Estabilidad Nyquist

Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist

ESTABILIDAD

INTRODUCCIÓN

• La estabilidad tiene un papel importante en el diseño de los sistemas

de control, SC.

• Hallar a gran escala la estabilidad de los SC por métodos analíticos

no es sencillo.

– Se destaca analítico porque soluciones numéricas de ecuaciones

diferenciales no es problema para los modernos computadores

• Primer estudio sistemático de la estabilidad del control realimentado

hecho por Maxwell en su escrito "On Governors".

– Allí planteó las ecuaciones diferenciales de un regulador, las

linealizó alrededor del punto de equilibrio y concluyó que la

estabilidad depende de que las raíces de una cierta ecuación

(característica) tengan partes reales negativasU de A

Ingeniería Electrónica

Amado Tavera C 1


…ESTABILIDAD: Introducción

– Maxwell buscó definir condiciones para los coeficientes de un

polinomio tales que garantizaran raíces con parte real negativa,

algo que logró sólo para los casos de segundo y tercer orden.

• Se ha visto que la respuesta transitoria de un SC, cuyo modelo se

describe por una ecuación diferencial lineal, de coeficientes

constantes, se rige por las raíces de la ecuación característica.

– Si alguna raíz tiene parte real positiva, la respuesta es inestable y

crece fuera de límites.

– A veces se presenta la saturación, una no linealidad que no se ha

considerado, la cual limita el crecimiento de la respuesta inestable

y el SC exhibe oscilaciones no lineales llamadas ciclo límite.

• Las especificaciones de operación del sistema de control exigen no

solo un sistema estable sino también un cierto margen de estabilidad.

U de A


Amado Tavera C 2



– Como una protección ante los cambios de parámetros y para que

el sistema asegure la estabilidad en múltiples condiciones de

operación.

– El sobrenivel porcentual en la respuesta temporal y el máximo

resonante en la respuesta en frecuencia dependen del margen de

estabilidad.

• Existen varios conceptos de estabilidad, tal como la

– Estabilidad en el sentido de Lagrange.

– Estabilidad en el sentido de Poincaré.

– Estabilidad en el sentido de Lyapunov.

– Respuesta limitada.

– Estabilidad entrada-salida.

U de A


Amado Tavera C 3



• Normalmente se considera la estabilidad desde dos puntos de

observación:

– De estado cero (estabilidad externa): El sistema tiene condición

inicial nula pero tiene entrada diferente de cero.

– De entrada cero (estabilidad interna): el sistema no tiene entrada

pero sí una condición inicial diferente de cero

• En los sistemas no lineales, los diferentes conceptos de

estabilidad pueden dar resultados diferentes; para los sistemas

lineales e invariantes estas diferencias desaparecen. Para estos

últimos sistemas, la estabilidad interna puede analizarse con la

matriz de transición de estado, mientras que para la estabilidad

externa se dispone de la matriz de función de transferencia.

U de A


Amado Tavera C 4



• El procedimiento más obvio para hallar la estabilidad mediante

algún método conocido, es el de chequear la totalidad de los

posibles valores de los coeficientes de la ecuación característica

del sistema linealizado, para todos los rangos de interés, y luego

estudiar cada comportamiento. Si todos ellos tienden hacia el

equilibrio, el sistema es asintóticamente estable para el rango de

valores de interés.

– El trabajo que demanda este procedimiento es enorme.

– El método es fácil para sistemas de orden menor.

– A este proceder para hallar la estabilidad de los sistemas se lo

conoce como el "método indirecto".

U de A


Amado Tavera C 5



• Un método mucho más elegante lo propuso Lyapunov hace un

poco más de un siglo,

– Se conoce como el "método directo de Lyapunov" o "segundo

método"

– Con el método es posible tener conocimiento de la estabilidad

sin realmente resolver las ecuaciones diferenciales o calcular las

raíces características

ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LYAPUNOV

• Este concepto de estabilidad considera nulas las entradas al

sistema, el cual se perturba sólo por las condiciones iniciales

U de A


Amado Tavera C 6


…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov

U de A


Amado Tavera C 7

• Estado de Equilibrio

Un estado xe de un sistema se dice ser un estado de equilibrio si

para un estado x(t0) = xe => x(t) = xe , para todo t > t0 , sin

que se aplique alguna entrada al sistema

• Sea un sistema continuo no-lineal y variante en el tiempo,

descripto por la ecuación estado

Los estados de equilibrio de este sistema serán aquellos

estados xe que cumplen con la ecuación:

– Se tiene una expresión similar para los sistemas discretos.

– Un sistema puede tener más de un estado de equilibrio.

)),(),(()( ttutxftx

todopara ,0),0),(( 0ttttxf e



• Para un sistema lineal continuo caracterizado por:

– xe = 0 (el origen del espacio de estados), es siempre un estado

de equilibrio.U de A


Amado Tavera C 8

equilibrio este a

respectocon onesperturbacin representa estado de variableslasy

les,diferencia ecuaciones las olinealizadhan se cual delalrededor

estado el representay estado de espacio delorigen el es cual el

, :equilibrio de estado Único

SINGULAR NO es

equilibrioEn

inicialcondición como con

0x

Ax0Ax(t)

0(t)x

)x(tAx(t)(t)x

e

1

e

1

0



U de A


Amado Tavera C 9

00 todopara )( implica )( tttxtx

• Definición de sistema Estable (según Lyapunov)

El estado de equilibrio xe = 0 es estable en el sentido de Lyapunov,

o simplemente estable, si para cualquier escalar > 0, existe un

escalar (t0,) > 0 tal que



• Definición de Sistema Asintóticamente Estable

El estado de equilibrio xe = 0 es asintóticamente estable si:

1) es estable (en el sentido de Lyapunov)

2) para cualquier tiempo t0 y para cualquier estado inicial x0

suficientemente cercano al origen del espacio de estado, el

estado x(t) tiende al de equilibrio en cuanto t tiende a infinito, es

decir

U de A


Amado Tavera C 10

et xtxlím )(



– Si en las dos definiciones de estabilidad, el parámetro es

independiente de t0, entonces la estabilidad se dice que es

uniforme (cosa que siempre se cumple para sistemas

invariantes en el tiempo).

– También, si en éstas dos definiciones, el estado inicial x(t0)

no está restringido a que dicho estado esté lo suficientemente

cerca del origen (o sea que se cumple cualquiera sea del

estado inicial x(t0) del que se parta), entonces se dice que la

estabilidad es global.

– Notar que para sistemas lineales, la estabilidad asintótica es

siempre global. Esto permite hacer la siguiente definición:

U de A


Amado Tavera C 11



• Definición de estabilidad asintótica

Un sistema lineal es asintóticamente estable si para ese sistema

el estado xe = 0 es asintóticamente estable.

– Se puede demostrar que la definición de estabilidad asintótica

se satisface cuando todos los valores propios del sistema

estudiado tienen valores con parte real negativa

• Las definiciones anteriores se ilustran en las siguiente figura para

un sistema de segundo orden. Las trayectorias 1 y 2 representan

casos estables y la trayectoria 3 un caso inestable, todo en el

sentido de Lyapunov

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U de A


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x(t0)ε

δ

32

1


…ESTABILIDAD

Estabilidad BIBO

• Un sistema BIBO (entrada acotada-salida acotada) es estable si

su salida está limitada cuando su entrada está limitada.

– Para la estabilidad, no importa si la entrada es una señal de

mando o una perturbación.

– Si la entrada al sistema es r(t) y la salida y(t), el sistema es

estable BIBO si

– Se puede demostrar que la estabilidad BIBO requiere que

todas las raíces de la ecuación característica tengan parte real

negativa

U de A


Amado Tavera C 14

0 todopara )(

implica

0 todopara )(

t

t

ty

tr


U de AIngeniería Electrónica

Amado Tavera C 15

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

INTRODUCCION

• El Criterio de Estabilidad de Nyquist, CEN, permite determinar la

estabilidad absoluta de un sistema lineal invariante en el tiempo.

• Se basa en la respuesta en frecuencia de la FT de red abierta del

SC.

• Permite determinar el número de raíces de la ecuacióncaracterística (polos de red cerrada del SC) que existen en elsemiplano derecho del plano S.

• El SC es estable cuando el resultado de la aplicación del CEN escero.

• También se pueden determinar las consideraciones respecto SCoscilatorios



Amado Tavera C 16

• El CEN se basa en los teoremas de la transformación conforme y

el teorema de la representación

– Transformación conforme:

Dada F(s) analítica (continua y derivable) en todo el plano S

salvo en sus polos, todo camino cerrado continuo en S que no

pase por ningún punto singular de F(s) se transforma en una

curva cerrada continua en el plano F(s), preservándose

distancias y ángulos de corte.



Amado Tavera C 17

– Teorema de la Representación:

Dada F(s) con P polos y Z ceros, considerando inclusive su

multiplicidad, incluidos en un contorno cerrado continuo del

plano S recorrido en sentido horario que no pase por ningún

punto singular de F(s), éste se transforma en una curva

cerrada continua en el plano F(s) en la cual se producen N

rodeos en sentido horario al origen, tal que:

N=Z-P

donde:

N > 0 Sentido horario

N < 0 Sentido antihorario



Amado Tavera C 18

APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC

Para el SC mostrado

Y(s)G(s)

H(s)

R(s) E(s)

-B(s)

G(s)H(s) 1

G(s)

)(

)(

sR

sY

SC del destabilida la determinan F(s)

de ceros los que obvio es ,)(D

(s)N G(s)H(s) 1 F(s) Si

f

f

s



Amado Tavera C 19


Para aplicar el CEN a los sistemas físicos se requiere que

lim G(s)H(s) = 0 ó Constante cuando w ∞

En la siguiente figura se muestra el teorema de la representación de

modo gráfico

F(s)

X

X

O

jw

σ

Im[F(s)]

Re[F(s)]



Amado Tavera C 20


• En dicha figura puede observarse que se rodea un polo de la

función F(s) en sentido horario.

• Rodear un polo de una función en un sentido implica lograr un

rodeo al origen en sentido contrario.

• Este resultado es lógico al realizar dicho polo una contribución

total de 360o de fase en la función (en oposición de fase debido a la

característica de un polo).

• El efecto contrario se verificaría al evaluar un cero.

• El criterio de estabilidad de Nyquist escoge como función

evaluable el propio polinomio característico.



Amado Tavera C 21


• Se evalúa la existencia de ceros del polinomio F(s)=1+G(s)H(s)

en un contorno que contiene todo el semiplano derecho del

plano S, mediante la aplicación del teorema de la

representación.

• Se supone el conocimiento, a priori, de la función de

transferencia en lazo abierto G(s)H(s) (de este modo, el

parámetro P queda determinado como el número de polos en

lazo abierto que se encuentran en el semiplano derecho del

plano S).

• Mediante la transformación del contorno denominado recorrido

de Nyquist (que contiene todo el semiplano derecho del plano S)

a través de la función F(s), se conocen el número de rodeos al

origen en el plano F(s) (y su signo).



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• Aplicando el teorema de la representación, se determina el

número de ceros de la ecuación característica Z (polos en lazo

cerrado) que existen en semiplano derecho del plano S.

• Este procedimiento es suficiente para determinar si un sistema

es estable y, además, permite determinar la existencia de raíces

de la ecuación característica sobre el eje imaginario.

En la figura se muestra el recorrido de Nyquist

Como el sistema de red abierta es causal

lim [1+G(s)H(s)] = ctes∞

jw

σ

∞



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• Cuando la trayectoria de Nyquist corresponde al eje imaginario

del plano S se tiene

1 + G(s)H(s)|s = jw = 1 + G(jw)H(jw)

lo cual lleva al estudio de la respuesta en frecuencia del sistema

de red abierta, la cual se hace en el plano G(jw)H(jw).

Im[F(jw)]

Re[F(jw)]1

G(jw)H(jw)

Im[G(jw)H(jw)]

Re[G(jw)H(jw)]

-1

G(jw)H(jw)



Amado Tavera C 24


• Se denomina diagrama de Nyquist a la transformación del

recorrido de Nyquist.

• El diagrama de Nyquist se realiza a partir del diagrama polar

conjuntamente con su simétrico respecto al eje real.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

• Dada G(s)H(s) sin polos ni ceros en el eje imaginario s=jw, si

G(s)H(s) tiene k polos en semiplano derecho del plano S y si

lims∞ G(s) H(s)= cte, para que el lugar G(jw)H(jw) tenga

estabilidad al variar w desde -∞ a ∞ deben producirse k rodeos

al punto -1+j0 en sentido antihorario.



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Si se define

• N= número de rodeos a -1+j0; en sentido horario (N>0) y

sentido antihorario (N<0).

• P= polos en red abierta en semiplano derecho del plano S.

• Z= polos en red cerrada en semiplano derecho del plano S.

• Para que un sistema sea estable debe cumplir la condición:

Z=N+P=0.


Bibliografía

• Ogata, K.; “Ingeniería de control Moderna”, 3ª Ed., 1998

Prentice Hall; secciones 8-7 a 8-9 y 13-2.

• Dorf, R. y Bishop, R.; “Sistemas de Control Moderno”, 10ª Ed.,

2005 Prentice Hall; secciones 9-3 a 9-4.

• Internet: http://ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo5/Capitulo5.htm,

consultado en 11- 2010

U de A


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