Espacios Métricos

Ejercicio 3, lista 1 de espacios metricos

14 de septiembre de 2013

Contraejemplo 1. Consideremos X = R, con d la metrica usual. Tambien, sea f(x, y) =d(x,y)

1+d(x,y) . Si definimos

e(x, y) =

d(x, y) x, y (1,)f(x, y) x, y (, 1]f(1, x) + d(2, y) + 32 x (, 1] y (1,)

es una metrica sobre R. Ademas, si se define d(x, y) = mn{d(x, y), e(x, y)}, d no es unametrica para R.

En efecto, pues si x = 0, y = 1, z = 2 se cumple:

d(x, z) = d(0, 2) = mn {d(0, 2), e(0, 2)} = mn{

2, f(1, 0) + d(2, 2) + 32}

= mn{

2, 12 + 0 +32

}= mn{2, 2} = 2

d(x, y) + d(y, z) = d(0, 1) + d(1, 2) = mn {d(0, 1), e(0, 1)}+ mn {d(1, 2), e(1, 2)}

= mn{

1, 12}

+ mn{

1, f(1, 1) + d(2, 2) + 32}

= 12 + mn{

1, 0 + 0 + 32}

= 12 + mn{

1, 32}

= 12 + 1 =32

As, como 32 < 2, se tiene que d(x, y) + d(y, z) < d(x, z). Por lo tanto d no cumple la

desigualdad del triangulo para 0, 1, 2 R, lo cual implica que d no es metrica para R.

1

Equipo 1. Ejercicio 1.

1. Sea n N y para a = (a1, ..., an), b = (b1, ..., bn) Rn definase:d(a, b) = max{|ai bi| : 1 i n} (metrica uniforme), entonces d es una metricasobre Rn.

Proof. Sean a, b, c Rn, n N, d(a, b) = max{|ai bi| : 1 i n}.

m1) Como |ai bi| 0, ai, bi R 1 i n max{|ai bi| : 1 i n} 0 d(a, b) 0.

m2) |ai bi| = |(1)(bi ai)| = |(1)||(bi ai)| = |(bi ai)| max{|ai bi| : 1 i n} = max{|bi ai| : 1 i n} d(a, b) = d(b, a).

m3) |ai bi| |ai ci|+ |ci bi| se cumple ai, bi, ci R max{|ai bi| : 1 i n} max{|ai ci| : 1 i n}+ max{|ci bi| : 1 i n} d(a, b) d(a, c) + d(c, b).

d es una metrica sobre Rn.

1

Ejercicios de espacios metricos

Equipo 2Corona Moreno Ruth

Garca Ramrez Angel RaulGuillen Zamora Jessica

Osorio Perez Jorge Enrique

Sea p un numero primo. Entonces cada racional x 6= 0 se puede describirde manera unica como:

x =pk rs

donde k, r Z, s N y

1. m.c.d. (p, r) = m.c.d. (p, s) = m.c.d. (s, r) = 1.

Definimos para cada x Q:

|0|p = 0

|x|p = pk para x 6= 0

d : QQ R definida como:

d(x, y) = |x y|p

Demuestre que (Q, d) es un espacio metrico.

Demostracion. m1)Sean a, b Q, por la cerradura de Q tenemos quea b Q, entonces existen k, r Z, s N tal que:

a b = pk rs

as:d(a, b) = |a b|p = pk

1

Como p N,k Z entonces d(a, b) 0. S d(a, b) = |a b|p = 0 = |0|pentonces por la unicidad de las representaciones p-adicas:

a b = 0 a = b

m2)Como b a = (1)(a b) y m.c.d.(r, s) = 1 m.c.d(r, s) = 1entonces:

d(a, b) = |a b|p = pk

d(b, a) = |b a|p = pk

Es decir:d(a, b) = d(b, a)

m3)Sean a, b, c Q, entonces existen: k1, k2, k3, r1, r2, r3 Z, s1, s2, s3 N tales que:

a b = pk1 r1s1

a c = pk2 r2s2

c b = pk3 r3s3

Donde: m.c.d(p, ri) = m.c.d.(p, si) = m.c.d.(ri, si) = 1 para cada i {1, 2, 3}Note que:

pk1 r1s1

= a b = a c + c b = pk2 r2s3 + pk3 r3s2

s2s3

Lo cual es equivalente con:

pk2 r2s3s1 + pk3 r3s2s1 = pk1 r1s2s3Por las propiedades puestas sobre los si, ri sus productos entre ellos no

tienen factores de la forma pn y de lo anterior tenemos que:

p = mn{pk2 , pk3}|pk1

As, p|pk1 pk1 p p pk1 y ademas max{pk2 , pk3} = ppor lo tanto:

d(a, b) = pk1 p = max{pk2 , pk3} = max{d(a, c), d(c, b)} d(a, c)+d(c, b)

Concluimos que (Q, d) es un espacio metrico.

2

8.- Sea la coleccin de funciones reales de [0,1] a [0,1] para , sea

. Entonces es una mtrica sobre .

Demostracin: Sea

Veamos que se cumple )

. Para es equivalente a

es decir , de esta manera

)

Por las propiedades de la norma

As

)

Si se cumple que

, de esta manera .

Es un espacio mtrico.

EQUIPO 3

Antonio Prez Gonzlez.

Jair Ral Snchez Morales.

Uziel Mauricio.

Espacios metricos, equipo 5.

Ejercicio 10.- Sea P (N) el conjunto potencia de N y sea X = P (N). SiA,B X, se define:

d(A,B) =

0 si A = B

1

msi A 6= B

Donde m se define como m = mn {A4B}, verificar que d es una metrica enX.

Demostracion:

Veamos que d efectivamente es una metrica bien definida que cumple conlas propiedades para ser tal, con d : X X R.

Notemos primero que d es una funcion bien definida, pues si A,B X x, y R tal que: d(A,B) = x y d(A,B) = y con x 6= y tenemos que siA = B entonces d(A,B) = 0 lo cual implica que x = 0 = y. En caso de que

A 6= B tenemos que 1x

= mn {A4B} = 1y

lo que lleva a que x = y, asi pues

se ve que d esta bien definida.

Veamos ahora que d es una metrica en X, viendo que cumple las siguientespropiedades:

1. Tenemos que si A = B entonces d(A,B) = 0 y que si A 6= B entoncesd(A,B) =

1

m, con m = mn {A4B}, m N 0 < 1

m 1, de lo cual

se ve que 0 d(A,B) (Propiedad de no negatividad), ademas de ladefinicion de d es claro que d(A,B) = 0 A = B.

2. Dado que A4B = B4A es claro entonces que mn {A4B} = mn {B4A},por lo tanto d(A,B) = d(B,A), cumpliendo asi la propiedad reflexiva.

3. Observemos que la desigualdad del triangulo se cumple tambien, seanA,B,C X y sea m = mn {A4B} m Am Bm (AB)cy si r A tal que r < m = mn {A4B} r (A B) asi tenemos losiguiente:

a) Si r Cc r (A4C) r > n = mn {A4C} n 6 r 0, n0 N t.q. n > n0 : |1n 0| n1 : |( 1n +1m)

1m | n: ||( 1n ,1n +

1m) (0,

1m)|| =

||( 1n ,1n)|| |

1n |+ |

1n | n : ( 1n ,1n +

1m) B((0,

1m), r), ademas, por su forma, (

1n ,

1n +

1m) A

B((0,1

m), r) A 6=

m N : (0, 1m

) A

1

ii) Consideremos la sucesion{

( 1n ,1n +

1n)}nN A.

Como sabemos que lmn1n = 0 y lmn

(1n +

1n

)= 0, y dados que r3 ,

2r3 > 0.

Entonces n0 N t.q. n > n0: | 1n 0| n1:

|(1n +

1n

) 0| < 2r3

Si definimos n = max{n0, n1} se cumple que n > n: ||( 1n ,1n +

1n) (0, 0)|| =

||( 1n ,1n +

1n)|| |

1n |+ |

2n | n : ( 1n ,1n +

1n) B((0, 0), r), ademas, (

1n ,

1n +

1n) A

B((0, 0), r) A 6=

(0, 0) A

iii) Sea n N, y consideremos la sucesion {( 1n ,1n +

1m)}mN A

Como lmm1n +

1m =

1n y r > 0, entonces m

N t.q. m > m :| 1m | = |(

1n +

1m)

1n | < r.

m > m : ||( 1n ,1n +

1m) (

1n ,

1n)|| = ||(0,

1m)|| = |

1m | < r

m > m : ( 1n ,1n +

1m) B((

1n ,

1n), r), ademas, (

1n ,

1n +

1m) A

B((1

n,

1

n), r) A 6=

n N ( 1n,

1

n) A

A0 A

b) Ahora solo resta probar que A A0. Para ello consideremos el conjunto B = X\A0

Sea (u, v) Bi) Si u = 1k , con k N, sea s0 = mn{|v (

1k +

1m)| : m N}. Notemos que 0 < r0

pues (u, v) B.

Ademas, si a N, se cumple que 1a 1

a+1 >1

a+1 1

a+2 .

As, basta considerar s = mn{s0, 1k 1

k+1} para que B((u, v), s) A = .

ii) Si u 6= 0 y u 6= 1k , para todo k N, consideremos s = nf{|u 1n | : n N} y

s > 0. Luego es falso que exista l N tal que u s < 1l < u+ s por como hemosdefinido s. As, se cumple que B((u, v), s) A =

iii) Si u = 0, sea s0 = nf{|v 1m | : m N}.

Ademas, en R, se cumple que la distancia de un punto de la forma (0, k) a larecta con ecuacion y = x + h, donde h, k R : h < k, es exactamente kh

2.

2

De lo anterior se sigue que si definimos s = s02 se cumple que B((u, v), s)A = Por i), ii) y iii) podemos concluir que (u, v) / A, mas aun, (X \A0) (X \A).

A A0

A = A0

2. Afirmamos que XA = X.

Demostracion. Sean r > 0 y (x, y) X. Bastara probar que (X \ A) = X, es decir,B((x, y), r)\{(x, y)} (XA) 6= .

Como se tiene que x < x + r2 y y < y +r2 , por la propiedad de los irracionales en los

reales, x0, y0 R \Q tales que x < x0 < x + r2 y y < y0 < y +r2 , luego |x0 x| 0, la bolacerrada B(x, r) es un conjunto compacto. Demostrar que si K X escerrado y acotado entonces K es compacto. Dar un ejemplo que muestreque no se puede omitir la propiedad de compacidad en X.

8. Dar un ejemplo de un conjunto no acotado cuyo interior sea acotado.

9. Demostrar que si A X entonces diam(A) = diam(A). Demostrar me-diante un ejemplo que en general no es cierto que diam(A) = diam(int(A)),incluso cuando int(A) 6= .

10. Dar un ejemplo de dos subconjuntos no compactos cuya unin e intersec-cin sean conjuntos compactos.

1

Anlisis Matemtico en Espacios MtricosTercer parcialTarea 1

1. Demostrar que si X es un espacio mtrico y {xn}nN es una sucesinconvergente en X tal que xn x. Demostrar que A = {xn : n N} {x}es un conjunto compacto.

2. Sea {xn}nN una sucesin convergente en R tal que xn x y x < y.Demostrar que {n N : y < xn} es un conjunto finito.

3. Sean {xn}nN y {yn}nN sucesiones en X. Demostrar que si xn x yd(xn, yn) 0 entonces yn x.

4. Demostrar que toda sucesin cuyo rango es un conjunto relativamentecompacto admite una subsucesin convergente.

5. Hallar un ejemplo de una sucesin real {xn}nN no convergente tal quekN{xn : n k} = {0}.

6. Dar un ejemplo de un espacio mtrico X y una sucesin {xn}nN en Xque no admite subsucesiones convergentes pero tal que

nf{d(xn, xm) : n,m N} = 0.

7. Supngase que {xn}nN es una sucesin en X y admite una subsucesinque converge a z X. Demostrar que si A = {xn : n N}, entoncesdist(A, z) = 0. Demostrar que el recproco es falso.

8. Supngase que X es un espacio mtrico y D X. Demostrar que D esdenso en X si y slo si para cada x X, existe una sucesin en D queconverge a x.

9. Construir una mtrica en R de tal forma que { 1n}nN converge a x 6= 0

10. Sean X un espacio mtrico, S X y z X. Demostrar que las siguientesproposiciones son equivalentes:

z int(S),Si {xn}n N es sucesin X y xn z entonces existe k N tal que{xn : n k} S,Ningna sucesin en X \ S converge a z.

11. Sea {xn}n N una sucesin real acotada y para cada k N sea Ak ={xn : n k}.

Demostrar que existen lm supxn = nf{supAK : k N} y lm nf xn =sup{nf AK : k N}Demostrar que xn z si y slo si lm nf xn = z = lm supxn.

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Anlisis Matemtico en Espacios Mtricos

Tercer parcial

Tarea 2

1. Demostrar que toda subsucesin de una sucesin de Cauchy es de Cauchy.

2. Demostrar que todo espacio mtrico discreto es completo.

3. Demostrar que una sucesin de Cauchy cuyo rango es finito es una sucesineventualmente constante.

4. Sea S un conjunto denso en el espacio (E, d), tal que toda sucesin deCauchy en S es convergente (no necesariamente en S). Demostrar que(E, d) es completo.

5. Demostrar que si todo conjunto cerrado y acotado de (X, d) es un subes-pacio completo, entonces (X, d) es completo.

6. Demostrar que todo subconjunto de un conjunto magro es magro.

7. Probar que la unin numerable de conjuntos magros es un conjunto magro.

8. Supngase que X es un espacio mtrico, z X y {xn}nN es una suce-sin en X que admite una subsucesin que converge a z. Demostrar quedist(z,A) = 0, donde A = {xn : n N}. Dar un ejemplo que muestre queel recproco no se cumple.

9. Sean {xn}nN y {yn}nN sucesiones de Cauchy en un espacio mtrico X.Demostrar que {d(xn, yn)}nN es una sucesin convergente.

10. Se X un espacio mtrico y sea S X. Demostrar que S es denso en X siy slo si todo punto x R es punto de convergencia de una sucesin en S.

11. Demostrar que si X es el conjunto de sucesiones reales acotadas y

d : X X R

est definida por d({xn}nN, {yn}nN) = sup{|xn yn| : n N}, entonces(X, d) es un espacio mtrico. Ms an, probar que si A es el conjunto desucesiones reales convergentes, entonces A es un conjunto cerrado en X.

1

Tarea 1

December 14, 2013

1. Sean f : A X Y continua en el conjunto A y y Y . un puto cualquiera. Demostrar queB = {x A : f(x) = y} es un conjunto cerrado.

2. Sean A y B conjuntos cerrados, no vacos y ajenos en el espacio X. Demostrar que existen conjuntosabiertos y disjuntos U, V tales que A U y B B. (Sugerencia: Considerar las funciones f(x) =d(x,A), g(x) = d(x,B))

3. Demostrar que si un espacio X es compacto y todos sus puntos son aislados, entonces X es finito yhomeomorfo a un espacio discreto.

4. Sean f : A X Y una funcin continua y A un conjunto conexo. Supongamos que para cada x Aexiste una vecindad S de x tal que f es constante en S A. Demostrar que f es constante en A.

5. Sean f, g : X R funciones continuas. Demostrar que h : X R dada por h(x) = max{f(x), g(x)}es una funcion continua.

6. Demostrar que si f : X Y es continua, D X es denso en X y f es constante en D, entonces f esconstante.

7. Sea f : X Y continua y sobreyectiva. Demostrar que si D es denso en X entonces f [D] es denso enY .

8. Demostrar que si f : X R es continua, no constante y X es conexo. Demostrar que f [X] es nonumerable.

Tarea 2

1. Sea f : R R. Demostrar que f es continua si y slo si para cada r R losconjuntos Ar = {x R : f(x) < r} y Br = {x R : f(x) > r} son abiertos.

2. Demostrar que si f : R R es una funcin peridica entonces es uniforme-mente continua.

3. Si A es un conjunto compacto de un espacio mtrico X , demostrar que existena, b A tales que diam(A) = d(a, b)

4. Demostrar que si f : A X Y es una funcin uniformemente continua, Aes precompacto y Y es completo, entonces f [A] es relativamente compacto.

5. Demostrar que f : X Y es una funcin uniformemente continua si y slo sipara cualesquiera conjuntos no vacos A y B en X , se cumple: d(A,B) = 0 si yslo si d(f [A], f [B]) = 0.

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