespacio afín de dimensión 2.

2. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.

2.1. Sistemas de referencia en el plano.

Vamos a establecer una biyección manera:

χπo : A2 → V2 y otra b :V2 → ΙΡ2, de la siguiente

PROP Sea O un punto fijo de A2. Definimos una correspondencia

χπo : A2 → V2

P → [OP] con OP el vector posición del punto P. Entonces χπo es una biyección.

Dem.

- χπo es una aplicación ya que cada punto P del plano le corresponde un único vector

[OP] por ser A2 afín.

- χπo es inyectiva, ya que χπo (P) = χπo (Q) ⇒ P = Q .

Como χπ (P) = [OP] y χπ (Q ) = [OQ].

6/27

1 1 2 2

Si χπ (P) = χπ (Q ) ⇒ [OP] = [OQ ]⇒ OP = OQ

por lo tanto por ser A2 afín o o

O + OP = O + OQ ⇒ P = Q .

- χπo es suprayectiva ya que por el axioma iii) de espacio afín, dado un punto O y un vector u , existe un único punto P ∈ A2 /

O + v = P ⇒ v = [OP]

PROP Sea x2∈ΙΡ.

B = {u1, u2} una base de V2, entonces ∀x ∈V2 ⇒ x = x1u1 + x2u2 con x1,

Definimos la correspondencia b: V2 → ΙΡ2 del siguiente modo b(x ) = (x , x ) . 1 2

Entonces b es una biyección.

Dem.

- b es una aplicación ya que puede expresar de forma única.

B = {u1, u2} es una base por lo tanto x = x1u1 + x2u2 se

- b es inyectiva ya que si b(x ) = b(y ) ⇒ x = y .

Si b(x ) = b(y ) = (x , x ) ⇒ x = x u + x u = y 1 2 1 1 2 2

- b es sobreyectiva ya que ∀(x1 , x2 ) ∈ΙΡ2 podemos considerar el vector x = x1u1 + x2u2 y entonces b(x ) = (x1 , x2 ) .

Luego b es una biyección. DEF Sea A2 un plano afín y R = (O, U1, U2) una terna de puntos. Se dice que esta terna es una sistema de referencia afín cuando los vectores forma una base de V2.

OU1 y OU 2 asociados

El punto O se llama “origen del sistema de referencia”, el punto U1 primer punto unidad y el punto U2 segundo punto de unidad.

Si llamamos OU = u

y OU = u , el sistema de referencia se escribe

R = (O,u1, u2 ).

PROP Sea A2 un plano afín, O∈A2 y B = {u1, u2} sea una base de V2. Entonces existe un único conjunto de puntos {O,U1 ,U 2 }

tal que

R = {O,U 1,U 2 } es un sistema de

referencia del plano afín y OU1 = u1 y OU 2 = u2 .

Dem.

7/27

1 1

o

2

Dada la base B = {u1, u2} y el punto O, por el axioma

∃ U1 i)

y U 2 / O + u

= U1 ⇒ u

= OU 1

O + u2 = U 2 ⇒ u2 = OU 2

Entonces la terna R = {O,U 1,U 2 } cumple el enunciado.

2.1.1. Coordenadas de un punto en el plano afín.

Dado verifica:

R = {O,u1, u2 } un sistema de referencia afín y X un punto del plano afín. Se

1. Por la biyección

χπ (x) = [OX ]= x .

χπo : A2 → V2 vista en una proposición anterior se tiene que

2. Por la biyección b: V2 → ΙΡ2 vista en otra proposición

b(x) = b(x1u1 + x2u2 ) = (x1, x2 )

Entonces la composición de χπo y b, f= bo χπo queda

V2

ϕ b

A2 R f

Si x∈A2

f (x) = (b χπo )(x) = b(χπo (x)) = b(x ) = (x1 , x2 )

DEF Llamaremos coordenadas cartesianas del punto X respecto del sistema de 2 referencia R = {O,u1, u2 } al vector numérico (x1 , x2 )∈ ΙΡ . Es decir, a las coordenadas del vector posición x .

Como consecuencia de ser f una biyección, las coordenadas del punto son únicas,

pero dependen del sistema de referencia elegido. 2.1.2. Cambio de sistema de referencia afín.

Sea R = {0,u1, u2 } y R´= {0´,v1, v2 } dos sistemas de referencia afín en el plano A2 y X un punto cualquier de dicho plano.

8/27

Sean (x1, x2) las coordenadas de X respecto de R

Sean (y1, y2) las coordenadas de X respecto de R´

El cambio del sistema de referencia consiste en hallar las coordenadas (x1, x2) en función de las (y1, y2) y recíprocamente.

amos a hallar las coordenadas del punto X en R´ conocidas sus coordenadas en la

referencia R. Para ello tenemos que conocer las coordenadas de los elementos de la referencia R en función de R´. Sean

O´O = a1v1 + a2 v2

x = OX = x1u1 + x2u2

u1 = a11v1 + a12v2 y = O´X = y v + y v u2 = a21v1 + a22v2

1 1 2 2

X v2 y

x O' v1

u2

O u1

Por la figura anterior se tiene que

y= O´O + x

y= O´O + x = (a v + a v ) + (x u + x u ) = (a v + a v ) + [x (a v + a v ) + x (a v + a v )] = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2

= a1v1 + a2 v2 + x1a11v1 + x1a11v2 + x2a21v1 + x2a22v2 =

= (a1 + a11 x1 + a21x2 )v1 + (a2 + a12 x1 + a22 x2 )v2

como y = y1v1 + y2v2 y {v1 , v2 } es una base, tenemos

y1 = a1 + a11x1 + a21x2 que son las ecuaciones del cambio de sistema de referencia de

y2 = a2 + a12x1 + a22 x2 R a R´.

Vamos a expresar estas relaciones en forma matricial, para ello añadimos las igualdades 1 = 1.

9/27

1 2 1 2

3

a

1 (1, y , y ) = (1, x , x ) •

0

0

a1

a11

a21

a2

a12

22

y tenemos y = X · A

Además 1 a1

A ≠ 0 ya que 0 a a2

a = a11 a12 ≠ 0

ya que

u y u son L. I.

11

0 a21

12

a22

a21 1 2

22

Por lo tanto ∃ A−1 .

Multiplicando la ecuación Y = X · A por A-1

Y · A-1 = X que son las ecuaciones inversas de cambio de base. 2.2. Sistemas de Referencia en el Espacio.

Todas las propiedades demostradas en el plano son validas para el espacio, cambiando A2 por A3, V2 por V3 y ΙΡ2 por ΙΡ3. Por lo tanto la definición de sistema de referencia será:

DEF Sea A3 el espacio afín y R = {0,U 1 ,U 2 ,U 3 } una cuaterna de puntos. Se dice que es un sistema de referencia afín tridimensional, cuando los vectores asociados OU , OU 2 y OU 3 forman una base de V3.

Si llamamos u1 = OU 1 ; u2 = OU 2 y u3 = OU 3 podemos escribir R = {O,u1, u2 , u3 }.

2.2.1 Coordenadas de un punto en el espacio.

De igual forma que en el plano tenemos el siguiente diagrama

χπ (x) = [OX ]= x Donde o

b(x) = b(x1u1 + x2u2 + x3u3 ) = (x1 , x2 , x3 )

V3

ϕ b 0

A3 R f

a

10/27

32 3 2 33 3 3

y = a + a x + a x + a x

Luego

f (x) = b χπ (x) = b[χπ (x)] = b(x ) = (x , x , x )

o o 1 2 3

Donde por ser f aplicación, las coordenadas son únicas, pero dependen del sistema de referencia elegido.

2.2.2. Cambio de Sistema de Referencia en el Espacio.

Sean R = {0,u1 ,u2 , u3} y R´= {0´,v1 , v2 , v3 } dos sistemas de referencia en el espacio afín A3 y X un punto cualquiera de dicho espacio cuyas coordenadas respecto a R son (x1 , x2 , x3 ) y con respecto a R´ sean ( y1 , y2 , y3 ) .

Para obtener las ecuaciones del cambio de sistema de referencia es necesario conocer las coordenadas del punto O respecto a R´ y los de u1 , u2 ,u3 respecto de v1 , v2 , v3 . Sean

Ó´O = (a1 , a2 , a3 ) u1 = a11v1 + a12v2 + a13v3

u2 = a21v1 + a22v2 + a23v3

u3 = a31v1 + a32v2 + a33v3

Se tiene O´X = O´O + OX = (a1v1 + a2 v2 + a3v3 ) + (x1u1 + x2u2 + x3u3 ) =

= (a v + a v + a v ) +[x (a v + a v + a v )+ x (a v + a v + a v ) + x (a v + a v + a v )] = 1 1 2 2 3 3 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3

= a1v1 + a2 v2 + a3 v3 + a11 x1v1 + a12 x1v2 + a13 x1v3 + a21 x2 v1 + a22 x2 v2 + a23 x2 v3 + a31 x3 v1 + + a x v + a x v =

= (a1 + a11 x1 + a21x2 + a31 x3 )v1 + (a2 + a12 x1 + a22 x2 + a32 x3 )v2 + (a3 + a13 x1 + a23x2 + a33 x3 )v3

Y como O´X = y1v1 + y2v2 + y3v3 y {v1 , v2 , v3 } es base tenemos

y1 = a1 + a11x1 + a21x2 + a31x3

y2 = a2 + a12x1 + a22 x2 + a32 x3

3 3 13 1 23 2 33 3

Ecuaciones de cambio de sistema de referencia de R a

R´.

En forma matricial se escriben

11/27

a

1 a1 a2

a3 0 a a a (1y y y ) = (1x x x ) 11 12 o sea Y = X · A

1 2 3 1 2 3

0

a21

a31

a22

a32

a23

33

Y como A es regular por ser A ≠ 0 ya que las filas, después de eliminar la 1ª columna y 1ª fila son las coordenadas de u1 , u2 ,u3 que forman base.

Si a y x son vectores posición de los puntos A y X respectivamente, se tiene que

OX = OA + AX

x = a + tv con t∈ΙΡ

Esta igualdad se llama ecuación vectorial de la recta r.

Tenemos que X = Y A-1 que son las ecuaciones de R´ a R. 3. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.

Sea R = {O,u , u } un sistema de referencia en A2. 1 2

Una recta r es un subespacio afín de A2 de dimensión 1 por lo tanto r ⊂ A2 .

Si consideramos un punto A∈A2 y un subespacio vectorial de V2 engendrado por un vector v, que denotaremos por

v

r = {X ∈ A 2 / AX ∈ } v

3.1. Ecuación Vectorial de la Recta.

r

a x

u2

O

v

u1

Si x ∈ r ⇒ AX ∈ ⇒ AX = t·v con t∈ΙΡ. v

13

0

12/27

1 2

Se observa que dando valores al parámetro t, en la ecuación vectorial de la recta se obtiene un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta r. Al vector v se le llama vector director de la recta.

3.2. Ecuaciones paramétricas de la recta.

Si (x, y), (x1 , y1 ) y (v1 , v2 ) son las coordenadas de los vectores de posición x, a, v respectivamente en R y si tenemos en cuenta el isomorfismo existente entre V2 y ΙΡ2

(b: V2 →ΙΡ2), entonces la ecuación vectorial de r x → (x , x )

x = a + tv se traduce por

(x, y) = (x1 , y1 ) + t (v1, v2 ) = (x1 , y1 ) + (tv1 , tv2 ) = (x1+tv1, x2 + tv2 )

de donde

x =x1+tv1 con t∈ΙΡ

y = x2 + tv2

que reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. Dichas ecuaciones están caracterizadas por el punto A = (x1, x2 ) y el vector director v (v1, v2 ) .

Para cada valor del parámetro t se obtiene un punto de la recta. 3.3. Ecuación de la Recta en Forma Continua.

• Si v1 ≠ 0 y v2 ≠ 0 , si despejamos en las ecuaciones paramétricas resulta

x − x1 = t

v1 x − x1 = y − y1 v1 ≠ 0 y v2 ≠ 0

y − y1 = t v1 v2

v2

Dicha igualdad recibe el nombre de ecuación de la recta en forma continua que esta determinada por A(x , x ) y v (v , v ) .

1 1 1 2

• Si v1 = 0 las ecuaciones paramétricas son

x = x1 que se reduce a x = x1 que es una recta // al eje OY

y = y1 + tv2

• Si v2 = 0 las ecuaciones paramétricas son

13/27

x = x1 + tv1 que se reduce a y = y1 que es una recta // al eje OX

y = y1

3.4. Ecuación de la Recta en Forma General.

• Si v1 ≠ 0 y v2 ≠ 0 a partir de la ecuación continua

x − x1 = y − y1

v1 v2

se obtiene v2 (x − x1 ) = v1 (y − y1 ) v2 x − v2 x1 = v1 y − v1 y1

v2 x − v1 y + v1 y1 − v2 x1 = 0

Si hacemos A = v2; B = -v1 y C = v1y1 – v2x2 resulta

Ax + By + C = 0

Que recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta.

• Si v1 = 0 teníamos que x = x1, es decir, x – x1 = 0.

• Si v2 = 0 teníamos que y = y1, es decir, y – y1 = 0.

Luego, en los tres casos te obtiene una ecuación de la forma Ax + By + C = 0. Análisis de la ecuación.

Recíprocamente si Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta en el espacio afín.

• El vector director de la recta será v = (− B, A) ya que A = v2 y B = -v1.

• Un punto base de la recta será cualquier punto perteneciente a la recta, por tanto sus coordenadas (x1, y1) verificarán la ecuación de la misma.

3.5. Ecuación Explícita de la Recta.

Si despejamos y en la ecuación general (siendo B ≠ 0)

By = -Ax – C

y = − Ax − C

haciendo

m = − A

y n = − C

B B B B

tenemos y = mx + n ecuación explícita

14/27

3

donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

m = − A = v2 = tgα siendo α el ángulo que forma r con OX.

B v1

3.6. Ecuación de la Recta que pasa por dos Puntos distintos.

Uno de los axiomas de la geometría elemental dice que una recta queda determinada por dos puntos A y B.

Sean A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) dos puntos distintos. Sean a y b los vectores posición de los puntos A y B respectivamente.

Por lo tanto

AB = b − a

es un vector direccional de la recta r cuyas componentes

serán (x2 − x1, y2 − y1 ) = (v1 , v2 ) y considerando A(x1 , y1 ) podemos utilizar cualquier tipo de ecuación anterior por ejemplo utilizando la continua tendremos

x − x1

x2 − x1 = y − y1

y2 − y1

4. ECUACIONES DE LA RECTA Y DEL PLANO EN EL ESPACIO.

4.1. Ecuaciones de la Recta en el Espacio.

DEF Llamamos recta en el espacio a cualquier variedad lineal asociada a un subespacio vectorial de dimensión uno

r = {X ∈ A / AX ∈< v >}

donde A es un punto de A3 y v

es un subespacio de dimensión 1 engendrado por el vector v .

Sea R = {O,u1, u2 , u3 } un sistema de referencia afín.

Para que un punto X pertenezca a la recta r debe satisfacer AX ∈ v

⇒ AX = tv .

O sea OX = OA + AX

Es decir, OX = OA + tv

Si denominamos x al vector posición de X y a al de A tenemos

x = a + tv

que es la ecuación vectorial de la recta.

15/27

x = x1 + tv1 y = x + tv que son las ecuaciones paramétricas de la recta. 2 2

z = x + tv 3 3

Para eliminar el parámetro t en el sistema anterior tenemos

v1 v1 x − x1

rang v2 = rang v2

y − x

2 (1) v3 v3 z − x3

pero como v ≠ O por ser el vector director de una recta

rang v2 = 1

v1

v3

por lo tanto, para que se cumpla (1) debe ser, suponiendo v1 ≠ 0

= 0

(2)

3

Igualdades que es costumbre escribir en la forma

Expresando la relación anterior, utilizando las componentes de los vectores (debido al isomorfismo existente entre V3 y ΙΡ3).

Sea ( x, y, z) y ( x1, x2 , x3 ) las coordenadas con respecto a R de X y A y (v1 , v2 , v3 ) los del vector v .

Entonces tenemos

o sea

(x, y, z ) = (x1 , x2 , x3 ) + t(v1 , v2 , v3 )

v1

v2

x − x1

y − x2

v1 (y − x2 ) = v2 (x − x1 ) v1

v x − x1

z − x3 = 0 v1 (z − x3 ) = v3 (x − x1 )

x − x1

v1 = y − x2

v2 = z − x3

v3 Si v1 ≠ 0, v2 ≠ 0 y v3 ≠ 0

que recibe el nombre de ecuación continua de la recta.

Las ecuaciones de la expresión (2) también pueden escribirse como

v2 x − v1 y + v1 x2 − v2 x1 = 0

v3 x − v1 z + v1 x3 − v3 x1 = 0

16/27

1 2 3 4

3

En general, lo podemos escribir de la forma:

Ax + By + Cz + D = 0

A´x + B´y + C´z + D´= 0

que reciben el nombre de ecuaciones cartesianas o implícitas de la recta.

Recíprocamente, dado un sistema de dos ecuaciones lineales con 3 incógnitas

a1x + a2 y + a3 z + a4 = 0

b x + b y + b z + b = 0 la condición necesaria y suficiente para que sean ecuaciones cartesianas de una recta es que

a a a rang 1 2 3 = 2

b1 b2 b3

ya que entonces el sistema tiene por solución una variedad lineal de dimensión 1. 4.2. Ecuaciones del plano.

DEF Un plano en A3 es cualquier variedad asociada a un subespacio de dimensión 2.

Sean v , w

el subespacio de dimensión 2 engendrado por v, w y A un punto

arbitrario de A3. Π = {X ∈ A

/ AX ∈

v , w }

v, w se llaman vectores directores del plano y A es el punto base.

Sea R = {O,u1, u2 , u3 } un sistema de referencia afín.

Sea (x1 , x2 , x3 ) las coordenadas de A respecto a R y (v1 , v2 , v3 ), (w1 , w2 , w3 ) los componentes de v, w.

Si X ∈ Π ⇒ AX ∈ v , w ⇒ AX = αv + w

es decir OX = OA + AX .

O sea OX = OA +αv + w

Ecuación vectorial del plano.

Expresando esta resolución en función de las componentes vectores que en ella

intervienen, tenemos

17/27

3 3 3

w 3

w

Luego (x, y, z ) = (x1, x2 , x3 ) +α(v1 , v2 , v3 ) + (w1 , w2 , w3 )

x = x1 + αv1 + w1

y = x2 +αv2 + w2 z = x +αv + w

que son las ecuaciones paramétricas del plano α,β∈ΙΡ

Para eliminar los parámetros α, β planteamos

v1

w1

v1 w1

x − x1

rang v2 w2 = rang v2 w2 y − x2 (3) v3 3

v3 w3 z − x

y como v, w son base de un subespacio de dimensión 2, entonces

v w 1 1

rang v2

v3

w2 = 2

3

y para que se cumpla la expresión (3)

debe ser v1 w1

v2 w2

v3 w3

x − x1

y − x2 = 0 z − x3

Desarrollando este determinante y simplificando obtenemos la ecuación que recibe

el nombre de ecuación cartesiana o implícita del plano.

Ax + By + Cz + D = 0

En el caso de que el plano venga determinado por tres puntos no alineados

A = (a1, a2 , a3 ) B(b1 , b2 , b3 ) C(c1 , c2 , c3 ), podemos formar los vectores [AB] y [AC] que pueden tomarse como v, w y pueden escribirse

b1 − a1

b2 − a2

c1 − a1

c2 − a2

x − a1

y − a2 = 0

b3 − a3 c3 − a3 z − a3

determinante que equivale al

18/27

= 0

igualdad cuyo desarrollo da lugar a una ecuación de la forma

Ax + By + Cz + D = 0 5. RELACIONES AFINES.

5.1. Incidencias de Puntos, Rectas y Planos.

5.1.1. Incidencia entre Punto y Recta. DEF Se dice que un punto P es incidente con la recta r, o bien que la recta r pasa por P, cuando el punto P pertenece a dicha recta.

TEOREMA

El punto P es incidente con la recta r si y sólo si las coordenadas de P satisfacen las

ecuaciones de la recta.

Dem.

Es inmediata por la definición de incidencia. 5.1.2. Incidencia entre Punto y Plano.

DEF Se dice que un punto P es incidente en un plano Π, o bien que el plano Π pasa por el punto P, cuando el punto P pertenece a dicho plano.

TEOREMA

El punto P es incidente al plano Π si y solo si las coordenadas de P satisfacen las

ecuaciones del plano Π.

Dem.

Es inmediata por la definición. 5.1.3. Incidencia entre Recta y Plano.

DEF Se dice que una recta r es incidente con el plano Π, cuando todos los puntos de la recta r son incidentes con dicho plano, es decir, cuando la recta está contenida en el plano.

1 a1

1 b1

1 c1

1 x1

a2 b2 c2 x2

a3 b3 c3 x3

19/27

2

2

TEOREMA

Sea r la recta determinada por el punto A y el vector director u y sea Π el plano determinado por el punto B y los vectores directores v, w. La recta r es incidente con el plano Π si y sólo si existe un punto P de r incidente con Π y que el vector u se exprese como combinación lineal de los vectores v, w.

Dem.

La condición es necesaria, ya que si r es incidente con Π todos los puntos de r son incidentes con Π y por tanto el vector u tiene un representante con origen en B y extremo un punto C∈Π, luego u = [BC ] = α, v +α w .

Recíprocamente, sea P un punto de r incidente con Π y sea

u = α, v + a w

Para todo punto X ∈ r se verifica:

OX = OP + tu = OP + t (α, v + α w ) = OP + (tα)v + (tα )w 2 2

Luego el punto X también es incidente en el plano Π. Y como esto sucede para todo punto X de r entonces r es incidente en el plano Π.

COROLARIO

La recta es incidente con el plano Π si y sólo si rango (u , v , w ) = 2

y A∈Π.

Dem.

Inmediata por el teorema anterior ya que los vectores linealmente dependientes.

5.2. Paralelismo entre Rectas y Planos.

u, u y w tienen que ser

5.2.1. Paralelismo entre rectas.

DEF Sean r ≡ A +V y r '≡ B +V ' dos rectas afines y V y V’ los subespacios vectoriales asociados. Se dice que las rectas r y r’ son paralelos si V = V’ y son coincidentes si además A∈r’ ó B∈r.

TEOREMA

Dada la recta r determinada por A y por u y la recta r’ determinada por B y por v .

Las rectas r y r’ son paralelas si y sólo si los vectores u y v son linealmente dependientes.

20/27

Dem.

La condición es necesaria ya que si las dos rectas son paralelas, los espacios vectoriales V y V’ coinciden y por lo tanto, el sistema {u , v } es linealmente dependiente ya que la dimensión de los subespacios asociados es uno.

Recíprocamente si u y v son linealmente dependientes se tendrá que

u = αv

v = u

luego ∀w ∈V ⇒ w = tu = (tα)v ⇒ w ∈V '⇒ V ⊂ V ' ∀w∈V '⇒ w = sv = (s )u ⇒ w∈V ⇒ V ' ⊂ V

⇒ V =V '

COROLARIO

Dos rectas r y r’ son paralelas si y sólo si

rang (u , v ) = 1. Además, serán coincidentes

si rango(AB, u , v ) = 1.

Dem.

Es consecuencia inmediata del teorema anterior ya que los vectores u y v son linealmente dependientes.

5.2.2. Paralelismo entre Planos.

DEF Sean Π = A +V y Π' = B + V ' , dos planos afines y V y V’ los subespacios vectoriales asociados. Se dice que los planos Π y coincidentes si además A∈Π’ ó B∈Π.

Π' son paralelos si V = V’ y son

TEOREMA

Sean (A,u ,v )

y (B, a , b )

los determinantes lineales de los planos Π y Π’

respectivamente. Los planos Π y Π’ son paralelos si y sólo si rango(u ,v , a ,b ) = 2.

Dem.

En efecto, si los planos son paralelos el sistema {u , v } depende linealmente de {a , b} y recíprocamente, ya que V = V’ y tienen dimensión 2.

Recíprocamente si el rango de los cuatro vectores es dos, quiere decir que hay dos

vectores que dependen linealmente de los otros dos. Como {u , v } y {a , b} son sistemas linealmente independientes por ser bases de espacios vectoriales de dimensión dos, el primero depende linealmente del segundo y recíprocamente, luego engendran el mismo espacio vectorial.

21/27

2 2

COROLARIO

Los planos Π y Π’ definidos por sus ecuaciones cartesianas

Π = Ax + By + Cz + D = 0 Π1 = A´x + B´y + C´z + D´= 0

son paralelos si y sólo si

A rango

A

B C = 1

B´ C´

Dem.

En efecto, las ecuaciones cartesianas de los planos Π y Π’ se obtienen desarrollando los determinantes:

u1 v1

Π = u2 v2

u3 v3

x − xo

y − yo = 0 z − zo

a1 b1

Π' = a2 b2

a3 b3

x − x1

y − y1 = 0 z − z1

y los coeficientes A, B y C, A´, B´ y C´ son los adjuntos de los elementos de la tercera columna respectivamente.

Si los planos son paralelos, por el teorema anterior, los vectores a y b dependen

linealmente de u y v , luego

a = αu + v b = tu + sv

con los que teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, se tendrá

a1 b1 x − x1 αu1 + v1 tu1 + sv1 x − x1 αu1 sv1 x − x1 v1 tu1 x − x1

a2 b2 y − y1 = αu2 + v2 tu2 + sv2 y − y1 = αu2 sv2 y − y1 + v2 tu2 y − y1 = a3 b3 z − z1 αu3 + v3 tu3 + sv3 z − z1 αu3 sv3 z − z1 v3 tu3 z − z1

u1 v1

= (αs − t )u v u3 v3

x − x1

y − y1

z − z1

Igualando los coeficientes de las incógnitas, tendremos

A = A(αs − t ) B´= B(αs − t ) C´= C(αs − t )

22/27

esto es, los coeficientes A, B y C son proporcionales a los coeficientes A´, B´ y C´. Por tanto

A rango

A

B C = 1

B´ C´

5.2.3. Paralelismo entre recta y plano. DEF Sean r = A + V y Π = B + V’ una recta y un plano afín, donde V y V’ son los subespacios vectoriales asociados. Diremos que la recta y el plano son paralelos si V⊂V1 y son incidentes si además A∈Π.

TEOREMA

Sean (A,u )

y (B,u , w )

los determinantes lineales de la recta r y del plano Π

respectivamente. La recta r y el plano Π son paralelos si y sólo si rang (u, v, w) = 2 .

Dem.

“⇒” Si la recta y el plano son paralelos rang (u , v , w ) = 2.

V ⊂ V1

⇒ u

depende de {v , w }

luego

“⇐”

Si rango(u , v , w ) = 2 por ser v y w L. I. el vector u depende linealmente de v y w ,

luego V⊂V1 y la recta y el plano son paralelos. 5.3. Intersección entre Rectas y Planos.

5.3.1. Intersección de Rectas.

DEF Sean r = A + V y r’ = B + V’ dos rectas afines y V y V’ los subespacios vectoriales asociados. Diremos que las rectas r y r’ son secantes o que se cortan en un punto, cuando las dos rectas son coincidentes con un mismo plano y no son paralelas.

TEOREMA

Sean (A,u ) y (B, v ) los determinantes lineales de las rectas r y r’, respectivamente.

Las rectas r y r’ son secantes si y sólo si rang (AB, u , v ) = 2 y rango(u , v ) = 2 .

Dem.

23/27

“⇒” Si dos rectas r y r’ son secantes, no son paralelas, luego por el corolario 2

rang (u , v ) = 2 , pero además por ser incidentes con el mismo plano ya que tres vectores en el plano son linealmente dependientes.

“⇐”

rang (AB,u , v ) = 2

rango(AB,u , v ) = 2

Si rang (u , v ) = 2

⇒ las rectas están en el mismo plano y no son paralelas, luego

son secantes. DEF Se dice que las rectas r y r’ se cruzan cuando no son incidentes con un mismo plano.

TEOREMA

Dos rectas r y r’ se cruzan si y sólo si

rang (AB,u , v ) = 3 .

Dem.

Inmediata a partir del teorema anterior. 5.3.2. Intersección entre Planos.

DEF Sean Π = A +V y Π’ = B + V’ dos planos afines y V y V’ los subespacios vectoriales asociados. Diremos que los planos Π y Π’ son secantes o que se cortan según una recta, cuando no son paralelos.

TEOREMA

Sean (A,u ,v ) y (B, a , b )

los determinantes lineales de los plano Π y Π’

respectivamente. Los planos Π y Π’ son secantes si y sólo si rango(u ,v , a ,b ) = 3 .

Dem.

Inmediata ya que por no ser paralelos

rang (u ,v , a ,b ) > 2 ⇒ rang (u , v , a , b ) = 3 .

5.3.3. Intersección entre Recta y Plano. DEF Sean r = A + V y Π = B + V’ una recta y un plano afín, donde V y V’ son los subespacios vectoriales asociados. Diremos que la recta r y el plano Π son secantes o que se cortan en un punto cuando no son paralelos.

TEOREMA

24/27

Sean (A,u ) y (B, v , w ) los determinantes lineales de la recta r y del plano Π

respectivamente. La recta r y el plano Π son secantes si y sólo si rango(u , v , w ) = 3.

Dem.

Consecuencia de un teorema anterior. 5.4. Posiciones Relativas de dos Rectas en el Plano.

Sean r ≡ Ax + By + C = 0 y r´≡ A´x + B´y + C´= 0 dos rectas en el plano. Consideremos el sistema

Ax + By + C = 0

A´x + B´y + C´= 0

Llamamos M a la matriz de coeficientes y M* a la matriz que resulta de añadir los términos independientes. Entonces

1)

Sistema compatible Rang (M ) = Rang (M * ) =1 ⇒

in det erminado ⇒ rectas

coincident es

Además de cumple

A B = 0

A B´

A C A´ C´

= 0 ⇒ A

= A´

B = C B´ C´

2)

Sistema

Las rectas se Rang (M ) = Rang(M * ) = 2 ⇒ compatible ⇒ cortan en un

det ermiando punto

Además si son secantes se obtiene la siguiente relación

A B A B´

≠ 0 ⇒ A ≠ B

A´ B´ 3)

* Sistema

Las rectas son Rang (M ) ≠ Rang (M

) ⇒ incompatible ⇒ paralelas

25/27

RANG M = 1 RANG M ∗ = 2

Luego

A B = 0

A B´ A C

≠ 0 A C´

Entonces obtendríamos la siguiente relación para rectas paralelas

A = B ≠ C A B´ C´

5.5. Estudio Analítico de las Posiciones Relativas entre Rectas y Planos.

Las distintas posiciones que pueden adoptar rectas y planos en el espacio se reducen analíticamente al estudio de las soluciones del sistema S formado por las ecuaciones que definen a las rectas y a los planos.

Si M es la matriz de coeficientes, M* la matriz ampliada y g el grado de

indeterminación del sistema S, con ayuda del teorema de Rouché-Fröbenious, se obtienen los siguientes resultados.

5.5.1. Posiciones Relativas de dos Planos.

1) Sistema compatible

Planos

Rang (M ) = Rang (M * ) =1 ⇔ in det erminado g = 2

⇔ coincidentes

2) Sistema compatible

Los planos se cortan

Rang (M ) = Rang (M * ) = 2 ⇔ in det erminado g =1

⇔ según una recta

3) Sistema

Rang (M ) ≠ Rang (M * ) ⇔

⇔ Planos

paralelos}

incompatible

5.5.2. Posiciones Relativas de Recta y Plano.

1) Sistema compatible

Rang (M ) = Rang (M * ) = 2 ⇔ in det erminado ⇔ Re cta coincident e

g = 1

con plano

26/27

2)

Rang (M ) = Rang (M * ) = 3 ⇔

Sistema compatible

⇔

La recta corta al

y det erminado plano en un punto

3)

Rang (M ) ≠ Rang (M * ) ⇔ Sistema incompatible} ⇔

La recta es paralela

al plano

5.5.3. Posiciones Relativas de dos Rectas. 1)

Rang (M ) = Rang (M * ) = 2 ⇔ in det erminado ⇔ Re cta coincidente} Sistema compatible

g =1

2) Re ctas paralelas

Rang (M ) = 2 ≠ Rang (M * ) ⇔ Sistema incompatible} ⇔

Se encuentran en �

el mismo plano

3)

Rang (M ) = Rang (M * ) = 3 ⇔ Sistema compatible

⇔ Las rectas se cortan en un punto det erminado

4)

Rang (M ) = 3 ≠ Rang (M * ) ⇔ Sistema incompatible} ⇔ cruzan Las rectas se

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Bibliografía Recomendada. Matemáticas COU. Aut. Angel Primo. Ed. SM

Matemáticas 2º BUP. Aut. Vizmanos, Primo, Anzola. Ed. SM

Matemáticas COU. Fortuny – Cienfuegos.

Geometría. Aut. Queysanne- Revuz.