Espacio afin rectas planos

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a

partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Espacio afín2º Bachillerato

Coordenadas en el espacio

Un punto O y una base B = {i ,

j ,

k } de los vectores libres del

espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.

Se escribe S = {O;i ,

j ,

k }.

En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Vector de posición de P

Origen de coordenadas

P’

Ejes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

Coordenadas de un vector libre cualquiera

PQ =

OQ –

OP

[

PQ] =

OQ –

OP =

= (b – a, b' – a' , b" – a")

Los puntos P y Q determinan el

vector fijo PQ

OP +

PQ =

OQ

Las coordenadas de un vector libre u = [

PQ] respecto de la base B =

{i ,

j ,

k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las

correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;i ,

j ,

k }.

Coordenadas del punto medio de un segmento

m =

a +

AM =

a +

12

AB =

= a +

12 (

b –

a ) =

12 (

a +

b )

Elementos geométricos

Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.

Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.

Dimensión

Rectas y curvas(dimensión 1)

Planos y superficies(dimensión 2)

Rectas en el espacio: ecuación vectorial

Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre u llamado

vector director.

Un punto X está en la recta si y sólo si PX

y u son proporcionales: [

PX] = t ·

u

Si p es el vector de posición de P, x es el vector de posición de X, quedará: x – p = t · u es decir: x = p + t · u

La expresión x =

p + t ·

u con t R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.

p

x

Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2 z = zo + t.v3

La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:

(x, y, z)= (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)

Al igualar las coordenadas queda:

(x, y, z) = ( x0+tv1, y0+tv2, z0+tv3)

por lo que

Rectas en el espacio: ecuación en forma continua

30

20

10

tvzztvyytvxx

Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director =(v1,v2,v3) son: v

Rectas en el espacio: ecuación implícita

Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la segunda por ejemplo, y operando obtenemos:

Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :

0D'zC'yB'xA'0D Cz By Ax

3

0

1

0

vzz

vxx

2

0

1

0

vyy

vxx

De aquí obtenemos tres ecuaciones:

2

0

3

0

vyy

vzz

Las ecuaciones en forma cont ínua de la recta r que pasa por P(x o, yo, zo) y que

tiene por vector director v (v1, v2, v3) son

3

0

2

0

1

0

vzz

vyy

vxx

00

301013

201012

vxvzzvxvvxvyyvxv

Ecuaciones de los ejes coordenados

Vectorial Paramétrica Continua

Eje OXx = t

i

x = t

y = 0z = 0

x1 =

y0 =

z0

Eje OYx = t

j

x = 0

y = tz = 0

x0 =

y1 =

z0

Eje OZx = t

k

x = 0

y = 0z = t

x0 =

y0 =

z1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

(a1, a2, a3)

(b1, b2, b3)

Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB

AB

)()(

)(

333

222

111

abtazabtayabtax

33

3

22

2

11

1

abaz

abay

abax

Planos: ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano .

Por tanto x – a = s v + t w

Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:

x = a + s v + t w, con s R y t R

Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0

X está en si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w

Planos: ecuaciones paramétricas y general

Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')

obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:

x – x1 y – y1 z – z1 a b c

a’ b’ c’ = 0

Como el rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0 la ecuación general del plano se obtiene a partir del determinante

y operando queda Ax + By + Cz + D = 0

Vector normal a un plano

Observamos que: AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Como A (x1,y1,z1) y B (x2,y2,z2) tenemos que:

ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0

Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0

(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [

AB] = 0

El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es

decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)

Planos: ecuación normal

Un punto X(x, y, z) está en el plano si y

sólo si n es perpendicular a

MX . Por tanto:

n ·

MX = 0

n · (

x –

m ) = 0

que es la ecuación normal del plano.

Sea M un punto cualquiera del plano , y sea (A, B, C) un vector normal al plano.

Desarrollando la expresión anterior obtenemos:(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0

o bienA x + B y + C z + D = 0

donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.

Planos: ecuaciones de los planos coordenados

Vectorial Paramétrica Implícia

Plano OXY x = t

i + s

j

x = t

y = sz = 0

z = 0

Plano OXZ x = t

i + s

k

x = t

y = 0z = s

y = 0

Plano OYZ x = t

j + s

k

x = 0

y = tz = s

x = 0

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

La determinación lineal de dicho plano será:

Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.

(A, AB,

AC)

det(AX,

AB,

AC) = 0

(a, b, c)

(a", b", c")

(a', b', c')

X(x, y, z)

Sean el plano : ax + by + cz + d = 0 y la recta r Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Posiciones relativas: recta y plano

Sistema compatible determinado

Sistema compatibleindeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible

rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Recta y planosecantes

Recta contenidaen el plano

Recta y planoparalelos

1 2 3

0''''''''0''''

dzcybxadzcybxa

Los vectores normales sonparalelos y A está en π: Aπ es decir

Los vectores son ortogonalesy A no está en π: Aπ es decir

Posiciones de recta y plano dados por sus determinaciones lineal y normal

1

2

3

0·

nAB

0·

nAB

0· nu

0· nu

0· nu

nu · Condición PosiciónLos vectores no son

ortogonales La recta y el plano son secantes

yAπ

La recta y el plano son paralelos

y Aπ

La recta está conte-nida en el plano

Posiciones relativas: dos planosSean dos planos : ax + by + cz + d = 0 y ’ a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible Sistema compatible

indeterminado con 2 g.l.

rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

a a'

b b' ó

a a'

c c' ó

b b'

c c'

a a' =

b b' =

c c'

d d'

a a' =

b b' =

c c' =

d d'

1 2 3

Los vectores normales son

paralelos y A está en π’: Aπ’ ó

Posiciones de dos planos dados por sus determinaciones normales

1

2

3n

n

Rango 2 Los vectores normales no son paralelos

Planos secantes

Rango 1

Los vectores normales son paralelos y A no está en π’:

Aπ’ Planos paralelos

Rango 1 Planos coincidentes

Condición Posición

Posiciones relativas: tres planos (I)

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Los tres planos tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado

rango(A) = rango(B) = 3

Triedro

1 2a

2b

Prisma

Los tres planos no tienenpuntos en común

Sistema incompatibleTodos los menores de orden 2

son no nulos

rango(A) = 2; rango(B) = 3

Dos planos paralelosy un tercero secante a ellos


Sistema incompatible


'''' dd

cc

bb

aa

Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Posiciones relativas: tres planos (II)

Los tres planos tieneninfinitos puntos

en común

Sistema comp. Ind.Todos los menores de orden dos son nulos


Tres planos coincidentes

3a 43b

Tres planos distintos

Los tres planos tienenuna recta en común

Sistema compatibleindeterminado

con 1 g.l.


Dos planos coincidentesy un tercero secante a ellos

Los tres planos tienenuna recta en común

Sistema comp. ind.


'''' dd

cc

bb

aa


Sistema incompatibleTodos los menores de orden 2

de A son nulos



Sistema incompatibleHay dos planos con ecuacionesde coeficientes proporcionales


Tres planos paralelosDos planos coincidentes

y un tercero paralelo a ellos

5a

Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

5b

Posiciones relativas: tres planos (III)

Posiciones relativas: dos rectas (I)

Sea la recta r Sea la recta s

Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Las rectas tienen todossus puntos comunes

Sistema compatibleindeterminado con 1 g.l.


Rectas coincidentes

1 2

Rectas paralelas

Las rectas no tienenpuntos en común

Sistema incompatible


0""""""""0"'"'"'"'

dzcybxadzcybxa

0''''''''0''''

dzcybxadzcybxa

Sea la recta r Sea la recta s

Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.


43

Rectas que se cruzan

Sistema incompatibleTodos los menores de orden 3 son

no nulos

Las rectas no tienenpuntos en común

Posiciones relativas: dos rectas (II)

Rectas secantes

Las dos rectas tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado


0''''''''0''''

dzcybxadzcybxa

0""""""""0"'"'"'"'

dzcybxadzcybxa

Posiciones de dos rectas dados por sus determinaciones lineales

2

3

n

n

1

4

Posición

Rango 2 Rango 3 Se cruzan

Rango 2 Rango 2 Rectas secantes

Rango 1

Rango 1 Rango 1

Rango 2 Rectas paralelas

Rectas coincidentes

Haces de planos

Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 todos los planos paralelos tienen el mismo vector normalpor eso los coeficientes de x, y, z, son

todos proporcionales

1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes

Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+=0 con є R.

Dados ≡Ax+By+Cz+D=0 ≡ Ax+By+Cz+D =0

cualquier combinación lineal de ellos Pertenece al haz

Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0 Para que el haz quede completo hay que añadir el 2ºplano :A’x+B’y+C’z+D’ = 0

Espacio afin rectas planos

Education

Transcript of Espacio afin rectas planos