TEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN - FACULTAD DE INGENIERIA

Docente: Ms. Selene Yengle Del CastilloTEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN - FACULTAD DE INGENIERIA

2

CAPITULO III

MEDIDAS DE RESUMEN

INTRODUCCIN. Son valores numricos que sirven para caracterizar un conjunto de datos; es decir, que nos permiten describir el comportamiento de los datos. Se clasifican en medidas de Tendencia Central, medidas de posicin, medidas de Dispersin y medidas de Forma.

3.1.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Son medidas de resumen que nos indican alrededor de qu valor se agrupan o concentran los datos. Son medidas de Tendencia Central o Centralidad: la Media Aritmtica, la Mediana, la Moda, la Media Geomtrica.

3.1.1.Media Aritmtica. Conocida tambin como promedio o simplemente media, se define como el cociente de la suma de los datos y el tamao de la muestra. Sean los datos la media aritmtica se denota con y se define como:

o, utilizando el signo de suma:

Media muestral: ,Frmula para datos no agrupados o sin tabular(1)Donde: n= Numero total de datos o tamao de la muestra.

Media poblacional: , donde N=tamao de la poblacin

Calcule la media de los siguientes conjuntos de datos:

A: 13, 17, 20, 10, 12, 18 n=6 ,

B : 11.8, 13.6, 14.2, 16.5, 12.5, 18.5, 14.6, 15.4

Dados los siguientes datos: 20, 24, 22, 25, 28, 20, 20, 20, 22, 22, 20, 24, 25, 28, 20, 24, su media aritmtica es:

(2)

El numerador de (2) se puede disponer en una tabla como: XifiXifi20 6120223 6624 3 7225 2 50282 56Total 16 364

Puede utilizarse cuando los datos se repiten la frmula:

Frmula para Datos Agrupados o tambin llamados tabulados(3) La frmula (3) tambin puede utilizarse cuando los datos estn agrupados en una distribucin de frecuencias, siendo los Xi los puntos medios de los intervalos.

Dada la distribucin de frecuencias:Intervalos fiXi fi Xifi10-16 713 7 9116-22131913 24722-28152515 37528-34103110 31034-40 537 5 18550501208Aplicando la frmula (3)

Calcule la media aritmtica de:(a) Xi fi(b)Intervalos fi12 47-13 713 613-191314 719-2515151325-3110161031-37 5Casos Prcticos:1) Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio. Interpretacin: El peso medio de los amigos en estudio es de 80 Kg.2) El profesor de la materia de estadstica desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: 3,23,12,44,03,5

3,03,53,84,24,0

Cul es el promedio de notas de los alumnos de la clase?SOLUCINAplicando la frmula para datos no agrupados tenemos:Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una poblacin correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media aritmtica. En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variacin notoria se debi a que la media aritmtica es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos. El 0,0 es una nota atpica comparada con las dems, que estn ubicadas entre 3,0 y 4,2.

Desventaja de la media aritmtica queda fuertemente afectada por valores extremos.3.1.2.MedianaMediana para datos no agrupados o tambin para datos agrupados sin intervalos de clase.Calcule la mediana de los siguientes datos:A: 5, 7, 9, 11, 13n=5Me=9B: 8, 10, 11, 13, 15, 16 n=6Me=(11+13)/2=12C: 12, 7, 8, 10, 3, 5, 9, 15c: 3,5,7,8,9,10,12,15n=8Me=(8+9)/2=8.5

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto ordenado de datos. As, para obtener la mediana de un conjunto de datos, previamente debe ordenarse los datos de menor a mayor. Luego debe determinarse el lugar que ocupa la mediana calculando . Si el nmero de datos es impar la mediana es el dato que se encuentra en el centro y, si el nmero de datos es par, la mediana es el promedio de los dos valores que estn en el centro. Calcule la mediana para los siguientes datos: A: 8, 5, 2, 9, 12, 7, 16, 4, 10 B: 12, 10, 8, 5, 9, 11, 14, 7,15, 13C:Xi468101214fi358642Mediana para datos agrupados en intervalos.Para el clculo de la mediana se procede de la siguiente manera:a) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas (Fi)b) Se identifica el intervalo que contiene a la mediana.

El intervalo de la mediana es el intervalo que tiene como frecuencia acumulada a Fi, la frecuencia acumulada menor tal que Fi >

c) Se utiliza la frmula: Me = Donde LRI: es el lmite real inferior del intervalo mediano.A: la amplitud del intervalo mediano.Fi-1 : frecuencia acumulada del intervalo que antecede al intervalo mediano.fi : es la frecuencia simple del intervalo mediano.Ejemplo:IntervalosfiFi7-13 7 713-191320Fi-119-251535= Fi25-31104531-37 550

busca en las frecuencias absolutas acumuladas Como 35 es la frecuencia absoluta acumulada menor tal que 35 > 25.5, el intervalo que contiene a la mediana es el intervalo 19-< 25. As:LRI = 19, A = 6, Fi-1 = 20 y fi = 15.La mediana es:

Me = 19 + 6 = 19 + 2.2Me = 21.2 Significa que el 50% de los datos son menores que 21.2 y el otro 50% de los datos son mayores que 21.2

Ejercicio. Calcule la mediana de los datos de la distribucin:Intervalos fi 3-11 511-19 719-27 827-351335-431743-5110

3.1.3.Moda Moda para datos no agrupados o tambin para datos agrupados sin intervalos.Cul es la moda en los siguientes conjuntos de datos:A : 3, 5, 7, 5, 8, 5, 2, 5 Mo=5Distribucin unimodalB: 5, 5, 3, 4, 7, 7, 7, 8, 5Mo=5 y 7Distribucin bimodalC: 5, 3, 7, 9, 8, 1, 12, 11No existe modaQu es moda?La moda es el dato que ms se repite. Es el dato que tiene mayor frecuencia.

Cul es la moda en la distribucin:Xi46 8101214fi3512642Mo=8 porque tiene la mayor frecuencia absoluta simple.

Moda en datos agrupados en intervalos:Intervalos fi 3-11 511-19 719-27 827-3513=fi-135-4317=fi43-5110=fi+1Para hallar la moda se procede as:a) Se determina el intervalo que contiene a la moda( intervalo de mayor frecuencia)b) Se aplica la frmula:

Mo = LRI + A ( donde

y

siendo la frecuencia simple del intervalo modal, la frecuencia simple del intervalo que precede al modal, y la frecuencia simple del intervalo que sigue al modal.Para el ejemplo, el intervalo modal es 35 -< 43, por lo tanto la moda es :

Mo = 35 + 8 ( ) = 35 + 2.9 = 37.9

Ejercicio. Halle la moda de:Intervalosfi12- 17517- 22822- 271527- 322232- 371737- 42133.2 MEDIDAS DE POSICINEstas medidas, llamadas tambin Cuantiles, dividen a un conjunto de datos ordenados en grupos iguales. Entre estas medidas tenemos a los cuartiles, a los deciles y a los percentiles.

CUANTILES PARA DATOS SIN AGRUPAR O TAMBIEN PARA DATOS AGRUPADOS SIN INTERVALOS:

3.2.1 CUARTILES

Son tres valores Q1, Q2 y Q3 que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro grupos iguales: _______ !_______!_______!______ 25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%El cuartil 1, Q1 , es el valor que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% de los datos.

Qu es el cuartil 2, Q2 ?

El cuartil 3, Q3 , es el valor que supera al 75% de los datos y es superado por el 25% de los datos.Calculo del cuartil QiSe ordenan los datos.Se ubica el lugar que ocupa el cuartil, calculando i = 1, 2, 3.El cuartil Qi , es el valor que ocupa el lugar donde i = 1, 2, 3. En todo caso, realizamos una interpolacin, para obtener el cuartil.

EjemploDatos: 13, 8, 5, 20, 25, 22, 16, 2, 10, 15, 7, 11Q3 =?Datos ordenados: 2, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 20, 22, 25n=12Lugar que ocupa el Q3: = 9.75Es un valor que est entre el dato que se encuentra en el lugar 9 y el dato que se encuentra en el lugar 10. = 16 + 0.75 ( 20- 16) = 16 + 3 = 19Significa que el 75% de los datos son menores que 19 y el 25% de los datos son mayores que 19.3.2.2 DECILESSon nueve valores D1, D2, , D9 que dividen a un conjunto ordenado de datos en diez grupos iguales. Qu significa D2? Qu significa D6?

3.2.3 PERCENTILESSon 99 valores P1, P2, , P99 que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 grupos iguales.Qu significa P30? Qu significa el P80?Podemos notar que el Q2 = Me, Q3 = P75 , Q1 = P25, P50 = D5 = MeCuantiles para datos agrupados en intervalos. Hallando percentiles, hallamos tambin los deciles y cuartiles. Para hallar los percentiles seguimos el procedimiento siguiente:Para hallar el percentil Pr1) Obtenemos las frecuencias absolutas acumuladas.2) Identificamos el intervalo del percentil. Calculamos: 3) Aplicamos la frmula:Pr = LRI + A (Donde LRI es el lmite inferior verdadero del intervalo del percentilFi-1 es la frecuencia acumulada inmediata menor que fi : es frecuencia simple del intervalo del percentilA: la amplitud del intervalo.Ejemplo: Dada la distribucin de frecuencias obtener el Percentil 40.IntervalosfiFi20-278828-35122036-43153544-51205552-59177260-6798168-75384Identificamos intervalo de P40 =33.6El intervalo del percentil 40 es 36-43P40 = 35.5 + 8(P40 = 35.5 + 7.25P40 = 42.75El 40% de los datos son menores que 42.75 y el 60% de los datos son mayores que 42.75.Calcule el decil 4.

3.3 MEDIDAS DE DISPERSIN

A y B son dos conjuntos de datos:A:121119122118118.5121.5B:90.5149.510014095.5144.5

Calcule la media para los dos conjuntos.En un solo segmento construya el diagrama de puntos para ambos conjuntos.

Las medidas de dispersin miden la diseminacin, el grado de esparcimiento de los puntos. Tambin se llaman medidas de variabilidad.. Los puntos del conjunto B tienen mayor diseminacin que los puntos del conjunto A.

Entre las medidas de dispersin tenemos a las siguientes:

3.3.1 Rango. Llamado tambin recorrido o alcance, es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor:Rango = Xmayor - Xmenor

Calcule los rangos de los conjuntos A y B.

3.3.2 Varianza.Varianza para datos no agrupados:Si a cada uno de los datos del conjunto A le restamos la media obtenemos las desviaciones de los datos con respecto a su media. Estas desviaciones son:

1-12-2-1.51.5

Cul es la suma de estas desviaciones?Cules son los cuadrados de estas desviaciones?Sume los cuadrados de las desviaciones y divida la suma por el nmero de datos menos uno.

El resultado obtenido se llama varianza de la muestra y se denota con S2.

= 2.9

Calcule la varianza de los datos del conjunto B.

Las desviaciones se denotan: . Cuntas son estas?

La frmula para la varianza de la muestra es:

Al elevar al cuadrado las diferencias y distribuyendo la sumatoria, se obtiene una frmula de mayor uso en la prctica:

Para obtener la varianza de los datos del conjunto A:

Xi 121 14641119141611221488411813924118.514042.25121.514762.25720.086414.5La varianza es:

= S2 = 2.9Calcule la varianza para los datos del conjunto B.Cmo se calcula la varianza para datos agrupados en una distribucin de frecuencias?

Varianza para datos agrupados en una distribucin de frecuenciasLa frmula que se utiliza es:

donde Xi son puntos medios de los intervalos.

Ejemplo. Dada la distribucin de frecuencias:

Intervalos fiXifiXifi 3-