ESTABILIDAD EN ORBITAS CIRCULARES PARA FUERZAS CENTRALES

Órbita Circular

La Gravedad proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener un satélite en órbita alrededor de la Tierra. La órbita circular es un caso especial, ya que las órbitas son generalmente elipses, o hipérbolas en el caso de objetos que no son más que desviados por la gravedad del planeta, pero no capturados. Estableciendo la fuerza de la gravedad de la ley de gravitación universal, igual a la fuerza centrípeta de un camino curvo, nos conduce a la descripción de la órbita. La órbita se puede expresar en términos de la aceleración de la gravedad en la órbita.

La fuerza de gravedad para mantener un objeto en movimiento circular es un ejemplo de la fuerza centrípeta. La gravedad no realiza trabajo sobre el objeto orbitando en una órbita circular, puesto que siempre actúa perpendicular al movimiento.

Estabilidad De Las Orbitas Circulares:

Si analizamos de la forma más general una fuerza central del tipo:

F (r) F (r)r̂ (1)

Podemos escribirla de la siguiente forma en coordenadas polares:

−F (r )=m ( r̈−r θ̈ )=m(r̈−l0

2

r3 ) (2)

Recordando que en fuerzas centrales,l0=r 2 θ̇=rv=cte∀ t

Así, si consideramos que el orbital es circular:

r a cte ⇒ r̈=0 (3)

De esta forma, tenemos de (2):

F (r )=ml0

2

r3(4)

Aquí cabe destacar que cuando decimos “la partícula tiene una órbita circular” de radio

r = a, entonces imponemos que el sistema alcanza un equilibrio estable en dicho punto.

En particular, la fuerza percibida a esa distancia es de:

F ( a )=ml0

2

a3

Ahora bien, si nosotros introducimos una pequeña perturbación radial, definida como ξ , entorno al punto de equilibrio tendremos que:

r=a+ξ⟹ r=ξ (6)

Así, reemplazando en (2):

⟹−F (a+ξ)=m(ξ̈−l0

2

(a+ξ )3) (7)

Como hablamos de una pequeña perturbación (ie, 𝝃 es muy pequeño) podemos hacer un desarrollo de Taylor de orden 1 para aproximar la parte izquierda de la ecuación (7):

F (r) F (a ) F (a) F '(a) ... (8)Luego, podemos hacer otra aproximación para el lado derecho de la ecuación (7):

1(a+ξ)3 =

1

a3(1+ ξa)

3=1a3 (1+ ξ

a)−3

≈1a3 (1−3

ξa) (9)

Por lo tanto, si reemplazamos (8) y (9) en (7):

⟹ F (a )+F ' (a ) ξ=mξ−ml02

a3 +3 m l0

2 ξ

a4 (10)

Y gracias a la ecuación (5) podemos simplificar, llegando a una expresión de la forma:

ξ̈+3F (a )+a F ' (A )

maξ=0 (11)

Así, para que (11) sea la ecuación de un movimiento armónico simple se debe tener que:

3 F (a )+aF ' (a )>0 (12)

Ejemplos:

Analicemos la siguiente fuerza: F⃗ (r )=−k rn r̂

Consideremos que r = a es el radio donde la partícula logra un equilibrio estable. Así, para analizar el término expresado en la ecuación (12), tenemos:

F (r )=k rn⟹F (a )=k an

F ' (r )=nk rn−1⟹ F ' (a )=nk an−1

(Hay que recordar como identificar F(r). para eso ver (1))

Reemplazando tenemos que:

⟹3 F (a )+aF' (a )=3 ( k an )+a (nk an−1 )=(3+n ) k an−1>0∀n>−3

Por lo tanto, si una partícula percibe una fuerza de la forma F⃗ (r )=−k rn r̂, donde existe

un punto de equilibrio que le permite generar una orbita circunferencial, esta es estable solo si n>-3.