Trayectorias Estocasticas sobre

Espacios de Hilbert con Nucleo Reproductivo

1

♠ Nucleo Reproductivo

Ejemplo 1. Sea Tn = 1, 2, ..., n. Para un vector x = (x1, ..., x2) ∈ Rn podemos definiruna funcion (manteniendo la notacion) x : Tn → R tal que x(i) = xi, para toda i ∈ Tn. SeaH2n el espacio de todas estas funciones (obs: H2

n es equivalente a Rn). En H2n introducimos

el producto punto habitual en Rn, esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y ∈ H2n, entonces,

〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi.

El espacio H2n es un espacio de Hilbert.

Ahora bien, si Kn : Tn × Tn → Rn tal que

Kn(i, j) = δij.

Entonces

i) Kn(·, j) ∈ H2n, para cada j ∈ Tn, y

ii) Si x ∈ H2n, tenemos que

〈x(·), Kn(·, j)〉 =n∑i=1

x(i)δi,j

= x(j).

Decimos que K posee la propiedad reproductiva y lo denominamos nucleo reproductivo de laclase H2

n.

‡Nucleo reproductivo.

Definicion 1. Si T denota un conjunto y H un espacio de Hilbert sobre el campo F (complejoo real) de funciones f : T → F, entonces la funcion K : T × T → F, es llamada nucleoreproductivo (n.r.) de H si

i) Para toda t ∈ T , la funcion K(·, t) : T → F, pertenece a H (aquı usaremos Kt en lugarde K(·, t)).

ii) Propiedad reproductiva: Para todo t ∈ T y toda funcion f ∈ H,

f(t) = 〈f(·), K(·, t)〉(i.e. f(t) = 〈f,Kt〉).

2

Observacion 1. Si el nucleo K es real (esto es, si K(s, t) ∈ R para todo s, t ∈ T ), entoncesK(s, t) = K(t, s), luego K(t, ·) ∈ H, para todo s, t ∈ T . De tal suerte que la propiedadreproductiva tambien puede ser enunciada, en estos casos, con la expresion

f(t) = 〈f(·), K(t, ·)〉

para toda f ∈ H y toda t ∈ T .

Ejemplo 2. Sea ε > 0 y Hε la clase que reune las trayectorias continuas q : [0, ε] → R,tal que q(ε) = 0 y q′(s) existe casi dondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido deRiemann). Consideremos el producto interior

〈q1, q2〉 =

∫ ε

0

q′1(s)q′2(s)ds,

para cualesquiera q1 y q2 en Hε.La funcion K : [0, ε]× [0, ε]→ R dada por

K(s, t) = t−maxs, t

define el nucleo reproductivo para Hε.En efecto

i) Kt ∈ Hε para cada t ∈ [0, ε].

ii) Sea t ∈ [0, ε], entonces

d

dsK(s, t) =

0 si s < t

−1 si t < s.

Luego

〈q,Kt〉 =

∫ ε

0

q′(s)d

dsK(s, s2)ds

= −∫ ε

t

q′(s)ds

= q(t).

Ejemplo 3. Sea H el espacio de todas las funciones continuas complejas sobre [0, 1], cuyaderivada existe casi dondequiera y tal que

i)∫ 1

0|f ′(t)|2dt <∞, para toda f ∈ H.

ii) Existe k 6= 1 en C tal que f(0) = kf(1), para toda f ∈ H.

Bajo la suma y el producto escalar habituales, H es una clase lineal. Mientras que paracualesquiera funciones f y g en H, la expresion

〈f, g〉 =

∫ 1

0

f ′(t)g′(t)ds

3

define un producto interior en H. En efecto, es evidente que∫ 1

0f ′(t)g′(t)dt existe y es un

numero complejo. Las propiedades de linealidad y antisimetrıa se siguen de forma inmediata.Es claro ademas que si f = 0 entonces 〈f, f〉 = 0. Y por otra parte, si 〈f, f〉 = 0, i.e.∫ 1

0|f ′(t)|2dt = 0, entonces (por continuidad) f ′(t) = 0 para todo t ∈ [0, 1], la funcion f es

pues constante, digamos c. Por hipotesis, c = f(0) = kf(1) = kc, entonces c = 0, puesk 6= 1.

Ahora bien para cualquier par s, t en [0, 1], la funcion

K(s, t) = min (s, t) +sk

1− k+

tk

1− k+

∣∣∣∣ k

1− k

∣∣∣∣2es el nucleo reproductivo de la clase H. Efectivamente, si t ∈ [0, 1] tenemos que,

K(0, t) =tk

1− k+

∣∣∣∣ k

1− k

∣∣∣∣2 ,mientras que

kK(1, t) = k

(t+

k

1− k+

tk

1− k+

∣∣∣∣ k

1− k

∣∣∣∣2)

= kt

(1 +

k

1− k

)+|k|2

1− k

(1 +

k

1− k

)=

tk

1− k+

∣∣∣∣ k

1− k

∣∣∣∣2 ,por tanto K(0, t) = kK(1, t). Tenemos ademas que

d

dsK(s, t) =

1 + k

1+k0 ≤ s < t,

k1+k

t < s ≤ 1.

Luego, para f ∈ H y t ∈ [0, 1], tenemos que

〈f(·), K(·, t)〉 =

∫ 1

0

f ′(s)d

dsK(s, t)ds

=

(1 +

k

1− k

)∫ t

0

f ′(s)ds+k

1− k

∫ 1

t

f ′(s)ds

=1

1− k(f(t)− f(0)) +

k

1− k(f(1)− f(t))

=1

1− k(f(t)− kf(1) + kf(1)− kf(t))

= f(t),

por tanto K es el nucleo reproductivo de la clase H.

4

‡Propiedades del nucleo reproductivo.

i) Unicidad. Si H tiene nucleo reproductivo entonces es unico.

‖Kt −K ′t‖2 = 〈Kt −K ′t, Kt −K ′t〉 = 0.

ii) Existencia. H posee n. r. K, si y solo si, para cada t ∈ T , la funcional f 7→ f(t) escontinua sobre todo el espacio de Hilbert H.

⇒ ] Sea t ∈ T y f ∈ H,

|f(t)| = |〈f(·), K(·, t)〉|≤ ‖f‖‖K(·, t)‖.

Pero‖K(·, t)‖ = 〈K(·, t), K(·, t)〉

12 = K(t, t)

12 .

De modo que|f(t)| ≤ K(t, t)

12‖f‖,

lo cual implica que f 7→ f(t) es continua.

⇐ ] Si f 7→ f(t) es continua, entonces segun el teorema de representacion de Riesz,existe K(·, t) ∈ H tal que

f(t) = 〈f(·), K(·, t)〉,

por tanto, este es el nucleo buscado.

Ejemplo 4. Los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.El espacio Lp([0, 1],B([0, 1]), λ), p ≥ 1, (donde B([0, 1]) es la σ-algebra de Borel sobre

[0, 1] y λ es la medida de Lebesgue en este intervalo) no tiene nucleo reproductivo.En efecto, si definimos la funcion δ0(x) = δ0x entonces

i) ‖δ0‖p = 0, y ademas

ii) 1 = |δ0(0)|p ≥ 0 = M‖δ0‖p, para toda M > 0.

Podemos concluir que, en general, los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.

Ejemplo 5. Sea D ⊆ C abierto. Sea H2D la clase de todas las funciones f : D → C

armonicas tales que ∫ ∫D

|f(z)|2 dx dy <∞, (z = x+ iy).

El espacio H2D, con producto

〈f, g〉 =

∫ ∫D

f(z)g(z)dxdy, z = x+ iy,

es un subespacio cerrado de L2D con nucleo reproductivo.

5

|f(z0)| ≤ 1

(πr)2

∫ ∫Dz0 (r)

|f(z)|dxdy

=1

(πr)2‖f‖(πr2)

12

=1

π3/2r‖f‖,

La funcional f 7→ f(z0) es entonces acotada y por ello continua, luego, existe el nucleo Kpara H2

D.

Ejemplo 6. Sea D la bola abierta unitaria sobre C. Consideremos el espacio H de todaslas funciones complejas analıticas sobre D y cuadrado integrables. En H el producto interiorqueda definido con la expresion habitual

〈f, g〉 =

∫ ∫D

f(z)g(z)dxdy, z = x+ iy.

Entonces H es un subespacio cerrado de L2D. En efecto, sea fn∞n=1 una sucesion en

H convergente a una funcion f ∈ L2D, y z0 un elemento en D, entonces existe un numero

r > 0 tal que el disco Dr(z0) = z : |z0 − z| ≤ r ⊂ D, y por hipotesis toda funcion en H estambien armonica, luego para toda n,m naturales,

|fn(z0)− fm(z0)| ≤ 1

(πr)2

∫ ∫Dr(z0)

|fn(z)− fm(z)|dxdy

≤ 1

(πr)2

∫ ∫D

|fn(z)− fm(z)|dxdy

aplicando la desigualdad de Cauchy, tenemos

|fn(z0)− fm(z0)| ≤ 1

rπ3/2‖fn − fm‖,

luego, fn(z0)∞n=1 converge a un numero g(z0). La funcion g definida en D por g(z) =lim fn(z) es analıtica (por ser lımite de funciones analıticas), entonces g = f casi segura-mente, con lo cual H es cerrado.

Esta clase tiene nucleo reproductivo. En efecto, para z ∈ D y f ∈ H puede probarse demanera analoga al ejemplo anterior que

|f(z)| ≤ 1

rπ3/2‖f‖,

donde r solo depende de z, entonces la funcional f 7→ f(z) es continua, luego H posee nucleoreproductivo.

Teorema 1. Si la clase H posee nucleo reproductivo, y H1 es un subespacio cerrado de H,entonces H1 tambien posee nucleo reproductivo.

6

Observacion 2. Los ultimos ejemplos muestran que el recıproco del teorema anterior esfalso.

Ejemplo 7. Sea D como en el ejemplo anterior. Definimos ahora la clase H de funcionescomplejas f sobre D analıticas tales que

limr→1

1

2π

∫ π

−π|f(reiθ)|2dθ

existe y es finito. Entonces la expresion

〈f, g〉 = limr→1

1

2π

∫ π

−πf(reit)g(reit)dt

define un producto interior en H.Sea z en D, si f ∈ H entonces, por ser analıtica, f(z) tiene una representacion en serie

de potencias de la forma

f(z) =∞∑n=0

cn(z − 0)n =∞∑n=0

cnzn,

y si |z| ≤ r < 1, entonces

|f(z)|2 ≤∞∑n=0

|cn|2|z|2n ≤∞∑n=0

|cn|2r2n,

pero∞∑n=0

|cn|2r2n =1

2π

∫ π

−π|f(reiθ)|2dθ,

por tanto|f(z)| ≤ ‖f‖.

Luego la funcional f 7→ f(z) es continua para cada z ∈ D, entonces H posee nucleoreproductivo. Este espacio es conocido como el espacio H2 de Hardy.

Teorema 2. Sea H un espacio de Hilbert de funciones f : T → F con n. r. K, fnn≥1 unasucesion de Cauchy (respecto a la norma ‖ · ‖) en H y la funcion lımite f en H de dichasucesion. Entonces

i) La sucesion fnn≥1 converge puntualmente a f , es decir, si t ∈ T entonces

limn→∞

fn(t) = f(t).

ii) Si en algun subconjunto T1 de T , la funcion t 7→ K(t, t) es uniformemente acotada,entonces esta convergencia es uniforme.

7

Demostracion. i) Por hipotesis, ‖fn − f‖ → 0 si n→∞. Sea t ∈ T , entonces,

|f(t)− fn(t)| = |〈f − fn, Kt〉‖≤ ‖f − fn‖‖Kt‖= ‖f − fn‖(K(t, t))1/2.

De aquı se sigue la primera parte del teorema.ii) Ahora, si existe T1 ⊆ T tal que para alguna M > 0 se tiene que K(t, t) < M2, para

toda t ∈ T1, entonces

|f(t)− fn(t)| ≤ ‖f − fn‖(K(t, t))1/2

≤ ‖f − fn‖M,

para toda t ∈ T . Luego en T1 la convergencia es uniforme.

♠ Matrices Definidas Positivas ynucleos reproductivos

‡Caso finito.Sea T = t1, ..., tN. Una funcion K : T × T → F, determina una transformacion matricialpor la matriz K = [K(ti, tj)]i,j. Tomemos un vector ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξN) ∈ FN , si la formacuadratica

ξKξt =N∑

i,j=1

K(ti, tj)ξiξj,

es no negativa y es nula solo si ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., N , entonces decimos que lafuncion K es una matriz definida positiva.

‡Caso general.Para cualquier conjunto T , la funcion K : T × T → F se denomina matriz definida positiva,si para cualquier numero finito de elementos t1, t2,...,tn de T , la forma cuadratica

n∑i,j=1

K(ti, tj)ξiξj,

con ξj ∈ F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula solo si ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., n.

‡Un nucleo reproductivo es una matriz definida positiva.

0 ≤ ‖n∑j=1

Ktjξj‖2 =n∑

i,j=1

K(ti, tj)ξiξj.

8

Ejemplo 8. Sea F una σ-algebra sobre R (por ejemplo la σ-algebra de Borel BR) y sea µ

una medida positiva finita sobre F (por ejemplo la medida gaussiana µ(A) = 1√2π

∫Ae−

x2

2 dx,

A ∈ BR). Sea k : R→ C la funcion con regla

k(s) =

∫Reisrdµ(r),

para todo numero real s. Entonces

i) k es continua y acotada en R,

ii) k(s) = k(−s) para toda s ∈ R.

En efecto, si s es un numero real tenemos que

|k(s)| ≤∫R|eist|dµ(t) ≤ µ(R) < +∞.

Ahora bien, la continuidad se sigue de lo anterior y del teorema de convergencia dominadade Lesbegue. La segunda parte es inmediata.

Por otro lado, definimos la funcion K : R2 → C con la regla

K(s, t) = k(s− t) = k(t− s),

para todo par de numeros reales s, t. De modo que si s1, ..., sN ⊂ R y ξi, ..., ξN ⊂ Centonces,

N∑n,m=1

K(sn, sm)ξnξm =

∫R

N∑n,m=1

ξnξmei(sm−sn)rdµ(r)

=

∫R

N∑n,m=1

ξmeismr · ξne−isnrdµ(r)

=

∫R

N∑n,m=1

ξmeismr · ξneisnrdµ(r)

=

∫R|N∑n=1

ξneisnr|2dµ(r) ≥ 0,

luego K es una matriz positiva sobre R.Introducimos ahora la clase H de funciones f : R→ C de la forma

f(s) =

∫Re−isrφ(r)dµ(r),

para toda t ∈ R, donde φ : R → C es continua, acotada sobre R y tal que∫R |φ(r)|2dµ(r) <

+∞. Notamos que las funciones de H son tambien continuas y acotadas. Si f(s) =

9∫R e−isrφ(r)dµ(r) y g(s) =

∫R e−isrψ(r)dµ(r), s ∈ R, son funciones en H, entonces la ex-

presion

〈f, g〉 =

∫Rφ(r)ψ(r)dµ(r),

define un producto interior en H, y la norma inducida es completa.Ahora, de la definicion de K, tenemos que para cualquier par de numeros reales s, t,

K(s, t) = k(t− s) =

∫Rei(t−s)rdµ(r)

=

∫Re−isrφt(r)dµ(r),

donde φt(r) = eitr. Esto prueba que Kt es una funcion en H. Ademas, de esta expresionpara K es inmediata la propiedad reproductiva.

‡Construccion de nucleos reproductivos a partir de matrices definidas positivas.

Consideremos la matriz definida positiva

K =

(2 11 3

).

Definimos T = 1, 2, y K : T × T → R tal que

K(s, t) =

2 si s = 1 = t,

1 si s 6= t,

3 si s = 2 = t.

EntoncesK =

[K(s, t)

]s,t∈T .

De modo que K es una matriz definida positiva.Introducimos:

1. La clase H0 de funciones f : T → R,

f(s) = α1K(s, 1) + α2K(s, 2), αi ∈ R.

2. El producto

〈f, g〉0 =(β1 β2

)(2 11 3

)(α1

α2

)=

2∑s,t=1

K(t, s)αsβt.

10

3. La norma

‖f‖20 =

(α1 α2

)(2 11 3

)(α1

α2

).

Entonces

•) K es el nucleo reproductivo de H0.

(a) K(s, t) = δ1tK(s, 1) + δ2tK(s, 2) ∈ H0

(b) (Propiedad reproductiva)

〈f,Kt〉0 =(δ1t δ2t

)(2 11 3

)(α1

α2

)= δ1t

(α1K(1, 1) + α2K(1, 2)

)+

δ2t

(α1K(2, 1) + α2K(2, 2)

)= f(t)

• •) Si fnn≥1 sucesion de Cauchy enH0 entonces fn(t)n≥1, t ∈ T , es sucesion de Cauchyen R.

|fn(t)− fm(t)| = |〈fn − fm, Kt〉0|≤ ‖fn − fm‖0Mt.

Definimos f(t) = limn→∞

fn(t).

Introducimos ahora la clase H de funciones lımite (puntual) de sucesiones de Cauchy enH0.

Entonces H0 ⊂ H.Ademas

1. 〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖ = lim

n→∞‖fn‖0,

definen un producto interior y una norma sobre H.

Si fn(t)→ f(t) y f ′n(t)→ f(t), entonces

|〈fn, gn〉0 − 〈f ′n, gn〉0| ≤ ‖fn − f ′n‖0M,

por lo tantolimn→∞〈fn, gn〉0 = lim

n→∞〈f ′n, gn〉0

2. La clase H es un espacio de Hilbert y K es el nucleo reproductivo de H.

〈f,Kt〉 = limn→∞〈fn, Kt〉0

= limn→∞

fn(t)

= f(t).

El espacio H es denotado por H(K) y llamado espacio de Hilbert generado por el nucleoK.

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Teorema 3. A toda matriz positiva K : T×T → F corresponde una unica clase de funcionescon una unica norma determinada, formando un espacio de Hilbert y admitiendo a K comosu nucleo reproductivo. Esta clase es denotada por H(K), y es llamada el espacio de Hilbertcon n. r. K generado por la matriz positiva K.

Demostracion. Sea K : T × T → F una matriz positiva, consideremos la clase H0 defunciones, f : T → F, definidas por la representacion unica

f(s) =∑j∈J

αjK(s, tj), s ∈ T, (1)

con J subconjunto de ındices finito, αj ∈ F, tj ∈ T , j ∈ J .Si f ∈ H0, sobre esta clase podemos introducir una norma

‖f‖20 =

∥∥∥∥∥∑j∈J

αjKtj

∥∥∥∥∥2

0

=∑i,j∈J

K(ti, tj)αiαj.

Si f ∈ H0 y g ∈ H0, el producto interior tiene la forma

〈f, g〉0 = 〈∑j∈J

αjKtj ,∑i∈I

α∗iKt∗i〉0

=∑j∈J

∑i∈I

K(t∗i , tj)αjα∗i .

Es muy sencillo verificar que las anteriores expresiones definen, respectivamente, unanorma y un producto interior.

Ahora, sea f ∈ H0, entonces, si t ∈ T , se tiene,

〈f,Kt〉0 = 〈∑j∈J

αjKtj , Kt〉0

=∑j∈J

αj〈Ktj , Kt〉0

=∑j∈J

αjK(t, tj)

= f(t).

Entonces K es el nucleo reproductivo para la clase H0. Sin embargo H0 no es todavıa unespacio de Hilbert. Si consideramos una sucesion de Cauchy fnn≥1 en H0, y un elementot ∈ T , se tiene,

|fn(t)− fm(t)| = |〈fn − fm, Kt〉0| ≤ ‖fn − fm‖0‖Kt‖0.

de donde se sigue que la sucesion de numeros complejos fn(t)n≥1 es de Cauchy, por ello esconvergente. Podemos definir una funcion f : T → C tal que fn(t)→ f(t), para toda t ∈ T .Consideremos de esta manera la clase H(K) de funciones lımite de sucesiones de Cauchy enH0. Por tanto si f, g ∈ H entonces existen fnn≥1 y gnn≥1 sucesiones de Cauchy en H0

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convergentes a f y g en su respectivo caso, con lo cual, sobre esta clase H, definimos unproducto interno y una norma mediante las expresiones

〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖2 = lim

n→∞‖fn‖2

0,

respectivamente. Tales expresiones no dependen de la elecion de la sucesiones de Cauchy, yque la clase H forma en efecto un espacio de Hilbert.

Por lo pronto, observamos que K es el nucleo reproductivo de la clase H(K). Si f ∈H(K), y fnn≥1 es una sucesion de Cauchy enH0 convergente (puntualmente) a f , entonces,

f(t) = limn→∞

fn(t)

= limn→∞〈fn, Kt〉0

= 〈f,Kt〉,

para cada t ∈ T .Ahora, si H es un espacio de Hilbert de funciones que admite a K como nucleo reproduc-

tivo, entonces H0 ⊂ H, pues los elementos de H0 son combinaciones lineales de las funcionesKt pertenecientes a H. Ahora, si ‖ · ‖1 y 〈·, ·〉1 definen la norma y el producto interno en H,y f ∈ H0 con representacion (??), entonces

‖f0‖21 = ‖

∑j∈J

αjKtj‖21

= 〈∑j∈J

αjKtj ,∑i∈J

αiKti〉1

=∑i,j∈J

K(ti, tj)αjαi

= ‖f0‖20.

Es decir, la restriccion a H0 de la norma ‖ · ‖ de H coincide con la norma ‖ · ‖0 de H0.Entonces la completacion funcional H(K) de H0 es tambien un subconjunto de H (pues lassucesiones de Cauchy en H0 lo son tambien en H, y H es completo).

Consideremos entonces una funcion f ∈ H(K). Por definicion existe una sucesion deCauchy fnn≥1 en H0 cuyo lımite es f . Tenemos,

0 ≤ |‖f‖1 − ‖fn‖0| = |‖f‖1 − ‖fn‖1| ≤ ‖f − fn‖1,

entonces, limn→∞

|‖f‖1 − ‖fn‖0| = 0, con lo cual,

limn→∞

‖fn‖0 = ‖f‖1 = ‖f‖.

Ello implica que la norma ‖ · ‖1 coincide con la norma ‖ · ‖ en H(K); y del mismo modo,puede probarse que 〈·, ·〉1 coincide con 〈·, ·〉 en H(K). Entonces H(K) es una subespacio deHilbert de H.

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Por otra parte, si f ∈ H, entonces existe f ∗ = PH(K)(f) ∈ H(K) y f ′ ⊥ H(K), tal quef = f ∗ + f ′. Entonces

f(t) = 〈f,Kt〉1= 〈f ∗, Kt〉1 + 〈f ′, Kt〉1= 〈f ∗, Kt〉= f ∗(t),

para toda t ∈ T . Por tanto f ∈ H(K). Luego H(K) y H son el mismo espacio de Hilbert.

En la demostracion anterior es claro que la clase H0 es un subconjunto denso de H(K)(respecto la norma ‖ · ‖). En efecto, H0 ⊆ H(K) y en H0 la norma ‖ · ‖ coincide con ‖ · ‖,entonces toda f en H(K) es un lımite (en norma ‖ · ‖) de una sucesion de elementos en H0.

Ejemplo 9. Un caso particularmente simple es cuando T = 1, ..., n, y K : T × T → R esuna matriz difinida positiva de dimension finita n. En este caso es H(K) es sencillamenteel espacio euclıdeo de dimension n, y el producto interior puede expresarse de forma simplecomo el producto

〈x, y〉 = x′K y,

para todo x, y ∈ H(K).

Teorema 4. K es el nucleo reproductivo de la clase H, si y solo si, H es el mismo espacioque H(K).

♠ Suma de nucleos reproductivos

Sea K y R un par de nucleos reproductivos correspondientes a las clases H(K) y H(R),de funciones definidas en el mismo conjunto T , con normas ‖ · ‖K y ‖ · ‖R, respectivamente.La nueva matriz Q = K+R es claramente una matriz positiva. En este caso, Q correspondecomo nucleo reproductivo, a una clase de funciones H(Q). En primer termino, podemosapoyarnos en la consideracion intuitiva de que la clase H(Q) se compone de funciones

f = f1 + f2,

donde f1 ∈ H(K) y f2 ∈ H(R). Es decir, es natural suponer que si S es la clase de talesfunciones suma, entonces H(Q) = S.

Para probar esto, primero introducimos el espacio F de todos los pares (f1, f2). Con lasoperaciones de producto escalar y suma de vectores habitualmente considerada para paresordenados, F es un espacio lineal. Ademas la ecuacion

‖(f1, f2)‖2F = ‖f1‖2

K + ‖f2‖2R.

para todo par (f1, f2) determina una norma completa sobre F y un producto interior. Detal manera que F es un espacio de Hilbert.

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Es importante observar la forma explıcita del producto interno. Si 〈·, ·〉K y 〈·, ·〉R son losproductos internos respectivos de H(K) y H(R), entonces el producto interno en F tiene laforma

〈(f1, f2), (h1, h2)〉F = 〈f1, h1〉K + 〈f2, h2〉R,para (f1, f2) y (h1, h2) en F .

Sea S0 la clase de funciones f pertenecientes tanto a H(K) como a H(R) (S0 puedecontener solo la funcion nula), y sea F0 el conjunto de todas los pares (f,−f) para f ∈ S.

Lema 1. F0 es un subespacio lineal cerrado de F .

Demostracion. En efecto, si (fn,−fn)→ (f ′, f ′′), es decir,

‖(fn − f ′,−fn − f ′′)‖F → 0,

entonces,‖fn − f ′‖K → 0 y ‖ − fn − f ′′‖R → 0.

Esto es fn → f ′ en H(K) y −fn → f ′′ en H(R), lo cual significa que f ′′ = −f ′, y f ′ y f ′′

pertenecen a S0.La linealidad es inmediata

Para todo par (f1, f2) de F , existe una correspondiente funcion f = f1 + f2. Estacorrespondencia transforma linealmente el espacio F en una clase de funciones en S. Ahoraconsideremos el subespacio cerrado complementario F1 (tal que F = F0 ⊕F1).

Lema 2. La correspondecia G : F → S definida por G(f ′, f ′′) = f ′+ f ′′ transforma inyecti-vamente F1 en S.

Demostracion. Si el par (f1, f2) de F es tal que f1 + f2 = 0, entonces f2 = −f1, con locual (f1, f2) pertenece a F0.

Ası pues, si para (f1, f2) y (g1, g2) en F1 se tiene que f1 +f2 = g1 + g2, entonces f2− g2 =−(f1− g1), con lo cual (f1− g1, f2− g2) pertenece a F0, pero en realidad (f1, f2)− (g1, g2) =(f1 − g1, f2 − g2) es un elemento de F1 (por cerradura). Por ende (f1, f2) = (g1, g2).

Ahora, segun lo anterior, si consideramos la correspondencia inversa, toda funcion f deS es transformada en un par (g1(f), g2(f)) de F1. Podemos introducir una norma ‖ · ‖ en Sdefinida por

‖f‖2 = ‖(g1(f), g2(f))‖2F = ‖g1(f)‖2

K + ‖g2(f)‖2R. (2)

El producto interior 〈·, ·〉 en S tiene entonces la expresion

〈f, h〉 = 〈(g1(f), g2(f)), (g1(h), g2(h))〉F = 〈g1(f), g1(h)〉K + 〈g2(f), g2(h)〉R.

Bajo estas condiciones, S es un espacio de Hilbert.Ahora bien, es claro que Kt, para t ∈ T cualquiera, pertenece a S y (Kt, Rt) ∈ F . Para

toda t ∈ T definimos dos nuevas funciones K ′ y K ′′ determinadas por

K ′(·, t) = g1(K(·, t)) y K ′′(·, t) = g2(K(·, t)).

15

En tanto que para una funcion f ∈ S, definimos f ′ = g1(f), f ′′ = g2(f). Con lo cual,

f = f ′ + f ′′ y K ′(·, t) +K ′′(·, t) = K(·, t) = K(·, t) +R(·, t),

de donde,K ′′(·, t)−R(·, t) = −[K ′(·, t)−K(·, t)],

lo cual significa que(K(·, t)−K ′(·, t), R(·, t)−K ′′(·, t)) ∈ F0.

Bajo estas convenciones, enunciamos el siguiente resultado.

Teorema 5. Para la clase S con norma definida por la ecuacion (??), la funcion Q = K+Res el nucleo reproductivo. Es decir S y H(Q) son el mismo espacio de Hilbert.

Demostracion. Sea f ∈ S y t ∈ T , entonces,

f(t) = f ′(t) + f ′′(t)

= 〈f ′(·), K(·, t)〉K + 〈f ′′(·), R(·, t)〉R= 〈(f ′, f ′′), (K(·, t), R(·, t))〉= 〈(f ′, f ′′), (K ′(·, t), K ′′(·, t))〉

+〈(f ′, f ′′), (K(·, t)−K ′(·, t), R(·, t)−K ′′(·, t))〉.

El ultimo producto escalar es igual a cero, pues el elemento (f ′, f ′′) ∈ F1 y el elemento(K(·, t) − K ′(·, t), R(·, t) − K ′′(·, t)) ∈ F0. Mientras que el primer producto escalar es, pordefinicion, igual a 〈f(·), K(·, t)〉, lo cual prueba la propiedad reproductiva del nucleo K.

En la caracterizacion de la clase S, podemos proceder sin introducir el espacio auxiliarF . Consideremos f ∈ S y todas las posibles descomposiciones f = f1 + f2. Definimos

‖f‖2 = minf1,f2:f=f1+f2

[‖f1‖2K + ‖f2‖2

R]

Esta definicion para la norma en S es equivalente a la anterior, pues basta observar que f en Scorresponde al elemento (f1, f2) ∈ F y recıprocamente, f corresponde a (g1(f), g2(f)) ∈ F1,con lo cual f = f1 + f2 = g1(f) + g2(f). De ahı que

f2 − g2(f) = −[f1 − g1(f)],

entonces (f1 − g1(f), f2 − g2(f)) ∈ F0. Luego, por ortogonalidad,

‖f1‖2K + ‖f2‖2

R = ‖(f1, f2)‖2 = ‖(g1(f), g2(f))‖2 + ‖(f1 − g1(f), f2 − g2(f))‖2,

y esta expresion es mınima si y solo si f1 = g1(f), f2 = g2(f). De donde

minf1,f2:f=f1+f2

[‖f1‖2K + ‖f2‖2

R] = ‖(g1(f), g2(f))‖2,

y por la definion previa es igual a ‖f‖2.Finalmente, segun esta observacion, el ultimo teorema puede ser tambien enunciado de

la manera siguiente.

16

Teorema 6. Si K y R son los nucleos reproductivos para las clases H(K) y H(R), repecti-vamente, entonces Q = K +R es el nucleo reproductivo de la clase S de todas las funcionesf = f1 + f2 con f1 ∈ H(K) y f2 ∈ H(R), y con norma definida por

‖f‖2 = minf1,f2:f=f1+f2

‖f1‖2K + ‖f2‖2

R.

Un caso particularmente simple se presenta cuando las clases H(K) y H(R) no tienenfunciones distintas de cero en comun. La norma en S esta dada simplemente por ‖f‖2 =‖f1‖2 + ‖f2‖2, pues toda funcion f tendra representacion unica.

La enunciacion de este ultimo teorema facilita la generalizacion al caso donde Q =∑nt=1Kt. Aquı, las funciones f =

∑nt=1 ft, con ft ∈ Ft, t = 1, ..., n forman una clase S

cuya norma esta definida por

‖f‖ = minf1,...,fn:f=

∑ni=1 fi

n∑i=1

‖fi‖2i ,

y donde K corresponde como nucleo reproductivo.

Observacion 3. Sea S una clase de funciones definidas en un conjunto T con norma ‖ · ‖y producto interior 〈·, ·〉, supongamos que S tiene por nucleo reproductivo la matriz K. Si αes una constante real positiva, entonces la matriz positiva K = αK corresponde como nucleoreproductivo a la misma clase S pero con norma y producto interior definidos mediante lasexpresiones

‖f‖2K =

1

α‖f‖2 y 〈f, g〉K =

1

α〈f, g〉

para f y g en S. En efecto, para f ∈ S y y ∈ T , se verifica

f(y) = 〈f(·), K(·, y)〉 =1

α〈f(·), αK(·, y)〉 = 〈f(·), K(·, y)〉K .

Siendo ademas evidente que K(·, y) = αK(·, y) ∈ F .

♠ Diferencia de nucleos reproductivos

Para dos matrices positivas, K1 y K, definimos la relacion

K1 ≤ K

si K −K1 es tambien una matriz positiva.

Proposicion 1. La relacion ≤ establece un orden parcial en la clase que reune todas lasmatrices positivas.

Demostracion. En efecto, si K1 ≤ K2 ≤ K3 entonces, claramente, K1 ≤ K3. Por otraparte, si K1 ≤ K2 y K2 ≤ K1 entonces K1 = K2.

Teorema 7. Si K y K1 son nucleos reproductivos de las clases F y F1 respectivamente, conlas normas ‖ · ‖, ‖ · ‖1, y si K1 ≤ K, entonces F1 ⊂ F , y ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para toda f1 ∈ F1.

17

Demostracion. Si K1 ≤ K significa que K2 = K − K1 es una matriz positiva. Seaentonces la clase de funciones F2, con norma ‖ · ‖2, correspondiente al nucleo K2. ComoK = K1 + K2 sabemos que F es la clase de todas las funciones de la forma f1 + f2 conf1 ∈ F1 y f2 ∈ F2. En particular, cuando f2 = 0, la clase F contiene todas las funcionesf1 ∈ F1, y ası F1 ⊂ F . Por otra parte, en F tenemos,

‖f1‖2 = min [‖f ′1‖21 + ‖f ′2‖2

2]

para todas las descomposiciones f1 = f ′1 + f ′2, con f ′1 ∈ F1 y f ′2 ∈ F2. En particular, de ladescomposicion f1 = f1 + 0, obtenemos

‖f1‖2 ≤ ‖f1‖21

lo cual completa la prueba.

Teorema 8. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que F1 ⊂ F , entoncesexiste un unico operador L : F → F1 lineal, simetrico y positivo, tal que

〈f1, f〉 = 〈f1, Lf〉1,

para toda funcion f1 ∈ F1 y f ∈ F . Si ademas ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, entonces eloperador L es acotado con una cota no mayor a 1.

Demostracion. Para f ∈ F , la transformacion Gf sobre F1 definida por la regla Gf (f1) =〈f1, f〉, para toda f1 ∈ F1, es lineal y continua, entonces, segun el teorema de representacionde Riez, existe una unica funcion en F1, la cual llamaremos Lf (es decir, depende tambiende f), tal que

Gf (f1) = 〈f1, f〉 = 〈f1, Lf〉1,para toda f1 ∈ F1. De tal forma que el operador L : F → F1 existe y es unico. Ademas, sif y g pertenecen a F , entonces, para toda f1 en F1,

〈f1, L(f + g)〉1 = 〈f1, f + g〉= 〈f1, f〉+ 〈f1, g〉= 〈f1, Lf〉1 + 〈f1, Lg〉1= 〈f1, Lf + Lg〉1.

Se sigue L(f + g) = Lf + Lg, luego L es lineal. Por otra parte, para todo par de funcionesf , g de F ,

〈Lf, g〉 = 〈Lf, Lg〉1 = 〈Lg, Lf〉1 = 〈Lg, f〉 = 〈f, Lg〉.L es entonces un operador lineal simetrico.

Es tambien positivo porque 〈Lf, f〉 = 〈Lf, Lf〉1 ≥ 0.Si ademas ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, L es acotado, con cota no mayor a 1, porque

〈Lf, f〉 = 〈Lf, Lf〉1 = ‖Lf‖21 ≥ ‖Lf‖2. De ahı, ‖Lf‖2 ≤ 〈Lf, f〉 ≤ ‖Lf‖ · ‖f‖, y con ello

‖Lf‖ ≤ ‖f‖.

El operador L es conocido como el operador dominante.

18

Corolario 1. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que F1 ⊂ F , y si K yK1 son sus respectivos nucleos reproductivos, entonces K1 ≤ K.

Demostracion. Sea L : F → F1 el operador dominante. Se tiene entonces que L′2 = I−L,I operador identidad (usamos L′2 por razones que se veran un poco mas adelante), es tambienun operador lineal positivo y simetrico. Ahora bien, L transforma K(·, z) en K1(·, z), paratoda z ∈ E. En efecto, dado que Lf ∈ F1, entonces, para toda y ∈ E,

Lf(y) = 〈(Lf)(·), K1(·, y)〉1= 〈K1(·, y), (Lf)(·)〉1= 〈K1(·, y), f(·)〉= 〈f(·), K1(·, y)〉.

Por lo tanto, para toda z ∈ E,

LK(y, z) = 〈K(·, z), K1(·, y)〉, (3)

luego, segun la propiedad reproductiva,

LK(y, z) = K1(z, y) = K1(y, z).

Sea pues R = K − K1. Sea n ∈ N y tomemos ξi, ..., ξn numeros complejos y yi, ..., ynelementos en E. Segun la ecuacion (??) y la propiedad reproductiva de K tenemos que

n∑i,j=1

ξiξjR(yi, yj) =n∑

i,j=1

ξiξj[K(yi, yj)−K1(yi, yj)]

=n∑

i,j=1

ξiξj[K(yi, yj)− LK(yi, yj)]

=n∑

i,j=1

ξiξj〈K(·, yj)− LK(·, yj), K(·, yi)〉

=n∑

i,j=1

ξiξj〈L′K(·, yj), K(·, yi)〉

= 〈L′f, f〉≥ 0,

donde f(·) =∑n

i=1 ξiK(·, i). Luego, R es una matriz positiva.

Mas aun, tenemos el resultado recıproco al ultimo teorema.

Teorema 9. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F y L : F → F es un operador linealsimetrico y positivo, entonces existe una clase F1 de funciones con nucleo reproductivo talque F1 ⊂ F .

19

Demostracion. Definimos K1(x, y) = LK(x, y) = 〈LK(·, y), K(·, x)〉, para todo x, y ∈ E.Entonces resulta sencillo probar que K1 es tambien una matriz positiva (a partir de que Les un operador positivo), de forma analoga a la demostracion del ultimo corolario. Ahorabien, es claro que la clase F1 = H(K1) (cuyo nucleo es K1) es un subconjunto de F , a partirde que K1(·, y) = LK(·, y) ∈ F , para toda y ∈ E.

El recıproco del Teorema ?? tambien es verdadero. Antes de enunciarlo probaremos otrosresultados utiles.

Lema 3. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F con norma ‖ · ‖, y si la clase linealF1 ⊂ F forma un espacio de Hilbert (o tan solo un subespacio lineal cerrado) con norma‖ · ‖1, tal que ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, entonces existe K1 n.r. de F1

Demostracion. La existencia de un nucleo para F implica que para toda y ∈ E existenconstantes positivas My tales que |f(y)| ≤ My‖f‖ para toda f ∈ F . En particular, paraf1 ∈ F1 ⊂ F , y y ∈ E1,

|f1(y)| ≤My‖f1‖ ≤My‖f1‖1

lo cual implica la existencia de un nucleo K1 de F1.

Consideremos ahora el operador I − L, donde I el operador identidad y L el operadordominante. Este operador hereda las propiedades de L. Por tanto existe un operador raızcuadrada L′ para este operador simetrico y acotado tal que

L′2

= I − L

Definimos F2 como la clase de todas las funciones f2 = L′f para f ∈ F . Denotamos F0 elsubespacio cerrado de F transformado por L′ en 0, y por F ′ el espacio complementario (estoes F = F ′ ⊕ F0). Tenemos que f ∈ F0, si y solo si f = Lf . En efecto, una funcion f0 ∈ F0

si y solo si L′f = 0, o tambien L′2f = 0, es decir f − Lf = 0, lo cual es equivalente a queLf = f . Ademas, si L′2f = 0, entonces se sigue que 〈L′2f, f〉 = 〈L′f, L′f〉 = ‖L′f‖2 = 0.

Lema 4. El operador L′ transforma F ′ uno-a-uno sobre F2. Ademas F2 ⊂ F1.

Demostracion. Si f ′ y g′ pertenecen a F ′ y son tales que L′f ′ = L′g′, entonces L′(f ′−g′) =0, lo cual significa que f ′−g′ pertenece a F0. Pero en realidad f ′−g′ pertenece a F ′, y comoF ′ y F0 son complementarios, f ′ − g′ = 0, es decir, f ′ = g′.

Por otro lado, para f0 ∈ F0, se verifica

〈f0, L′f〉 = 〈L′f0, f〉 = 〈0, f〉 = 0,

entonces L′f ′ pertenece a F ′. Consecuentemente F2 ⊂ F ′.

Ahora consideremos el operador proyeccion P ′ de F sobre F ′.

Lema 5. Si para f y g en F , se tiene que L′f = L′g entonces P ′f = P ′g.

20

Demostracion. Si para f, g ∈ F , L′f = L′g entonces f − Lf = g − Lg, de dondef − g = Lf −Lg = L(f − g), esto significa que f − g esta en F0 (o de manera equivalente, fy g difieren por una funcion perteneciente a F0). Por ello, tienen la misma proyeccion sobreF ′.

Lema 6. La expresion ‖f2‖2 = ‖P ′f ′1‖ para f2 = L′f ′, donde ‖ · ‖ es la norma de la claseF , define una norma sobre la clase F2. Con esta norma F2 es un espacio de Hilbert.

Lema 7. La matriz K2 = K − K1 es positiva, pues la clase F2 admite a K2 como nucleoreproductivo.

Demostracion. En primer lugar, L transforma K(·, z) en K1(·, z), para toda z ∈ E. Enefecto, dado que Lf ∈ F1, entonces, para toda y ∈ E,

Lf(y) = 〈(Lf)(·), K1(·, y)〉1= 〈K1(·, y), (Lf)(·)〉1= 〈K1(·, y), f(·)〉1= 〈f(·), K1(·, y)〉.

Por lo tanto, para toda z ∈ E,

LK(y, z) = 〈K(·, z), K1(·, y)〉= K1(z, y)

= K1(y, z).

Se sigue entonces que

L′L′K(y, z) = L′2K(y, z) = K(y, z)−K1(y, z),

por tanto K2(·, z) = K(·, z)−K1(·, z) ∈ F2, para toda z ∈ E.Ahora bien, sea f2 ∈ F2 (f2 = L′f) y y ∈ E, se tiene,

f2(y) = 〈f2(·), K(·, y)〉= 〈(L′f)(·), K(·, y)〉= 〈f(·), L′K(·, y)〉= 〈P ′f(·), P ′L′K(·, y)〉= 〈L′f, L′L′K(·, y)〉2= 〈f2(·), K2(·, y)〉2.

Por tanto K2 es el nucleo reproductivo de la clase F2. Se sigue que K2 es una matriz positiva.

Finalmente, exponemos el resultado principal.

21

Teorema 10. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F con norma ‖ · ‖, y si la claselineal F1 ⊂ F es un espacio de Hilbert con norma ‖ · ‖1, tal que ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1,entonces la clase F1 posee un nucleo reproductivo K1 el cual satisface satisface K1 ≤ K.

Demostracion. El Lema ?? demuestra que F1 posee el nucleo reproductivo K1. Sabemosque la matriz K −K1 es positiva (segun el Lema ??), entonces K1 ≤ K.

Si f2 = L′f , f ∈ F , entonces considerando la descomposicion ortogonal f = f ′ + f0,tenemos que f2 = L′f = L′f ′, por consiguiente las proyecciones P ′f ′ y P ′f sobre F ′ soniguales, y dado que f ′ ∈ F , se sigue que f ′ = P ′f = P ′f ′, de ahı que la norma en F2 puedeescribirse tambien como

‖f2‖2 = ‖P ′f‖ = ‖f ′‖,

para f2 ∈ F2 y f ′ ∈ F ′ tal que f2 = L′f ′. El teorema siguiente se sigue del anterior resultado.

Teorema 11. Sea K el n.r. de la clase F . A toda descomposicion K = K1 + K2 en dosmatrices positivas K1 y K2, corresponde una descomposicion del operador identidad I en Fen dos operadores positivos L1 y L2, I = L1 + L2, dados por

L1f(y) = 〈f(·), K1(·, y)〉, L2f(y) = 〈f(·), K2(·, y)〉,

tal que si L1/21 y L

1/22 denota cualquier raız cuadrada simetrica cuadrada de L1 y L2, las clase

F1 y F2 de todas las transformaciones L1/21 f y L

1/22 f respectivamente, f ∈ F , corresponde a

los nucleos K1 y K2. Si Fi0, i = 1, 2 es la clase de todas las funciones f ∈ F con Lif = 0,y si F ′′i = F Fi0, entonces L

1/2i establece una correspondencia uno-a-uno entre F ′′i y Fi, y

la norma ‖ · ‖i en Fi esta dada por ‖L1/2i f‖i = ‖f‖ para toda f ∈ F ′′i .

Inversamente, a cada descomposicion I = L1+L2 en dos operadores positivos correspondela clase Fi con normas ‖ · ‖i definidas de la manera anterior. La correspondencia de n.r.’sKi esta definida por Ki(·, y) = LiK(·, y) y satisface la ecuacion K = K1 +K2.

♠ Corolario importante para la Teorıa de las probabilidades

Sea K y R dos matrices tales que H(K) ⊂ H(R). Entonces

i) ‖g‖R ≤ ‖g‖K, ∀ g ∈ H(K),

ii) Existe un unico operador L : H(R) → H(K), lineal, positivo, simetrico y acotado(continuo), tal que

〈f, g〉R = 〈Lf, g〉K , ∀ f ∈ H(R) ∀ g ∈ H(K).

En particularLRt = Kt ∀ t ∈ T.

22

♠ Elementos de probabilidad y espacios de Hilbert

Definicion 2. Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y (Ω′,F ′) un espacio de medida.Una funcion ξ : Ω→ Ω′ es un elemento aleatorio en (Ω′,F ′) sobre (Ω,F ,P) si

ξ−1(A) ∈ F ,

para todo A ∈ F ′.En particular, cuando Ω′ = R y F ′ = B(R), σ-algebra de Borel en R, entonces todo ele-

mento aleatorio ξ : Ω→ R es mejor llamado variable aleatoria, reservandose la notacioncon letras mayusculas: X, Y, Z, etc.

Si ademas T es un subconjunto no vacıo, entonces un proceso estocastico es unasucesion de variables aleatorias indexadas a T , esto es, la familia Xt : t ∈ T donde Xt esvariable aleatoria, para todo t ∈ T . Aquı, cuando no se presta a confuion usamos la notacionX = Xt : t ∈ T.

Si X es un proceso estocastico, y ω ∈ Ω, entonces la funcion X·(ω) : T → R es llamadatrayectoria del proceso X en ω.

Definicion 3. Sea T un subconjunto y supongamos que H es un espacio de Hilbert defunciones h : T → R. Sea H la clase de funciones reales definidas en H. La σ-algebragenerada por la familia que reune los subconjuntos en H de la forma C(F,B) := h ∈ H :F (h) ∈ B, F ∈ H y B ∈ B(R), es conocida como σ-algebra cilındrica sobre H y denotadapor C(H).

Proposicion 2. Toda funcion F ∈ H es medible respecto a C(H).

Proposicion 3. Si ξ : Ω→ H es una funcion, entonces ξ es un elemento aleatorio si y solosi F ξ : Ω→ R es variable aleatoria para toda funcion F : H → R.

Demostracion. Basta notar que F−1(B) = C(F,B) y que (F ξ)−1(B) = ξ−1(F−1(B)),para B ∈ B(R).

Corolario 2. Sea ξ : Ω → H una funcion. Entonces ξ es elemento aleatorio sobre H si ysolo si Xh := 〈ξ( · ), h〉 : Ω→ R es una variable aleatoria.

Demostracion. Sea h ∈ H. Definimos Fh como Fh(g) = 〈g, h〉. Entonces basta notarque

X−1h (B) = ω ∈ Ω : 〈ξ(ω), h〉 ∈ B = (Fh ξ)−1(B). (4)

Ejemplo 10. Sea D ⊂ Rn un subespacio cerrado (respecto a la metrica y producto puntousual) y sea E = 1, ..., n. Para cado vector x ∈ D podemos considerar una funcionx : E → R (manteniendo la notacion) tal que x(j) = xj (proyeccion j-esima del vectorx), para toda j ∈ E. Si H es la clase que reune todas estas funciones e introducimos elproducto punto habitual en Rn en esta clase, entonces H es un espacio de Hilbert (H puedeser identificado como D mismo). Entonces C(H) ⊂ B(D), donde B(D) = B(Rn) ∩D.

23

En general tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 4. Si H es separable, entonces C(H) ⊆ B(H). (La σ-algebra B(H) esta gen-erada por la topologıa inducida por la metrica completa del espacio de Hilbert H).

Lema 8. Si ξ : Ω → H es un elemento aleatorio sobre C(H), entonces Pξ : C(H) → [0, 1],definida por Pξ(C) := P[ξ−1(C)], para cada C ∈ C(H), es una medida de probabilidad sobreel espacio (H, C(H)), y es conocida como medida de probabilidad inducida por ξ. Eneste caso, (H, C(H), Pξ) es el espacio de probabilidad inducido por ξ.

Ademas si F : H → R es una funcional tal que F−1(B) ∈ C(H) para cada B ∈ B(R),entonces ∫

Ω

F (ξ(ω)) dP =

∫HF (h) dPξ(h),

siempre que alguna de las dos integrales exista.

Definicion 4. Decimos que un elemento aleatorio ξ : Ω → H tiene p-esimo orden, p ∈(0,∞), si ∫

H|〈g, h〉|p dPξ(g) <∞,

para toda h ∈ H.

Observacion 4. Si ξ tiene p-esimo orden, entonces para toda h ∈ H,∫Ω

|〈ξ(ω), h〉|p dP(ω) <∞. (5)

En efecto, si definimos Fh : H → R por Fh(g) = 〈g, h〉, entonces

F−1h (B) = g ∈ H : 〈g, h〉 ∈ B = C(F,B) ∈ C(H),

para cada B ∈ B(R). Luego, (??) se sigue del lema y la definicion anteriores.

Teorema 12. Si ξ es un elemento aleatorio de orden p, y H es un espacio de Banach,entonces el operador Γξ : H∗ → Lp(Ω,F ,P), definido por Γξ(F ) = F ξ para toda F ∈ H∗,es lineal y continuo (Γξ es llamado algunas veces el operador inducido por ξ).

Corolario 3. Si ademas H es de Hilbert, entonces existe un operador Λξ : H → Lp(Ω,F ,P)tal que es lineal y continuo.

Demostracion. Sea Γξ como en el teorema anterior. Como H es de Hilbert entonceses reflexivo, i.e., existe un isomorfismo isometrico i entre H y H∗∗. Definimos entoncesΛξ := Tξ i : H → Lp(Ω,F ,P). Este operador es lineal y acotado (i.e. continuo).

Teorema 13 (Esperanza). Si ξ : Ω ∈ H es un elemento aleatorio de primer orden entoncesexiste un elemento Eξ ∈ H tal que∫

Ω

〈ξ(ω), h〉 dP(Ω) = 〈Eξ, h〉,

para toda h ∈ H.

24

Demostracion. Definimos la funcional

Gξ(h) =

∫Ω

〈ξ(ω), h〉 dP(ω),

para toda h ∈ H. Gξ es lineal. Ahora, observamos que

Gξ(h) =

∫Ω

Γξ(Fh)(ω) dP(ω),

entonces existe M > 0 tal que

|Gξ(h)| ≤ ‖Γξ(Fh)‖1 ≤M‖Fh‖∗ = M‖h‖,

pues Γξ : H → L1(Ω,F ,P) es acotado (continuo). Luego Gξ es acotada y por tanto continua.El resultado se sigue entonces de aplicar el teorema de representacion de Riesz.

Teorema 14. Hipotesis como en el teorema anterior. Si ξ tiene ademas segundo orden,entonces rξ : H×H → R, dada por

rξ(f, g) =

∫H〈h, f〉〈h, g〉 dPξ(h)−

∫H〈h, f〉 dPξ(h)

∫H〈h, g〉 dPξ(h),

define una forma bilineal continua. Y en tal caso existe un unico operador Θ : H → H talque para toda f y g en H,

〈Θf, g〉 = rξ(f, g).

♠ Algunos resultados mas sobre de probabilidad y espacios vectoriales

Definicion 5 (Medida de Radon). Sea X es un espacio topologico de Hausdorff. Una medidade Borel ν : B(X )→ R es una medida de Radon si

ν(B) = supν(K) : K es compacto ,

para cada B ∈ BX .

Teorema 15. Una medida de Borel de probabilidad sobre un espacio metrico completo X esuna medida de Radon, si y solo si existe un subconjunto separable Y ∈ BX tal que ν(Y ) = 1

Teorema 16. Sea H un espacio de Hilbert separable y ν una medida de probabiliad sobreC(H), entonces ν admite una unica extension a una medida de radon sobre B(H).

Definicion 6 (Orden de medida). Sea H es un espacio de Hilbert, p ∈ (0,∞) y ν es unamedida sobre C(H), entonces decimos que ν es de p-esimo orden (debil), si∫

H|〈h, g〉|dν(h) <∞,

para toda g ∈ H.

25

En general, si H es un espacio de Hilbert y ν es una medida de probabilidad se segundoorden sobre C(H), y si definimos

rν(f, g) =

∫H〈h, f〉〈h, g〉 dν(h)−

∫H〈h, f〉 dν(h)

∫H〈h, g〉 dν(h),

entonces rν define una forma bilineal, continua y simetrica. Y mas aun, existe un operadorΦν tal que

〈f,Φνg〉 = rν(f, g)

Φµ es llamado el operador covarianza de la medida ν.

Teorema 17. La clase de los operadores covarianza de las medidas de Radon de segundo or-den sobre un espacio de Hilbert H, es identica a la clase de los operadores lineales, simetricosy positivos O : H → H para los cuales O(H) es separable.

26

♠ Probabilidad y nucleos reproductivos

Ahora consideremos una matriz definida positiva R sobre T . Denotemos simplementecomo C la σ-algebra cilındrica C(H(R)).

Teorema 18. Si X = Xt : t ∈ T es un proceso estocastico cuyas trayectorias X·(ω),ω ∈ Ω, pertenecen a H(R). Entonces ξ : Ω → H(R), tal que ω 7→ ξ(ω) := X·(ω), define unelemento aleatorio en H(R), y ademas Xt(·) = 〈ξ(·), Rt〉 para todo ındice t ∈ T .

Inversamente, un elemento aleatorio en H(R), ξ : Ω → H(R), define un proceso es-tocastico X = Xt : t ∈ T, cuyas trayectorias pertencen a H(R).

Demostracion. Si las trayectorias del proceso X estan en H(R), y definimos ξ(ω) =X·(ω), entonces por la propiedad reproductiva

Xt(ω) = 〈ξ(ω), Rt〉,

para toda ω ∈ Ω y t ∈ T . Ahora, sea h ∈ H(R) de la forma

h =m∑k=1

αkRtk , (6)

con m ∈ N, αk ∈ R, y tk ∈ T , k = 1, ...,m. Luego, la funcion ω 7→ 〈ξ(ω), h〉 es variablealeatoria, dado que

〈ξ(ω), h〉 =m∑k=1

〈ξ(ω), Rtk〉 =m∑k=1

αkXtk(ω),

y el ultimo termino de estas igualdades es variable aleatoria (por ser combinacion lineal finitade variables aleatorias).

En general, si h ∈ H(R), entonces sabemos que existe una sucesion hnn∈N de funcionesen H(R) de la forma (??), tales que hn → h (respecto a la norma ‖ · ‖ inducida en H(R)),luego, por continuidad del producto interior,

limn→∞〈ξ(ω), hn〉 = 〈ξ(ω), h〉,

para toda ω ∈ Ω. Y dado que ω → 〈ξ(ω), hn〉 es variable aleatoria para toda n ∈ N, entoncesω 7→ 〈ξ(ω), h〉 es variable aleatoria. Por tanto ξ define un elemento aleatorio.

El sentido inverso, si ξ : Ω → H(R) es un elemento aleatorio, entonces para todo t ∈ TXt(ω) := 〈ξ(ω), Rt〉 es una variable aleatoria, y segun la propiedad reproductiva X·(ω) =(ξ(ω))(·) ∈ H(R), para todo ω ∈ Ω.

Teorema 19. Sea ξ : Ω→ H(R) un elemento aleatorio y X el proceso estocastico inducidopor ξ. Entonces

i) Si ξ es de perimer orden entonces X es de primer orden (esto es,∫

Ω|Xt|dP <∞, para

toda t ∈ T ), y

EXt : =

∫Ω

Xt(ω) dP(ω)

= 〈Eξ, Rt〉,

27

para cada t ∈ T . Mas aun, la funcion media µ : T → R, µ(t) := EXt, del proceso Xpertenece a H(R) y µ ≡ Eξ.

ii) Si ademas ξ es de segundo orden, entonces X es de segundo orden (esto es∫

Ω|Xt|2dP <

∞, para toda t ∈ T ). Y si Θ es el operador covarianza de ξ y K : T × T → R,K(s, t) := E(Xs − µ(s))(Xt − µ(t)), es la funcion covarianza del proceso X, entonces

K(s, t) = 〈ΘRs, Rt〉,

para todo s ∈ T y t ∈ T . Mas aun, H(K) ⊂ H(R) y Θ es el operador dominante.

Demostracion. i). Sea ξ un elemento aleatorio en H(R) de primer orden, y consideremosel proceso X = Xt : t ∈ T, tal que Xt = 〈ξ, Rt〉. Entoces existe un elemento Eξ ∈ H(R)tal que ∫

Ω

〈ξ(ω), h〉 dP(ω) = 〈Eξ, h〉,

para toda h ∈ H(R). En particular, si h = Rt, tenemos que∫Ω

|Xt(ω)| dP(ω) =

∫Ω

|〈ξ(ω), Rt〉| dP(ω) <∞.

Luego X es un proceso de primer orden.Ademas, para cada t ∈ T ,

µ(t) =

∫Ω

Xt(ω) dP(ω)

=

∫Ω

〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)

= 〈Eξ, Rt〉= (Eξ)(t),

luego µ ≡ Eξ.ii). Si ademas ξ es de segundo orden, entonces, de forma analoga∫

Ω

|Xt(ω)|2 dP(ω) =

∫Ω

|〈ξ(ω), Rt〉|2 dP(ω) <∞,

para toda t ∈ T . Por tanto X es de segundo orden.Ademas, si s, t ∈ T , entonces

K(s, t) =

∫Ω

Xs(ω)Xt(ω) dP(ω)−∫

Ω

Xs(ω) dP(ω)

∫Ω

Xt(ω) dP(ω)

=

∫Ω

〈ξ(ω), Rs〉〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)−∫

Ω

〈ξ(ω), Rs〉 dP(ω)

∫Ω

〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)

= rξ(Rs, Rt)

= 〈ΘRs, Rt〉,

luego, Θ es el operador dominante, y H(K) ⊂ H(R).

28

♠ Mas sobre trayectorias estocasticas y nucleos reproductivos

Teorema 20 (Teorema de Driscoll). Sea X = Xt : t ∈ T un proceso estocastico desegundo orden, cuya funcion media es constante cero (i.e. µ ≡ 0) y cuyas trayectorias estanen H(R). Sea tambien ξ el elemento aleatorio en H(R) definido por X. Si H(K) ⊂ H(R),entonces ξ es de segundo orden, y en tal caso el operador covarianza de ξ es y el operadordominante son iguales.

Demostracion. De nueva cuenta, todos los productos interiores y normas utilizados enla demostracion siguiente seran en H(R), a menos que se indique lo contrario. Denotemospor L el operador dominante de H(R) sobre H(K). Sea h ∈ H(R), y sean f , y g funcionesen H(R) de la forma

f =k∑i=1

αiRti y g =k∑j=1

βjRtj , (7)

donde k ∈ N, tr ∈ T para r = 1, ..., k, y los coeficientes reales αi y βj pueden ser cero.Entonces

〈ξ, f〉 =k∑i=1

αi〈ξ, Rti〉 =k∑i=1

αiXti ,

y de igual modo

〈ξ, g〉 =k∑j=1

βjXtj .

Por tanto

E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = E

[k∑i=1

αiXti

k∑j=1

βjXtj

]

=k∑i=1

k∑j=1

αiβjE[XtiXtj ]

=k∑i=1

k∑j=1

αiβjK(ti, tj),

pero K(ti, ·) = K(·, ti) = Kti ∈ H(R), luego, por la propiedad reproductiva,

K(ti, tj) = 〈Kti , Rtj〉,

de donde

E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 =k∑i=1

k∑j=1

αiβjK(ti, tj)

=

⟨k∑i=1

αtiKti ,k∑j=1

βjRtj ,

⟩

29

pero tenemos que

Lf =k∑i=1

αiLRti

=k∑i=1

αiKti ,

por tanto,

E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 =

⟨k∑i=1

αtiKti ,

k∑j=1

βjRtj ,

⟩= 〈Lf, g〉.

En particular, si f ≡ g, entonces

E〈ξ, f〉2 = 〈Lf, f〉 <∞.

En general, si f ∈ H(R), entonces existe una sucesion fnn∈N de funciones en H(R) dela forma (??) tal que fn → f (respecto a la norma ‖ · ‖ de H(R)). Definimos las variablesaleatorias Yn = 〈ξ, fn〉, para cada n ∈ N, entonces

EY 2n = E〈ξ, fn〉2 = 〈Lfn, fn〉 <∞, (8)

luego Y = Yn : n ∈ N es un proceso de segundo orden. Ademas

EYnYm = 〈Lfn, fm〉,

para toda n, m ∈ N. Luego, por continuidad del operador L y del producto interior,

limn→∞

limm→∞

EYnYm = limm→∞

limn→∞

EYnYm = 〈Lf, f〉,

entonces

limn→∞

limm→∞

E(Yn − Ym)2 = limn→∞

limm→∞

(EY 2n − 2E[YnYm] + EY 2

m)

= 0.

Por lo tanto existe una variable Y de segundo orden tal que Yn → Y en media cuadrada,y por (??), EY 2 = 〈Lf, f〉. Luego existe una subsucesion Ynk

: k ∈ N tal que Ynk→ Y

casi seguramente.Por otra parte, si fn → f (en H(R)), entonces

|Yn(ω)− 〈ξ(ω), f〉| = |〈ξ(ω), fn〉 − 〈ξ(ω), f〉|≤ ‖ξ(ω)‖‖fn − f‖,

para todo ω ∈ Ω. Luegolimn→∞

|Yn(ω)− 〈ξ(ω), f〉| = 0,

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entonces Yn converge puntualmente sobre Ω a 〈ξ, f〉. En particular Ynk= 〈ξ, fnk

〉 → 〈ξ, f〉en Ω. Por tanto Y = 〈ξ, f〉 casi seguramente. Con lo cual

E〈ξ, f〉2 = 〈Lf, f〉 <∞. (9)

Esto prueba que ξ es de segundo orden, y entonces tiene operador covarianza Θ.Ahora bien, si f y g estan en H(R), entonces por la ley del paralelogramo

E[〈ξ, f〉+ 〈ξ, g〉]2 + E[〈ξ, f〉 − 〈ξ, g〉]2 − 2(E〈ξ, f〉2 + E〈ξ, g〉2

)= 0. (10)

Pero segun (??),

E[〈ξ, f〉+ 〈ξ, g〉]2 = E〈ξ, f + g〉2

= 〈L(f + g), f + g〉= 〈Lf, f〉+ 〈Lf, g〉+ 〈Lg, f〉+ 〈Lg, g〉= 2〈Lf, g〉+ 〈Lf, f〉+ 〈Lg, g〉, (11)

y por otro lado,

E[〈ξ, f〉 − 〈ξ, g〉]2 = E〈ξ, g〉2 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉+ E〈ξ, g〉2

= 〈Lf, f〉 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉+ 〈Lg, g〉, (12)

y finalmente−2(E〈ξ, f〉2 + E〈ξ, g〉2

)= −2 (〈Lf, f〉+ 〈Lg, g〉) . (13)

Sumando (??), (??) y (??), y comparando con (??), tenemos que

2〈Lf, g〉 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = 0,

de dondeE〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = 〈Lf, g〉.

En particular,

K(s, t) = EXsXs

= E〈ξ, Rs〉〈ξ, Rt〉= 〈LRs, Rt〉,

pero si Θ es el operador covarianza de ξ,

〈ΘRs, Rt〉 = E〈ξ, Rs〉〈ξ, Rt〉 = 〈LRs, Rt〉

luego Θ ≡ L.

Teorema 21. Supogamos que H(K) ⊂ H(R) y H(K) es sparable. Entonces existe un procesoX de segundo orden con funcion covarianza K cuyas trayectorias estan H(R).

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Demostracion. Si H(K) ⊂ H(R), entonces existe L (operador dominante) continuo,simetrico y positivo de H(R) a H(K). Y como H(K) es separable, entonces el rango de Les tambien separable. Entonces L es el operador covarianza de una probabilidad de Radonde segundo orden µ sobre H(R).

En el nuevo espacio de probabilidad (H(R), CH, µ) consideramos el mapeo identidad ξ.Entonces ξ es un elemento aleatorio en H(R), cuya distribucion Pξ es µ. Luego, ξ es desegundo orden, por tanto existe Eξ ∈ H(R).

Si X es el proceso que define ξ, entonces las trayectorias de X tambien estan en H(R).Luego

E[Xt] = (Eξ)(t),

para toda t ∈ T . Y su covarianza es 〈LRs, Rt〉R. Pero

〈LRs, Rt〉R = 〈Ks, Rt〉R = K(s, t).