Esta Di Stica Pura

7/24/2019 Esta Di Stica Pura

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1.Qu es la estadstica?

La estadstica es un mtodocientfico de anlisis que seutiliza en las ciencias sociales.

El objetivo principal de laestadstica es utilizar unamuestra de datos para inferir

caractersticas de toda lapoblacin.

Para realizar tal tipo de

inferencia es necesario contarcon una muestra representativade la poblacin bajo anlisis.


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2.Objetivos del curso.

Cmo seleccionar una muestrarepresentativa?

Caracterizacin de los datosmuestrales en unos pocosnmeros llamados "estadsticos

muestrales".

Uso de los "estadsticos muestrales"

para hacer inferencias acerca de lapoblacin.


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Cmo elegir una muestra

representativa?

MuestraAleatoria

Muestra noAleatoria

Muestra AleatoriaEstratificada

Muestreo

Sistemtico

Muestreo Aleatorio Simple

Con Reemplazo Sin Reemplazo


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Construccin de los "Estadsticos

Muestrales"

X es una variable

discreta

X es una variable

contnua

Tablas defrecuencias ydistribucin defrecuencias

Tablas defrecuencias ydistribucin defrecuencias(histograma)


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Tablas defrecuencias y

distribucin defrecuencias

Medicin de latendencia

central en unadistribucin

Medicin de lavariacin en una

distribucin

Modo Media Mediana

Rango y RangoIntercuartil

Varianza yDesviacin


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Hay dos mtodos bsicos paraseleccionar datos desde unapoblacin.

1. Muestra Aleatoria: Cada

elemento de la poblacin tienela misma chance de serseleccionado.

2.

Muestra No Aleatoria:Algunos elementos de lapoblacin tienen mayor chancede ser seleccionados.


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Muestra Aleatoria Simple:Seleccin de N elementos de unapoblacin de forma tal quecualquier posible combinacin deN elementos de esa poblacin

tiene la misma probabilidad deser seleccionada.

Muestra Aleatoria Simple sin

reemplazo: Cuando cadaelemento seleccionado para lamuestra no se devuelve a lapoblacin para su posible re-

seleccin.


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Muestra Aleatoria Simple conreemplazo: Cuando cadaelemento seleccionado para lamuestra se devuelve a la

poblacin para su posible re-seleccin.

Muestreo Sistemtico: Los

elementos de la poblacin seordenan en una secuenciaaleatoria y se selecciona cada n-simo elemento de la secuencia.


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Muestreo AleatorioEstratificado: Se divide a lapoblacin en subgrupos y en cadauno de estos subgrupos serealiza un muestreo aleatorio

simple.


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Tablas y Grficos de Frecuencia

Suponga que un consultor quierecaracterizar la asistencia altrabajo de los empleados de una

compaa financiera. Para elloobtiene una muestra aleatoria de20 empleados en el ao 1998.Hagamos que X represente el

nmero de das que un empleadoestuvo ausente durante 1998.Para los 20 empleados (ordenadosalfabticamente) los das de

ausencia son:


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X = 6, 4, 4, 6, 0, 4, 3, 6, 1, 3, 8, 3,6, 0, 1, 6, 11, 5, 10, 8.

X se denomina una variablealeatoria discreta.

Una variable aleatoria es aquellavariable que toma valoresdependiendo del resultado de un

experimento.Una variable aleatoria es

discreta cuando solo toma un

nmero contable de valores.


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Para resumir los datos de lamuestra podemos construir unatabla con la frecuencia (nmerode empleados por cada da deausencia) y la frecuencia relativa

(nmero de empleados por cadada de ausencia sobre el nmerototal de empleados)


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Nmero de

das ausente

Frecuencia Frecuencia

Relativa0 2 2/20=0.101 2 2/20=0.102 0 0/20=0.003 3 3/20=0.15

4 3 3/20=0.155 1 1/20=0.056 5 5/20=0.257 0 0/20=0.008 2 2/20=0.109 0 0/20=0.0010 1 1/20=0.0511 1 1/20=0.05

Total 20 1


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Desde esta tabla podemosgraficar la distribucin defrecuencias:

0

1

2

3

4

5

6

EMPLEADOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


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Si la variable aleatoria fueracontnua, es decir que adoptacualquier valor en un intervaloreal, ya no podramos hablar de la"frecuencia" para un valor

determinado de X porque nuncaobservaramos el mismo valorexactamente. En este caso lo quepodemos hacer es calcular las

frecuencias dentro de undeterminado intervalo.


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Ejemplo: Supongamos quetomamos una muestra aleatoriade 200 personas de la CapitalFederal y registramos su altura,que denotamos con la letra X.

Como X puede tomar cualquiervalor, por ejemplo 1,6543metros de altura, lo que debemoshacer es construir intervalos de

altura y contar el nmero depersonas con alturas includas encada intervalo:


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Intervalo Centro Frecuencia FrecuenciaRelativa

1.35-1.45 1.40 4 0.021.45-1.55 1.50 12 0.061.55-1.65 1.60 44 0.221.65-1.75 1.70 64 0.321.75-1.85 1.80 56 0.281.85-1.95 1.90 16 0.081.95-2.05 2.00 4 0.02

Total 200 1.00

Para graficar la distribucin defrecuencias utilizamos unhistograma o grfico de barras.


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0

20

40

60

80

FRECUENCIA

1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00


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La divisin de los datosordenados por su frecuencia encentcimos se denominaPERCENTIL.

Por ejemplo, una persona de 1.55metros de altura tiene solo 8% degente ms baja que l y por lotanto su altura se dice que es el

octavo percentil de ladistribucin.

Los percentiles que dividen a los

datos en cuatro cuartos tienennombres especiales.


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El percentil 25 y el 75 se llamanPRIMER y TERCER CUARTIL(Q1 y Q3). El percentil 50 sedenomina MEDIANA (Q2).

Las frmulas utilizadas paracalcular estas medidas son:

Q1= Ls1+ [(% hasta 25)/(% en 25)]xAQ1

Donde:Ls1 es el lmite superior delintervalo anterior al intervalo quecontiene a Q1.AQ1 es el ancho del intervalo quecontiene a Q1.


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Q2= Ls2+ [(% hasta 50)/(% en 50)]xAQ2

Donde:Ls2 es el lmite superior delintervalo anterior al intervalo que

contiene a Q2.AQ2 es el ancho del intervalo quecontiene a Q2.

Ejemplos:

Q1= 1.55 + (17/22)x0.10 = 1.6272

Q2= 1.65 + (20/32)x0.10 = 1.7125


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Q3= Ls3+ [(% hasta 75)/(% en 75)]xAQ3

Donde:Ls3 es el lmite superior delintervalo anterior al intervalo quecontiene a Q3.AQ3 es el ancho del intervalo quecontiene a Q3.

CENTRO DE LA DISTRIBUCION

Hay tres formas de definir elcentro de una distribucin:

Modo: El modo de unadistribucin se define como elvalor de mayor frecuencia.


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Mediana: La mediana es laobservacin que divide en dospartes iguales a la distribucin.

Media o Promedio: Supongamos

una muestra de N observacionesdenotadas por X1, X2,,XN. Lamedia o promedio se obtienesumando todos los valores y

dividiendo por el tamaomuestral:

=

= N

iiX

NXMedia

1

1:


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En caso de tener datos agrupados

en intervalos la media se calculacomo:

Donde:C es el nmero de intervalos y fi

es la frecuencia del intervaloi

.

Cul de las tres medidas delcentro de una distribucin es la

apropiada?

fX iC

i

i

N

XMedia =

=1

1:


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VARIACION DE LA DISTRIBUCION

Las medidas de la variacin deuna distribucin son:

Rango: El rango es simplementela distancia entre el mayor y elmenor valor de la muestra.

Rango Intercuartil (IQR): Elrango intercuartil es la distanciaentre el primer y el tercercuartil:

IQR = Q3 - Q1


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Desvo medio absoluto (MAD):

Desvo medio cuadrtico (MSD):

Varianza y Desvo Estndar:

=

= N

ii X

NMAD X

1

1

( ) =

= N

ii XX

NMSD

1

21

( ) =

= N

ii XXS

NVarianza

1

22

1

1:


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Para datos agrupados enintervalos la definicin semodifica a:

Para compensar el hecho dehaber elevado al cuadrado lasdesviaciones con respecto a la

media se puede tomar la razcuadrada de la varianza:

Ejemplo:

( ) =

= C

iii

fXXSN

Varianza1

22

1

1:

S2S:EstndarDesvo =


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DatosX

Desvos DesvosAbsolutos

DesvosCuadrados

10 -30 30 900

20 -20 20 40030 -10 10 10050 10 10 10090 50 50 2500

Suma 0 120 4000

405

200: ==XMedia

245

120 ==MAD


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Porque usamos N-1 como divisoren la frmula de la varianza?

800

5

4000 ==MSD

10004

40002 ==S

324

4000 ==S


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PROBABILIDAD

Una probabilidad indica laposibilidad de que un eventofuturo ocurra. La probabilidad

vara entre cero y uno, reflejandoel rango de posibilidades desdeimposible (cero) hasta totalmentecierto (uno).

Los elementos bsicos de lateora de las probabilidades sonlos resultados del experimento

bajo estudio. Estos resultados sedenominan EVENTOS.


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La coleccin de todos losresultados posibles de unexperimento se denominaESPACIO MUESTRAL.

Ejemplo: Si arrojamos unamoneda al aire la probabilidad deobtener "cara" es 0.50. Estosignifica que existe una

posibilidad del 50% de obteneruna "cara". El espacio muestralest dado por el conjunto {"cara","ceca"} y los eventos (resultados

del experimento de arrojar unamoneda) son "cara" y "ceca".


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Cuando asignamos probabilidadesa los resultados de unexperimento, se deben cumplirdos requerimientos:

(a)

La probabilidad asignada acada evento debe estarentre cero y uno.

(b) Las probabilidades de todos

los eventos deben sumar uno.Existen tres formas diferentesde asignar probabilidades a los

eventos de un experimento:


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1. Frecuencia Relativa: asignaprobabilidades en base adatos histricos en base aexperimentacin. Este tipo deprobabilidad se define como

el nmero de veces que unevento ocurre dividido elnmero total de veces que sehace el experimento.

2.

Probabilidad Subjetiva: laprobabilidad subjetiva reflejasentimientos u opinionesacerca de la posibilidad de

que un resultado determinadoocurra.


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3. Probabilidad Clsica: elmtodo de probabilidadclsica se basa en el supuestode que todos los eventos deun experimento son

igualmente probables. En elcaso ms simple:

PosiblesCasos

FavorableCasosOcurrenciadeadProbabilid =


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Definiciones

El COMPLEMENTO de cualquierevento es la coleccin deresultados que no est contenida

en ese evento.Un EVENTO CONJUNTO es unevento que tiene dos o ms

caractersticas.Una lista de eventos esCOLECTIVAMENTE EXHAUSTIVA

si incluye todos los eventos quepueden ocurrir.


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Dos eventos son MUTUAMENTEEXCLUSIVOSsi la ocurrencia deuno de ellos impide la ocurrenciadel otro.

Ejemplo:Supongamos que el "experimento"consiste en tener una familia detres hijos. Un resultado tpico de

este experimento sera VMV,esto es tener un varn, luego unamujer y por ltimo otro varn.Cmo podramos encontrar la

probabilidad de este resultado?


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V

M

V

M

V

M

V

M

V

M

V

M

V

M

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

0.50

Espacio Muestral

VVV

VVM

VMV

VMM

MVV

MVM

MMV

MMM

0.125

0.125

0.125

0.125

0.125

0.125

0.125

0.125


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Definamos el evento "E : al menosdos mujeres". Este evento estrepresentado por los siguientes

resultados:

E = {VMM, MVM, MMV, MMM}

Espacio Muestral Probabilidades

VVV 1/8VVM 1/8

VMV 1/8

VMM 1/8

MVV 1/8

MVM 1/8

MMV 1/8

MMM 1/8


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En trminos de un diagrama deVenn:

VVVVVM

VMVMVVVMMMVM

MMVMMM

EspacioMuestral

Evento E


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40

Cul es la probabilidad de E?

Pr(E) = 0.125+0.125+0.125+0.125 = 0.500

Es decir que la probabilidad de unevento es la suma de lasprobabilidades de todos losresultados incluidos en ese

evento.Ejemplo:encuentre las probabilidades de

los eventos "G: menos de dosmujeres" y "H: todos los hijos delmismo gnero".


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Ahora supongamos que los padresestaran desilucionados situvieran menos de dos mujeres osi fueran todos sus hijos del

mismo gnero. Cul es laprobabilidad de que esto ocurra?

Aqui tenemos un evento conjunto,

es decir, el evento "G H".Para esto definimos a este eventoconjunto como el conjunto deelementos que pertenecen al

evento G al H a ambos.


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Es decir:

"G H" = {VVV, VVM, VMV, MVV,MMM}

En trminos de una figura,

VMMMVMMMV

VVMVMV

MVVVVVVVVMMM

EspacioMuestral

Evento H

Evento G


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Como tenemos cinco resultadosen el evento conjunto, laprobabilidad del mismo es 5/8.

Los padres estaran doblementedesilucionados si tuvieran menosde dos mujeres y si fueran todossus hijos del mismo gnero. Es

decir que esto es el evento "G yH". Cul es la probabilidad deque esto ocurra?

Del espacio muestral podemos verque solo existe un punto quepertenece tanto a G como a H:


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Evento "G y H" = { VVV }

En general definimos,

"G y H" = Todos los puntos que

estan en ambos eventos "G" y "H"Como solo hay un evento en "G yH", su probabilidad es 1/8.

Tambin podemos encontrar laprobabilidad de "G y H"desarrollando una frmula.


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Primero consideremos doseventos que no tengan ningnpunto en comn. Por ejemplo,evento "I = { VVV }" y el eventoG.

Como los eventos no sesuperponen, se denominanmutuamente excluyentes, es

decir que si uno ocurre el otro nopuede ocurrir.


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En este caso es obvio que laprobabilidad de "I G" es:

Pr(I G) = Pr(I) + Pr(G) = 1/8 + 4/8

= 5/8Esta frmula de simple adicin nosiempre funciona, por ejemplo:

Pr(G H) Pr(G) + Pr(H)

5/8 1/8 + 2/8


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En este caso la frmula nofunciona porque al sumar Pr(G) yPr(H) estamos contando dosveces la interseccin. Restandode la frmula Pr(G y H) elimina

este doble conteo.Por lo tanto, la frmula generales:

Pr(G H) =Pr(G) + Pr(H) - Pr(G y H). (*)

En nuestro ejemplo,

5/8 = 4/8 + 2/8 - 1/8


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La frmula (*) tambin se aplicaen los casos en que los eventosson mutuamente excluyentesporque en ese caso Pr(I y G) = 0.

Es decir que en el caso especialde eventos mutuamenteexcluyentes:

Pr(I G) = Pr(I) + Pr(G)Por otra parte, en general para elcomplemento de cualquier evento

E, EC

tenemos la siguientefrmula:


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Pr(E) + Pr(EC) = 1,

Ya que los puntos en E y en EC

completan el espacio muestral.

Probabilidad Condicional

Es el clculo de la probabilidaddespus de que se conoce una

condicin (evento).Por ejemplo, en el caso de lafamilia de tres hijos supongamos

que se conoce que el evento G haocurrido (menos de dos mujeres).


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Cul es la probabilidad de que sehaya producido el evento H?

Esto es, imaginemos que podemosrepetir el "experimento" un gran

nmero de veces y consideremossolo los casos en los que G haocurrido, cun frecuentementeocurrir H?

Esto es lo que se llamaprobabilidad de H condicional a G

y se denota por:

Pr(H | G)


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En general,

Pr(H | G) = Pr(H y G)/Pr(G)

,

Pr(H y G) = Pr(H | G) * Pr(G)

Ejemplo.

La siguiente tabla muestra losporcentajes de participacin en lafuerza de trabajo de hombres y

mujeres en USA en 1985.


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Hombre MujerEmpleado 51.9% 40.9%Desempleado 3.9% 3.3%Total 55.8% 44.2%

(a)

Cul es la tasa de desempleo?(b) Cul es Pr(Des. | hombre)?(c) Cul es Pr(Des. | mujer)?


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Independencia

Dos eventos F y E se denominanestadsticamente independientessi Pr(F | E) = Pr(F).

Esto es, la ocurrencia de E noafecta la ocurrencia del evento F.

Implicancias:Pr(E y F) = Pr(E) * Pr(F)


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Resmen de frmulas

Pr(A B) PrRegla

General

Pr(A) + Pr(B) - Pr(A y B) Pr(B

CasoEspecial

Pr(A) + Pr(B) si A y Bson mutuamente excl.

Pr(Asi A


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Teorema de Bayes

Consideremos el teorema deBayes usando un ejemplo.

El gerente de marketing de unaJugetera est planeandointroducir un nuevo juguete en elmercado. En el pasado el 40% de

los juguetes lanzados al mercadopor la compaa han sido exitosos.Antes de lanzar cada juguete, serealiza un anlisis de mercado y

se escribe un reporte que puedeser favorable o desfavorable allanzamiento. En el pasado, 80%


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de los lanzamientos exitososrecibieron reportes favorables yun 30% de los lanzamientos noexitosos tambin recibieronreportes favorables. El

departamento de marketing de laempresa deseara saber laprobabilidad de que el nuevo

juguete fuera exitoso:

(a)

Antes del reporte del anlisisde mercado.(b) Si el reporte es favorable.(c) Si el reporte es desfavorable.


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(a) Pr(exitoso)=0.40

(b)

Del rbol de probabilidadespodemos extraer el espaciomuestral:

JugueteExitoso

Jugueteno Exitoso

Favorable

Favorable

Desfavorable

Desfavorable70%

30%20%

80%

60%

40%


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Espacio Muestral =

{ EF, ED, NEF, NED}

Las respectivas probabilidades

son:Pr(EF) = 0.32Pr(ED) = 0.08

Pr(NEF) = 0.18Pr(NED) = 0.42Total = 1


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La probabilidad que necesitamoses:

Pr(E | F) = Pr(E y F)/Pr(F)= 0.32/(0.32+0.18)

= 0.64Pr(F) = Pr(E y F) + Pr(NE y F)

= 0.32 + 0.18 = 0.50

(d) Pr(E | D) = Pr(E y D)/Pr(D)= 0.08/(0.08+0.42)= 0.16

Pr(D)= Pr(E y D) + Pr(NE y D)= 0.08 + 0.42 = 0.50


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Formalmente, la frmula de Bayeses:

Pr(E|F) = Pr(E y F)/(Pr(EyF)+Pr(NEyF))

Donde,Pr(EyF) = Pr(F|E)*Pr(E)Pr(NEyF) = Pr(F|NE)*Pr(NE)

Las probabilidades iniciales, antesde realizar cualquier test sedenominan probabilidadesanteriores. Las probabilidades

obtenidas despus del testeo sedenominan probabilidadesposteriores.


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Distribuciones de probabilidad

1) Variables Aleatorias Discretas

Consideremos nuestro ejemplo de

la familia con tres hijos.Supongamos que esta familia estinteresada en el nmero demujeres que tendr. Este es un

ejemplo de una variable aleatoriaque denotaremos por la letra X.Es decir,

X nmero de hijas mujeres.

Los valores posibles de X son:


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X = {0, 1, 2, 3}

Estos resultados no sonigualmente probables.

Esp. Muestral Prob.

VVV 1/8VVM 1/8VMV 1/8VMM 1/8MVV 1/8MVM 1/8MMV 1/8MMM 1/8

X Pr(X)

0 1/81 3/8

2

3/83 1/8


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Calculando las probabilidades detodos los eventos se obtiene ladistribucin de probabilidad de X.

Entonces, una variable aleatoria

discreta X, toma valores conprobabilidades especificadas porsu distribucin de probabilidadPr(X).

El espacio muestral original sereduce a un nuevo y msconveniente espacio muestral.


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Media y Varianza

De la misma forma que calculamosla media y la varianza de unamuestra de observaciones desde

las tablas de frecuencias,podemos calcular la media y lavarianza de una variable aleatoriaX, desde su distribucin de

probabilidad Pr(X).)Pr(: XXMedia i

ii=

( ) )Pr(: 22 XXVarianza ii

i =


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Distribucin Binomial

Una de las variables aleatoriasdiscretas mas comunes es ladenominada BINOMIAL.

El ejemplo clsico de variablebinomial es:

E = nmero de "caras" en variastiradas de una moneda.

Supuestos Bsicos

1. Suponemos que hay "n"pruebas


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2. En cada prueba, un ciertoevento de inters puedeocurrir o no. Si ocurre,decimos que es un "exito" y sino ocurre es un "fracaso". Sus

respectivas probabilidades sony (1-), y no cambian en cadaprueba.

3. Asumimos que las pruebas son

estadsticamente independientes.Entonces E, el nmero total de"exitos" en "n" pruebas se

denomina variable binomial.


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La frmula general de la binomialcuando en cada prueba hay unaprobabilidad de "exito" es laprobabilidad de exactamente E"exitos" en "n" pruebas:

El coeficiente binomial se definecomo,

)1()( )(

= EnE

E

nEp

)!(!

!

EnE

n

E

n

=


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Donde n! = n*(n-1)*(n-2)**3*2*1

Un punto importante es que ladistribucin binomial solo puedeutilizarse si las pruebas son

independientes.EjemploSupongamos que una produccin

de 40,000 microondas incluye32,000 (80%) sin defectos. Eldepartamento de control decalidad, no conociendo este

nmero, toma una muestraaleatoria de 10 microondas paraestimar la calidad total.


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Cul es la probabilidad de que enla muestra haya 5 microondas sindefectos y 5 defectuosos?

Solucin

Cada uno de los 10 sucesivosmicroondas en la muestra puedeser considerado una "prueba",

entonces "n=10". Para el primermicroondas la probabilidad de"exito" (sin defectos) es32,000/40,000=0.80.

Dependiendo de si el primermicroondas fue un "exito" o no, elsegundo microondas tiene una


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probabilidad de "exito" de31,999/39,999 32,000/31,999que para los fines prcticos siguedando 80%. Es decir que lasegunda prueba es prcticamente

independiente de la primera.Repitiendo este argumento paralos restantes microondastenemos una distribucin binomial

con n=10, =0.80 y E=5, es decir

)80.01(80.05

10)5(

)510(5

= p


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Lo que da aproximadamente0.026.

Es decir que en una muestraaleatoria de 10 microondas, hay

una probabilidad del 2.6% detener 5 microondas sin defectosy 5 defectuosos.

En la prctica tenemos tablas conlas probabilidades de ladistribucin binomial calculadas.

EjemploUna muestra de 5 votantes de laeleccin presidencial de 1984 en


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USA (cuando el 60% vot por losrepublicanos) es seleccionada enforma aleatoria.

(a) el nmero de votantes

republicanos en la muestrapuede variar de 0 a 5.Tabular su distribucin deprobabilidad.

(b)

Calcular la media y ladesviacin estndar.(c) Cul es la probabilidad de

que haya exactamente 3

votantes republicanos en lamuestra?


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(d) Calcule la probabilidad deque en la muestra haya unamayora de votosrepublicanos y asi reflejecorrectamente la mayora

en la poblacin.(e) Grafique las respuestas (a)-(d).

Solucin(a) Cada votante seleccionado

constituye una prueba. En

cada prueba la probabilidadde voto a los republicanos es=0.60. En un total de n=5


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pruebas, queremos laprobabilidad de E "exitos",donde E=0,1,2,3,4 y 5. Siobservamos la tabla de labinomial para n=5 y =0.60

tenemos:


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75


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E P(E) E*P(E) (E-) (E-)2 (0 0.010 0 -3 91 0.077 0.077 -2 42 0.230 0.460 -1 1

3 0.346 1.038 0 04 0.259 1.036 1 15 0.078 0.390 2 4

1 (b) =3


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78

De la tabla p(3) = 0.346 35% (c)yp(3)+p(4)+p(5)=0.346+0.259+0.078

=0.683


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79

Distribuciones Contnuas

Distribucin Normal

Para muchas variables contnuas,

la distribucin de probabilidad esuna curva con forma de campanadenominada curva NORMAL ocurva GAUSSIANA en honor al

cientfico alemn Karl Gauss(1777-1855).

Esta distribucin es la ms comn

y til de las distribuciones enciencias sociales.


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80

Distribucin Normal Estndar

La ms simple de lasdistribuciones normales es ladistribucin normal estndar. Se

denomina con la letra Z y sedistribuye alrededor de unamedia =0 y una desviacinestndar =1.


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81

En general,

Cada valor de Z es el nmero dedesviaciones estndar desde lamedia.

Las probabilidades se denotanpor el rea bajo la curva. Porejemplo, si deseamos calcular la

probabilidad de que un valor dadode Z sea mayor a 1.5, estaprobabilidad corresponde al reasombreada en la figura.

Las probabilidades para Z estncalculadas y tabuladas.


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Ejemplos:

Si Z tiene una distribucin normalestndar, encuentre:

a.

Pr(Z < 1.64)b. Pr(Z < -1.64)c. Pr(1 < Z < 1.5)d. Pr(-1 < Z < 2)

e.

Pr(-2 < Z < 2)

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