Estabilidad Dinámica Longitudinal

7/26/2019 Estabilidad Dinmica Longitudinal

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Estabilidad Dinmica Longitudinal

Las ecuaciones del movimiento linealizadas adimensionales, en ejes estabilidad, seescriben de la siguiente manera:

2=d u

d t=(2CXs+CXu ) u+CX+CZs (11)

(2CZ)d

d t=(2CZs+CZu ) u+CZ+(2+CZq ) qCXs+CZ

e

e , (12)

^Iyd q

d tCm

d

d t=Cmuu+Cm+Cmq q+Cm

e

e+Cme

e , (13)

d

d t=q ,

(14)

Donde la denici!n de las distintas variables adimensionales se "a realizado de lasiguiente manera:

Cx= X

1

2V

2

S

,CZ= Z

1

2V

2

S

,Cm= M

1

2V

2

Sc

,

u=u

us, w=

w

us= , q=

q

2us

c

,

t= t

c

2us

, = m

1

2 Sc

,^Iy=Iy

S ( c2 )3

#dems, "a$ %ue tener en cuenta %ue las ecuaciones (11) & (14) denen elmovimiento de 'erturbaci!n res'ecto a una condici!n de vuelo de reerencia,corres'ondiente a un vuelo rectilneo uniorme, 'or lo %ue las uerzas $ momentosde dic"a condici!n de vuelo satisacen:


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0=mg sins+XsCXs=gc

us2sins, (1*)

0=mgcoss+ZsCZs=gc

us2 cos s , (1+)

0=Cms . (1)

-or comodidad, se va a considerar en todo momento un vuelo "orizontal, 'or lo %ue

s=0 , lo %ue im'lica %ue CXs=0 . /ambi0n se va a ignorar la derivada de

estabilidadCm

e .

inalmente, si se deja jo el mando de 'roundidad en el valor corres'ondiente a lacondici!n de vuelo de reerencia, el sistema de ecuaciones longitudinal %ueda:

(1)

(1)

(2)

d

d t=q , (21)

Las soluciones de este sistema de ecuaciones dierenciales sern del ti'o:

(22)

(23)


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(24)

/eniendo en cuenta %ue e

^ t

0 , 'ara %ue este sistema tenga soluci!n distinta de la

trivial, se tiene %ue cum'lir:

(2*)

# 'artir de este determinante se obtendr un 'olinomio de cuarto grado conocidocomo cuartica de estabilidad:

(2+)

5u$as races sern los autovalores del sistema. 6!tese %ue al "aber escrito lasecuaciones longitudinales en su orma adimensional, los autovalores resultantes dela ecuaci!n anterior tambi0n sern adimensionales (n!tese la dierencia con losautovalores resultantes del determinante (4), los cuales tienen dimensiones7/iem'o819). De orma general, en aviones convencionales, de la ecuaci!n (2+)resultarn dos 'ares de autovalores com'lejos conjugados, los cuales secorres'onden con los dos modos eistentes en la dinmica longitudinal de aviones:un modo r'ido $ con amortiguamiento grande (corto 'eriodo) $ otro modo muc"oms lento $ menos amortiguado (ugoide).

El clculo de las races de la ecuaci!n anterior 'ermitir conocer el carcter de losmodos longitudinales (distinguiendo si son estables o inestables, $ oscilatorios o nooscilatorios), adems de 'ro'orcionar otros 'armetros globales de cada modo,como es la recuencia natural, amortiguamiento, tiem'o mitad;doble, etc. -araobtener una inormaci!n ms detallada, identicando c!mo es el com'ortamientode las distintas variables de estado asociado a cada modo, es necesario calculartambi0n los autovectores del sistema.

-ara obtener cada autovector asociado a cada

autovalor ^j , s


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/eniendo en cuenta %ue el sistema anterior no tienen rango com'leto, el sistemaanterior se 'uede resolver dividiendo todas las com'onentes del autovector 'or

0j $ eliminando la


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son los modos 'resentes en aviones convencionales. -ara ello, se va a considerarun avi!n de ejem'lo (concretamente un Boeing 4), cu$os 'armetrosaerodinmicos se detallan en el #'0ndice #. La cuartica de estabilidad de estaaeronave en las condiciones de vuelo consideradas es:

(3*)

6!tese %ue, 'or conveniencia, esta ecuaci!n se "a escrito en su orma dimensional,

la cual se obtiene a 'artir de la ecuaci!n adimensional sin ms %ue dividir^ 'or

el tiem'o caracterstico longitudinal, esto es

Cesolviendo la ecuaci!n (3*), se obtienen los siguientes 'ares de races com'lejasconjugadas:

(3+)

(3)

5omo se coment! antes, estos autovalores se corres'onden con dos modosestables $ oscilatorios: el modo ugoide (claramente ms lento), $ el modo de corto'eriodo.

-ara ilustrar mejor estos modos, se 'uede calcular la recuencia natural, elamortiguamiento, el 'eriodo, el tiem'o mitad $ en n>mero de ciclos 'ara reducir la

am'litud a la mitad. #s, considerando el modo ugoide, a 'artir de 1 se

obtienen los siguientes valores:

(3)

# 'artir de estos valores, se 'uede ver el modo ugoide como una oscilaci!n de bajarecuencia $ mu$ 'oco amortiguada, siendo claramente 'erce'tible 'or 'arte de la

tri'ulaci!n. Ces'ecto al modo de corto 'eriodo, a 'artir de

2

se obtiene:

(3)

6!tese %ue tanto el 'eriodo como el tiem'o necesario 'ara la atenuaci!n del modode corto 'eriodo son 'rcticamente un orden de magnitud inerior a los del modougoide. ?e 'uede entender as %ue, ante una 'erturbaci!n en las condiciones de


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vuelo, el modo de corto 'eriodo se estabilizara r'idamente, mientras %ue laoscilaci!n restante estar asociada al modo ugoide. -ara entender mejor c!mo esel movimiento del avi!n asociado a estos modos, a continuaci!n se van a'ro'orcionar las com'onentes de los autovectores asociados a los mismos.

(4)

(41)

5omo se 'uede a'reciar, el modo ugoide es una oscilaci!n de baja recuencia en la%ue se 'roducen cambios 'rinci'almente en velocidad $ ngulo de cabeceo,mientras %ue tanto el ngulo de ata%ue como la velocidad angular de cabeceo'ermanecen 'rcticamente constantes (n!tese el 'e%ueo m!dulo de lascom'onentes asociadas a estas variables de estado en el autovector del ugoide).-ara entender c!mo se mueve el avi!n durante el ugoide, se 'uede 'ensar en lares'uesta del mismo ante una 'erturbaci!n en la velocidad de vuelo, con la

siguiente secuencia de acontecimientos:

1. ?i aumenta la velocidad de vuelo (a ngulo de ata%ue $ em'uje constantes), elavi!n em'ezara a subir, 'or lo %ue el ngulo de asiento de la velocidad

em'ezara a crecer (n!tese %ue es 'rcticamente nulo durante elugoide).

2. Durante el ascenso el avi!n ira disminu$endo su velocidad, "asta %ue llegue unmomento en el %ue se "abr renado tanto %ue no ser ca'az de mantener elr0gimen de subida. Esto se 'uede constatar observando %ue "a$ un desase dea'roimadamente F entre velocidad $ ngulo de cabeceo (%ue es e%uivalente alngulo de tra$ectoria), 'or lo %ue el mnimo de velocidad se 'roducir cuando G H

.

3. # 'artir de este momento, el avi!n em'ezara a descender, decreciendo el ngulode tra$ectoria $ aumentando la velocidad de vuelo. 5uando el avi!n llegue a laaltitud del vuelo de reerencia, la velocidad "abr aumentado "asta igualarse con la

de reerencia (esto es, u=0 ), 'ero el ngulo de tra$ectoria "abr alcanzado su

valor mnimo (recu0rdese el desase), 'or lo %ue el avi!n seguir descendiendo.

4. Durante el descenso, la velocidad se incrementara ('or encima de la dereerencia), 'or lo %ue la sustentaci!n aumentara, "aciendo lo mismo el ngulo detra$ectoria. Esta situaci!n se mantendr "asta %ue se llegue al mimo de

velocidad, coincidiendo con un ngulo de tra$ectoria nulo (se "abr llegado a laaltitud mnima de la oscilaci!n).

*. Esta oscilaci!n se mantendr "asta %ue la resistencia aerodinmica consigaamortiguarla. ?e 'uede entender as el bajo amortiguamiento 'resente en elugoide, gracias a la elevada eciencia aerodinmica con la %ue se disean losaviones.


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5entrndose a"ora en el modo de corto 'eriodo, a 'artir las com'onentes delautovector (41) se 'uede ver %ue el movimiento del avi!n asociado a este modoinvolucra 'rinci'almente al ngulo de ata%ue $ a la velocidad angular de cabeceo,mientras %ue la velocidad de vuelo 'ermanece 'rcticamente constante. #dems,el m!dulo del ngulo de ata%ue $ del ngulo de cabeceo son 'rcticamente iguales,

al mismo tiem'o %ue el desase entre estas variables es reducido. Esto im'lica %uelas variaciones en el ngulo de tra$ectoria sern 'e%ueas, 'or lo %ue se 'uededecir %ue durante el modo de corto 'eriodo el avi!n se mantiene volando a nivel $ avelocidad constantes.

#s, se 'uede entender el corto 'eriodo como un modo r'ido, en el %ue tras una'erturbaci!n en , el avi!n tiende a recu'erar r'idamente el ngulo de ata%ue dee%uilibrio, atenuando la oscilaci!n en tiem'os tan 'e%ueos %ue ni la velocidad devuelo ni el ngulo de tra$ectoria suren variaciones im'ortantes (debido a laelevada inercia). 5omo se mostrara ms adelante, la rigidez %ue "ace %ue el avi!nrecu'ere el ngulo de ata%ue de e%uilibrio est ntimamente relacionada con el

ndice de estabilidad esttica longitudinal (

Cm ), mientras %ue en el

amortiguamiento interviene tanto Cm q comoCm . Estas derivadas de

estabilidad tienen un eecto sobre el avi!n muc"o ma$or %ue las res'onsables deatenuar el modo ugoide ('rinci'almente la resistencia aerodinmica), lo cuale'lica la clara dierencia en el amortiguamiento de ambos modos.

Estabilidad Dinmica LateralIDireccional

Las ecuaciones del movimiento linealizadas adimensionales, en ejes estabilidad, seescriben de la siguiente manera:

(42)

(43)

(44)

(4*)


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(4+)

Donde la denici!n de las distintas variables adimensionales se "a realizado de lasiguiente manera:

6!tese %ue la ecuaci!n (4+) est desaco'lada, 'or lo %ue se eliminara de laormulaci!n %ue se desarrollar a continuaci!n.

#dems, "a$ %ue tener en cuenta %ue las ecuaciones (42) & (4*) denen elmovimiento de 'erturbaci!n res'ecto a una condici!n de vuelo de reerencia,corres'ondiente a un vuelo rectilneo uniorme, 'or lo %ue las uerzas $ momentosde dic"a condici!n de vuelo satisacen:

(4)

(4)

(4)

(*)

(*1)

(*2)

-or comodidad, se va a considerar en todo momento un vuelo "orizontal, 'or lo %ue

lo %ue im'lica %ue /ambi0n se va a ignorar las contribuciones de las

velocidades de deJei!n de los alerones $ del tim!n de direcci!ninalmente, si se dejan jos los mandos de alerones $ tim!n de direcci!n en losvalores corres'ondientes a la condici!n de vuelo de reerencia, el sistema deecuaciones lateralIdireccional %ueda:


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(*3)

(*4)

(**)

(*+)

Las soluciones de este sistema de ecuaciones dierenciales sern del ti'o:

(*)

(*)

-or lo %ue el sistema de ecuaciones anterior se transorma en:

(*)

/eniendo en cuenta %ue 'ara %ue este sistema tenga soluci!n distinta de latrivial, se tiene %ue cum'lir:

(+)

# 'artir de este determinante se obtiene la cuartica de estabilidad 'ara la dinmicalateral direccional.

(+1)

En aviones convencionales, a 'artir de esta ecuaci!n se obtienen los siguientesautovalores:

Ceal, de m!dulo mu$ 'e%ueo ('uede ser 'ositivo o negativo). ?e

corres'onde con el modo es'iral.

Ceal, de m!dulo grande. ?e corres'onde con el modo de convergencia en

balance.


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-ar de autovalores com'lejos conjugados, con 'arte real negativa (de

m!dulo 'e%ueo). ?e corres'onden con el modo de balanceo "oland0s.

# continuaci!n, al igual %ue se "izo con la dinmica longitudinal, se van a usar los'armetros del avi!n de reerencia 'ara resolver num0ricamente la ecuaci!ncaracterstica $ encontrar los autovalores asociados a cada modo. #s, la ecuaci!ncaracterstica se 'uede escribir (en su orma dimensional) de la siguiente manera:

(+2)

Esta ecuaci!n se obtiene a 'artir de la ecuaci!n caracterstica adimensional (+1)

"aciendo

Cesolviendo la ecuaci!n (+2), se obtienen las siguientes races, corres'ondientescon los modos anteriormente descritos:

(+3)

(+4)

(+*)

Ces'ecto a los autovectores, el 'roceso de clculo sera anlogo al %ue se e'usoen el anlisis de estabilidad dinmica longitudinal. #s 'artir de cada uno de losautovalores %ue se acaban de e'oner, se obtiene lo siguiente:

Kodo es'iral: el autovector asociado es:

(++)

5omo se 'uede com'robar, se trata de un modo mu$ lento %ue involucraundamentalmente a los ngulos de balance $ guiada, mientras %ue lasvariaciones en velocidades angulares $ en el ngulo de resbalamiento sonsensiblemente ms 'e%ueas. ?e 'uede entender as %ue este modo seain"erentemente lento, $a %ue las uerzas $ momentos aerodinmicos de'enden

'recisamente de , ! , " , de manera %ue si estas variables son 'e%ueas,

es de es'erar %ue las uerzas $ momentos recu'eradores tambi0n lo sean.

-ara visualizar el movimiento del avi!n debido al modo es'iral, se 'uede 'ensar enla res'uesta del mismo ante una 'erturbaci!n %ue 'rovo%ue un 'e%ueo ngulo de

balance. -uesto %ue es de es'erar %ue el avi!n est0 trimado 'ara volar con las alasniveladas, a'arecer una com'onente lateral del 'eso (en ejes cuer'o) sincom'ensar, lo %ue 'rovocar una aceleraci!n lateral %ue se traducir en un ciertongulo de resbalamiento (ver gura 1).

aciendo un anlisis sim'licado de los momentos aerodinmicos %ue a'arecernante esta situaci!n, se 'uede ver %ue 'or una 'arte, la estabilidad direccional

'rovocar un momento de guiada "acia el lado del viraje (tratando de


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eliminar el ngulo de resbalamiento), mientras %ue la estabilidad lateralgenerar un momento recu'erador %ue a$udar a nivelar las alas (deteniendo el

viraje). ?e 'uede intuir as %ue un valor de mu$ negativo contribuir aestabilizar el modo es'iral, mientras %ue si se aumenta demasiado el ndice de

estabilidad esttica direccional se obtiene el eecto o'uesto.

5onvergencia en balance: el autovector asociado es:

(+)

5omo se 'uede ver, este modo se 'uede a'roimar 'or un movimiento con un>nico grado de libertad (rotaci!n en balance). Los 'armetros %ue inJu$en

undamentalmente en este modo son el amortiguamiento en balance $ lainercia res'ecto al eje longitudinal del avi!n.

Balanceo "oland0s: el autovector asociado es:

(+)

5omo se 'uede com'robar, se trata de un modo oscilatorio con un uerteaco'lamiento entre todas las variables de estado de la dinmica lateralIdireccional.#dems, cabe destacar %ue las com'onentes del ngulo de resbalamiento $ delngulo de guiada son casi o'uestas (igual m!dulo $ desase de 1F), lo cual setraduce en %ue, durante la oscilaci!n, la aeronave a'enas surir des'lazamientoslaterales, manteniendo un vuelo 'rcticamente rectilneo.


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-ara visualizar el movimiento del avi!n, se 'uede 'ensar en la res'uesta del mismoante una 'erturbaci!n en guiada (ver gura 2). Mracias a la estabilidad esttica

direccional (controlada 'or ), la aeronave tender a girar 'ara anular el ngulode resbalamiento. ?in embargo, al mismo tiem'o, la estabilidad lateral (controlada

'or ). La aeronave tender a girar 'ara anular el ngulo de resbalamiento. ?in

embargo, al mismo tiem'o, la estabilidad lateral (controlada 'or N) "ace %ue elavi!n comience un giro en balance, contrario al viraje re%uerido 'ara anular elngulo de resbalamiento, lo cual "ace %ue cuando el avi!n recu'ere el rumbooriginal (situaci!n a), tendr un ngulo de balance distinto del de e%uilibrio. #l serun modo oscilatorio, el ngulo de rumbo sobre'asar su valor de e%uilibrio, demanera %ue el ngulo de resbalamiento comenzar a ser negativo, $ la estabilidadlateral "ar %ue el ngulo de balance decrezca "asta llegar a la situaci!n b. # 'artirde este momento, el avi!n comenzar el movimiento inverso: recu'erando elngulo de rumbo $ aumentando el de balance (esta vez en sentido contrario),

manteniendo esta oscilaci!n "asta %ue sea amortiguada.5omo se 'uede ver en la gura, resulta bastante ilustrativo observar la tra$ectoria%ue describe la 'unta del ala durante este movimiento, la cual se 'uede asemejar auna eli'se.


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Esquema del balanceo holands.

Observando este movimiento, se 'uede entender %ue las derivadas de estabilidad

$ tienen una inJuencia o'uesta a la %ue tenan en el modo es'iral. #s,un aumento del ndice de estabilidad esttica direccional contribu$e a estabilizar elbalanceo "oland0s (aumentando el momento recu'erador %ue anula el ngulo de

guiada). -or el contrario "aciendo ms negativo se consigue un eectodesestabilizador, aumentando las oscilaciones en balance %ue se 'roducen cuandoel avi!n tiende a anular el ngulo de resbalamiento.


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Ceerencias

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