espacio funcional
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Seminario I 2015-1
Examen parcial
Nombre : Goyzueta Palomino, Neil Lizander 11130013
1) Defina el espacio funcional, su derivada y presente dos ejemplos de la derivada funcional .
Funcional .-Se denomina funcional a una función que toma como argumento a funciones (espacio de banach) es decir una función cuyo dominio es un conjunto de funciones. En el caso delas funciones a cada número le corresponde otro número en las funcionales a cada función le corresponde un número.
���� � � ��, �, �� … �����
Derivada funcional .- Se analiza como varia ���� cuando � sufre un cambio pequeño � � ��.
Se define como: ���������
Y tiene la relación ����� � � ��������� ��� � donde ����� representa la
variación de la funcional , que es equivalente a :
����� � ���� � ��� � � ���� �. Variación funcional también se representa como la derivada funcional con respecto a un parámetro alfa se representa con:
�� � ��� ����� � ���� �|!"#
��� ����� � ���� �|!"# � ������ � ���� ���� |!"# � ����� ����
����� ���� � �� $ ����� � �������
Ejemplos i) La longitud entre dos puntos que pasa una función, cual es la mínima
longitud y la función que la determina. %�&� � � � '1 � &�)���
�� ; &�+ � &+, &�) � &)
Para esto %��&� � 0 Esto se podrá resolver fácilmente con elementos posteriores
ii) Modelo de Tomas-Fermi energía cinética del gas de electrones -�.�/ � � � .0 1⁄ �/ �/
�- � ��� �-�. � ��.�|!"# � � ��� � �. � ��. 0 1⁄ �/ 3!"#
�� ��� �. � ��. 0 1⁄ �/ 3!"# � �� 53 �. � ��. ) 1⁄ �.�/
3!"#
�- � � 53 �. ) 1⁄ �.�/
Comparando
����� � � �������� ��� �
Tenemos la derivada funcional. �-�.��. � 53 �. ) 1⁄
2) Para la funcional de acción 6�7�8 � � � 98 :�7;�8 , 7< ;�8 , 8 8=8> hallar el
extremo con las fronteras fijas y presentar las pro piedades de :�7;�8 , 7< ;�8 , 8 . Introducimos ?@�A, � � ?@�A � � B@�A de tal forma que ?@�A+, � � ?@�A+ ; B@�A+ � 0 ?@�A), � � ?@�A) ; B@�A) � 0 Se busca ?@�A, 0 � ?@�A
C�?�� � � � �A D�?@�A, � , ?<@�A, � , A E�E�
�C�?�� ��� � � �D�?@�?@�� � �D�?<@ �?<@�� �AE�
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� ��A �D?<@ �?@�� �A �E�E� � ��A F�D�?<@G �?@�� � �D�?<@ �?<@�� �A � 0E�
E� �?@�� � B@�A
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�D?<@ B@�A 3E�E� � 0
� ��A F�D?<@ G �?@�� �E�E� � � �D�?<@ �?<@�� �AE�
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E� � H �D�?@ � ��A F�D?<@ GI �?@�� �AE�E�
F�C��G!"# �� � �C; F�?@�� G!"# �� � �?@ �C�?�� ��� �� � � H �D�?@ � ��A F�D?<@ GI �?@�� ���AE�E�
�C � � H �D�?@ � ��A F�D?<@ GI �?@�AE�E� � 0 �D�?@ � ��A F�D?<@ G � 0 �D�?@ � ��A F�D?<@ G
3) Para la funcional de acción en 2) hallar �6 � �6�7; � J con la siguiente
condición de contorno de fronteras no fijas. ?@KL"N O ?@�L ; A�L" O A�L ?@KP"N O ?@�P ; A�P" O A�P
Debe cumplir QDQRS � TTE UQDR< S V � 0 , más otras condiciones
4) Hallar las ecuaciones de Euler-Lagrange para 6�7�8 � � � 98 : U7;�8 , 7< ;�8 , 7W ;�8 … 9X7;�8 98X V8=8>
Introducimos ?@�A, � � ?@�A � � B@�A de tal forma que ?@�A+, � � ?@�A+ ; B@�A+ � 0 ?@�A), � � ?@�A) ; B@�A) � 0 ?<@�A+, � � ?<@�A+ ; B< @�A+ � 0 ?<@�A), � � ?<@�A) ; B< @�A) � 0 ?W@�A+, � � ?W@�A+ ; BW @�A+ � 0 ?W@�A), � � ?W@�A) ; BW @�A) � 0 En resumen se eliminan la derivadas de B@ Se busca ?@�A, 0 � ?@�A C�?�� � � � �A D Y?@�A, � , ?<@�A, � , ?W@�A, � … �Z?@�A, � �AZ [E�
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� T]RSTE]�� �AE�E�
Desarrollando por partes para cada caso
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�?@�� � B@�A ; �B@�A |E�E� � 0
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Como las derivadas de B@�A son nulas
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E� � ��1 Z � �Z�AZ c �D� T]RSTE]d �?@�� �AE�
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�C�?�� ��� � � �D�?@
�?@�� � ��A F �D�?<@G �?@�� � �)�A) F �D�?<@G �?@�� � \ ��1 Z � �Z�AZ c �D� T]RSTE] d �?@��E�E� �AE�
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�C�� �� � � e �D�?@ � ��A F �D�?<@G � �)�A) F �D�?<@G � \ ��1 Z � �Z�AZ c �D� T]RSTE] dE�E� f �?@�� ���AE�
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E� � 0
5) Hallar el mínimo de 6�7�g � � � h7=�g 9gg=g> con h � const i 0
Haciendo : � h7=�g
Usando
�D�? � ��j c �D� TRTkd
Obtenemos �D�? � 2�?�j ; �D� TRTk � 0 $ =h7�g � J
6) Para una partícula masiva que se mueve en un campo de potencial conservativo y un oscilador armónico simple, constr uya sus lagrangianas, acciones y ecuaciones de campo. Campo de potencial D � - � m � 12 n/< ) � o�/
C�/�A � � � 12 n/< ) � o�/ �AE�E� �D�/@ � ��A F�D�/<@G �D�/@ � � �o�/ �/@ �D�/<@ � n/<@ ; ��A F�D�/<@G � n/W@
� pq�r pr; � srW ; Para el oscilador armónico D � - � m � 12 n< ) � F12 t)G
C�/�A � � � 12 n< ) � 12 t)�AE�E� �D� � ��A F�D�< G �D� � �t �D�< � n< ; ��A F�D�< G � nW
�uv � svW
7) Para la Hamiltoniana w � >=s Kxv= � xy= � xz=N � {�v, y, z hallar los
corchetes de poisson sabiendo que |v � yxz � zxy }|v, w~, �|y, w�, }|z, w~, �|v, |y�, }|v, |z~ Definimos corchete de poisson }o, �~ � � F �o�?�
����� � �o������?�G�"+
}�� , �~ � }�@ , �~ � � F��@�?������ � ��@���
���?�G�"+
��@�?� � �@�Z�Z ; ��@��� � �@�Z?Z ; ����� � 1n �� ; ���?� � ���?�
}�@ , �~ � � F�@�Z�Z 1n �� � �@�Z?Z ���?�G�"+
}�� , �~ � 1n ���� � � ���� � 1n ���� � & ����
}��, �~ � & ���� � � ���&
���, �� � � ��� � ����
}�� , �~ � ���& � & ���
��@, ��� � � Y��@�?������� � ��@���
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��@, ��� � �K�@�Z�Z����?� � �@�Z?Z������N�"+
}�@ , �@~ � 0 ���, ��� � ��� � &�� � ��� }��, ��~ � ��� � ��� � ��� ���, ��� � ���& � ��� � ���
�@ � � 2�� � � ��@�A
�@�+
�@�+
�# � ��; ��#�A � ����A ; 0 � � � �
8) Construya : y w de un sistema continuo a partir de una cadena line al
cerrada constituidos por � masas puntuales iguales unidos por resorte.
Rapidez de una de las masas �<@ � ��< @�A ; energía cinética - � +) ∆n�)�< @)
Para la energía potencial m � +) t�∆� ); con ∆�@ � �@�+ � �@ � � )��
Para la lagrangiano
∆�@ � � 2�� �� � 1 � ��@�+ � � 2�� � � ��@ � � 2�� � ��@�+ � ��@ m � 12 t�∆� ) � 12 t�)��@�+ � �@ )
D � - � m � 12 �)K∆n�< @) � t��@�+ � �@ )N
Para todo el sistema D � - � m � � 12 �)K∆n�< @) � t��@�+ � �@ )N @
Llevando al límite
D � - � m � � 12 ∆��R � ∆n∆��R �)�< @) � ∆��Rt�) Y�@�+ � �@∆��R [)� @
� � ���@�+ � �@ ∆��R � ����� � ������ � ����
� � �
� � t���@�+ � �@ � t∆��R ���@�+ � �@ ∆��R � t∆��R� � t�∆� �
� t�∆� : � � >= ¡∆¢ Yq ¡=£< ;= � ¤ Fp£;p¢ G=[
; � � >= ¡ Yq ¡=£< = � ¤ Fp£p¢G=[ 9¢
Para la hamiltoniano
D � � �∆�D@ @ ; ?@ � �@
�@ � �D��< @ � �∆� �D@��< @ � � � �@
@ �< @ � D � � �∆� �D@��< @
@ �< @ � �∆�D@
Llevando al límite
w � � F �% ��< �< � %G ��� � � ����< � % �� ; �¥ � �% ��< � o �)�< % � 12 Yo �)�< ) � F����G)[
¦ � ��< � % ; %: densidad lagrangena, ¦: �¨B���©� ¦©n�%AªB�©B© � � � �K�¥�< � %N�� � � � co �)�< ) � 12 Yo �)�< ) � F����G)[d ��
� � � � 12 o �)�< ) � 12 F����G) �� ; �¥ � o �)�< $ �< ) � �)o)�«
w � >= ¡ � ¬£=q ¡= � ¤ Fp£p¢G= 9¢
9) Para : y w obtenido en 8) hallar sus ecuaciones de campo usan do principio variacional.
C��� � � �A D��, �< , ���� , �, A E�E� � � � 12 � Yo �)�< ) � F����G)[ �� �AE�
E�
�C � � � �% � �� �A � 0 E�E� ; % � 12 Yo �)�< ) � F����G)[
�%�� � ��A F �%��< G � ��� c �%� Q¥Qd � 0
�%�� � 0
F �%��< G � o �)�< ; ��A F �%��< G � o �)�W �%� Q¥Q � � ���� � ��� c �%� Q¥Qd � � �)���)
¤ p=£p¢= � q ¡= p=£p8= � J � � 12 � � �¥)o �) � F����G) ��
¦ � 12 Y �¥)o �) � F����G)[
�< � �¦��¥
�< ¥ � � �¦�� � ��� �¦� UQ¥QV
�¦��¥ � �¥ o �) ; �¦�� � 0
�¦� UQ¥QV � ���� ; ��� �¦� UQ¥QV � �)���)
£< � ¬£ q ¡= ; ¬< £ � �¤ p=£p¢=
10) Muestre que una matriz cuadrada de n x n satisface los axiomas de grupo.(determinante distinto de cero) Axiomas de grupo
i) Clausura ii) Asociación iii) Elemento de Identidad iv) Elemento inverso
SeaP ,Ly ®matrices de n x n
P � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ; L � ¯³++ ³+)³)+ ³)) … ³+Z… ³)Z° °³Z+ ³Z) ± °… ³ZZ
² ; ® � ¯´++ ´+)´)+ ´)) … ´+Z… ´)Z° °´Z+ ´Z) ± °… ´ZZ²
i) P � L � ® ; ´@� � ©@� � ³@�
ii) P � �L � ® � �P � L � ® ; ©@� � K³@� � ´@�N � ©@� � ³@� � ´@� � �©@� � ³@� � ´@�
iii) P � 0 � P; ©@� � ©@� � ª@� ; ª@� � 0
µ � e0 00 0 … 0… 0° °0 0 ± °… 0f
iv) P � P¶ � µ; 0 � ©@� � ©@�¶ ; ©@�¶ � �©@�
Por lo tanto P¶ � �P
11) Analizar ·¸, ·¹, º=, º¸ y presente 2 ejemplos del grupo de permutaciones. Grupo ·¸. Elementos }¨, ©, ©) , ©1 � ¨~ ©» � 2� nB ; n � 0,1,2 & B � 3 ¨ � ©# � 0 © � ©+ � 2�3
©) � 4�3
Elemento identidad ¨ � ©# Inverso ©�©� � ©1 � ¨; ©� � ©1��
Operación ©� � ½ ´ª�©� �¨B©���¨B©� ´ª�©� ¾ Tabla de multiplicación
Grupo ·¹. Elementos }¨, ©, , ©), ©1, ©« � ¨~ ©» � 2� nB ; n � 0,1,2,3 & B � 4 ¨ � ©# � 0 © � ©+ � �2 ©) � � ©1 � 3�2
Elemento identidad ¨ � ©# Inverso ©�©� � ©« � ¨; ©� � ©«��
Operación ©� � ½ ´ª�©� �¨B©���¨B©� ´ª�©� ¾
Grupo º= (línea). Elementos }¨, ©, ©) � ¨, ³+~ ; © � � ���, 0 � ¨ � ½1 00 1¾ ���, � � © � ½�1 00 �1¾ ³+ � ½�1 00 1¾ ³) � ½�1 00 1¾ ½�1 00 �1¾ � ½1 00 �1¾ Grupo º¸ (triangulo). Elementos }¨, ©, ©) , ©1 � ¨, ³+, ³), ³1~ ���, 0 � ¨ � ½1 00 1¾ � F�, 2�3 G � © � _ � 1 2⁄ √3 2⁄� √3 2⁄ � 1 2⁄ ` � U�, ©�3 V � ©) � _� 1 2⁄ � √3 2⁄√3 2⁄ � 1 2⁄ ` ³+ � ½�1 00 1¾ ³) � ½�1 00 1¾ _ � 1 2⁄ √3 2⁄� √3 2⁄ � 1 2⁄ ` � _ 1 2⁄ � √3 2⁄� √3 2⁄ 0 � 1 2⁄ ` ³) � ½�1 00 1¾ _� 1 2⁄ � √3 2⁄√3 2⁄ � 1 2⁄ ` � _ 1 2⁄ √3 2⁄√3 2⁄ � 1 2⁄ ` Grupo de permutaciones. Permutación de 4 elementos. �+ � U1 2 3 41 2 3 4V �) � U1 2 3 41 2 4 3V
�1 � U1 2 3 41 3 2 4V �« � U1 2 3 41 3 4 2V
�0 � U1 2 3 41 4 2 3V �À � U1 2 3 41 4 3 2V
�Á � U1 2 3 42 1 3 4V � � U1 2 3 42 1 4 3V
�à � U1 2 3 42 3 1 4V �+# � U1 2 3 42 3 4 1V
�++ � U1 2 3 42 4 1 3V �+) � U1 2 3 42 4 3 1V
�+1 � U1 2 3 43 1 2 4V �+« � U1 2 3 43 1 4 2V
�+0 � U1 2 3 43 2 1 4V �+À � U1 2 3 43 2 4 1V
�+Á � U1 2 3 43 4 1 2V �+Â � U1 2 3 43 4 2 1V
�+Ã � U1 2 3 44 1 2 3V �)# � U1 2 3 44 1 3 2V
�)+ � U1 2 3 44 2 1 3V �)) � U1 2 3 44 2 3 1V
�)1 � U1 2 3 44 3 1 2V �)« � U1 2 3 44 3 2 1V
12) Muestre que ÄÅ�X, Æ forma grupo de Lie y presente explícitamente ÄÅ�=, Æ +� � ©+++ � ©+)) … ©+ZZ )� � ©)++ � ©))) … ©)ZZ Z� � ©Z++ � ©Z)) … ©ZZZ
��© � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ²
Definimos la operación binaria (producto matricial)
��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ�
TambiénȨA ��© O 0
Debe cumplir los 5 axiomas i) ��© É � ��©
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ
² � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ²
©@� � ©@Ç�Ç� � ©@+�+� � ©@)�)� … ©@���� … ©@Z�Z� ©@� � ©@���� ; para Ê � Ë tenemos ��� � 1 y para Ê O Ë tenemos �Ç� � 0 �Ç� � �Ç�
É � ¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
ii) ��© ��©Ì � É; ��©Ì � ��+�©
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯©Ì++ ©Ì+)©Ì)+ ©Ì)) … ©Ì+Z… ©Ì)Z° °©ÌZ+ ©ÌZ) ± °… ©ÌZZ
² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f �@� � ©@Ç©ÌÇ� � ©@+©Ì+� � ©@)©Ì)� … ©@Ç©ÌÇ� … � ©@Z©ÌZ� �++ � ©+Ç©ÌÇ+ � ©++©Ì++ � ©+)©Ì)+ … ©+Ç©ÌÇ+ … � ©+Z©ÌZ+ � 1 �+) � ©+Ç©ÌÇ) � ©++©Ì+) � ©+)©Ì)) … ©+Ç©ÌÇ) … � ©+Z©ÌZ) � 0 �)+ � ©)Ç©ÌÇ+ � ©)+©Ì++ � ©))©Ì)+ … ©)Ç©ÌÇ+ … � ©)Z©ÌZ+ � 0 �)) � ©@Ç©ÌÇ� � ©)+©Ì+) � ©))©Ì)) … ©)Ç©ÌÇ) … � ©)Z©ÌZ) � 1 �ZZ � ©ZÇ©ÌÇZ � ©Z+©Ì+Z � ©Z)©Ì)Z … ©ZÇ©ÌÇZ … � ©ZZ©ÌZZ � 1 En total hay B) ecuaciones los cales se puede separar en n sistemas de ecuaciones de n variables Por ejemplo �@+ � ©@Ç©ÌÇ+ � ©@+©Ì++ � ©@)©Ì)+ … ©@Ç©ÌÇ+ … � ©@Z©ÌZ+ me genera un sistema de ecuaciones
©ÌÇ+ � ��1 Ç�+ȨA�K©@Í+,�ÍÇNȨA ��©
de forma general
©ÌÇ� � ��1 Ç��ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��©
iii) ��© ��³ � ��´ ; ´ � ��©, ³
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯³++ ³+)³)+ ³)) … ³+Z… ³)Z° °³Z+ ³Z) ± °… ³ZZ
² � ¯´++ ´+)´)+ ´)) … ´+Z… ´)Z° °´Z+ ´Z) ± °… ´ZZ²
��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ�
iv) ���© ��³ ���´ � ��© ���³ ��´ �
�©@dzÇ� ´�� � ©@dzÇ� ´�� � ©@Ç�³Ç� ´��
v) ´ � ��©, ³ función analítica en © y ³ y también ©Ì en ��©Ì � ��+�© debe ser analítico. ´@� � ©@dzÇ� ; ©@Ç & ³Ç� Î Æ
©ÌÇ� � ��1 Ç��ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��©
Para el caso particular ÄÅ�=, Æ +� � ©+++ � ©+)) )� � ©)++ � ©)))
��© � ½©++ ©+)©)+ ©))¾ ��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ�
También ȨA ��© O 0
i) Elemento identidad ½©++ ©+)©)+ ©))¾ � ½©++ ©+)©)+ ©))¾ ©@� � ©@Ç�Ç� � ©@+�+� � ©@)�)� ©++ � ©++�++ � ©+)�)+; �++ � 1, �)+ � 0 ©+) � ©++�+) � ©+)�)); �+) � 0, �)) � 1 ©)+ � ©)+�++ � ©))�)+; �++ � 1, �)+ � 0 ©)) � ©)+�+) � ©))�)); �+) � 0, �)) � 1 �Ç� � �Ç� É � H�++ �+)�)+ �))I � ½1 00 1¾
ii) Elemento inverso ��© ��©Ì � É; ��©Ì � ��+�© ½©++ ©+)©)+ ©))¾ H©Ì++ ©Ì+)©Ì)+ ©Ì))I � ½1 00 1¾ �@� � ©@Ç©ÌÇ� � ©@+©Ì+� � ©@)©Ì)� �++ � ©+Ç©ÌÇ+ � ©++©Ì++ � ©+)©Ì)+ � 1 �+) � ©+Ç©ÌÇ) � ©++©Ì+) � ©+)©Ì)) � 0 �)+ � ©)Ç©ÌÇ+ � ©)+©Ì++ � ©))©Ì)+ � 0 �)) � ©@Ç©ÌÇ� � ©)+©Ì+) � ©))©Ì)) � 1
En total hay 4ecuaciones, de la forma general obtenida.
©ÌÇ� � ��1 Ç��ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��©
©Ì++ � ȨA�K©@Í+,�Í+NȨA ��© � ©))ȨA ��©
©Ì+) � �ȨA�K©@Í),�Í+NȨA ��© � �©+)ȨA ��©
©Ì)+ � �ȨA�K©@Í+,�Í)NȨA ��© � �©)+ȨA ��©
©Ì)) � ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��© � ©++ȨA ��©
Por lo tanto la inversa es: H©Ì++ ©Ì+)©Ì)+ ©Ì))I � 1ȨA ��© ½ ©)) �©+)�©)+ ©++ ¾ � 1©++©)) � ©+)©)+ ½ ©)) �©+)�©)+ ©++ ¾
iii) ��© ��³ � ��´ ; ´ � ��©, ³ ½©++ ©+)©)+ ©))¾ H³++ ³+)³)+ ³))I � ½´++ ´+)´)+ ´))¾ ��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ� ´++ � ©++³++ � ©+)³)+ ´+) � ©++³+) � ©+)³)) ´)+ � ©)+³++ � ©))³)+ ´)) � ©)+³+) � ©))³))
iv) ���© ��³ ���´ � ��© ���³ ��´ � �©@dzÇ� ´�� � ©@dzÇ� ´�� � ©@Ç�³Ç� ´��
13) Muestre que ��B, Ï forma grupo de Lie y de ejemplos con ��1 ��Ð � �Ð� � 1
¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² ¯�++¶ �)+¶�+)¶ �))¶ … �Z+¶… �Z)¶° °�+Z¶ �)Z¶ ± °… �ZZ¶ ² � >
�@� � ©@�¨;SÑ , ��Ƕ � ©@�¨�;SÑ
��� �Ð�� � > ; �@� � �@ÇÒÇ�; ÒÇ� � ��Ƕ ; �@� � �@Ç��Ƕ
�Ð�� ��� � > ; �@� � Ò@Ç�Ç�; Ò@Ç � �Ç@¶ ; �@� � �Ç@¶ �Ç�
�@� � �@Ç��Ƕ � �Ç@¶ �Ç� Debe cumplir los 5 axiomas
i) ��� É � ���
¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² ¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ
² � ¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ²
�@� � �@Ç�Ç� � �@+�+� � �@)�)� … �@���� … �@Z�Z� �@� � �@���� ; para Ê � Ë tenemos ��� � 1 y para Ê O Ë tenemos �Ç� � 0 �Ç� � �Ç�
É � ¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
ii) ��© ��©Ì � É; ��©Ì � ��+�© Por definición
¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² ¯�Ì++ �Ì+)�Ì)+ �Ì)) … �Ì+Z… �Ì)Z° °�ÌZ+ �ÌZ) ± °… �ÌZZ
² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
¯�Ì++ �Ì+)�Ì)+ �Ì)) … �Ì+Z… �Ì)Z° °�ÌZ+ �ÌZ) ± °… �ÌZZ² � ¯�++¶ �)+¶�+)¶ �))¶ … �Z+¶… �Z)¶° °�+Z¶ �)Z¶ ± °… �ZZ¶ ²
iii) ��� ��Ò � ��Ó ; Ó � ���, Ò
¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² ¯Ò++ Ò+)Ò)+ Ò)) … Ò+Z… Ò)Z° °ÒZ+ ÒZ) ± °… ÒZZ
² � ¯Ó++ Ó+)Ó)+ Ó)) … Ó+Z… Ó)Z° °ÓZ+ ÓZ) ± °… ÓZZ²
��� ��Ò � ��Ó ; Ó@� � �@ÇÒÇ�
iv) ���� ��Ò ���Ó � ��� ���Ò ��Ó � ��@ÇÒÇ� Ó�� � ©@ÇÒÇ� Ó�� � �@Ç�ÒÇ� Ó�� v) Ó � ���, Ò función analítica en � y Ò y también �Ì en ���Ì ���+�� debe ser analítico. ´@� � ©@dzÇ� ; ©@Ç & ³Ç� �o¨�¨B Aªn©/ ´o©%?o�¨/ �©%ª/
©ÌÇ� � ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��©
Para el caso particular {�> ��Ð � �Ð� � 1 ��++���++¶ � � >
��� �Ð�� � > ; �@� � �@ÇÒÇ�; ÒÇ� � ��Ƕ ; �@� � �@Ç��Ƕ
�Ð�� ��� � > ; �@� � Ò@Ç�Ç�; Ò@Ç � �Ç@¶ ; �@� � �Ç@¶ �Ç�
�++ � �++�++¶ � �++¶ �++
|�++|) � 1 $ �++ � ¨@ � ´ª�� � ��¨B�
Clausura ¨@¨@¥ � ¨@��¥ Elemento identidad � � 0 ,¨@# � 1
Elemento inverso ¨@¨@¥ � ¨@# � 1, ¨@¥ � ¨�@
14) Muestre que Ô�X, Æ forma grupo de Lie y de ejemplos con Ô�= y Ô�¸ +� � ©+++ � ©+)) … ©+ZZ )� � ©)++ � ©))) … ©)ZZ Z� � ©Z++ � ©Z)) … ©ZZZ
��© � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ²
Se definene como el subgrupo de ÕÖ��; � ; significa que cumple las condiciones de 12) pero con una condición mas. ��© �×�© � ��© �×�© � >
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯©++ ©)+©+) ©)) … ©Z+… ©Z)° °©+Z ©)Z ± °… ©ZZ
² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
��© �×�© � > ; �@� � ©@dzÇ�; ³Ç� � ©�Ç; �@� � ©@Ç©�Ç �×�© ��© � > ; �@� � ³@Ç©Ç�; ³@Ç � ©Ç@; �@� � ©Ç@©Ç� �@� � ©@Ç©�Ç � ©Ç@©Ç�
�++ � ©+Ç©+Ç � ©++) � ©+)) … ©+Z) � ©Ç+©Ç+ � ©++) � ©)+) … ©Z+) � 1 �+) � ©+Ç©)Ç � ©++©)+ … � ©+Z©)Z � ©Ç+©Ç) � ©++©+) … � ©Z+©Z) � 0 �)+ � ©)Ç©+Ç � ©)+©++ … � ©)Z©+Z � ©Ç)©Ç+ � ©+)©++ … � ©Z)©Z+ � 0 �)) � ©)Ç©)Ç � ©)+) � ©))) … ©)Z) � ©Ç)©Ç) � ©+)) � ©))) … ©Z)) � 1 �ZZ � ©ZÇ©ZÇ � 1 Tomamos los resultados de 12
i) ��© Ø � ��©
��© � Ø � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
Probamos la condición ��© �×�© � Ø �@� � ©@Ç©�Ç � �@Ç��Ç � ©Ç@©Ç� � �Ç@�Ç� �++ � �++ �++ � �+) �+) … � �+Z �+Z � �++�++ � �)+�)+ … � �Z+�Z+ � 1 �+) � �++ �)+ � �+) �)) … � �+Z �)Z � �+)�++ � �))�)+ … � �Z)�Z+ � 0 �@� � �@Ç��Ç � �Ç@�Ç�
ii) ��© ��©Ì � Ø; ��©Ì � ��+�©
¯�++ �+)�)+ �)) … �+Z… �)Z° °�Z+ �Z) ± °… �ZZ² ¯�Ì++ �Ì+)�Ì)+ �Ì)) … �Ì+Z… �Ì)Z° °�ÌZ+ �ÌZ) ± °… �ÌZZ
² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
Dada por la condición ��© �×�© � >; �@� � �@Ç©�Ç �×�© ��© � > ; �@� � ©Ç@©Ç�
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯©++ ©)+©+) ©)) … ©Z+… ©Z)° °©+Z ©)Z ± °… ©ZZ
² � e1 00 1 … 0… 0° °0 0 ± °… 1f
��©Ì � �×�© iii) ��© ��³ � ��´ ; ´ � ��©, ³
¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ² ¯³++ ³+)³)+ ³)) … ³+Z… ³)Z° °³Z+ ³Z) ± °… ³ZZ
² � ¯´++ ´+)´)+ ´)) … ´+Z… ´)Z° °´Z+ ´Z) ± °… ´ZZ²
��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ� ��© �×�© � > ; �@� � ©@Ç©�Ç ; �×�© ��© � > ; �@� � ©Ç@©Ç�
��³ �×�³ � > ; �@� � ³@dz�Ç; �×�³ ��³ � > ; �@� � ³Ç@³Ç� ��´ �×�´ � > ; �@� � ´@Ç �́Ç; �×�´ ��´ � > ; �@� � ´Ç@´Ç� �@� � ´@Ç �́Ç � ©@Z³ZÇ©�»³»Ç � ©@Z©�»³Zdz»Ç � ©@Z©�»�Z» � ©@Z©�Z � �@� �@� � ´Ç@´Ç� � ©Ç�³�@©ÇÙ³Ù� � ©Ç�©ÇÙ³�@³Ù� � ��Ù³�@³Ù� � ³�@³�� � �@�
iv) ���© ��³ ���´ � ��© ���³ ��´ � �©@dzÇ� ´�� � ©@dzÇ� ´�� � ©@Ç�³Ç� ´�� ��© �×�© � > ; �@� � ©@Ç©�Ç ��³ �×�³ � > ; �@� � ³@dz�Ç ��´ �×�´ � > ; �@� � ´@Ç �́Ç �@� � ´@Ç �́Ç � ©@Z³ZÇ©�»³»Ç �@� � �©@�³�Z ´ZÇ�©�ٳٻ ´»Ç � ©@�³�Z´ZÇ©�ٳٻ ´»Ç� ©@��³�Z´ZÇ ©�Ù�³Ù» ´»Ç �@� � ´Ç@´Ç� � ©Ç�³�@©ÇÙ³Ù�
�@� � �©Ç»³»� ´�@�©ÇZ³ZÙ ´Ù� � ©Ç»³»� ´�@©ÇZ³ZÙ ´Ù�� ©Ç»�³»� ´�@ ©ÇZ�³ZÙ ´Ù�
v) ´ � ��©, ³ función analítica en © y ³ y también ©Ì en ��©Ì ���+�© debe ser analítico. ´@� � ©@dzÇ� ; ©@Ç & ³Ç� �o¨�¨B Aªn©/ ´o©%?o�¨/ �©%ª/ �Úo©% ?o¨ 12 ��© ��³ � ��´ ; ´@� � ©@dzÇ� ��© �×�© � > ; �@� � ©@Ç©�Ç ��³ �×�³ � > ; �@� � ³@dz�Ç ��´ �×�´ � > ; �@� � ´@Ç �́Ç
©ÌÇ� � ȨA�K©@Í�,�ÍÇNȨA ��©
Ejemplos Grupo ortogonal Ô�= ½©++ ©+)©)+ ©))¾ ½©++ ©)+©+) ©))¾ � ½1 00 1¾ ��© �×�© � > ; �@� � ©@dzÇ�; ³Ç� � ©�Ç; �@� � ©@Ç©�Ç �×�© ��© � > ; �@� � ³@Ç©Ç�; ³@Ç � ©Ç@; �@� � ©Ç@©Ç� �@� � ©@Ç©�Ç � ©Ç@©Ç�
�++ � ©+Ç©+Ç � ©++) � ©+)) � ©Ç+©Ç+ � ©++) � ©)+) � 1 �+) � ©+Ç©)Ç � ©++©)+ � ©+)©)) � ©Ç+©Ç) � ©++©+) � ©)+©)) � 0 �)+ � ©)Ç©+Ç � ©)+©++ � ©))©+) � ©Ç)©Ç+ � ©+)©++ � ©))©)+ � 0 �)) � ©)Ç©)Ç � ©)+) � ©))) � ©Ç)©Ç) � ©+)) � ©))) � 1 Existen cuatro soluciones ©++ � �´ª��, ©+) � �¨B�, ©)+ � �¨B�, ©)) � ´ª�� ©++ � ´ª��, ©+) � ��¨B�, ©)+ � �¨B�, ©)) � ´ª�� ©++ � ´ª��, ©+) � �¨B�, ©)+ � ��¨B�, ©)) � ´ª�� ©++ � ´ª��, ©+) � �¨B�, ©)+ � �¨B�, ©)) � �´ª�� ½�´ª�� �¨B��¨B� ´ª��¾ , ½´ª�� ��¨B��¨B� ´ª�� ¾ , ½ ´ª�� �¨B���¨B� ´ª��¾ , ½´ª�� �¨B��¨B� �´ª��¾
Grupo ortogonal Ô�¸
Û©++ ©+) ©+1©)+ ©)) ©)1©1+ ©1) ©11Ü Û©++ ©)+ ©1+©+) ©)) ©1)©+1 ©)1 ©11Ü � Û1 0 00 1 00 0 1Ü ��© �×�© � > ; �@� � ©@dzÇ�; ³Ç� � ©�Ç; �@� � ©@Ç©�Ç �×�© ��© � > ; �@� � ³@Ç©Ç�; ³@Ç � ©Ç@; �@� � ©Ç@©Ç� �@� � ©@Ç©�Ç � ©Ç@©Ç�
�++ � ©++) � ©+)) � ©+1) � ©++) � ©)+) � ©1+) � 1 �)+ � �+) � ©++©)+ � ©+)©)) � ©+1©)1 � ©++©+) � ©)+©)) � ©1+©1) � 0 �1+ � �+1 � ©++©1+ � ©+)©1) � ©+1©11 � ©++©+1 � ©)+©)1 � ©1+©11 � 0 �)) � ©)+) � ©))) � ©)1) � ©+)) � ©))) � ©1)) � 1 �1) � �)1 � ©)+©1+ � ©))©1) � ©)1©11 � ©+)©+1 � ©))©)1 � ©1)©11 �11 � ©1+) � ©1)) � ©11) � ©+1) � ©)1) � ©11) � 1 Para simplificar hacemos que ©1+ � ©+1 � ©)1 � ©1) � 0 Esto reduce al cálculo anterior
���� � Û�´ª�� �¨B� 0�¨B� ´ª�� 00 0 1Ü Se puede alternar los otros resultados. Variando las condiciones ©+) � ©)+ � ©)1 � ©1) � 0
���� � Û�´ª�� 0 �¨B�0 1 0�¨B� 0 ´ª��Ü ©1+ � ©+1 � ©+) � ©)+ � 0
���� � Û1 0 00 �´ª�� �¨B�0 �¨B� ´ª��Ü
15) Muestre que µ�2 es abeliano y µ�3 es no abeliano. En general µ�2 no es abeliano igual que µ�3 Pero si consideramos que la determinante de cada caso sea uno.
Primero Cµ�2 ½ ´ª�� �¨B���¨B� ´ª��¾ De forma general ½ ´� ����� ´�¾ ½ ´� ����� ´�¾ � H ´�´� � ���� ��´� � ��´����´� � ��´� ����� � ´�´�I
½ ´� ����� ´�¾ ½ ´� ����� ´�¾ � H ´�´� � ���� ��´� � ��´����´� � ��´� ����� � ´�´�I
Ambas multiplicaciones son iguales, entonces Cµ�2 es abeliano.
Luego 6Ô�¸
Û1 0 00 ´� ���0 �� ´� Ü Û´� 0 ���0 1 0�� 0 ´� Ü � Û� ´� 0 ������� ´� ���´�´��� �� ´�´� Ü Û´� 0 ���0 1 0�� 0 ´� Ü Û1 0 00 ´� ���0 �� ´� Ü � Û´� ����� ���´�0 ´� ����� ´��� ´�´� Ü
No son abelianos
16) Muestre que 6{�= y 6Ô�¸ son homomorfos
17) Calcule la forma explícita los parámetros independ ientes de los 9 grupos clásicos. a) Grupo de transformaciones lineales generales ÕÖ �B, Æ ÕÖ�B, Ï ÕÖ �B, Æ
P � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ²
Existen X= ÕÖ �B, Æ
P � ¯ ©++ � �³++ ©+) � �³+)©)+ � �³)+ ©)) � �³)) … ©+Z � �³+Z… ©)Z � �³)Z° °©Z+ � �³Z+ ©Z) � �³Z) ± °… ©ZZ � �³ZZ²
Existen =X=
b) Grupo de transformaciones lineales generales especiales CÖ �B, Æ CÖ�B, Ï Es un subgrupo de ÕÖ �B, Æ ÕÖ�B, Ï con la condición de �¨A P � 1 ÕÖ �B, Æ
P � ¯©++ ©+)©)+ ©)) … ©+Z… ©)Z° °©Z+ ©Z) ± °… ©ZZ²
det P � ©++�¨AP@Í+�Í+ � ©+)�¨AP@Í+�Í) … � ��1 Z�+©+Z�¨AP@Í+�ÍZ � 1
Podemos expresar uno de ellos en función de los demás
©++ � 1 � ©+)�¨AP@Í+�Í) … � ��1 Z�+©+Z�¨AP@Í+�ÍZ�¨AP@Í+�Í+
Si en antes había B)parámetros, ahora hay B) � 1 parametros ÕÖ �B, Ï
P � ¯ ©++ � �³++ ©+) � �³+)©)+ � �³)+ ©)) � �³)) … ©+Z � �³+Z… ©)Z � �³)Z° °©Z+ � �³Z+ ©Z) � �³Z) ± °… ©ZZ � �³ZZ²
det P � �©++ � �³++ �¨AP@Í+�Í+ � \ � ��1 Z�+�©+Z � �³+Z �¨AP@Í+�ÍZ � 1
Como en el caso anterior podemos expresar uno de los elementos en función de los demás ©++ � �³++ � 1 � \ � ��1 Z�+�©+Z � �³+Z �¨AP@Í+�ÍZ�¨AP@Í+�Í+
©++y �³++ son determinados por ©@� � �³@� con � O 1^Ë O 1
Si antes existían 2B)parámetros,ahora existe 2B) � 2 c) Grupo unitario ��B, Ï
P � ¯ ©++ � �³++ ©+) � �³+)©)+ � �³)+ ©)) � �³)) … ©+Z � �³+Z… ©)Z � �³)Z° °©Z+ � �³Z+ ©Z) � �³Z) ± °… ©ZZ � �³ZZ²
PPÐ � PÐP � 1
¯ ´++ ´+)´)+ ´)) … ´+Z… ´)Z° °´Z+ ©Z) ± °… ´ZZ² ¯´++¶ ´)+¶´+)¶ ´))¶ … ´Z+¶… ´Z)¶° °´+Z¶ ´)Z¶ ± °… ´ZZ¶ ² � 1
¯´++¶ ´)+¶´+)¶ ´))¶ … ´Z+¶… ´Z)¶° °´+Z¶ ´)Z¶ ± °… ´ZZ¶ ² ¯ ´++ ´+)´)+ ´)) … ´+Z… ´)Z° °´Z+ ©Z) ± °… ´ZZ² � 1
´@� � ©@� � �³@� �@� � ´@Ç �́Ƕ � ´Ç@´Ç�¶ �++ � ´++´++¶ � ´+)´+)¶ … ´+Z´+Z¶ � ´++´++¶ � ´)+´)+¶ … ´Z+´Z+¶ � 1 �+) � ´++´)+¶ � ´+)´))¶ … ´+Z´)Z¶ � ´++´+)¶ � ´)+´))¶ … ´Z+´Z)¶ � 0 �)+ � ´)+´++¶ � ´))´+)¶ … ´)Z´+Z¶ � ´+)´++¶ � ´))´)+¶ … ´Z)´Z+¶ � 0 �)) � ´)+´)+¶ � ´))´))¶ … ´)Z´)Z¶ � ´+)´+)¶ � ´))´))¶ … ´Z)´Z)¶ � 1 �@� � ´@Ç �́Ƕ � ´Ç@´Ç�¶
´Ç�¶ � ��1 Ç��ȨA�K´@Í�,�ÍÇNȨA ��´ � ��1 Ç��ȨA�K �́ÍÇ,@Í�NȨA ��´
d) Grupo unitario especial C��B, Ï e) Grupo ortogonal de rotaciones µ �B, Æ µ�B, Ï f) Grupo ortogonal de rotaciones especiales Cµ �B, Æ Cµ�B, Ï g) Grupo pseudo-ortogonal de rotaciones µ �B, n, Æ µ�B, n, Ï h) Grupo pseudo-ortogonal de rotaciones especiales Cµ �B, n, Æ Cµ�B, n, Ï i) Grupo simplecticoC� �B, Æ C��B, Ï
18) Obtener matriz de Pauli a partir de 6{�= y presentar sus principales propiedades. ��´ � ½ ´++ ´+)�´+)¶ ´++¶ ¾ � H ©++ � �³++ ©+) � �³+)�©+) � �³+) ©++ � �³++I
��´ � ½ ©++ ©+)�©+) ©++¾ � � H³++ ³+)³+) �³++I � H©++ 00 ©++I � H 0 ©+)�©+) 0 I � � H³++ 00 �³++I � � H 0 ³+)³+) 0 I
� ©++ ½1 00 1¾ � ©+) ½ 0 1�1 0¾ � �³++ ½1 00 �1¾ � �³+) ½0 11 0¾
©+) ½ 0 1�1 0¾ � �©+) ½0 ��� 0 ¾ � ©++ ½1 00 1¾ � �©+) ½0 ��� 0 ¾ � �³++ ½1 00 �1¾ � �³+) ½0 11 0¾
á# � ½1 00 1¾ ; á+ � ½1 00 �1¾ ; á) � ½0 ��� 0 ¾ ; á1 � ½0 11 0¾ 19) para un campo vectorial sobre la variedad diferenci able de grupo |Ä,
defina el álgebra de lie y enumere sus propiedades . El álgebra de lie es un espacio vectorial de dimensión finita G con el operador� , �:ÕÕ $ Õ que satisface.
i) Bilinealidad: � � � Ò& , �� � �� , �� � Ò� & , �� ii) Anti simetría: �, &� � �� &, � iii) Identidad de jacobi â, �&, ��ã � â &, ��, �ã � â �, �, &�ã � 0
20) para el grupo de transformaciones @′ � �@�+, ) … Z, j+, j) … jä å �@�v, g defina los generadores del grupo, su conmutador y la identidad jacobi. generadores del grupo
æh � � �@!�v ��@Z
@"+ ; �@!�v � ��@�+, ) … Z , j+, j) … jä �j!
Conmutador
âæh, æçã � æhæç � æçæh
Identidad de jacobi
½æh, âæç, æèã¾ � ½æç, âæè, æhã¾ � ½æè, âæh, æçã¾ � 0
21) para el grupo ÄÅ �X, Æ : v′ � év � êy; y′ � ëv � 9y obtener los operadores infinitesimales y la constante de estruc tura.
Ckì � 1 � æh�j!
@′ � �1 � æh�j! @ ′ � � �© � &�³ � � �
&′ � �´ � & � &�� � & � �&
�@ � �!@ � �j!
� � �© � &�³, �í� � , �î� � &
�& � �´ � &��, �ï� � , �T� � &
æh � � �!@ ��@Z
@"+
æé � �� ; æê � & �� ; æë � ��& ; æ9 � & ��&
�æé, æê� � �� & �� � & �� �� � �& �� � ��î� �� � �æê
�æé, æë� � �� ��& � ��& �� � ��& � æë
�æé, æ9� � �� & ��& � & ��& �� � 0
�æê, æë� � & �� ��& � ��& & �� � & ��& � �� � æ9 � æé
�æê, æ9� � & �� & ��& � & ��& & �� � �& �� � �æê
�æë, æ9� � ��& & ��& � & ��& ��& � ��& � æë
Para la constante de estructura tenemos �æð, æñ� � ®Ç�»æs
®íîî � �1; ®íïï � 1; ®íT@ � 0; ®îïT � 1; ®îïí � �1; ®îTî � �1; ®îTï � 1
22) para el grupo 6{�= obtener los operadores infinitesimales y la constante de estructura.
C��2 � H ©++ � �³++ ©+) � �³+)�©+) � �³+) ©++ � �³++I � ©++ ½1 00 1¾ � �©+) ½0 ��� 0 ¾ � �³++ ½1 00 �1¾ � �³+) ½0 11 0¾
Llevando a la forma
� ½1 00 1¾ � �©+) ½0 ��� 0 ¾ � �³++ ½1 00 �1¾ � �³+) ½0 11 0¾ F ′&′G � HU1 00 1V � � F ³++ ��©+) � ³+)�©+)�³+) �³++ GI U&V
′ � �1 � �³++ � �©+) � �³+) &
& ′ � ��©+) � �³+) � �1 � �³++ &
æé � Ypv′;pgé[ ppv; æî�� � Y � ′�³++[ �� � Y �&′�³++[ ��& � � �� � �& ��&
æî�� � Y � ′�³+)[ �� � Y �&′�³+)[ ��& � �& �� � � ��&
æí�� � Y � ′�©+)[ �� � Y �&′�©+)[ ��& � & �� � ��&
âæî�� , æî��ã � F� �� � �& ��&G F�& �� � � ��&G � F�& �� � � ��&G F� �� � �& ��&G
âæî�� , æî��ã � 2 F& �� � ��&G � 2æí��
âæî�� , æí��ã � F� �� � �& ��&G F& �� � ��&G � F& �� � ��&G F� �� � �& ��&G
âæî�� , æí��ã � �2 F�& �� � � ��&G � �2æî��
âæî�� , æí��ã � F�& �� � � ��&G F& �� � ��&G � F& �� � ��&G F�& �� � � ��&G
âæî�� , æí��ã � 2 F� �� � �& ��&G � 2æî��
Para la constante de estructura tenemos �æð, æñ� � ®Ç�»æs
®î��î��í�� � 2 ; ®î��í��î�� � �2; ®î��í��î�� � 2