Esta Di Stica

46
ESTADISTICA GENERAL Apuntes Elaborados por: Arturo Rubio Donet

Transcript of Esta Di Stica

Page 1: Esta Di Stica

ESTADISTICA GENERAL

Apuntes

Elaborados por: Arturo Rubio Donet

Page 2: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 2

INTRODUCCIÓN ��� �������������� ��� ������� ������� ��� � ��� ��� ����������� �� ������� �������� ������������ ����� ����������������������������������� ��������������������� ������������������������� ������������������ ������������� ������������������������� ������������������������������ ��������������������� �� ������ �� ���� �� ���� �� ��� ��������� ��� ������������ ������������ �� ���������������������������

� � �� �� � � �

�� � � � �� � � � �

� �

��� � � � � �

� �

� �� � ���� � � � �

� � � � �

• ����� �������������� � � � • Representativa • ����������� � • �� �� �� � �� � � � • Suficiente • ������� ����� � • � � � � �� � �� �� � �� � � • Confiable • ! ���������"���������� � � � • Oportuna �#�#�� ����������� ��������$� ���������������������������������������� ��������������������������������������������������% ����� ������������������������&��������������������' ����� ���� ������������������ �(�� ���� ���� �� ���� ������ ������������� �� �� ��� ������ ��� &���������� �� ����(��������� ����� ��� ���������� ��� ��� ����� )��������*� ��� ����� �������� ���� ������������������#�+�� ������������������ �"�� ��� ������� ������ ' �� ��� ���� ��� �(����������� �� &������������ ����������������������' �������������������������� ���������������������������������� ��������������������� ��� ��� �������� ��� ,����� ���� ������� �� ������������ ������ ����� ��� ����������� ������ ��������������������� �������������������������� �� ���������������������! �� �� ������������������������������ ������������������������� ��������������� ��������,�����������!� �"# �$��"�� �����"�� #%���"�����������- ���)��������������*���� ������������������' ������� ����������������' ����������� ���������� �� ��� ���� �� ������ ��� � ��� ��� ������ ,����� ���������� �� ������� � ������ ����������������������)��� �������������������������������*���+�#�� �"# �$���������������- ������������ ��������������������������� ����������������� ���� ������������.�� �� � ��� ���� ������ ���� �-� ����� ��� ��������� ��� ,������� ��� �� �� / ����������������������� ��� �&������ ��� ���-��� �(�������� �� ��� �� ���� ��� $�-� ������ 0 ������� ����������������� ���' ���&�������������%����������+111���+�+� �"# �$����������$�- ��� ������� ��� ��� ����� ����� �� ��� ������� ����������� �� �� ����� ������� �� �� ��� ������������-� ���������������������������������� ������������������������������ ����������&� � '���������� �� ���- ������ �������������������(������������������������-������� ������' ������ ������� ������������� ���� ��������������� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ' �� �� ������� ��� ������� �������������������� ���������������������������������������������������

Page 3: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística Arturo Rubio 3

2�#�� � '������� "���"#�# �����$���������� �� � � ���- ��� ��� ������������� ���&����� ��& ����� �' ������ ���������� ��������������������' ��� ��������������������������� �����������������&�������2�+� � '��������"#�# �����$� ������ �� ���� ������������� ����������� �� ������� ' �� ,�� ����� ���&����� ��& ����� ���������� ���������������� ����� ���� �� ����� ����� ��� ��� ��������� ��� ���&�� ��������������������� )� ���� ���� �& ��*� ����� ������ ��� ���� �� �� ������ ��� ��� ������� ���� ������ ���� ������� ��� ��� ������ ��� ���&����� ��� ��� ��������� ���������� �������� ���� ���������������������' ������,����������&���������� ������������������������� ���������������� ������������������������������������������ ����� ����������������������������� ���������� ���� ���� ������ ' �� ��� ������ ��� ������ ��� ����������������� ��� ������ ������� ���� �����������,��,��' �����������������������������������������' ������� ������ �� ������������� ������������� ��������(� � ��������� �) ������������� ����' ������� ������������������-��������������� �������(�������� ���� �����' �������������� �������-� �����3 ����������� ������������������,��������������� ��������� ���������������� �������� �������� 4,����4�� �� ����� �� ��� ���� ,������� ��� ��� �� ����� ��� ��������� ��� ��& ��������� ������• 5% �������,���������������,������• 5% �������� ������������,�������• 0 �������������������������� �������� ������6 �����• "&������������������� ������6 �����• 0 �����������������&�����������-��)3 ��7#8�5��7�1*�• 0 ��������������������� �����)3 ��7#8�5��7�1*�� ����������������� ������������������������5�,��������������� ��������� �������� ������������������������& �������9 �����): ����*�)���*�

5 ����,�����������

; ��

5 ����� ��������

< ��

$���������6 ����

= ��

"&��������6 ����

> ��

! &�����> ��-��? ��

3 �������� ���� �����

��#� @@� #+� +11� #A111� #� #�+� 21� B� +@1� #C111� 1� #�2� +1� C� #11� D111� 1� 1������ � � � � � ������ � � � � � �5� C1� +1� 21E� +@111� 1� #�

*� � ���# �����������������������������������' ������� ����- ��������&��������� ��������� �����' ��������������������� �����������������$��������������� ������������������������������� ������������������' ����������������&������@�#�� ���# ��� '� �������3 �� �' ������ ���������� ' �� �(������ ����&������ �� ����� ���� �� ' �� ���� ����� � � ������ ������� ���������� ������������ ��� �������������������������� ���������� � � �� � +�� ��3 ������������������������� ������ ����� �����������' ���������������

���� ���������������� �������-� �����3 �(������������8�5����������������������������

� �� �� � +�� ��3 ����������������������� ������ �������������� �����-� �����F ��������

�� �����������������������F �������������������������������������������������������������

Page 4: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 4

�@�+�� ���# ��� '����������$� ������� �' ������ ��������� ' �� ��� � ���� ���� �(����������� ��� �� ������ ���� ' ������������������������������������������������������G ������������������$��� ���@�+�#�� ���# ��� '���������� �������3 ������������' ���� ����������' ������(��������% ��������������-� �����• 5% �������,������������• 5% �������� ���������• 0 �������������������������� �������� ������6 �����3 ����������' ��������������������� ������ ��������������������������@�+�+�� ���# ��� '���������� "���'���3 ���' ����������������' ��� ����������������(���������% ������������������������������������������������-� �����• "&������������������� ������6 �����• $����������������������������,�����• / ������&��������������������������������������� �,���������� ������6 �����

,� � #�����$�-�

��� ������������� ����' ���� ����������������� ����������� �����������������H��� ��

.� ���)/ ���"-�

������������������ ������������������������������� ����������������������������' �����

�������� ����������������������������� ���� ��������� ��� ��������� �������

�=

=N

iiX

n 1

1µ �

G ������; �������������������������������5��������� �������������������

�-� �����• 5 �������,�������������� �����������,��������������� ��������� ���• 5% �������� ����������� ������������,��������������� ��������� ����• ��� ���������������������������������,������������ ��� �������� ������6 �����• "&��������� ������������,��������������� ��������� ������� ������6 ������0� ��������"-��

��� ��� ��������� ��� ������ ��� ���������� ��� ���� ����� �������� ����� ��� �� ������

����������������� ������������������������������������ �������' ������ ��������� ������

�=

=n

iiX

nx

1

1�

G ������; ���������������������������������������� ���������� �������

�-� �����3 �����&�� �� �������������,��������(�������������� ��������� ��

• 5 �������,�������������� ���������� ���������,��������• 5% �������� ����������� ���������� ���������,���������• ��� ������������������������������ ���������,��������• "&��������� ������������,����������&���������� �������

Page 5: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística Arturo Rubio 5

���� �1 � � �2 � �� � �3 ����� �� � � �� � �� ��� � � � � -�� �# ���������"�/ �$�������������$� �����������% ��������������������������� �����������������' ����������%���������� ��� ��������� �� ����������� �������� �� ������������ ��� ��� ������� ��� ���� ' �� ������������ � � ���������� ������������� ����� ��� �� �� ��� ����������� �������������� ���� �������� ������� ����������������������������� ���� ��������������������������' �������� ������������ ��� ��������� ���� ���������������� ' �� � ���� � ����� � � ��-������ ������"��� ����������� �� ���&��������� ��������������� �������������������������& ��������� � 4/ ��"����'���"����� �����&������������������' ����� ������������� ��������������������������������&����������� ����������� ����� ����!� � ��' "��$���������� �� �� ����������� ��� ���� ��� ��� ���� ����� ������������ ' �� �������� ��

&�����������������������������������������& �����I 9 ���G J 5G ���$J / J �< �$9 ! 5G J �• 5 '6��� � K�I ������ ���������������� �����L�• � $������ K�! ������������������������ �������� �����L�• $/ "��� � K�$� �����������&�������������������������� �����L�• ')��"��K�! �' ���������������� ��������������������� �����L��&� ���#�7�/ ���"���������������������� ������������������������������������ ���' ������������� ������������ �������(� '���"��� �'���"��$� ����������������� ���������������� ���������� ������*� � "��������6�"� �/ ������! ���� ���� ������������ ������ ��� ����� ��&����� �������� ���� ������� 0 � ���� ��������� ���� ���������� ���������' ����������' ���������� ���������������(�������������������,� �'������3 ����������������� ��������������� ������������������&����������������,���� �������������������� �������.� � �#"��$���

3 �� ������� ��� � ���� ��� ��� ����� ����������� ��� ��� ��� ������ �� ����������� ����

��� ������������ ������������������

�0� ��8���

�&������ ��� ���,�� �� ' �� ��� �������� ��� � ����� ����� ��-��� ��������� ���� ������ �� ������

��� ������������������������

Page 6: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 6

��-� �����3 �&%����� ���������� ����������J ���������! � ���������,�����$J 5MJ 0 ������� ������M����������+11C����,������������������� ��������(���-�������& �������

0 ������ 5����������� 3 �(��

#� ! �&������)N*� / ��� ����

+� ! �&������)N*� / ��� ����

2� ! �&����� / ��� ����

A� ! �&����� M� ����

@� ! �&����� M� ����

C� ! �&����� M� ����

D� O�������� / ��� ����

B� O�������� / ��� ����

E� O�������� M� ����

#1� $,����� / ��� ����

##� $,����� M� ����

)N*����������������������� �������������

� �#"���'�����# ��������' ���"��9'��"��" ��� ����"�/ �$������������������#����������"��"����'����"�� ��� �������� �/ �$���� �8"�� � � � �� �� �

�59 / � J � $ �����5��1#�����������������������0 "0 9 �J �KI �L� � � 5 �������� ��������(���-�����' ��� ���������������KG ���L�� �����,�����$J 5MJ 0 ��������������K$� �L�� � ��&%������������������(����)#*�K$ ���L�)����������M�������+11C*����

3 �(��5 �������0 �������

�(���-����� / ��� ���� M� ����

5�����������

5 ����

)��*�

P�

),�*�

5 ����

)��*�

P�

),�*�

5 ����

)��*�

P�

),�*�

! �&�����)+*� C� @A�@� 2� @1�1� 2� C1�1�

O�������� 2� +D�2� +� 22�2� #� +1�1�

$,����� +� #B�+� #� #C�D� #� +1�1�

0 �����F ������ ##� #11�1� C� #11�1� @� #11�1��5J 0 ! 3 �G ���"�� � � )#*�$����������� ��������&������������1#�12�+11C�

)+*�$� ���������� ������������������������������������M9 �50�������� � � � � � � J ���������! � ���������,�����$J 5MJ 0 � �3 �J 53 ! O��� �� � � � ���������������! ����������$�� �������3 �! ��M�$: ! �� � � � ������ � � � 1#�12�+11C���

Page 7: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística Arturo Rubio 7

ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS �

���������������������������������������������������������� ������������� ��������������

������������ ���������� �����&������������������������������&��������� ����� �������

��� ��� ����� ��� &�������� ������������� �� �� ����������� �� ��� ����(��� ��� ���� ����� ��� ���

���� ������ �� ��� ��� �� ����� ����� ��� ��������� ' �� � � �� &������� ��� �� ��

�(������ �,�� ���' ������������� ������������ �������������������������������������

��� � �:��7�$������ ���# ��� '� ��������$� ��������������������&�������������������� ������������.������� ����' �������&��������������� ������������������������-� ��������% �������� �������' ����&��������� ��&����������������� ������������� �������/ J G � 5! �� ��������������� ��������������������������&%�� �����������������������������������& �������5% �������� �������' ����&��������� ��&������������ ����/ J G � 5! �� �������� ������

�������&%�������������

�� � �� � � +�� � � �

59 / � J �G ��0 9 "3 0 ! 3 �

)�*�

M �$9 �5$"! � ��! 0 "> ! �

)8*�� �:������ +1� 1�A1�;" ����� #1� 1�+1�;��� �<�� @� 1�#1�� ���7" ���� #@� 1�21�0 J 0 ! �� @1� #�11�

�M �����J �������������������������/ ��������$������������������ ������������������ �� ������ �� ��������� ��������������������� ����� ���� �������������������������� ������������������������������������ ������������ �� ���� ���� % ���� ��� � ������� ' �� ������� ��� �� ����� ���� ������ ����������� ' �� ����� ����� ��������2C1�&���������9 ��������� �&�������������� �������������������&������������������� ��������������������

������ &�������� � ���� ���� �-������� ��� �� ����� ��� ��� � �&������ �� ����������� ���

�����������' ������������ ��������� �������' ������

10%

20%

30%

40%

B ras ileñ a

B olivian a

V en ezolan a

A rg en tin a

Page 8: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 8

!� � �:��7�$������ ���# ���� ��������

$� ������ ��������������� ��� ���������� ' �� ����� �� �� �������� �������� ���� ������ ����

������� ����������� ��� ������ ����� �������� � �� �������� ��������� �����-� �������� ,�����

Q�! 5! / J 50�R�� ���������%��� ���@1���������% ���������������' ���������� ����

{�D��+��A��2��C��2��2��2��A��B��D��2��D��A��C��+��@��+��2��D��C��+��C��A��C��A��C��B��+��D��@��2��@��@��@��@��A��@��@��B��+��A��@��@��A��@��2��A��C���B�} ��

����� ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ���� �������� � � �� ����� ����� ���� ����� ���

� �������� ������� ��� ��� ����� �� ������� ��� ���� ����� ' �� ��������� ��� ���� ����� ��

% ���������� ��������� �����������% ���������������)��������-���*��

0 ����� ��� ���� ����� �������������� ��� % ���� ��� �������� ��������� ���� ��� ,�����

Q�! 5! / J 50�R�� ���������%��� ���@1�������

M��� �����! � �����5% �������

$�������

= �

M��� �����

! ���� ���

��

M��� �����

��������

8� ! ���� ���

�� ��������

> �

!� C� 1�#+� C� 1�#+�

&� B� 1�#C� #A� 1�+B�

(� E� 1�#B� +2� 1�AC�

*� ##� 1�++� 2A� 1�CB�

,� D� 1�#A� A#� 1�B+�

.� @� 1�#1� AC� 1�E+�

0� A� 1�1B� @1� #�11�

0 J 0 ! �� @1� #�11� � �

���&�������' ��������������������������������� ����������� ���� > ��":��/ �-��

> ��":��/ ��������'������#�" '����� �> ��":��/ �����'������#�" '�����'/ ' �����

0

2

4

6

8

10

12

2 3 4 5 6 7 8

Xi

fi

0

10

20

30

40

50

2 3 4 5 6 7 8

X i

Fi

Page 9: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística Arturo Rubio 9

&� � �:��7�$������ ���# ��� "���'���

$� ������ ��������������� ��� ������� ��� �������� ' �� �� �� �������� ��� ���� ������ ����

������ ���� ������� ��� �������� ��� �������� ��� �� ����� ��� �������� ��������� ' �� ������

������������������������������' ���� ��������� �����' ��������������������

�-� ����� ��� ,����� Q�! 5! / J 50�R� � ����� ���� %��� ��� 2+� ����� ��� ������ ��� ���� �� ����� ��

������������������������������������������������ ������

@�+� #1�+� D�1� D�#� #1�+� B�2� E�A� E�+� C�@� D�#� C�C� D�B� C�B� D�+� B�A� E�C�

B�@� @�D� C�A� #1�#� B�+� E�1� D�B� B�+� @�2� C�+� E�#� B�C� D�1� D�D� B�2� D�@�

����� ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ������ �������� � � �� ����� ����� ���� ����� ���

� ��������������������� ������� ��������������� �����' ������������������ �������

% ���������� ��������� �����������% ���������������)�������-��*��

�������&������ ��������������� �����������������& ������������� �������& ������

• � �:��'���4/ ��"���������� "����� �����?@A���

� ���� �������������&���Sturges�� � ����k = 1+3.3 Log [ n ]��� � G �����

� � S�7�5% �����������������

� � �7�5% �������������

� � ������-� ������ � S�7�#T2�2���&U2+V�7�#T2�2)#�@1@*7@�ECD�7�! ���(��C�����������

• � ����/ ����� �� �/ �<"��� �������� "���� ����)c*���7�! �.�S��

� ��! 7�! ���� ���������������7�)J ����������/ �(� ��H�J ����������/ �� �*�7#1�+H@�+7@�1�

� � S��7��C�

���������������c7�@�1�.�C��7�1�B222�7�! ���(� ��� ����7�1�E�

• ��� 7��� �� ����$��B�� �"���"�������"��������� ����"����'�����

���� "���������$����� $����������������������������� M��� �����

�� *�!���/ ��"�����,��� �@�+��@�D��@�2� 2�

!� ,�����/ ��"�����.�C� �C�@��C�C��C�B��C�A��C�+� @�

&� .�C���/ ��"�����.�D� �D�1��D�#��D�#��D�B��D�+��D�B��D�1��D�D��D�@� E�

(� .�D���/ ��"������0�0� �B�2���B�A��B�@��B�+��B�+��B�C��B�2� D�

*� 0�0���/ ��"������D�.� �E�A���E�+��E�C��E�1��E�#� @�

,� D�.��������C�,� �#1�+�#1�+�#1�#� 2�

� 0 J 0 ! �� � 2+�

Page 10: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 10

• "����'�� ��� �# ��������'�����

"��������

G ��$�����

)���� �����1 ���"*�

/ ��������

$�����

= �

M��� �����

! ���� ���

��

M��� �����

��������

8�

M����! � ��

! ���� ���

��

M�����! � ��

��������

> �

*�!���/ ��"�����,��� *�,*� 2� 1�1EA� 2� 1�1EA�

,�����/ ��"�����.�C� ,�**� @� 1�#@C� B� 1�+@1�

.�C���/ ��"�����.�D� .�(*� E� 1�+B#� #D� 1�@2#�

.�D���/ ��"�����0�0� 0�&*� D� 1�+#E� +A� 1�D@1�

0�0���/ ��"�����D�.� D�!*� @� 1�#@C� +E� 1�E1C�

D�.������C�,� �C��*� 2� 1�1EA� 2+� #�111�

0 J 0 ! �� � 2+� #�111� � �

• "����'��� �> ��":��/ ��B�� ��" �:"�"�������'������

/ ��������$������ � � � � � � � �2

sii

LSLIX

+= �

3 �����������' ��� � � � � � � � � cXX ii +=+1 �

F �����0 ���������� ������ =+++++= 9.251)15.10(3)25.9(5)35.8(7)45.7(9)55.6(5)65.5(3ii Xf �

F �����0 ���������������� 2.25032

1

=�=i

iX �

Histrograma y Polígono de Frecuencias

0

0,094

0,156

0,281

0,219

0,156

0,094

00,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

4,75 5,65 6,55 7,45 8,35 9,25 10,15 11,05

Intervalo de Clase

Frec

uenc

ia R

elat

iva

Page 11: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística Arturo Rubio 11

• $���� ��� ��������������� ������Q/ ����' �R��

1 ���"�� ��"� M��� �����! � ����� M��� ����� ��������

� ��"�����*�!� 1� 1�111�

� ��"�����,��� 2� 1�1EA�

� ��"�����.�C� B� 1�+@1�

� ��"�����.�D� #D� 1�@2#�

� ��"�����0�0� +A� 1�D@1�

� ��"�����D�.� +E� 1�E1C�

� ��"������C�,� 2+� #�111�

• $���� ��� ��������������� ������QJ � ���' �R���

1 ���"�� ��"� M��� �����! � ����� M��� ����� ��������

*�!�$�/ )�� 2+� #�111�

,���$�/ )�� +E� 1�E1C�

.�C�$��/ )�� +A� 1�D@1�

.�D�$�/ )�� #@� 1�ACE�

0�0�$�/ )�� B� 1�+@1�

D�.�$��/ )�� 2� 1�1EA�

�C�,�$�/ )�� 1� 1�111�

Análisis de la distribución de frecuencias • K$ �������������,�����&�����QG ��D�1��� �������D�E������RL��� � � � � � � � ��E������

• K$ �������������,�����&�����Q/ �������D�E������RL�� � � � � � � � � � � � � � � ��#D������

• K$ �������������,�����&�����Q/ �������E�D������RL�� � � � � � � � � � � � � � � ��+E������

• KI ���������-�������������,�����&�����Q/ �������D�E������RL�� � � � � � � ��@2�#P�

• K$ ���������&�����' ���� ���������+@P�������������' �����&����� ���L����D�1�������

• K$ ���������&�����' ���� ���������+@P�������������' �����&����� ��L�� � � ��B�B�������

• KI ���������-�������������,�����&�����Q/ ������D�E������RL� � � � � � � � � � ��AC�EP�

Histrograma y Polígono de Frecuencias Relativas Acumuladas

00,094

0,25

0,531

0,75

0,9061

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

4,75 5,65 6,55 7,45 8,35 9,25 10,15

Intervalo de Clase

Frec

uenc

ia A

cum

ulad

a

Page 12: Esta Di Stica

Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 12

• ���� �������������-����������������' �����,�����&�����Q/ �������E�1������R�� � � �DB�@P�

3 .�E�DHHH�1�E1C�

3 .�E�1�HHH�; �

3 .�B�B�HHH�1�D@�

)E�DHB�B*HHH)1�E1CH1�D@*�

)E�1HB�B*HHH); H1�D@*�

1�E�HHH�1�#@C�

1�+�HHH�); H1�D@*�

; 71�D@�T)1�#@C*)1�+*.1�E�

; 71�D@T1�12@�

; 71�DB@�

� � ���DB�@P����������������,�����&����� �������E�1����������������������������

• ���� ��� ��� ���� ���� &����� ������� �� ����������� ' �� �� ��������� ��� @1P� ��� ����

������&�������������������������,������ ���������2+���������������� �D�B�������

3 .�D�EHHH�1�@2#�

��; ������HHH�1�@1�

3 .�D�1�HHH�1�+@�

)D�EHD�1*HHH)1�@2#H1�+@*�

); HD�1*��HHH)1�@1H1�+@*�

1�E��HHH�1�+B#�

); HD�1*HHH1�+@�

; 7D�1�T)1�E*)1�+@*.1�+B#�

; 7D�1T1�B�

; 7D�B�������

� � ���@1P���������������������������,�����&����� �������D�B����������������������������

• ���� ��� ��� ���� ���� &����� ������� �� ����������� ' �� �� ��������� ��� B@P� ��� ����

������&�������������������������,������ ���������2+���������������� � �E�2B�������

3 .�E�DHHH�1�E1C�

��; ������HHH�1�B@�

3 .�B�B�HHH�1�D@�

)E�DHB�B*HHH)1�E1CH1�B@*�

); HB�B*��HHH)1�B@H1�D@*�

1�EHHH�1�#@C�

); HB�B*HHH1�#1�

; 7B�B�T)1�E*)1�#1*.1�#@C�

; 7B�BT1�@B�

; 7E�2B�������

� � ���B@P���������������������������,�����&����� �������E�2B����������������������������

• $ �������������,�����&�����Q/ �������E�1������R��������������������� � �+@������

3 .�E�DHHH�+E�

3 .�E�1HHH�; �

3 .�B�B�HHH�+A�

)E�DHB�B*HHH)+EH+A*�

)E�1HB�B*��HHH); H+A*�

1�E��HHH�@�

1�+��HHH�); H+A*�

; 7+A�T)1�+*)@*.1�E�

; 7+AT#�##�

; 7+@�������

� � �����,�����+@����������(� ��� �������&����� �������E�1����������������������������

• ����������$��� � "�E�> "%���

$ ���� ��� ��' �������������� ��� ���� ����� ��� ���������������������������������������

���������������������������������������� ���������������&�� ���������,�-���

�-� ����� ���������������������������� �������������������� ���������2+�%��� �����@�+� #1�+� D�1� D�#� #1�+� B�2� E�A� E�+� C�@� D�#� C�C� D�B� C�B� D�+� B�A� E�C�

B�@� @�D� C�A� #1�#� B�+� E�1� D�B� B�+� @�2� C�+� E�#� B�C� D�1� D�D� B�2� D�@�

! ���� �����,�-���C��C �� 0 ����� : �-�� � � 0 ����� : �-��

3 5 2 3 7 � 2 5 2 3 8 6 2 4 5 6 8 � 3 5 7

(9) 7 0 0 1 1 2 5 7 8 8 � 5 6 2 4 15 8 2 2 3 3 4 5 6 � 8 6 5 6 8 8 9 0 1 2 4 6 � 13 7 0 0 1 1 2 3 10 1 2 2 � (4) 7 5 7 8 8 � � � � 15 8 2 2 3 3 4 � � � � 10 8 5 6 � � � � 8 9 0 1 2 4 � � � � 4 9 6 � � � � 3 10 1 2 2

9 ������������� ��� ��������)T#*.+7)2+T#*.+7#C�@�

Page 13: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 1

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un centro de gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados. Estas medidas son: 1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio) 2. Mediana 3. Moda 4. Promedio Geométrico 5. Promedio Ponderado 6. Promedio Total 7. Media Armónica Otras medidas de posición son: Cuartiles, Deciles y Percentiles B. MEDIDAS DE VARIABILIADAD Son estadígrafos de dispersión que permiten evaluar el grado de homogeneidad, dispersión o variabilidad de un conjunto de datos. Estas medidas son: 1. Amplitud o Rango 2. Variancia 3. Desviación Estándar 4. Coeficiente de Variabilidad C. MEDIDAS DE FORMA Evalúa la forma que adopta la distribución de frecuencias respecto al grado de distorsión (inclinación) que registra respecto a valor promedio tomado como centro de gravedad, el grado de apuntamiento (elevamiento) de la distribución de frecuencias. A mayor elevamiento de la distribución de frecuencia significará mayor concentración de los datos en torno al promedio, por tanto, una menor dispersión de los datos. Estas medidas son: 1. Asimetría o Sesgo 2. Curtosis Los Gráficos de Cajas como indicadores de forma

Page 14: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 2

A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. LA MEDIA ARITMETICA

• Para Datos No Agrupados. El promedio aritmético de un conjunto de valores ( x1 x2 x3 ..... xn ) es:

nx....xxx

n

x

=x n

n

i=i ++++

=�

3211

Ejemplo: Durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue: { 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.2, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 } El promedio aritmético del valor de las compras de periódicos es:

82732

22501 ..

n

x

=x

n

i=i

==�

• Para Datos Agrupados.

n

Xf

x

k

i=ii�

= 1

Donde: fi = Frecuencia en la clase k-ésima Xi = Marca de clase en la intervalo k-ésimo Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una tabla de frecuencia:

Intervalo

Xi

fi

hi

Fi

Hi

5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000

0

2

4

6

8

10

5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15

7.87

El promedio aritmético es:

87732

925132

15103259535874579556565531 ..).().().().().().(

n

Xf

x

k

i=ii

==+++++

==�

Durante los 32 días el hotel tuvo un gasto promedio en periódicos de 7.87 soles

Page 15: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 3

2. LA MEDIANA

Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores. • Para Datos No agrupados.

La ubicación de la mediana de n datos ordenados se determina por :2

)1( +n . Ejemplos:

En los 7datos ordenados: {4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 }

La ubicación de la mediana es: 42

1)(7=

+ Luego el valor de la mediana es: Me=6

En los 8 datos ordenados: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9}

La mediana se ubica en el lugar 5.42

1)(8=

+ Luego el valor de la mediana es 5.5

265

=Me =+

• Para Datos Agrupados.

( )i

i-i

i

i-

i hH.c

+Lf

Fn

c +LMe 1

1 5002 −=

��

���

� −=

Donde: Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la Mediana Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene a la mediana Hi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésima hi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la mediana c =Tamaño del intervalo de clase. Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel en una tabla de frecuencia:

Intervalo

Xi

fi

hi

Fi

Hi

5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000

0

2

4

6

8

10

5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15

Me=7.8

La Mediana es: ( )

8.72810

250509.007

9

82

329.0

07 =−=��

���

� −=

...

+. +.Me

El 50% de los días el hotel gastó menos de 7.8 soles en la compra de periódicos 0.50 0.50 7.8

Page 16: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 4

3. LA MODA Es el valor, clase o categoría que ocurre con mayor frecuencia y sus características son:

- Puede no existir o existir más de una moda - Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos - Se utiliza para analizar tanto la información cualitativa como la cuantitativa - Es una medida “inestable” cuando en número de datos es reducido.

• Para Datos No Agrupados. Por ejemplo, durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue: { 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.1, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 }

Moda = Mo = 7.1; Es el valor más frecuente, ocurre 3 veces. • Para Datos Agrupados.

��

++=

21

1

ddd

cLM io

Donde: d1=(fi - fi-1) y d1=(fi - fi+1) fi=Valor de la mayor frecuencia Ejemplo: El gasto diario en periódicos del hotel “AAA” agrupados en una tabla de frecuencia:

Intervalo

Xi

fi

hi

Fi

Hi

5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000

0

2

4

6

8

10

5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15

Mo=7.6

d1= 9-5 = 4 d2= 9-7 = 2 c= 0.9 = Tamaño de Intervalo de Clase La moda estimada utilizando estos datos agrupados es:

67600724

4)9.0(07 .= .+. = .M o �

��

++=

Utilizando las frecuencias relativas, la moda estimada es:

67600706201250

1250)9.0(07 . =.+ . =

...

.M o �

��

++=

7.6 El gasto diario en periódicos más frecuente es 7.6 soles

Page 17: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 5

4. MEDIA GEOMÉTRICA Corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales y estrechamente relacionadas entre sí tales como tasas de: interés, inflación, devaluación, variación, crecimiento, disminución. El promedio geométrico de los valores: (Xi X2 .... Xf ) es:

ttG ... FC FC FC=X 21 ó t

i

fG X

XX = Donde Xf= Valor final y Xi= Valor inicial

Ejemplo: La tasa de interés mensual que se pagó por un préstamo recibido por 3 meses fue cambiando mes a mes; en el primer mes se pagó un interés de 15%, en el segundo mes 10% y en el tercer mes 16%.La tasa de interés promedio mensual que se pagó es:

Mes 1 2 3 Tasa 0.15 0.10 0.16

Factor 1.15 1.10 1.16

136.14674.10)(1.16)(1.15)(1.1=X 33G == (13.6% mensual)

Ejemplo: El Producto Bruto Interno de un país durante los últimos cinco años tuvo la evolución siguiente: Año1: +5%. Año 2: 0% Año3: - 1% Año 4: +2% y Año5: + 4%. La tasa de crecimiento anual promedio del PBI sería:

0197.1.02)(1.04)0)(0.99)(1(1.05)(1.0=X 5G = (1.97% anual)

Ejemplo: Se recibió un préstamo de 1000 soles por 3 meses y al final del período se pagó un total 1467.40 soles; ¿Cuál fue la tasa promedio de interés mensual que se pagó? Mes

0

Mes 1

Mes 2

Mes 3

Saldo 1000 1467.40 136.1

100040.1467

3 ==GX

(13.6%)mensual

5. PROMEDIO PONDERADO Cuando se desea encontrar el promedio de valores (X1 X2 ... Xk ) que ocurren con frecuencias (f1 f2 ... fk ) diferentes se deberán ponderar los valores observados con pesos diferentes:

�=

K

iii XW=x

1

Donde los valores Wi=fi/n se denominan “ponderaciones o pesos” Ejemplo: En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes:

Precio de Venta (soles) Xi

Número de pasajes fi

Ponderación Wi

12 60 0.30 14 100 0.50 16 40 0.20

Total 200 1.00 El precio promedio de venta de los 200 pasajes: 813162001450012300 .)(.)(.)(.=x =++

Page 18: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 6

6. PROMEDIO TOTAL Corresponde al valor promedio representativo de grupos de observaciones separadas o diferentes y que podrían estar consolidadas en tablas de frecuencia independientes, por tanto:

k

kkT nnn

XnXnXnX

+++++

=....

...

21

2211

ni: Número de observaciones en el grupo i-ésimo.

iX : Promedio correspondiente el grupo i-ésimo

Grupo A Grupo B Nota Xi Fi Nota Xi fi 5-10 7.5 4 0-5 2.5 8 10-15 12.5 16 5-10 7.5 10 15-20 17.5 5 10-15 12.5 16 Total 25 15-20 17.5 6

Total 40 Promedio del grupo A: Promedio del grupo B:

7.1225

51755.12165.74 =++= ).()()(xA 10

40)5.17(6512165.7105.28 =+++= ).()()(

xB

Grupo

iX fi

A 12.7 25 B 10.0 40

Promedio

Total

Totla 65

04.1125

0.10407.1225 =+= )()(xT

7. MEDIA ARMÓNICA

El promedio armónico de los valores: (X1 X2 ..... Xn ) donde ninguno toma el valor “cero” es:

n

H

x........

xxx

n=X

1111

321+++

Este promedio se utiliza para que los valores “extremos” no afecten al valor del promedio. Los valores extremos sí afectan cuando se usa el promedio aritmético o el promedio geométrico. Ejemplo: Calcular el rendimiento promedio para el caso de tres automóviles que recorrieron 500 kilómetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente: Auto A B C Rendimiento (Km/galón) 50 62.4 77.6

galón)(CONSTANTEKilómetros

334.610489121.0

3

77.61

62.41

501

3=XH ==

++

Verificación:

Auto Km Rendimiento Total galones A 500 50 10 B 500 62.4 8.0128 C 500 77.6 6.4433

Total 1500 24.4561

334.614561.24

1500 ==HX

Page 19: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 7

PERCENTILES, CUARTILES Y DECILES • Para Datos Agrupados Percentiles: Son 99 valores que dividen a un conjunto de datos en 100 partes iguales

i

i-

ik f

Fkn

c +LP

��

���

� −=

1100

Li = Límite Inferior del intervalo que contiene al Percentil Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior k-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene al Percentil c =Tamaño del intervalo de clase. k = 1%, 2%, 3%, ... , 97%, 98%, 99% Percentiles

Intervalo De Clase

Marca de Clase

Xi

Frecuencia Absoluta

fi

Frecuencia Relativa

hi

Frec.Acum. Absoluta

Fi

Frec. Acum. Relativa

Hi 5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000

Ejemplo: El Percentil 80% de los gastos diarios en periódicos estará en intervalo 5

( )

08895

246259088

10080 180 .

)-.(. .

fFn/c

+LPi

ii% =+=

−= −

El 80% de los datos analizados serán menores a 9.088 y el 20% restante serán superiores Cuartiles: Son 3 valores Q1; Q2 y Q3 que dividen a los datos en 4 partes iguales El Cuartil 3 (Percentil 75%) se ubicará en el cuarto intervalo

( )

8.87

1724909.7

10075 175 =−+=

−= − )(.

f

Fn/c +LP

i

ii%

75% de los datos serán menores a 8.8 y el 25% de los datos restantes serán superiores Deciles: Son 9 valores D1, D2; D3; D4; D5; D6; D7; D8 y D9 que dividen a un conjunto de datos en 10 partes iguales. El Decil 7(Percentil 70%) se ubicará en el cuarto intervalo

( )

594.87

174.22909.7

10070 170 =+=

−= − )-(.

f

Fn/c +LP

i

ii%

70% de los datos serán menores a 8.594 y el 30% restante serán superiores a 8.594. 0.70 8.594

Page 20: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 8

• Para Datos No Agrupados El lugar o posición donde se encuentran los cuartiles para n datos ordenados es:

Cuartel Q1 =P25% Q2 =P50% Q3 =P75% Posición

100)1(25 +n

100

)1(50 +n

100)1(75 +n

Ejemplo: Determine los cuartiles y el decil 8 de los 13 datos ordenados siguientes: 10 11 11 12 12 13 13 13 14 15 17 18 20

Percentil Posición Valor del Cuartel Q1=P25 0.25(13+1)=3.5 Q1=11+(12-11)0.5= 11.5 Q2=P50 0.50(13+1)=7 Q2=13 Q3=P75 0.75(13+1)=10.5 Q3=15+(17-15)0.5=16 D8=P80 0.80(13+1)=11.2 P80=17+(18-17)0.2=17.2

Ejemplo: Para la representación tallo hoja de los gastos en periódicos del hotel:

Tallo Hojas 3 5 2 3 7 8 6 2 4 5 6 8

(9) 7 0 0 1 1 2 5 7 8 8 15 8 2 2 3 3 4 5 6 8 9 0 1 2 4 6 3 10 1 2 2

Determine los 3 cuartiles correspondientes a los 32 datos ordenados:

Cuartil Posición Valor Q1=P25%

25.8100

)132(25 =+

Q1=6.8+(7.0-6.8)0.25= 6.85

Q2=P50% 5.16

100)132(50 =+

Q2=7.8+(7.8-7.8)0.50= 7.80

Q3=P75% 75.24

100)132(75 =+

Q3=8.6+(9.0-8.6)0.75= 8.90

¿Entre qué valores está el 80% central de los gastos diarios en periódicos?

Percentil Posición Valor P10

3.3100

)132(10 =+

P10%=5.7+(6.2-5.7)0.3=5.85

P90 7.29

100)132(90 =+

P90%=9.6+(10.1-9.6)0.7=9.95

El 80% de los gastos diarios en periódicos está definido entre los 5.85 y 9.95 soles 0.10 0.80 0.10

5.85 9.95

Page 21: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 9

B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD

1. AMPLITUD O RANGO Sean los valores: (x1 x2 x3 ... xn ). La amplitud o rango de estos dato es A=(Xmax-Xmin)

2. VARIANCIA • Para Datos No Agrupados La variancia de los datos de esta muestra (x1 x2 x3 ... xn ):

11

22

2

−=�

=

n

XnX

S

n

ii

Ejemplo: Calcular la variancia de los cuatro datos siguientes (Xi: 3, 4, 6 y 7 )

333.33

1014

)5(476431

54

204

7643

222221

22

2

1

==−

−+++=−

−=

==+++==

=

=

n

XnX

S

n

X

x

n

ii

n

ii

• Para Datos Agrupados La variancia de los valores: (x1 x2 ... xk ) que ocurren con las frecuencias (f1 f2 ... fk ) es:

11

22

2

−=�

=

n

XnXf

S

n

iii

Ejemplo: Los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en la tabla de frecuencia: Los cálculos necesarios para determinar la variancia de los gastos diarios son:

Intervalo Xi fi fiXi fiX²i 5.2 - 6.1 5.65 3 16.95 95.7675 6.1 - 7.0 6.55 5 32.75 214.5125 7.0 - 7.9 7.45 9 67.05 499.5225 7.9 - 8.8 8.35 7 58.45 488.0575 8.8 - 9.7 9.25 5 46.25 427.8125 9.7 - 10.6 10.15 3 30.45 309.0675 TOTAL 32 251.9 2034.74

671.1132

)8719.7(3274.20341

21

22

2 =−

−=−

−=�

=

n

XnXfS

n

iii

3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Es una medida de variabilidad que corresponde a la raíz cuadrada de la variancia. Este indicador tiene la misma unidad de medida en la que se expresa el promedio.

S=1.293

solesSS 293.1671.12 ===

Page 22: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 10

4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD

Es una medida de variabilidad de los datos que se expresa en porcentaje en la cual se compara la desviación estándar con el respectivo valor del promedio de los datos:

Grado de variabilidad de los datos Coeficiente de variabilidad Con variabilidad baja Menos de 10% Con variabilidad moderada De 10% a 30% Con alta variabilidad Más de 30%

En el ejemplo anterior el coeficiente de variabilidad es: C. MEDIDA DE FORMA: ASIMETRIA O SESGO Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad. El coeficiente de asimetría de Pearson es:

SMX

A eK

)(3 −=

Grado de Asimetría Valor del Sesgo Simetría Perfecta Cero. El promedio es igual a la mediana Sesgo Positivo Positivo. Promedio mayor que la mediana Sesgo Negativo Negativo. Promedio menor que mediana

Asimetría Positiva Simétrica Asimetría Negativa (Promedio>Mediana) Promedio=Mediana Promedio<Mediana En el ejemplo sobre los gastos diarios en periódicos el Promedio es 7.87 le Mediana es 7.80 y la desviación estándar 1.293, por tanto el sesgo es ligeramente positivo +0.16 D. MEDIDA DE FORMA: CURTOSIS

Evalúa el grado de apuntamiento de la distribución, el coeficiente es:)(2 1090

2575

PPPP

KU −−

=

Grado de Apuntamiento Valor de la Curtosis Mesocurtica (Distribución normal) 0.263 Leptocúrtica (Elevada) Mayor a 0.263 ó se aproxima a 0.5 Platicúrtica (Aplanada) Menor a 0.263 ó se aproxima a 0

Ku=0.263 Ku>0.263 Ku<0.263

Mesocúrtica Leptocúrtica Platicúrtica En el ejemplo de los gastos diarios en periódicos como Q3=8.8; Q2=7.0; P90=9.7 y P10=6.1 la curtosis de la distribución es 0.25; por tanto, la distribución es ligeramente platicúrtica.

100.. xxS

VC ��

���

�=

%4.1610087.7

293.1.. =�

���

�= xVC

Page 23: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 11

GRÁFICOS DE CAJAS • Tercer Cuartil: Q3= 8.8 • Segundo Cuartil: Q2= 7.8 • Primer Cuartil: Q1= 7.0 • Rango Intercuatílico: IQR= Q3-Q1=8.8 -7.0=1.8 • Límite inferior: Q1-1.5(IQR)= 7.0-1.5(1.8)=4.3 • Límite Superior: Q3+1.5(IQR)= 8.8+1.5(1.8)=11.5

4.3 7.0 7.8 8.8 11.5 • La mitad (50%) de los datos son menores a 7.8 • La mitad (50%) de los datos toman valores entre 7.0 y 8.8 • La cuarta parte (25%) de los datos son menores a 7.0 (Antes de Primer Cuartil) • La cuarta parte (25%) de los datos toman valores entre a 7.0 y 7.8 • La cuarta parte (25%) de los datos toman valores entre a 7.8 y 8.8 • La cuarta parte (25%) de los datos son mayores a 8.8 (Después del Tercer Cuartil) • Los datos tienen mayor variabilidad entre 7.8 y 8.8. • Los datos superiores a 11.5 y los datos inferiores a 4.3 se denominan ATÍPICOS REGLA EMPÍRICA Cuando la distribución de frecuencia es simétrica:

( 68% ) 7.87 6.577 9.163

5.284 ( 95% ) 10.456

3.991 ( 99.7% ) 11.749 Si el Promedio es 7.87 y Desviación estándar 1.293 podremos afirmar que: • 68% (22 datos) están entre: [7.87+1(1.293)]=9.163 y entre [7.87-1(1.293)]=6.577 • 95% (30 datos) están entre: [7.87+2(1.293)]=10.456 y entre [7.87-2(1.293)]=5.284 • 99.7% (32 datos) están entre: [7.87+3(1.293)]=11.749 y entre [7.87-3(1.293)]=3.991

Page 24: Esta Di Stica

Arturo Rubio Apuntes Estadística General 12

TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES

Si la variable Xi tiene promedio X y variancia S2x y sea la trasformación lineal: Yi=aXi+b

• El promedio de la variables Yi es : bXaY i += • La variancia de la variables Yi es: S2

Y=a2S2X

• La desviación estándar de la variables Yi es: SY=a SX Ejemplo: Las calificaciones de un examen de estadística son: Nota Xi fi Fi fiXi fiX

2i

0-4 2 3 3 6 12 4-8 6 10 13 60 360 8-12 10 39 52 390 3900 12-16 14 38 90 532 7448 16-20 18 7 97 126 2268 Total 97 1114 13988

Promedio = 11.4845 Mediana = 11.641 Moda = 11.867 Variancia = 12.44 Desviación estándar = 3.53 Si el profesor decide transformar las calificaciones en la forma: Yi=0.8Xi+2 • El promedio de la notas modificadas Yi es : 1876.112)4845.11(8.0 =+=Y • La mediana de la notas modificadas Yi es : Me =0.8(11.641)+2=11.313 • La moda de la notas modificadas Yi es : Mo =0.8(11.867)+2=11.493 • La variancia de la variables Yi es: S2

Y=0.82(12.44)=7.96 • La desviación estándar de la variables Yi es: SY=0.8 (3.53)=2.82 Verificación: Utilizando la tabla de frecuencia transformada donde c=3.2:

Nota Yi fi Fi fiYi fiY2i

2-5.2 3.6 3 3 10.8 38.88 5.2-8.4 6.8 10 13 68.0 462.40 8.4-11.6 10.0 39 52 390.0 3900.00 11.6-14.8 13.2 38 90 501.6 6621.12 14.8-18.0 16.4 7 97 114.8 1882.72

Total 97 1085.2 12905.12 Promedio = 11.1876 Mediana = 11.313 Moda = 11.493 Variancia = 7.96 Desviación estándar = 2.82

Page 25: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 1

����� � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � ������� � ����������� ���������������������������� ���������������������������������������������� ����������������������������������� �������������������� ��������������� ��!�!���������

���������������� � �� ��� �� ��!�!��� ���� ������� ��� ������� "� ��� �#��� ����� ������������������� ��������$��������������#�����!���������������$�������������� ��!������

blescasos posiNúmero de rablescasos favoNumero de

pNfN

AP ==)()(

)( �

��%�� ������������%&������������ �������������''�(�!�����������(�����)��#���������&���(������(�!�������������������������������*������������������������������������%&�*���� ��!�!������������������ ����������������(�!���&������������������������������

2.05511

)()(

)( ====blescasos posiNúmero de

rablescasos favoNumero de pNfN

AP �

��������� �� ���� �� ��!�!������������������������"�����#��������������������������������������$��������������#�����!������!����������������������������������������������!����������

a de muestrTamañorablescasos favoNumero de

AP

)( = �

��%�� ���� + ������� ��� �,�� �������� ��� ������ ���!&� �-*'��� ������ �� ���� ������� '�������������� �������������������.� ��������*����!���������#������������������!�������*���� ��!�!���������� ������������������������������������������������ �����������

04.012500

500)( ===

muestraTamaño de rablescasos favoNumero de

AP �

��� � �� �� ��!�� ���!� ���/����������� ���������� ������#���������!���0���������������� ����!�����"�������������� ���������������� ���������!���������������������������������������#����������������������������������� ���������������� ���!������%�� �����• ���������������*�����!���������������'�1����������������• ������������������,�*�����!��������������� �� ���&�����������������������'�1�• ��������������������������������� ������������� �&����!����������������!���• )��������������������� ���%���0���������������� ���������������������������&�

sexcluyenteeventos son Atos A y Los evenAPAPAAP

P

AP

MuestralEspacioP

AP

ccc 1)()()(

0)( 1)(0

1) ( 0)(

=+=∪

=≤≤

=≥

φ

Page 26: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 2

"� �������# ���! ������������%�������������������������� ��!����������� ��������������������%�� ������• �������� ������������������������������������!���������2���������

/����� 3������ 4 ������ �������

� )� )� )�)�)�

)� � 3� )�)�3�

� 3� )� )�3�)�

� � 3� )�3�3�

� )� )� 3�)�)�

3� � 3� 3�)�3�

� 3� )� 3�3�)�

� � 3� 3�3�3�

������ ����������������������%�����#������ ���5������������36� 78)*)*)9.�8)*)*39.8)*3*)9.�8)*3*39�83*)*)9�83*)*39�83*3*)9�83*3*39:��• �������� ����������������������������� ��������*������ ������������������

�������� 8�*�9� 8�*-9� 8�*29� 8�*;9� 8�*'9� 8�*<9��������� 8-*�9� 8-*-9� 8-*29� 8-*;9� 8-*'9� 8-*<9��������� 82*�9� 82*-9� 82*29� 82*;9� 82*'9� 82*<9��36�� 8; *�9� 8; *-9� 8; *29� 8; *;9� 8; *'9� 8; *<9��������� 8' *�9� 8' *-9� 8' *29� 8' *;9� 8' *'9� 8' *<9��������� 8<*�9� 8<*-9� 8<*29� 8<*;9� 8<*'9� 8<*<9������ ������������������#������ ���2<�����������

�$� �%��!��&�������� ��� ��!���%����� �� ���������� ���� ���������� ��� �� ���� ��������� �� ���� ��� ��� ������������=�����������������%�� ������• ��������������!������ ������������������������������������������2������������6�78)*)*)9.�8)*)*39.8)*3*)9.�83*)*)9�:������; ����������*���������� ��!�!����������������

500.084

)()(

)( ===pNfN

EP �

�• "������������ ��������*������������������������>������������!���%������

��6�7�8�*�<9��8-*�'9��82*�;9��8; *�29��8' *�-9���8<*��9�:����������������<����������*� ������������ ��!�!��������������������

1667.0366

)()(

)( ===pNfN

EP �

Page 27: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 3

'� �%��!��# �!��� ��!�� ���(��!���+ ��� �������� ���� ����������� ������������ ������ ���� ����� ������� ���� ��� ��� �������� ��*�������*� ��������������������������� � ����������������� ����������������������/��������*���-���������������������������������������(�!�����������&���������������

0B)P(A Luego B =∩= φ� Aentes : on excluyevento B sto A y el Si el even �

��%�� ���� ����������������������������������������#�������$�����������������

� � � � � � � � ��������

� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��� � � ?&������ "������ "�������

�4 �����

@��������� ���� ��� ��� �-��

������%����� 2�� 2�� -�� 5��

4 ����� �2�� ;�� 2�� -���

� ��� �������� ?67?&�����:� �� "67"�����:� ���� ����������� ������������ ���� �� �������� �������� ��� ������� �� ����� ������*� ���$�� ������� ���� ���������� �� ��� ���� �� ������ ����������=����+ ����������*���� ��!�!���������������������������%�����&������������

85.0200170

20040

200130

)()()( ==+=+=∪ APJPAJP �

�3����!����*� �������������?67?&�����:����67������%����:������������������������������� ����(�!��������������������%&�����������!0��������%����.� ��������*���� ��!�!�������������������������������������������������%�����&�������%���������

9.0200180

20030

20080

200130

)()()()( ==−+=∩−+=∪ EJPEPJPEJP �

3�A ��B������������������������������ ��P(A U B) = P(A) + P(B) -P(A ∩ B) ��

��

������� A Ac 4 �����

B P(A∩B) P(Ac∩B)� P(B)�Bc P(A∩Bc)� P(Ac∩Bc)� P(Bc)�

4 ����� P(A)� P(Ac)� ��

CBA ∩ BA c ∩

BA ∩

CC BA ∩

Page 28: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 4

)� �%��!��� ��������!��� ��� �������� "� �� A � ���� � �������� ������ ��� ���������� �� ��� ���������� �� ���� �� ������������ ��� �#����� �� ��� ��!�!��� �� ���������� ��� ����� ��������� �� ��!�!���)B @+ C)CB @" ����������������������"�����������������A ����(�������������#���������

)|()()|()()(

0Pr0

ABPAPBAPBPBAPLuegoP(A)

B)P(AB|A)te P(Similarmen

(A|B) se toma )Cuando P(Bo para P(B) P(B)

B)P(AP(A|B)

==∩

∩=

==≠∩=

�%�� �������������%���������� ���%����0�����5� ��������������#�����84 9���-� ���%������ ����� ���� �����#����� 8@9.� �� �� ����� ���%����� �� ���%��� �������� ��� ����� �� �������� ������ -� ���%��.� ��� ������ ��� ��������� ��� �� �������� ��������� �!�� ������������������������������ �����������&���#���������������������������!����=���������������������&�.������*������������8��!����� ��!�!���9���������� ������������������������

/������3�����&�� 3������3�����&�� ������� /��!�!����

5D�����������T1�

>DE�����T2�

T1∩T2� 90

5697

108 =�

���

���

���

��

� �

-DE�����N2�

T1∩N2� 90

1692

108 =�

���

���

���

��

-D����������N1�

5DE�����T2�

N1∩T2� 90

1698

102 =�

���

���

���

��

� �

�DE�����N2�

N1∩N2� 90

291

102 =�

���

���

���

��

� � 4 ����� �����

� ����������������������!����� ��!�!��� ���������������������!������������

/�������������&���3�������������&�� 4 ����#��!�����8�T1�9� @��4 ����#��!�����8�N1�9�

�4 B 4 " �

4 ����#��!�����������8�T2�9� '<DE�� �<DE�� >-DE��

@��4 ����#��!�����8�N2�9� �<DE�� -DE�� �5DE��

4 B 4 " � >-DE�� �5DE�� ��

�3���� �������������&������������� ���%��������#��!���*���� ��!�!���������������������������&������!��������� ���%�����������#��!��������

92

7216

90729016

)()(

)|(1

2112 ===

∩=

TPNTP

TNP �

F �!0����������=����� ���%��������#��!���������� �������������&�*���� ��!�!���������������������������&�����!0������!��������� ���%��������#��!����������

97

7256

90729056

)()(

)|(1

2112 ===

∩=

TPTTP

TTP �

Page 29: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 5

*� �%��!��+����������!���3���������������������"���A ������� �������������������������������������������������������������������#������� ��� ��!�!��������������������������������/��������*����� ��!�!�������������#������ ������(��(������(����� �����������������������

)()()( )(

)(

BPAPBAPLuego

BPB|A)te P(Similarmen

APP(A|B)

=∩=

=�

��%�� ����3�������%���������� ���%����0���������5����������#��!����84 9���-� ���%������ ��������������#�����8@9*���������������������������� ������-� ���%��.������������������ ������������������!�������������������������������� �����������&������#�����������������������������������&�.�����������������!����� ��!�!����������

/������3�����&�� 3������3�����&�� ������� /��!�!����

5D�����������T1�

5D�������T2�

T1∩T2�

�<;D���6��<;�

� �

-D�������N2�

T1∩N2�

��<D���6���<�

-D����������N1�

5D�������T2�

N1∩T2�

��<D���6���<�

� �

-D�������N2�

N1∩N2�

�;D���6���;�

� � 4 ����� �����

� ����������������������!����� ��!�!��� ���������������������!�������������

/�������������&���3�������������&�� 4 ����#��!�����8�T1�9� @��4 ����#��!�����8�N1�9�

�4 B 4 " �

4 ����#��!�����������8�T2�9� ��<;� ���<� ��5��

@��4 ����#��!�����8�N2�9� ���<� ���;� ��-��

4 B 4 " � ��5�� ��-�� ��

�3���� �������������&������������� ���%��������#��!���*���� ��!�!���������������������������&������!��������� ���%�����������#��!��������

)(102

80.016.0

)()(

)|( 21

2112 NP

TPNTP

TNP ===∩

= �

�F �!0����������=����� ���%��������#��!���������� �������������&�*���� ��!�!���������������������������&�����!0������!��������� ���%��������#��!����������

)(108

80.064.0

)()(

)|( 21

2112 TP

TPTTP

TTP ===∩

= �

/��������� ����������

04.0)20.0)(20.0()()()(

16.0)20.0)(80.0()()()(

64.0)80.0)(80.0()()()(

2121

2121

2121

===∩===∩

===∩

NPNPNNP

NPTPNTP

TPTPTTP

Page 30: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 6

,� � ����������- �!���������� �������������3�����#������� ��!�!���/���������������7"�*�"-*�"2*����"�:�������������������������������������� ����������� �� ����

[ ]

��

==

=

∩==

+++=∩++∩+∩+∩=

∩∪∪∩∪∩∪∩=∩∪∪∩∪∩∪∩=

∩∪∪∪∪=∩=

==∪∪∪∪

n

ii

n

iii

nn

n

n

n

n

n

iiin

AAPAPAAPAP

APAAPAPAAPAPAAPAP

AAPAAPAAPAAAP

AAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

ASA

ónDemostraci

APAAPAPentoncesSAAAA

11

2211

321

321

321

321

1321

)()()|()(

)()|(.......)()|()()|()(

)(....)()()(P)(sexcluyente mutuamente eventosson Como

)(......)()()(PP(A)

)(......)()()(

)......(

)()|()( ......

��%�� ��������������� �0����������������������!�������#���� ��!��� ���������������������0��*�������������� �3��� ��!&����<�1������� �0����������������������3-�� ��!&����;�1����������� �� ��!�!��������������������3��� ���!����� �0���������!��!���8C9��������.��������� ���� ��� ����������3-� ����� ��!�!��� ������-��3� �� ��� �������� ������ �� ��������� �� ��� ��������� �������� ��� ����� ��� �0�����*� G)���� ��� ��� ��!�!��� ���� ��� �0�������������������!��!��H��3��������������� ����������������������������� ��������*������!����� ��!�!����������

3��������� C���!��!��� ������� /��!�!����

��<���������&��

��������+

S1∩+��

8��<98����96����<�

� ���EE ����.�

S1∩N�

�8��<98��EE96��'E;�

��; ���������&��

���-����+�

S2∩+��

8��;98���-96����5�

� ���E5���.�

S2∩N�

�8��;98��E596��2E-�

� � 4 ����� �����

� �� ��!�!���������������� �0�������������������!��!���������

014.0)4.0)(02.0()6.0)(01.0()()|()()|()()|()( 2211

2

1

=+=+==�=

SPSIPSPSIPSPSIPIPi

ii �

������������������������ ��!�!���������� �������������

4 ����/�0������ 3�����������8&�9� 3���������-�8&�9� 4 �����

+���� ����������8�+�9� ����<� ����5� ����;�

.�+���� ������8�.�9� ��'E;� ��2E-� ��E5<�

4 ����� ��<��� ��;��� ������

Page 31: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 7

/� - �0 1�# � � �2� 3�&��� ��� ��������� �� ���� �������� ������������� ��� ��!�!��� ����������� ���� ������� ����������"����������(�������������������"������������ �����������&�����������

�=

=∩

=n

jjj

iiii

APAAP

APAAPAP

AAPAAP

1

)()|(

)()|()(

)()|( �

)����#��� ��� ��!�!��� ��������� �� ��� ������� ���� ������� ��� ��� ������ ���&����������������������(��������������������� ��=#���������������� ���&���������������������%�� ���������������� �0��������������������������&��������!��!���8C9*�G����������� ��!�!������������ �0������(�������� ��!��� ����������������3��H��

4286.0014.0006.0

)4.0)(02.0()6.0)(01.0()6.0)(01.0(

)()|()()|()()|(

)|(2211

111 ==

+=

+=

SPSIPSPSIPSPSIP

ISP �

� �� ��!�!����"/ICB IC��������� �0������������������������������� ����������������3�� ��� /83�96��<��)��� ��� ���������� A����� ��� �������� ��� ��!�!��� �"/B 34�ICB IC��/83�JC96��;-5<� ���� ����� �� ���� ���� ��!�!��� �������� ��� !���� ��� ������� �� �����!������&���������������� ���������� �������������������������� ��!�!����������������������#�������������������������������������������%�� ����K�����������(�������������������� ��� ��!������!������������(��������)�%������*� �����������������&���#����� �������������������������� � � ���������������A�����/������������� ���!����� �0�������������������������������������3������������������ �0�����*���� ��!�!������!������������(����������E�.��������������*���������!�� ��� �0�����*� ��� ��!�!��� �� �!��� ��� ������ (����� �&��� ��� ��-��� �� ��������������������� ��!�!��������!����� �0�����������<���������������• �� ��!�!������������������(�����������������������(��������)�%�������• 3�� ��!�� ���� ��� (����� �� )�%������� #��� �!����*� G����� ��� ��� ��!�!��� ���� (����

���!����� �0�����H��

/�0������ " ������� ������� /��!�!����

��<���������&��

���E �����3"�

Sp∩SA�

�8��<98��E96��';�

� ���������@"�

Sp∩NA�

�8��<98���96���<�

��; ���������.��

���-�����3"�

Np∩SA�

�8��;98��-96���5�

� ���5����@"�

Np∩NA�

�8��;98��596��2-�

� � 4 ����� �����

orid AposterirobabilidaSP

SSPSSP

nal Condicioobabilidad

NAPNPSSPSPSP

el hotelaperturar de Total obabilidad

A

APAP

PPPAPA

P 871.062.054.0

)()(

)|(

Pr

62.008.054.0)2.0)(4.0()9.0)(6.0()|()()|()()( Pr

==∩

=

=+=+=+=�

Page 32: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 8

4 � 1+� 25�� 5�� - 0 1+� ���� ��� �������� ���0����� ����� ������ �������� �� ��� ������� ��������� �� ���� ������ ���� ������������������.� ������������������������!�������������������#������������L ���!����"��������������!�!�%���� � ��� ���������!��������������=���-��L ���!����"�������������!�!�!�%����� 3���� ���������#��������0���*� �����������• ����!�!�!�%�� � ��� �!���� 4 ����� �������� ���������� �� ��� ����� ��������� ����� ����

�������� ��!����%�������������� ������� ��!�!������������������• ����!�!�!�%�� ���!������� 4 ����� �������� ���� ��� �� ������ ���� ��������� ������ �� ���

��������� �� ���� �$������ �������� @�� ��� ��!��� ������ ����� ���� �������� ���� ����� �������!���%����������� ��!�!����������� �������*� ��������*������� ��!�!�����������������������0��������#���&����������������������� ��!�!�������

��%�� ����3������ �� ����������� ���� ��� ������ ����������2� ������ �� ��� �#��� ��� ����!������������M��6�@$����������������������������������������������������� ��!������

/����� 3������ 4 ������ ������� Xi /�86�9�� � � ��� 3 ���-'�

� � 3� ���3� 2 ���-'�

� 3� � ��3��� 2 ���-'�

� � 3� ��3�3� 1 ���-'�

� � � 3���� 2 ���-'�

3� � 3� 3���3� 1 ���-'�

� 3� � 3�3��� 1 ���-'�

� � 3� 3�3�3� 0 ���-'�

� ������������������� ����������������������!�����#�������������������

Xi ��6��0 ���-'�

1 ��2>'�

2 ��2>'�

3 ���-'�

4 ����� ��

�F ����������

0.125

0.375 0.375

0.125

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 1 2 3 Xi

Pr(Xi)

�/8MN-96/8M6-9O/8M6296��2>'O���-'6��'��

Page 33: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 9

� +&- 1+27 �+8 .� ��10 2� 2+5+� � � �&� �4 � 1+� 25�&� +&�1�- � &�3����������!������������M��������������������������������� ��!�!����������������

6� ��6��6� /8M���9�

6� /8M-9�

69 /8MP9�

4 ����� ��

��#���&�� 1)P(X0 i ≤≤ ������������#���&���� ��!�!���������� =k

1=ii 1)P(X ����

�%�� ����"������������ ���������!���������*������ ������������������

�������� 8�*�9� 8�*-9� 8�*29� 8�*;9� 8�*'9� 8�*<9��������� 8-*�9� 8-*-9� 8-*29� 8-*;9� 8-*'9� 8-*<9��������� 82*�9� 82*-9� 82*29� 82*;9� 82*'9� 82*<9�

�S6�� 8; *�9� 8; *-9� 8; *29� 8; *;9� 8; *'9� 8; *<9��������� 8' *�9� 8' *-9� 8' *29� 8' *;9� 8' *'9� 8' *<9��������� 8<*�9� 8<*-9� 8<*29� 8<*;9� 8<*'9� 8<*<9�

������ ������������������2<����������������0������#����������!��������������Xi���3���������� ��������� ������������������

X i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 �����

/86�9�� �D2<� -D2<� 2D2<� ;D2<� 'D2<� <D2<� 'D2<� ;D2<� 2D2<� -D2<� �D2<� ��

/86�9� ���->� ���'<� ���52� ������ ���2E� ���<>� ���2E� ������ ���52� ���'<� ���->� ��

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Xi

P(Xi)

� ����� � � ���������JQQ�-�;�'�QQQQQJQQQQQQQ�-�;�'QQJ� � �

������������� � �������������6�:*�/����������� �������*����� ��!�!������!�����������������������������������

• /8M�6�>9��6�<D2<6����<<>�• /8M�R�;9��6�/�8M6-9O/�8M629�6��D2<O-D2<6�2D2<6����522�• /8M�S�E9��6�/�8M6��9O/�8M6��9O/�8M6�-9�6�2D2<O-D2<O�D2<�6�<D2<6����<<>�• /8M�N�;9�6��Q�/8M6-9O/8M629�6�Q���5226��E�<>�

Page 34: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 10

4 ��� ���� �������� ��;�# �!�� �!��������4 � ������ ���!� ������ ��� ������ ������� �� ���� ��������6�� �������� ����� #�������� �� ������&�� ������� ������� ��!�!����� �� ���������� /86�9�� ��� ��� ������ �� ��� ����!��� ��������� ������ ����=������������������������� ��!�!������ �����/��������

)P(XX.....)P(XX)P(X X)P(XX)= E(X kk

k

i=iii +++=� 2211

1�

�4 � �����������4 � ������ ���!� �������������������!����������������������!��������������� �������������� ��������������!��&���� ��!�!�����

[ ] 1

(2 2�K

i=XE)-i P(XiX)= iV(X i �

� �� ����!��� ���������6�� ��3���� �� ���� ������ �� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� ����!���������������������������!��&���� ��!�!��������

Xi

�/86�9�

�M/8M9�

)P(X X i2i �

2 �D2<� -D2<� ;D2<�

3 -D2<� <D2<� �5D2<�

4 2D2<� �-D2<� ;5D2<�

5 ;D2<� -�D2<� ���D2<�

6 'D2<� 2�D2<� �5�D2<�

7 <D2<� ;-D2<� -E;D2<�

8 'D2<� ;�D2<� 2-�D2<�

9 ;D2<� 2<D2<� 2-;D2<�

10 2D2<� 2�D2<� 2��D2<�

11 -D2<� --D2<� -;-D2<�

12 �D2<� �-D2<� �;;D2<�

�4 �����

���

�-'-D2<�

��E>;D2<�

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Xi)

��������JQQ-�;�'��JQQ-�;�'QJ�

�8696*�

� ���� ��������������������������!������������6����3���������� ��������� ��������*��������������������� ����=������!��������������� ���������� ����������� ����������

����������� �������M����� � 736252

1

==�k

i=iii )P(XX)= E(X ������

��L ���������M����� � 83335736

1974

1

222 . =)()})-{E(X P(XX)= V(XK

i=iiii � −=

��+ �����&������������M����� S(X i ) . .= =58333 2 415��� ������)��#�������������&����M����� )L 8M96�8-�;�'D>9���62;�'1�

Page 35: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 11

4 ��� ���� �������� ��;�# �!�� �!�������- �� ���� ����������3�� �������� ��� ��� �� ���� !���������*� �#���� ��� ����!��� ���������6�� ��3���� �� ���� ����������������������� ����������%���������������

• /������� ���������������������� ����������������• ������������ ���� �����������%������!�� �����'���������

�)������� ��� ����� �� ����� ���� ������ ���� ���� ����� ��� %����� �� ��� ���#������ �������&�������� ���������

Xi

�/86�9�

/�������6��

�)�����

K����7 �

�K/8K9�

)P(U U i2i �

2 �D2<� -�� '�� <"= Q2�D2<� E��D2<�

3 -D2<� 2�� '�� <�= Q;�D2<� 5��D2<�

4 2D2<� ;�� '�� <�= Q2�D2<� 2��D2<�

5 ;D2<� '�� '�� �� �� ��

6 'D2<� <�� '�� ��� '�D2<� '��D2<�

7 <D2<� >�� '�� -�� �-�D2<� -;��D2<�

8 'D2<� 5�� '�� 2�� �'�D2<� ;'��D2<�

9 ;D2<� E�� '�� ;�� �<�D2<� <;��D2<�

10 2D2<� ���� '�� '�� �'�D2<� >'��D2<�

11 -D2<� ���� '�� <�� �-�D2<� >-��D2<�

12 �D2<� �-�� '�� >�� >�D2<� ;E��D2<�

4 ����� �� � � � >-�D2<� 2';��D2<�

� ���� ��������������������%�������

����������� �������K����� � 2036720

1

==�k

i=iii )P(UU)= E(U ������

������������K����� 33.5832036

35400

1

222 =)()})-{E(U P(UU)= V(UK

i=iiii � −=

��+ �����&������������K����� 15.2433.583)S(U i == �������)��#�������������&����K����� )L 8K96�8-; ��'D-�9���6�-��><1��

.�!��� ��������������������������� ������������������#�����&���K6�=MQ'= ��

2050)7(1050X10 =−=−=U �������

15.24)415.2(1010

33.583)833.5(1010 2222

======

XU

XU

SS

SS�

���

Page 36: Esta Di Stica

Apuntes Estadística General Arturo Rubio 12

F �����������

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

Utilidad

P(Ui)

E(Ui)=20 |----------24.15……….|------------24.15----| -4.15 44.15 Preguntas: • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de 20 soles?: 6/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de 20 soles ó menos?: 21/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de más de 20 soles?: 15/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de más de 50 soles?: 6/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre 0 y 40 soles?: 24/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre el promedio mas menos una

desviación estándar?: P(-4.15 < Utilidad < 44.15) � P(0< Utilidad < 40)= 24/36= 0.6667

• ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre el promedio mas menos una desviación estándar?:Por la regla empírica: 0.68

Page 37: Esta Di Stica

1

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD �

A.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS �

� � ��� � ��� � ����� �����

�������� �� �� ��� �� ���� �� ������� ����� ���� ���������� ������

�� ��� �������������

• ��� ���� ������ ���� ����� �� �������� �������� �� ����� �����

�������������� �� � ����������� �� ������ � �!����"#�� �� �������

$��� �������$ �����"%���� ��������$��� �����

• &��� �������������� ����!������������������������������������������������������������������� ���������

• '� ����������������������� !������"��� �� �!����! ����#$�

&��� ������������( � ����%� ������������������������������ ���� ��

)1()( : )( :

)1(!)!(

!)(

)1()(

PnPxVVariancia

nPxEMatemáticaEsperanza

PPxxn

nxP

PPCxP

xnx

xnxnx

−==

−−

=

−=

&'�� �����&��� ���������)������������)�� �� ����(���������*��+ , -'���(��!�� ����'��� �� ���� ��� �� �"%��%� �� ��� �(����� � ���*�� .� ����� '�� ���

��������������������������������������������������(�������

��)�������� �������'�"�'����/�0�"�0���������*����1������

�2���#� 2����� 2���.� ������ � � �3��4�

� %��%��������� %��%���� ���� )� %�%%5�

%��%���� � %�5%��0� ��0� *� %�%.��

� %�5%����0� %��%���� �0�� *� %�%.��

� � %�5%��0� �00� �� %�#�5�

� %��%�������� %��%���� 0��� *� %�%.��

%�5����0� � %�5%��0� 0�0� �� %�#�5�

� %�%5���0� %��%���� 00�� �� %�#�5�

� � %�5%��0� 000� +� %�6#��

'�$�������� ���������� ����

� ��07� �������)������(������������*����1�������

Page 38: Esta Di Stica

2

�������� ����������� ����

�".�2����������������������3������4�

�"%��%�� ������������ �����*����1������������������)�� ��

,-+.�.*.)�2����)���������*����1������������.��������������

&����� ���������� ���������������� ���������� ���8 ����

,� xxxCxP −−= 33 )2.01()2.0()( �

+� 512.0)8.0()2.0()0( 3030 === CxP �

�� 384.0)8.0()2.0()1( 2131 === CxP �

*� 096.0)8.0()2.0()2( 1232 === CxP �

)� 008.0)8.0()2.0()3( 0333 === CxP �

+ ����� 1

0.512

0.384

0.0960.008

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3

X: Días que vende pasajes a Italia

P(X)

��� �������� ���������� ���������� ����������� �$����)���

• ��� ��������� �������38 4"9 ��3�4"��".3%��4"%�:�����*����� ������

• ;� ��������; 38 4"9 ��<=�3�4>��"���3#<�4".3%��43%�54"%�?5�

• @A� ���� ��� � ���������)��� ���� ����� �������.������� ���*�B� ���

�(��������������*����1������������������.����C�

008.0)80.0()20.0(!3)!34(

!4)80.0()20.0()3( 03033

3 =−

=== CxP �

• @A� �������� ���������)��������� �������.������� ���*�B�����(�����

���������*����1�������������� �����C��

104.0008.0096.0)3Pr()2Pr()1()2(2

=+==+==−=≥ �=

− xxPPCxPn

x

xnxnx �

Page 39: Esta Di Stica

3

* � ��� � ��� � ��� ��� ��

���������� ������������ ���� �������������������� ���������� ����

������ ��� ����������(�������

• ��� ����������������7� ������ ��������������������� ����

������/�3� �����������4��

• &���� ���������� ���������������� �/�+.��.�*.�).�0.1�

• &��� ������������� ������������������������� ������������

��� ��� ����������������������������������� ����������������� �������

• �� ��������� ������������3 ����������4��������������$��� �����

��������� �������#����� �� ����������� ���� ����� �� ������

��� ����������”��• &���� ���������� �������������7� ���!������)�����������������

������������� ����������� ������������������������������

&��� ��������������� � �����!���������

nPxVVariancia

nPxEMatemáticaEsperanza

.Donde exe

xPx

====

==−

λλ

λ λ

)( :)( :

828712 !

)(

&'�� ���/� �� �� �� ����� � ��� �� ������ ��������� ���� ��� �������� �

���������� ��!��������* ������� �����)��$������������������ �����

�� ��������������� ����������� ����

,-+.�.*.).01$�07� ����������������)��$���������* ��� ���������

�x 22

( ) ; 2! !

xe eP x Lamda

x x

λλ λ− −

= = = �$������������

��!

2)(

2

xe

xPx −

= �

+� �3�"%4"�%<�D%E"%�#.6.?�

�� �3�"#4"�#<�D#E"%��F%:F�

*� �3�"�4"��<�D�E"%��F%:F�

)� �3�".4"�.<�D.E"%�#5%?6�

0� �3�"?4"�?<�D?E"%�%G%���

1� H H H H H H �

+ ����� #�

Page 40: Esta Di Stica

4

I ����( ����

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Fallas (x)

P(x)

��

�� �������� ���������� ���������� ����������� �$����)���

• ��� ��������� ������38 4"J"���� ���������������$�������������

• ;� �������; 38 4"9 ��<=�3�4>�"�J"��

• @A� �������� ���������)��� ���������$�������������.����C��

18044.0!3

2)3(

23

===−e

xP �

• @A� �������� ���������)��� ������������$�������(������C��

13534.0!0

2)0(

20

===−e

xP �

• @A� �������� ���������)��� ���������$������� �����������C��

A���� ����)��9 �3�4"��3�"%4K�3�"#4K�3�"�4K�3�".4KH �"�#�

[ ] [ ] 59399.027067.013534.01!1

2!0

21)1()0(1)1(

2120

=+−=��

���

�+−==+=−=>

−− eexPxPxP �

• @A� �������� ���������)�����������$����.����C��

����������� 12/2 Lamda ; !

1

!)(

1x

====−−

λλ λ

xe

xe

xPx

�$��������������

06138.0!3

1)3(

13

===−e

xP �

Page 41: Esta Di Stica

5

) � ��� � ��� � ��2 ��&� 3 & &� � ���

2�� ����������� ������������ ������������ ��� �������������

• ��� ���� ������ ���� ����� �� �������� �������� �� ����� �����

�������������� �� � ����������� �� ������� �!����"#�� �� �������

$��� �������$ �����"%����� ��������$��� �����

• ���������������������$�����������L����������B�������������

���������� ������������3�4�4�������� ������������������

• '���(�������� ����� ������� � 5���������������������������

'� $��� ��� �� ����� ����� ��� ���� ����� �� ��7� �� � ������� � ���

���� �� )�� ���� �� �� ������ ������(��B� &�� � ��������� � ����� � �

��"M��!��������������� ���������� �����������

��

−−

��

−=

=

=

��

���

��

���

−−

��

���

==−

11)( :

)( :

)(

NnN

NA

NnA

xVVariancia

NnA

xEMatemáticaEsperanza

C

CC

n

N

kn

AN

k

A

kxPNn

ANkn

Ak

&'�� ���/�� ������ ������������������ ������%�������������������#6�

�� �� �������$����� �� � ��� �������� ������� '� ��(� ���� ���� �� ����

����������?��������������� (������������������� ���� �������

�� ������ �������

0"�%���������������/�

�"#6����������������������$����������������/�

0<�"6��������������������$����������������/�

�"?��7� �����������(���������� ������� ������/�

�/�+.�.*.).0���������������$����� ����������������� ���

,�204

54

15

)(C

CCxP xx −= �

+� �3�"%4"A%#6A?

6DA?�%"%�%%#%.�

�� �3�"#4"�A##6A.

6DA?�%"%�%.%G:�

*� �3�"�4"�A�#6A�

6DA?�%"%��#:F��

)� �3�".4"�A.#6A#

6DA?�%"%�?:G6:�

0� �3�"?4"�A?#6A%

6DA?�%"%��5#F.�

+ ����� #�

Page 42: Esta Di Stica

6

I 1'+ N O -�P ��

0.001030.03096

0.21672

0.46956

0.28173

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

Clientes insatisfechos

P(x)

��

63158.0120420

2015

120

)15(41

1)( :

320

)15(4)( :

=�

��

−−

��

−=�

��

−−

��

−=

===

NnN

NA

NnA

xVVarianciaLa

hosinsatisfecClientesNnA

xEMatemáticaEsperanza�

2� ��������� ������������(�������

• Q ��.���������������� ������$�������� ��������$������

46956.0

!16!4!20

!4!1!5

!12!3!15

)3Pr(204

51

153 =

��

��

===C

CCx �

• �� ���������.���������������� ������$�������� ��������$������

75129.028173.046956.0)4Pr()3Pr()3Pr(204

50

154

204

51

153 =+=+==+==≥

C

CC

C

CCxxx �

• �� ���������#��������������� ������$������� ��������$�����

A���� ����)��9 �3�4"��3�"%4K�3�"#4K�3�"�4K�3�".4K�3�"?4"#�

&�(��� � �3�R#4"#<�3�"%4�

99897.0.000103.011)0(1)1(204

54

150 =−=−==−=≥C

CCxPxP �

Page 43: Esta Di Stica

7

�$4� � ��� � ��� � �&��� &�6 �� ����&�� �� ��� ���

� � ��� � ��� � ��� � ���

'��8 ���������� ���������� ������������)���� ������� ������� �����

�� ����B�����������$��������� ������������

∞≤≤∞=−−

i

X

i Cuandoexf x- 2

1)(

22

)(2

1

2

µσ

πσ�

� � 4∞��� � � ���� ��� � � 7∞� �����,��

� � � �������σ �����σ � ��

2)(

)(

3.1416y 7183.2 :

σµ

π

=

===

xVVariancia

xEMatemáticaEsperanza

eDonde

�� �������� � ���� � ��������������������� ����)�� ��������� ��

� ���� � ���� � �� ��������� ��� ���� ����� ��*�� ���� $������B�

�� �� ��� ����� � � ���� ��� � ���*� � ���� � ������ ���( ��� �� ������� � ���

��� ���������� ������ �� �3������ ��� ��� �����4��

� ��� 8�� 5������ ���&����!�� 9�!��

�� �� ���� �� ����� 8 �� )�� ���� ���� ��� �������� �� ���� �� $��� ���

� ���$� ��������σ

µ−= i

i

XZ ��������� ��������� ��

∞≤≤∞=−

i

Z

i ZCuandoexfi

- 2

1)(

2

21

2π�

�� � 4∞��� � � ����+� ��� � � 7∞� �����,��

� � � �������������������������� �

1)(

0)( 3.1416y 7183.2 :

==

==

ZVVariancia

ZEMatemáticaEsperanza

eDonde π�

Page 44: Esta Di Stica

8

� ����� ��� 5��!��������8�'�������(������ ���

&����!�� 9�� 5��!��(�� �8�������� ����/� � σµ−

= ii

XZ �

&��� �����*������� ����� ��������� �������� �������������������S �

#� � [ ] 99396.051.2Pr =≤Z �

��K��6#�

�� � [ ] 00604.051.2Pr =−≤Z �

� � � � � � � � ���<���6#�

.� � [ ] 96837.000604.097441.095.151.2Pr =−=≤≤− Z �

� � � � � � � � ���<���6#�����%���K#�G6�

?� � [ ] 00694.099224.099918.015.342.2Pr =−=≤≤ Z �

� � � � � � � � ���� � %���?���.�#6�����

6� � [ ] 02559.097441.0195.1Pr =−=≥Z �

� � � � � � � � �����������������%�����#�G6� �

:� � [ ] 98745.024.2Pr =≤Z �

� � � � � � � � �����������������%�������?� �

Page 45: Esta Di Stica

9

&'�� �����&��� ��� ��������#%%%%�����������������������������

��� ���������� ��������� �����'D�6%%��������������������� �� �'D�#%%��

• @A� �������� ��������������� � �������������������� ���'D�:%%C�

[ ] [ ] 84134.000.1Pr100

500600Pr600 =≤=�

���

� −≤−

=≤ ii

i ZX

XPσ

µ�

• @A� ������������������������ ���'D�:%%��� � �������� � C�

[ ] [ ] 8413)84134.0(10000600*10000600* ==≤=≤ ii XPXPN �������

• @A� ������������������������ �?%%���:%%��� � �������� � C�

[ ]

[ ] 68268.015866.084134.011)600400[

100500600

100500400

600400

=−=+≤≤−=≤≤

��

���

� −≤−

≤−=≤≤

ii

ii

ZPXP

XPXP

σµ

[ ] [ ] 6827)68268.0(1000060040010000600400* ==≤≤=≤≤ ii XPXPN �������

�������� ���������� ����������2��� ��������0� ����

�• 2� ���� ���� ������G%T ������ ��� �����������������

628)100(28.1500

28.1100

50028.1

=+=

=−=

X

X

Z

� � � � � ����%�G%�

� � � � � � � � � � ��K#��5�

� �� ���:+; ��������������� ���������'D�:�5��������

• 2� ���� ���� � ���� ��������� ��� �����������������

567)100(67.0500

67.0100

50067.0

=+=

=−=

X

X

Z

� � � � � ���%�F6�

� � � � � � � � � � K%�:F�� �� ���<=; ��������������� ���������'D�6:F��������

• 2� ���� ���� �� ���� ��������� ��� �����������������

433)100(67.0500

67.0100

50067.0

=−=

−=−−=

X

X

Z

� � � � ��%��6�

� � � � � � � � � <%�:F� � �� ���*=; ��������������� ���������'D�?..��������

Page 46: Esta Di Stica

10

��-N 8 1P �A1N 0�2��&��21'+ -1U, A1N 0�U10N P 1�&���&��0N -P �&�A����� �� �7� �� � ��� �������� ������ � ��.%� 3�>)+4� �� �� ���� � �np�5� ����� ������� � ��� ��� �������� 0� ���� �� �� ����� � ���� � ���������� )��

�� �������������� ��������U ���������

&'�� ����� '� ������ ���� ����� #%� ���B� ��� �� ����� 8 �"�07� �� � �� ���� ����

��� �������� U �������� �������� ��"#%3%�64"6��� �� ������� ��3#<�4"#%3%�643%�64"��6��

@A� �������� �������������� ��� �.���:��� ��������� ����������� ��C�

• A��������� ��������U ��������� XXXCX −−= 1010 )50.01()50.0()Pr( �

, � �3� 4�

+� %�%%#%�

�� %�%%G5�

*� %�%?.G�

)� %�##F��

0� %��%6#�

=� %��?:#�

?� %��%6#�

<� %�##F��

@� %�%?.G�

:� %�%%G5�

�+� %�%%#%�

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero caras

P(x)

7735.0)63Pr( =≤≤ iX

• A��������� ��������0� ����� 58.15.2)5.0)(5.0(10 5)5.0(10 ===== σµ �

[ ] [ ] 77189.005705.082894.095.058.158.1

55.658.1

55.263 =−=≤≤−=�

���

� −≤−

≤−≈≤≤ ii

i ZPX

PXPσ

µ

���-N 8 1P �A1N 0�2��&��21'+ -1U, A1N 0��N 1''N 0���&��0N -P �&�A����������� ���np�10������������� ������� ��������0� ������ ������� �����

� ����������)���� �������������� �����������������

&'�� ����� , �� ��� � ����� �� � �� ��� �� #%%� ������� � ���� ������ ����� �� #T �

���� ���@A� �������� ���������)������� �������)�� ��������#:���� ��������C�

• A��������� �����������������

0488.00001.00002.00004.00009.00019.00037.00071.00128.00217.0)16(

....!20

10!19

10!18

10!17

10!16

10)16(

.....)20Pr()19Pr()18Pr()17Pr()16Pr()16(10201019101810171016

=++++++++=≥

+++++=≥

+=+=+=+=+==≥−−−−−

i

i

i

XP

eeeeeXP

XXXXXXP

• A��������� ��������0� ����� 16.310 10 === σµ �

04093.095907.01)74.1(16.3

105.15)16( =−=≥=�

���

� −≥−≈≥ ii ZPX

PXPσ

µ�