Estabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto. · Tema 3.1 Conceptos de estabilidad. Polos y Ceros....

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3 3 CAPITULO Estabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto. El hombre de talento es naturalmente inclinado a la crítica, porque ve más cosas que los otros hombres y las ve mejor. Montesquieu Contenido: Tema 3.1: Conceptos de estabilidad Tema 3.2: Transformación bilineal. Tema 3.3: Criterio modificado de Routh Hurwitz. Tema 3.4: Criterio de Jury. Tema 3.5: Segundo método de Lyapunov. Tema 3.6: Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad. Instituto Tecnológico de Puebla

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33 CAPITULO

Estabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto.

El hombre de talento es naturalmente inclinado a la crítica, porque ve más cosas que los otros

hombres y las ve mejor. Montesquieu

Contenido:

Tema 3.1: Conceptos de estabilidad Tema 3.2: Transformación bilineal. Tema 3.3: Criterio modificado de Routh Hurwitz. Tema 3.4: Criterio de Jury. Tema 3.5: Segundo método de Lyapunov. Tema 3.6: Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad.

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Tema 3.1 Conceptos de estabilidad.

Polos y Ceros. Los polos de un sistema son los ceros del denominador de H(q), del polinomio característico A(q); Los ceros se obtienen haciendo B(q)=0. Por ejemplo en la siguiente función:

[ ]

( )( )

1215.0

115.05.0)(

121

1011

01)(

22

1

+−−

=−

+−=

−−=

qqq

qqqH

qq

qH

Se tiene un cero en – 1; y el sistema tiene dos polos en 1. Un retardo en el tiempo hace que los polos se dirijan al origen . Orden de un Sistema: Es igual a la dimensión de su representación de espacio de estado o equivalente al número de polos del sistema. Estabilidad. La estabilidad se define primero con respecto a sus condiciones iniciales, considerando el siguiente sistema en tiempo discreto, en su representación de variables de estado, posiblemente no lineal y variante en el tiempo :

x(k+1) = f(x(k)k) (1) Sea x0(k) y x(k) soluciones de la ecuación 1 con condiciones iniciales x0(k0) y x(k0) respectivamente. Definición de estabilidad. La solución x0(k) en la ecuación 1 es estable si para una ∈>0 existe δ(∈ , k0) >0 tal que todas las soluciones con la norma de

|| x(k0) – x0(k0) || < δ

impliquen que || x(k) – x0(k)|| < ∈ para toda k > ko.

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Estabilidad Asintótica. La solución x0(k) de la ecuación 1 es asintóticamente estable, si es estable y si δ puede seleccionarse de tal forma que:

|| x(k) - x0(k)|| < δ Cuando k → ∞ . De las definiciones podemos notar que la estabilidad en general está definida para una solución particular y no por el sistema. Podemos también decir que un sistema es asintóticamente estable si las trayectorias no cambian mucho si las condiciones iniciales, cambian en muy poco. Estabilidad del sistema en tiempo discreto. Considerando el sistema lineal

x0(k+1) = Φx0(k) x0(k) = a0

Para investigar la estabilidad de la solución los valores iniciales son perturbados; de aquí :

x( k + 1) = Φ x(k) x(0) =a La diferencia = x - xx~ 0

satisface la ecuación ( k+1)= Φ (k) ~ (0) = a - ax~ x~ x 0 . Esto implica que si la solución x0 es estable, entonces para otra solución también es estable. Así en los sistemas lineales e invariantes en el tiempo la estabilidad es una propiedad del sistema y no de una solución especial. El sistema anterior tiene una solución del tipo

)0(x~)k(x~ φ=

Si es posible diagonalizar Φ, entonces la solución es una combinación de términos

kiλ donde iλ i= 1, 2, ..., n que son los eigenvalores de Φ.

En el caso general, cuando Φ no puede diagonalizarse, la solución es una combinación lineal de términos

Pi (k) kiλ

los cuales son polinomios en k de un orden menor que la multiplicidad de su correspondiente eingenvalores . Para obtener la estabilidad asintótica, todas las soluciones deben tender a cero, como k se incrementa hacia el infinito, los eingenvalores de Φ tienen la siguiente propiedad :

| iλ | < 1 i = 1,....n. k

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Teorema: Estabilidad Asintótica de sistemas lineales. Un sistema en tiempo discreto, lineal a invariante en el tiempo, es asintóticamente estable si y sólo si todos los eingenvalores de Φ se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario. Estabilidad BIBO.

Un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable BIBO, si para una entrada limitada (frontera) nos da una salida limitada para todo valor inicial. Debido a lo anterior tenemos:

" Una estabilidad asintótica implica una estabilidad y una estabilidad BIBO" Cuando utilizamos la palabra estable, normalmente significa estabilidad asintótica.

Pruebas de Estabilidad. Los siguientes métodos nos permiten determinar la estabilidad de un sistema. 1.- Cálculo directo de los eingenvalores de Φ. 2.- Métodos basados en las propiedades de los polinomios característicos. 3.- El método del lugar de las raíces. 4.- El criterio de Nyquist. 5.- método de Lyapunov. Un cálculo directo de los eingenvalores para sistemas de orden 2 o mayor es complicado de realizar a mano, o cuando la matriz tiene parámetros en sus coeficientes. En algunos casos es fácil calcular el polinomio característico e investigar su ecuación característica .

A(z)= a0 zn + a1 zn-1 + ... + an =0

Tema 3.2 Transformación bilineal.

Antes de aplicar con ventaja los métodos de diseño, a los controladores de tiempo discreto, son necesarias ciertas modificaciones. Supongamos que se dispone de un controlador en tiempo continuo Kc (s), y deseamos convertirlo para propósitos de implementación en un controlador digital, donde el periodo de muestreo es T segundos por lo que la frecuencia de muestreo es

Tf s

1=

Tws

π2=

Una manera común de convertir una función de transferencia continua a una discreta es la Transformación Bilineal (BLT) o Aproximación de Tustin. Como nosotros sabemos, la relación entre la transformada de Laplace (variable s) y la transformada z (variable z) está dada por (Oppenheim y Schafer 1975).

sTez =

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De aquí, por expansión de series podemos ver

2121

Ts

Tsez sT

+≈=

Nosotros podemos invertir esta transformación y definir

112'

+−

=zz

Ts

La transformación bilineal corresponde a una integral aproximada usando la regla trapezoidal, donde si

1

1

112

112

)()(

+−

=+−

=zz

Tzz

TzUzY

Entonces (recordemos que z-1 es un retardo unitario en el dominio del tiempo tal que ) 1

1−

− = kk uuz

( )11 2 −− ++= kkkk yyTuu

Tema 3.3 Criterio modificado de Routh Hurwitz.

La región de estabilidad en el plano z esta limitada al circulo unitario; por lo tanto el criterio

de Routh Hurwitz no puede aplicarse directamente a la ecuación característica F(z)=0. Sin embargo si se mapeo el interior del circulo unitario del plano z en el semiplano izquierdo de un plano complejo mediante una transformación bilineal, el criterio de Routh Hurwitz puede aplicarse directamente a la ecuación transformada. Es posible mostrar que las transformaciones:

w1w1z

−+

=

o

w1w1z

−+

−=

Transforman el interior del circulo unitario en el semiplano izquierdo w.

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De las expresiones anteriores podemos obtener:

1z1zw

+−

= 1z1zw

−+

=

Sea w = u + j v y z = x + j y. Entonces:

22 y)1x()1jyx)(1jyx(

1jyx1jyxw

+++−−+

=++−+

=

22

22

y)1x(y1xu)wRe(+++−

==

Para que es necesario que: 0u ≤

1yx 22 ≤+ es decir:

1z 2≤ , entonces 1z ≤ con lo que se demuestra que las condiciones y 0)wRe( ≤ 1z ≤ son

equivalentes.

Similarmente para la transformación 1z1zw

−+

= se puede llegar a la misma conclusión anterior.

Sea:

w = u + j v y z = x + j y

entonces:

jvu1jyx1jyxw +=

−+++

=

de donde:

22

22

y)1x(1yxu

+−−+

=

Para que u es necesario que: 0≤

1yx 22 ≤+ , o sea 1z ≤

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Ejemplo: Consideremos un sistema en tiempo discreto que esta representado por la siguiente ecuación característica:

01.0z5.0z5.0z5.1z)z(F 234 =+++−= Si se aplica la transformación:

w1w1z

−+

=

Se obtiene:

06.0w4.0w6.8w6.4w6.2)w(f 234 =+−++= que de acuerdo con el criterio de Routh – Hurwitz, el sistema es inestable.

Tema 3.4 Criterio de Jury

Prueba de estabilidad de Jury. Esta prueba se realiza para determinar si la ecuación característica, tiene todos sus ceros dentro del disco unitario.

0a...zaza)z(A n1n

1n

0 =+++= −

Para esto como primer paso formamos la tabla:

a0 a1 ... an-1 an an an-1 ... a1 a0

1n0a − 1n

1a − … 1n1na −−

1n1na −− 1n

2na −− … 1n

0a −

.

.

.

00a

Donde :

k1kk

ki

1ki aaa −− α−=

k0

kkk a/a=α

El primer y segundo renglón se obtienen poniendo los coeficientes de la ecuación característica en orden directo e inverso respectivamente. El tercer renglón se obtiene multiplicando el segundo

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renglón por y restando el resultado al primer renglón; el ultimo elemento en le tercer renglón debe ser 0.

0nn a/a=α

El cuarto renglón es el tercer renglón en orden inverso, y el esquema se repite hasta 2n+1 renglones. El ultimo renglón consiste solo de un elemento. Teorema : Si a0 > 0 entonces A(z)= a0 zn + a1 zn-1 + ... + an =0 tiene todas sus raíces dentro del círculo unitario, si y sólo si todas a , k = 0,1,...., n-1, son positivas, y si ak

0 0 no es cero entonces el número negativas a es igual al número de raíces fuera del círculo unitario.

k0

Observación: Si todos son positivos para k = 1,... ,n-1 , entonces la condición a > 0 se puede mostrar que es equivalente a las condiciones:

k0a 0

0

A(1) >0 (-1)n A(-1)>0

Estas condiciones se constituyen necesarias para la estabilidad y deberán ser probadas antes de formar la tabla.

Ejemplo:

A(z) = z2 + a1z + az=0

1 a1 a2 a2 a1 1 1- a2 a1(a-a2) a1(1- a2) (1- a22) (1- a22) – a12(1- a2) 1+ a2

Todas las raíces están dentro del círculo unitario si:

1 21 aa 112 aa __________________________ 1 22211

22 aaaaaa −−−

1 211 aaa − 22a−

__________________________

+

−−−2

1211

22 1 a

aaaaa1 01

12

122211 =

+

−−−aaaaaa

01 2

2 >− a 12

2 −>− a 12

2 <a

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12 <a

01

12

12112 >

+

−−−aa

aaaa

( )( )( ) ( )

01

1111

2

221222 >

+−−+−+

aaaaaa

( ) ( ) ( ) 0111 2212

22 >−−−+ aaaa

( )2221 1 aa +<

21 1 aa +< Resolviendo las inecuaciones anteriores :

. a2 < 1 a2 > 1+ a

a2 > -1 –a Por lo que el área de estabilidad se muestra en la figura 3.1 :

Figura 3.1 Área de estabilidad del sistema.

Ejemplo: Determina si las siguientes ecuaciones tienen todas sus raíces dentro del círculo unitario aplicando la teoría de Jury.

1. z3 - 3 z2 + 2z – 0.5 = 0 Solución

1 -3 2 -0.5 -0.5 2 -3 1 0.75 -2 0.5 0 0.5 -2 0.75

0.416 -0.66 0 -0.66 0.416 -0.65 0

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Donde α3 = -0.5/1 = -0.5 α2 = 0.5/0.75 = 0.66

α= -0.66/0.416 = -1.6 Obteniendo

0.75 > 0 0.416 > 0 -0.65 < 0

Por lo tanto, el sistema tiene 2 raíces dentro del circulo unitario y una raíz dentro del circulo unitario

Tema 3.5 Segundo método de Lyapunov

Este método es una herramienta para determinar la estabilidad de sistemas dinámicos no

lineales. Lyapunov desarrollo la teoría para las ecuaciones diferenciales, pero esta teoría se puede también utilizar para las ecuaciones de diferencia. La idea principal es introducir una función de energía generalizada llamada función de Lyapunov, la cual toma el valor de 0 en el equilibrio y positiva de otra forma.; el equilibrio llegara a ser estable si la función de Lyapunov decrece a lo largo de las trayectorias del sistema.. El primer paso para mostrar estabilidad en el sentido de Lyapunov, es encontrar la función de Lyapunov, que se define como sigue: Definición de función de Lyapunov. V(x) es una función de Lyapunov para el sistema:

))k(x(f)1k(x =+ 0)0(f = si: 1. V(x) es continua en x y V(0)=0 2. V(x) es positiva definida 3. ∆ es negativa definida )x(V))x(f(V)x(V −= Una ilustración geométrica de la definición se muestra en la figura 3.2, Las curvas de nivel de una función definida positiva continua V son curvas cerradas en la vecindad del origen; la condición 3 implica que la dinámica del sistema es tal que la solución siempre se mueve hacia las curvas con valores bajos. Todas las curvas de nivel encierran al origen y no se interceptan con otra curva de nivel.

figura 3.2 Ilustración geométrica del Teorema de Lyapunov.

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De la interpretación geométrica es razonable pensar que la existencia de una función de Lyapunov asegura estabilidad asintótica. Teorema: Estabilidad de Lyapunov. La solución x(k)=0 es asintoticamente estable si existe una función de Lyapunov para el sistema. Además si:

)x(V)x(0 <ϕ<

donde ∞→ϕ )x( como ∞→)x( entonces la solución es asintoticamente estable para todas las condiciones iniciales. El principal obstáculo para utilizar la teoría de Lyapunov es encontrar una función adecuada de Lyapunov, pero sin embargo para los sistemas lineales se pueden determinar de la siguiente manera: Tomar V(x)= x T P x , como candidata a una función de Lyapunov, el incremento de V esta dado por:

Qxxx)PP(xPxxxPx)x(V)x(V)x(V

TTT

TTT

−=−ΦΦ=

−ΦΦ=−Φ=∆

Para que V sea una función de Lyapunov, es necesario y suficiente que exista una matriz definida positiva P que satisfaga la ecuación.

QPPT −=−ΦΦ Donde Q es definida positiva. La ecuación anterior se conoce como función de Lyapunov, por lo que si existe una solución para la ecuación de Lyapunov entonces el sistema lineal es estable. La matriz P es definida positiva si Q es definida positiva. Una forma de determinar la función de Lyapunov para un sistema lineal es seleccionando una matriz definida positiva Q y resolver la ecuación de Lyapunov. Si la solución P es definida positiva entonces el sistema es asintoticamente estable.

Tema 3.6 Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad.

Considerando el sistema:

)k(Cx)k(y)k(u)k(x)1k(x

=Γ+Φ=+

Asumiendo que el estado inicial x(0) se conoce, el estado en el tiempo n, donde n es el orden del sistema, viene dado por:

UW)0(x)1n(u...)0(u)0(x)n(x

cn

1nn

+Φ=

−Γ++ΓΦ+Φ= −

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Donde

[ ]ΓΦΦΓΓ= −1nc ...w

[ ]TTT )0(u...)1n(uU −= Si Wc tiene rango n, entonces es posible encontrar n ecuaciones de las cuales las señales de control encontradas pueden llevar del estado inicial a un estado final deseado x(n). Se puede notar que la solución no es única si existe mas de una señal de entrada. Definición de controlabilidad: Se dice que un sistema es controlable si es posible encontrar una secuencia de control tal que se pueda alcanzar el origen a partir de cualquier estado inicial en un tiempo finito. Un concepto relacionado es la definición de alcanzabilidad, la cual se define como: Un sistema es alcanzable si es posible encontrar un secuencia de control tal que un estado arbitrario pueda alcanzarse a partir de un estado inicial en un tiempo finito. Estos dos conceptos son equivalentes si Φ tiene inversa, la controlabilidad no implica alcanzabilidad, es decir si entonces el origen puede alcanzarse con una entrada cero pero el sistema no es necesariamente alcanzable.

0)0(xn =Φ

Teorema: Un sistema es alcanzable si y solo si la matriz Wc tiene rango n. La matriz Wc usualmente se conoce como matriz de controlabilidad por su analogía con los sistemas continuos. Por ejemplo: Determinar si el siguiente sistema es :

a) Observable b) Alcanzable

[ ] )(42)(

)(46

)(25.005.05.0

)1(

kxky

kukxkx

−=

+

−=+

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Solución: a)

[ ]

2det46det1416

11

46

25.005.05.0

=−=

=

=

−=Γ

ΓΓ=

c

c

w

w

φ

φ

Podemos observar que Wc tiene un determinante diferente de 0 por lo tanto es observable, tiene rango 2. b)

[ ] [

0det44det2142

2125.005.05.0

42

0

0

=+−=

−−

=

−=

−−=

=

w

c

cc

w

φ

φ

]

Considerando que el determinante es cero, concluimos que la matriz no es de rango 2 y por lo tanto no es alcanzable. Para el siguiente sistema:

( ) )(5.01

)(025.011

1 kUtxkx

+

=+

=22

)0(x

Encontrar una secuencia de control, tal que se pueda llegar al estado:

[ ]15.0)2( =tx

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Respuesta:

)1(...)0()0()( 1 −Γ++Γ+= − nuuxnx nn φφ

)1(...)0()0()2( 12 uuxx Γ++Γ+= φφ

)1(5.01

)0(5.01

025.011

22

025.011

025.011

)2( uux

+

+

=

)1(5.01

)0(25.05.0

22

25.025.0175.0

)2( uux

+

+

−−

=

)1(5.01

)0(25.05.0

15.3

)2( uux

+

+

=

)1(5.01

)0(25.05.0

15.3

15.0

uu

+

+

=

)1()0(5.05.35.0 uu ++=− )1(5.0)0(25.011 uu −−−=

)0(5.05.35.0)1( uu −−−=

)0(5.04)1( uu −−=

De esta última ecuación podemos observar que si es posible encontrar esta secuencia de control proponiendo una y sustituyendo en la ecuación encontrada se obtiene la otra.

Ejemplo: El siguiente sistema es alcanzable: 1 0 1 1

x(k+1) = x(k) + u(k) 0 0.5 1 0

Asumiendo una entrada escalar u’(k) tal que: 1 u(k)= u’(k)

-1 Es introducida. ¿ El sistema es alcanzable para u’(k) solamente.?

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Respuesta: Consideremos 1 1 1 0 u’(k) = u(k) 1 0 -1 1 Ahora el sistema será 1 0 1 x(k+1) = y(k) + u’(k) 0 0.5 0 Para saber si el sistema es alcanzable con las condiciones anteriores tenemos:

Wc = [ Γ ΦΓ] 0 Γ = 1 1 1 0 0 ΦΓ = = 1 0.5 1 0.5 0 0 Wc = 1 0.5 Con estas condiciones el sistema no es alcanzable.

Ejemplo: Dado el siguiente sistema: 0 1 0 0 x( k + 1 ) = 0 0 3 x(k) + u(k) 0 0 .5 1

xT (0) = [ 1 1 1] a) Determine la secuencia de control tal que mi sistema sea llevado de mi estado inicial al origen.

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b) Cual es el mínimo número de pasos para resolver el problema en el inciso a).

c) Explicar por que no es posible encontrar una secuencia tal que el estado [ 1 1 1 ]T se ha alcanzado a partir del origen.

Solución: x(n) = Φnx(0) + Φn-1Γu(0) +...+ Γu(n-1)

ecuación (a) x(3) = Φ3x(0) + Φ2Γu(0) + ΦΓu(1) + Γu(2)

xT (0) = [ 1 1 1]

1 x(0) = 1 1 0 1 2 Φ = 0 0 3 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 3 Φ2 = 0 0 3 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Φ3 = 0 0 3 0 0 3 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Φ3 = 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 ΦΓ = 0 0 3 1 = 0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 Φ2Γ = 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Φ3Γ = 0 0 0 1 = 0 0 0 0 1 0 De la ecuación (a) obtenemos: 0 0 1 0 x(3)= 0 + 0 u(0) + 0 u(1) + 1 u(2) 0 0 0 0 Por lo tanto las entradas son u(1)=0 Y u(2)=0 a) El numero mínimo de pasos es 3. c) No se puede encontrar una secuencia por que las entradas son ceros y por lo tanto ya esta en el origen. Seguimiento de Trayectorias. De las definiciones y cálculos anteriores, es posible determinar una secuencia de control tal que el estado deseado pueda alcanzarse al menos en n pasos de tiempo. La alcanzabilidad también implica que es posible seguir una trayectoria dada en el espacio de estados. Asumamos que conocemos un X(k) y que es necesario llegar a x( k + 1); esto es posible solo si Γ tiene rango n , esto es que es necesario pero no suficiente tener n señales de entrada. Para un sistema de una solo entrada y una sola salida, es en general, posible alcanzar los estados deseados solo en el n-esimo punto de muestra , con tal que los puntos deseados son conocidos en n pasos. Es fácil realizar el seguimiento de una señal de salida. Asumiendo que la trayectoria esta dada por

, entonces la señal de control debe satisfacer: )k(uc

)k(u)k(u)q(A)q(B)k(y c==

o

)k(u)q(B)q(A)k(u c=

Asumiendo que d pasos de retardo en el sistema. La generación de u(k) es causal si la trayectoria deseada se conoce en d pasos. La señal de control se puede generar en tiempo real. La ecuación

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anterior tiene una solución única si la señal Es tal que existe una k)k(uc 0 tal que para toda k < k

0)k(u =0 .

Observabilidad y detectabilidad. Para resolver el problema de encontrar el estado de un sistema a partir de las observaciones de su salida, se introduce el concepto de estados no observables. Definición de estados no observables: El estado es no observable si existe una tal que y(k)=0 para 0 cuando x(0)=x

0x0 ≠ 1nk1 −≥

1kk ≤≤ 0 y u(k)=0 para 0 . 1kk ≤≤ El sistema es observable si existe una k finita tal que el conocimiento de las entradas u(0),...,u(k-1) y las salidas y(0), ... , y(k-1), son suficientes para determinar el estado inicial del sistema. El efecto de conocer las señales de entrada siempre puede determinarse, y sin perdida de la generalidad podemos asumir que u(k)=0. Asumiendo que y(0), y(1), ... ,y(n-1) se conocen, tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

)0(xC)1n(y...

)0(xC)1(Cx)1(y)0(Cx)0(y

1n−Φ=−

Φ===

Usando notación vectorial tenemos:

=

Φ

Φ

− )1n(y:

)1(y)0(y

)0(x

C:

CC

1n

El estado x(0) puede obtenerse si y solo si la matriz de observabilidad:

Φ

Φ=

−1n

0

C:

CC

W

tiene rango n. El estado x(0) es no observable si esta dentro del espacio nulo de W0 . Si dos estados son no observables, entonces su combinación lineal también es no observable; es decir los estados no observables forman un espacio lineal. Teorema: Observabilidad: Un sistema es observable si solamente los estados no observables son los que decaen hacia el origen, es decir sus correspondientes eigenvalores son estables. En el siguiente capitulo se explicaran con más detalles estos conceptos y sus aplicaciones.

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Page 19: Estabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto. · Tema 3.1 Conceptos de estabilidad. Polos y Ceros. Los polos de un sistema son los ceros del denominador de H(q), del polinomio característico

Control Digital.

Referencias Bibliográficas. [1] SISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROL.

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[2] DIGITAL COMPUTER CONTROL SYSTEMS

Virk,G.S. Department of Control Engineering University of Sheffield Mc Graw Hill.

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