CAPITULO 6 DISEOS FACTORIALES 2K

6.1 Generalidades Los diseos factoriales 2K son una clase especial de los diseos factoriales en los que se tienen k factores de inters a dos niveles cada uno. Son especialmente tiles en las etapas iniciales de la investigacin para determinar, de un gran nmero de factores candidatos, cuales son los que realmente influyen sobre la variable respuesta. Se llaman diseos factoriales 2k porque se quiere investigar la forma como influyen k factores sobre una variable respuesta y en cada factor se consideran dos niveles solamente. La rplica completa de un diseo de este tipo requiere 2 x 2 x x 2 = 2k observaciones y recibe el nombre de diseo factorial 2k. El diseo 2k son muy tiles en las primeras etapas del trabajo experimental, cuando se investiguen muchos factores pero, probablemente todos ellos no influyen realmente sobre la variable respuesta. Esto diseo proporciona el nmero ms pequeo de corridas para estudiar simultneamente k factores en un diseo factorial completo. Dado que slo existen dos niveles para cada factor, es necesario suponer que la respuesta es aproximadamente lineal sobre el rango de los niveles seleccionados para el factor. As, este tipo de diseo experimental es la forma ms econmica de estudiar el efecto combinado de k factores. Los niveles de cada factor pueden ser cualitativos o cuantitativos y se denotan como Alto y Bajo o mas (+) y menos (-). A continuacin se enumeran algunas de las razones por las cuales se estudian los diseos factoriales 2k por separado: Es la forma ms econmica y barata de estudiar el efecto de k factores de inters

sobre una variable respuesta. Existen procedimientos especiales que simplifican los clculos matemticos en los

diseos 2k Los diseos 2k se pueden fraccionar. Esta caracterstica permite correr solo una

fraccin (la mitad, la cuarta parte, etc) del diseo completo y responder algunas inquietudes del fenmeno que se estudia.

Constituyen la base de otros diseos ms complejos que se vern ms adelante en el curso.

El modelo de regresin lineal para un diseo 2k es muy fcil de obtener a partir del ANOVA. Esto se ver detalladamente ms adelante.

6.1.1 Definiciones y diseo 22 Es el tipo ms sencillo de diseo experimental 2k. En este diseo se tienen dos factores A y B, cada uno con dos niveles. Lo usual es considerar estos niveles como los niveles bajo y alto del factor. El diseo 22 se suele representar por un cuadrado como el que se ilustra en la Figura 6.1

Figura 6.1 Representacin geomtrica del diseo 22

A esta representacin se le conoce como representacin geomtrica del diseo 22. Es esta representacin, cada vrtice del cuadrado corresponde a una combinacin diferente de tratamientos (niveles) en el diseo factorial. En la Figura 6.1 se aprecia una notacin especial para etiquetar las combinaciones de tratamiento en el diseo 22. Esta notacin de letras minsculas se utiliza, en general, para todos los diseos 2k y se conoce como notacin de Yates. Si una letra est presente, el factor correspondiente se corre con el nivel alto en dicha combinacin de tratamiento; si est ausente, el factor se corre con su nivel bajo. Por ejemplo, la combinacin de tratamiento a indica que el factor A est en el nivel alto, y el factor B en el nivel bajo. La combinacin de tratamiento donde ambos factores tienen el nivel bajo est representado por (1). Esta notacin se emplea en todas las series de diseos 2k. Por ejemplo, la combinacin de tratamiento en un diseo 24 con A y C en el nivel alto, y B y D en el nivel bajo, se denota por ac.

Los efectos de inters en el diseo 22 son los efectos principales A y B, y la interaccin entre los dos factores AB. Si suponemos que las letras (1), a, b y ab representan los totales de todas las n observaciones tomadas en los puntos de diseo, es sencillo estimar los efectos de estos factores. Para estimar el efecto principal de A, se promedian las observaciones del lado derecho del cuadrado de la Figura 6.1, donde A

(1) a

b ab

Bajo (-)

Bajo (-)

Alto (+)

Alto (+)

tiene el nivel alto, y se resta de ste el promedio de las observaciones que estn en el lado izquierdo del cuadrado, donde A tiene el nivel bajo, o

( )[ ]121

2)1(

2+=

+

+==

+ babann

bn

abayyA AA (6-1)

De igual forma, el efecto principal de B se obtiene al promediar las observaciones de la parte superior del cuadrado, donde B tiene el nivel alto, y se resta de ste el promedio de las observaciones que estn en la parte inferior del cuadrado, donde B tiene el nivel bajo:

( )[ ]121

2)1(

2+=

+

+==

+ aabbnn

a

n

abbyyB BB (6-2)

Finalmente, la interaccin AB se estima tomando la diferencia en los promedios de la diagonal de la Figura 6.1, o

( ) ( )[ ]baabnn

ban

abAB +=++= 121

2)

21

(6-3)

Debido a que la cantidad dentro de corchetes cuadrados en las ecuaciones (6-1), (6-2) y (6-3) aparece con frecuencia en los diseos 22, resulta conveniente hacer las siguientes definiciones:

( )[ ]1+= babaContrasteA (6-4) ( )[ ]1+= aabbContrasteB (6-5)

( )[ ]baabContrasteAB += 1 (6-6)

La manera practica de calcular los contrastes de cualquier efecto (principal o de interaccin) es a partir de la tabla de signos. Esta tabla, para el diseo 22 se muestra a continuacin:

A B AB Notacin de Yates - - + (1) + - - a

- + + b + + - ab

Tabla 6.1 Tabla de signos para el diseo 22 y notacin de Yates

Observe que la tabla de signos (Tabla 6.1) que la interaccin AB se obtiene multiplicando la columna con los signos de A por la columna con los signos de B y, el resultado son los signos del contraste AB [ver ecuacin (6-6)]. Para generar un contraste a partir de esta tabla, se multiplican los signos de la columna apropiada de la Tabla 6.1 por las combinaciones de tratamientos que aparecen en la columna de notacin de Yates, y luego se suma. Por ejemplo, contrasteAB = [(1)] + [-a] + [-b] = ab + (1) a b. Los contrastes se emplean en el clculo de las estimaciones de los efectos y en las sumas de cuadrados de A, B y la interaccin AB. Las frmulas para las sumas de cuadrados son

( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

babaSC AA =+

= (6-7)

( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

aabbSC BB =+

= (6-8)

( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

baabSC ABAB =+

= (6-9)

Para los diseos 22, tal vez no se ve muy til la tabla de signos. Sin embargo, en la medida que aumenta la cantidad de factores en el diseo 2k, la utilidad de la tabla de signos se hace ms evidente.

El Anlisis de Varianza para el diseo 22 se completa con la suma de cuadrados totales:

= = =

=

2

1

2

1 1

22

4i j

n

kijkT

n

yySC (6-10)

Y la suma de cuadrados de los errores que se obtiene por diferencia:

BAABTE SCSCSCSCSC = (6-11)

El ANOVA completo para el diseo 22 se muestra en la Tabla 6.2 a continuacin:

Fuente de Variacin

Suma de Cuadrados Grados de libertad

Media de cuadrados

F0 Valor P

Factor A ( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

babaSC AA =+

= 1

1A

ASCMC =

E

A

MCMC

F =0

Probabilidad

Factor B ( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

aabbSC BB =+

= 1

1B

BSCMC =

E

B

MCMC

F =0

Probabilidad

Interaccin AB

( )[ ] [ ]2244

1n

Contrasten

baabSC ABAB =+

= 1 1

ABAB

SCMC =

E

AB

MCMC

F =0

Probabilidad

Error BAABTE SCSCSCSCSC = 4(n-1) )1(4 = nSC

MC EE

Total = = =

=

2

1

2

1 1

22

4i j

n

kijkT

n

yySC 4n-1

Tabla 6.2 Tabla ANOVA para un diseo factorial 22

6.1.2 Diseo 23

En los diseos factoriales 23 se tienen tres factores de inters A, B y C a dos niveles cada uno. Las ocho corridas o tratamientos del diseo 23 se pueden representar geomtricamente como un cubo similar al que se muestra en la figura siguiente:

Figura 6.2 Representacin geomtrica del diseo 23

Cada arista del cubo corresponde a una corrida o combinacin de tratamientos diferente. En la Figura 6.2 tambin se puede apreciar la notacin de Yates para los diseos 23, en esta notacin las ocho corridas se representan por (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc. Al igual que el los diseos 22, el efecto principal A puede estimarse promediando las cuatro combinaciones de tratamiento de la cara derecha del cubo, donde el nivel A es alto, y despus restando de esta cantidad el promedio de las cuatro combinaciones de tratamientos que estn en la cara izquierda del cubo, donde A tiene el nivel bajo. Al hacer esto se tiene:

( )

[ ]bccbabcacaban

n

bccbn

abcacabayyA AA

+++=

+++

+++=

=+

)1(41

41

4 (6-12)

De manera similar, el efecto de B se puede determinar como la diferencia en promedios entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara posterior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro combinaciones de la cara anterior. Con esto se tiene que

( )[ ]accaabcbcabbn

yyB BB +++== + 141

(6-13)

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

Factor A

Bajo +

Alto

Fa

ctor C

Alto +

Bajo

Alto +

Bajo Factor B

El efecto de C es la diferencia en la respuesta promedio entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara superior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro de la cara inferior, esto es,

[ ]abbaabcbcaccn

yyC CC +++== + )1(41

(6-14)

Los efectos de interaccin tambin se pueden obtener con facilidad. La interaccin entre A y B se puede obtener como la diferencia entre los promedios de los efectos de A en los dos niveles de B. Es decir:

Efecto de A promedio

B alto (+) ( ) ( )[ ]n

babbcabcEfectoA BPara 2 +

=+

B bajo (-) ( ) ( )[ ]{ }n

acacEfectoA BPara 21

+=

Luego la interaccin entre A y B es: ( )[ ]

n

acacbabbcabcEfectoAEfectoAAB BParaBPara4

12

+++=

=+

(6-15)

De manera analoga se pueden obtener la interaccin AC y BC [ ]

n

abcbcaccabbaEfectoAEfectoAAC CParaCPara4

)1(2

+++=

=+

(6-16)

[ ]n

abcbcaccabbaEfectoBEfectoBBC CParaCPara4

)1(2

+++=

=+

(6-17)

En la Figura 6.3 se ilustra grficamente los terminos involucrados en el clculo de los efectos principales y de interaccin en un diseo factorial 23.

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

(1) a

abb

abc

ac

bc

c Corridas Corridas +

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

Efectos principales A, B y C(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

Efectos principales A, B y C

(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

Interacciones de dos factores: AB, AC y BC(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

(1) a

abb

abc

ac

bc

c +

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

(1) a

abb

abc

ac

bc

c+

Interacciones de dos factores: AB, AC y BC

Interaccin de tres factores

Figura 6.3 Calculo de los efectos principales y de interaccin en un diseo 23

La Figura 6.3 muestra los vrtices del cubo (tratamientos) que deben ir positivos y/o negativos para el clculo de cada efecto. Estos signos concuerdan con los obtenidos anteriormente en las ecuaciones de la (6-12) a la (6-17) y los que se vern ms adelante en la tabla de signos que se ver ms adelante (Tabla 6.4).

Finalmente, la interaccin ABC se obtiene como:

n

+c-ab+b+a-abc-bc -ac ABC=4

)]1([ (6-18)

A pesar de que para los diseos factoriales 22 y 23 se puede representar geomtricamente en un cuadrado y un cubo respectivamente, el clculo de los contrastes y de los efectos se puede obtener ms fcilmente a partir de la tabla de signos mostrada a continuacin:

Tratamiento Yates A B C AB AC BC ABC 1 (1) - - - + + + - 2 a + - - - - + + 3 b - + - - + - + 4 ab + + - + - - - 5 c - - + + + + - 6 ac + - + - - + + 7 bc - + + - + - + 8 abc + + + + - - -

Tabla 6.3 Tabla de signos para el diseo 23 y notacin de Yates

En la tabla de signos (Tabla 6.4) se puede obtener con facilidad los signos para los contrastes de interaccin, multiplicando las columnas adecuadas de los efectos principales. As, por ejemplo, la columna con los signos de interaccin AC se puede obtener multiplicando la columna de A con la columna C rengln a rengln. Y el contraste AC, resulta simplemente de multiplicar la columna de Yates en la Tabla 6.4 por la columna de signos AC:

[ ]abcbcaccabbaContrasteAC +++= )1( (6-19)

La suma de cuadrados y efectos para la construccin del ANOVA se pueden obtener a partir de las formulas:

n

ContrasteEfecto4

= (6-20)

( )n

ContrasteSC8

2

= (6-21)

6.1.3 Diseo 2k

Despus de tratar los diseos 22 y 23 con cierto detalle, nos proponemos a explicar el caso general de los diseos 2k. En estos diseos, tenemos k factores de inters. La tabla de signos (para k 6) se muestra a continuacin:

Tratamiento Yates A B C D E F Tratamiento Yates A B C D E F 1 (1) - - - - - - 33 f - - - - - + 2 a + - - - - - 34 af + - - - - + 3 b - + - - - - 35 bf - + - - - + 4 ab + + - - - - 36 abf + + - - - + 5 c - - + - - - 37 cf - - + - - + 6 ac + - + - - - 38 acf + - + - - + 7 bc - + + - - - 39 bcf - + + - - + 8 abc + + + - - - 40 abcf + + + - - + 9 d - - - + - - 41 df - - - + - + 10 ad + - - + - - 42 adf + - - + - + 11 bd - + - + - - 43 bdf - + - + - + 12 abd + + - + - - 44 abdf + + - + - + 13 cd - - + + - - 45 cdf - - + + - + 14 acd + - + + - - 46 acdf + - + + - + 15 bcd - + + + - - 47 bcdf - + + + - + 16 abcd + + + + - - 48 abcdf + + + + - + 17 e - - - - + - 49 ef - - - - + + 18 ae + - - - + - 50 aef + - - - + + 19 be - + - - + - 51 bef - + - - + + 20 abe + + - - + - 52 abef + + - - + + 21 ce - - + - + - 53 cef - - + - + + 22 ace + - + - + - 54 acef + - + - + + 23 bce - + + - + - 55 bcef - + + - + + 24 abce + + + - + - 56 abcef + + + - + + 25 de - - - + + - 57 def - - - + + + 26 ade + - - + + - 58 adef + - - + + + 27 bde - + - + + - 59 bdef - + - + + + 28 abde + + - + + - 60 abdef + + - + + + 29 cde - - + + + - 61 cdef - - + + + + 30 acde + - + + + - 62 acdef + - + + + + 31 bcde - + + + + - 63 bcdef - + + + + + 32 abcde + + + + + - 64 abcdef + + + + + +

Tabla 6.4 Tabla de signos para el diseo 2k k 6 y notacin de Yates

En la tabla de signos (Tabla 6.4 ) muestra un patrn de construccin bien definido: la columna del primer factor, A inicia alternando los signos ms (+) y menos (-) iniciando con el signo menos; la segunda columna alterna dos signos menos con dos signos ms, iniciando con dos signos menos; la tercera columna (la de C) alterna 4 signos menos con 4 signos ms iniciando con 4 signos menos, y as sucesivamente.

En general, el procedimiento para hallar un contraste es el mismo que se empleo para los diseos 22 y 23. Por ejemplo, si se tienen 4 factores de inters en un diseo 24 se toman las 6 primeras columnas de la Tabla 6.4 para obtener la siguiente tabla:

Tratamiento Yates A B C D AB 1 (1) - - - - + 2 a + - - - - 3 b - + - - - 4 ab + + - - + 5 c - - + - + 6 ac + - + - - 7 bc - + + - - 8 abc + + + - + 9 d - - - + + 10 ad + - - + - 11 bd - + - + - 12 abd + + - + + 13 cd - - + + + 14 acd + - + + - 15 bcd - + + + - 16 abcd + + + + +

Tabla 6.5 Tabla de signos para el diseo 24

Si se desea el contraste AB, simplemente se multiplican los signos de la columna A por los signos de la B rengln a rengln y posteriormente el resultado de esta columna se multiplica por la columna de Yates. El resultado final es el siguiente:

])1[(

abcdbcdacdcdabdbdaddabcbcaccabbaContrasteAB

++++

+++= (6-22)

De la misma forma se pueden obtener los dems contrastes para el clculo de efectos [Ecuacin (6-23)] y la suma de cuadrados [Ecuacin (6-24)] para el Anlisis de Varianza.

12 = kn

ContrasteEfecto (6-23)

( )kn

ContrasteSC2

2

= (6-24)

6.1.4 Modelo de Superficie de Respuesta para un diseo 2k Un aspecto interesante de los diseos factoriales 2k es que si se codifican las variables al intervalo [-1,1] entonces, se puede obtener el modelo de regresin correspondiente con relativa facilidad. Consideremos por ejemplo el diseo 22. En este diseo se tienen

dos efectos principales, A y B y la interaccin AB. El modelo de regresin correspondiste es:

211222110 xxxxy +++= (6-25)

Donde x1 representa el factor A, x2 representa el factor B, y el producto entre x1 y x2 representa la interaccin entre A y B. Los parmetros del modelo de regresin, 1, 2, 12 se pueden demostrar que son iguales a la mitad de las estimaciones de los efectos correspondientes, mientras que 0 es igual a la gran media. En general, se tiene que:

2ANOVAen Efecto

Regresin de modelo elen ParmetroCualquier = (6-26)

Y

nesobservacio las todasde promedio promediogran 0 == (6-27)

Se debe recordar que los valores de las variables en el modelo de regresin estn codificadas al intervalo [-1, 1]. Esto quiere decir que si se quiere expresar el modelo en las unidades en las que realmente se mide la variable se debe hacer la transformacin correspondiste. Esta transformacin se ilustra en la figura siguiente:

Figura 6.4 Transformacin usada para encontrar el modelo de regresin en un diseo 2k

Esto nos lleva a la ecuacin de transformacin:

Factor en escala real

BajoAlto

+1

-1

Factor en escala normalizada

BajoAltoAltoBajox

x realcod

=

2.

(6-28)

La cual se puede utilizar para obtener el modelo de regresin en las unidades originales en las que se miden los factores de inters. Esto transforma la ecuacin (6-25) en el modelo:

+

+

+

+=

BajoAlto

AltoBajoB

BajoAlto

AltoBajoA

BajoAlto

AltoBajoB

BajoAlto

AltoBajoA

BBBBx

AAAAx

BBBBx

AAAAx

y

22

22

12

210

(6-29)

Sin embargo, siempre se prefiere trabajar el modelo con las variables codificadas (en el intervalo [-1,1])

Si los factores son cuantitativos, el modelo de regresin, se puede utilizar, con toda confianza, para predecir el valor de la variable respuesta para cualquier punto entre -1 y 1 (si el factor o variable est codificado) o desde el valor bajo al alto si la variable o factor no est codificado. Es decir, el modelo de regresin se puede utilizar para interpolar cualquier valor intermedio de la variable respuesta sin problemas pero no se debe utilizar para extrapolar.

6.1.5 Proyeccin de diseos factoriales 2k

Cualquier diseo 2k se contrae o se proyecta sobre cualquier otro diseo 2k con menos variables si se omiten uno o ms de los factores originales. En ocasiones, esto puede proporcionar un conocimiento adicional de los dems factores.

Si algn factor en un diseo factorial 2k no es significativo y todas sus interacciones son despreciables, entonces puede descartarse del experimento convirtiendo el diseo en un diseo 2K1. En este caso se dice que el diseo 2k se ha proyectado en un diseo 2k1 con el doble de rplicas denominadas rplicas ocultas. En general, si se tiene una sola rplica en un diseo 2K y si h (h

Factor insignificante D +

Figura 6.5 Proyeccin de un diseo 24 a un diseo 23

6.1.6 El algoritmo de Yates Este procedimiento fue propuesto por Yates para obtener, de una manera sencilla, la tabla de ANOVA para un diseo factorial 2k. Este procedimiento es una alternativa a la tabla de signos propuesta anteriormente. Para utilizar el algoritmo de Yates, primero se construye una tabla con las combinaciones de tratamientos y los correspondientes totales de tratamiento, en un orden estndar. Por orden estndar se entiende que cada factor se introduce uno a la vez combinndolo con todos los niveles de los factores que estn por encima de l. Es as como el orden estndar de un diseo 22 es (1), a, b, ab, mientras que para un diseo 23 es (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, y para un diseo 24 es (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abad. Aqu se presenta el procedimiento siguiente de cuatro pasos:

1. Se etiqueta la columna adyacente (1). Las entradas en la mitad superior de esta columna se calculan sumando las respuestas en pares adyacentes de la columna anterior. Las entradas de la parte inferior de esta columna se calcula cambiando el signo de la primera entrada de cada par de las respuestas originales y luego sumando los pares adyacentes.

2. Se etiqueta la columna adyacente (2). La columna (2) se construye con las entradas de la columna (1), siguiendo el mismo procedimiento utilizado para generar la columna (1). El proceso contina hasta que se han construido k columnas. La columna (k) contiene los contrastes designados en los renglones.

3. Se calcula la suma de cuadrados para los efectos elevando al cuadrado cada entrada de la columna k y dividindolo entre n2k.

4. Se calcula las estimaciones de los efectos dividiendo cada entrada de la columna k entre n2k-1.

6.1.7 Diseo 2k sin rplica A medida que crece el nmero de factores de un experimento factorial, el nmero de efectos que pueden estimarse tambin aumenta. Por ejemplo, un experimento 24 tiene cuatro efectos principales, 6 interacciones entre dos factores, 4 interacciones entre tres factores y una interaccin entre cuatro factores, mientras que un experimento 26 tiene 6 efectos principales, 15 interacciones entre dos factores, 20 interacciones entre tres factores, 15 interacciones entre cuatro factores, 6 interacciones entre cinco factores y una interseccin entre 6 factores. En muchas situaciones se aplica el principio de dispersin de los efectos; esto es, usualmente el sistema est dominado por los efectos principales y las interacciones de orden inferior. En general, las interacciones entre tres factores y las de orden superior son despreciables. Por consiguiente, cuando el nmero de factores es moderadamente grande (por ejemplo, k 4 o 5), una prctica comn es correr slo una rplica del diseo 2k y luego combinar las interacciones de orden superior como una estimacin del error. En ocasiones, una nica rplica de un diseo 2k se conoce como diseo factorial 2k sin rplica. Cuando se analizan datos que provienen de diseos factoriales sin rplica, en ocasiones se presentan interacciones reales de orden superior. En estos casos resulta inapropiado utilizar la media de cuadrados del error obtenida al combinar las interacciones de orden superior. Para resolver este problema puede emplearse un mtodo de anlisis ms sencillo. Para ello se construye una grfica de las estimaciones de los efectos sobre una escala de probabilidad normal. Los efectos que son despreciables tienen una distribucin normal, con media cero y varianza 2, y tienden a caer a lo largo de una lnea recta sobre esta grfica, mientras que los efectos significativos tienen medias distintas de cero y no se alinean a los largo de la lnea recta.

6.2 Adicin de puntos centrales en un diseo 2k Un aspecto muy importante en el empleo de diseos factoriales de dos niveles es la hiptesis de linealidad en los efectos de los factores. Claro est que la linealidad perfecta es innecesaria, y el sistema 2k trabaja muy bien aun cuando la suposicin de linealidad es slo aproximada. Sin embargo, existe un mtodo para replicar ciertos puntos en el diseo 2k factorial que proporciona proteccin contra la curvatura y permite una estimacin independiente del error que ha de obtenerse. El mtodo consiste en aadir puntos centrales al diseo 2k. stos coinciden de nC rplicas de las corridas en el punto xi = 0 (i= 1, 2,, k). Una razn importante para aadir rplicas de las corridas en el centro del diseo es que los puntos centrales no tienen impacto en las estimaciones usuales de los efectos en un diseo 2k. Se supone que los k factores son cuantitativos.

Figura 6.6 Representacin geomtrica del diseo 22 con corridas centrales o puntos centrales

Para ilustrar este enfoque, considrese un diseo 22 con una observacin en cada uno de los puntos factoriales (-, -), (+, -), (-, +) y (+, +), y nC observaciones en los puntos centrales (0, 0). La Figura 6.6 ilustra esta situacin. Sean Fy y Cy los promedios de las cuatro corridas en los cuatro puntos factoriales y el promedio de las nC corridas en

el punto central, respectivamente. Si la diferencia Fy - Cy es pequea, entonces los

puntos centrales se encuentran sobre el plano que pasa por todos los puntos

factoriales, o cerca de l, y no hay curvatura. Por otra parte, si Fy - Cy es grande,

entonces la curvatura est presente. Una suma de cuadrados de un grado de libertad para la curvatura est dada por:

(1) a

b ab

Bajo (-)

Bajo (-)

Alto (+)

Alto (+)

Medio

Medio

Corrida Central

( )2CF

CFCFCurvatura

nn

yynnSS+

= (6-30)

donde, en general, nF es el nmero de puntos en el diseo factorial. Esta cantidad puede ser comparada con el error cuadrtico medio para probar la curvatura. De manera ms especfica, cuando se aaden puntos al centro del diseo 2k, entonces el modelo que se considera es

= < < =

++++=k

j ji ji

k

jjjjiijjj xxxxY

1 1

20 (6-31)

donde las jj son efectos cuadrticos puros. La prueba de curvatura consiste, en realidad, de la prueba de las hiptesis

0:

0:

11

10

=

=

=

k

jjj

k

jjj

H

H

(6-32)

Por otra parte, si los puntos factoriales en el diseo no estn replicados, entonces pueden emplearse los nC puntos centrales para construir una estimacin del error con nC -1 grados de libertad.

6.3 Formacin de bloques y confusin en diseos 2k A menudo es imposible correr todas las observaciones en un diseo factorial 2k bajo condiciones homogneas. La tcnica de diseo apropiada para esta situacin general es la formacin de bloques. Sin embargo, en muchas situaciones, el tamao del bloque es ms pequeo que el nmero de corridas en la rplica completa. En estos casos, la confusin es un procedimiento til para correr el diseo 2k en bloques 2p, donde el nmero de corridas en un bloque es menor que el nmero de combinaciones de tratamientos en una rplica completa. La tcnica provoca que ciertos efectos de interaccin sean indistinguibles de los bloques, o que sean confundidos con bloques. A continuacin se ilustra la confusin en el diseo factorial 2k en bloques 2p, con p < k. Considrese un diseo 22. Supngase que cada una de las 22 = 4 combinaciones de tratamientos requiere cuatro horas de anlisis de laboratorio. Por tanto, se requieren dos das para efectuar el experimento. Si los das se consideran como bloques, entonces deben asignarse dos de las cuatro combinaciones de tratamientos a cada da.

(1) a

abb

(1) a

abb

[ ]abbaABContraste += )1(

Corridas Bloque 1

Corridas Bloque 2

(1)ab

ab

Bloque 1 Bloque 2

Tratamiento A B AB(1) - - +a + - -b - + -ab + + +

Figura 6.7 Formacin de bloques en un diseo 22

Este diseo se muestra en la Figura 6.7. Ntese que el bloque 1 contiene las combinaciones de tratamientos (1) y ab, y que el bloque 2 contiene a a y b. Los contrastes para estimar los efectos principales de los factores A y B son

ContrasteA = ab + a b (1)

ContrasteB = ab + a b (1)

Observe que estos contrastes no se ven afectados por la formacin de bloques puesto que en cada uno de ellos existe slo una combinacin de tratamientos ms y una menos de cada uno de los bloques. Esto es, cualquier diferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 que aumente las lecturas en un bloque por una constante aditiva, ser cancelada. El contraste para la interaccin AB es

ContrasteAB = ab + (1) a b

Puesto que las dos combinaciones de tratamientos con los signos ms, ab y (1), estn en el bloque 1 y las dos con los signos menos, a y b, estn en el bloque 2, los efectos del bloque y la interaccin AB son idnticos. Esto es, la interaccin AB queda confundida con bloques. La razn de esto es evidente en la tabla de signos ms y menos del diseo 22 que aparece en la Figura 6.7. De sta se observa que todas las combinaciones de tratamientos que tienen un signo ms en AB estn asignadas al bloque 1, mientras que todas las combinaciones de tratamientos que tienen un signo menos en AB estn asignadas al bloque 2. Este esquema puede emplearse para confundir cualquier diseo 2k en dos bloques. Como segundo ejemplo considrese un diseo 23, efectuado en dos bloques. De la tabla de signos ms y menos (Figura 6.8), se asignan las combinaciones de

tratamientos que son menos en la columna ABC al bloque 1, y las que son ms en la columna ABC al bloque 2. El diseo resultante se muestra en la Figura 6.8.

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

(1) a

abb

abc

ac

bc

cCorridas (Bloque 1)

Corridas + (Bloque 2)

[ ]abcbcaccabbaABCContraste ++++= )1(

(1)abacbc

abc

abcBloque 1 Bloque 2

I A B AB C AC BC ABC(1) + - - + - + + -a + + - - - - + +b + - + - - + - +

ab + + + + - - - -c + - - + + - - +

ac + + - - + + - -bc + - + - + - + -abc + + + + + + + +

Efectos FactorialesCombinacin de Tratamientos

Figura 6.8 Formacin de bloques en un diseo 22

En general, lo que se busca es que el efecto de bloque se confunda con las interacciones de orden superior. La Figura 6.8 se observa que el efecto de bloque se confunde con el efecto de interaccin ABC. El cual, por el principio de los efectos esparcidos se puede asumir despreciable. Sin embargo, si la interaccin entre los tres factores llega a ser significativa entonces no podremos saber si realmente se debe a la interaccin a al efecto de bloque.

Existe un mtodo ms general para construir bloques. sta utiliza un contraste de definicin, por ejemplo,

L= 1x1 + 2x2 + + kxk

donde xi es el nivel del i-simo factor que aparece en una combinacin de tratamientos y i es el exponente que aparece sobre el i-simo factor en el efecto que va a confundirse con bloques. Para el sistema 2k, se tiene que i = 0 o 1, y xi = 0 (nivel bajo) o xi = 1 (nivel alto). Las combinaciones de tratamientos que producen el mismo valor de L (md. 2) son colocadas en el mismo bloque, Puesto que los nicos valores posibles de L (md. 2) son 0 y 1, esto asigna las combinaciones de tratamientos 2k exactamente en dos bloques. Como ejemplo, considrese el diseo 23 con ABC confundido con bloques. En este caso, xi corresponde a A, x2 a B, x3 a C, con 1 = 2 = 3 = 1. Por tanto, el contraste de definicin que se utilizar para confundir ABC con bloques es

L = x1 + x2 + x3

Para asignar las combinaciones de tratamientos a los bloques, se sustituyen stas en el contraste de definicin, de la manera siguiente:

(1): L = 1(0) + 1(0) + 1(0) = 0 = 0 (md 2) a: L = 1(1) + 1(0) + 1(0) = 1 = 1 (md 2) b: L = 1(0) + 1(1) + 1(0) = 1 = 1 (md 2) ab: L = 1(1) + 1(1) + 1(0) = 2 = 0 (md 2) c: L = 1(0) + 1(0) + 1(1) = 1 = 1 (md 2) ac: L = 1(1) + 1(0) + 1(1) = 2 = 0 (md 2) bc: L = 1(0) + 1(1) + 1(1) = 2 = 0 (md 2)

Es as como (1), ab, ac, y bc se corren en el bloque 1, y a, b, c y abc se corren en el bloque 2. Este mismo diseo se muestra en la figura 12-32. Existe un til mtodo corto para construir estos diseos. El bloque que contiene la combinacin de tratamientos (1) recibe el nombre de bloque principal. Cualquier elemento [con excepcin de (1)] en el bloque principal puede generarse haciendo la multiplicacin mdulo 2 de los exponentes de cualquier par de elementos del bloque principal. Por ejemplo, considrese el bloque principal del diseo 23 con ABC confundido, el cual se muestra en la figura 12-32. Ntese que

ab ac = a2bc = bc ab bc = ab2c = ac ab bc = abc2 = ab

Las combinaciones de tratamientos del otro bloque (o bloques) pueden generarse al hacer la multiplicacin mdulo 2 de los exponentes de un elemento del bloque nuevo por cada elemento del bloque principal. Para el diseo 23 con ABC confundido, puesto que el bloque principal es (1), ab, ac y bc, se sabe que la combinacin de tratamientos b est en el otro bloque. Por tanto, los elementos de este segundo bloque son

b (1) = b b ab = ab2 = a b ac = abc b bc = b2c = c

6.4 Diseos 2k fraccionados A medida que aumenta el nmero de factores en un diseo factorial 2k, el nmero de corridas requeridas se aumenta con rapidez. Por ejemplo, un diseo 25 requiere 32 corridas. En este diseo, slo cinco grados de libertad corresponden a los efectos principales, y 10 a las interacciones entre dos factores. Diecisis de los 31 grados de libertad se utilizan para estimar interacciones de orden superior esto es, interacciones entre tres factores y de orden superior-. A menudo existe poco inters en estas interacciones de orden superior, en particular cuando se comienza a estudiar por primera vez un proceso o sistema. Si es posible suponer que ciertas interacciones de orden superior son despreciables, entonces puede emplearse un diseo factorial fraccionaria con menos corridas que el conjunto completo de corridas 2 k, para obtener informacin sobre los efectos principales y las interacciones de orden inferior. Aqu se presentan las rplicas fraccionarias del diseo 2k. Uno de los principales usos de los diseos fraccionarios se encuentran en experimentos de deteccin. stos son experimentos en los que se consideran muchos factores con la finalidad de identificar aquellos (si es que los hay) que tienen efectos grandes Normalmente los experimentos de deteccin se realizan en las primeras etapas de un proyecto, cuando es probable que muchos de los factores considerados al inicio tengan poco o ningn efecto sobre la respuesta. Los factores identificados como importantes son los que se investigan con ms profundidad en experimentos subsecuentes.

6.4.1 Fraccin un medio de un diseo 2k La fraccin un medio del diseo 2k-1 corridas y a menudo se conoce como diseo factorial fraccionario 2k-1. Como ejemplo considrese el diseo 23-1, la fraccin un medio del diseo 23. Este diseo tiene slo cuatro corridas, en contraste con el diseo completo que requiere ocho.

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

(1) a

abb

abc

ac

bc

c

Fraccin alterna, I= ABC

Fraccin principal, I=ABCI A B C AB AC BC ABC

a + + + +b + + + +c + + + +

abc + + + + + + + +ab + + + + ac + + + + bc + + + + (1) + + + +

Combinacin de Tratamientos

Efectos FactorialesI A B C AB AC BC ABC

a + + + +b + + + +c + + + +

abc + + + + + + + +ab + + + + ac + + + + bc + + + + (1) + + + +

Combinacin de Tratamientos

Efectos Factoriales Relacin de definicin del diseo

Figura 6.9 Diseo factorial 23fraccionado a la mitad.

La Figura 6.9 presenta la tabla de signos ms y menos para el diseo 23 fraccionado. Supngase que se escogen las cuatro combinaciones de tratamientos a, b, c y abc como la fraccin un medio. Estas combinaciones aparecen en la parte superior de la Figura 6.9 en color azul claro. Observe que la combinacin de tratamientos escogida para esta fraccin tiene signo mas para la interaccin ABC, por lo tanto, el efecto ABC se conoce como generador de la fraccin. Adems, debido a que el signo es el mismo para la interaccin ABC, esta interaccin es indetectable usando esta fraccin. Adems observe que la combinacin de signos utilizada para encontrar el efecto de cualquier factor principal se repite en una interaccin doble. Para encontrar los efectos principales se usa:

A = [a b c + abc] B = [-a + b c + abc] C = [-a b + c + abc]

Los cuales se repiten en el clculo de las interacciones dobles: BC = [a b c + abc] AC = [-a + b c + abc] AB = [-a b + c + abc]

Estos resultados se aprecian en la Figura 6.9, donde se colocan con un recuadro del mismo color las parejas de efectos que son iguales. Por tanto, la combinacin lineal de las observaciones en la columna A de la Figura 6.9 no solo estima el efecto principal de A sino la interaccin BC. O mejor dicho, esta combinacin estima la suma de los efectos A+BC. De la misma forma, la columna correspondiente a B no solo estima este efecto sino tambin la interaccin AC o lo que se mejor, estima la suma B+AC. En la Tabla 6.6 se resumen las consecuencias del fraccionamiento a la mitad de un diseo 23 completo.

Combinacin Efecto Explicacin [a b c + abc] A+BC A se confunde con BC o es alias de l [-a + b c + abc] B+AC B se confunde con AC o es alias de l [-a b + c + abc] C+AB C se confunde con AB o es alias de l Tabla 6.6 Confusin en un diseo factorial 23 fraccionado a la mitad

La consecuencia adicional de este fraccionamiento es que la interaccin triple, ABC no se puede detectar. Es decir, con un diseo 23-1 no se puede evaluar la posible

interaccin ABC. Sin embargo, las interacciones de orden superior, usualmente, son despreciables en el mundo real. En general, la fraccin a realizar se escoge de tal suerte que los efectos principales y las interacciones de orden inferior que son de inters formen alias slo con interacciones de orden superior (las que probablemente son despreciables).

La estructura de alias para este diseo puede encontrarse utilizando la relacin de definicin I = ABC. La multiplicacin de cualquier efecto por esta relacin proporciona los alias para tal efecto. En el ejemplo, el alias de A es A=A (ABC) = A2BC = BC. Note que se ha eliminado A2 debido a que representa una columna de signos ms que no altera el producto final. Es decir A2 = I, e I es la columna identidad. De la misma manera se pueden encontrar los alias de B y C.

Supngase que en lugar de escoger la mitad superior de la Figura 6.9 para fraccionar al diseo 23, se hubiera escogido la mita inferior. Es decir la combinacin de tratamientos en los que ABC tiene signo negativo. Estas cuatro corridas se muestran en color amarillo en la Figura 6.9. La relacin de definicin para este diseo es I = -ABC. Los alias son A =-BC, B = -AC, y C = -AB. Por tanto, las estimaciones de A, B y C que se obtienen de esta fraccin en realidad estiman A BC, - B AC y C AB. En la prctica, usualmente no es importante la fraccin un medio que se escoja pues ambas son lleva a resultados equivalentes. La fraccin con el signo ms en la relacin de definicin se conoce como fraccin principal, y la otra como fraccin alternativa.

Ntese que si se hubiera seleccionado AB como el generador del diseo factorial fraccionario (Buscando todos los ms en la columna correspondiente de la Figura 6.9), entonces A sera alias de B, lo cual conlleva a una prdida de informacin muy importante. Como regla general, se escoge la fraccin en la que se confundan las interacciones de orden superior. Ms adelante, se explica un procedimiento prctico para escoger la fraccin ms adecuada, en el caso general de los diseos 2k-1

Un comentario final de los diseos factoriales fraccionados a la mitad es que combinando las estructuras de alias de ambas fracciones se pueden obtener los efectos principales y de interaccin. Por ejemplo, el efecto A se obtiene:

2

)()(aalternativ

fraccinprincipalfraccin BCABCA

A++

= (6-33)

Y la interaccin doble BC se obtiene como:

2

)()(aalternativ

fraccinprincipalfraccin BCABCA

BC+

= (6-34)

Una alternativa equivalente hubiera sido analizar el experimento como si se hubiera corrido completo desde el principio. Sin embargo, al correr la segunda fraccin posteriormente, se debe tener mucho cuidado en que las condiciones bajo las cuales se realizan los experimentos sean las mismas de cuando se corri la primera fraccin. Si no se pudieron mantener las mismas condiciones se debe utilizar un efecto de bloque haciendo que el efecto de bloque se confunda con la interaccin triple, ABC, y los efectos principales y de interacciones dobles se calculen sin ninguna confusin

6.4.2 Resolucin en un diseo fraccionado Al correr un diseo factorial fraccionado los efectos no pueden estimarse de manera individual, sino que se estiman sumas o restas de efectos que son alias entre s. La interpretacin de estas sumas o restas se hace sencilla si se supone que todos los trminos, excepto uno, son despreciables. Por lo tanto el efecto de esta suma (o resta), se puede atribuir a un nico factor. Por esta razn siempre se busca un diseo factorial fraccionado en el cual los efectos principales importantes sean alias de otros efectos que no son muy importantes. El supuesto lgico en este caso consiste en asumir que los efectos principales son ms importantes que las interacciones de dos factores, y estas a su vez son ms relevantes que los de tres factores, y as sucesivamente. Este concepto se maneja buscando un diseo factorial fraccionado que tenga la mxima resolucin posible. Se dice que un diseo factorial fraccionado tiene resolucin R si las interacciones de P factores no son alias de interacciones que tengan menos de R P factores. Cuan ms alta sea la resolucin de un diseo factorial fraccionado mejor se pueden apreciar los efectos potencialmente importantes. A continuacin se dan las definiciones de los diseos con resolucin III, IV y V.

Diseos de Resolucin III. En estos diseos los efectos principales no son alias entre s, pero si pueden ser alias con alguna interaccin doble. El diseo 23-1 pertenece a esta clase. Lo usual es utilizar un nmero romano como subndice para indicar la

resolucin 132 III

Diseos de Resolucin IV. Son diseos en los que ningn efecto principal tiene alias con otro efecto principal o con interacciones entre dos factores, pero estas pueden

tener alias entre s. El diseo 24-1 con relacin de definicin I = ABCD (o I = - ABCD) es de resolucin IV. Este diseo se denota como 142 IV

Diseos de Resolucin V. En estos diseos los efectos principales y las interacciones dobles son alias con interacciones triples o de orden superior, es decir, los efectos principales y las interacciones dobles se pueden determinar limpiamente.

Un ejemplo de un diseo con esta resolucin es el diseo 25-1 ( 152 V ) con relacin de definicin I = ABCDE (o I = - ABCDE).

En general la resolucin de un diseo factorial fraccionado esta dado por la longitud de la palabra en la relacin de definicin con el menor nmero de letras posible. Por esta razn los diseos factoriales fraccionados 23-1, 24-1 y 25-1 tienen resolucin III, IV y V respectivamente, porque sus correspondientes generadores se componen de 3, 4 y 5 letras.

6.4.3 Construccin de fracciones 2k-1 Una manera sencilla de construir diseos factoriales fraccionados 2k-1 con la ms alta resolucin posible es la siguiente:

1. Se construye la tabla de signos para un diseo factorial completo con k-1 factores y de esta forma se tienen las primeras k-1 columnas de la fraccin deseada.

2. La columna faltante (la k-sima) se construye multiplicando entre s las columnas anteriores. Si se desea la fraccin complementaria o alternativa se cambian los signos de esta ltima columna.

El diseo que resulta es un diseo factorial fraccionado, 2k-1 con la mxima resolucin posible, R = k. Como ejemplo veamos la construccin de un diseo factorial fraccionado 24-1 con resolucin IV y con generador I = ABCD. 1. Se parte del diseo factorial completo 24-1 = 23 dado por:

A B C D - - -

+ - -

- + -

+ + -

- - +

+ - +

- + +

+ + +

2. La columna restante (la cual corresponde a D) se obtiene al multiplicar las columnas A, B y C

A B C D= ABC - - - -

+ - - +

- + - +

+ + - -

- - + +

+ - + -

- + + -

+ + + +

Si se desea la fraccin alternativa, con generador I = - ABC, se cambia el signo de la ltima columna en el segundo paso.

6.4.4 Diseos factoriales fraccionados 2k-2 Un diseo factorial 2k-2 representa la cuarta parte del diseo factorial completo. Para generar este diseo se necesitan dos efectos generadores, los cuales se toman de las interacciones de orden superior y que al mismo tiempo su producto sea tambin una interaccin de orden superior. Estos diseos tendrn tres generadores: los dos primeros que se escogieron y el que resulta del producto entre ellos y ninguno de ellos se puede estimar. La estructura de alias se obtiene a partir de los dos generadores iniciales y su producto. Por lo tanto cada efecto tiene tres alias. En general, el nmero de palabras de la relacin definidora indica el nmero de alias que tendr cada efecto, y multiplicando un efecto cualquiera por esta relacin se determinan sus alias.

Una forma sencilla de construir un diseo factorial 2k-2 es:

1. Se escribe el diseo 2k-2 como si fuera un diseo factorial completo con k-2 factores y de esta forma se obtienen los primeros k-2 factores.

2. Los niveles que corresponden a los factores de las dos ltimas columnas (factores k-1 y k) se obtienen multiplicando columnas previas de acuerdo a los generadores escogidos.

Veamos este procedimiento de dos pasos para construir un diseo factorial 25-2: 1. Se parte del diseo factorial completo 23 para los tres factores A, B y C

A B C D E - - -

+ - -

- + -

+ + -

- - +

+ - +

- + +

+ + +

2. Los niveles para los factores D y E se obtienen al seleccionar de manera adecuada los generadores. Una opcin es tomar I = ABD e I = ACE, y el tercer generador es el producto ABD ACE = A2 BCDE = BCDE. De esta manera se puede obtener que D = AB y E = AC.

A B C D E - - - + -

+ - - - -

- + - - +

+ + - + -

- - + + -

+ - + - +

- + + - -

+ + + + +

La estructura de alias completo se puede obtener como se explico anteriormente. Por ejemplo, los alias de A se obtienen multiplicando este por los tres generadores as:

A = A (Primer generador) = A ABD = BD A = A (Segundo generador) = A ACE = CE A = A (Tercer generador) = A BCDE = ABCDE

El resto de alias para los dems factores se muestra en la siguiente tabla: A+BD+CE+ABCDE B+AD+ABCE+CDE C+ABCD+AE+BDE D+AB+ACDE+BCE E+ABDE+AC+BCD BC+ACD+ABE+DE BE+ADE+ABC+CD

+ABD+ACE+BCDE

Tabla 6.7 Estructura de alias completa para un diseo 252 III

Se observa en la Tabla 6.7 que cada efecto principal tiene al menos una interaccin doble como alias que es lo que conduce a un diseo de resolucin III. De la Tabla 6.7 se puede asumir que las interacciones de orden superior son despreciables y por lo tanto eliminarlas del modelo para obtener una estructura de alias reducida (ver Tabla 6.8)

A + BD + CE B + AD C + AE D + AB E + AC

BC + DE BE + CD

Tabla 6.8 Estructura de alias reducida para un diseo 252 III

Cuando se alan efectos con la misma jerarqua, como en el caso de BD + CE, debe decidirse con base en el conocimiento del proceso, a que interaccin se atribuye el efecto observado en el caso que resulte significativo. Otra manera es fijarse en qu efectos principales resultan significativos ya que estos tienen ms probabilidad de estar activos en sus interacciones.

6.4.5 Ejercicios propuestos.

1. A continuacin se muestran los resultados de un diseo factorial. Conteste los siguientes incisos sin utilizar un software computacional, haga las operaciones que se le piden de manera manual.

Rplica A B I II III Total - - 82 80 84 (1) = 246 + - 78 82 79 (a) = 239 - + 71 70 66 (b) = 207 + + 89 88 93 (ab) = 270

a. Qu nombre recibe este diseo y por qu? b. Cuntos tratamientos tiene este diseo, cuntas rplicas? c. En total son 12 corridas experimentales las que se realizaron, seale en

qu orden debieron correrse y explique por qu. d. Seale los efectos que se pueden estudiar a travs de este diseo. e. Obtenga los contrastes para los efectos principales de A y B, y para la

interaccin. f. Calcule los efectos principales y el efecto de interaccin. g. Haga las grficas de los efectos principales de A y B, e interprtelas. h. Realice la grfica de la interaccin entre los factores de A y B, e interprtela

con detalle. i. Desde su punto de vista el factor B parece tener influencias sobre Y?

Argumente.

2. Suponga un diseo factorial 23, y conteste las siguientes preguntas.Utilizando la notacin de (-, +) para los niveles de los factores, escriba todos los tratamientos que forman este diseo.

a. Represente en forma geomtrica este diseo y resalte la regin de experimentacin.

b. Cules son todos los posibles efectos que se pueden estu diar con este

diseo? c. Para cada uno de los efectos anteriores, obtenga su contraste.

d. Seale en forma especfica cmo utilizara los contrastes para calcular los efectos y la suma de los cuadrados.

e. Cmo aplicara los tres principios bsicos del diseo de experimentos en este caso para cada uno de los efectos anteriores?

3. A continuacin se muestran los resultados obtenidos en un diseo factorial 23 no replicado. Conteste los siguientes incisos sin utilizar un software computacional, es decir, haga las operaciones que se le piden de forma manual.

Cdigo? A B C Y

- + - 25 + + + 12

- - - 30 + - + 10 - - + 10 + + - 14

- + + 31 + - - 17

a. En la primera columna de la matriz del diseo especifique el cdigo de cada uno de los tratamientos, de acuerdo a la notacin de Yates.

b. Calcule los efectos principales de A y B. c. Haga la grfica de los efectos principales de A y B, e interprtelas. d. Calcule el efecto de la interaccin AB. e. Realice la grfica de la interaccin entre los factores A y B; e interprtela

con detalle. f. Qu tendra que hacer para saber si los efectos que clculo en los incisos

anteriores, afectan de manera significativa a la variable de respuesta? g. Calcule la suma de cuadrados para el efecto principal de A y para la

interaccin.

4. Suponga un diseo factorial 24, y conteste las siguientes preguntas. a. Anote la matriz de diseo, es decir, haga una lista de todos los tratamientos

que forman este diseo. b. Por qu este diseo recibe tal nombre? c. Cules son todos los posibles efectos que se pueden estudiar con este

diseo? d. Refirindose al anlisis, en qu consiste y cul es el objetivo de obtener el

mejor ANOVA?

e. Cmo se calculan los coeficientes de determinacin R2 y R2AjS? f. Si despus de obtener el mejor ANOVA, se obtiene que estos R2aj

coeficientes tienen un valor de alrededor 90, qu significa esto? g. Si por el contrario, tales coeficientes tienen un valor de alrededor 20, qu

significa esto? h. Obtenga el contraste para el efecto principal de D y para el efecto de

interaccin CD. i. Seale en forma especfica cmo utilizara los contrastes para calcular los

efectos y la suma de los cuadrados. j. Puede darse el caso de que el efecto principal de A no sea significativo, y

el efecto de la interaccin AB si lo sea?

5. En una empresa lechera se ha tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que tres ingredientes que se agregan en pequeas cantidades son con los que se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situacin; para ello se corre un experimento 23 con dos rplicas. En seguida se aprecian los resultados obtenidos.

Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Viscosidad -1 -1 -1 13.3, 13.7 +1 -1 -1 14.7, 14.4 -1 +1 -1 14.6, 14.5 +1 +1 -1 14.3, 14.1 -1 -1 +1 16.9, 17.2 +1 -1 +1 15.5, 15.4 -1 +1 +1 17.0, 17.1 +1 +1 +1 18.9, 19.0

a. Estime todos los posibles efectos y diga cules son significativos. b. Realice un anlisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones

generales. c. Hay un tratamiento ganador para minimizar? d. Verifique residuos, qu observa de destacado?

6. Se quiere aumentar el rendimiento de un proceso, y para ello se estudian tres factores con dos niveles cada uno. Se hacen tres repeticiones en cada tratamiento del diseo factorial 23 resultante. La variable de respuesta que se mide es rendimiento. Los datos son los siguientes:

Repeticin Tratamiento

1 2 3 (1) 22 31 25 a 32 43 29 b 35 34 50

ab 55 47 46 c 44 45 38 ac 40 37 36 bc 60 50 54

abc 39 41 47

a. Cules efectos estn activos? b. Si obtuvo una interaccin importante, interprtela con detalle. c. Determine las condiciones de operacin que maximizan el rendimiento. d. Cul es la respuesta esperada en el mejor tratamiento? e. Verifique los supuestos del modelo.

7. Se hace un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso, controlando cuatro factores en dos niveles cada uno. Se corre una rplica de un diseo factorial 24, con los factores tiempo (A), concentracin (B), presin (C) y temperatura (D), y los resultados son los siguientes:

A0 A1 B0 B1 B0 B1 C0 C1 C0 C1 C0 C1 C0 C1

D0 12 17 13 20 18 15 16 15 D1 10 19 13 17 25 21 24 23

a. Analice estos datos con el uso de todos los criterios existentes para encontrar el mejor ANOVA. En las figuras considere de entrada los 15 efectos posibles.

b. Cules efectos estn activos? c. Determine el mejor tratamiento. d. Prediga el rendimiento esperado en el mejor tratamiento y d un intervalo

de confianza para el rendimiento futuro. e. Compruebe los supuestos del modelo. f. Puede este diseo colapsarse en uno 23 con dos rplicas? De ser posible,

hgalo y repita los incisos anteriores para este nuevo diseo.

8. En una empresa panificadora existen problemas con la simetra y el color del pan integral. Los responsables del proceso sospechan que el problema se origina desde la fase de fermentacin. En sta se combina agua, harina, cierta cantidad de levadura ms una serie de ingredientes como fosfato, sal, etc. Al final de la fermentacin se obtiene lo que se llama esponja lquida la cual debe cumplir una serie de parmetros de calidad: una acidez total titulable (ATT) mayor a 6.0 y un pH mayor a 4.8. Sin embargo, no se ha cumplido con dichas exigencias de calidad; se han hecho algunos intentos experimentales con un factor a la vez, pero los resultados han sido malos. En busca de una mejor estrategia experimental, se decide utilizar un diseo factorial fraccionado 26-2 para investigar el efecto de seis factores en las variables ATT y pH. Los primeros cinco factores se refieren a cierta cantidad que se agrega en la fermentacin: A: levadura (17,19), B: sal (2.5, 3.7), C: fosfato (2.0, 3.6), D: sulfato (1.5, 2.2), E: cloruro (0.89, 1.20); el sexto factor es F: temperatura inicial del agua (22, 26). Los datos obtenidos se muestran en la tabla siguiente.

Matriz de diseo Variables de

respuesta Orden de corrida

A B C D E F ATT pH 9 - - - - - - 6.2 4.86 5 + - - - + - 5.6 4.86 6 - + - - + + 5.8 4.85 1 + + - - - + 5.8 4.99

14 - - + - + + 5.7 4.94 10 + - + - - + 6.4 4.74 13 - + + - - - 6.4 4.83 12 + + + - + - 6.6 4.85 11 - - - + - + 5.3 4.81 3 + - - + + + 6.6 4.81

15 - + - + - + 5.2 4.98 16 + + - + - - 5.5 4.98 8 - - + + + - 6.9 4.84 4 + - + + - - 7.1 4.85 2 - + + + - + 6.7 4.96 7 + + + + + + 6.9 4.84

a. Observe los datos con cuidado, sobre todo los correspondientes al pH, qu observa de destacado? A qu puede deberse eso?

b. Cul es la resolucin de este diseo y qu significa sta? Escriba la estructura alias reducida. Cmo se pueden interpretar efectos de interaccin que son alias?

c. Cules efectos explican el comportamiento de cada una de las respuestas? Encuentre el mejor ANOVA para cada respuesta e interprete utilizando = 0.05.

d. Determine las condiciones de operacin que maximizan a ambas respuestas simultneamente. Es posible dar una solucin simultnea al problema con los anlisis individuales? Argumente.

e. Verifique los supuestos para cada variable de respuesta.

9. Se piensa que cuatro factores tienen influencia sobre el sabor de un refresco: tipo de endulzante (A), proporcin jarabe/agua (B), nivel de carbonatacin (C) y temperatura (D). Cada factor puede correrse en dos niveles, lo que produce un diseo 24. En cada corrida del diseo, se dan muestras de la bebida a un grupo de prueba formado por 20 personas. Cada una de ellas asigna un puntaje a la bebida, que va de 1 a 10. El puntaje total es la variable de respuesta, y el objetivo es encontrar una frmula que maximice el puntaje total. Se corren dos rplicas de este diseo, y los resultados se muestran a continuacin. Analice los datos y obtenga conclusiones. Utilice = 0.05 y las prueba estadsticas.

Rplica Rplica Combinacin de

tratamientos I II

Combinacin de tratamientos I II

(1) 159 163 d 164 159 a 168 175 ad 187 189 b 158 163 bd 163 159 ab 166 168 abd 185 191 c 175 178 cd 168 174

ac 179 183 acd 197 199 bc 173 168 bcd 170 174 abc 179 182 abca 194 198

10. En un estudio del rendimiento en el desarrollo de un proceso, se analizan cuatro factores, cada uno con dos niveles: tiempo (A), concentracin (B), presin (C), y temperatura (D). Se corre slo una replica del diseo 24, y los datos resultantes son los que aparecen en la tabla siguiente:

Niveles de los factores Nmero

de corrida

Orden real de la

corrida A B C D

Rendimiento (lbs) Bajo (-) Alto (+)

1 5 - - - - 12 A (h) 2.5 3 2 9 + - - - 18 B (%) 14 18 3 8 - + - - 13 C (psi) 60 80 4 13 + + - - 16 D (C) 225 250 5 3 - - + - 17 6 7 + - + - 15 7 14 - + + - 20 8 1 + + + - 15 9 6 - - - + 10

10 11 + - - + 25 11 2 - + - + 13 12 15 + + - + 24 13 4 - - + + 19 14 16 + - + + 21 15 10 - + + + 17 16 12 + + + + 23

a. Haga una grfica de las estimaciones de los efectos sobre una escala de probabilidad normal. Qu factores son los que aparentemente tienen los efectos ms grandes?

b. Realice un anlisis de varianza utilizando la grfica de probabilidad normal del inciso a) como gua para formar el trmino del error. Cules son sus conclusiones?

c. Analice los residuos de este experimento. El anlisis de stos indica algn problema en potencia?

d. Puede reducirse este diseo en un diseo 23 con dos rplicas? Si es as, esboce el diseo con el promedio y el rango del rendimiento den cada punto de un cubo. Interprete los resultados.

11. Considere el experimento descrito en el ejercicio anterior. Encuentre intervalos de confianza del 95% sobre los efectos de los factores que parezcan importantes. Utilice la grfica de probabilidad normal como gua con respecto a los efectos que pueden combinarse para proporcionar una estimacin del error.