Esta Di Stica
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CAPITULO OCHO.
MEDIDAS DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS.
En las distribuciones que toman la forma de una curva normal, nos interesa obtener dos medidas, adicionales a las de tendencia central y dispersión. Estas medidas son las de asimetría y la de curtosis. Antes de estudiar estas medidas, nos detendremos en el concepto y cálculo de los “momentos”, ya que los mismos nos servirán para calcular una medida de asimetría y una de curtosis.
MOMENTOS.
El concepto de momentos tiene su origen en la mecánica. Hay tres tipos de momentos: los potenciales, las factoriales y los exponenciales. En este curso nos interesaremos únicamente por los potenciales.
En el momento de orden k con respecto a un valor “A” se define como la suma de las potencias de grado k de las diferencias de los términos con respecto a “A”, (X– A). La definición anterior corresponde al momento absoluto; el momento relativo es igual al absoluto dividido entre el número de términos, o sea que es el promedio aritmético de las potencias de grado k de las diferencias de los términos con respecto a “A”.
Las formulas siguientes nos expresan lo anterior:
Momento absoluto de orden k respecto al valor A, es una serie simple.
Mk=( X – A)k
Momento absoluto de orden k respecto al valor A, en una seria agrupada.
Mk=∑ f (X – A)k
Momento relativo de orden k respecto al valor A, en una serie simple.
Mk=∑ ( X−A ) k
n
Momento relativo de orden k respecto al valor A, en una serie agrupada.
Mk=∑ f ( X−A ) k
∑ f
Momentos centrados.
Si lo tomamos como punto de referencia el promedio aritmético para los
momentos relativos (A =x), entonces tendremos los momentos centrados, que los representaremos con la letra griega m.
Las formulas para los momentos centrados son:
Momento centrado de orden k, para una serie de datos simple.
µk = ∑f ( X−x )k
n
Momento centrado de orden k, para una serie de datos agrupados.
µk = ∑f ( X−x )k
∑f
Ejemplos:
1. ¿Cuál es el momento centrado, cuando k = 0, k = 1 y k = 2?a) K= 0
Solución:
µ0 = ∑ ( X−X )°
n = πn = 1 µ0 =
∑f ( X−X ) °n =
∑f∑f = 1
Respuesta: el momento centrado de orden cero es igual a uno.
b) K = 1?
Solución:
µ1 = ∑ ( X−X )
n = 0n = 0 µ1 =
∑f ( X−X )∑f =
0∑f = 0
Respuesta: el primer momento relativo respecto al promedio aritmético es siempre cero, porque la suma de las desviaciones con respecto al promedio aritmético, ∑
(X =x), es nula
c) K = 2?
Solución:
µ2 = ∑ ( X−X )2
n = s² = varianza µ2 = ∑f ( X−X )2
∑ f = s² =
varianza
Respuesta: el Segundo momento es igual a la varianza
2. Determinar en una serie simple de datos seis momentos, desde k = 0 hasta K = 5.
(x = 5)
x (x – 5) (x – 5)² (x – 5)³ (x – 5) 4 (x – 5)5
2 -3 9 -27 81 -2433 -2 4 -8 16 -326 1 1 1 1 19 4 16 64 256 102420 30 30 354 750
µ0 = 1 µ1= 0
µ2 = 30/4 = 7.5 µ3 = 30/4 = 7.5
µ4 = 354/4 = 88.5 µ5 = 750/4 = 187.5
3. Con los salarios quincenales de la empresa Jomex, determina dos momentos, para k=2 y k=3.
x = 542
Salarios X F (x – 542) (x- 542)² (x- 542)³ (x- 542)² (x- 542)³
350-399 374.5 8 -167.5 28056.25 -4699421.90 224450.00 -37595375.00400-449 424.5 6 -117.5 13806.25 -1622234.40 82837.50 -9733406.30450-499 474.5 12 -67.5 4556.25 -307546.88 54675.00 -3690562.50500-549 524.5 18 -17.5 306.25 -5359.38 5512.50 -96468.84550-599 574.5 9 32.5 1056.25 34328.13 9506.25 308953.17600-649 624.5 20 82.5 6806.25 561515.63 13125.00 11230313.00650-699 674.5 3 132.5 17556.25 2326203.10 52668.75 6978609.40700-749 724.5 2 182.5 33306.25 6078390.60 66612.50 12156781.00750-799 774.5 2 232.5 54056.25 12568078.00 1081125.00 25136156.00
∑f = 80 740500.00 4694999.93
µ2 = 74050080 = 9256.25 µ3 =
4694999.9380 = 58,687.5
EJERCICIO No. 1
1. Determina en la siguiente serie de datos simples cinco momentos, desde k=1 hasta k=5.
x1316182124
2. Calcula los momentos dos y tres del inciso 1 del ejercicio No.4 del capítulo 7, pagina 126.
3. Calcula los momentos dos, tres y cuatro del inciso 1, del ejercicio No. 5 del capítulo 7, página 128.
CALCULO DE LOS COEFICIENTES β1 Y β2
Con base en los momentos del segundo al cuarto, calculados con respecto a la media aritmética, podemos calcular dos parámetros que nos serán de utilidad, para calcular las medidas de asimetría y de curtosis.
Los dos parámetros los podemos definir con las fórmulas:
β1 = µ ²3µ ³2 β2 =
µ4µ ²2
Ejemplo:
En el caso de la distribución de los salarios mensuales de la empresa, del ejemplo No. 3 de los momentos tenemos:
β1 = µ ²3µ ³2 =
(5.86875 x10 ³)(9.25625 x 103) ³
² = 3.44423x 10 ³7.93085³ = 4.3 x 10 -³
Ejercicio No. 2
1. Calcula β1 y β2 con los resultados del inciso 2 de los ejemplos de los momentos.
2. Calcula β1 y β2 con los resultados del inciso 1 del ejercicio No. 1 de este capítulo.
3. Calcula β1 y β2 con los resultados del inciso 2 del ejercicio No.1 de este capítulo.
4. Calcula β1 con los resultados del inciso 3 del ejercicio No. 1 de este capítulo.
MEDIDAS DE ASIMETRÍA.
Sesgo.
El sesgo es el grado de asimetría o falta de asimetría, de una distribución. Si el polígono de frecuencias suavizado de una distribución tiene una cola más larga a la derecha del máximo central que a la izquierda, se dice que la distribución está sesgada a la derecha o que tiene sesgo positivo (asimetría positiva) y si es al contrario se dice que tiene sesgo negativo (asimetría negativa). Gráficamente los tipos de curva son:
Normal Asimetría Positiva Asimetría Negativa
Las medidas de asimetría son:
1. Sk = x – Mo. Esta es la más simple, es la diferencia entre la media aritmética y la moda.
2. Sk = 3 (x – Md). Es el equivalente de la anterior, cuando la curva es moderadamente asimétrica.
Las medidas anteriores son en términos absolutos, por lo que para compararlos lo haremos en términos relativos, dividiendo las dos fórmulas entre la desviación estándar correspondiente, así:
Sk = x – Mo Sk = 3 (x – Md)
S S
Estas medidas se conocen como primero y Segundo coeficientes de sesgo de Pearson, respectivamente.
Vamos entonces que, si la asimetría es positiva el signo será más y si es negativa, es signo será menos.
NOTA: Sk viene de la palabra inglesa Skewness, que significa asimetría. Se le conoce como el coeficiente de asimetría de Pearson.
Una medida que tiene la ventaja de oscilar entre -1 y +1 es:
Sk = (Q3 – Md) - (Md – Q1)
(Q3 – Md) + (Md – Q1)
En la que podemos observer que la simetría resulta de dividir la diferencia de las desviaciones de los cuatriles con respecto a la mediana entre la suma de dichas desviaciones.
Para muchas curvas moderadamente asimétricas, la asimetría según la formula
(x – Mo) puede calcular también con la fórmula, basa en los parámetros β1 y β2
S
Sk = √β1(β2+3)2(5 β2−6 β1−9)
Ejemplo:
Calcular la asimetría, de acuerdo con las fórmulas mencionadas, en la distribución de salario mensual de 80 trabajadores de la empresa Jomex que se encuentra en la página 143.
a) Según la fórmula x – Mo, tendremos:
Si Mo = 599.5 + 11
11+17 50 = 599.5 + 19.50 = 619.00
Sk = 542 – 619.00 = 77.00 en términos absolutos.
b) Según la fórmula 3 (x – Mo), tendremos:
Si Md = 499.5 + (40 – 26/18) 50 = 499.5 + 38.89 = 538.39.
Sk = 3 (542 – 538.39) = 3 x 3.61 = 10.83
c) Según la fórmula (x – Mo) tendremos: S
Sk = 542 – 619.00 / 96.21 = 0.80, Sk = 80% en términos relativos porque.
S = √740500/80 = √9256.25 = 96.21
d) Según la fórmula 3 (x – Mo) también llamado coeficiente de asimetría de person. S
Sk = 3 (542 – 538.39) / 96.21 = 10.83 / 96.21 = 0.11
Sk = 11% en términos relativos. Observemos que la asimetría es positiva.
Ejercicio No. 3.
1. Calcular Sk utilizando la fórmula basada en los cuartiles y en los parámetros, de la distribución de la empresa Jomex, que se encuentra en la página 143.Observa que los resultados obtenidos difieren, por lo que es necesario cuando se calcula saber que fórmula se utilizó para medir la asimetría, con el propósito de usar la misma cuando se vayan a hacer comparaciones válidas.
2. Si en una distribución la media es igual a 5.45, la mediana es igual a 5.61 y la desviación estándar es igual a 0.74. ¿Cuál es el coeficiente de sesgo de Pearson?
3. Con los punteos de la prueba objetiva de Matemáticas de 4° Bachillerato que aparecen en la distribución del inciso 1 del ejercicio No. 1 del capítulo 6 página 115.a) Determina cuatro momentos para k=1, k=2, k=3 y k=4.b) Calcula los coeficientes β1 y β2
c) Calcula la asimetría utilizando todas las fórmulas.4. Con la distribución de frecuencias de la cantidad de defectos que puede
poseer un producto.
x F5-10 110-25 615-20 1220-25 1625-30 1830-35 10
a) Determina tres momentos para k=2, k=3 y k=4.b) Calcula los coeficientes β1 y β2
c) Calcula la asimetría, utilizando todas las fórmulas.
5. Calcular la asimetría con los datos del inciso 2 del ejercicio No.1 del capítulo 6, página 115.
CURTOSIS.
La “curtosis” es la “agudeza” de la curva normal, esta agudeza puede ser alta, baja o intermedia dando lugar a diferentes tipos de curvas: leptocúrticas, platicúrticas y mesocúrticas.
Ejemplo:
Apuntada o leptocúrtica
Normal o mesocúrticas
Achatada o platicúrtica.
Es una medida de altura de la curva y está dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.
Para calcular la curtosis se utiliza el parámetro β2. Si el valor de dicho parámetro es 3, se considera que la curva es mesocúrtica, si es mayor que 3, la curva es leptocútica y si es menor que 3 la curva es platicúrtica.
Las fórmulas son:
β2 = M4 ó β2 = M4
M²2 S4
Otra medida de curtosis que se puede emplear, está basada en los cuartiles y percentiles y está dada por la fórmula:
K = Q
P90 – P10
Donde Q = ½ (Q3 – Q1) es el rango semiintercuartílico, también se le conoce con el nombre de coeficiente de curtosis percentílico.
Ejemplo:
Calculemos el grado de apuntamiento en la siguiente distribución, si la media aritmética es igual a 5.62 y S² = 6.71.
Solución:
x f (x-5.62) (x-5.62)² (x-5.62)³ (x-5.62)4 f(x-5.62)4
2 4 -3.62 13.10 -47.44 171.73 686.924 5 -1.62 2.62 -4.25 6.89 34.456 6 0.38 0.14 0.05 0.02 0.128 3 2.38 5.66 13.48 32.09 96.2710 3 4.38 19.18 84.03 368.04 1104.12
21 1921.88
µ4 = 1921.88 = 91.52
21 como S² = 6.71 entonces s4 = (6.71) = 45.02
Sustituyendo
β2 = M4 β2 = 91.52 = 2.03 Como 2.03 < 3 la curva será
S4 45.02 achatada o platicúrtica
Ejercicio No. 4
PRIMERA SERIE.
Calcula el grado de apuntamiento de:
1) Los punteos obtenidos por 25 alumnos en una prueba de Estadística que fue calificada con una ponderación de 1 a 10 puntos.
X F3 15 67 129 6
2) El ejemplo de la desviación estándar de una serie de datos simples que aparece en la pagina 129.
3) El inciso 2 del ejercicio No. 3 de este capítulo.4) El inciso 2 del ejercicio No. 3 del capítulo 7, página 125.5) El inciso 3 del ejercicio No. 9 del capítulo 5, página 105.
Segunda Serie.
Halla el coeficiente de curtosis si m4 = 199.38 y m2 = 8.53
PRUEBA OBJETIVA.
Nombre: _________________________________________________________
Fecha: ______________________________ Punteo: ________________
PRIMERIA SERIE
Responde las preguntas siguientes en los espacios en blanco.
1) ¿Qué tipos de momentos existen?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
2) ¿Qué es el sesgo?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
3) ¿Cuáles son los tipos de curvas?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
4) ¿Qué es la curtosis?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
5) ¿A qué tipo de curvas da lugar el resultado de la curtosis?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
SEGUNDA SERIE
Resuelve los problemas siguientes.
1. Con la distribución de frecuencias de las velocidades en km/ h de 56 automóviles que se muestras en la siguiente tabla, junto con los valores de varias mediciones calculadas a partir de esta medición.
x = 99.11
Md= 98.75
S= 13.04
Q1 = 90.00
Q3 = 107.06
Calcula:
a) La curtosis.b) El coeficiente de asimetría de Pearson.c) ¿Qué tipo de curva es?
2. Si es una distribución la media es igual a 2000, la media es igual a 1800 y la desviación estándar es igual a 642.91. ¿Cuál es el coeficiente de asimetría de Pearson?
SALARIOS f70-79 390-99 16
100-109 17110-119 5120-129 3130-139 1
3. Calcula es una serie simple de datos cuatro momentos des k=1 hasta k=4.
X34578
4. Calcula β1 y β2 con los resultados del problema anterior.
5. Calcula el grado de apuntamiento de la siguiente distribución, si la media es igual a 2000 y la desviación estándar es igual a 642.91
SALARIOS f1200 41400 21600 41800 52200 42400 32500 23000 24000 1
CAPITULO NUEVE.
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR.
Es la más importante en Estadística, porque la mayoría de los procedimientos se basan en esta distribución. Su gráfica es una curva acampanada que se extiende a lo largo del eje x.
CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR.
En el siglo XVIII los jugadores profesionales se interesaron por las posibilidades que tenían de ganar lo juegos de azar, por lo que pidieron ayuda a algunos matemáticos. De Moivre (1773) fue el primero en obtener la ecuación de la curva normal. A principios del siglo XIX Gauss y Laplace ampliaron el desarrollo del concepto de la curva y el de la probabilidad. Actualmente la curva se conoce también como “curva de error”, “curva de campana” o “curva DeMoivre”.
La altura máxima de la curva está en la media. Es asintótica porque las colas de la curva nunca tocan la línea de base sino que se prolongan indefinidamente en uno y otro sentido.
El rasgo más importante de la curva normal es su simetría, ya que si doblamos la curva en su punto más alto al centro, crearíamos dos mitades iguales. Es unimodal, porque solo tiene un punto de máxima frecuencia.
Su forma es:
100%
Área bajo la curva normal
El parea bajo la curva normal.
Para emplear la curva normal en la resolución de los problemas, tenemos que familiarizarnos con el área bajo la curva normal: es el área que está entre la curva
Frecuencia
y la línea base que contiene el 100 porciento a todos los casos en una distribución normal dada.
Podemos encerrar una porción de esta área total dibujando líneas a partir de dos puntos cualesquiera en la línea base hasta la curva. Se puede usar la media como punto de partida, dibujando una línea en la media y otra en el punto que está de 1 DE (una distancia sigma o una desviación estándar muestral) sobre la media. Por lo que podemos decir que una proporción constante del área total bajo la curva normal estará entre la media y cualquier distancia dada de X, mediada en unidades DE. Así el área bajo la curva normal entre la media y el punto 1 DE arriba de la media incluye siempre el 34.13% del total de los casos, independientemente del valor de media y de la DE, de la distribución en particular y se aplica a todos los datos normales distribuidos, así estemos estudiando la distribución de estatura, inteligencia, orientación política, etc. El requisito básico, en cualquier caso es que trabajemos con una distribución normal de puntajes.
El porcentaje del área total bajo la curva normal entre la media y el punto uno de desviación estándar arriba de la media, está representado por:
x + 1s
Propiedades de la distribución normal estándar.
La naturaleza simétrica de la curva normal nos lleva a otra importante conclusión:
Cualquier distancia sigma dada arriba de la media contiene una proporción idéntica de casos que la misma sigma por debajo de la media. Así, si el 34.13%
del área total está entre la media y 1 DE por debajo de la x, entonces el 34.13%
del área total está entre la media y 1 DE por debajo de la x; si el 47.72% está
entre la media y 2 DE por arriba de la x, entonces el 47.72% está entre la media y
FRECUENCIA
2 DE por debajo de la x; si el 49.87% está entre la media y 3 DE por arriba de la
x, entonces el 49.87 está también entre la media y 3 DE por debajo de la x.
En otras palabras, como ilustra en la gráfica el 68.26% del área total de la curva normal (34.13% + 34.13%) caen entre -1s y +1s de la media; el 95.44% del área (47.72% + 47.72%) caen entre -2s y +2s de la media; el 99.74% o casi todos lo casos (49.87% + 49.87%) caen entre -3s y +3s de la media. Puede decirse, entonces que 6 DE incluyen prácticamente todos los casos (más del 99%) bajo cualquier distribución normal.
Ejemplo.
En la cura el eje Y divide la curva en dos partes iguales. El área la curva a la derecha del 0 es igual al parea bajo la curva a la izquierda e igual a 0.5; es decir que el 50% de los casos están a cada lado del eje Y.
Y
Z
- 3 -2 -1 0 1 2 3
FRECUENCIA
2.15%13.59%
34.13% 34.13%13.59%
2.15%
El porcentaje del área total bajo la curva normal entre -1s y +1s, -2s y +2s y -3s y +3s esta representado por:
Y
x-3s x-2s x-1s x x+1s x+2s x+3s
68.26% 95.44% 99.74%
Sintetizando los datos anteriores tenemos:
34% 34%
13.5% 13.5%
2.5% 2.5%
x-3s x-2s x -s x x+s x+2s x+3s
Puntajes z: -3 -2 -1 0 1 2 3
Uso de la tabla de áreas bajo la curva normal.
Al estudiar la distribución normal sólo hemos analizado aquellas distancias de la media que son múltiplos exactos de la desviación estándar. O sea las De 1, 2 0 3 ya sea por arriba o por debajo de la media. Pero necesitamos conocer también el porcentaje de los casos para las distancias entre dos ordenadas cualesquiera.
Para determinar el número de desviaciones estándar que hay entre un valor dado y la media. Utilizaremos la calificación o puntaje estándar (z) que es el cociente entre la desviación de una calificación respecto a la media aritmética y la desviación estándar. La que estará por arriba por la media si z es positivo y por debajo si z es negativo.
Dado un conjunto de datos que se distribuyen en forma normal, con media x y desviación estándar s, convertimos el dato X en dato Z, mediante la fórmula:
Z= X - x = desviación respecto a la media
S desviación estándar.
Si X > x, z es positivo.
Si X > x, z = 0
Si X > x, z es negativo.
El valor que corresponde a un valor X mide la distancia que hay entre la media y el valor X, esa distancia se mide de desviaciones estándar.
Ejemplo:
1. SI x= 72 y S=10, entonces la distancia que hay entre 72 y 87 es de 1.5 desviaciones estándar a la derecha de la media, ya que:
Z= 87 – 72 = 15 = 1.5
10 10
2. Si x= 30 y S = 8, entre 30 y 54 se encuentra el 49.87%, ya que la distancia entre 30 y 54 es de tres desviaciones estándar.
Z = 54 - 30 = 24 = 3
8 8
Los porcentajes determinados de 0.3413, 0.4772 y 0.4987 por 100 correspondientes a los valores z = 1, z = 2 y z = 3, han sido obtenidos de la tabla de áreas bajo la curva normal (tabla No.1) en esta tabla se encuentran los diferentes porcentajes que corresponden a los valores de z.
TABLA 1
ÁREAS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL ORDINARIA.
Cada cantidad de la taba es la proporción bajo la curva que se encuentra entre z=0 y un valor positivo de z. Las áreas para valores negativos de z se obtienen por simetría.
Ejercicio No. 1.
Encuentra los porcentajes que corresponden a los valores siguientes de z, utilizando la tabla No.1.
a) Z = 1.1 __________________ b) Z = 1.63 ________________
C) Z= 2.4 __________________ d) Z = 2.963 ________________
e) Z = 3.07_________________ f) Z = 0.12 _________________
g) Z = 0.89 _________________ h) Z= 1.46 _________________
i) Z= 1.93 __________________ j) Z = 2.75 _________________
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0488 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.195 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3759 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389
1 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.374 0.377 0.379 0.381 0.383
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.437 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4471 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4761 0.4767
2 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4317
2.1 0.4821 0.4826 0.483 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.489
2.3 0.4893 0.4806 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4963
2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.498 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4965 0.4985 0.4986 0.4986
3 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.499 0.499
En general el porcentaje de datos que se encuentran entre la X y la x + zs es el
mismo que se da entre la x – Zs y la x.
Ejemplo:
Z = 22 -18 = 0.89 Z= 14 – 18 = 0.89
4.5 4.5
Lo que significa que tanto 22 como 14 tienen la misma distancia en desviaciones estándar (0.89), a la media 18, el primero por arriba de la media y el segundo por debajo de ella.
2) Para el conjunto de datos de las notas del curso de Estadística en donde la x= 72.20 y s = 4.51, página 130.
a) ¿Qué porcentaje de los 51 son valores comprendidos entre 72.20 y 77?
Procedimiento:
1° Se calcula z
Z = 77 – 72.2 = 1.06
4.51
2° Se busca en la tabla No. 1 el porcentaje que corresponde a z = 1.06 y observamos que corresponde a 0.3554. Por lo tanto el 35.54% de los 51 datos son valores comprendidos entre 72.2 y 77. Como el 35.54% de 51 es de 0.3554 x 51=18, entonces alrededor de 18 datos son valores entre 72.2 y 77
b) ¿Qué porcentaje de los datos son valores comprendidos entre 68 y 72.2?
Procedimiento:
1° Calculamos Z
Z = 68 – 72.2 = 0.93
4.51
2° Se busca en la tabla 1 el porcentaje que corresponde a z = -0.93, el cual es el mismo que corresponde a 0.93 y observamos que corresponde a 32.38, por lo tanto el 32.38% de los 51 datos son valores comprendidos entre 68 y 72.2. ¿Cómo el 32.38% de 51 es 0.3238 x 51 = 17, entonces alrededor de 17 datos son valores entre 68 y 72.2.
c) ¿Qué porcentaje de los datos son mayores que 72.2?
En una distribución normal arriba y debajo de la media se encuentra el 50% del total de los datos. Por consiguiente el 50% de los datos son valores mayores a 72.2
d) ¿Qué porcentaje de los datos son mayores que 78?
Procedimiento:
1°. Convertiremos 78 en dato z.
Z = 78 – 72.2 = 1.29
4.51
2° Localizamos z en la tabla No. 1 y observamos que el porcentaje que le corresponde a z = 1.29 es de 40.15% y éste es el porcentaje de valores entre la media y 78.
3° Como arriba de la media existe el 50% de los valores y como entre la media y 78, está el 40% entonces la diferencia de estos porcentajes es el porcentaje de datos mayores que 78. Por lo que, el 9.85% son valores mayores que 78 porque 50 – 40.15 = 9.85.
3. Halla el área bajo la curva normal a la izquierda de z = 0.84, si en la siguiente gráfica se muestra el área sombreada correspondiente.
Procedimiento: Y
En la tabla No. 1 se tiene:
Área desde z = 0 hasta z = 0.84 = 0.2995
Área a la izquierda de z = 0 = 0.5000
Suman las áreas = 0.7995
Z
0 0.84
4. Halla el área bajo la curva de distribución normal entre z = 1.3 y z = 2.3, si en la siguiente gráfica se muestra el área sombreada correspondiente.
Procedimiento:
En la tabla No.1 se tiene:
Desde z = 0 hasta z = 2.3, área bajo la curva = 0.4893
Desde z = 0 hasta z = 1.3, área bajo la curva = 0.4032
Diferencia entre las áreas = 0.0861
Y
Z
0 1.3 2.3
Respuesta: el área es igual a 0.0861
EJERCICIO No. 2
1. Halla el área bajo la curva normal a la izquierda de z = 0.93, si en la siguiente gráfica se muestra el área sombreada correspondiente.
Y
-0.93 0 Z
2. En un examen la media aritmética de las calificaciones es 68 y la desviación estándar 17. Halla el porcentaje de los alumnos que obtuvieron calificaciones entre 81 y 85
3. El dato x = 38 pertenece a un conjunto de datos que se distribuyen en
forma normal con x = 70 y s = 15. Convierte el dato x a dato z
4. Un conjunto de datos que se distribuye en forma normal tiene una x = 65 y una s= 10. Si entre la media y un valor x se encuentra el 27.34 del total de datos. Halla el valor de x.
5. Para el conjunto de datos del inciso 1 del ejercicio No.6 capítulo 7, página 132.
a) ¿Qué porcentaje de las 70 puntuaciones están comprendidas entre la media y 5?
b) ¿Qué porcentaje de las puntuaciones son mayores que 7?c) ¿Qué porcentaje de las puntuaciones son menores que 6?
6. Encuentra la calificación o porcentaje estándar para: a) 92 y b) 72 con respecto a una muestra de punteos de un examen con una media de 74.2 y una desviación estándar de 11.5
7. Una muestra tiene una media de 120 y una desviación estándar de 20. ¿Cuál es el valor de x que corresponde a las siguientes calificaciones estándar?a) Z = 0b) Z = 1.2c) Z = 1.4d) Z = 2.05
PRUEBA OBJETIVA.
Nombre: __________________________________________________________
Fecha: __________________________________ Punteo: _________________
PRIMERA SERIE
Responde las preguntas siguientes en los espacios en blanco.
1. ¿Qué hizo DeMoivre?________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿Qué nombres recibe la curva normal?________________________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Por qué es asintótica la curva normal?_______________________________________________________________________________________________________________________
4. ¿Qué porcentaje contiene el área que está entre la curva y la línea base?________________________________________________________________________________________________________________________
5. ¿Qué es la calificación estándar?_______________________________________________________________________________________________________________________
SEGUNDA SERIE.
Resuelve los problemas siguientes.
1. El área entre 0 y z es 0.2422, halla z.2. Halla es área de bajo de la curva de distribución normal entre:
a) Z = 0.09 y z = 2.21 b) Z = 1.41 y z = 2.53c) Z = 0.7 y z = 1.41.
3. ¿Qué porcentajes corresponden a los siguientes valores de z:a) 2.08b) 1.36c) 0.77
4. En la siguiente distribución de frecuencia:
x F61 366 474 880 1285 890 894 9Calcula:
a) La media aritmética.b) La desviación estándar.
Determina:
a) ¿Qué porcentaje de los datos está comprendido entre la media y 85?b) ¿Qué porcentaje de los datos está comprendido ente 74 y la media?c) ¿Qué porcentaje de los datos son mayores que la media?d) ¿Qué porcentaje de los datos son mayores que 80?
5. La media del salario semanal de una empresa es de Q. 500.00 y su desviación es de Q. 100.00 si hay 45 empleados. ¿Cuál es el porcentaje de las personas que ganan Q. 600.00?
6. Si la media es igual a 30 y la desviación estándar es 8. ¿Qué porcentaje de los datos se encuentran entre 30 y 46?
7. Se pasó un test de inteligencia a 4oo estudiantes. Al analizarlos estadísticamente se obtuvieron los siguientes resultados:
x = 105 y s = 5a) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene coeficientes de inteligencia entre 90 y
110?b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron coeficientes de más de 110?c) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron coeficientes menores a 100?
8. Una muestra tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Encuentra el puntaje z para cada valor de x
a) X = 56 b) x = 70 c) x = 80 d) x = 92
CAPITULO DIEZ.
CORRELACIÓN Y ECUACIÓN DE REGRESIÓN.
En los capítulos anteriores analizamos y verificamos el estudio de las distribuciones unidimensionales. El proceso que seguimos era de ordenar y concentrar la información en tablas, elaborando gráficas y aplicando una serie de medidas buscando con esto, describir ciertas características para así tener una idea de la situación real de un fenómeno.
En este capítulo haremos consideraciones respecto a distribuciones bidimensionales, o sea, estudiaremos el comportamiento de dos variables, para determinar si existe alguna relación entre las dos. Estas dos variables deber ser analizadas simultáneamente. Ejemplo de estas distribuciones son: producción y consumo, ventas y compras, ventas y utilidades, gastos en publicidad y valor de las ventas, ingresos y gastos, etc. Las dos variables pueden ser discretas o continuas o también una de ellas discreta y la otra continúa.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.
El descubrimiento de la existencia de una relación no dice mucho acerca del grado de asociación o correlación entre dos variables. Muchas relaciones son estadísticamente significativas; algunas expresan una correlación perfecta o exacta. Por ejemplo: sabemos que la estatura y peso de las personas están asociados, ya que mientras más alta es una persona su peso tiende a aumentar. Pero hay excepciones a la regla, ya que algunas personas altas pesan muy poco y algunas personas bajas pesan demasiado.
Las correlaciones varían respecto a su fuerza y se pueden visualizar diferencias en las fuerzas de la correlación por medio de un DIAGRAMA DE DISPERSIÓN, que es una gráfica que nos muestra la forma en que los puntajes de dos variables cualesquiera X y Y están dispersas. Así a cada elemento de una muestra de tamaño N se le puede hacer corresponder un par de números. Los números de cada par son las medidas o valores correspondientes a determinadas características o aspectos que tienen elementos de la muestra.
En la gráfica de los pares ordenados de datos de dos variables que están e un sistema de ejes coordenados.
Los pares de números asociados a los N elementos de la muestra se representan por:
(X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3)… (XN, YN)
En donde x, que es la variable de entrada se grafica en el eje horizontal y la variable de salida y, se grafica en el eje vertical.
Ejemplo:Si la muestra está constituida por N personas, a cada persona se le hará corresponder dos números: uno que mide la estatura y otro que mide el peso. Así el conjunto de valores. X1, X2,…XN, representan las diferentes medidas de estatura y el conjunto de valores Y1, Y2,… YN, las diferentes medidas de peso.
NOTA: al hacer un diagrama de dispersión, se deben establecer las escalas de modo que el rango de los valores y a lo largo del eje vertical sea igual o más corto que el rango de los valores x a lo largo del eje horizontal.
Con frecuencia se puede describir a la correlación como positiva o negativa respecto a la dirección. Una correlación positiva nos indicará que los entrevistados que obtienen puntajes altos sobre la variable X también tienden a obtener puntajes altos sobre la variable Y, los entrevistados que obtienen puntajes bajos sobre X también tienden a obtener puntajes bajos sobre én tienden a obtener puntajes bajos sobre Y.
Cuando dos variables X y, Y se correlacionan positiva o negativamente, los puntos correspondientes a los diagramas de dispersión quedan encerrados en un óvulo inclinado.
Ejemplos:
Y Y
X X
CORRELACIÓN POSITIVA CORRELACIÓN NEGATIVA
EJERCICIO No. 1
Haz el diagrama de dispersión:
a) Cuando la variable X toma los valores 2, 3, 3, 4, 4 ,4 ,4, 5, 5, 5, 6, y 8 y la variable Y, los valores 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 5 y 5.
b) Cuando la variable X toma los valores 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7 y 7 y la variable Y los valores 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2 y 2
c) Con el número de horas de estudio, X, en comparación con calificación que se obtuvo en el examen, Y.
X 2 5 1 4 2Y 80 80 70 90 60
Si la elipse que encierra los puntos de un diagrama de dispersión tiene el diámetro menor muy ancho, la relación entre las dos variables es muy débil, pero si el diámetro menos es angosto la relación entre las dos variables será fuerte. Podemos decir entonces, que la fuerza de la correlación entre X y, Y aumenta a medida que los puntos de un diagrama forman al estrecharse más una línea recta que baja por el centro de la gráfica.
Ejemplos:
1. Diagrama de dispersión, según su correlación.
Y Y
X X
CORRELACIÓN DÉBIL CORRELACIÓN FUERTE
Y Y
X X
CORRELACIÓN DÉBIL CORRELACIÓN FUERTE
Y
X
NO HAY CORRELACIÓN
2. Diagramas de dispersión que representan una correlación positiva entre la preparación y el ingreso y una correlación negativa entre la preparación y el prejuicio.
S 14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
AÑOS DE ESTUDIO (A)
INGRESO
Alto
S 14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
Bajo 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
AÑOS DE ESTUDIO (A)
CORRELACIÓN LINEAL.
El coeficiente de correlación lineal r es la media numérica de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. Se llama lineal porque representación de Y es una recta.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON (r)
Es una medida que indica la situación relativa de los mismos sucesos respecto a las dos variables y son números que están entre los límites +1 y -1.
Para medir la relación entre dos variables se calcula el coeficiente de correlación lineal r mediante la expresión:
r=N∑ ( XY )−∑ X ∑Y
√ [ N ∑ X2− (∑ X )2 ][ N ∑Y 2−(∑Y ) ²]
En donde N es el número de pares de datos y el valor de r es un número que satisface las desigualdades: -1≤ r ≤ 1
PREJUICIO
El coeficiente de correlación lo podemos interpretar de acuerdo con los siguientes casos:
1. Si r es positivo, la correlación entre las variables es positiva.2. Si r es negativo, la correlación entre las variables es negativa.3. Si r = 0, no existe relación lineal entre las variables.4. Si r = 1, la correlación positiva es perfecta.5. Si r = -1, la correlación negativa es perfecta.6. Si 0.90 < r < 1 ó -1< r< 0.90 la correlación es excelente.7. Si 0.80 < r < 0.90 ó -0.90< r< 0.80 la correlación es aceptable.8. Si 0.60 < r< 0.80 ó -0.80 < r < -0.60 la correlación es regular.9. Si 0.30 < r< 0.60 ó -0.60< r < 0.30 la correlación es mínima.10.Si 0 < r < 0.30 ó -0.30< r < 0 no hay correlación
Podemos observar, con respecto al grado de asociación, que mientras más cerca esté de 1.00 es una u otra dirección, mayor es la fuerza de la correlación. En vista de que la fuerza de una correlación es independiente de su dirección, podemos decir que -0.10 y -0.10 son iguales en tanto a la fuerza (ambas son muy débiles) y que -0.95 y +0.95 también tienen igual fuerza porque las dos son muy fuertes.
Gráficamente sería.
0 r = 1 0 r = 1 0 0< r > 1
La correlación lineal perfecta ocurre cuando todos los puntos están exactamente sobre una recta. Esta correlación puede ser positiva o negativa, dependiendo de si crece o descrea a medida que X se incrementa.
0 0
Ejemplo:
Con los siguientes datos calcularemos el coeficiente de correlación.
X Y X² Y² XY2 1 4 1 23 2 9 4 63 3 9 9 94 1 16 1 44 2 16 4 84 3 16 9 124 4 16 16 165 2 25 4 105 3 25 9 155 4 25 16 206 3 36 9 186 5 36 25 308 5 64 25 40
59 5 297 132 190
Al sustituir los datos en la fórmula del coeficiente, observamos que:
N= 13, ∑XY = 190, ∑X = 59, , ∑Y = 38, , ∑X² = 297 y , ∑Y² = 132
r=13 (190 )−59 (38)
√ [13 (297 )−(59 )2 ][13 (132 )−(38) ²]
r= 2470−2242√ (3861−3481 )(1716−1444)
r= 228
√380(272) = 228
√103360 ¿ 228
√321.5 = 0.71
Si r = 0.71, ¿Cómo es la correlación?_______________________________
INTERPRETACIÓN DE UNA CORRELACIÓN .
Para interpretar un coeficiente de correlación hay que tener en cuenta por un lado su magnitud y por otro su signo. La magnitud se refiere al grado en que la relación entre las dos variables queda bien descrita con r, mientras que el signo se refiere al tipo de relación.
Un coeficiente de correlación positivo entre las variables X e Y, indica la tendencia a aumentar los valores de Y cuando aumentamos los de X y a disminuir los valores de Y cuando disminuimos los de X.
Un coeficiente de correlación negativo indica tendencia a disminuir los valores de Y cuando aumentamos los de X y a aumentar los de Y cuando disminuimos los de X.
Un coeficiente de correlación en torno a cero indica que el modelo de relación linal entre esas variables no es válido. Que cuando aumentamos X, Y puede indistintamente aumentar o disminuir.
Por la magnitud del coeficiente de correlación decimos que si el módulo del coeficiente de correlación se sitúa entre 0 y 0.20, entonces es insignificante, si esta entre 0.20 y 0.50 medio, entre 0.50 y 0.80 alto y a partir de 0.80 muy alto.
EJERCICIO No. 2.
1. Para N = 6, ∑XY = 3605, ∑X = 108, ∑Y = 195, ∑X² = 2060 y ∑Y² = 6557. Calcula el coeficiente de correlación, comprueba que es igual a 0.59 e indica, ¿Cómo es la correlación?
2. Para N = 10 ∑X = 224, ∑Y = 89, ∑X² = 7658, ∑Y² = 1064 y ∑XY = 2790. Calcula el coeficiente de correlación y comprueba que es igual a 0.94.
3. El gerente de una empresa que se dedica a la venta y compra de aparatos electrónicos, considera que hay una correlación positiva entre las ventas y las compras de cinco sucursales que tiene la empresa. Calcula el coeficiente de correlación y determina si existe esa correlación positiva.
Ventas(Millones de Q.)
Compras(Millones de Q.)
5 38 5
10 616 1020 15
4. Seis estudiantes hacen lagartijas y sentadillas, según las siguientes tablas. Calcula el coeficiente de correlación.
ESTUDIANTES LAGARTIJAS SENTADILLAS1 40 432 40 503 55 544 35 325 52 406 30 35
5. Si ∑X = 380, ∑Y = 914, ∑XY = 5412, ∑X² = 23600, N = 8 y ∑Y² = 1275.7. calcula el coeficiente de correlación.
6. Comprueba si el coeficiente de correlación de Pearson para las puntuaciones de 15 sujetos en las variables X e Y es de 0.868.
X F9 512 56 19 47 29 25 19 37 33 110 46 211 54 213 5
Requisitos para el uso del coeficiente de correlación de Pearson.
1. La r de Pearson es útil solamente para detectar una correlación lineal en línea recta entre X y Y.
2. Las variables X y Y, deben medirse al nivel por intervalos de manera que se pueda asignar puntajes a los entrevistados.
3. Los miembros de la muestra deben extraerse aleatoriamente de una población específica.
REGRESIÓN.
La palabra se emplea para denotar el proceso de estimar el valor de una de las variables en función de la otra, cuyo valor se considera dado. Galton fue el primero en utilizar el término, es un estudio que hizo para relacionar las estaturas de padres a hijos indicando que la estatura de los hijos respecto de la de sus padres sufre una regresión a la media, es decir, que los hijos de padres con una determinada altura tienen una estatura media más cercana a la media de la población que a la de sus padres.
Cuando se calcula el valor de X en función de Y, se habla de una regresión de “1 en 2” y se estará calculando la primera variable en función de la segunda. La regresión “2 en 1” será cuando calculemos el valor para Y, si conocemos el valor de X.
Análisis de regresión.
Consiste en predecir los valores de una variable Y conociendo los valores de otra variable X.
Vimos que la fuerza de una correlación entre X y Y aumenta a medida que los puntos del diagrama de dispersión se estrechan formando una línea recta imaginaria. Esta línea la podemos identificar con una línea de regresión, línea recta que se dibuja a través del diagrama de dispersión.
El análisis de regresión encuentra la ecuación recta que describe mejor la relación entre las dos variables.
La ecuación Y = a + b X, que describe la relación entre las variables X y Y, se llama ecuación de regresión y su gráfica recta de regresión.
La recta de regresión nos permite predecir los valores de Y a partir de los de X.
La pendiente b de la recta de regresión puede ser:
a. Ascendente si es mayor que cero, o sea pendiente positiva.b. Descendente si es menor que cero, o sea pendiente negativa.c. Una línea paralela a uno de los ejes si es igual a cero.
Gráficamente tenemos:
Y Y Y Y
Y Y
X
X X X
0 b > 0 0 b < 0 0 b = 0
La ordenada al origen, corresponde a la altura de la perpendicular levantada desde el punto de origen. Al igual que b puede ser mayor, menor o igual a cero. Cuando a > 0, será un punto por encima del origen; para a = 0, la línea pasará por el origen; para a < 0, le corresponderá a un punto por debajo del origen.
Gráficamente tenemos:
Y Y Y
X X X
0 0 0
Graficando a Y = a + b X tenemos la figura:
Y
0 X
aa
a
a
Y = a + bx
La ecuación de la recta está determinada por su pendiente y la ordenada al origen.
La ordenada al origen y la pendiente de la recta de regresión se obtienen mediante las fórmulas:
A=∑ X2∑Y −∑ X ∑( XY )
N ∑ X2−(∑ X ) ²
B=N∑ ( XY )−∑ X ∑Y
N∑ X ²−(∑ X) ²
Ejemplos:
1. Con los datos del ejemplo del cálculo del coeficiente de correlación, página 166 determinaremos la ecuación de regresión que describe una relación entre las variables X y Y.
Procedimiento:
a) Sabemos que ∑X² = 297, ∑Y = 38, ∑X = 59 y ∑(XY) = 190, por lo que al sustituir tenemos:
a=(297 ) (38 )−(59 )(190)13 (297 )−(59) ²
= 11286−112103861−3481
¿ 76380
¿ 15 = 0.2
b) Sustituyendo en la ecuación de regresión tenemos:
Y = 1/5 + 57/95 X ó Y = 0.2 + 0.6 X
Si en la ecuación Y = 0.2 + 0.6X. La sustituimos por los valores de X = 2 y X= 6, obtenemos:
Y = 0.2 + 0.6 (2) = 0.2 + 1.2 = 1.4
Y = 0.2 + 0.6 (6) = 0.2 + 3.6 = 3.8.
Por lo que podemos decir que la recta de regresión pasa por los puntos (2, 1.4) y (6, 3.8).
Al trazar la gráfica.
2. Con los siguientes datos calcularemos la recta de regresión de Y sobre X.
X Y FX² XY4 3 16 125 3 15 156 4 36 247 6 49 428 5 64 409 7 81 6310 6 100 60
49 34 371 256
Tenemos que: N = 7, ∑X = 49, ∑Y = 34, ∑X² = 371 y ∑XY = 256.
Sustituyendo:
a=(371 ) (34 )−(49 )(256)7 (371 )−(49) ²
¿ 12614−125442597−2401 ¿ 70
196 = 0.357
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b=7 (256 )−(49 )(34)7 (371 )−(49) ²
¿ 1792−16662597−2401 ¿
126196
= 0643.
Sustituyendo en la ecuación de regresión tenemos:
Y = 0.357 + 0.643 X
Si en la ecuación Y = 0.357 + 0.643 X, sustituyes la X por los valores 6 y 8, ¿Por qué puntos pasa la recta de regresión? Traza la gráfica respectiva.
EJERCICIO No.3
1. Determina la ecuación de regresión y traza la gráfica del inciso 3 del ejercicio número 2 de este capítulo.
2. Determina la ecuación de regresión y traza la gráfica de la siguiente tabla, que contiene los pares de valores correspondientes a dos variables X y Y.
X Y2 13 22 23 34 34 5
3. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson para el siguiente conjunto de datos, indica si la correlación es significativa, determina la ecuación de regresión y traza la gráfica para predecir el valor de Y para los siguientes valores de X: 10, 6 y 5.
X Y10 28 26 43 91 104 6
5 5
4. Con los siguientes valores correspondientes a X y Y.
X Y2 164 125 106 88 711 5
a) Calcula el coeficiente de correlación.b) Calcula la ecuación de regresión y traza su gráfica.c) Multiplica cada valor de X de la tabla por 2 y súmale 6. Multiplica cada valor
de Y de la tabla por 3 y réstale 15. Halla el coeficiente de correlación entre los dos nuevos sistemas de valores y explica que se obtiene o no, el mismo resultado que en el inciso a).
5. Con los datos de estaturas y pesos de 7 estudiantes, calcula el coeficiente de correlación la ecuación de regresión y traza la gráfica respectiva.
ESTUDIANTES ESTATURA (X) PESO (Y)1 149 1302 136 1203 147 1404 136 1105 152 1206 160 1397 175 165
6. La tabla siguiente muestra el ingreso (en cientos de quetzales) y la edad de cinco personas.
INGRESO (Y) 20 26 30 34 38EDAD (X) 22 26 31 35 40
a) Encuentra la correlación lineal.b) Calcula la ecuación de la recta.
PRUEBA OBJETIVA.
Nombre: ________________________________________________________
Fecha: _________________________________________ Punteo: _________
PRIMERA SERIE.
Responde las preguntas siguientes en los espacios en blanco.
1. ¿Qué es un diagrama de dispersión?________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿Cómo puede ser la correlación en los diagramas de dispersión?________________________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Qué es la regresión y qué es el coeficiente de correlación?________________________________________________________________________________________________________________________
4. Cuando r = 1, r = 0 y r = -1, ¿Cómo es la correlación?________________________________________________________________________________________________________________________
5. ¿Qué es el análisis de regresión?________________________________________________________________________________________________________________________
SEGUNDA SERIE.
1. Con los siguientes valores correspondientes a X y Y.
X Y4 86 128 8
5 99 10
a) Calcula el coeficiente de correlación.b) Calcula la ecuación de regresión y traza su gráfica.
2. Para los siguientes datos: ∑X = 264, ∑Y = 125, ∑XY = 2743 N = 15, ∑X²= 5928 y ∑Y² = 1307.
a) Demuestra que la ecuación de regresión para predecir Y a partir de X es:Y = 0.84 + 0.42 X.
b) Calcula el coeficiente de correlación.
3. Determinar r y la ecuación de regresión para las siguientes puntuaciones obtenidas en dos pruebas de aptitudes.
PRUEBA 1 PRUEBA 29 88 77 96 104 83 6
4. Con los siguientes valores correspondientes a X y Y.
X Y3 94 105 108 13
a) Calcula el coeficiente de correlación.b) Calcula la ecuación de regresión y traza su gráfica.
5. Haz un diagrama de dispersión para los datos siguientes:
X 12 6 4 3 11 1 12 7 8 13Y 8 9 8 5 9 3 8 11 9 9
6. Calcula la ecuación de la recta del inciso anterior.
7. La tabla siguiente muestra el ingreso (en cientos de quetzales) y la edad de seis personas:
INGRESO (Y) 24 34 48 41 35 44EDAD (X) 23 27 35 24 26 46
a) Encuentra la correlación linealb) Calcula la ecuación de la recta.
CAPITULO ONCE.
PROBABILIDAD.
Durante miles de años el hombre ha predicho el resultado de acontecimientos futuros. Se predice cada vez que se juega a las cartas, a los dados o a la ruleta, Como el estudio normal, las predicciones son la base de muchas decisiones financieras y de la interpretación de los experimentos científicos.
Los seguros de vida y contra incendios, así como las primas de jubilación, se basan también en predicciones y se programan de tal manera que la compañía pueda pagar la suma fijada a cualquier cliente sin descuidar a los demás, obteniendo los fondos de los pagos del dinero del resto de los clientes.
En este capítulo estudiaremos la forma de determinar la probabilidad de que suceda un hecho determinado.
CONCEPTO Y SIGNIFICADO ESTADÍSTICO DE LA PROBABILIDAD.
Cuando no es posible, partiendo de un estado inicial, determinar el estado final de un fenómeno, consideremos a dicho fenómeno como aleatorio. La imposibilidad de determinar el estado final a partir de un estado inicial se debe a la actuación de un gran número de factores interdependientes, que hacen imposible la predicción de un caso particular.
Al lanzar un dado por ejemplo, intervienen los siguientes factores: posición final del dado dentro de un cubilete, fuerza con que se lanza sobre la mesa, esquina que topa primero, elasticidad de la mesa en que rebota, efectos de rotación, etc. Por esa razón la caída de la una u otra cara del dado se consideran aleatorias. Si embargo, es probable prever los resultados que se obtendrán al repetirse los experimentos u observaciones un gran número de veces (en el tiempo o en el espacio). Por ejemplo si el dado está en buenas condiciones, puede predecirse que en un número de lanzamientos cada una de las seis caras caerá aproximadamente un sexto de las veces.
Enrique Casado dice:
“El cálculo de probabilidades es la teoría matemática que sirve de modelo para la descripción y análisis de los fenómenos estadísticos o aleatorios”.
John Neter:
“Interpretamos la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo bajo un sistema de causa constante”, la que se considera como la definición clásica de la probabilidad, determinada por:
P ( A )=mn
=númerosde caos favorablesnúmerosde casos posibles .
Ejemplo:
La probabilidad de sacer una reina de paquete de 52 naipes será:
P ( A )= 452
= 113
=0.0769
Esta definición presenta dificultades de aplicación fuera del juego de azar, que fue en donde se originó el cálculo de probabilidades.
La probabilidad también ha sido definida como el límite matemático de la frecuencia del suceso cuando el número de experimentos tiende al infinito o es un número comprendido entre cero y el uno. Un valor de uno equivale a certeza absoluta y el cero indica que no hay posibilidad de que ocurra el suceso.
ESPACIO MUESTRAL.
El conjunto de los diferentes resultados posibles de interés de un experimento aleatorio constituye el especio muestral del mismo. Así, una acción o experimento tendrá como resultado uno de los 2 o más resultados posibles que el experimento puede tener.
Ejemplo:
1) La acción o experimento de lanzar una moneda al aire. Al observarla como cae, podemos ver que solamente podrá tener 2 resultados posibles al caer: cara o escudo.
El espacio muestral que corresponde al experimento de lanzar una moneda y observar que cae es:
S = {c, e}
En donde S representa el espacio muestral, c el resultado al caer cara y e el resultado al caer escudo.
2. Al lanzar un dado y observar la cara que cae, observamos uno de los seis resultados posibles:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un evento del ejemplo anterior es el conjunto de números pares:
E = {2, 4, 6}
Un evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un solo
elemento. Esta estaría representado por la aparición de un 3, o sea E = ·{3}.
Para el espacio muestral existen seis posibles eventos simples: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, y {6}, para un solo lanzamiento.
EJERCICIO No. 1
1. ¿Cuál es el espacio muestral del lanzamiento de dos dados?__________________________________________________________
2. En una encuesta de mercadeo, se pide a una ama de casa que seleccione una de tres presentaciones (x, y, z), la que parezca más atractiva. ¿Cuál es el espacio muestral?____________________________________________________________
3. Una bolsa contiene cinco azules, negros, verdes y blancos. Si sacamos uno y observamos su color. ¿Cuál es el espacio muestral?
Espacios de muestreo univariados y bivariados.
Los espacios de muestreo en los que los resultados básicos son con respecto a una sola característica, se llaman espacios de muestreo univariados, pero si el resultado se refiere a dos características, el especio de muestreo es bivariado y se llama multivariado, si el número de características es mayor.
El ejemplo de uviariado lo encontramos en los ejemplos del espacio muestral. Para el bivariado podemos considerar el número de piezas de repuesto del tio Q -1 requeridas para cada una de dos máquinas en el siguiente período de producción. Suponiendo que el número de piezas de repuesto requerido por un máquina no es mayor que dos. El espacio de muestreo de este experimento
aleatorio contiene 9 resultados básicos, en donde X es el número de repuestos requeridos por la máquina No. 1 y Y el número requerido por la máquina No. 2
Un resultado básico del experimento es que la máquina No. 1 requiera de repuestos (X = 2) y la máquina No.2, requiera cero repuestos ( Y = 0).
Gráficamente sería.
Y
0
X 1
2
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.
La asignación de probabilidades a cada uno de los resultados básicos del espacio de muestreo se le llama distribución de probabilidad. Es la distribución de las probabilidades asociadas con cada uno de los valores de una variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidades son univariadas, bivariadas, o multivariadas, según sea el espacio de muestreo. Se usa para representar poblaciones.
La suma de las probabilidades en cualquier distribución de probabilidad es igual a 1.
Ejemplo:
Considerando el ejemplo de las piezas de repuesto, vamos a suponer que la distribución de probabilidad bivariada para el experimento es el siguiente:
Y
X
Según la tabla anterior, observamos que la probabilidad de que X = 1 y Y = 0 es de 0.18. Este enunciado de probabilidad se escribe como P (X = 1 y Y = 0) = 0.18.
0 1 20 0.30 0.14 0.061 0.18 0.10 0.022 0.12 0.06 0.02
Los enunciados de probabilidades que involucran la especificación de dos o más características, se llaman probabilidades conjuntas.
EJERCICIO No. 2
De la distribución de probabilidad de la tabla anterior, especifique las probabilidades siguientes conjuntas:
1. P (X = 0 y Y = 1) = _________________________________
2. P (X = 2 y Y = 2) = __________________________________
3. P (X = 2 y Y = 0) = __________________________________
4. P (X = 1 y Y = 1) = _________________________________
5. P (X = 1 y Y = 2) = _________________________________
COMBINACIÓN DE EVENTOS.
Ejemplos:
1. Si lanzamos una moneda 2 veces. La lista de los eventos posibles se incrementa, ya que debemos considerar los sucesos de ambos lanzamientos al mismo tiempo. De donde:
S = {cc, ce, ec, ee}
Este espacio muestral lo podemos representar también por medio de un diagrama arborescente, así:
C, C
Cara
Escudo c, e
Cara
INICIO
Escudo Cara
e, c
Escudo e, e
CON UN LANZAMIENTO CON DOS LANZAMIENTOS
Si agregamos un tercer lanzamiento al experimento, entonces el espacio muestral es:
S = {ccc, cce, cec, cee, ecc, ece, eec, eee}
Construye el diagrama arborescente para este experimento.
1. Si lanzamos 2 dados se puede dar los siguientes eventos:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,4) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Observamos que hay 36 eventos, con los que podemos formar conjuntos de parejas ordenadas en un conjunto, porque ambos dados caen con cualquiera de sus seis caras hacia arriba.
2. Si tenemos los eventos A y C.A “caer caras iguales”
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
C “caer suma menor o igual que 4”
C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}
Podemos formar el evento A U C, constituido por los eventos que pertencen a A o a C. El evento A U C lo llamaremos evento unión de A y C. Cuando decimos que ocurre A U C, se quiere decir que ocurre A, que ocurre B o que ocurren ambos, así tenemos que A U C es:
A U C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)}
Si realizamos el experimento al tirar los dados vemos que si ocurre el resultado (1,1), se da A U C y ocurre en A y C; si ocurre el resultado (3,3), se da A U C y ocurre A y si ocurre el resultado (1,2), se da A U C y ocurre C.
Cuando ocurre A C, quiere decir que ocurren ambos A y C, de donde obtenemos el evento intersección de A y C.
Así A ∩ C = {(1,1), (2,2)}
Dado un evento cualquiera, existen los eventos complementarios de este evento. Así para los eventos A y C, el evento complementario de A; Ā está formado por todos los resultados que no muestran caras iguales y el complementario de C; C está constituido por los resultados cuya suma es mayor que 4.
EJERCICIO No. 3
1. Con los datos del ejemplo 2:a) Escribe los siguientes eventos:
E “caer suma mayor o igual que 5” _________________________F “caer suma mayor que 4” _________________________G “caer suma mayor que 6” _________________________
b) Haz los siguientes eventos:E U F = __________________________
E ∩ G = __________________________
E U G = __________________________
E ∩ F = __________________________
2. Si lanzamos una moneda 3 veces,a) Haz un diagrama de árbol que represente todos los resultados posibles.b) ¿Cuál es la probabilidad que representa el evento “ocurrió exactamente
un evento”?________________________________________________
3. Si lanzamos una moneda 4 veces. ¿Cuál es la lista de los eventos posibles?_________________________________________________________
Probabilidad de eventos igualmente probables.
Cuando realizamos un experimento creemos que un determinado evento puede ocurrir. Llamaremos PROBABILIDAD al número asignado a un evento que nos va a medir la creencia de que ese evento pueda ocurrir.
Si tenemos la seguridad de que un evento va a ocurrir entonces la probabilidad del evento será uno, si sabemos que el evento no va a ocurrir, su probabilidad será cero. En otros casos, la probabilidad podrá ser un número entre cero y uno.
Simbólicamente:
0 ≤ P ≤ 1
Utilizando la fórmula: P= 1N
Así, con el ejemplo de la moneda tanto el resultado cara o escudo tienen las mismas posibilidades de ocurrir; por lo cual son dos eventos igualmente probables y por lo tanto:
P ( {c}) = 12 y P ( {e}) =
12
Al lanzar un dado todas las caras tienen las mismas posibilidades de ocurrir, por lo tanto probables, por lo que los números que le asignamos a los eventos son mayores o iguales a cero y al sumarlos nos darán la unidad.
Ejemplo:
Una bolsa de cincos contiene 3 azules, 4 verdes, 2 rojos y 5 negros. Si sacamos un cinco de la bolsa y observamos su color, vemos que el especio muestral asociado es: S = {a, v, r, n}
Y las probabilidades asignadas:
P ({a}) = 3/14, P ({v}) = 4/14 = 2/7, P ({r}) = 2/14 = 1/7 y P ({n}) = 5/14
De donde: 3/4 + 2/7 + 1/7 + 5/14 = 1
Dado un espacio muestral finito S, que contiene elementos equiprobables y un evento E, tal que E Є S, entonces la probabilidad del evento, P (E), es la razón n (E) a n (S).
P ( E )=n(E)n(S)
Ejemplo:
El evento “la suma de las dos caras es S”. El subconjunto que contiene todos los resultados posibles es:
E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
La probabilidad de obtener un número 5 al tirar los dados es la razón por cociente al número de manera en que se puede obtener un cinco entre el número de formas en que pueden caer los dados.
P ( E )= 436
=19
El resultado lo podemos interpretar así:
La suma de las caras será 5 una de 9 veces.
EJERCICIO No. 4
1. Una bolsa de cincos contiene 6 blancos, 5 amarillos, 3 rojos y 8 negros. ¿Qué probabilidad se le puede asignar a cada color?
2. Encuentra la probabilidad de obtener por lo menos un 10 en una sola tirada de un par de dados.
3. Encuentra la probabilidad de obtener por lo menos un 9, en una sola tirada de un par de dados.
Probabilidades de eventos mutuamente exclusivos.
Se dice que dos eventos E y F son mutuamente exclusivos cuando no pueden ocurrir, es decir E y F son conjuntos ajenos, E ∩ F = Ø.
Ejemplos:
1. En el conjunto de tiradas tal que se obtiene un 10 y el conjunto de tiradas tal que se obtiene un 9 no tienen elementos en común, por lo que son conjuntos mutuamente exclusivos.
Si E y F son eventos mutuamente exclusivos, P (E U F) = P(E)) + P (F).
2. Si sabemos que las probabilidades de obtener un diez, un once o un doce, son eventos mutuamente exclusivos, podemos decir que:
P(10 U 11 U 12) = P(10) + P (11) + P (12) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 1/6
3. Encuentra la probabilidad de obtener un número menor que 6 en una jugada de dos dados.
Solución:
La probabilidad de obtener un número menor que 6, es la probabilidad de obtener un 2, 3, 4 ó 5. Como ninguno de estos resultados pueden presentarse simultáneamente con otro son eventos mutuamente exclusivos y tendremos:
P (2 U 3 U 4 U 5) = P (2) + P(3) + P (4) + P(5)
= 1/36 + 2/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36 = 5/18.
EJERCICIO No. 5
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número de 10 en una jugada de dos dados?____________________________________________________________
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 12, en una jugada de dos dados?____________________________________________________________
Probabilidad de eventos no mutuamente exclusivos o eventos que tienen resultados en común.
Ejemplo:
En una baraja de 52 cartas. Hay trece cartas de cada palo y cada uno de estos contiene tres figuras, la probabilidad de obtener espadas es P (s) = 13/52 y la probabilidad de obtener un figura es P (F) = 12/52. Si se requiere encontrar la probabilidad de obtener una figura o espadas, será necesario encontrar P (S U F)
El rey, la reina y la sota de espadas cuentan como espadas y figuras. Hay 52 eventos (las cartas de la baraja) en el espacio muestral, pero solo 22 elementos en el espacio de eventos al obtener cualquiera de las 13 espadas o cualquiera de las 9 figuras restantes correspondientes a los otros palos. Si la probabilidad de obtener espadas se suma la de obtener figuras, las espadas se contarían 2 veces.
Entonces será necesario restar una vez la probabilidad de obtener las figuras de espadas, por lo que tenemos:
P (S U F) = P (S) + P (F) - P (S ∩ F)
P (S U F) = 13/52 + 12/52 - 3/52 = 22/52= 11/26
En general podemos decir que si dos eventos E y F de un espacio muestral no son mutuamente exclusivos, tenemos:
P (E U F) = P (E) - P (F) - P (E ∩ F)
Para tres eventos no mutuamente exclusivos, E, F y G, de un espacio muestral, tendremos:
P (E U F U G) = P (E) + P (F) + P (G) – P (E ∩ F) – P (E ∩ G) – P (F ∩ G)
+ P (E ∩ F ∩ G)
Ejemplo:
Un joyero produce 50000 aretes de estos, 720 no están bien moldeados; 397 presentan ralladuras; 534 no tienen agarrados; 180 están rayados y tienen defectos moldura y 70 además de estar rayados, carecen de agarrados. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un arete defectuoso de la caja en que están depositados todos?
Solución:
Si M representa los aretes con defecto de moldeado, R los que tienen ralladura y A los que carecen de agarrador, entonces:
P (M) = 720/ 50000; P (R) = 394/ 50000; P (A) = 534/ 50000
P (M ∩ R) = 180 / 50000 Y P (R ∩ A) = 70/ 50000
Como: P (M ∩ A) = P (M ∩ R ∩ A) = 0
Por lo que:
P (M U R U A) = 720/ 50000 + 397/ 50000 + 534 / 50000 – 180/ 50000 -70/ 50000
P (M U R U A) = 1401/ 50000
EJERCICIO No. 6
1. La lotería en un país paga $40 si los últimos 3 dígitos del boleto coinciden con el número premiado, $400 si coincide los últimos 4 y $4000 si coinciden los últimos 5 dígitos. La numeración de los boletos empieza en el millón y se venden todos los boletos hasta el número 2, 499,999. ¿Cuál es la probabilidad de ganar $40, $400 y $4000?
2. Si se lanza una moneda, se selecciona una carta de una baraja y se nombra un color primario. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga cara, la carta sea un corazón y el color mencionado sea un rojo?
Probabilidad de eventos independientes
Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia del primero no afecta la ocurrencia del segundo.
Ejemplo:
1. Si se lanza una moneda y un dado, la posición de la moneda no afectará la posición del dado porque la moneda puede caer de dos formas y el dado de 6, por lo que existen 2 X 6 = 12 resultados posibles.
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un número impar?
Solución:
Cara -1, cara -3 y cara -5 son los eventos posibles. Luego la probabilidad de obtener una cara y un número impar es P (M y D) = 3/12.
Esto es porque P (M) = ½ y P (D) = 3/6, entonces ½ x 3/6 = 3/12
De donde podemos decir que:
P (M ∩ D) = P (M) P (D) y que M y D son eventos independientes.
EJERCICIO No. 7
1. Si lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos caiga la moneda de cara?
2. Si se lanza una moneda y un dado, sea M el evento “la moneda cae cara hacia arriba” y el evento “se obtiene un 6”. Es P (M ∩ D) = P (M) P(D)?
Probabilidad de eventos dependientes.
En este caso la probabilidad del segundo evento dependo del evento anterior.
Ejemplo:
1. Si se tienen siete calcetas azules y siete blancas es una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos calcetas azules en dos intentos consecutivos?
Nota: las calcetas no se regresarán al estar fuera de la caja.
Solución:
Si A es el evento “calceta azul en el primer intento” y B el evento “calceta azul en el segundo intento”
Tenemos: P (A) = 7/14 = 0.50
Si se saca una calceta azul en el primer intento, solo quedarían en la caja 14 calcetas, de las cuales 6 serán azules. Por lo que P (B) = 6/13 = 0.46.
Así la probabilidad de obtener un par de calcetas azules en dos intentos es:
P = 7/14 x 6/13 = 42/182 = 21/91 = 3/13.
El mismo resultado lo podemos obtener con el siguiente procedimiento:
Dos calcetas azules pueden seleccionarse de (72) = 21 maneras y es posible
elegir dos calcetas de (142
) = 91 maneras. *Como la probabilidad de éxito es el
número de eventos esperado entre el número de eventos totales, la probabilidad de obtener dos calcetas azules es de:
P = 21/91 = 3/13
2. Si se seleccionan dos cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean tréboles?
Solución: De un conjunto de 13 tréboles se pueden seleccionar 2 de ( 132 ) = 78
maneras y es posible elegir dos cartas de un conjunto de 52 de (522
) = 1326
maneras. * La probabilidad de que ambas sean tréboles es de:
P= 781326
= 117
EJERCICIO No. 8
1. Una caja contiene 3 cincos rojos y 2 azules. Si se extraen. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean rojos?
2. Nancy tiene un monedero con seis monedas de veinticinco y dos de diez centavos, ¿Cuál es la posibilidad de que al sacar dos monedas sean de veinticinco centavos?
3. Una bolsa contiene 5 pelotas y 7 rojas. Si se extraen tres pelotas. ¿Cuál es la posibilidad de que las tres sean amarillas?
4. De una baraja de 52 cartas se extraen 2, encuentra la probabilidad de que:
a) Las dos cartas sean corazones. ____________________________b) Las dos cartas sean ases. ____________________________
Probabilidad y frecuencia relativa.
Si P es un evento de un espacio muestral S asociado a un experimento que puede repetirse N veces, en las mismas condiciones, tenemos que el evento P puede o no ocurrir en cada repetición, el número de veces que ocurre el evento P en las N repeticiones se llama frecuencia. Al número que resulta de dividir las f veces que ocurre el evento P, en la N repeticiones del experimento que estamos haciendo, entre el número N de repeticiones se llama frecuencia relativa.
P( A)= fn
Ejemplo:
En el evento P = {1, 2}; “caer número menor que 3”, del espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que está asociado al experimento de tirar un dado, puede o no ocurrir cada vez que el dado se tire.
En la siguiente tabla se muestran las frecuencias con que ocurrieron tanto P, como P al repetir el experimento 80 veces.
EVENTO F FRECUENCIA RELATIVAP 22 22/ 80 = 11/40 = 0.275
P58 58/ 80 = 29/40 = 0.725
Con las frecuencias relativas que obtuvimos en el ejemplo, podemos concluir que alrededor del 27.5% de las veces que el dado se tire ocurrirá el evento P.
Concluyendo, podemos decir que la probabilidad de un evento cualquiera la podemos calcular con la fórmula:
P( A)= fn
EJERCICIO No. 9
1. Con el espacio muestral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el evento A = {5, 6}, “caer número mayor que 4”. ¿Calcula qué porcentaje de las veces que el dado se tire ocurrirá el evento A?
2. Si un experimento tiene 12 posibles resultados igualmente probables. ¿Qué probabilidad tiene cada uno de ellos?
3. La probabilidad de que ocurra un evento es 0.73. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra?
4. Si se tira un dado 30 veces. ¿Cuál será la frecuencia relativa de sus caras?
5. Jorge va resolver un examen corto de 2 preguntas, las que son de opción múltiple y tienen 4 respuestas posibles. Como no estudió para el examen, escribe los números 1, 2, 3, 4 en tiras de papel y selecciona una de estas para responder cada pregunta. ¿Cuántas posibles respuestas podrían aparecer?
Teóricamente, la probabilidad de un evento A se define como:
P ( A )= lim ¿n⇒∞
fN
¿
Expresión que nos indica que la probabilidad de un evento es el límite al cual tiende la frecuencia relativa cuando aumenta el número de repeticiones.
Para fines prácticos el cálculo de la probabilidad de un evento con la expresión P (A) = f / N, con N suficientemente grande, da buenos resultados.
PERMUTACIONES.
Una permutación es cualquier subconjunto ordenado de un conjunto universal. Es decir, se llaman permutaciones de n elementos a los diferentes grupos que pueden hacerse tomándolos todos cada vez.
Ejemplo:
Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
El subconjunto de {2, 3, 4,} es una permutación de tres elementos del conjunto dado. El conjunto {3, 2, 4} es otra permutación porque su orden es diferente. Las otras permutaciones que pueden obtenerse de tres elementos son:
{2, 4, 3,}, {3, 4, 2}, {4, 2, 3,} y {4, 3, 2}
O sea que, existen 3 X 2 X 1 = 6 permutaciones de 3 elementos considerados todos a la vez.
Se representa por Pn al número de permutaciones posibles, en donde Pn es igual al producto de los n primeros números enteros, se escribe n! y se llama factorial de n.
En el ejemplo anterior como eran permutaciones de 3 elementos, tenemos
P3 = 3! = 3 X 2 X 1 = 6
EJERCICIO No. 10
1. ¿Cuáles son las permutaciones posibles de los elementos a, b, c y d?_______________________________________________________
2. Demuestra que el número de posibles permutaciones de un conjunto de diez elementos utilizándolos todos a la vez es de 3, 628,800 formas._________________________________________________________
Principios de eventos sucesivos.
si un evento determinado puede producirse en cualquiera de A formas y una vez producido se puede producir un segundo evento en cualquiera de b formas, entonces ambos eventos puede ocurrir de AB formas.A
Ejemplos:
1. Hay seis personas como candidatos a la gerencia de una organización, si debe escogerse un gerente y un subgerente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos puestos?
Solución:
La gerencia puede ser ocupada por cualquiera de las seis personas. Una vez ocupada la gerencia, la subgerencia puede ser desempeñada por cualquiera de las cinco personas restantes, Así: 6 x 5 = 30 formas de llenar estos puestos.
2. Un almacén tiene siete puertas regulares y cuatro de emergencia que solo pueden abrirse por dentro. ¿De cuántas formas puede una persona entrar y salir del almacén?
Solución:
Para entrar al almacén una persona puede escoger entre siete puestas. Una vez adentro puede salir por cualquiera de las once puertas. Por lo que existen 7 x 11 = 77 formas de entrar y salir de la tienda.
EJERCICIO No. 11
Una tienda de regalos tiene 3 puertas regulares y dos de emergencia que solo pueden abrirse por dentro. ¿De cuántas formas puede una persona entrar y salir de la tienda?
Si S es un conjunto y n (S) = K, entonces el número de permutaciones posibles utilizando todos los elementos de s a la vez es:B
P (K, K) = K (K - 1) (K - 2) (K – 3) … 1
Las notaciones de P (K, K) se lee: “permutaciones de K objetos tomados k a la vez”.
Ejemplos:
1. hay seis candidatos al puesto de gerente general de seis restaurantes de una firma comercial. ¿De cuántas formas pueden ser asignados los candidatos a los seis restaurantes?
P (6, 6) = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas.
2. Debe asignarse a cinco hombres cinco trabajos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar el trabajo?
P (5, 5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas.
EJERCICIO No. 12
1. Si siete personas se sientan en siete sillas. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse?
2. Se ofrece un seminario con la intervención de cuatro expositores. ¿En cuántas formas se puede ordenar?
Sea S un conjunto y n (S) = K, entonces el número de subconjuntos ordenados de s, cada uno de r elementos (r ≤ K) es:C
P (k, r) = K (k -1) (k-2)… (k-r + 1)
La notación P (k, r) se lee: “el número de permutaciones de k elementos tomados r a la vez”.
Ejemplos:
1. En un compañía la gerencia general, la gerencia de ventas y la gerencia de mercadeo están vacantes y hay siete candidatos. ¿De cuántas formas pueden ser ocupadas las plazas?
Solución:
N (S) = 7 y r = 3, por lo tanto: k – r + 1 = 5 porque 7 -3 + 1 = 5
P (7, 3) = 7 x 6 x 5 = 210
2. Sean A = {Pérez, Pinzón, Santizo, Díaz}. De este conjunto escogeremos dos personas para los puestos de gerente y subgerente. ¿De cuántas formas puede llevarse a cabo la elección?
P (4, 2) = 4 x 3 = 12 formas que son:
{Pérez, Pinzón} {Pérez, Santizo} {Pérez, Díaz}
{Pinzón, Santizo} {Pinzón, Díaz} {Pinzón, Pérez}
{Santizo, Díaz} {Santizo, Pérez} {Santizo, Pinzón}
{Díaz, Pérez} {Díaz, Pinzón} {Díaz, Santizo}
Para calcular las formas también se puede utilizar la fórmula:
P= K !(k−r ) !
Luego P (4, 2) = 4 !
(4−2 ) !=4 !2 !
=4 x3 x 2x 12 x1
=242
=12
EJERCICIO No. 13
1. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con 1, 2, 3, 4, 5, y 6; tomando en cuenta que no pueden repetirse los dígitos?
2. Demuestra que si hay veinte concursantes y tres premios. Hay 6,849 formas en las que pueden repartirse los premios, tomando en cuenta que una misma persona no puede ganar más de uno.
VARIACIONES
Se llaman variaciones de m elementos tomas n a n, a los diverson agrupamientos que pueden hacerse tomando cada vez n de estos elementos. Dos agrupamientos pueden diferir en el orden de los elementos o en la naturaleza o en la naturaleza de uno de ellos al menos.
Ejemplo:
1. Si tenemos los elementos a, b y c. Las variaciones posibles de estos elementos, tomados son 2 a 2 son: a b b a a c c a b c c b
se representa por A n el número de variaciones posibles de m elementos, tomados de n a n m
Anm
es igual al producto de los n números enteros consecutivos decrecientes a
partir de m. Del ejemplo anterior tenemos:
Anm
= A² = 3 x 2 = 6
2. Cuatro personas entran en un automóvil que tiene 5 plazas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse?
A45
= 5 x 4 x 3 x 2 = 120
Respuesta: se pueden sentar en 120 formas diferentes.
EJERCICIO No. 14
1. Cinco personas entran en un automóvil que tiene 6 plazas. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse?
2. Si se tienen los elementos 1, 2, 3 y 4. ¿Cuáles son las variaciones posibles de estos elementos si se toman 2 a 2?
COMBINACIONES.
El número de conjuntos diferentes, con r elementos cada uno, que pueden formarse de un conjunto de n elementos (n > r), se llama combinación de n elementos tomando r a la vez.
La diferencia entre una combinación y una permutación de n cosas tomando r a la vez, es el orden.
Ejemplo:
1, 2, y 3 y 2, 3, 1 son diferentes permutaciones pero constituyen la misma combinación.
La notación C (n, r) expresa el número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez. Cada combinación de r elementos puede ser utilizada para formar r! permutaciones.
C (n, r) r! = P (n, r) ó C (n, r) = P (n , r )
r !
Como P (n, r) = n !
(n , r )! Entonces C (n, r) = n !
r ! (n−r )!
Que se puede describir:
C (n, r) = (nr ) =
n !r ! (n−r )!
En donde n! es la abreviatura que nos indica el producto de la sucesión de enteros que empieza con n y termina en 1.
Ejemplo:
1. Una caja contiene diez cinco, cada uno de diferente color. Si se escogen dos cincos. ¿De cuántas formas es posible elegirlos?
Solución:
C = (10, 2) = ( 102 ) = 10!
2! (10−2 ) ! = 10 !2!8 ! =
10x 9 x8 !2 x1 x8 ! =
902 = 45 formas.
2. ¿De cuántas formas pueden repartirse seis cartas de una baraja de 52?
Solución:
C (52, 6) = ( 526 ) = 52 !6 !48 ! =
52 x51 x50 x 49 x48 !6 x5 x 4 x3 x 2x 1x 48 ! =
902 = 9024 formas
3. Un padre de familia tiene ocho números de lotería diferentes y piensa regalarlos a sus hijos de la siguiente manera: al hijo mayor 3; al segundo hijo 3 y al menor 2. ¿En cuántas formas se pueden repartir los números de lotería?
Solución:
C = ( 8 !3!3 !2 ! ) =
8 x7 x6 x 5 x4 x3 x2 x13x 2x 1x 3 x2 x1 x2 x1 = 560 formas
EJERCICIO No. 15
1. Evalúa cada una de las expresiones siguientes:
a) 5!b) 6!
c)6 !3! 2!
d) 0!
2. Encuentra el valor de: C (8, 3); C (6, 4) y C (5, 3).
3. De nueve candidatos a un ascenso, se escogen tres. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar?
4. ¿Cuántas manos de cinco cartas pueden darse de una baraja de 52 cartas?
5. Con los cinco primeros números enteros. ¿Cuántos productos pueden formarse de dos factores diferentes?
6. De un grupo de ocho hombres y cuatro mujeres.
a) Se desea elegir una comisión formada por tres hombres y dos mujeres.Demuestra que se pueden formar 56 comisiones.
b) Demuestra que la probabilidad de elegir una muestra de tamaño 4, que esté constituida solo por mujeres de 0.002.
EL TEOREMA DEL BINOMIO.
El binomio de Newton puede escribirse en la forma siguiente:
(a + b)n = an + na n-1 b + n(n−1)1 x2
an-2 b² + n (n−1 )(n−2)1x 2x 3
an-3 + … + bn
Siendo su desarrollo determinado por: COEFICIENTES
(a + b)¹ = a + b………………………………………….. 1 1
(a + b)² = a² + 2ab + b²………………………………… 1 2 1
(a + b)³ = a³ + 3 a² b + 3ab² + b³ ……………………. 1 3 3 1
(a + b)4 = a4 + 4 a³ b + 6 a² b² + 4ab³ + b4………1 4 6 4 1
Ejemplos:
1. Por medio del teorema del binomio vamos a encontrar el desarrollo de (2x -3y)4.
Solución:
Como a –b = a + (-b), el desarrollo de (2x -3y)4 se puede expresar como [2x + (-3y)]4; por lo que
TRIÁNGULO DE PASCAL
[2x + (-3y)]4 = (40 ) (2x)4 + (
41 ) (2x)³ (-3Y) + (
42 ) (2x)² (-3Y)³ +
(43 ) (2x) (-3Y)³ + (
44 ) (-3y)4 = 16x4 – 96x³y + 126x²y² - 216xy³ + 81y4
2. Halla el octavo término de (a + b) 12. Este debe ser el que contenga b7.
Como la suma de los exponentes debe ser igual a 12, el término es de la forma a 5
b7 y el coeficiente es (127 )
Por lo que el octavo término de (2x + y) 12 es (127 ) (2x)5 Y7 = 792 (32x5 y7) =
25344 x5 y7
EJERCICIO No. 16
1. Desarrolla las siguientes expresiones:a) (x + y)4 b) (a-b)5 c) (2x – 3y)5 d) (a-b)³
2. Encuentra el cuarto término de (2x – y)7 3. Encuentra el noveno término de (a + 3b)12
Si en lugar de a y b utilizamos p y q, que nos van a representar las probabilidades de aparición de cara (C) y escudo (E) al lanzar dos monedas, 4 monedas, etc.
En este caso n será igual al número de monedas lanzadas. Si aplicamos la fórmula al lanzamiento de 4 monedas, tendremos:
(p + q)4 = p4 + 4p³q + 4 x 31 x2
p² q² + 4 x 3x 21 x2 x3
pq³ + 4 x 3x 2 x11x 2x 3x 4
q4
Sabemos que al lanzar 1 moneda tenemos ½ de probabilidad que caiga, por lo que p = ½ y q = ½, sustituyendo podemos simplificar la fórmula por:
(p + q)4 = p4 + 4p³q + 6p²q² + 4pq³ + q4
(½+ ½)4 = (1/2)4 + 4 (1/2)³ (1/2) + 6(1/2)² (1/2)² + 4(1/2) (1/2)³ + (1/2)4
(½)+ ½)4 = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 16/16 = 1
Al observar los términos del desarrollo del binomio, concluimos que:
a) En el primer término p4 solo aparece p y q que el exponente de p es 4, de donde se deduce que este término representa la caída de 4 caras.
b) En el segundo termino p³, aparece elevada a la tercera potencia y q a la primera de donde se deduce, que este término representa la caída de 3 caras y un escudo. Hay 4 formas en que pueden caer 3 caras al lanzar 4 monedas, así: cce, ccec; cecc y eccc.
c) En el tercer término hay 6 formas de que caigan 2 caras y 2 escudos.d) En el cuarto término hay 4 formas de que caigan una cara y 3 escudos.e) En el quinto término encontramos la caída de 4 escudos.
Ejemplo:
Escribir el desarrollo bimonial de (q + p)6.
(q + p)6 = q6 + 6q5p + 15q4p² + 20 q³p³ + 15q²p4 + 6qp5 + p5
Los coeficientes 1, 6 15, 20, 15, 6, 1, se llaman coeficientes bimoniaales correspondientes a N = 6, escribiendo estos coeficientes para N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, se obtiene una ordenación de binomios conocida como triángulo pascal, de la forma siguiente:
n Coeficientes Binomiales Denominador de P0 1 11 1 1 22 1 2 1 43 1 3 3 1 84 1 4 6 4 1 165 1 5 10 10 5 326 1 6 15 20 15 6 1 64
Podemos observar en el triángulo de Pascal que el primero y el último de cada fila es 1 y cualquier otro número puede obtenerse sumando los dos números a él, de la fila anterior.
EJERCICIO No. 17
1. Escribe el desarrollo binomial de (q + p)5,
2. Escribe el desarrollo binomial de (q + p)³,
3. Escribe el desarrollo binomial de (q + p)7.
La distribución binomial.
Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de éxito) y q = 1 – p es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada probabilidad de fallo, por lo que la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X veces en N ensayos (o sea, X éxitos y N – X fallos) está dada por:
P ( X )=Cnx
px qn−x= N !X ! ( N−X ) !
pxqN−X
Ejemplos:
1. La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda será:
P = C 62
(1/2)² (1/2)6-2 = 6 !2! 4 !
(1/2)6 = 1564
2. La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda será:
P = C 62
(1/2)4 (1/2)6-4 + C 65 (1/2)5 (1/2)6-5 + C
66
(1/2)6
P=1564
+ 664
+ 164
+ 2264
=1132
3. En el lanzamiento de cuatro monedas, la probabilidad de que se tenga exactamente dos caras será igual a:
Solución:
Cara = p = ½; escudo = q = ½; N = 4 monedas y x = 2 caras.
P = C4 (1/2)² (1/2)4-2 = 4 !
2! (4−2 )! (1/2)² (1/2)² = 6 (1/16) = 38
EJERCICIO No. 18
1. En el lanzamiento de cuatro monedas. Demuestra que la probabilidad de obtener exactamente ninguna cara, una cara, tres caras y cuatro caras es de 1/16, 4/16 y 1/16.
2. Si una urna contiene 10 bolas: 7 blancas y 3 negras. Demuestra que si hacemos tres extracciones con remplazo la probabilidad de obtener exactamente ninguna bola negra, una bola negra, dos bolas negras y tres bolas negras es de 343/1000, 441/1000, 189/1000 y 27/1000.RESUMIENDO.
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurre. Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad, y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.
PRUEBA OBJETIVA.
Nombre: ____________________________________________________
Fecha: _________________________________ Punteo: _____________
PRIMERA SERIE.
Responde las preguntas siguientes en los espacios en blanco.
1. ¿Qué es la probabilidad?__________________________________________________________
2. ¿Qué es el espacio muestral?
__________________________________________________________
3. ¿Qué es un evento?__________________________________________________________
4. ¿Qué es el espacio de muestreo univariado?__________________________________________________________
5. ¿Cuándo se dice que dos eventos son mutuamente exclusivos?_________________________________________________________
6. ¿Cuándo se dice que dos eventos son independientes?_________________________________________________________
7. ¿Qué es la frecuencia relativa?_________________________________________________________
8. ¿Qué es una variación?_________________________________________________________
9. ¿Qué es una combinación?_________________________________________________________
10.¿Qué es una permutación?_________________________________________________________
SEGUNDA SERIE.
Resuelve los siguientes problemas:
1. Demuestra que:a) Hay 16890 formas para formar grupos de 3 personas de un
conjunto de 9.b) Hay 1260 formas para formar grupos de 2, 3, y 4 personas.
2. Resuelva los problemas siguientes, comprobando si los resultado que se te dan en cada uno son correctos, si no lo son, explica por qué.
a) El valor de C 84
= 70
b) El valor de P 75
= 2520
c) La probabilidad de conseguir un total de 7 puntos de una vez en dos lanzamientos de un par de dados, es de: 5/18.
d) Doscientas diez son las formas en que pueden seleccionarse 6 preguntas de un total de 10.
e) Ciento setenta son las formas en que pueden sentarse 5 personas en un sofá que tiene solamente tres asientos.
f) La probabilidad de que en cinco lanzamientos de un dado el tres aparezca, es de 25/ 3888.
g) La probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen es falso y verdadero es de 193 / 512.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que entres lanzamientos de una moneda aparezcan dos caras y una cruz?
4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una vez en tres lanzamientos de un par de dados?
5. Si lanzamos una moneda al aire cinco veces. ¿Cuál es la lista de los eventos posibles?
6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7 en una jugada de dos dados?
7. Si se tienen cinco calcetines negros y cinco calcetines blancos en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos calcetines negros en dos intentos consecutivos?
8. Debe asignarse a seis hombre seis trabajos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar el trabajo?
9. Tres personas entran a un automóvil que tiene 4 plazas. ¿De cuántas maneras diferentes puede sentarse?
10.Con los cuatro primeros números enteros. ¿Cuántos productos pueden formarse de dos factores diferentes?