ESPACIO VECTORIAL

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ESPACIO VECTORIALDados: V : un conjunto no vaco

( K ; + ; . ) : un cuerpo

+ y . dos leyes

Definicin:

( V ; + ; K ; . ) tiene estructura de espacio vectorial si y slo si se verifican los siguientes axiomas:

Ax. 1: + es ley de composicin interna en V + : V

V X , Y : X V Y V X +Y V

Ax. 2: + es asociativa en V

( X +Y ) + Z = X + ( Y + Z ) para todo X, Y, Z pertenecientes a V Ax. 3: + es conmutativa en V X + Y = Y + X para todo X, Y pertenecientes a V Ax. 4: Existe elemento neutro para + en V N V / X V : X + N = N + X = X

Ax. 5: Existencia de simtricos para + en V X V , X* V / X + X* = X* + X = N

Ax. 6: . es ley de composicin externa

. : K V V

X : K X V . X V

Ax. 7: Asociativa mixta

K , K, X V : ( . X = . ( . X )

Ax. 8: . es distributiva con respecto de + en V K, X V, Y V : .( X + Y ) = . X + . Y

Ax. 9: . es distributiva con respecto de + en K K K , X V : ( . X = . X + . X

Ax. 10: La unidad del cuerpo ( 1

) es neutro para . X V : 1

. X = XA los elementos de V se los denominan vectores y a los de K escalares.

No confundir + : V

V Ley de composicin interna en V ( adicin de vectores)

con + : K

K Ley de composicin interna en K ( adicin de escalares)

No confundir : . : K

V V Ley de composicin externa (producto de un escalar y un vector)

con . : K

K Ley de composicin interna en K ( producto de escalares)

Los cinco primeros axiomas indican que ( V ; + ) es un grupo conmutativo. ESPACIO VECTORIAL REAL( V ; + ; R ; . ) El cuerpo K R el cuerpo de los reales

Ejemplo: Si V R n+ es la adicin usual de vectores

. es el producto usual de un escalar y un vector

Cuando decimos el cuerpo de los reales nos estamos refiriendo a ( R ; + ; . )

en donde + y . son respectivamente la suma y producto de nmeros reales

( Rn; + ; R ; . ) es el espacio vectorial de las n-uplas ordenadas de nmeros reales sobre el cuerpo de los nmeros reales. La demostracin se dar en clase.En este curso solo se vern espacios vectoriales reales

Propiedades de los espacios vectoriales

Dado ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial

P. 1:

V : 0 . X = 0 con 0 denotamos al vector nulo de V D) . X = ( + 0 ) . X = . X + 0 . X entonces por transitiva de

. ( Ax. 9 )

la igualdad . X = . X + 0 . X entonces 0 . X = 0 (Ax. 4)P. 2:

R : . 0 = 0 D) . X = . ( X + 0 ) = . X + 0 por transitiva de la igualdad

( Ax. 4) ( Ax. 8)

. X = . X + . 0 entonces . 0 = 0 ( Ax. 4)

P. 3:

V : ( - 1 ) . X = - X

D) X + ( - 1 ) . X = [ 1] . X = 0 . X = 0 (Ax. 9) (P. 1)

Si la suma de dos vectores da el vector nulo, entonces son simtricos (Ax. 5)

Por lo tanto : - X = ( - 1) . X

P. 4:

R ,

V : . X = 0 entonces = 0 X = 0D) Si = 0 nada hay que probar, por P. 1) se verifica

Si

0 hay que probar que X = 0

Como . X = 0 y

0 entonces

R /

0 = 0

por asociativa mixta (Ax. 7) (

) . X = 0

1

. X = 0 ( Ax. 10) X = 0

SUBESPACIOS VECTORIALESDefinicin: Dados ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial; S

V y S

{ }

S es un subespacio de V bajo el mismo cuerpo y con las mismas leyes de

composicin s y slo s ( S ; + ; R ; .) tiene a su vez estructura de espacio vectorial.

Para todo espacio vectorial ( V ; + ; R ; . ) son subespacios de l:

( V ; + ; R ; . ) y ( { 0 } ; + ; R ; . )siendo 0 el vector nulo de V , que se llaman subespacios triviales. Los otros subespacios de V se denominan propios.

CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE DE SUBESPACIO ( S ; + ; R ; . ) es subespacio de ( V ; + ; R ; . ) s y slo s:

1) S

{ }

S

V

2)

S

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2 S

EMBED Equation.2 S

3)

R

S

SLa demostracin se dar en clase. COMBINACIN LINEAL DE VECTORES: ( C. L. )Dados ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial

A = {

}

V un conjunto de vectores de V X

V El vector X es combinacin lineal de A s y slo si existen escalares pertenecientes a R :

de modo que:

X =

Definicin: X

V es C. L. de A

V

R / X =

ESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORESDados ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial y un conjunto

A = {

V y no vaco.

El conjunto de todos los vectores que son combinacin lineal de los vectores de A es ( espacio generado por A )

= { X =

R

A }

Propiedad: Todo espacio generado por un conjunto de vectores de V es un subespacio de V. La demostracin se dar en clase con la condicin suficiente.DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALCONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE: ( L. I. )El conjunto A

V es linealmente independiente si y slo si la nica combinacin lineal de A para obtener el vector nulo es la trivial (para todos los escalares nulos).

A es L. Indep.

0

CONJUNTO LINEALMENTE DEPENDIENTE: ( L. D. )Un conjunto es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

El conjunto A

V es linealmente dependiente si y slo si existe una combinacin lineal de A para obtener el vector nulo adems de la trivial

A es L. Depend.

0

Propiedades:P. 1) Si un vector es combinacin lineal de un conjunto linealmente independiente, dicha combinacin es nica. La demostracin se dar en clase proponiendo que existen dos combinaciones.P. 2) Todo conjunto que contenga un solo vector no nulo es linealmente independiente.

P. 3) Todo subconjunto no vaco de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

P. 4) Un conjunto finito de vectores es linealmente dependiente si y slo si al menos un vector del conjunto es combinacin lineal de los restantes.

La demostracin se dar en clase.P. 5) Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si y slo si ningn vector del conjunto es combinacin lineal de los restantes.

P. 6) Todo conjunto que contenga al vector nulo es linealmente dependiente.SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL ( S. G. )

Un conjunto A = {

V es un sistema generador de V si y slo si todo vector de V se puede obtener como combinacin lineal de los vectores de A, esto es equivalente a decir que el espacio generado por A es V.

A

V es un S. G. de V

V

o tambin

A

V es un S. G. de V

gen(A) = V

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Un conjunto A

V es una base de ( V ; + ; R ; . ) si y slo si A es un sistema generador de V y A es linealmente independiente.

A

V es una base de V

A = V

A es L. I.

El espacio nulo es el nico espacio que carece de base.

COORDENADAS O COMPONENTES DE UN VECTOR EN UNA BASE:Sea A = {

V una base de V entonces por ser un sistema generador de V cada vector de V se puede obtener como combinacin lineal de A y como A es linealmente independiente entonces dicha combinacin es nica, por lo tanto:

V : X =

siendo los escalares las coordenadas del vector X en la base A y se suele expresar mediante un vector columna cuyos elementos son las coordenadas: X

DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL [ dim ] Todas las bases de un espacio vectorial poseen la misma cantidad de vectores y a ese nmero se lo llama dimensin del espacio.

Si A = {

V una base de V entonces dim V = n

La dimensin del espacio nulo es cero: dim { 0 } = 0 .

Propiedades:P. 1)Si dim V = n y A = {

V es L. I. entonces A es una base de V

P.2) Si dim V = n y A = {

V es S.G. de V entonces A es una base de V

P. 3) Todo conjunto que contenga ms de n vectores de un espacio vectorial de dimensin n es linealmente dependiente.

P. 4) Si S es un subespacio de V y dim S = dim V entonces S = V

P. 5) Si A = {

V es L. I. ; dim V = n y p < n entonces se puede extender A hasta formar una base de V

ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANOEspacio euclidiano es todo espacio vectorial con producto interno

Producto interno

Dado ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial. El producto interno en V es toda funcin que asigna a cada par de vectores X e Y de V un nmero real que se indica con

tal que: 1)

=

para todo X , Y de V.( simetra)

2)

=

para todo a y b reales ( linealidad)

3)

> 0 para todo X

0 ( positividad)

0 , 0

= 0

PRODUCTO INTERNO EN ( R n ; + ; R ; . )

Dados X = (

; Y = (

dos vectores cualesquiera de Rn

La demostracin se dar en clase.PRODUCTO INTERNO EN ( P

; + ; R ; . )

Dados

NORMA DE UN VECTOR

Definicin: La norma de un vector es igual a la raz cuadrada del producto interno de dicho vector por s mismo.

ORTOGONALIDAD

Definicin: Dos vectores son ortogonales si y slo si su producto interno es nulo

CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES

Definicin: Un conjunto A = {

V espacio vectorial con producto interno es ortogonal si y slo si cada vector de A es ortogonal a los restantes vectores

A = {

es ortogonal

COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO

Definicin: Dados: ( V ; + ; R ; . ) un espacio vectorial con producto interno y

( S ; + ; R ; . ) un subespacio de l. El complemento ortogonal del subespacio

S es el conjunto formado por todos los vectores de V que son ortogonales a todos los vectores de S.

S

V

S }Propiedad:El complemento ortogonal de un subespacio de V es tambin un subespacio

de V. La demostracin se dar en clase con la condicin suficiente.TEOREMA DE LAS DIMENSIONES:

La dimensin de un subespacio S

de V ms la de su complemento ortogonal es igual a la dimensin de V

dim S + dim S

= dim VBASE ORTONORMALDados: ( V ; + ; R ; . ) un espacio vectorial con producto interno y A = {

V una base de V.

Definicin: A es una base ortonormal si y slo si A es ortogonal y todos los vectores de A tienen norma igual a uno.

A es base ortonormal

OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Dados S y T dos subespacios de ( V ; + ; R ; . ) espacio vectorial

UNIN DE SUBESPACIOS:

S

T =

S

T }

La unin de dos subespacios no siempre es un subespacio, ya que en algunos casos no se cumple la ley de composicin interna, por ejemplo:

S = { ( x ; y )

R

; T =

R

S

T = R

( 0 ; 2 )

S

T

( 3 ; 0 )

S

T

( 0 ; 2 ) + ( 3 ; 0 ) = ( 3 ; 2 )

S

TINTERSECCIN DE SUBESPACIOS:

S

T

S

T }

La interseccin de dos subespacios de V es otro subespacio de V. La demostracin se dar en clase con la condicin suficiente.SUMA DE SUBESPACIOS:

S + T = {

S

T }

La suma de dos subespacios de V es otro subespacio de V. La demostracin se dar en clase con la condicin suficiente.

SUMA DIRECTA:

Si S

T = { 0 } entonces la suma se denomina suma directa y se simboliza con

S

T = S + T y S

T = { 0 }

Dimensin de la suma:

Si S y T son dos subespacios de ( V ; + ; R ; . )

entonces dim ( S + T ) = dim S + dim T - dim ( S

T )

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